Matemáticas Secundaria

1. Los números naturales
Profesor: Elio Troya García

2. Esquema general
1.Conjunto de los números naturales.
2.Suma de números naturales.
3.Resta de números naturales.
4.Multiplicación de números naturales.
6.Potencias de números naturales.
7.Raiz cuadrada de un número natural.
8.Operaciones combinadas con número
naturales.
5.Cociente de números naturales.

3. Conjunto de los números naturales
Representación de los números naturales
El conjunto de los números naturales está formado
por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}
Los números naturales están ordenados, lo que nos
permite comparar dos números naturales entre sí.
Los números naturales son ilimitados, si a un número
natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.
Los números naturales se pueden representar en
una recta ordenados de menor a mayor.
Sobre una recta señalamos un punto, que
marcamos con el número cero (0)
Representación de los números naturales
Los números naturales se pueden representar en
una recta ordenados de menor a mayor.
Los números naturales
Conjunto de los números naturales.

4. Representación de los números naturales
Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos
con el número cero (0).
A la derecha del cero, y con las mismas
separaciones, situamos de menor a mayor los
siguientes números naturales: 1, 2, 3...
Suma de los números naturales
Los términos que intervienen en una suma se
denominan:
a y b se denomina sumandos.
El resultado (c) se denomina suma.
a + b = c
Propiedades de la suma de los números
naturales
Operación interna
Conjunto de los números naturales Suma de números naturales
Los números naturales

5. Propiedades de la suma de los números
naturales
El resultado de sumar dos números naturales es otro
número natural.
Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no varía el
resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
5 + 5 = 2 + 8
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
10 = 10
Conmutativa
Propiedades de la suma de los números
naturales
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
Suma de números naturales
Los números naturales

6. Propiedades de la suma de los números
naturales
Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo
número sumado con él da él mismo número.
a + 0 = 0 + a
3 + 0 = 3
Resta de los números naturales
Los términos que intervienen en una resta se
denominan:
a se denomina minuendo
b se denomina sustraendo
El resultado (c) se denomina diferencia.
a − b = c
Suma de números naturales Resta de números naturales
Los números naturales

7. Propiedades de la resta de los números
naturales Multiplicación de los números naturales
No interna
El resultado de restar dos números
naturales no siempre es otro número natural.
No conmutativa
El orden de colocación del minuendo y del
sustraendo varía el resultado de la resta.
Operación interna
Multiplicar dos números naturales consiste en sumar
uno de los factores consigo mismo tantas veces
como indica el otro factor.
a · b = c
Los términos que intervienen en una
multiplicación se denominan:
a y b se denomina factores
El resultado (c) se denomina producto
Resta de números naturales
Los números naturales
Multiplicación de números naturales

8. Propiedades de la multiplicación de los
números naturales
Operación interna
Asociativa
Conmutativa
El resultado de multiplicar dos números
naturales otro número natural.
El modo de agrupar los factores no varía el
resultado.
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15 30 = 30
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
2 · 5 = 5 · 2
10 = 10
Elemento Neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de
números naturales porque todo número multiplicado
por él da el mismo.
Multiplicación de números naturales
Los números naturales

9. Propiedades de la multiplicación de los
números naturales
Sacar Factor Común
Elemento Neutro
a · 1 = 1 · a = a
3 · 1 = 1 · 3 = 3
Distributiva
La multiplicación de un número natural por una suma
es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho
número natural por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos
transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16
Los números naturales
Multiplicación de números naturales

10. Cociente de los números naturales
División inexacta
Los términos que intervienen en una división se
denominan:
D se denomina dividendo
d se denomina divisor
El resultado (c) se denomina cociente
D : d = c
Tipos de divisiones
División exacta
Una división es exacta cuando el resto es cero.
D = d · c
Una división es entera cuando el resto es distinto
de cero.
D = d · c + r
Cociente de números naturales
Los números naturales

11. Propiedades de la división de números
naturales
No es conmutativa
No es una operación interna
El resultado de dividir dos números naturales no
siempre es otro número natural.
20: 6
Propiedades de la división de números
naturales
6 : 2 ≠ 2 : 6
Cero dividido entre cualquier número da cero
0 : 5 = 0
Los números naturales
Cociente de números naturales

12. Propiedades de la división de números
naturales
No se puede dividir por 0
Potencias de números naturales
5 : 0
Potencia de un número natural
Una potencia es una forma abreviada de escribir un
producto formado por varios factores iguales.
5 · 5 · 5 · 5 = 54
Potencias de números naturales
Los elementos que constituyen una potencia son:
La base de la potencia es el número que
multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.
El exponente de una potencia indica el número
de veces que multiplicamos la base, en el
ejemplo es el4.
5 · 5 · 5 · 5 = 54
Los números naturales
Cociente de números naturales Potencias de números naturales

13. Propiedades de la potencia de números
naturales
Un número elevado a 0 es igual a 1
Un número elevado a 1 es igual a sí mismo
50 = 1
51 = 5
Propiedades de la potencia de números
naturales
Producto de potencias de la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo
exponente es la suma de los exponentes.
25 · 22 = 25+2 = 27
Los números naturales
Potencias de números naturales

14. Propiedades de la potencia de números
naturales
División de potencias con la misma base
Propiedades de la potencia de números
naturales
Potencia de una potencia
Es otra potencia con la misma base y cuyo
exponente es la diferencia de los exponentes.
25 : 22 = 25 − 2 = 23
Es otra potencia con la misma base y cuyo
exponente es el producto de los exponentes.
(25)3 = 215
Los números naturales
Potencias de números naturales

15. Propiedades de la potencia de números
naturales
Producto de potencias con el mismo exponente
Propiedades de la potencia de números
naturales
Cociente de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base
es el producto de las bases.
23 · 43 = (2 · 4)3=83
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya
base es el cociente de las bases.
63 : 33 = (6:3)3 = 23
Los números naturales
Potencias de números naturales

16. Raíz cuadrada de un número natural
Raíz cuadrada de un número natural
La radicación es la operación inversa a la
potenciación.
La raíz cuadrada de un número "a" es exacta cuando
encontramos un número "b" que elevado al cuadrado
es igual al radicando.
(Raíz)índice = Radicando
Raíz cuadrada de un número natural
En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este
caso se omite. Consistiría en hallar un número
conocido su cuadrado.
(Raíz)2 = Radicando
Tipos de raíces cuadradas
Raíz cuadrada de un número natural.
Los números naturales

17. Raíz cuadrada exacta
Cuadrados perfectos
Tipos de raíces cuadradas
La raíz cuadrada de un número "a" es exacta
cuando encontramos un número "b" que elevado
al cuadrado es igual al radicando.
b2 = a.
La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.
Son los números que poseen raíces cuadradas
exactas.
Algunos de esos números son:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144,
169, ...
Los números naturales
Raíz cuadrada de un número natural.

18. Raíz cuadrada entera
Prioridad de operacionesTipos de raíces cuadradas
Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.
a) Efectuar las operaciones entre paréntesis,
corchetes y llaves.
b) Calcular las potencias y raíces.
c) Efectuar los productos y cocientes.
d) Realizar las sumas y restas.
Tipos de operaciones combinadas
Combinación de sumas y diferencias
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando
las operaciones según aparecen.
Raíz cuadrada de un número natural.
Los números naturales

19. Combinación de sumas, restas y productos
Combinación de sumas, restas, productos y
divisiones
Tipos de operaciones combinadas
Realizamos primero los productos por tener mayor
prioridad.
Posteriormente efectuamos las sumas y restas.
3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 3 =
6 − 5 + 12 − 8 + 15 = 20
Realizamos los productos y cocientes en el orden en
el que los encontramos porque las dos operaciones
tienen la misma prioridad. Efectuamos las sumas y
restas
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 20 : 4 =
5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 5 = 9
Los números naturales
Operaciones combinadas con número
naturales.

20. Dedicatoria:
A todos aquellos/as profesores/as que con
sus conocimientos y sabiduría nos forman
como personas en todos los ámbitos de la
vida.