SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 29
Descargar para leer sin conexión
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
1
VECTORES
En física existen cantidades que quedan representadas por un número, estas cantidades
adimensionales pueden ser: el aumento de una lente ( M = 3); el coeficiente de fricción cinética
( 
k= 0,48), la constante dieléctrica de un dieléctrico (k = 5), etc... y se caracterizan por no tener
unidades.
Otras quedan determinadas por un número y una unidad, estas cantidades se llaman cantidades
escalares. Son ejemplos de cantidades escalares la masa ( m = 5,8 kg), la longitud (l = 3 cm), la
energía cinética (Ek = 34 J), el tiempo (t = 5 s), la temperatura (T = 36º C), etc. Y finalmente hay
cantidades llamadas cantidades vectoriales, tales como la velocidad (v = 59 km/h), las fuerzas (F =
7 N), la aceleración ( a = 76 m/s2
), entre otras que necesitan un vector para poder representarse
correctamente.
Un vector es un segmento orientado que posee módulo, dirección y sentido. El módulo de un vector
es la magnitud escalar que representa la longitud del vector. La dirección está dada por la recta
sobre la cual se puede desplazar el vector y que contiene al vector y el sentido es hacia “donde”se
puede desplazar.
Para nombrar a un vector se utilizan letras mayúsculas o
minúsculas, según el autor que se consulte. Nosotros
adoptamos el criterio de designarlos con letras minúsculas.
Cuando se escribe en forma manuscrita se suele anotar
sobre la letra una flecha o una raya ( → y/o -) para
representar al vector (ā) y cuando se hace con un
procesador de texto lo más usual es escribirlo con negrita
(a). Ambas notaciones se leen “el vector a”. De ahora en
más, toda vez que encontremos una negrita, nos estaremos
refiriendo a un vector.
En la Fig.1 se aprecian dos vectores con el mismo módulo (obsérvese que todos tienen la misma
longitud), no obstante las direcciones de a y b son respectivamente: horizontal y vertical, en tanto
que el sentido de los mismos es derecha y arriba.
Al dibujar diagramas con vectores, normalmente usamos una escala similar a la de los mapas, en la
que el módulo del vector es proporcional a la magnitud vectorial que representa. Por ejemplo en un
diagrama podríamos representar una fuerza de 3 N con un vector de 1 cm, entonces un vector de 4
cm representaría una fuerza de 12 N.
Por definición, el módulo o norma de un vector es siempre
positivo.
La manera más frecuente para representar el módulo de un
vector es son las barras verticales ( | ) que encierran a la letra, de
tal manera que la escritura | a | se lee módulo de a.
Llamaremos origen al extremo del segmento que no es la punta de flecha, en la Fig.2 es el punto O.
a b
Fig.1
Fig.2
aO
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
2
Igualdad de vectores: dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido, sea
cual sea su ubicación en el espacio.
Fig.3
Opuesto de un vector: definimos el opuesto de un vector, como el vector que tiene el mismo
módulo y dirección, pero sentido contrario. Utilizamos la notación – a para referirnos al opuesto del
vector a.
Fig.4
Vectores concurrentes: dos o más vectores son concurrentes cuando tienen el mismo origen.
Los vectores a, b y c de la Fig.5 son concurrentes porque
tienen el mismo origen O.
Fig.5
OPERACIONES CON VECTORES
Multiplicación de un escalar por un vector: el producto de un escalar por un vector es otro vector
de la misma dirección, cuyo módulo se obtiene de multiplicar el escalar por el módulo del vector
dado y cuyo sentido es igual al del vector si el escalar es positivo y de sentido contrario si el escalar
es negativo.
En la Fig.6 se aprecia que dado un vector
cualquiera a, el vector 2.a es otro de la misma
dirección y sentido al dado, cuyo módulo es el
doble. El vector – 3.a es otro vector de la misma
dirección, de sentido contrario y cuyo módulo es el
triplo del módulo del vector a.
Ahora podemos afirmar que el opuesto de un vector se obtiene de multiplicar por el escalar menos
uno al vector cuyo opuesto se quiere hallar.
Simbólicamente: – a = - 1. a = - a
SUMA DE VECTORES
A) Suma de vectores colineales
A.1: Suma de vectores colineales del mismo sentido: la suma de dos vectores colineales del
mismo sentido es otro vector colineal a los dados, del mismo sentido y cuyo módulo es la suma de
los módulos de los vectores dados.
a
b
- aa
O
c
b
a
a 2 . a - 3 . a
Fig.6
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
3
En la Fig,.7 se aprecia que la suma de los vectores
colineales del mismo sentido a y b es otro vector c,
colineal a los dados, del mismo sentido y cuyo
módulo es la suma de los módulos dados.
Ejemplo: Un auto que ha estado detenido por más de una semana se queda sin batería. El
acompañanate y un observador solidario deciden empujarlo. El primero realiza una fuerza de 5 N y
el segundo de 7 N. ¿Cuál es la fuerza total que realizan entre ambos para empujarlo?
F1 = 5 N
Datos Incógnita R?
F2 = 7 N
Como las fuerzas son colineales del mismo sentido, para calcular el módulo de la fuerza resultante
debemos sumar los módulos de las fuerzas dadas:
R = F1 + F2
| R | = |F1|+ |F2|
| R | = 5 N + 7 N
| R | = 12 N0
Rta: la fuerza que realizan entre ambos es resultante o suma de las fuerzas realizadas por ambos. La
resultante tendrá un módulo de 12 N, una dirección paralela a las fuerzas dadas y el mimo sentido que las
fuerzas F1 y/o F2.
A.2: Suma de vectores colineales de distinto sentido: la suma de dos vectores colineales de
distinto sentido es otro vector de la misma dirección a las dadas, cuyo módulo es la diferencia entre
los módulos dados y cuyo sentido es igual al sentido del vector de mayor módulo.
En la Fig. 9 se observa que la suma de los vectores
colineales de distinto sentido a y b, siendo el
módulo de a mayor que el módulo de b, es otro
vector c, colineal a los dados, del sentido de a y
cuyo módulo es la diferencia de módulos entre a y b.
Ejemplo: En una competencia inter – tribu el profesor de Educación Física organiza el juego de la
cinchada. El grupo de “Los rojos” realiza una fuerza de 3 N hacia el este, en tanto que el
denominado “Los azules” pueden realizar una fuerza de 5 N hacia el oeste. ¿Qué equipo gana la
competencia? ¿Cuál es la fuerza resultante de este torneo?
Fr = 3 N ganador?
Datos Incógnitas
Fa = 5 N R?
a b c = a + b
Fig.7
R = 12 N
F2 = 7 N
F1 = 5 N
c = a + bba
Fig.9
Fig.8
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
4
Si llamamos Fr a la fuerza que realizan el equipo “rojo” y Fa a la fuerza que realizan el equipo
“azul”, tendremos un gráfico de fuerzas como el realizado en la Fig.10.
Fig.10
Es evidente que la fuerza resultante será una fuerza de igual dirección a las dadas, cuyo módulo lo
obtenemos restando los módulos dados (al mayor el menor) y cuya dirección será igual al sentido de
la fuerza mayor como muestra la Fig.11.
R = Fr + Fa
| R | = |Fa|- |Fr|
| R | = 5 N - 3 N = | R | = 2 N0
La dirección será este – oeste y el sentido hacia el este.
Rta: el torneo lo ganará el equipo “azul” y la fuerza resultante tiene un valor de 2 N hacia el oeste.
B: Suma de vectores no colineales:
B1: No concurrentes: la suma de dos o más vectores no concurrentes es nuevo vector cuyo módulo
es la suma vectorial de los módulos dados y cuya dirección y sentido se pueden obtener
gráficamente por el método de la poligonal.
Método de la poligonal: Sea sumar los vectores a, b y c dados. Para realizar la suma gráficamente
se dibuja a continuación del extremo del vector a el vector b y a continuación del extremo de b el
vector c. Finalmente se une el origen de a con el extremo del último vector c y se obtiene el vector
suma.
Fig.12
B2: Concurrentes: la suma de dos o más vectores concurrentes es otro vector concurrente cuyo
módulo, dirección y sentido se obtiene gráficamente por el método del paralelogramo o de la
pologonal.
Método del paralelogramo: Sea sumar los vectores a, b y c dados. Primero realizamos la suma
vectorial de a y b, para ello trazamos una recta paralela a a por el extremo de b y luego una recta
paralela a b por el extremo de a. Uniendo el origen con el punto de intersección hallado, tenemos el
vector a + b. Para sumar a este vector el vector c se procede de la misma manera, por el extremo de
a + b trazamos una recta paralela al vector c y por el extremo de c una recta paralela al vector a + b.
Uniendo el origen con el punto donde dichas rectas se interceptan obtenemos el vector suma s = a +
b + c.
Fa Fr
soga O E
S
N
a
b
c a
b
c
s = a + b + c
Fa
Fr
R Fig.11
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
5
Fig.13
Método de la poligonal: A continuación del extremo de primer vector a se dibuja el segundo
vector b y a continuación del extremo de este vector el tercer vector c. El vector resultante o suma
se obtiene al unir el origen del primer vector a con el extremo del último vector.
Erro!
Fig.14
Advertencia: cuidado cuando se suman vectores, el error más usual que suelen cometer los que se
inician en este tema es querer sumar directamente los módulos de los vectores dados sin tener en
cuanta la dirección y el sentido. Esta suma de módulos es correcta sólo si los vectores son colinelaes
del mismo sentido, si son de sentido contrario, el módulo es la diferencia de los módulos dados y si
son vectores con diferentes direcciones se debe emplear gráficamente cualquiera de los métodos
descriptos de la poligonal o del paralelogramo.
Más adelante analizaremos la suma analítica de vectores.
c
b
a
s = (a + b) + c
c
b
a
a + b
c
b
a
s = a + b + c
c
b
a
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
6
Propiedades de la suma de vectores:
• La suma de vectores es conmutativa. a + b = b + a
• La suma de vectores es asociativa. a + (b + c ) = (a + b) + c
Componentes de un vector: Hasta aquí hemos desarrollado conceptualmente los métodos gráficos
que pueden ser inexactos y/o que sólo funcionan para casos particulares descriptos en dos
dimensiones. Sin embargo existen métodos analíticos más precisos que utilizan el concepto de
componentes de un vector que son más generales, exactos y extensibles a tres dimensiones (el
espacio).
Un vector puede tener un conjunto de componente si el sistema de coordenadas es rectangulares o
no. Aunque en general, tanto en matemática como en física, el sistema de coordenadas que se utiliza
es el cartesiano rectangular. En el caso bidimensional, que se trabaja en el plano, dichos ejes son x e
y perpendiculares entre sí; si fuera tridimensional el sistema cartesiano es el formado por los ejes x,
y y z, todos perpendiculares entre sí.
Elegimos por conveniencia un vector cuyo origen coincida con el origen de coordenadas, aunque un
vector puede, moverse por todo el espacio en tanto no varíen su módulo, dirección y sentido.
En el gráfico, Fig. 15, se aprecia que las componentes del vector a en este plano elegido son:
donde θ es el ángulo medido desde el semieje positivo de las x hacia el semieje positivo de las y o
sea el ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj.
Diremos entonces que las componentes de un vector son aquellas que se pueden obtener conociendo
el módulo del vector y el ángulo que forma con algunos de los ejes de coordenadas elegidos.
Ejemplo: Sea un vector a = 5 m/s2
y el ángulo θ que forma con el semieje positivo de 30º, hallar
sus componentes.
ax = a cos θ = 5 m/s2
cos 30º = 4,33 m/s2
=> ax =4,33 m/s2
ay = a sen θ = 5 m/s2
sen 30º = 2,5 m/s2
=> ay = 2,5 m/s2
Advertencia: téngase mucho cuidado con las expresiones anteriores, sólo son válidas cuando el
ángulo θ es el ángulo que forma el vector con el semieje positivo de las x en sentido contrario al de
las agujas del reloj.
Una vez que se decompuesto un vector en sus componentes, estas mismas componentes pueden
usarse para especificar al vector.
- x x
a
θ
ay
ax
- y
y
ax = a cos θ
ay = a sen θ
◄
Componentes de un vector
Fig.15
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
7
Así en e ejemplo dado, las componentes son perpendiculares entre sí, si desplazamos la componente
ax o ay al extremo del vector nos queda determinado un triángulo rectángulo cuyos catetos son los
módulos de ax y de ay y cuya hipotenusa es el módulo de a.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
0
a = ax
2
+ ay
2
0
y según la definición de tangente estudiada en
trigonometría:
o
θ = arctg ay / ax
0
En el ejemplo dado obtendríamos:
a = ax
2
+ ay
2
= (4,33 m/s2
)2
+ ( 2,5 m/s2
)2
= 5 m/s2
=> a = 5 m/s2
θ = arctg ay / ax = arctg 2,5 m/s2
/ 4,33 m/s2
= 30 º => θ = 30 º
Podemos entonces pasar, en uno u otro sentido, de la descripción de un vector en término de sus
componentes ax y ay a la descripción equivalente en términos del módulo de a y de la dirección del
ángulo θ .
Advertencia: La ecuación θ = arctg ay / ax tiene una
pequeña complicación para encontrar θ . Supongamos
que los módulos de ax y de ay son respectivamente: ax =
5 cm y de ay = - 5 cm, entonces la tg θ = - 1. Pero hay
dos ángulos cuyas tangentes toman el valor -1: 135º y
315º (ó θ = – 45º). En general dos ángulos que difieren
en 180º tienen la misma tangente.
Para decidir cuál es el correcto, analizamos las
componentes. Como ax es positivo y ay es negativo, el
ángulo debe estar en el cuarto cuadrante. Así que θ =
315º ó – 45º como nos indican la mayoría de las
calculadoras. El signo menos del 45º nos está indicando
que el ángulo se genera en el mismo sentido de las
agujas del reloj. Si bien son equivalentes, según nuestra
convención debemos tomar el valor del ángulo correcto
como 315º (recuérdese que dijimos que se generaba
desde el eje +x al +y en sentido contrario al del las
agujas del reloj).
θ
ay
ax
a
ax = 5 cm
ay = - 5 cm
a
- 45º
+ 315º- x x
- y
y
◄
Módulo del vector
◄
Angulo que forma el
vector con el eje x
Fig.16
Fig.17
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
8
Cada vez que dude sobre el ángulo recurra a un gráfico
cartesiano como el que se muestra en la Fig 18 y recuerde
el signo de las componentes en cada uno de ellos. Entre
paréntesis se han indicado los signos de las componentes
en x y de la componente en y respectivamente.
O utilice la siguiente tabla:
Ejercicios:
1) Dado un vector de 6 cm e módulo que forma un ángulo de 70º con el eje positivo de las x,
verificar analíticamente que las componentes son: ax = 2,05 cm y ay = 5,64cm. Graficar a escala.
2) Dadas las componentes ax = - 3 cm y ay = + 4 c, verificar que el módulo del vector a = 5 cm y
que el ángulo que forma con el eje positivo de las x es 53,13º. Graficar a escala.
Cuando el ángulo que se conoce no es el que forma con el eje + x en el sentido antihorario, tenemos
dos opciones:1) calcular el ángulo con el semieje positivo de las x o 2) utilizar las funciones
trigonométricas seno o coseno según corresponda.
Por ejemplo en el gráfico, Fig.19, vemos que el ángulo α es el que forma el vector a con el eje + y ;
y
β
es el ángulo que forma el vector b con el eje +x (pero en sentido horario). Supongamos que sus
valores son: α = 28º y
β
= - 35º y que los módulos de los vectores son a = 2 cm y b = 2,2 cm.
Un procedimiento es calcular el valor de α ´ como :
α ´ = 90º + α
Con lo cual estamos en condiciones de calcular las
componentes de a:
ax = a cos α ´ = a cos (90º + α ´) = 2 cm cos (90º + 28º)
= 2 cm cos118º
ax = - 0,94 cm
ay = a sen α ´ = a sen (90º + α ´) = 2 cm sen(90º + 28º)
= 2 cm sen 118º
ay = 1,77 cm
Otra manera de calcular las componentes de a es trabajar directamente con el ángulo α dado. En ese
caso las expresiones serán:
ax = - a sen α = - 2 cm sen 28º = 0,94 cm
ay = a cos α = 2 cm cos 28º = 1,77 cm
Cuadrante ax ay
I + +
II - +
III - -
IV + -
(+, +)
- x x
- y
y
(-, +)
(-, +) (+, -)
by
bx
a
ay
ax
α
y
- y
β
b
- x x
Fig.18
Fig.19
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
9
Haciendo lo mismo con
β
, obtenemos
β
´ = 360º - | - 35 º| = 360º - 35º = 325º
Luego: bx = b cos
β
´ = 2,2 cm cos 325º
bx = 1,8 cm
by = b sen
β
´ = 2,2 cm sen 325º
by == - 1,26 cm
Si trabajamos directamente con el valor absoluto del ángulo
β
, las expresiones serán:
bx = b cos
β
= - 2,2 cm cos 35º = 1,8 cm
by = - b sen
β
= - 2,2 cm sen 35º = - 1,26 cm
La regla mnemotécnica para recordar el segundo de los procedimientos es primero observar si al
realizar la proyección hacia los ejes coordenados será positiva o negativa y colocar el signo que
corresponda. Luego utilizar la función coseno del ángulo dato si se “barre” el ángulo para llegar
desde el vector al eje y la función seno del ángulo en caso contrario.
Con esta regla las componentes de los vectores a y b de
la Fig.20 se obtienen como:
ax = + a sen
β
y ay = + a cos
β
bx = - b cos α y by = - b sen α
Utilización de las componentes: Las componentes de un vector son de mucha utilidad para
resolver analíticamente las suma de vectores.
Dados dos vectores a y b cuyas componentes son:
ax = a cos α , ay = a sen α , bx = b cos
β
y by = b sen
β
como se muestra en la Fig. 21 nos proponemos hallar su
suma o vector resultante r.
r = a + b
Obsérvese que los ángulos α y
β
son los que forman cada
uno de los vectores con el eje semi-positivo de las x.
y
x
b
α
- y
β
a
- x
Fig.20
β
b
y
a
xα
by
bx
ay
ax
Fig.21
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
10
Hemos visto que el método de la poligonal permitía desplazar vectores en espacio, siempre y
cuando no se varíe su módulo, dirección y sentido. Realizando un nuevo gráfico, Fig 22; se aprecia
que las componentes del vector resultante son:
rx = ax + bx
ry = ay + by
Su módulo es: r = rx
2
+ ry
2
y el ángulo que forma con el eje x es: θ = arctg ry / rx
Fig.22
Si bien en el ejemplo hemos sumado sólo dos vectores en el plano, es fácil realizar la extensión para
tres o más vectores en el plano, en cuyo caso las componentes del vector resultante serán:
rx = ax + bx + cx + dx + …..
ry = ay + by + cx + dx + …..
Su módulo es: r = rx
2
+ ry
2
y el ángulo que forma con el eje x es: θ = arctg ry / rx
Si nuestro vector está en el espacio se necesitan dos
ángulos para determinar la dirección. Si llamamos θ al que
forma el plano xOz con el plano zOa y
δ
al que forma el
eje Oz con Oa.
El modulo estará dado por la expresión:
a = ax
2
+ ay
2
+ az
2
Fig.23
z
θ
δ
O
a
y
x
y
r
bx
b
a
by
ay
β
α
ax
x
y
ry
r
θ
rx
x
◄
Componentes del vector suma
◄
Módulo del vector suma
◄
Ángulo del vector suma
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
11
Finalmente si se conocen los módulos de dos vectores y el ángulo comprendido entre ellos, es
posible sumarlos, con el método de la poligonal como se muestra en la Fig.24.
En el triángulo rectángulo ACD se aprecia que:
AD = AB + BD = v1 + v2 cos θ y DC = v2 sen θ
Aplicando el teorema de Pitágoras podemos calcular el valor de la hipotenusa v:
v2
= (v1 + v2 cos θ )2
+ (v2 sen θ )2
v2
= v1
2
+2 v1 v2 cos θ + v2
2
cos2
θ + v2
2
sen2
θ
v 2
= v1
2
+2 v1 v2 cos θ + v2
2
(cos2
θ + sen2
θ )
v = v1
2
+ v2
2
+ 2 v1 v2 cos θ
Para determinar la dirección de v, necesitamos solamente conocer el ángulo α .
En la Fig 24 puede observar que en los triángulos ACD y BDC se cumplen las siguientes
relaciones:
ACD => CD = AC sen α = v sen α
BDC => CD = BC sen θ = v2 sen θ
Por lo tanto: v sen α = v2 sen θ
de donde
Análogamente, BE = v1 sen α = v2 sen
β
de donde
Combinando ambas expresiones, obtenemos la relación simétrica para calcular α y/o
β
.
v
sen θ
v2
sen α
=
v1
sen
β
v2
sen α
=
v2
sen α
=
v
sen θ
v1
sen
β
=
v2 sen
θ
E
v
v2
v1
β
θ
α
A B
C
D
v2
v1
θ
Fig.24
v2 cos
θ
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
12
Para el caso particular de dos vectores perpendiculares entre sí, las expresiones anteriores se
reducen a las ya vistas:
v = v1
2
+ v2
2
α = arctg v2 /v1
Fig.25
En física muchos problemas de cinemática, estática, dinámica de la partícula se resulten utilizando
la suma de vectores.
Ejemplos:
1) Tres fuerzas F1, F2 y F3 se aplican a un cuerpo como muestra la Fig. 26. Hallar la fuerza
resultante (o suma) e indicar la dirección y sentido si sus módulos son F1 = 9 N, F2 = 4 N y F3 = 5
N.
Para hallar el módulo de la resultante debemos aplicar la fórmula:
R = Rx
2
+ Ry
2
Lo cual nos lleva a calcular por separado las componentes
en x y en y de la fuerza resultante:
Rx = F1 cos 30º - F2 cos 50º - F3 sen 48º
Rx = 9 N cos 30º - 4 N cos 50º -5 N sen 48º
Rx = 7,794 N – 2,571 N – 3,715 N
Rx = 1,5 N
Ry = F1 sen 30º + F2 sen 50º - F3 cos48º
Ry = 9 N sen 30º + 4 N sen 50º - 5 N cos48º
Ry = 4,5 N + 3,064 N – 3,346 N
Ry = 4,22 N
R = Rx
2
+ Ry
2
= ( 1,5 N )2
+ ( 4,22 N )2
0 R = 4,48 N0
Finalmente, calculamos la dirección y sentido, sabiendo que como las componentes x e y son
positivas, el ángulo hallado deberá estar en el primer cuadrante:
θ = arctg Ry / Rx = arctg (4,22/ 1,5)
0θ = 70,43º0
Rta: La fuerza resultante tiene un módulo de 4,48 N y el ángulo que forma con el semieje positivo
de las x es de 70,43º.
- y
- x
48º
y
F2
30º x50º
F3
F
- y
- x
48º
y
F2
30º x50º
F3
F
v1
v2
θ
v2
v1
α
v
Fig.26
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
13
2) Un bote a motor se dirige hacia el norte a 13,5 km/h en un lugar donde la corriente del agua o de
arrastres es de 4,5 km/h en la dirección S 50º E. Encontrar la velocidad resultante.
Primera resolución:
Representando gráficamente la situación planteada, llamando vb a la velocidad del bote y vc a la
velocidad de la corriente o de arrastre por el método del paralelogramo podemos encontrar la
resultante v. Analíticamente podemos expresar:
v = vb + vc
donde el módulo es:
v = vb
2
+ vc
2
+ 2 vb vc cos θ
v = (13,5 km/h)2
+ (4,5 km/h)2
+ 2 . 13,5 km/h . 4,5 km/h
cos140º
v = 10,53 km/h
v 10,5 km/h
y la dirección será:
=> sen
β
=
sen
β
= (4,5 km/h . sen 140º ) : 10,53 km/h
sen
β
= 0,275
β
= 15,94º
β
16º
Rta: la velocidad resultante será de 10,5 km/h en la dirección N 16º E
S
N
θ
O E
v
vc
vb
=~
vc sen θ
v
v
sen θ
Vc
sen
β
=
β
v
vcvb
=~
Fig.27
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
14
Segunda resolución:
También podríamos haber optado por trabajar con las componentes de cada velocidad, en cuyo caso
la solución analítica hubiera sido:
v = vb + vc
vx = + vc cos 50º
vx = 4,5 km/h cos 50º
vx = 2,893 km/h
vy = vb – vc sen 50º
vy = 13,5 km/h – 4,5 km/h sen 50º
vy = 10,053 km/h
v2
= vx
2
+ vy
2
v2
= (2,893km/h)2
+ (10,053 km/h)2
v = 10,46 km/h
v 10,5 km/h
El ángulo que forma la velocidad resultante con el eje + x (Este) será:
α = arctg vy / vx = arctg 10,053 / 2,893 = 73,94º ~ 74º
α = 74º
Por lo tanto la dirección será:
β
= 90º - 74º = 16 º con respecto al eje y (Norte)
Rta: la velocidad resultante será de 10,5 km/h en la dirección N 16º E como ya habíamos obtenido
con el procedimiento anterior.
3) Una lámpara que pesa 10 N cuelga del techo
mediante dos cuerdas que forman 35º y 50º con el
mismo como muestra la Fig. 29 ¿Qué tensión
soporta cada cuerda?
Para resolver este problema debemos dibujar un diagrama del cuerpo libre, que es un modelo
simplificado de la situación problemática. Trazamos un sistema de ejes coordenados en el punto
donde concurren las dos cuerdas y el cable que sostiene la lámpara y dibujamos las fuerzas que
están actuando: dos tensiones (en las cuerdas) y el peso (en el cable) como indica la Fig.30.
Si la lámpara está en equilibrio se debe cumplir que la suma de todas las fuerzas sea nula. Es decir:
∑Fx = 0
∑Fy = 0
50º35º
=~
=~
=~
-y
y
50º
-x x
v
vc
vb
α
Fig.28
Fig.29
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
15
Desarrollando cada una de estas expresiones
obtenemos:
T1 cos 50º - T2 cos 35º = 0 (i)
T1 sen 50 + T2 sen 35º - w = 0 (ii)
Obsérvese que tenemos un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas (T1 y T2). Para
resolverlo podemos despejar T1 de la expresión (i) y
sustituirla en (ii):
T1 = T2 cos 35º (iii)
cos 50º
T2 cos 35º sen 50º + T2 sen 35º - w = 0
cos 50º
En el primer término vemos que el cociente entre sen 50º y cos 50º se puede sustituir por tg 50º:
T2 tg 50º cos35º + T2 sen 35º - w = 0
T2 ( tg 50º cos35º + T2 sen 35º ) = w
T2 = w : ( tg 50º cos35º + T2 sen 35º )
T2 = 10 N : ( tg 50º cos35º + T2 sen 35º )
oT2 = 6,45 N0
Finalmente sustituyendo este valor en (iii), calculamos el valor de T1:
T1 = (6,45 N . cos 35º) : cos 50º
0T1 = 8,22 N 0
Rta: La tensión que soporta cada una de las cuerdas es 8,22 N y 6,45 N respectivamente.
DIFERENCIA DE VECTORES
La diferencia de dos vectores a y b es otro vector
que se obtiene de sumar a a el opuesto de b.
En símbolos: a – b = a + (-b)
Para resolver gráficamente la diferencia entre dos
vectores se debe saber, tal como en la aritmética
ordinaria, que cantidad deber ser sustraída de
otra. Luego por el extremo libre del primer vector
(minuendo) se traslada el opuesto del segundo
(sustraendo). Uniendo el origen del primero con
el extremo libre del segundo se obtiene el vector
diferencia como muestra la Fig. 31.
- y
- x
y
F2
50º x35º
w
T1
Fig.30
y
b
a
x
a – b
- b
- b
Fig.31
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
16
Propiedades de la diferencia de vectores
La diferencia de vectores no es conmutativa. a – b ≠ b – a
La diferencia entre a y b es igual al opuesto de la diferencia entre b y a. a – b = - (b – a )
En la Fig.32 se muestra la suma de dos vectores y las propiedades mencionadas precedentemente.
Fig. 32
Vectores unitarios: Un vector unitario es un vector con módulo uno. Su única función es “señalar”
la dirección y sentido. Los vectores unitarios son una notación cómoda para las expresiones que
contienen las componentes de los vectores.
En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares x e y podemos definir un vector unitario i
que apunte en la dirección de eje + x y un vector unitario j que apunte en la dirección de eje +y.
Luego podemos expresar las componentes del vector a de la Fig. 33 como:
ax = ax i
ay = ay j
El vector a en término de sus componentes será: a = ax i + ay j donde los signos = y + indican
igualdad y suma de vectores respectivamente.
Cuando representamos dos vectores a y b en término de sus componentes, podemos expresar la
suma o resultante r utilizando vectores unitarios.
Sean: a = ax i + ay j y b = bx i + by j => r = a + b
r = (ax i + ay j ) + (bx i + by j )
r = (ax + bx) i + (ay + by ) j
r = rx i + ry j
Si los vectores están en el espacio necesitamos una tercera componente. Introduciendo un tercer
vector unitario k en la dirección del eje + z, la forma generalizada de la ecuación anterior es:
Sean: a = ax i + ay j + az k y b = bx i + by j + bz k
r = a + b
- a
b
b
a
a – b
a + b
- b
b - a
a
y
x
ay j
j
i
ax i
Fig.33
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
17
r = (ax i + ay j + az k ) + (bx i + by j + bz k )
r = (ax + bx) i + (ay + by ) j + (az + bz ) k
r = rx i + ry j + rz k
Ejemplo:
1) Dados dos vectores a = 3 i – 2 j y b = 4 i + 5 j;
hallar gráfica y analíticamente la suma o resultante.
r = a + b
r = (3 i – 2 j ) + (4 i + 5 j )
r = ( 3 – 4 ) i + ( - 2 + 5 ) j
r = - i + 3 j
2) Dados 3 vectores en el espacio:
a = 2 i- 3j + k
b = 5 i – 4 j + 2 k
c = - 6 i + 3 j + 4 k
verificar que la suma a + b + c = i – 4 j + 7 k.
PRODUCTO DE VECTORES
Como los vectores no son números ordinarios, no se puede aplicar la regla de la multiplicación de
números. Existen dos tipos de productos de vectores: producto escalar y producto vectorial.
Producto escalar: El producto escalar de dos vectores concurrentes a y b es un escalar que se
obtiene realizando el producto de los módulos de los vectores dados con el coseno del ángulo
comprendido.
a . b = a b cos φ o
donde φ está comprendido entre 0º y 180º.
0º < φ < 180º
Obsérvese que el resultado del producto escalar de dos vectores es un escalar (número), por lo
tanto puede ser positivo, negativo o nulo, dependiendo del valor del ángulo φ .
Si 0º < φ < 90º => a . b es positivo
φ = 90º => a . b es nulo
90º < φ < 180º => a . b es negativo
Propiedades:
El producto escalar de dos vectores es conmutativo. a . b = b . a
El producto escalar es distributivo con respecto a la suma. a .(b + c ) = a . b + a . c
r
a
41 2 3
4
1
2
3
- 4 - 1- 2- 3
- 1
- 2
- 3
- 4
x- x
y
- y
b
a
b
φ
◄
Definición de producto escalar
Fig.34: Resolución gráfica del Ejemplo 1
Fig.35
Importante: El producto escalar
de dos vectores perpendiculares
es siempre nulo.
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
18
Producto escalar de vectores unitarios: Aplicando la definición de producto escalar a los vectores
unitarios i, j y k se obtiene:
i . i = j . j = k . k = 1 1 cos 0º = 1 1 1 = 1
i .j = i . k = j . k = 1 1 cos 90º = 1 1 0 = 0
El producto escalar de un vector unitario consigo mismo es siempre uno, en tanto que el producto
escalar de un vector unitario cualquiera por otro vector unitario perpendicular a él es siempre nulo o
cero.
Para poder calcular el producto escalar a . b cuando se conocen las componentes x, y y z de los
vectores a y b, expandimos el producto y utilizamos los vectores unitarios.
Sean: a = ax i + ay j + az k y b = bx i + by j + bz k
a . b = (ax i + ay j + az k) . (bx i + by j + bz k)
a . b = ax bx i 2
+ ax by i . j + ax bz i . k + ay bx j . i + ay by j 2
+ ay bz j . k + az bx k . i + az by k . j + az
bz k 2
0a . b = ax bx + ay by + az bznnn
El producto escalar de dos vectores es el escalar que se obtiene al suma los productos de sus
respectivas componentes.
Ejemplo: 1) Dados dos vectores a y b, cuyos módulos son 3 y 4 respectivamente y cuyas
direcciones son 58º y 130 º con respecto al eje + x, hallar el producto escalar utilizando: (a) la
definición y (b) sus componentes.
(a) Antes de resolver el producto escalar aplicando la definición, conviene realizar un gráfico para
visualizar el ángulo φ comprendido entre los vectores a y b. Como hemos llamado α al ángulo que
forma el vector a con el eje + x y
β
al que forma el vector b con el eje + x, entonces:
φ =
β
– α = 130º - 58º = 72º
φ = 72º
Luego.
a . b = a . b. cos φ
a . b = 3 . 4 .cos 72º
a . b = 3,70
(b) Para realizar el producto escalar utilizando las
componentes debemos previamente hallar las
◄
Producto escalar en función de las componentes
Datos
a = 3 ; α = 58º
b = 4 ;
β
= 130º
Incógnita
(a) a . b (definición)
(b) a . b (componentes)
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
19
componentes de cada vector. En la Fig. 36 se aprecia
que.
ax = a cos α ay = a sen α
ax = 3 . cos 58º ay = 3 . sen 58º
ax = 1,59 ay = 2,54
bx = b cos α by = b sen
β
bx = 4 cos 130º by = 4 sen 130º
bx = - 2,57 by = 3,06
Finalmente:
a . b = ax bx + ay by
a . b = 1,59 . (-2,57) + 2,54 .
3,06
a . b = 3,70
2) Encontrar el ángulo entre los vectores
a = 3 i – 2 j y b = - i + 2 j.
Calculamos el producto escalar utilizando sus
componentes:
a . b = ax bx + ay by
a . b = ax bx + ay by
a . b = 3 . (- 1) + ( -2 ). 2
a . b = - 7
Luego calculamos el módulo de cada uno de ellos:
a = ax
2
+ ay
2
b = bx
2
+ by
2
a = 32
+ (-2)2
b = (-1)2
+ 22
a = 3,60 b = 2,24
Finalmente despejamos de la definición de producto escalar el ángulo φ :
a . b = a . b . cos φ de donde φ = arcos a . b / a . b
φ = arcos – 7 / (3,60 . 2,24)
φ = 150,23º
Que el ángulo φ tenga un valor de 150,23º (véase Fig. 37) concuerda con lo que dijimos del signo
del producto vectorial, cuando el mismo es negativo el ángulo entre los vectores está comprendido
entre 90º y 180º.
58º
a
b
41 2 3
4
1
2
3
- 4 - 1- 2- 3
- 1
- 2
- 3
- 4
x- x
y
- y
130º
72º
Fig.36
a
b
41 2 3
4
1
2
3
- 4 - 1- 2- 3
- 1
- 2
- 3
- 4
x- x
y
- y
φ
Fig.37
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
20
3) Verificar que el ángulo entre los vectores a = 2 i + 3 j + k y b = - 4 i + 2j – k es φ = 100,08º.
Producto vectorial: El producto vectorial de dos
vectores a y b es otro vector perpendicular al plano
que determinan dichos vectores. La dirección es la
de avance de un tornillo de rosca derecha rotado
desde a hacia b. Y la magnitud o módulo se obtiene
realizando el producto de los módulos de los
vectores dados con el seno del ángulo comprendido
entre ellos.
00a x b = a .b . sen φ 00
Medimos el ángulo φ desde a hacia b y tomamos el menor de los dos ángulos posibles, por lo que φ
está comprendido entre 0º y 180º.
Obsérvese que el resultado de un producto vectorial es un vector, cuyo módulo siempre es
positivo o nulo.
Si a y b son paralelos (del mismo sentido: φ = 0º ó de sentido contrario: φ = 180º) el producto
vectorial es nulo.
Regla de la mano derecha: Siempre has dos
direcciones perpendiculares a un plano, una a cada
lado del plano. Para escoger la dirección del
producto vectorial de dos vectores a y b debemos
colocar la mano derecha de tal modo que el dedo
meñique coincida con la dirección y sentido del
vector a y que los demás dedos puedan rotarse y
cerrarse hacia b. El dedo pulgar extendido indica la
dirección de a x b, tal como indica la Fig.39.
Supóngase dos vectores en el plano de la hoja como indica la Fig.40.
Si aplicamos la regla anterior de manera que la uña del dedo
meñique coincida con la punta de flecha de a y giramos los demás
dedos hacia b, el pulgar quedará perpendicular al plano de la hoja
hacia el lector (para el ejemplo dibujado). Luego a x b es un vector
cuyo módulo es a x b = a .b . sen φ y cuya dirección es
perpendicular al plano de la hoja “saliendo” del papel.
En física a este tipo de vectores perpendiculares al plano de la hoja
“salientes” se los representa por un punto (•) y a los vectores perpendiculares al plano de la hoja
“entrantes” se los representa por una cruz (x). El primero representa la punta de la flecha en tanto
que el segundo indica la cola del vector u origen.
Ejercicio: Dados dos vectores a y b, como muestra la Fig. 41, hallar la dirección y sentido de vector r = a x
b aplicando la regla de la mano derecha.
◄
Definición de producto vectorial
a
b
a x b
φ
a x b
a
bφ
Fig.38
Fig.39
a x b
a
b φ
Fig.40
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
21
Fig.41
Respuestas:
1) es un vector perpendicular al plano entrante. (x)
2) Es un vector que está en plano de la hoja vertical hacia arriba. (↑ )
3) Es un vector perpendicular al plano de la hoja saliente. (•)
4) Es un vector que está en la hoja del papel horizontal hacia la izquierda (← )
5) Es un vector que está en la hoja del papel vertical hacia abajo (↓ )
6) Es un vector perpendicular al plano de la hoja entrante. (x)
7) Es un vector que está en el plano de la hoja, perpendicular al vector a hacia arriba e izquierda. ( )
8) Es un vector perpendicular al plano de la hoja saliente. (•)
Propiedades
El producto vectorial no es conmutativo. a x b ≠ b x a
Siempre se cumple que a x b = - b x a .O sea que si se invierte el orden del producto vectorial, se
obtiene el vector opuesto, es decir aquel que tiene el mismo módulo y dirección, pero sentido
contrario.
El producto vectorial es distributivo con respecto a la suma. a x ( b + c ) = a x b + a x c
Producto vectorial de vectores unitarios: Aplicando la definición de producto vectorial a los
vectores unitarios i, j y k señalados en la Fig.42. se obtiene el módulo:
│
i x i
│
=
│
j x j
│
=
│
k x k
│
= 1. 1. sen 0º = 1. 1. 0 = 0
│
i x j
│
=
│
j x k
│
=
│
k x i
│
= 1. 1. sen 90º = 1 . 1. 1 = 1
Aplicando la regla de la mano derecha tenemos que:
i x j = k ; j x k = i ; k x i = j
Y por lo mencionado en la propiedad no conmutativa:
1 2 3 4
5 6 7 8
b
a
a
b
φ
ba
x
a
b
b x
a
φ
a
b
b
a
φ
z
y
x
j
i
k
Fig.42
a
φ
b
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
22
i x j = - j x i = k
j x k = - k x j = i
k x i = - i x k = j
Para poder calcular el producto vectorial a x b cuando se conocen las componentes x, y y z de los
vectores a y b, expandimos el producto vectorial y utilizamos los vectores unitarios.
Sean: a = ax i + ay j + az k y b = bx i + by j + bz k
a x b = (ax i + ay j + az k) x (bx i + by j + bz k)
a x b = ax i x bx i + ax i x by j + ax i x bz k +
+ ay j x bx i + ay j x by j + ay j x bz k +
+ az k x bx i + az k x byj + az k x bz k
Se aprecia que el 1º, 5º y 9º términos son nulos (i x i = j x j = k x k = 0). Agrupando el 6º y 8º
término obtenemos la primera componente (j x k = - k x j = i), el 7º y 3º nos proporcionan la
segunda (k x i = - i x k = j ) y finalmente el 2º y 4º término determinan la tercer componente (i x j
= - j x i = k)
El producto vectorial también se puede expresar en forma de determinante:
Aplicando la regla de Sarrus (se repiten las dos primeas filas debajo de la tercera fila o las dos
primeras columnas a la derecha de la tercera columna, se suman los tres productos paralelos a la
diagonal principal – línea de punto- y se restan los tres productos paralelos a la contradiagonal –
línea llena-), se puede resolver este determinante de dimensión tres por tres.
a x b = ay bz i + az bx j + ax by k - ay bx k - az by i - ax bz j
◄
Producto vectorial en función
de las componentesa x b = (ay bz - az by ) i + (az bx - ax bz ) j + (ax by - ay bx ) k
a x b =
i j k
ax ay az
bx by bz
i j k
ax ay az
bx by bz
i j k
ax ay az
bx by bz
i j k
ax ay az
i j k i j
ax ay az ax ay
bx by bz bx by
=a x b =
i j k
ax ay az
bx by bz
=
◄
Producto vectorial expresado
como determinante
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
23
a x b = ( ay bz - az by ) i + ( ax bz – ax bz ) j + (ax by - ay bx ) k
Ejemplo: Sean los vectores a = 2 i - j + 3 k y b = - 4 i + 2 j + + k hallar el módulo del vector
que se obtiene al realizar el producto vectorial a x b.
a x b = - i – 12 j + 4 k – ( 4 k +2 j + 6 i )
a x b = - i – 13 j + 4 k – 4 k - 2 j - 6 i
a x b = (- 1 – 6 ) i + (– 13 – 2 ) j + (4 – 4 ) k
a x b = - 7 i – 14 j
|a x b| = (-7)2
+ (-14)2
= 49 + 196 = 15,65
Si quisiéramos verificar este resultado, deberíamos aplicar la definición de producto vectorial, para
lo cual es necesario conocer el ángulo que forman los vectores a y b.
De la definición de producto escalar podemos hallar el ángulo que forman los vectores entre sí, para
lo cual deberemos calcular los módulos de a y b y el producto escalar utilizando las componentes:
a . b = ax bx + ay by + az bz
a . b = (2) . (-4) + (-1) . (2) + (3) . (1)
a . b = - 8 – 2 + 3
a . b = - 7
|a | = (2)2
+ (-1)2
+ (3)2
= 4 + 1 +9 = 3,74
|b | = (-4)2
+ (2)2
+ (1)2
= 16 + 4 +1 = 4,58
a . b = a . b . cos φ de donde φ = arcos a . b / a . b
φ = arcos – 7 / (3,74 . 4,58) = 65,87º 66º
a x b = a . b . sen φ
a x b = 3,74 . 4,58 . sen 66º
a x b = 15,65
a x b =
i j k
2 -1 3
- 4 2 1
= (-1). 1 i + 3 (-4) j + 2 . 2 k - [( -1) (-4) k + 2 .1 j + 2.3 i ]
=~
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
24
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1:
VECTORES
1. Sumar gráficamente los siguientes vectores
a) b) c)
2. Obtén gráficamente: a) 2 u – v ; b ) 1 u + 3 v
2
3. Dados a = 3 i – j ; b = - i + 2 j ; c = 2 i – 3j ; d = - 1/2 i
Repréndalos en la gráfica y calcula:
a) a + b =
b) c – b=
c) (1/2) c =
d) c + 2 d =
e) 3 b + a =
f) a + (1/2) b + 5 d =
u
v
u
v
w
v
u
u
v
41 2 3
4
1
2
3
- 4 - 1- 2- 3
- 1
- 2
- 3
- 4
x- x
y
- y
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
25
4. Dados a, b, c y d en la gráfica, calcula y representa:
a) - ( a + 2 c) =
b) a – b =
c) c - d =
d) b – d + j =
e) - i + d =
5. Representa en la gráfica los vectores: u = 4 i + 3 j v = - i + 4 j
6. Expresa analíticamente los vectores t y r.
7. Calcula el módulo de u; v, t y r. Verifícalo en el gráfico.
8. Calcula
a) u . v =
b) r. w =
c) ¿Qué observas de los resultados a) y b)?
d) ¿Qué deduces de ello? Verifícalo en el gráfico.
9. Calcula el ángulo formado entre: a) v y t ; b) v y r
c) Verifica en el gráfico los resultados anteriores.
Utiliza un transportador.
10.
a) ¿Cómo son los ángulos del ejercicio 9 entre sí?
b) ¿Puedes deducir de estos resultados cuál es el ángulo formado por los vectores r y t?
1
2
1
2
3
2
d
b
c
a
41 2 3
4
1
2
3
- 4 - 1- 2- 3
- 1
- 2
- 3
- 4
x- x
y
- y
r t
82 4 6
8
2
4
6
- 8 - 2- 4- 6
- 2
- 4
- 6
- 8
x- x
y
- y
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
26
TRABAJO PRÁCTICO Nº 2:
VECTORES
1. Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman un ángulo entre ellos de (a) 0º, (b) 60º, (c)
90º, (d) 150º y (e) 180º. Encontrar la magnitud de su resultante y su dirección con respecto al
vector más pequeño.
2. Encontrar el ángulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de longitud cuando su resultante
tiene (a) 20 unidades de longitud, (b) 12 unidades de longitud. Dibujar la figura apropiada.
3. Dos vectores forman un ángulo de 110º. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un
ángulo de 40º con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la
vector suma.
4. El vector resultante de dos vectores tiene 10 unidades de longitud y hace una ángulo de 35º con
uno de los vectores componentes, el cual tiene 12 unidades de longitud. Encontrar la magnitud
del otro vector y el ángulo entre ellos.
5. Encontrar el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante
forma un ángulo de 50º con el vector mayor. Calcular también la magnitud del vector resultante.
6. El vector resultante de dos vectores tiene 30 unidades de longitud y hace ángulos de 25º y 50º
con ellos. Hallar la magnitud de los dos vectores.
7. Dos vectores de 10 y 8 unidades de longitud, forman entre sí un ángulo de (a) 60º, (b) 90º y (c)
120º. Encontrar la magnitud de la diferencia y el ángulo con respecto al vector mayor.
8. Encontrar las componentes rectangulares de un vector de 15 unidades de longitud cuando éste
forma un ángulo con respecto al eje positivo de las x de (a) 50º, (b) 130º, (c) 230º y (d) 310º.
9. Tres vectores situados en un plano, tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El primero y el
segundo forman un ángulo de 50º, mientras que el segundo y tercero forman un ángulo de 75º.
Encontrar la magnitud del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor.
10. Dados cuatro vectores coplanares de 8, 12, 10 y 20 unidades de longitud respectivamente, los
tres últimos hacen con el primer vector ángulos de 70º, 150 y 200º, respectivamente. Encontrar
la magnitud y la dirección del vector resultante.
11. Demostrar que si las magnitudes de la suma y diferencia de dos vectores son iguales, entonces
los vectores son perpendiculares.
12. Verificar que las magnitudes de la suma y diferencia de dos vectores a y b en el espacio,
expresadas en coordenadas rectangulares, están dadas por:
s = (ax + bx) 2
+ (ay + by)2
+(az + bz)2
y d = (ax - bx) 2
+ (ay - by)2
+(az - bz)2
13. Dados los vectores a = 3 i + 4 j – 5 k y b = - i + j +2 k , encontrar: (a) la magnitud y dirección
de la resultante, (b) la diferencia, a – b y (c) el ángulo entre los vectores a y b.
13. Encontrar el resultado de la suma de los siguientes vectores: v1 = 5 i -2 j + z, v2 = -3 i + j – 7 k
y v3 = 4 i + 7 j + 6 k . Obtén la magnitud de la resultante y los ángulos que forma con los ejes
x, y y z.
14. Dados los vectores: v1 = - i + 3 j + 4 z, v2 = 3 i – 2 j – 8 k y v3 = 4 i + 4 j + 4 k .
(a) Determina si hay alguna diferencia entre los productos v1 x (v2 x v3) y (v1 x v2) x v3.
(b) Encontrar v1 . (v2 x v3) y (v1 x v2) . v3 y determina si hay alguna diferencia.
(c) Calcula (v3 x v1) . v2 y compara este resultado con los dos anteriores.
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
27
TRABAJO PRÁCTICO Nº 3: VECTORES
1. Dados los vectores u (-1; 9; 2), v ( 2; 1; -1); w ( 3; 0; 3) efectúa las siguientes operaciones.
a) 2 u – v =
b) 3 v – w =
c) u . (v + w) =
d) 2 – ( w . u ) =
e) (-u) . ( -1/3) w =
Rta: a) ( -4; - 1; 5 ), b) ( 3; 3; -6), c) – 1; d) –1, e) 1
2. Dados los vectores: u (-1; a –b) ; v (-a +2 b ; - 4 ); hallar los valores de las constantes a y b
tal que se cumpla: u – v = (- 2, -2).
Rta: a = -11; b = - 5
3. Dados los vectores u (-2; 4 ) ; v ( - 4 ; 2 ) ; hallar las seis funciones trigonométricas del
ángulo que forma con el eje x el vector: 2 u + v.
4. Sean los vectores u ( 2; - a; b ) ; v ( a+1; -2 ; -b); donde a, b Є R. Hallar los valores de a y b
de manera que se verifiquen - 2 v + u = (-4; 2; - 6).
Rta: a = 2 ; b = - 2
5. Dados los vectores a (4, -3) y b ( -1, 5) hallar (a) el producto escalar a . b , (c) el producto
vectorial a x b y (c) representar a x b.
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
28
TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: VECTORES
1. Considérense dos desplazamientos, uno de 3 m de longitud y otro de 4 m. Demostrar cómo
pueden combinarse estos vectores para obtener un desplazamiento resultante cuya magnitud
sea (a) de 7m, (b) de 1m y (c) de 5 m.
Rta: a) paralelos, b) antiparalelos y c) perpendiculares
2. ¿Qué propiedades tienen los vectores a y b tales que: a) a + b = c y a + b = c, b) a + b = a
– b, c) a + b = c y a2
+ b2
= c2
3. Se suman dos vectores a y b. Demostrar que la magnitud resultante no puede ser mayor que
la suma de a + b, ni menor que
│
a- b
│
, donde las barras verticales significan el valor
absoluto.
4. Un automóvil recorre una distancia de 50 km hacia el este, después 30 km hacia el norte y
finalmente 25 km en una dirección 30º hacia el este del norte. Dibujar el diagrama vectorial
y determinar el desplazamiento total del automóvil a partir de su punto de partida.
5. Un jugador de golf mete su pelota en un hoyo en tres golpes. El primer golpe desplaza la
pelota 12 pie hacia el norte, el segundo 6,0 pies al sureste y el tercero, 3,0 pies al suroeste.
¿Qué desplazamiento sería necesario para meter la pelota en el hoyo al primer golpe?
Rta: 6,0 pies, 20,5º hacia el este del norte
6. El vector a tiene una magnitud de 5,0 unidades y está dirigido hacia el este. El vector b está
dirigido a 45º al oeste del norte (noroeste) y tiene una magnitud de 4,0 unidades. Construir
el diagrama vectorial para calcular: (a) a + b , (b) b- a . Partiendo de los diagramas, estimar
las magnitudes y direcciones de a + b y b – a.
7. Determinar la suma de los vectores de desplazamiento c y d cuyas componentes en
kilómetros a lo largo de tres direcciones mutuamente perpendiculares sean:
cx = 5, cy = 0, cz = 2; dx = 3, dy = 4, dz = 6
Rta: rx = 2 km, ry = rz = 4 km
8. (a) Un hombre sale por la puerta principal de su casa, camina 1000 pies al este, 2000 pies al
norte y saca entonces una moneda de su bolsillo y la deja caer desde un risco vertical que
tiene 500 pies de altura. Escoger un sistema de coordenadas y usando vectores unitarios,
escribir una expresión para el desplazamiento de la moneda. (b) El hombre regresa después
hasta la puerta de su casa, siguiendo una trayectoria diferente en su viaje de vuelta. ¿Cuál es
el desplazamiento resultante en su viaje completo?
9. Dos vectores están dados por a = 4 i + 3 j + k y b = - i + j + 4 k. Encontrar (a) a + b, (b) a –
b y (c) un vector c tal que a – b + c = 0
Rta: a) 3 i – 2 j + 5 k; b) 5 i – 4 j – 3 k ; c) igual que b) pero de signo contrario.
10. Un cuarto tiene las dimensiones siguientes: 10 m x 12m x 14 m. Una mosca vuela desde un
rincón hasta el rincón diametralmente opuesto. (a) ¿Cuál es la magnitud de su
desplazamiento? (b) ¿Puede ser la longitud de su trayectoria menor que esta distancia?
¿Mayor que esta distancia? ¿Igual a esta distancia?; (c) Escoger un sistema de coordenadas
apropiado y encontrar las componentes del vector desplazamiento en dicho referencial.(d) Si
la mosca no volase sino que caminase, ¿Cuál sería la longitud de la trayectoria más corta
que pudiese seguir?
11. Dados los vectores a = 4 i – 3 j y b = 6 i + 8 j; encontrar la magnitud y dirección de a, de b,
de a + b ; de b – a y de a – b .
Rta: Las magnitudes son 5, 10, 11, 11 y 11. Los ángulos con el eje +x son: 323º, 53º, 27º, 80º y 260º.
Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008
29
12. Dos vectores de longitudes a y b forman un ángulo θ
entre sí cuando se colocan sobre el
mismo origen. Demostrar, tomando componentes sobre los ejes perpendiculares, que la
longitud de su suma es :
r = a2
+ b2
+ 2 a b cos θ
13. Dos vectores a y b tienen magnitudes iguales, de 10
unidades y están orientados como se muestra en la
Fig.1. Su suma vectorial es r. Encontrar (a) las
componentes x e y de r; (b) la magnitud de r y (c) el
ángulo que r forma con el eje x.
y
x
b
a
105º
30º
Fig.1

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Fisica serway vol.2 (solucionario)
Fisica   serway vol.2 (solucionario)Fisica   serway vol.2 (solucionario)
Fisica serway vol.2 (solucionario)luxeto
 
Ejercicios resueltos de dependencia e independencia lineal
Ejercicios resueltos de dependencia e independencia linealEjercicios resueltos de dependencia e independencia lineal
Ejercicios resueltos de dependencia e independencia linealalgebra
 
Aplicacion de la integral
Aplicacion de la integralAplicacion de la integral
Aplicacion de la integralRAFA Ortega
 
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferenciales
Solucionario de dennis g zill   ecuaciones diferencialesSolucionario de dennis g zill   ecuaciones diferenciales
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferencialesMateoLeonidez
 
Axiomas de espacios vectoriales
Axiomas de espacios vectorialesAxiomas de espacios vectoriales
Axiomas de espacios vectorialesnktclau
 
Tabla de integrales indefinidas uney
Tabla de integrales indefinidas uneyTabla de integrales indefinidas uney
Tabla de integrales indefinidas uneyJulio Barreto Garcia
 
77535350 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-ondas-electromagneticas-ecuac...
77535350 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-ondas-electromagneticas-ecuac...77535350 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-ondas-electromagneticas-ecuac...
77535350 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-ondas-electromagneticas-ecuac...Jonathan Rivsaide
 
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variablesCurvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variablesDaniel Orozco
 
Folletofsicac1erparcial 100918183753-phpapp02
Folletofsicac1erparcial 100918183753-phpapp02Folletofsicac1erparcial 100918183753-phpapp02
Folletofsicac1erparcial 100918183753-phpapp02ayoyototal123
 
Solucionario ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, dennis g....
Solucionario ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, dennis g....Solucionario ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, dennis g....
Solucionario ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, dennis g....Alfonso Jimenez
 
Resolucion problemas de campo electrico
Resolucion problemas de campo electricoResolucion problemas de campo electrico
Resolucion problemas de campo electricoJosé Miranda
 
Desarrollo de practico n1
Desarrollo de practico n1Desarrollo de practico n1
Desarrollo de practico n1Juan Sepúlveda
 
Solucionario guía 1 unidad i algebra lineal
Solucionario guía 1 unidad  i  algebra linealSolucionario guía 1 unidad  i  algebra lineal
Solucionario guía 1 unidad i algebra linealRafael Beas Rivera
 

La actualidad más candente (20)

Fisica serway vol.2 (solucionario)
Fisica   serway vol.2 (solucionario)Fisica   serway vol.2 (solucionario)
Fisica serway vol.2 (solucionario)
 
Ejercicios resueltos de dependencia e independencia lineal
Ejercicios resueltos de dependencia e independencia linealEjercicios resueltos de dependencia e independencia lineal
Ejercicios resueltos de dependencia e independencia lineal
 
Aplicacion de la integral
Aplicacion de la integralAplicacion de la integral
Aplicacion de la integral
 
Folleto vectores
Folleto vectoresFolleto vectores
Folleto vectores
 
Identidades trigonometricas
Identidades trigonometricasIdentidades trigonometricas
Identidades trigonometricas
 
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferenciales
Solucionario de dennis g zill   ecuaciones diferencialesSolucionario de dennis g zill   ecuaciones diferenciales
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferenciales
 
Axiomas de espacios vectoriales
Axiomas de espacios vectorialesAxiomas de espacios vectoriales
Axiomas de espacios vectoriales
 
Fisica ii guia EJERCICIOS RESUELTOS
Fisica ii guia EJERCICIOS RESUELTOSFisica ii guia EJERCICIOS RESUELTOS
Fisica ii guia EJERCICIOS RESUELTOS
 
Transformada de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
Transformada de Laplace
 
Tabla de integrales indefinidas uney
Tabla de integrales indefinidas uneyTabla de integrales indefinidas uney
Tabla de integrales indefinidas uney
 
77535350 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-ondas-electromagneticas-ecuac...
77535350 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-ondas-electromagneticas-ecuac...77535350 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-ondas-electromagneticas-ecuac...
77535350 fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-ondas-electromagneticas-ecuac...
 
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variablesCurvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables
 
Folletofsicac1erparcial 100918183753-phpapp02
Folletofsicac1erparcial 100918183753-phpapp02Folletofsicac1erparcial 100918183753-phpapp02
Folletofsicac1erparcial 100918183753-phpapp02
 
Solucionario ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, dennis g....
Solucionario ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, dennis g....Solucionario ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, dennis g....
Solucionario ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, dennis g....
 
Resolucion problemas de campo electrico
Resolucion problemas de campo electricoResolucion problemas de campo electrico
Resolucion problemas de campo electrico
 
Fisica preuniversitaria
Fisica preuniversitariaFisica preuniversitaria
Fisica preuniversitaria
 
Ecuacion de clairaut
Ecuacion de clairautEcuacion de clairaut
Ecuacion de clairaut
 
Equilibrio 2 D
Equilibrio 2 DEquilibrio 2 D
Equilibrio 2 D
 
Desarrollo de practico n1
Desarrollo de practico n1Desarrollo de practico n1
Desarrollo de practico n1
 
Solucionario guía 1 unidad i algebra lineal
Solucionario guía 1 unidad  i  algebra linealSolucionario guía 1 unidad  i  algebra lineal
Solucionario guía 1 unidad i algebra lineal
 

Destacado

Destacado (13)

Camtasia studio
Camtasia studio Camtasia studio
Camtasia studio
 
Pyramads
Pyramads  Pyramads
Pyramads
 
Skymood
SkymoodSkymood
Skymood
 
From GameMaker to Game Baker - Porting Hotline Miami
From GameMaker to Game Baker - Porting Hotline MiamiFrom GameMaker to Game Baker - Porting Hotline Miami
From GameMaker to Game Baker - Porting Hotline Miami
 
Factores de prevencion psicosociales
Factores de prevencion psicosocialesFactores de prevencion psicosociales
Factores de prevencion psicosociales
 
Estrategias
EstrategiasEstrategias
Estrategias
 
La ciencia en el siglo xxi
La ciencia en el  siglo xxiLa ciencia en el  siglo xxi
La ciencia en el siglo xxi
 
Corrosión De Materiales
Corrosión De Materiales Corrosión De Materiales
Corrosión De Materiales
 
Ledoux by krishnakanth
Ledoux by krishnakanthLedoux by krishnakanth
Ledoux by krishnakanth
 
Utilizando edmodo
Utilizando edmodoUtilizando edmodo
Utilizando edmodo
 
Rishikesh Jha
Rishikesh JhaRishikesh Jha
Rishikesh Jha
 
report8sem
report8semreport8sem
report8sem
 
Milling machine
Milling machineMilling machine
Milling machine
 

Similar a Vectores

Similar a Vectores (20)

Analisis vectorial
Analisis vectorialAnalisis vectorial
Analisis vectorial
 
U1 s1 magnitudes escalares y vectoriales
U1 s1 magnitudes escalares y vectorialesU1 s1 magnitudes escalares y vectoriales
U1 s1 magnitudes escalares y vectoriales
 
Vectores
VectoresVectores
Vectores
 
G2 vectores
G2 vectoresG2 vectores
G2 vectores
 
Definición de vectores
Definición de vectoresDefinición de vectores
Definición de vectores
 
Analisisvectorial 110616180218-phpapp02
Analisisvectorial 110616180218-phpapp02Analisisvectorial 110616180218-phpapp02
Analisisvectorial 110616180218-phpapp02
 
Vectores
VectoresVectores
Vectores
 
Física Univ..
Física Univ..Física Univ..
Física Univ..
 
Ma270 2011 00_s02_s1
Ma270 2011 00_s02_s1Ma270 2011 00_s02_s1
Ma270 2011 00_s02_s1
 
Vectores
Vectores Vectores
Vectores
 
Análisis vectorial
Análisis vectorialAnálisis vectorial
Análisis vectorial
 
Análisis vectorial
Análisis vectorialAnálisis vectorial
Análisis vectorial
 
Pasos para construir un vector o trazar un vector
Pasos para  construir un vector  o trazar un vectorPasos para  construir un vector  o trazar un vector
Pasos para construir un vector o trazar un vector
 
Pasos para construir un vector o trazar un vector
Pasos para  construir un vector  o trazar un vectorPasos para  construir un vector  o trazar un vector
Pasos para construir un vector o trazar un vector
 
Pasos para construir un vector o trazar un vector
Pasos para  construir un vector  o trazar un vectorPasos para  construir un vector  o trazar un vector
Pasos para construir un vector o trazar un vector
 
3a vectoresfundamentos
3a vectoresfundamentos3a vectoresfundamentos
3a vectoresfundamentos
 
3a vectoresfundamentos
3a vectoresfundamentos3a vectoresfundamentos
3a vectoresfundamentos
 
Pamela blasco teoria electromagnetica
Pamela blasco  teoria electromagneticaPamela blasco  teoria electromagnetica
Pamela blasco teoria electromagnetica
 
Pamela blasco teoria electromagnetica
Pamela blasco  teoria electromagneticaPamela blasco  teoria electromagnetica
Pamela blasco teoria electromagnetica
 
Pamela blasco teoria electromagnetica
Pamela blasco  teoria electromagneticaPamela blasco  teoria electromagnetica
Pamela blasco teoria electromagnetica
 

Último

Anna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdf
Anna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdfAnna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdf
Anna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdfSaraGabrielaPrezPonc
 
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...Unidad de Espiritualidad Eudista
 
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAEL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
 
Presentación del tema: tecnología educativa
Presentación del tema: tecnología educativaPresentación del tema: tecnología educativa
Presentación del tema: tecnología educativaricardoruizaleman
 
Evaluacion Diagnostica Matematica 5to C2 Secundaria Ccesa007.pdf
Evaluacion Diagnostica Matematica 5to  C2 Secundaria Ccesa007.pdfEvaluacion Diagnostica Matematica 5to  C2 Secundaria Ccesa007.pdf
Evaluacion Diagnostica Matematica 5to C2 Secundaria Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023Ivie
 
TECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptx
TECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptxTECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptx
TECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptxFranciscoCruz296518
 
Evaluacion Diagnostica Matematica 5to C1 Secundaria Ccesa007.pdf
Evaluacion Diagnostica Matematica 5to  C1 Secundaria Ccesa007.pdfEvaluacion Diagnostica Matematica 5to  C1 Secundaria Ccesa007.pdf
Evaluacion Diagnostica Matematica 5to C1 Secundaria Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
21 MARZO DIA INTERNACIONAL DOS BOSQUES.pdf
21 MARZO DIA INTERNACIONAL DOS BOSQUES.pdf21 MARZO DIA INTERNACIONAL DOS BOSQUES.pdf
21 MARZO DIA INTERNACIONAL DOS BOSQUES.pdfceeabarcia
 
GUÍA SIANET - Agenda - Tareas - Archivos - Participaciones - Notas.pdf
GUÍA SIANET - Agenda - Tareas - Archivos - Participaciones - Notas.pdfGUÍA SIANET - Agenda - Tareas - Archivos - Participaciones - Notas.pdf
GUÍA SIANET - Agenda - Tareas - Archivos - Participaciones - Notas.pdfNELLYKATTY
 
ficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primaria
ficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primariaficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primaria
ficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primariamichel carlos Capillo Dominguez
 
Recursos Tecnológicos, página AIP-CRT 2 0 2 4.pdf
Recursos Tecnológicos, página  AIP-CRT 2 0 2 4.pdfRecursos Tecnológicos, página  AIP-CRT 2 0 2 4.pdf
Recursos Tecnológicos, página AIP-CRT 2 0 2 4.pdfNELLYKATTY
 
La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..
La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..
La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..La Gatera de la Villa
 
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptxHerbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptxArs Erótica
 
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES MonelosXardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES MonelosAgrela Elvixeo
 
Tecnología educativa en la era actual .pptx
Tecnología educativa en la era actual .pptxTecnología educativa en la era actual .pptx
Tecnología educativa en la era actual .pptxJulioSantin2
 
plan espacios inspiradores para nivel primaria
plan espacios inspiradores para nivel primariaplan espacios inspiradores para nivel primaria
plan espacios inspiradores para nivel primariaElizabeth252489
 
Organizaciones Sociales formales y no formales
Organizaciones Sociales formales y no formalesOrganizaciones Sociales formales y no formales
Organizaciones Sociales formales y no formalesUniversidad del Istmo
 

Último (20)

Anna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdf
Anna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdfAnna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdf
Anna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdf
 
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
 
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAEL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Presentación del tema: tecnología educativa
Presentación del tema: tecnología educativaPresentación del tema: tecnología educativa
Presentación del tema: tecnología educativa
 
Evaluacion Diagnostica Matematica 5to C2 Secundaria Ccesa007.pdf
Evaluacion Diagnostica Matematica 5to  C2 Secundaria Ccesa007.pdfEvaluacion Diagnostica Matematica 5to  C2 Secundaria Ccesa007.pdf
Evaluacion Diagnostica Matematica 5to C2 Secundaria Ccesa007.pdf
 
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
 
Sesión de clase ES: Adoración sin fin...
Sesión de clase ES: Adoración sin fin...Sesión de clase ES: Adoración sin fin...
Sesión de clase ES: Adoración sin fin...
 
TECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptx
TECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptxTECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptx
TECNOLOGÍA EDUCATIVA, USO DE LAS TIC.pptx
 
Evaluacion Diagnostica Matematica 5to C1 Secundaria Ccesa007.pdf
Evaluacion Diagnostica Matematica 5to  C1 Secundaria Ccesa007.pdfEvaluacion Diagnostica Matematica 5to  C1 Secundaria Ccesa007.pdf
Evaluacion Diagnostica Matematica 5to C1 Secundaria Ccesa007.pdf
 
21 MARZO DIA INTERNACIONAL DOS BOSQUES.pdf
21 MARZO DIA INTERNACIONAL DOS BOSQUES.pdf21 MARZO DIA INTERNACIONAL DOS BOSQUES.pdf
21 MARZO DIA INTERNACIONAL DOS BOSQUES.pdf
 
GUÍA SIANET - Agenda - Tareas - Archivos - Participaciones - Notas.pdf
GUÍA SIANET - Agenda - Tareas - Archivos - Participaciones - Notas.pdfGUÍA SIANET - Agenda - Tareas - Archivos - Participaciones - Notas.pdf
GUÍA SIANET - Agenda - Tareas - Archivos - Participaciones - Notas.pdf
 
ficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primaria
ficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primariaficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primaria
ficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primaria
 
Recursos Tecnológicos, página AIP-CRT 2 0 2 4.pdf
Recursos Tecnológicos, página  AIP-CRT 2 0 2 4.pdfRecursos Tecnológicos, página  AIP-CRT 2 0 2 4.pdf
Recursos Tecnológicos, página AIP-CRT 2 0 2 4.pdf
 
VISITA DE ESTUDO À CRUZ VERMELHA _
VISITA DE ESTUDO À CRUZ VERMELHA                   _VISITA DE ESTUDO À CRUZ VERMELHA                   _
VISITA DE ESTUDO À CRUZ VERMELHA _
 
La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..
La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..
La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..
 
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptxHerbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
 
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES MonelosXardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
 
Tecnología educativa en la era actual .pptx
Tecnología educativa en la era actual .pptxTecnología educativa en la era actual .pptx
Tecnología educativa en la era actual .pptx
 
plan espacios inspiradores para nivel primaria
plan espacios inspiradores para nivel primariaplan espacios inspiradores para nivel primaria
plan espacios inspiradores para nivel primaria
 
Organizaciones Sociales formales y no formales
Organizaciones Sociales formales y no formalesOrganizaciones Sociales formales y no formales
Organizaciones Sociales formales y no formales
 

Vectores

  • 1. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 1 VECTORES En física existen cantidades que quedan representadas por un número, estas cantidades adimensionales pueden ser: el aumento de una lente ( M = 3); el coeficiente de fricción cinética (  k= 0,48), la constante dieléctrica de un dieléctrico (k = 5), etc... y se caracterizan por no tener unidades. Otras quedan determinadas por un número y una unidad, estas cantidades se llaman cantidades escalares. Son ejemplos de cantidades escalares la masa ( m = 5,8 kg), la longitud (l = 3 cm), la energía cinética (Ek = 34 J), el tiempo (t = 5 s), la temperatura (T = 36º C), etc. Y finalmente hay cantidades llamadas cantidades vectoriales, tales como la velocidad (v = 59 km/h), las fuerzas (F = 7 N), la aceleración ( a = 76 m/s2 ), entre otras que necesitan un vector para poder representarse correctamente. Un vector es un segmento orientado que posee módulo, dirección y sentido. El módulo de un vector es la magnitud escalar que representa la longitud del vector. La dirección está dada por la recta sobre la cual se puede desplazar el vector y que contiene al vector y el sentido es hacia “donde”se puede desplazar. Para nombrar a un vector se utilizan letras mayúsculas o minúsculas, según el autor que se consulte. Nosotros adoptamos el criterio de designarlos con letras minúsculas. Cuando se escribe en forma manuscrita se suele anotar sobre la letra una flecha o una raya ( → y/o -) para representar al vector (ā) y cuando se hace con un procesador de texto lo más usual es escribirlo con negrita (a). Ambas notaciones se leen “el vector a”. De ahora en más, toda vez que encontremos una negrita, nos estaremos refiriendo a un vector. En la Fig.1 se aprecian dos vectores con el mismo módulo (obsérvese que todos tienen la misma longitud), no obstante las direcciones de a y b son respectivamente: horizontal y vertical, en tanto que el sentido de los mismos es derecha y arriba. Al dibujar diagramas con vectores, normalmente usamos una escala similar a la de los mapas, en la que el módulo del vector es proporcional a la magnitud vectorial que representa. Por ejemplo en un diagrama podríamos representar una fuerza de 3 N con un vector de 1 cm, entonces un vector de 4 cm representaría una fuerza de 12 N. Por definición, el módulo o norma de un vector es siempre positivo. La manera más frecuente para representar el módulo de un vector es son las barras verticales ( | ) que encierran a la letra, de tal manera que la escritura | a | se lee módulo de a. Llamaremos origen al extremo del segmento que no es la punta de flecha, en la Fig.2 es el punto O. a b Fig.1 Fig.2 aO
  • 2. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 2 Igualdad de vectores: dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido, sea cual sea su ubicación en el espacio. Fig.3 Opuesto de un vector: definimos el opuesto de un vector, como el vector que tiene el mismo módulo y dirección, pero sentido contrario. Utilizamos la notación – a para referirnos al opuesto del vector a. Fig.4 Vectores concurrentes: dos o más vectores son concurrentes cuando tienen el mismo origen. Los vectores a, b y c de la Fig.5 son concurrentes porque tienen el mismo origen O. Fig.5 OPERACIONES CON VECTORES Multiplicación de un escalar por un vector: el producto de un escalar por un vector es otro vector de la misma dirección, cuyo módulo se obtiene de multiplicar el escalar por el módulo del vector dado y cuyo sentido es igual al del vector si el escalar es positivo y de sentido contrario si el escalar es negativo. En la Fig.6 se aprecia que dado un vector cualquiera a, el vector 2.a es otro de la misma dirección y sentido al dado, cuyo módulo es el doble. El vector – 3.a es otro vector de la misma dirección, de sentido contrario y cuyo módulo es el triplo del módulo del vector a. Ahora podemos afirmar que el opuesto de un vector se obtiene de multiplicar por el escalar menos uno al vector cuyo opuesto se quiere hallar. Simbólicamente: – a = - 1. a = - a SUMA DE VECTORES A) Suma de vectores colineales A.1: Suma de vectores colineales del mismo sentido: la suma de dos vectores colineales del mismo sentido es otro vector colineal a los dados, del mismo sentido y cuyo módulo es la suma de los módulos de los vectores dados. a b - aa O c b a a 2 . a - 3 . a Fig.6
  • 3. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 3 En la Fig,.7 se aprecia que la suma de los vectores colineales del mismo sentido a y b es otro vector c, colineal a los dados, del mismo sentido y cuyo módulo es la suma de los módulos dados. Ejemplo: Un auto que ha estado detenido por más de una semana se queda sin batería. El acompañanate y un observador solidario deciden empujarlo. El primero realiza una fuerza de 5 N y el segundo de 7 N. ¿Cuál es la fuerza total que realizan entre ambos para empujarlo? F1 = 5 N Datos Incógnita R? F2 = 7 N Como las fuerzas son colineales del mismo sentido, para calcular el módulo de la fuerza resultante debemos sumar los módulos de las fuerzas dadas: R = F1 + F2 | R | = |F1|+ |F2| | R | = 5 N + 7 N | R | = 12 N0 Rta: la fuerza que realizan entre ambos es resultante o suma de las fuerzas realizadas por ambos. La resultante tendrá un módulo de 12 N, una dirección paralela a las fuerzas dadas y el mimo sentido que las fuerzas F1 y/o F2. A.2: Suma de vectores colineales de distinto sentido: la suma de dos vectores colineales de distinto sentido es otro vector de la misma dirección a las dadas, cuyo módulo es la diferencia entre los módulos dados y cuyo sentido es igual al sentido del vector de mayor módulo. En la Fig. 9 se observa que la suma de los vectores colineales de distinto sentido a y b, siendo el módulo de a mayor que el módulo de b, es otro vector c, colineal a los dados, del sentido de a y cuyo módulo es la diferencia de módulos entre a y b. Ejemplo: En una competencia inter – tribu el profesor de Educación Física organiza el juego de la cinchada. El grupo de “Los rojos” realiza una fuerza de 3 N hacia el este, en tanto que el denominado “Los azules” pueden realizar una fuerza de 5 N hacia el oeste. ¿Qué equipo gana la competencia? ¿Cuál es la fuerza resultante de este torneo? Fr = 3 N ganador? Datos Incógnitas Fa = 5 N R? a b c = a + b Fig.7 R = 12 N F2 = 7 N F1 = 5 N c = a + bba Fig.9 Fig.8
  • 4. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 4 Si llamamos Fr a la fuerza que realizan el equipo “rojo” y Fa a la fuerza que realizan el equipo “azul”, tendremos un gráfico de fuerzas como el realizado en la Fig.10. Fig.10 Es evidente que la fuerza resultante será una fuerza de igual dirección a las dadas, cuyo módulo lo obtenemos restando los módulos dados (al mayor el menor) y cuya dirección será igual al sentido de la fuerza mayor como muestra la Fig.11. R = Fr + Fa | R | = |Fa|- |Fr| | R | = 5 N - 3 N = | R | = 2 N0 La dirección será este – oeste y el sentido hacia el este. Rta: el torneo lo ganará el equipo “azul” y la fuerza resultante tiene un valor de 2 N hacia el oeste. B: Suma de vectores no colineales: B1: No concurrentes: la suma de dos o más vectores no concurrentes es nuevo vector cuyo módulo es la suma vectorial de los módulos dados y cuya dirección y sentido se pueden obtener gráficamente por el método de la poligonal. Método de la poligonal: Sea sumar los vectores a, b y c dados. Para realizar la suma gráficamente se dibuja a continuación del extremo del vector a el vector b y a continuación del extremo de b el vector c. Finalmente se une el origen de a con el extremo del último vector c y se obtiene el vector suma. Fig.12 B2: Concurrentes: la suma de dos o más vectores concurrentes es otro vector concurrente cuyo módulo, dirección y sentido se obtiene gráficamente por el método del paralelogramo o de la pologonal. Método del paralelogramo: Sea sumar los vectores a, b y c dados. Primero realizamos la suma vectorial de a y b, para ello trazamos una recta paralela a a por el extremo de b y luego una recta paralela a b por el extremo de a. Uniendo el origen con el punto de intersección hallado, tenemos el vector a + b. Para sumar a este vector el vector c se procede de la misma manera, por el extremo de a + b trazamos una recta paralela al vector c y por el extremo de c una recta paralela al vector a + b. Uniendo el origen con el punto donde dichas rectas se interceptan obtenemos el vector suma s = a + b + c. Fa Fr soga O E S N a b c a b c s = a + b + c Fa Fr R Fig.11
  • 5. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 5 Fig.13 Método de la poligonal: A continuación del extremo de primer vector a se dibuja el segundo vector b y a continuación del extremo de este vector el tercer vector c. El vector resultante o suma se obtiene al unir el origen del primer vector a con el extremo del último vector. Erro! Fig.14 Advertencia: cuidado cuando se suman vectores, el error más usual que suelen cometer los que se inician en este tema es querer sumar directamente los módulos de los vectores dados sin tener en cuanta la dirección y el sentido. Esta suma de módulos es correcta sólo si los vectores son colinelaes del mismo sentido, si son de sentido contrario, el módulo es la diferencia de los módulos dados y si son vectores con diferentes direcciones se debe emplear gráficamente cualquiera de los métodos descriptos de la poligonal o del paralelogramo. Más adelante analizaremos la suma analítica de vectores. c b a s = (a + b) + c c b a a + b c b a s = a + b + c c b a
  • 6. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 6 Propiedades de la suma de vectores: • La suma de vectores es conmutativa. a + b = b + a • La suma de vectores es asociativa. a + (b + c ) = (a + b) + c Componentes de un vector: Hasta aquí hemos desarrollado conceptualmente los métodos gráficos que pueden ser inexactos y/o que sólo funcionan para casos particulares descriptos en dos dimensiones. Sin embargo existen métodos analíticos más precisos que utilizan el concepto de componentes de un vector que son más generales, exactos y extensibles a tres dimensiones (el espacio). Un vector puede tener un conjunto de componente si el sistema de coordenadas es rectangulares o no. Aunque en general, tanto en matemática como en física, el sistema de coordenadas que se utiliza es el cartesiano rectangular. En el caso bidimensional, que se trabaja en el plano, dichos ejes son x e y perpendiculares entre sí; si fuera tridimensional el sistema cartesiano es el formado por los ejes x, y y z, todos perpendiculares entre sí. Elegimos por conveniencia un vector cuyo origen coincida con el origen de coordenadas, aunque un vector puede, moverse por todo el espacio en tanto no varíen su módulo, dirección y sentido. En el gráfico, Fig. 15, se aprecia que las componentes del vector a en este plano elegido son: donde θ es el ángulo medido desde el semieje positivo de las x hacia el semieje positivo de las y o sea el ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj. Diremos entonces que las componentes de un vector son aquellas que se pueden obtener conociendo el módulo del vector y el ángulo que forma con algunos de los ejes de coordenadas elegidos. Ejemplo: Sea un vector a = 5 m/s2 y el ángulo θ que forma con el semieje positivo de 30º, hallar sus componentes. ax = a cos θ = 5 m/s2 cos 30º = 4,33 m/s2 => ax =4,33 m/s2 ay = a sen θ = 5 m/s2 sen 30º = 2,5 m/s2 => ay = 2,5 m/s2 Advertencia: téngase mucho cuidado con las expresiones anteriores, sólo son válidas cuando el ángulo θ es el ángulo que forma el vector con el semieje positivo de las x en sentido contrario al de las agujas del reloj. Una vez que se decompuesto un vector en sus componentes, estas mismas componentes pueden usarse para especificar al vector. - x x a θ ay ax - y y ax = a cos θ ay = a sen θ ◄ Componentes de un vector Fig.15
  • 7. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 7 Así en e ejemplo dado, las componentes son perpendiculares entre sí, si desplazamos la componente ax o ay al extremo del vector nos queda determinado un triángulo rectángulo cuyos catetos son los módulos de ax y de ay y cuya hipotenusa es el módulo de a. Aplicando el teorema de Pitágoras: 0 a = ax 2 + ay 2 0 y según la definición de tangente estudiada en trigonometría: o θ = arctg ay / ax 0 En el ejemplo dado obtendríamos: a = ax 2 + ay 2 = (4,33 m/s2 )2 + ( 2,5 m/s2 )2 = 5 m/s2 => a = 5 m/s2 θ = arctg ay / ax = arctg 2,5 m/s2 / 4,33 m/s2 = 30 º => θ = 30 º Podemos entonces pasar, en uno u otro sentido, de la descripción de un vector en término de sus componentes ax y ay a la descripción equivalente en términos del módulo de a y de la dirección del ángulo θ . Advertencia: La ecuación θ = arctg ay / ax tiene una pequeña complicación para encontrar θ . Supongamos que los módulos de ax y de ay son respectivamente: ax = 5 cm y de ay = - 5 cm, entonces la tg θ = - 1. Pero hay dos ángulos cuyas tangentes toman el valor -1: 135º y 315º (ó θ = – 45º). En general dos ángulos que difieren en 180º tienen la misma tangente. Para decidir cuál es el correcto, analizamos las componentes. Como ax es positivo y ay es negativo, el ángulo debe estar en el cuarto cuadrante. Así que θ = 315º ó – 45º como nos indican la mayoría de las calculadoras. El signo menos del 45º nos está indicando que el ángulo se genera en el mismo sentido de las agujas del reloj. Si bien son equivalentes, según nuestra convención debemos tomar el valor del ángulo correcto como 315º (recuérdese que dijimos que se generaba desde el eje +x al +y en sentido contrario al del las agujas del reloj). θ ay ax a ax = 5 cm ay = - 5 cm a - 45º + 315º- x x - y y ◄ Módulo del vector ◄ Angulo que forma el vector con el eje x Fig.16 Fig.17
  • 8. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 8 Cada vez que dude sobre el ángulo recurra a un gráfico cartesiano como el que se muestra en la Fig 18 y recuerde el signo de las componentes en cada uno de ellos. Entre paréntesis se han indicado los signos de las componentes en x y de la componente en y respectivamente. O utilice la siguiente tabla: Ejercicios: 1) Dado un vector de 6 cm e módulo que forma un ángulo de 70º con el eje positivo de las x, verificar analíticamente que las componentes son: ax = 2,05 cm y ay = 5,64cm. Graficar a escala. 2) Dadas las componentes ax = - 3 cm y ay = + 4 c, verificar que el módulo del vector a = 5 cm y que el ángulo que forma con el eje positivo de las x es 53,13º. Graficar a escala. Cuando el ángulo que se conoce no es el que forma con el eje + x en el sentido antihorario, tenemos dos opciones:1) calcular el ángulo con el semieje positivo de las x o 2) utilizar las funciones trigonométricas seno o coseno según corresponda. Por ejemplo en el gráfico, Fig.19, vemos que el ángulo α es el que forma el vector a con el eje + y ; y β es el ángulo que forma el vector b con el eje +x (pero en sentido horario). Supongamos que sus valores son: α = 28º y β = - 35º y que los módulos de los vectores son a = 2 cm y b = 2,2 cm. Un procedimiento es calcular el valor de α ´ como : α ´ = 90º + α Con lo cual estamos en condiciones de calcular las componentes de a: ax = a cos α ´ = a cos (90º + α ´) = 2 cm cos (90º + 28º) = 2 cm cos118º ax = - 0,94 cm ay = a sen α ´ = a sen (90º + α ´) = 2 cm sen(90º + 28º) = 2 cm sen 118º ay = 1,77 cm Otra manera de calcular las componentes de a es trabajar directamente con el ángulo α dado. En ese caso las expresiones serán: ax = - a sen α = - 2 cm sen 28º = 0,94 cm ay = a cos α = 2 cm cos 28º = 1,77 cm Cuadrante ax ay I + + II - + III - - IV + - (+, +) - x x - y y (-, +) (-, +) (+, -) by bx a ay ax α y - y β b - x x Fig.18 Fig.19
  • 9. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 9 Haciendo lo mismo con β , obtenemos β ´ = 360º - | - 35 º| = 360º - 35º = 325º Luego: bx = b cos β ´ = 2,2 cm cos 325º bx = 1,8 cm by = b sen β ´ = 2,2 cm sen 325º by == - 1,26 cm Si trabajamos directamente con el valor absoluto del ángulo β , las expresiones serán: bx = b cos β = - 2,2 cm cos 35º = 1,8 cm by = - b sen β = - 2,2 cm sen 35º = - 1,26 cm La regla mnemotécnica para recordar el segundo de los procedimientos es primero observar si al realizar la proyección hacia los ejes coordenados será positiva o negativa y colocar el signo que corresponda. Luego utilizar la función coseno del ángulo dato si se “barre” el ángulo para llegar desde el vector al eje y la función seno del ángulo en caso contrario. Con esta regla las componentes de los vectores a y b de la Fig.20 se obtienen como: ax = + a sen β y ay = + a cos β bx = - b cos α y by = - b sen α Utilización de las componentes: Las componentes de un vector son de mucha utilidad para resolver analíticamente las suma de vectores. Dados dos vectores a y b cuyas componentes son: ax = a cos α , ay = a sen α , bx = b cos β y by = b sen β como se muestra en la Fig. 21 nos proponemos hallar su suma o vector resultante r. r = a + b Obsérvese que los ángulos α y β son los que forman cada uno de los vectores con el eje semi-positivo de las x. y x b α - y β a - x Fig.20 β b y a xα by bx ay ax Fig.21
  • 10. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 10 Hemos visto que el método de la poligonal permitía desplazar vectores en espacio, siempre y cuando no se varíe su módulo, dirección y sentido. Realizando un nuevo gráfico, Fig 22; se aprecia que las componentes del vector resultante son: rx = ax + bx ry = ay + by Su módulo es: r = rx 2 + ry 2 y el ángulo que forma con el eje x es: θ = arctg ry / rx Fig.22 Si bien en el ejemplo hemos sumado sólo dos vectores en el plano, es fácil realizar la extensión para tres o más vectores en el plano, en cuyo caso las componentes del vector resultante serán: rx = ax + bx + cx + dx + ….. ry = ay + by + cx + dx + ….. Su módulo es: r = rx 2 + ry 2 y el ángulo que forma con el eje x es: θ = arctg ry / rx Si nuestro vector está en el espacio se necesitan dos ángulos para determinar la dirección. Si llamamos θ al que forma el plano xOz con el plano zOa y δ al que forma el eje Oz con Oa. El modulo estará dado por la expresión: a = ax 2 + ay 2 + az 2 Fig.23 z θ δ O a y x y r bx b a by ay β α ax x y ry r θ rx x ◄ Componentes del vector suma ◄ Módulo del vector suma ◄ Ángulo del vector suma
  • 11. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 11 Finalmente si se conocen los módulos de dos vectores y el ángulo comprendido entre ellos, es posible sumarlos, con el método de la poligonal como se muestra en la Fig.24. En el triángulo rectángulo ACD se aprecia que: AD = AB + BD = v1 + v2 cos θ y DC = v2 sen θ Aplicando el teorema de Pitágoras podemos calcular el valor de la hipotenusa v: v2 = (v1 + v2 cos θ )2 + (v2 sen θ )2 v2 = v1 2 +2 v1 v2 cos θ + v2 2 cos2 θ + v2 2 sen2 θ v 2 = v1 2 +2 v1 v2 cos θ + v2 2 (cos2 θ + sen2 θ ) v = v1 2 + v2 2 + 2 v1 v2 cos θ Para determinar la dirección de v, necesitamos solamente conocer el ángulo α . En la Fig 24 puede observar que en los triángulos ACD y BDC se cumplen las siguientes relaciones: ACD => CD = AC sen α = v sen α BDC => CD = BC sen θ = v2 sen θ Por lo tanto: v sen α = v2 sen θ de donde Análogamente, BE = v1 sen α = v2 sen β de donde Combinando ambas expresiones, obtenemos la relación simétrica para calcular α y/o β . v sen θ v2 sen α = v1 sen β v2 sen α = v2 sen α = v sen θ v1 sen β = v2 sen θ E v v2 v1 β θ α A B C D v2 v1 θ Fig.24 v2 cos θ
  • 12. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 12 Para el caso particular de dos vectores perpendiculares entre sí, las expresiones anteriores se reducen a las ya vistas: v = v1 2 + v2 2 α = arctg v2 /v1 Fig.25 En física muchos problemas de cinemática, estática, dinámica de la partícula se resulten utilizando la suma de vectores. Ejemplos: 1) Tres fuerzas F1, F2 y F3 se aplican a un cuerpo como muestra la Fig. 26. Hallar la fuerza resultante (o suma) e indicar la dirección y sentido si sus módulos son F1 = 9 N, F2 = 4 N y F3 = 5 N. Para hallar el módulo de la resultante debemos aplicar la fórmula: R = Rx 2 + Ry 2 Lo cual nos lleva a calcular por separado las componentes en x y en y de la fuerza resultante: Rx = F1 cos 30º - F2 cos 50º - F3 sen 48º Rx = 9 N cos 30º - 4 N cos 50º -5 N sen 48º Rx = 7,794 N – 2,571 N – 3,715 N Rx = 1,5 N Ry = F1 sen 30º + F2 sen 50º - F3 cos48º Ry = 9 N sen 30º + 4 N sen 50º - 5 N cos48º Ry = 4,5 N + 3,064 N – 3,346 N Ry = 4,22 N R = Rx 2 + Ry 2 = ( 1,5 N )2 + ( 4,22 N )2 0 R = 4,48 N0 Finalmente, calculamos la dirección y sentido, sabiendo que como las componentes x e y son positivas, el ángulo hallado deberá estar en el primer cuadrante: θ = arctg Ry / Rx = arctg (4,22/ 1,5) 0θ = 70,43º0 Rta: La fuerza resultante tiene un módulo de 4,48 N y el ángulo que forma con el semieje positivo de las x es de 70,43º. - y - x 48º y F2 30º x50º F3 F - y - x 48º y F2 30º x50º F3 F v1 v2 θ v2 v1 α v Fig.26
  • 13. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 13 2) Un bote a motor se dirige hacia el norte a 13,5 km/h en un lugar donde la corriente del agua o de arrastres es de 4,5 km/h en la dirección S 50º E. Encontrar la velocidad resultante. Primera resolución: Representando gráficamente la situación planteada, llamando vb a la velocidad del bote y vc a la velocidad de la corriente o de arrastre por el método del paralelogramo podemos encontrar la resultante v. Analíticamente podemos expresar: v = vb + vc donde el módulo es: v = vb 2 + vc 2 + 2 vb vc cos θ v = (13,5 km/h)2 + (4,5 km/h)2 + 2 . 13,5 km/h . 4,5 km/h cos140º v = 10,53 km/h v 10,5 km/h y la dirección será: => sen β = sen β = (4,5 km/h . sen 140º ) : 10,53 km/h sen β = 0,275 β = 15,94º β 16º Rta: la velocidad resultante será de 10,5 km/h en la dirección N 16º E S N θ O E v vc vb =~ vc sen θ v v sen θ Vc sen β = β v vcvb =~ Fig.27
  • 14. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 14 Segunda resolución: También podríamos haber optado por trabajar con las componentes de cada velocidad, en cuyo caso la solución analítica hubiera sido: v = vb + vc vx = + vc cos 50º vx = 4,5 km/h cos 50º vx = 2,893 km/h vy = vb – vc sen 50º vy = 13,5 km/h – 4,5 km/h sen 50º vy = 10,053 km/h v2 = vx 2 + vy 2 v2 = (2,893km/h)2 + (10,053 km/h)2 v = 10,46 km/h v 10,5 km/h El ángulo que forma la velocidad resultante con el eje + x (Este) será: α = arctg vy / vx = arctg 10,053 / 2,893 = 73,94º ~ 74º α = 74º Por lo tanto la dirección será: β = 90º - 74º = 16 º con respecto al eje y (Norte) Rta: la velocidad resultante será de 10,5 km/h en la dirección N 16º E como ya habíamos obtenido con el procedimiento anterior. 3) Una lámpara que pesa 10 N cuelga del techo mediante dos cuerdas que forman 35º y 50º con el mismo como muestra la Fig. 29 ¿Qué tensión soporta cada cuerda? Para resolver este problema debemos dibujar un diagrama del cuerpo libre, que es un modelo simplificado de la situación problemática. Trazamos un sistema de ejes coordenados en el punto donde concurren las dos cuerdas y el cable que sostiene la lámpara y dibujamos las fuerzas que están actuando: dos tensiones (en las cuerdas) y el peso (en el cable) como indica la Fig.30. Si la lámpara está en equilibrio se debe cumplir que la suma de todas las fuerzas sea nula. Es decir: ∑Fx = 0 ∑Fy = 0 50º35º =~ =~ =~ -y y 50º -x x v vc vb α Fig.28 Fig.29
  • 15. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 15 Desarrollando cada una de estas expresiones obtenemos: T1 cos 50º - T2 cos 35º = 0 (i) T1 sen 50 + T2 sen 35º - w = 0 (ii) Obsérvese que tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (T1 y T2). Para resolverlo podemos despejar T1 de la expresión (i) y sustituirla en (ii): T1 = T2 cos 35º (iii) cos 50º T2 cos 35º sen 50º + T2 sen 35º - w = 0 cos 50º En el primer término vemos que el cociente entre sen 50º y cos 50º se puede sustituir por tg 50º: T2 tg 50º cos35º + T2 sen 35º - w = 0 T2 ( tg 50º cos35º + T2 sen 35º ) = w T2 = w : ( tg 50º cos35º + T2 sen 35º ) T2 = 10 N : ( tg 50º cos35º + T2 sen 35º ) oT2 = 6,45 N0 Finalmente sustituyendo este valor en (iii), calculamos el valor de T1: T1 = (6,45 N . cos 35º) : cos 50º 0T1 = 8,22 N 0 Rta: La tensión que soporta cada una de las cuerdas es 8,22 N y 6,45 N respectivamente. DIFERENCIA DE VECTORES La diferencia de dos vectores a y b es otro vector que se obtiene de sumar a a el opuesto de b. En símbolos: a – b = a + (-b) Para resolver gráficamente la diferencia entre dos vectores se debe saber, tal como en la aritmética ordinaria, que cantidad deber ser sustraída de otra. Luego por el extremo libre del primer vector (minuendo) se traslada el opuesto del segundo (sustraendo). Uniendo el origen del primero con el extremo libre del segundo se obtiene el vector diferencia como muestra la Fig. 31. - y - x y F2 50º x35º w T1 Fig.30 y b a x a – b - b - b Fig.31
  • 16. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 16 Propiedades de la diferencia de vectores La diferencia de vectores no es conmutativa. a – b ≠ b – a La diferencia entre a y b es igual al opuesto de la diferencia entre b y a. a – b = - (b – a ) En la Fig.32 se muestra la suma de dos vectores y las propiedades mencionadas precedentemente. Fig. 32 Vectores unitarios: Un vector unitario es un vector con módulo uno. Su única función es “señalar” la dirección y sentido. Los vectores unitarios son una notación cómoda para las expresiones que contienen las componentes de los vectores. En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares x e y podemos definir un vector unitario i que apunte en la dirección de eje + x y un vector unitario j que apunte en la dirección de eje +y. Luego podemos expresar las componentes del vector a de la Fig. 33 como: ax = ax i ay = ay j El vector a en término de sus componentes será: a = ax i + ay j donde los signos = y + indican igualdad y suma de vectores respectivamente. Cuando representamos dos vectores a y b en término de sus componentes, podemos expresar la suma o resultante r utilizando vectores unitarios. Sean: a = ax i + ay j y b = bx i + by j => r = a + b r = (ax i + ay j ) + (bx i + by j ) r = (ax + bx) i + (ay + by ) j r = rx i + ry j Si los vectores están en el espacio necesitamos una tercera componente. Introduciendo un tercer vector unitario k en la dirección del eje + z, la forma generalizada de la ecuación anterior es: Sean: a = ax i + ay j + az k y b = bx i + by j + bz k r = a + b - a b b a a – b a + b - b b - a a y x ay j j i ax i Fig.33
  • 17. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 17 r = (ax i + ay j + az k ) + (bx i + by j + bz k ) r = (ax + bx) i + (ay + by ) j + (az + bz ) k r = rx i + ry j + rz k Ejemplo: 1) Dados dos vectores a = 3 i – 2 j y b = 4 i + 5 j; hallar gráfica y analíticamente la suma o resultante. r = a + b r = (3 i – 2 j ) + (4 i + 5 j ) r = ( 3 – 4 ) i + ( - 2 + 5 ) j r = - i + 3 j 2) Dados 3 vectores en el espacio: a = 2 i- 3j + k b = 5 i – 4 j + 2 k c = - 6 i + 3 j + 4 k verificar que la suma a + b + c = i – 4 j + 7 k. PRODUCTO DE VECTORES Como los vectores no son números ordinarios, no se puede aplicar la regla de la multiplicación de números. Existen dos tipos de productos de vectores: producto escalar y producto vectorial. Producto escalar: El producto escalar de dos vectores concurrentes a y b es un escalar que se obtiene realizando el producto de los módulos de los vectores dados con el coseno del ángulo comprendido. a . b = a b cos φ o donde φ está comprendido entre 0º y 180º. 0º < φ < 180º Obsérvese que el resultado del producto escalar de dos vectores es un escalar (número), por lo tanto puede ser positivo, negativo o nulo, dependiendo del valor del ángulo φ . Si 0º < φ < 90º => a . b es positivo φ = 90º => a . b es nulo 90º < φ < 180º => a . b es negativo Propiedades: El producto escalar de dos vectores es conmutativo. a . b = b . a El producto escalar es distributivo con respecto a la suma. a .(b + c ) = a . b + a . c r a 41 2 3 4 1 2 3 - 4 - 1- 2- 3 - 1 - 2 - 3 - 4 x- x y - y b a b φ ◄ Definición de producto escalar Fig.34: Resolución gráfica del Ejemplo 1 Fig.35 Importante: El producto escalar de dos vectores perpendiculares es siempre nulo.
  • 18. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 18 Producto escalar de vectores unitarios: Aplicando la definición de producto escalar a los vectores unitarios i, j y k se obtiene: i . i = j . j = k . k = 1 1 cos 0º = 1 1 1 = 1 i .j = i . k = j . k = 1 1 cos 90º = 1 1 0 = 0 El producto escalar de un vector unitario consigo mismo es siempre uno, en tanto que el producto escalar de un vector unitario cualquiera por otro vector unitario perpendicular a él es siempre nulo o cero. Para poder calcular el producto escalar a . b cuando se conocen las componentes x, y y z de los vectores a y b, expandimos el producto y utilizamos los vectores unitarios. Sean: a = ax i + ay j + az k y b = bx i + by j + bz k a . b = (ax i + ay j + az k) . (bx i + by j + bz k) a . b = ax bx i 2 + ax by i . j + ax bz i . k + ay bx j . i + ay by j 2 + ay bz j . k + az bx k . i + az by k . j + az bz k 2 0a . b = ax bx + ay by + az bznnn El producto escalar de dos vectores es el escalar que se obtiene al suma los productos de sus respectivas componentes. Ejemplo: 1) Dados dos vectores a y b, cuyos módulos son 3 y 4 respectivamente y cuyas direcciones son 58º y 130 º con respecto al eje + x, hallar el producto escalar utilizando: (a) la definición y (b) sus componentes. (a) Antes de resolver el producto escalar aplicando la definición, conviene realizar un gráfico para visualizar el ángulo φ comprendido entre los vectores a y b. Como hemos llamado α al ángulo que forma el vector a con el eje + x y β al que forma el vector b con el eje + x, entonces: φ = β – α = 130º - 58º = 72º φ = 72º Luego. a . b = a . b. cos φ a . b = 3 . 4 .cos 72º a . b = 3,70 (b) Para realizar el producto escalar utilizando las componentes debemos previamente hallar las ◄ Producto escalar en función de las componentes Datos a = 3 ; α = 58º b = 4 ; β = 130º Incógnita (a) a . b (definición) (b) a . b (componentes)
  • 19. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 19 componentes de cada vector. En la Fig. 36 se aprecia que. ax = a cos α ay = a sen α ax = 3 . cos 58º ay = 3 . sen 58º ax = 1,59 ay = 2,54 bx = b cos α by = b sen β bx = 4 cos 130º by = 4 sen 130º bx = - 2,57 by = 3,06 Finalmente: a . b = ax bx + ay by a . b = 1,59 . (-2,57) + 2,54 . 3,06 a . b = 3,70 2) Encontrar el ángulo entre los vectores a = 3 i – 2 j y b = - i + 2 j. Calculamos el producto escalar utilizando sus componentes: a . b = ax bx + ay by a . b = ax bx + ay by a . b = 3 . (- 1) + ( -2 ). 2 a . b = - 7 Luego calculamos el módulo de cada uno de ellos: a = ax 2 + ay 2 b = bx 2 + by 2 a = 32 + (-2)2 b = (-1)2 + 22 a = 3,60 b = 2,24 Finalmente despejamos de la definición de producto escalar el ángulo φ : a . b = a . b . cos φ de donde φ = arcos a . b / a . b φ = arcos – 7 / (3,60 . 2,24) φ = 150,23º Que el ángulo φ tenga un valor de 150,23º (véase Fig. 37) concuerda con lo que dijimos del signo del producto vectorial, cuando el mismo es negativo el ángulo entre los vectores está comprendido entre 90º y 180º. 58º a b 41 2 3 4 1 2 3 - 4 - 1- 2- 3 - 1 - 2 - 3 - 4 x- x y - y 130º 72º Fig.36 a b 41 2 3 4 1 2 3 - 4 - 1- 2- 3 - 1 - 2 - 3 - 4 x- x y - y φ Fig.37
  • 20. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 20 3) Verificar que el ángulo entre los vectores a = 2 i + 3 j + k y b = - 4 i + 2j – k es φ = 100,08º. Producto vectorial: El producto vectorial de dos vectores a y b es otro vector perpendicular al plano que determinan dichos vectores. La dirección es la de avance de un tornillo de rosca derecha rotado desde a hacia b. Y la magnitud o módulo se obtiene realizando el producto de los módulos de los vectores dados con el seno del ángulo comprendido entre ellos. 00a x b = a .b . sen φ 00 Medimos el ángulo φ desde a hacia b y tomamos el menor de los dos ángulos posibles, por lo que φ está comprendido entre 0º y 180º. Obsérvese que el resultado de un producto vectorial es un vector, cuyo módulo siempre es positivo o nulo. Si a y b son paralelos (del mismo sentido: φ = 0º ó de sentido contrario: φ = 180º) el producto vectorial es nulo. Regla de la mano derecha: Siempre has dos direcciones perpendiculares a un plano, una a cada lado del plano. Para escoger la dirección del producto vectorial de dos vectores a y b debemos colocar la mano derecha de tal modo que el dedo meñique coincida con la dirección y sentido del vector a y que los demás dedos puedan rotarse y cerrarse hacia b. El dedo pulgar extendido indica la dirección de a x b, tal como indica la Fig.39. Supóngase dos vectores en el plano de la hoja como indica la Fig.40. Si aplicamos la regla anterior de manera que la uña del dedo meñique coincida con la punta de flecha de a y giramos los demás dedos hacia b, el pulgar quedará perpendicular al plano de la hoja hacia el lector (para el ejemplo dibujado). Luego a x b es un vector cuyo módulo es a x b = a .b . sen φ y cuya dirección es perpendicular al plano de la hoja “saliendo” del papel. En física a este tipo de vectores perpendiculares al plano de la hoja “salientes” se los representa por un punto (•) y a los vectores perpendiculares al plano de la hoja “entrantes” se los representa por una cruz (x). El primero representa la punta de la flecha en tanto que el segundo indica la cola del vector u origen. Ejercicio: Dados dos vectores a y b, como muestra la Fig. 41, hallar la dirección y sentido de vector r = a x b aplicando la regla de la mano derecha. ◄ Definición de producto vectorial a b a x b φ a x b a bφ Fig.38 Fig.39 a x b a b φ Fig.40
  • 21. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 21 Fig.41 Respuestas: 1) es un vector perpendicular al plano entrante. (x) 2) Es un vector que está en plano de la hoja vertical hacia arriba. (↑ ) 3) Es un vector perpendicular al plano de la hoja saliente. (•) 4) Es un vector que está en la hoja del papel horizontal hacia la izquierda (← ) 5) Es un vector que está en la hoja del papel vertical hacia abajo (↓ ) 6) Es un vector perpendicular al plano de la hoja entrante. (x) 7) Es un vector que está en el plano de la hoja, perpendicular al vector a hacia arriba e izquierda. ( ) 8) Es un vector perpendicular al plano de la hoja saliente. (•) Propiedades El producto vectorial no es conmutativo. a x b ≠ b x a Siempre se cumple que a x b = - b x a .O sea que si se invierte el orden del producto vectorial, se obtiene el vector opuesto, es decir aquel que tiene el mismo módulo y dirección, pero sentido contrario. El producto vectorial es distributivo con respecto a la suma. a x ( b + c ) = a x b + a x c Producto vectorial de vectores unitarios: Aplicando la definición de producto vectorial a los vectores unitarios i, j y k señalados en la Fig.42. se obtiene el módulo: │ i x i │ = │ j x j │ = │ k x k │ = 1. 1. sen 0º = 1. 1. 0 = 0 │ i x j │ = │ j x k │ = │ k x i │ = 1. 1. sen 90º = 1 . 1. 1 = 1 Aplicando la regla de la mano derecha tenemos que: i x j = k ; j x k = i ; k x i = j Y por lo mencionado en la propiedad no conmutativa: 1 2 3 4 5 6 7 8 b a a b φ ba x a b b x a φ a b b a φ z y x j i k Fig.42 a φ b
  • 22. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 22 i x j = - j x i = k j x k = - k x j = i k x i = - i x k = j Para poder calcular el producto vectorial a x b cuando se conocen las componentes x, y y z de los vectores a y b, expandimos el producto vectorial y utilizamos los vectores unitarios. Sean: a = ax i + ay j + az k y b = bx i + by j + bz k a x b = (ax i + ay j + az k) x (bx i + by j + bz k) a x b = ax i x bx i + ax i x by j + ax i x bz k + + ay j x bx i + ay j x by j + ay j x bz k + + az k x bx i + az k x byj + az k x bz k Se aprecia que el 1º, 5º y 9º términos son nulos (i x i = j x j = k x k = 0). Agrupando el 6º y 8º término obtenemos la primera componente (j x k = - k x j = i), el 7º y 3º nos proporcionan la segunda (k x i = - i x k = j ) y finalmente el 2º y 4º término determinan la tercer componente (i x j = - j x i = k) El producto vectorial también se puede expresar en forma de determinante: Aplicando la regla de Sarrus (se repiten las dos primeas filas debajo de la tercera fila o las dos primeras columnas a la derecha de la tercera columna, se suman los tres productos paralelos a la diagonal principal – línea de punto- y se restan los tres productos paralelos a la contradiagonal – línea llena-), se puede resolver este determinante de dimensión tres por tres. a x b = ay bz i + az bx j + ax by k - ay bx k - az by i - ax bz j ◄ Producto vectorial en función de las componentesa x b = (ay bz - az by ) i + (az bx - ax bz ) j + (ax by - ay bx ) k a x b = i j k ax ay az bx by bz i j k ax ay az bx by bz i j k ax ay az bx by bz i j k ax ay az i j k i j ax ay az ax ay bx by bz bx by =a x b = i j k ax ay az bx by bz = ◄ Producto vectorial expresado como determinante
  • 23. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 23 a x b = ( ay bz - az by ) i + ( ax bz – ax bz ) j + (ax by - ay bx ) k Ejemplo: Sean los vectores a = 2 i - j + 3 k y b = - 4 i + 2 j + + k hallar el módulo del vector que se obtiene al realizar el producto vectorial a x b. a x b = - i – 12 j + 4 k – ( 4 k +2 j + 6 i ) a x b = - i – 13 j + 4 k – 4 k - 2 j - 6 i a x b = (- 1 – 6 ) i + (– 13 – 2 ) j + (4 – 4 ) k a x b = - 7 i – 14 j |a x b| = (-7)2 + (-14)2 = 49 + 196 = 15,65 Si quisiéramos verificar este resultado, deberíamos aplicar la definición de producto vectorial, para lo cual es necesario conocer el ángulo que forman los vectores a y b. De la definición de producto escalar podemos hallar el ángulo que forman los vectores entre sí, para lo cual deberemos calcular los módulos de a y b y el producto escalar utilizando las componentes: a . b = ax bx + ay by + az bz a . b = (2) . (-4) + (-1) . (2) + (3) . (1) a . b = - 8 – 2 + 3 a . b = - 7 |a | = (2)2 + (-1)2 + (3)2 = 4 + 1 +9 = 3,74 |b | = (-4)2 + (2)2 + (1)2 = 16 + 4 +1 = 4,58 a . b = a . b . cos φ de donde φ = arcos a . b / a . b φ = arcos – 7 / (3,74 . 4,58) = 65,87º 66º a x b = a . b . sen φ a x b = 3,74 . 4,58 . sen 66º a x b = 15,65 a x b = i j k 2 -1 3 - 4 2 1 = (-1). 1 i + 3 (-4) j + 2 . 2 k - [( -1) (-4) k + 2 .1 j + 2.3 i ] =~
  • 24. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 24 TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: VECTORES 1. Sumar gráficamente los siguientes vectores a) b) c) 2. Obtén gráficamente: a) 2 u – v ; b ) 1 u + 3 v 2 3. Dados a = 3 i – j ; b = - i + 2 j ; c = 2 i – 3j ; d = - 1/2 i Repréndalos en la gráfica y calcula: a) a + b = b) c – b= c) (1/2) c = d) c + 2 d = e) 3 b + a = f) a + (1/2) b + 5 d = u v u v w v u u v 41 2 3 4 1 2 3 - 4 - 1- 2- 3 - 1 - 2 - 3 - 4 x- x y - y
  • 25. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 25 4. Dados a, b, c y d en la gráfica, calcula y representa: a) - ( a + 2 c) = b) a – b = c) c - d = d) b – d + j = e) - i + d = 5. Representa en la gráfica los vectores: u = 4 i + 3 j v = - i + 4 j 6. Expresa analíticamente los vectores t y r. 7. Calcula el módulo de u; v, t y r. Verifícalo en el gráfico. 8. Calcula a) u . v = b) r. w = c) ¿Qué observas de los resultados a) y b)? d) ¿Qué deduces de ello? Verifícalo en el gráfico. 9. Calcula el ángulo formado entre: a) v y t ; b) v y r c) Verifica en el gráfico los resultados anteriores. Utiliza un transportador. 10. a) ¿Cómo son los ángulos del ejercicio 9 entre sí? b) ¿Puedes deducir de estos resultados cuál es el ángulo formado por los vectores r y t? 1 2 1 2 3 2 d b c a 41 2 3 4 1 2 3 - 4 - 1- 2- 3 - 1 - 2 - 3 - 4 x- x y - y r t 82 4 6 8 2 4 6 - 8 - 2- 4- 6 - 2 - 4 - 6 - 8 x- x y - y
  • 26. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 26 TRABAJO PRÁCTICO Nº 2: VECTORES 1. Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman un ángulo entre ellos de (a) 0º, (b) 60º, (c) 90º, (d) 150º y (e) 180º. Encontrar la magnitud de su resultante y su dirección con respecto al vector más pequeño. 2. Encontrar el ángulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de longitud cuando su resultante tiene (a) 20 unidades de longitud, (b) 12 unidades de longitud. Dibujar la figura apropiada. 3. Dos vectores forman un ángulo de 110º. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un ángulo de 40º con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la vector suma. 4. El vector resultante de dos vectores tiene 10 unidades de longitud y hace una ángulo de 35º con uno de los vectores componentes, el cual tiene 12 unidades de longitud. Encontrar la magnitud del otro vector y el ángulo entre ellos. 5. Encontrar el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante forma un ángulo de 50º con el vector mayor. Calcular también la magnitud del vector resultante. 6. El vector resultante de dos vectores tiene 30 unidades de longitud y hace ángulos de 25º y 50º con ellos. Hallar la magnitud de los dos vectores. 7. Dos vectores de 10 y 8 unidades de longitud, forman entre sí un ángulo de (a) 60º, (b) 90º y (c) 120º. Encontrar la magnitud de la diferencia y el ángulo con respecto al vector mayor. 8. Encontrar las componentes rectangulares de un vector de 15 unidades de longitud cuando éste forma un ángulo con respecto al eje positivo de las x de (a) 50º, (b) 130º, (c) 230º y (d) 310º. 9. Tres vectores situados en un plano, tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El primero y el segundo forman un ángulo de 50º, mientras que el segundo y tercero forman un ángulo de 75º. Encontrar la magnitud del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor. 10. Dados cuatro vectores coplanares de 8, 12, 10 y 20 unidades de longitud respectivamente, los tres últimos hacen con el primer vector ángulos de 70º, 150 y 200º, respectivamente. Encontrar la magnitud y la dirección del vector resultante. 11. Demostrar que si las magnitudes de la suma y diferencia de dos vectores son iguales, entonces los vectores son perpendiculares. 12. Verificar que las magnitudes de la suma y diferencia de dos vectores a y b en el espacio, expresadas en coordenadas rectangulares, están dadas por: s = (ax + bx) 2 + (ay + by)2 +(az + bz)2 y d = (ax - bx) 2 + (ay - by)2 +(az - bz)2 13. Dados los vectores a = 3 i + 4 j – 5 k y b = - i + j +2 k , encontrar: (a) la magnitud y dirección de la resultante, (b) la diferencia, a – b y (c) el ángulo entre los vectores a y b. 13. Encontrar el resultado de la suma de los siguientes vectores: v1 = 5 i -2 j + z, v2 = -3 i + j – 7 k y v3 = 4 i + 7 j + 6 k . Obtén la magnitud de la resultante y los ángulos que forma con los ejes x, y y z. 14. Dados los vectores: v1 = - i + 3 j + 4 z, v2 = 3 i – 2 j – 8 k y v3 = 4 i + 4 j + 4 k . (a) Determina si hay alguna diferencia entre los productos v1 x (v2 x v3) y (v1 x v2) x v3. (b) Encontrar v1 . (v2 x v3) y (v1 x v2) . v3 y determina si hay alguna diferencia. (c) Calcula (v3 x v1) . v2 y compara este resultado con los dos anteriores.
  • 27. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 27 TRABAJO PRÁCTICO Nº 3: VECTORES 1. Dados los vectores u (-1; 9; 2), v ( 2; 1; -1); w ( 3; 0; 3) efectúa las siguientes operaciones. a) 2 u – v = b) 3 v – w = c) u . (v + w) = d) 2 – ( w . u ) = e) (-u) . ( -1/3) w = Rta: a) ( -4; - 1; 5 ), b) ( 3; 3; -6), c) – 1; d) –1, e) 1 2. Dados los vectores: u (-1; a –b) ; v (-a +2 b ; - 4 ); hallar los valores de las constantes a y b tal que se cumpla: u – v = (- 2, -2). Rta: a = -11; b = - 5 3. Dados los vectores u (-2; 4 ) ; v ( - 4 ; 2 ) ; hallar las seis funciones trigonométricas del ángulo que forma con el eje x el vector: 2 u + v. 4. Sean los vectores u ( 2; - a; b ) ; v ( a+1; -2 ; -b); donde a, b Є R. Hallar los valores de a y b de manera que se verifiquen - 2 v + u = (-4; 2; - 6). Rta: a = 2 ; b = - 2 5. Dados los vectores a (4, -3) y b ( -1, 5) hallar (a) el producto escalar a . b , (c) el producto vectorial a x b y (c) representar a x b.
  • 28. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 28 TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: VECTORES 1. Considérense dos desplazamientos, uno de 3 m de longitud y otro de 4 m. Demostrar cómo pueden combinarse estos vectores para obtener un desplazamiento resultante cuya magnitud sea (a) de 7m, (b) de 1m y (c) de 5 m. Rta: a) paralelos, b) antiparalelos y c) perpendiculares 2. ¿Qué propiedades tienen los vectores a y b tales que: a) a + b = c y a + b = c, b) a + b = a – b, c) a + b = c y a2 + b2 = c2 3. Se suman dos vectores a y b. Demostrar que la magnitud resultante no puede ser mayor que la suma de a + b, ni menor que │ a- b │ , donde las barras verticales significan el valor absoluto. 4. Un automóvil recorre una distancia de 50 km hacia el este, después 30 km hacia el norte y finalmente 25 km en una dirección 30º hacia el este del norte. Dibujar el diagrama vectorial y determinar el desplazamiento total del automóvil a partir de su punto de partida. 5. Un jugador de golf mete su pelota en un hoyo en tres golpes. El primer golpe desplaza la pelota 12 pie hacia el norte, el segundo 6,0 pies al sureste y el tercero, 3,0 pies al suroeste. ¿Qué desplazamiento sería necesario para meter la pelota en el hoyo al primer golpe? Rta: 6,0 pies, 20,5º hacia el este del norte 6. El vector a tiene una magnitud de 5,0 unidades y está dirigido hacia el este. El vector b está dirigido a 45º al oeste del norte (noroeste) y tiene una magnitud de 4,0 unidades. Construir el diagrama vectorial para calcular: (a) a + b , (b) b- a . Partiendo de los diagramas, estimar las magnitudes y direcciones de a + b y b – a. 7. Determinar la suma de los vectores de desplazamiento c y d cuyas componentes en kilómetros a lo largo de tres direcciones mutuamente perpendiculares sean: cx = 5, cy = 0, cz = 2; dx = 3, dy = 4, dz = 6 Rta: rx = 2 km, ry = rz = 4 km 8. (a) Un hombre sale por la puerta principal de su casa, camina 1000 pies al este, 2000 pies al norte y saca entonces una moneda de su bolsillo y la deja caer desde un risco vertical que tiene 500 pies de altura. Escoger un sistema de coordenadas y usando vectores unitarios, escribir una expresión para el desplazamiento de la moneda. (b) El hombre regresa después hasta la puerta de su casa, siguiendo una trayectoria diferente en su viaje de vuelta. ¿Cuál es el desplazamiento resultante en su viaje completo? 9. Dos vectores están dados por a = 4 i + 3 j + k y b = - i + j + 4 k. Encontrar (a) a + b, (b) a – b y (c) un vector c tal que a – b + c = 0 Rta: a) 3 i – 2 j + 5 k; b) 5 i – 4 j – 3 k ; c) igual que b) pero de signo contrario. 10. Un cuarto tiene las dimensiones siguientes: 10 m x 12m x 14 m. Una mosca vuela desde un rincón hasta el rincón diametralmente opuesto. (a) ¿Cuál es la magnitud de su desplazamiento? (b) ¿Puede ser la longitud de su trayectoria menor que esta distancia? ¿Mayor que esta distancia? ¿Igual a esta distancia?; (c) Escoger un sistema de coordenadas apropiado y encontrar las componentes del vector desplazamiento en dicho referencial.(d) Si la mosca no volase sino que caminase, ¿Cuál sería la longitud de la trayectoria más corta que pudiese seguir? 11. Dados los vectores a = 4 i – 3 j y b = 6 i + 8 j; encontrar la magnitud y dirección de a, de b, de a + b ; de b – a y de a – b . Rta: Las magnitudes son 5, 10, 11, 11 y 11. Los ángulos con el eje +x son: 323º, 53º, 27º, 80º y 260º.
  • 29. Física General. FCQyN. UNaM. Ciclo Lectivo 2008 29 12. Dos vectores de longitudes a y b forman un ángulo θ entre sí cuando se colocan sobre el mismo origen. Demostrar, tomando componentes sobre los ejes perpendiculares, que la longitud de su suma es : r = a2 + b2 + 2 a b cos θ 13. Dos vectores a y b tienen magnitudes iguales, de 10 unidades y están orientados como se muestra en la Fig.1. Su suma vectorial es r. Encontrar (a) las componentes x e y de r; (b) la magnitud de r y (c) el ángulo que r forma con el eje x. y x b a 105º 30º Fig.1