Conduccion unidimensional

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2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE.
a) LA PARED PLANA En flujo estable con fuente no distribuida de energía. Fluido Fluido Caliente Ts1 frío Ts2 T∞1,h1 T∞2,h2 )(" )( )( 21 21 1 12 12 112 ssx ssx s ss ss s TT L k Q TT L kA dx dT kAQ Tx L TT xT entonces L TT CyTC −= −=−= + − = − == • • 21 21 1 )()0( )( ;,0 ss TLTyTTcony CxCxT C dx dT Cteksi dx dT k dx d == +=∴ ===     
RESISTENCIA TÉRMICA Haciendo una analogía con el sistema eléctrico: Re → Resistencia eléctrica; V → Voltaje; I → Intensidad de corriente eléctrica Rt → Resistencia térmica; T → Temperatura; Q → Calor. Ah TT kA L TT Ah TT Q anteriorcircuitoelEn hAQ TT RconvecciónEn kA L Q TT R A L I VV R ssss x s tconv x ss tconde 2 2221 1 11 2121 11 1 : ; ∞∞ • • ∞ • − = − = − = = − = = − == − = σ
CONTINUA RESISTENCIA TÉRMICA Que representa la resistencia de un circuito de resistencias en serie. T∞1 Ts1 Ts2 T∞2 T∞1 T∞2 1/h1A L/kA 1/h2A Rtot AhkA L Ah R R TT Q TTdeostérEn tot tot x 21 21 21 11 )( )(min ++= − = − ∞∞ • ∞∞ • xQ • xQ
PARED COMPUESTA Para una pared compuesta. A B C Ts1 T2 T3 Ts2 T∞1, h1 T∞4;h4 fluido fluido caliente x frío Si; U = Coeficiente global de transferencia de calor, se define: •••= − = − = ++++=∑ ∑ − = ∞ • ∞∞ • AkL TT Ah TT Q AhAk L Ak L Ak L Ah R donde R TT Q AA ss x C C B B A A t t x 21 1 11 41 41 1 11 ; UAQ T RR hkLkLkLh AR U x ttot CCBBAA t 1 11 1 1 41 = ∆ == ++++ = = •∑ TUAQx ∆= •
CIRCUITO TÉRMICO EN PARALELO Una pared compuesta como se muestra A B D T1 T2 C El circuito térmico es RB RA RD T1 T2 RC Se puede representar como: RA Req RD Donde. Y también: CB CB eq RR RR R + = DeqAtot RRRR ++=
RESISTENCIA DE CONTACTO Cuando se tienen dos superficies en contacto, debido a sus irregularidades, se presentan secciones en donde se tienen caídas de temperatura entre estas dos superficies y por lo tanto, una resistencia térmica llamada resistencia de contacto ( R”tc). El valor de esta resistencia depende de la presión a que están unidas esta dos superficies, su material y del tipo de fluido entre estas irregularidades. A B TA TB R”tc depende de: * Acabado superficial * Presión de contacto. x * Fluido entre irregularidades RA R”tc RB xQ" • • − = x BA tc Q TT R " "
Ejemplo 2.1. El vidrio de ventana trasera de un carro de vidrio de 4 mm espesor, es desempañada por una resistencia eléctrica en su superficie interna. Determine la potencia eléctrica por unidad de área de la ventana para mantener una temperatura de 15 0 C. La temperatura interior es de 25 0 C y hi = 10 w/m2 k, al exterior -10 0 C y he = 65 w/m2 k SE CONOCE: Temperatura deseada vidrio y condiciones interior y exterior de un carro. SE BUSCA: Potencia por unidad de área para mantener esa temperatura deseada. SE ASUME:,Flujo unidimensional, estado estable Propiedades constantes, radiación y resistencia de película despreciables. ESQUEMA. Aire interior Aire del ambiente Td vidrio T∞i T∞ hi he Propiedades: Vidrio a 300 0 K; k = 1.4 w/m 0 K ANÁLISIS. El circuito Térmico: T∞i Tsi T∞e 1/hiA L/kA 1/heA "eQ • eQ" • • "Q CTQconNota mw h TT hk L TT Q hk L TT Q h TT sie i sii e esi e e esi e i sii 0 2 6.4;0": /1270 11 " 1 " 1 −== = − − + − = + − =+ − • ∞∞ • ∞ • ∞
b) SISTEMAS RADIALES Un problema común es tener un cilindro hueco cuyas superficies interior y exterior están a fluidos de diferentes temperaturas. L d2 d1 fluido fluido caliente frío T∞1 h1 Ts1 Ts2 T∞2 h2 En estado estable y sin generación. Si k = Cte, integrando dos veces: Con las condiciones de que: 0 1 =      dr dT kr dr d r ( ) 21 ln CrCrT += ( ) ( ) ( ) rLh Ry Lk r r R quelopor r r TTLk Q T r r r r TT rT CrCTyCrCT TrTyTrT tconvtcond ss r s ss ss ss ππ π 2 1 2 ln ln )(2 ln ln lnln 1 2 1 2 21 2 2 2 1 21 22122111 2211 =       =       − = +            − = +=+= == •
CILINDRO HUECO COMPUESTO (TUBO) Un tubo con dos capas de otros materiales T3 Ts4 T2 B C T∞4, h4 r1 A r2 r3 r4 T∞1, h1 Ts1 Considerando el concepto de resistencia térmica en sistemas radiales, se puede deducir la ecuación del calor radial como: Otra forma: 44 3 4 2 3 1 2 11 41 2 1 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 LhrLk r r Lk r r Lk r r Lhr TT Q CBA r πππππ +       +       +       + − = ∞∞ • ( ) 1 44332211 1 lnlnln 1 1 41 41 : )( 4 1 13 41 2 31 1 21 1 − +      +      +      + ∞∞ ∞∞ • ∑= === = −= − = t r r hr r k r r r k r r r k r h tot r R AUAUAUAUquecumpleSe U TTUA R TT Q CBA
EL RADIO CRÍTICO Cuando se usa un aislante en un cilindro o un tubo, se reducen las pérdidas de Calor, se incrementa la resistencia de conducción. También se tiene el efecto de incrementar el área transferencia de calor por convección reduciendo la resistencia exterior de la película. Estos efectos se deben cuando al variar el radio exterior del aislante. Considerando un tubo con una capa de aislante. T∞1h1 T∞3 , h3 ra r2 L Suponiendo que T1 = T2 = T∞t y que h1 y kt son muy grandes T1 T2T3 r1 r 3 3 2 31 : 2 1 2 ln ∞ ∞∞ • == +       − = h k rr obtieneseceroaigualandoerarespectoderivando LhrLk r r TT Q a críticoa a aa a r ππ aislanteytubodadesConductivikyk LhrLk r r Lk r r Lhr TT Q at aa a t r 3 21 2 11 31 2 1 2 ln 2 ln 2 1 ππππ +       +       + − = ∞∞ •
LA ESFERA HUECA Aplicando este método a una esfera Hueca, para un volumen de control Diferencial, la conservación de la energía requiere que. r Ts1 Ts2 dr En estado estable, unidireccional sin generación de energía. Si la Rt se define como la diferencia de Temperaturas dividida por la razón de calor. rQ • drrQ + • drrr QQ + •• = CteyrQQcon dr dT rk dr dT kAQ r r )( )4( 2 •• • ≠ −=−= π       +      − − = =       −=       −      − = =−= ∞∞ • • • ∫ ∫ hrrrk TT Q hr R rrk R rr TTk Q CtekdTTk r drQ tconv tcond ss r r r T T r s s 2 221 12 2 2 21 21 21 2 4 111 4 1 4 1 11 4 1 11 )(4 ;)( 4 2 1 2 1 ππ π π π π
Ejemplo 2.2. Se tiene un tubo de vapor de diámetro exterior de 120 mm y aislado con silicato de calcio con 20 mm. Las temperaturas Ts1 = 800 0 K y Ts2 = 490 0 K. Encuentre el calor radial / m. SE ASUME: Condición de estado estable, unidimensional y k = Cte PROPIEDADES: k = 0,089 w/m K. DIAGRAMA: Ts2 ANÁLISIS Ts1 Vapor D1 = 0.12 m D2 = 0.16 m COMENTARIO: El calor transferido fuera de la superficie es disipado a los alrededores por convección y radiación. ( ) mwQ TTk L Q Q r D D ssr r /603 ln )490800)(089.0(2 ´ ln )(2 ´ 12.0 16.0 1 2 21 = − =      − == • • • π π
c) CONDUCCIÓN CON GENERACIÓN DE ENERGÍA TÉRMICA La pared plana. → Energía uniforme Gen / Vol T∞1 ; h1 T∞2 ; h2 Si k = Cte Ts1 q Ts2 x ∗ q 22 1 2 )( 22 ; 2 )(;)(; 2 0 2112 2 2 2 212 2 12 1 2121 2 2 2 ssss L x ssss ss TT L xTT k qL xT TT L k q C L TT C TLTTLTCxCx k q T k q dx Td + + − +     −= + += − = ==−++−= =+ ∗ ∗ ∗ ∗
CASO ESPECIAL Cuando: Ts1 = Ts2 = Ts -L x L T∞ h q T∞ h Qcond Qconv T0 Ts Ts Note que en x = 0 no hay transferencia de Calor a través del plano, puede representarse por una superficie adiabática. En x = L Qcond Qconv T0 q Ts T∞ h x L 2 0 0 2 0 2 2 2 )( 2 )0( 1 2 )(       = − − +=≡ +     −= ∗ ∗ L x TT TxT T k qL TT T k qL xT s s sL x 0 0 = =xdx dT h Lq TT L x k qL dx dT xTdoconsideranTTh dx dT k s Lx s Lx ∗ ∞ = ∗ ∞ = +=−= −=− ;) 2 ( 2 )()( 2 2
CASO DE SISTEMAS RADIALES CON GENERACIÓN TÉRMICA El cilindro. El modelo matemático es: Evaluando en r = 0; fluido frío T∞ ,h Ts T(r = 0) = T0 Qr r0 L Relacionando Ts a la temperatura del fluido frío T∞ s s s r T r r k rq rT Cr k q TC TrT dr dT CI CrCr k q rT Cr k q dr dT r k q dr dT r dr d r +      −= =+= == ++−= +−= =+      ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ 2 0 22 0 1 2 02 0 0 21 2 1 2 1 4 )( 0; 4 )(;0: ln 4 )( 2 0 1       −= − − 00 1 )( r r TT TrT s s       −++= += −= ∗∗ ∞ ∗ ∞ ∞ ∗ 2 0 22 00 0 0 2 0 1 42 )( 2 ))(2()2( r r k rq h rq TrT h rq TT TTLrhLrq s sππ
Ejemplo 2.3. Se tiene un conductor de cobre calibre 12 (2.33 mm de diámetro). La resistividad del cobre es de 1.73 x 10-8 Ώm, la conductividad térmica es de 380 w/mK y el coeficiente de transferencia de calor de 10 10 w/m2 k. Determine la ecuación en función de la corriente eléctrica de la diferencia de temperaturas máxima y del ambiente. Para un cilindro la temperatura T( r ) tiene su valor máximo en el centro, cuando r = 0 Se puede calcular el radio crítico si se forra el conductor con un material que tenga por ejemplo una ka = 0.11 w/mK. Es interesante evaluar ΔT para este caso del conductor aislado. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CeniT xx xi T hr k kr i TTT r i Lr Ri qpero k rq h rq TTrT e ee 0 2 3232 82 0 2 0 2 max 22 0 2 2 0 2 2 00 max 1079.0 10165.110 3802 1 38010165.14 1073.1 2 1 4 : 42 )0( =∆       +=∆       +=∆=− == ++=== −− − ∞ ∗ ∗∗ ∞ π π ρ π ρ π mm h k R a crítico 11 10 11.0 ===
d) ANÁLISIS DE ALETAS Se usan aletas para incrementar el área de contacto del fluido enfriador y así no incrementar “h” por aumento de potencia. dQconv Qx dx dAx Ac(x) x Qx+dx Haciendo el balance de energía: Es la ecuación generalizada de una aleta dx dx Qd QQ SecciónA dx dT kAQ QdQQ x xdxx c cx convdxxx • • + • • • + •• += = −= += 0)( 11 0)( .);(. 2 2 =−      −      + =−−      ⇒−=       −−= ∞ ∞ ∞ • + • TT dx dA k h Adx dT dx dA Adx Td TT dx dA k h dx dT A dx d difáreadATTdAhQd dx dx dT A dx d k dx dT kAQ s c c c s c ssconv ccdxx
ALETAS DE SECCIÓN UNIFORME Cuando se tienen aletas como en el Diagrama Qconv fluido T(0) = Tb ; T∞ → fluido T∞ , h Tb t Ac = Cte Ac As = Px Qf w x L P = 2w+2t P → Perímetro Qconv Ac= wt d As → área de base a “x” L P = πd Qf Ac =πd2 /4 Def. 0)( mod;0 2 2 =−− = ∞TT kA hP dx Td quedaeloel dx dA c c :; )0( )( ;0 ;)()( 21 22 2 tieneSeLxcony TTCon CCx kA hP mm dx d dx dT dx d TxTx bb mxmx c = ≡−= += ≡=− =−≡ ∞ − ∞ θθ θ θ θ θ θ 
CASO (A) Convección en el filo de la aleta El calor fluye por conducción en la aleta y pasa a convección en su filo como muestra la figura Qconv Tb Qb = Qf Resolviendo para C1 y C2 Se nota que el gradiente de temperatura decrece con “x” por la pérdida continua de calor por convección en caras de la aleta. Af → Área total de aleta incluyendo el filo de la aleta. ])([ ∞ = −→− TLThA dx dT kA c Lx c )()( )( ])([ 2121 21 mLmLmLmL b Lx Lx cc CCkmCCh CC dx dT kLh dx dT kATLThA −− = = ∞ −=+ += −= −=−  θ θ mLSenh mk h mLCosh xLmSenh mk h xLmCosh b .. )(.)(.       + −      +− = θ θ [ ] s AA sf bcf x c x cfb dAxhdATxThQ mLSenh mk h mLCosh mLCosh mk h mLSenh hPkAQ dx d kA dx dT kAQQ ff ∫∫ =−=       +       + = −=−== ∞ • • == •• )()( .. .. 00 θ θ θ
OTROS CASOS DEL ANÁLISIS DE LA ALETA CASO (B). Si la convección en el filo del aleta es despreciable, se trata como adiabático. NOTA. Para usar los resultados del análisis del CASO (A), se tiene que en la práctica es válido si (mL) < 2.65. Si (mL) ≥ 2.65 se puede usar la aproximación infinita. CASO ( C). Θ(L) = θL CASO ( D ). L → ∞ ; θL → omLTanhhPkAQ mxCosh xLmCosh dx d bcf b Lx . . )(. 0 θ θ θ θ = − = = • = ( ) ( ) mLSenh mLCosh hPkAQ mLSenh xLSenhmxSenh bL bcf bL b . . . )(. θθ θ θθ θ θ − = −+ = • bcf mx b hPkAQ θ θ θ = = • − 
EJEMPLO 2.4. Una barra de bronce de 0.1 m largo y 0.005 m diámetro, se extiende horizontalmente de una fundición a Tb = 200 0 C.La barra está en el ambiente a T∞ = 200 C y h = 30 w/m2 K. ¿ cual es la temperatura de la barra a 0.025, 0.050 y 0.1 m ?. Bronce a 110 0 C; k = 133 w/mK Diagrama. L = 0.1 m Aire a T∞ y h x1 = 0.025 m, x2 = 0.050 m Tb d x1 x2 L x : Evaluando. b c mLSeh mk h mLCosh xLmSenh mk h xLmCosh mLconm x x kd h d k dh kA hP m θθ π π .. )(.)(. 34.143.13 005.0133 304 4 4 1 21 21 21 2 21       + −      +− = ==      =       =                   =      = − )180( 07.2 )(.0168.0)(. 18020200: 0168.0 005.0133 30 78.1.;04.2. xLmSehxLmCosh cony xmk h mLSenhmLCosh b −+− = =−= =      =      ≈≈ θ θ X( m) Cosh. m(L-x) Senh. m(L-x) θ T(0 ) X1 1.55 1.19 136.5 156.5 X2 1.24 0.725 108.9 128.9 L 1.00 0.00 87.0 107.0
RENDIMIENTO DE ALETAS Rendimiento de una aleta εf → Efectividad. Relación de la transferencia de calor de la aleta a la razón de calor transferido si no existiera la aleta. εf > 2 para justificar las aletas. En caso ( D ) El rendimiento se puede evaluar en términos de resistencia térmica. Acb → Área de sección transversal de aleta en su base. Eficiencia de una aleta “ηf”. Af → Área de la superficie de la aleta. Aleta recta, área transversal uniforma y filo adiabático. Filo adiabático, sección recta o cilíndrica 2 1       = c f hA kP ε tconv tcond f cb tconv f b tcond R R hA Ry Q R = == • ε θ 1 ff ff f hA Q Q Q θ η • • • =≡ max ∞→≤≤== L mL mLTanh hPL mLMTanh f b f ;10; .. η θ η c c f bccf c c mL mLTanh hPkAMmLMTanhQ cilíndricaSecc d LL rectaSecc t LL . .;. 4 2 = == →+= →+= • η θ
RENDIMIENTO DE ALETAS II Errores con la aproximación despreciables si: Aleta sección transversal no-uniforme: Caso de secc. anular; Ac = 2πrt, varía con “r ” Reemplazando “r” por “x” en Ec. de calor. 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0625.0 2 c p c cp c c cc c c L kA h mL tLAcony L L porndomultiplica L kt h L kA hP mL ywPtwSi k hd ó k ht         = =               =      = ≈⇒>> ≤ ( ) clasesegundayprimera ceroordenBesseldefuncionesKyI mrKCmrICrsolución m dr d rdr d TTy kt mcon SupladeÁrearrA TT kt h dr dT rdr Td s 00 0201 2 2 2 2 2 1 2 2 2 )()()(: 0 1 2 2 0)( 21 += =−+ −=≡ →−= =−−+ ∞ ∞ θ θ θθ θ π π
RENDIMIENTO DE ALETAS III Eficiencia secc transversal no uniforme t r2c = r2 + t/2 r1 L Lc = L + t/2 Ap = Lct r2 aletadetérmicasistencia hA R mrKmrImrImrK mrKmrImrImrK rrm r rrh Q mrKmrImrImrK mrKmrImrImrK mtkr dr d trk dr dT kAQ mrImrKmrKmrI mrImrKmrKmrI ff taleta b f f b rrrr cbf b Re 1 )()()()( )()()()( )( 2 )(2 )()()()( )()()()( )2( )2( )()()()( )()()()( 21102110 21112111 2 1 2 2 1 2 1 2 2 21102110 21112111 1 1 21102110 210210 11 →= + − − = − = + − = −=−= + + = • == • η θπ η θπ θ π θ θ
EFICIENCIA DE SUPERFICIE GLOBAL Se tienen “N” aletas en un equipo térmico, la eficiencia de superficie global es: )1(1 exp max f T f o bbbffT T bfT f bf ff o A NA hAhANQ ÁreaTotalA aletasdeNúmeroN ANAA uestaporciónÁreaaletadeÁreaA hA Q Q Q ηη θθη θ η −−= += → → += +→ == • • • •
Problema: Vapor de agua fluye por tubo Dext = D1 = 3 Cm a T = 120 0 C. El tubo tiene aletas circulares de Al (k = 180 w/m 0 C) de D2 = 6 Cm y espesor, t = 2 mm. El espacio entre aletas es de 3 mm por lo que son 200 aletas/m. El aire exterior está a T∞ = 25 0 C, h = 60 W/m2 K. Determine el incremento de la TC del tubo/m por la adición de las aletas. Análisis: Si no se tienen aletas: Asa = πD1L = π (0.03)(1) = 0.0942 m2 Para aletas circulares sujetas a un tubo en una gráfica se tiene: Con estos datos en la gráfica de eficiencia para esta aleta: η = 0.96 La TC en parte libre de aletas es: W TThAQ bsasa 537 )25120)(0942.0(60)( = −=−= ∞ • 07.2 )102.3(80 60 )016.0( 07.2 015.0 031.0 102.3)002.0(016.0 016.0015.0 031.003.0 015.)03.006.0()( 5 2 33 2 2 25 2 002.0 2 2 002.0 222 2 1 122 1 2 === == === =+=+= =+=+= ==−=−= − − xkA h L r r mxtLA mLL mrr mDDL p c cp t c t c c ξ W TThAQQ mrrA baletaaletaaletaaleta caleta 3.25)25120)(004624.0)(60(96.0 )( 004624.0)015.0031.0(2)(2 max 2222 1 2 2 =−= −== =−=−= ∞ •• ηη ππ 10 537 5380 48435375380 5380)6.13.25(200)(200 /200 6.1 )25120)(000283.0(60)( 000283.0)003.0)(03.0( 2 1 ≈== =−=−= =+=+= ∴ = −=−= === • • ••• ••• ∞ • sa T aleta saTincremento librealetaT blibrelibre libre Q Q WQQQ WQQQ maletastienenSe W TThAQ mSDA ε ππ

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