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Números Reales
Elianny Martinez
Sección : DL0303
Distribución y logistica
Conjunto
Es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí
características y propiedades semejantes .
• Por ejemplo : El conjunto de números primos o el conjunto de planetas
del sistema solar . Un
• Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos
poseen. Por ejemplo, para los números naturales , si se considera la propiedad
de ser un número primo , el conjunto de los números primos es:
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}Un conjunto queda definido únicamente por sus
miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como
una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos
repetidos no define un conjunto nuevo.
• Es importante que todo conjunto esté perfectamente definido, es decir,
que se pueda establecer con precisión si dado un objeto, este pertenece
o no al conjunto. Por ejemplo: M={7, 9, 11}, N={4, 6, 8}; MUN={7, 9, 11,
4, 6, 8}.
Fuente: https://www.ejemplos.co/20-ejemplos-de-union-de-conjuntos/#ixzz7sSoK4ltP
Ejemplo ; M={7, 9, 11}, N={4, 6, 8}; MUN={7, 9, 11, 4,
6, 8}
Fuente: https://www.ejemplos.co/20-ejemplos-de-union-de-conjuntos/#ixzz7sSoe5MN4
Operaciones con conjunto
• Se llama UNIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los
elementos de A o de B, es decir:
•
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, d, e, f} y B={b, d, r, s}
Entonces está formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.
Luego,
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Se llama INTERSECCIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir:
En la imagen la intersección es la parte obscura de la misma.
Números reales
Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que se encuentre o
corresponda con la recta real que incluye a los números racionales y números irracionales, Por
lo tanto, el dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más infinito.
Las principales características de los números reales son:
Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …
Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios vacíos, es decir, cada
conjunto que dispone de un límite superior tiene un límite más pequeño.
Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado negativo. Por
eso su dominio está entre menos infinito y más infinito.
Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión decimal infinita.
Clasificación de los números reales
La clasificación de los números reales incluye los siguientes números.
Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no decimales. El conjunto de
los números naturales no tiene en cuenta el cero.
Números enteros. Son los números positivos y negativos no decimales, incluyendo el cero. Es
decir, los números naturales incluyendo los números negativos y el cero.
Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente de dos enteros con
denominador diferente a cero. Son las fracciones que pueden crearse utilizando número
• Propiedad Asociativa
• El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una suma. En el caso de
una multiplicación tampoco importa la asociación pues el resultado será siempre el mismo
• a + (b + c) = (a + b) + c
• a x (b x c) = (a x b) x c
• Propiedad Conmutativa
• Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad conmutativa que indica
que el orden no varía el resultado.
• a + b = b + a
• a x b = b x a
• Elemento neutro y elemento opuesto
• En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se sume con el 0 va a
dar como resultado el mismo número.
• a + 0 = a
• Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números son opuestos (e - e
= 0).
• En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el 1, ya que cualquier número
real que se multiplique por 1 da lugar al mismo número.
• a x 1 = a
• 0.453 x 1 = 0.453
• En la multiplicación el inverso de un número es aquel que al multiplicarlo, da como resultado la unidad:
• a x 1/a = 1
• 3.4 x 1/3.4 = 1
(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab (binomio cuadrado). (a − b)
2 = a 2 + b 2 − 2ab (binomio cuadrado). (a + b)(a − b) =
a 2 − b 2 (diferencia de dos cuadrados
Ejercicios
Desigualdades
La desigualdad matemática es aquella proposición que
relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos.
Se trata de una proposición de relación entre dos elementos
diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o
bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de
desigualdad debe ser expresada con diferente signo (> o <,
etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas
diferente según su naturaleza.
Signos de desigualdad matemática
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas
posibles en los cinco siguientes:
Desigual a: ≠
Menor que: <
Menor o igual que: ≤
Mayor que: >
Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que implicaría
que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En el caso de
“a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y
“a≥b” implica que a es mayor o igual a b.
Ejemplos:
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos
miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el
otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra
incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el
elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se
cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).
EJERCICIO 1
Resuelve y grafica la desigualdad 3x-5>13x−5>1.
Empezamos escribiendo el problema original:
3x-5>13x−5>1
Para despejar la variable, sumamos 5 ambos lados de la desigualdad:
3x-5+5>1+53x−5+5>1+5
Luego de simplificar, la expresión se reduce a:
3x>63x>6
Para resolver, dividimos ambos lados por 3:
frac{3}{3}x> frac{6}{3} 33​x>36​
x> 2x>2
EJERCICIO 2
Resuelve y grafica la desigualdad 5x-10<155x−10<15.
Solución
Paso 1: Aquí, no tenemos nada para simplificar, por lo que empezamos con:
5x-10<155x−10<15
Paso 2: Para despejar la variable, sumamos 10 de ambos lados y
simplificamos:
5x-10+10<15+105x−10+10<15+10
5x<255x<25
Paso 3: Para resolver, dividimos ambos lados por 5:
frac{5}{5}x<frac{25}{5} 55​x<525​
x<5x<5
Paso 4: Para graficar, notamos que las soluciones a la desigualdad son todos
los números reales hacia la izquierda de 5. El 5 no está incluido, por lo que
usamos un punto vacío para indicar esto:
Valor absoluto
El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que resulta de
eliminar el signo correspondiente a este.
Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que
deben cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el
valor absoluto de x:
|x|=x si x≥ 0
|x|=-x si x<0
Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este mismo número. En
cambio, el valor absoluto de un número negativo es igual a este número, pero
con un signo negativo delante. Es decir, multiplicado por -1.
Asimismo, el valor absoluto de -10 es -(-10)=10. Así, debemos destacar que el
valor absoluto siempre es positivo.
Propiedades del valor absoluto
Entre las propiedades del valor absoluto destacan las siguientes:
El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir, el valor de -19 y
19 es el mismo: 19.
El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria de los valores
absolutos de los sumandos. Es decir, se cumple que:
|x+y|≤|x|+|y|
Podemos comprobar lo anterior con algunos ejemplos:
|8+9|≤|8|+|9|
|17|≤8+9
17≤17
|12-25|≤|12|+|-25|
|-13|≤12+25
13≤37
|16+31-21|≤|16|+|31|+|-21|
|26|≤16+31+21
26≤68
Valor absoluto en una gráfica
A continuación, veamos cómo quedaría un ejemplo del valor absoluto en
un plano cartesiano .
En este caso, tenemos una simple función y=|x|, y observamos que el valor de
y siempre será positivo, independientemente del valor de x.
Desigualdad de valor absoluto
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor
que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
Ejemplo
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión
.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:

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  • 1. Números Reales Elianny Martinez Sección : DL0303 Distribución y logistica
  • 2. Conjunto Es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes . • Por ejemplo : El conjunto de números primos o el conjunto de planetas del sistema solar . Un • Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales , si se considera la propiedad de ser un número primo , el conjunto de los números primos es: • P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. • Es importante que todo conjunto esté perfectamente definido, es decir, que se pueda establecer con precisión si dado un objeto, este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo: M={7, 9, 11}, N={4, 6, 8}; MUN={7, 9, 11, 4, 6, 8}. Fuente: https://www.ejemplos.co/20-ejemplos-de-union-de-conjuntos/#ixzz7sSoK4ltP Ejemplo ; M={7, 9, 11}, N={4, 6, 8}; MUN={7, 9, 11, 4, 6, 8} Fuente: https://www.ejemplos.co/20-ejemplos-de-union-de-conjuntos/#ixzz7sSoe5MN4
  • 3. Operaciones con conjunto • Se llama UNIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos de A o de B, es decir: • Ejemplo: Sean A = {a, b, c, d, e, f} y B={b, d, r, s} Entonces está formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B. Luego, INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Se llama INTERSECCIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: En la imagen la intersección es la parte obscura de la misma.
  • 4. Números reales Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que se encuentre o corresponda con la recta real que incluye a los números racionales y números irracionales, Por lo tanto, el dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más infinito. Las principales características de los números reales son: Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 … Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios vacíos, es decir, cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un límite más pequeño. Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito. Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión decimal infinita. Clasificación de los números reales La clasificación de los números reales incluye los siguientes números. Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no decimales. El conjunto de los números naturales no tiene en cuenta el cero. Números enteros. Son los números positivos y negativos no decimales, incluyendo el cero. Es decir, los números naturales incluyendo los números negativos y el cero. Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente de dos enteros con denominador diferente a cero. Son las fracciones que pueden crearse utilizando número
  • 5. • Propiedad Asociativa • El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una suma. En el caso de una multiplicación tampoco importa la asociación pues el resultado será siempre el mismo • a + (b + c) = (a + b) + c • a x (b x c) = (a x b) x c • Propiedad Conmutativa • Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad conmutativa que indica que el orden no varía el resultado. • a + b = b + a • a x b = b x a • Elemento neutro y elemento opuesto • En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se sume con el 0 va a dar como resultado el mismo número. • a + 0 = a • Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números son opuestos (e - e = 0). • En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el 1, ya que cualquier número real que se multiplique por 1 da lugar al mismo número. • a x 1 = a • 0.453 x 1 = 0.453 • En la multiplicación el inverso de un número es aquel que al multiplicarlo, da como resultado la unidad: • a x 1/a = 1 • 3.4 x 1/3.4 = 1
  • 6. (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab (binomio cuadrado). (a − b) 2 = a 2 + b 2 − 2ab (binomio cuadrado). (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 (diferencia de dos cuadrados Ejercicios
  • 7. Desigualdades La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según su naturaleza. Signos de desigualdad matemática Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas posibles en los cinco siguientes: Desigual a: ≠ Menor que: < Menor o igual que: ≤ Mayor que: > Mayor o igual que: ≥ Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que implicaría que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En el caso de “a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor o igual a b.
  • 8. Ejemplos: Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha. Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3). EJERCICIO 1 Resuelve y grafica la desigualdad 3x-5>13x−5>1. Empezamos escribiendo el problema original: 3x-5>13x−5>1 Para despejar la variable, sumamos 5 ambos lados de la desigualdad: 3x-5+5>1+53x−5+5>1+5 Luego de simplificar, la expresión se reduce a: 3x>63x>6 Para resolver, dividimos ambos lados por 3: frac{3}{3}x> frac{6}{3} 33​x>36​ x> 2x>2
  • 9. EJERCICIO 2 Resuelve y grafica la desigualdad 5x-10<155x−10<15. Solución Paso 1: Aquí, no tenemos nada para simplificar, por lo que empezamos con: 5x-10<155x−10<15 Paso 2: Para despejar la variable, sumamos 10 de ambos lados y simplificamos: 5x-10+10<15+105x−10+10<15+10 5x<255x<25 Paso 3: Para resolver, dividimos ambos lados por 5: frac{5}{5}x<frac{25}{5} 55​x<525​ x<5x<5 Paso 4: Para graficar, notamos que las soluciones a la desigualdad son todos los números reales hacia la izquierda de 5. El 5 no está incluido, por lo que usamos un punto vacío para indicar esto:
  • 10. Valor absoluto El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que resulta de eliminar el signo correspondiente a este. Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto de x: |x|=x si x≥ 0 |x|=-x si x<0 Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este mismo número. En cambio, el valor absoluto de un número negativo es igual a este número, pero con un signo negativo delante. Es decir, multiplicado por -1. Asimismo, el valor absoluto de -10 es -(-10)=10. Así, debemos destacar que el valor absoluto siempre es positivo.
  • 11. Propiedades del valor absoluto Entre las propiedades del valor absoluto destacan las siguientes: El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir, el valor de -19 y 19 es el mismo: 19. El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria de los valores absolutos de los sumandos. Es decir, se cumple que: |x+y|≤|x|+|y| Podemos comprobar lo anterior con algunos ejemplos: |8+9|≤|8|+|9| |17|≤8+9 17≤17 |12-25|≤|12|+|-25| |-13|≤12+25 13≤37 |16+31-21|≤|16|+|31|+|-21| |26|≤16+31+21 26≤68
  • 12. Valor absoluto en una gráfica A continuación, veamos cómo quedaría un ejemplo del valor absoluto en un plano cartesiano . En este caso, tenemos una simple función y=|x|, y observamos que el valor de y siempre será positivo, independientemente del valor de x.
  • 13. Desigualdad de valor absoluto La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .
  • 14. Ejemplo Resuelva y grafique. | x – 7| < 3 x – 7 < 3 Y x – 7 > –3 –3 < x – 7 < 3 Sume 7 en cada expresión . -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7 4 < x <10 La gráfica se vería así: