Límites y continuidadLicda. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Versión PDFLimit...
Límites y continuidadhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/inde...
Idea intuitiva de límiteLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23SoftwareIdea int...
Idea intuitiva de límiteVeamos las tablas siguientes:Tabla a.Tabla b.Puede observarse de ambas tablas que conforme se apro...
Idea intuitiva de límiteEjemplo 2:Nos interesa calcular el área de región limitada por la parábola con ecuación , eleje y ...
Idea intuitiva de límitede dondeComo , cuya prueba está al final delcapítulo, entonces:de dondeTomando entoncesObservemos ...
Idea intuitiva de límitePuede suceder que en dicho punto la función no esté definida y aún así exista el límite. Elsiguien...
Límites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Generalización del ...
Límites y continuidadObserve que aunque , para valores de próximos a se tiene que ,por lo que puede escribirse siempreObse...
Límites y continuidadtienden a T.Así, la función no tiende a un mismo valor cuando , por lo que se dice que noexisteConsid...
Límites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Formalización de la...
Límites y continuidadSe tiene que, en el eje , los valores están entre y , siempre que losvalores de , en el eje de , se l...
Límites y continuidadhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node...
Límites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Definición de límit...
Límites y continuidadtal que si entoncesTambién el puede interpretarse de la forma siguiente: como la desigualdadse deduce...
Límites y continuidadpequeña como se quiera tomando suficientemente cercana a "b", pero no igual a "b".Daremos ahora algun...
Límites y continuidad.c.Probar queSolución:Debe encontrarse en términos de , tal que seamenor que cuando . Se tiene queCom...
Límites y continuidadEjemplo:Determinar: , , , , , utilizandopara ello la siguiente representación gráfica de la función :...
Límites y continuidada. e.b. f.c. g.d.Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr...
Límites y continuidadLicda. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Límites laterales...
Límites y continuidadel nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es1.Ejempl...
Definición de límites laterales o unilateralesLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21...
Definición de límites laterales o unilateralesDefinición de límite por la izquierdaSe dice que si y solo si para cada exis...
Definición de límites laterales o unilateralesEl punto de discontinuidad se presenta cuandoLuego: yObserve que el límite p...
Definición de límites laterales o unilateralesComo y , entoncesComo y , entonces no existe.Ejercicio:Considere la represen...
Definición de límites laterales o unilateralesCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.ci...
Límites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Teoremas fundamenta...
Límites y continuidadComo consecuencia del teorema anterior se tiene que:a. con , enb. con enEjemplos:1.2.3.4.Teorema 3Si ...
Límites y continuidad2.Teorema 4Si entonces .Prueba: Al final del capítulo.Ejemplos:1.2.Ejercicio:Determine los límites in...
Límites y continuidadEjemplos:1.2.Ejercicio:Determine los límites siguientes:1.2.El teorema anterior puede extenderse a un...
Límites y continuidad1.2.El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funcionesCorolarioSi entonc...
Límites y continuidadTeorema 7Si y son dos funciones para las cuales y entoncesse tiene que:siempre quePrueba: Se hará pos...
Límites y continuidad(Por teorema 3 y corolario del teorema 6)5.Observe que en este ejemplo se han aplicado directamente l...
Límites y continuidad2.3.4.Teorema 10Si , entonces si se cumple alguna delas condiciones siguiente:i.es cualquier entero p...
Límites y continuidad2.Teorema 11Si , y son funciones tales que para todo de ciertoentorno reducido y además entonces se c...
Límites y continuidadLuegoEjercicio:Sea una función tal queCalculeCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Otros aspectos sobr...
Limites y continuidadLuego:2.Evaluando nuevamente numerador y denominador se obtiene:Puede escribirse el límite anterior y...
Limites y continuidaden este último límite no hay ningún problema y aplicando los teoremasrespectivos se obtiene como resu...
Limites y continuidadComo vuelve a obtenerse la forma .Como aparece de acuerdo a la definición de valor absoluto se tieneq...
Limites y continuidadEn este caso el límite sí existe.3. EjercicioDeterminar eld. Límites que involucran un cambio de vari...
Limites y continuidadAunque vuelve a presentarse la forma , la expresión ahora es fácilmentefactorizable.Así:2.Nuevamente,...
Limites y continuidad3. EjercicioCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.c...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Límites que involuc...
Limites y continuidadEn este caso como se tiene que por lo queEl triángulo es rectángulo y sus catetos miden respectivamen...
Limites y continuidadDe otra manera: siempre que por lo que , ysimilarmente, siempre que por lo queDe esta forma hemos pro...
Limites y continuidadel área delSustituyendo en (1):de dondeComo entonces , por lo que podemos dividir los términos de lad...
Limites y continuidad3. pues cuando4.5.6. Ejercicio7. EjercicioEn los siguientes ejemplos utilizaremos un procedimiento co...
Limites y continuidad9.10.Como entonces cuando .Ademáshttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-els...
Limites y continuidadDesarrollemos :Luego:11. Ejercicio12. Ejerciciohttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE.....
Limites y continuidadCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-lin...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Límites infinitos y...
Limites y continuidadvalores negativos cada vez menores. Es decir, cuando , o sea.c.Ahora observe que es la que tiende a t...
Limites y continuidadConsideramos ahora la función definida por para ,cuya representación gráfica es la siguiente:Podemos ...
Limites y continuidadDaremos ahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito.DefiniciónSe dice q...
Limites y continuidadmayor que cualquier número positivo ), tomando suficientemente cerca de .EjemploConsideremos la repre...
Limites y continuidadSi tomamos, por ejemplo, cuando , esdecir, cuando .DefiniciónSe dice que decrece sin límite cuando ti...
Limites y continuidadDemostremos ahora quePara hacer la prueba debe establecerse que dado un , existesiempre queObserve qu...
Limites y continuidadDefiniciónSe dice que tiende a cuando tiende a por la derecha, y se escribe, si se cumple que a cada ...
Limites y continuidadpor la izquierda, los valores de la función son negativos cada vez mayores, (mayores en elvalor absol...
Limites y continuidadPara probar este límite, se debe establecer que dado un , debe existirsiempre queAhora, como si y sol...
Limites y continuidaduna función f en el que se evidencien los límites anteriores:a.b.c.Ejercicio:En cada caso, utilizando...
Limites y continuidada) b) c) d)a) b) c) d)Consideraremos ahora la función f definida porEn las siguientes tablas vamos a ...
Limites y continuidada.b.En ambas tablas puede observarse que cuando toma valores positivos o valoresnegativos cada vez ma...
Limites y continuidadDefiniciónSea una función con dominio tal que para cualquier número existenelementos de en el interva...
Limites y continuidadLa representación gráfica de la función es la siguiente:DefiniciónSea una función con dominio tal que...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Teoremas sobre lími...
Limites y continuidad3.4.5.6.Ejercicio:Determine cada uno de los límites siguientes:1.2.3.http://www.cidse.itcr.ac.cr/curs...
Limites y continuidadTeorema 13Si es cualquier número real, y con , entonces:1. si se tiene que y2. si se tiene que y3. si...
Limites y continuidadb.Como , entonces por lo que y se tiene que .Como el numerador tiende a una constante positiva y el d...
Limites y continuidadComo entonces no existe.Ejercicio:Calcular cada uno de los límites siguientes:1.2.Teorema 14Sean y fu...
Limites y continuidada.En este caso y pues y en elnumerador se tiene una constante positiva, obteniéndose el resultado ant...
Limites y continuidadEn este caso se tiene que y que por parte 1 delteorema 13 de donde, aplicando la parte d) del teorema...
Limites y continuidadComo la constante en el numerador es positiva, aplicando la parte 2 del teorema 13se deduce que:Por o...
Limites y continuidad1.2.3.Teorema 16Si y son funciones tales que y entonces secumple que:1.2.Prueba: Ejercicio para el es...
Limites y continuidadEjercicioCalcule cada uno de los límites siguientes:1.2.Teorema 17Si y son funciones tales que y ento...
Limites y continuidadEjercicioCalcule los límites siguientes:1.2.Teorema 18Si y son funciones tales que y entonces:Prueba:...
Limites y continuidadNota: los teoremas 12 a 18 son válidos cuandoTeorema 19Si entoncesPrueba: Al final del capítulo.Ejemp...
Limites y continuidad1.2.3.4.Note que si entonces por lo que sí tiene sentido cuando.Daremos ahora ejemplos de límites cua...
Limites y continuidad3. ejercicio para el estudiante4.Recuerde que cuando5.Observe que evaluando, el numerador tiende a un...
Limites y continuidadComo está definida a través de valores positivos entoncesObserve que y que la expresión dentro del pa...
Limites y continuidad8. Ejercicio9.Note que10.Observe que:Luego se presenta la forma para la que no tenemos ningún teorema...
Limites y continuidad11.Observe que:yPor lo que en este caso se presenta la forma , o sea, para laque sí existe un teorema...
Limites y continuidad1. (respuesta: 2)Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Límites que involuc...
Limites y continuidadNote que: y3. Función logarítmica de baseObserve que: yAdemás yhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-lin...
Limites y continuidadSi entonces y , o sea y por tanto .Si entonces y por lo que yTomando en cuenta las representaciones g...
Limites y continuidadSi entonces , por lo queComo el exponente de la función exponencial tiende a más infinitoentonces:cua...
Limites y continuidadLuegob.Si entonces por lo que ycomo entoncesLuegoComoentonces no existe.3.Observe que cuando se tiene...
Limites y continuidadComo entonces por lo quey por tanto , de donde y setiene queLuegob.Como entonces por lo quey por tant...
Limites y continuidadLa representación gráfica de la función , en el intervalo es la siguiente:Observe que cuando se tiene...
Limites y continuidad2)Luego, los límites laterales son diferentes por lo que no existe.7.En este caso la base de la funci...
Limites y continuidadPor lo que no existe.8. Ejercicio para el estudiante.Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e ...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Introducción"Cuando...
Limites y continuidadEn este caso la función f estádefinida en pues .Sin embargo el no existe ya que, y,y se tiene que los...
Limites y continuidadNote que la función g no estádefinida en 2 y que además no existe puesyc.Consideremos ahora la funció...
Limites y continuidadEn este caso, la función h estádefinida en 1 pues , además existe y esigual a 1, peroPuede observarse...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Definición de conti...
Limites y continuidades o no continua enSe tiene que (es decir, 4 pertenece al dominio de )AdemásPero por lo que es discon...
Limites y continuidadLuego por lo que f es continua enLa representación gráfica de esta función es la siguiente:Ejercicios...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Discontinuidades ev...
Limites y continuidadLuego, si le asignamos a el valor de 0 (cero), la función es continua. Puedeescribirse de nuevo la de...
Limites y continuidadEjercicioPara cada una de las funciones definidas a continuación, determine si la función es o nocont...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Continuidad en un i...
Limites y continuidadTambién se tiene que una función definida en el intervalo , es continua en eseintervalo, si y solo si...
Limites y continuidadPare se tiene que ypor lo que es continua enAdemás, y es continua por la izquierda en 2.Luego es cont...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Definición de conti...
Limites y continuidadCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-lin...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Teoremas sobre cont...
Limites y continuidadTeorema cUna función definida poryDemostración: al final del capítulo.Ejemplos1.La función definida p...
Limites y continuidadSean y dos funciones tales que:,Como y g es continua para pues, entoncesTeorema eSi es una función co...
Limites y continuidad,.La función es continua para , y la función es continua para todo valor realpor ser función polinomi...
Limites y continuidad, . Como la función f es continua para y la función g es continua paratodo x en , entonces la función...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Algunas propiedades...
Limites y continuidadGeométricamente puede interpretarse este teorema como sigue:la gráfica de la función continua con ecu...
Limites y continuidad2.Consideremos ahora la función con ecuación en el intervaloComo y , entonces existe por lo menos un ...
Limites y continuidadTeorema del valor intermedio para funciones continuas.Sea f una función definida y continua en cada p...
Limites y continuidadEn este caso y (obviamente )Entonces, según el Teorema anterior, siempre se encontrará algún valor en...
Limites y continuidadNote que la función es discontinua en el intervalo , pues en , el noexiste. Se tiene que y que .Si se...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Continuidad y funci...
Limites y continuidadDefinición: Función estrictamente decrecienteSimilarmente, una función f es estrictamente decreciente...
Limites y continuidadLa función con ecuación es decreciente en el intervalo como semuestra en la figura siguiente:Consider...
Limites y continuidadDefinición: Función inversaSea f una función determinada porSi existe una función tal que si y solo s...
Limites y continuidadNote que una función y su inversa son simétricas respecto a la gráfica de la funciónidentidad.Propied...
Limites y continuidadTeorema kSi una función f es continua y estrictamente creciente en un intervalo , entonces:1.existe l...
Limites y continuidadSu representación gráfica es la siguiente:Teorema LSi una función es continua y estrictamente decreci...
Limites y continuidadLa función f es continua y estrictamente decreciente por lo que posee función inversa quetambién es c...
Limites y continuidad2.Proceda en forma similar a lo enunciado en 1. paraNota: Los teoremas L y k enunciados anteriormente...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Valores máximos y m...
Limites y continuidadComo para todo entonces el máximo absoluto de la función esComo para todo entonces el mínimo absoluto...
Limites y continuidadTeorema de acotación para funciones continuasSi f es una función continua en un intervalo cerrado ent...
Limites y continuidadSu representación gráfica es la siguientees continua para todoSe tiene que para , porlo que de donde ...
Limites y continuidadPara cualquier función acotada se tiene que para todoEn el ejemplo inmediato anterior se tiene que el...
Limites y continuidadObserve que aunque es continua en no posee ni máximo ni mínimo absoluto,o sea no tiene ni niEjemploSe...
Limites y continuidadNote queEjemploSea f la función definida porSu representación gráfica es la siguiente:En este caso, e...
Limites y continuidadCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-lin...
Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S..1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Este documento fue...
DemostracionesLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Demostraciones1. Probar qu...
Demostracionesde dondeEfectuando la suma del lado izquierdo, se obtiene quey por lo tanto , que era lo que sequería probar...
DemostracionesComo entonces, por la definición de límite, se sabe que talque siempre queAdemás, y también por definición s...
DemostracionesComo entonces.Considere los casos siguientes1.Dada cualquier se tiene que es menor que siempre quesea menor ...
Demostracionesuna , existe tal que cuando .Considerando lo especificado en (A), podemos utilizar esta misma para quey así ...
DemostracionesLuego, , siempre que Tomandose cumple que cuando y asíqueda demostrado el segundo caso.6. Teorema 5. Para de...
Demostraciones7. Teorema 6.Dado hay que demostrar que existe tal que siComo y entonces multiplicando yrestando se obtiene ...
DemostracionesAdemás como y se tiene queyLuego:para . Y así queda demostrado el teorema.NotaSe utilizó y en los denominado...
Demostracionessiempre queNote que:pues (*).Como la desigualdad es equivalente a y por tanto, y como entoncesLuego, siempre...
Demostracionesde dondesiempre que donde es igual al mínimo entre yDe esta forma queda demostrado que , con9. Teorema 9.Vam...
DemostracionesSe desea encontrar un número tal que la fracción en el lado derecho de la igualdad anteriorsea menor que ese...
Demostracionesse cumple que yPor tantosiempre que , donde es igual al mínimo entre y , con lo quequeda demostrado el teore...
Demostracionespor lo queDe aquí que para lo que significa que y elteorema queda demostrado.12.Teorema 12.Probaremos la par...
DemostracionesComo , con c>0, tomando , se tiene que existe una talque siempre que (Por definición en un punto delímite en...
DemostracionesPara ello se necesita que dada , (sin importar que tan grande), exista con lapropiedad que siempre que .Como...
DemostracionesSupongamos, sin pérdida de la generalidad, que , , y.Se tiene entonces que si y por tantosi y .Tomando como ...
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Límites
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Límites

4.194 visualizaciones

Publicado el

Publicado en: Educación
0 comentarios
5 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
4.194
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
2
Acciones
Compartido
0
Descargas
121
Comentarios
0
Recomendaciones
5
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Límites

  1. 1. Límites y continuidadLicda. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Versión PDFLimites y continuidadq Límitesr Idea intuitiva de límiter Generalización del concepto de límiter Formalización de la idea intuitiva de límiter Definición de límiter Límites lateralesr Definición de límites laterales o unilateralesr Teoremas fundamentales sobre límitesr Otros aspectos sobre límitesr Límites que involucran funciones trigonométricasr Límites infinitos y límites al infinitor Teoremas sobre límites infinitosr Límites que involucran la función exponencial y la función logarítmicar Demostracionesq Continuidad de funcionesr Introducciónr Definición de continuidadr Discontinuidades evitablesr Continuidad en un intervalo [a,b]r Definición de continuidad utilizando yr Teoremas sobre continuidad de funcionesr Algunas propiedades de las funciones continuasr Continuidad y funcionesr Valores máximos y mínimos para funciones continuasr Demostracionesq Software:r Graficador para límitesr Tabla de valoresr Cálculo de límitesCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/index.html (1 de 2)27/11/2005 12:44:37 a.m.
  2. 2. Límites y continuidadhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/index.html (2 de 2)27/11/2005 12:44:37 a.m.
  3. 3. Idea intuitiva de límiteLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23SoftwareIdea intuitiva de límiteEn este capítulo vamos a presentar la idea formal de límite como una operación aplicada auna función en un punto.Se establecerán también algunos teoremas sobre límites de sumas, productos y cocientesde funciones.Iniciaremos nuestro estudio con la idea intuitiva de límite.La presentación de los ejemplos siguientes pretenden dar una idea del significado dellímite de una función en un punto.Ejemplo 1:Consideramos la función definida por con dominio en .La representación gráfica es la siguiente:Nos interesa observar el comportamiento de la función para valores de cercanos a 2pero no iguales a 2.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node2.html (1 de 5)27/11/2005 12:44:41 a.m.
  4. 4. Idea intuitiva de límiteVeamos las tablas siguientes:Tabla a.Tabla b.Puede observarse de ambas tablas que conforme se aproxima más a 2, toma, cadavez, valores más próximos a 3.En otras palabras, al restringir el dominio de la función a valores cada vez "más cercanosa 2", el conjunto de imágenes o sea, los valores que toma la función, se "acercan cada vezmás a tres".En este caso se dice que cuando tiende a 2, que se simboliza , entonces, o sea tiende a 3. Esto puede escribirse como y utilizandola notación de límites escribimosque se lee: el límite de cuando tiende a 2, es igual a 3.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node2.html (2 de 5)27/11/2005 12:44:41 a.m.
  5. 5. Idea intuitiva de límiteEjemplo 2:Nos interesa calcular el área de región limitada por la parábola con ecuación , eleje y la recta de ecuación .La representación gráfica de esta región es la siguiente:Dividimos el intervalo en partes iguales señaladas por los valores:formando sobre cada una de las partes, un rectángulo cuyo lado vertical izquierdo toca ala parábola en un punto, y cuya base mide en cada caso. Luego, el área de cada uno deestos rectángulos podemos expresarlas como sigue:Así, la suma de todas la áreas de los rectángulos está dada por la siguiente igualdad:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node2.html (3 de 5)27/11/2005 12:44:41 a.m.
  6. 6. Idea intuitiva de límitede dondeComo , cuya prueba está al final delcapítulo, entonces:de dondeTomando entoncesObservemos que si a "n" se le asignan valores positivos cada vez más grandes, entoncesse aproxima a cero.Si en la figura 1 se aumenta el número n de divisiones del intervalo, entonces crece elnúmero de rectángulos y la suma de las áreas de ellos se aproxima al área de la figuracurvilínea.Como se aproxima a cero cuando crece indefinidamente, puede decirse quese aproxima al número , y así el área de la región tiende a .La expresión "n" toma valores positivos cada vez mayores puede sustituirse por,(n tiende a más infinito) y como , ( tiende a cuando ) ,entonces, volviendo a utilizar la notación de límites escribimos:que se lee: el límite de , cuando tiende a más infinito es .Es importante señalar que al estudiar el límite de una función, no se menciona el valorque toma la función exactamente en el punto. Así, en el ejemplo 1, no importa cuál es elvalor de , sino el valor de cuando tiende a 2. Esto se debe a que el conceptode límite de una función en un punto es independiente del valor que toma la función eneste.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node2.html (4 de 5)27/11/2005 12:44:41 a.m.
  7. 7. Idea intuitiva de límitePuede suceder que en dicho punto la función no esté definida y aún así exista el límite. Elsiguiente ejemplo presenta esta situación.Ejemplo 3:Sea la función definida por la ecuación para toda .La representación gráfica de es:De la gráfica puede observarse que aunque la función no está definida para ,cuando toma valores muy cercanos a 2 la función se aproxima a 5, lo que escribimoscomo:Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node2.html (5 de 5)27/11/2005 12:44:41 a.m.
  8. 8. Límites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Generalización del concepto de límiteSea una función definida para valores reales en los alrededores de un número b, aunqueno necesariamente en b mismo, como se representa gráficamente a continuación:Se observa que cuando entonces lo que se escribe como:Recordemos que al calcular no importa que la función , esté o no definida en; lo que interesa es que f esté definida en las proximidades de b.Consideremos la siguiente representación gráfica de una función cualquiera para la que:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node3.html (1 de 3)27/11/2005 12:44:44 a.m.
  9. 9. Límites y continuidadObserve que aunque , para valores de próximos a se tiene que ,por lo que puede escribirse siempreObserve ahora la siguiente representación gráfica de una función .En este caso, cuando tiende a por la derecha, que se escribe , la funcióntiende a , pero cuando tiende a por la izquierda, (denotado ) los valores dehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node3.html (2 de 3)27/11/2005 12:44:44 a.m.
  10. 10. Límites y continuidadtienden a T.Así, la función no tiende a un mismo valor cuando , por lo que se dice que noexisteConsideremos ahora la función definida por con , cuya representacióngráfica es la siguiente:Observe que cuando , entonces tiende a tomar valores positivos cada vezmayores, (es decir, ), y que cuando , toma valores negativoscada vez menores, ( ). Así, no tiende a ningún número real fijo y sedice que no existe.Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node3.html (3 de 3)27/11/2005 12:44:44 a.m.
  11. 11. Límites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Formalización de la idea intuitiva de límiteEn el ejemplo 1 se analizó el comportamiento de la función con ecuaciónen las proximidades de 2.Expresamos como , el hecho de que para acercar los valores de la funcióntanto como se quisiera a 3, era suficiente acercar adecuadamente al valor 2, ( ).De otra forma, puede decirse que es tan pequeño como se quiera, siempre quesea suficientemente pequeño, aunque no igual a cero.Utilizaremos las letras griegas (epsilon) y (delta) para escribir en forma más precisalo anterior.son números reales positivos que indican qué tan pequeño queremos hacer el valorabsoluto de la diferencia entre y 3, y el valor absoluto de la diferencia entre y 2respectivamente.Se dice entonces que será menor que , siempre que sea menor quey .Luego, si para cada puede encontrarse un tal que, entonces se dice queObserve que se establece la condición , ya que únicamente nos interesa sabercomo es para valores de cercanos a 2, no en 2 mismo, en cuyo caso seríaigual a cero.Gráficamente tenemos:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node4.html (1 de 3)27/11/2005 12:44:46 a.m.
  12. 12. Límites y continuidadSe tiene que, en el eje , los valores están entre y , siempre que losvalores de , en el eje de , se localicen entre , o sea.En general, el valor de es escogido arbitrariamente, pero la elección de depende de laelección previa de . No se requiere que exista un número "apropiado" para todo , sino que, para cada existe un específico.Entre ,más pequeño sea el valor que se escoja de , más pequeño será el valor delcorrespondiente .Luego, para el ejemplo 1, decimos que , pues para cada , existe ,tal que , siempre que .En general, para una función cualquiera, el significa que "la diferenciaentre y puede hacerse tan pequeña como se desee, haciendo simplemente queesté suficientemente próximo a , ".Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node4.html (2 de 3)27/11/2005 12:44:46 a.m.
  13. 13. Límites y continuidadhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node4.html (3 de 3)27/11/2005 12:44:46 a.m.
  14. 14. Límites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Definición de límiteSea una función definida en una vecindad del punto .DefiniciónSe dice que , si para cada número positivo , por pequeño que este sea,es posible determinar un número positivo , tal que para todos los valores de ,diferentes de , que satisfacen la desigualdad , se verificará la desigualdad.Luego, si y solo si para cada tal que si, entonces .En forma gráfica se tiene:para cada existehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node5.html (1 de 6)27/11/2005 12:44:53 a.m.
  15. 15. Límites y continuidadtal que si entoncesTambién el puede interpretarse de la forma siguiente: como la desigualdadse deduce que , entonces todos los puntos en la gráfica de lafunción con ecuación , que corresponden a los puntos que se localizan a unadistancia no mayor que del punto , se encontrarán dentro de una franja de ancho ,limitada por las rectas , como se muestra en la siguiente figura:Puede decirse entonces que la definición de límite dada anteriormente , establece que losvalores de la función se aproximan a un límite , conforme se aproxima a unnúmero , sí el valor absoluto de la diferencia entre se puede hacer tanhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node5.html (2 de 6)27/11/2005 12:44:53 a.m.
  16. 16. Límites y continuidadpequeña como se quiera tomando suficientemente cercana a "b", pero no igual a "b".Daremos ahora algunos ejemplos en los que se utiliza la definición de límite:Ejemplo:a.Probar queSolución:Debe probarse que dado tal que siempreque .Vamos a establecer una relación entre .Como o sea.Entonces, para hacer menor que , es suficiente que ,por lo que puede tomarse .Luego, dado , existe tal que si entonces.b.Probar queSolución:Dada , debe encontrarse tal que siempre que.Como entoncespara que sea menor que es suficiente que por lo quepodemos tomar .Luego, dado , existe tal que siempre quehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node5.html (3 de 6)27/11/2005 12:44:53 a.m.
  17. 17. Límites y continuidad.c.Probar queSolución:Debe encontrarse en términos de , tal que seamenor que cuando . Se tiene queComo lo que nos interesa es el límite cuando tiende a 1, vamos a considerar losvalores de que estén cerca de 1, pero que sean diferentes de 1.Así, tomamos de donde y por tanto .Vamos a determinar un número para el que cuando .De la desigualdad se obtiene que por lo quey puede tomarse .Luego cuandoAdemás es menor quePor tanto, si se toma como el menor de los números entoncescuandoPor ejemplo, si se toma entonces ycuandoEn general, el determinar el mediante el uso directo de la definición esdifícil, por lo que para hacerlo se contará con la ayuda de una serie de teoremas,que estudiaremos más adelante.Hemos dado un vistazo intuitivo y otro más formal sobre la noción de límite en unpunto. En síntesis, lo que nos interesa saber es el comportamiento de una funcióncuando la variable independiente tiende a un determinado valor en el eje .http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node5.html (4 de 6)27/11/2005 12:44:53 a.m.
  18. 18. Límites y continuidadEjemplo:Determinar: , , , , , utilizandopara ello la siguiente representación gráfica de la función :SoluciónA partir de la gráfica de se tiene que:, , , , ,Ejercicio:Determinar los siguientes límites, utilizando para ello la representación gráfica de lafunción , que se da a continuación:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node5.html (5 de 6)27/11/2005 12:44:53 a.m.
  19. 19. Límites y continuidada. e.b. f.c. g.d.Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node5.html (6 de 6)27/11/2005 12:44:53 a.m.
  20. 20. Límites y continuidadLicda. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Límites lateralesHasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes osaltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunasdiscontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el temacontinuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo defunciones.Consideremos la siguiente representación gráfica de una función , en la que existe unadiscontinuidad cuando :notemos que cuando tiende hacia "a" por la derecha de "a" la función tiende a 2, perocuando tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1.Escribimos para indicar que tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomandovalores mayores que "a".Similarmente indica que tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomandovalores menores que "a".Utilizando ahora la notación de límites, escribimos y .Estos límites recibenhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node6.html (1 de 2)27/11/2005 12:44:55 a.m.
  21. 21. Límites y continuidadel nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es1.Ejemplo:Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función cuyarepresentación gráfica es la siguiente:Se tiene que:yyCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node6.html (2 de 2)27/11/2005 12:44:55 a.m.
  22. 22. Definición de límites laterales o unilateralesLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Definición de límites laterales o unilateralesDefinición de límite por la derechaSe dice que si y solo si para cada existe tal que sientonces es el límite por la derecha de en "a".Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues es mayor quecero ya que .http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node7.html (1 de 5)27/11/2005 12:44:59 a.m.
  23. 23. Definición de límites laterales o unilateralesDefinición de límite por la izquierdaSe dice que si y solo si para cada existe tal que sientonces es el límite por la izquierda de en"a".Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que .En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica deuna función cuya ecuación se da.Ejemplo:Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función definida por:Primero hagamos la gráfica de la función:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node7.html (2 de 5)27/11/2005 12:44:59 a.m.
  24. 24. Definición de límites laterales o unilateralesEl punto de discontinuidad se presenta cuandoLuego: yObserve que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2).Ejercicio:Represente la función definida pory determine los límites laterales en el punto de discontinuidad.Es posible demostrar que para que exista es necesario y suficiente que loslímites laterales existan y sean iguales.Es decir, si y solo si yPor consiguiente, si es diferente de se dice que no existe.Ejemplo:Representemos gráficamente la función definida por:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node7.html (3 de 5)27/11/2005 12:44:59 a.m.
  25. 25. Definición de límites laterales o unilateralesComo y , entoncesComo y , entonces no existe.Ejercicio:Considere la representación gráfica de la función definida por:Determine si existen cada uno de los límites siguientes:a.b.c.d.e.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node7.html (4 de 5)27/11/2005 12:44:59 a.m.
  26. 26. Definición de límites laterales o unilateralesCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node7.html (5 de 5)27/11/2005 12:44:59 a.m.
  27. 27. Límites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Teoremas fundamentales sobre límitesEn los apartados anteriores hemos determinado el límite de una función en un punto,utilizando para ello la representación gráfica de la función. Sin embargo, se hacenecesario poseer otros criterios que permitan agilizar el proceso. Con este fin es queestudiaremos algunos teoremas básicos para determinar el límite de una función en unpunto.Teorema 1 (sobre la unicidad del límite)Sea una función definida en un intervalo tal que .Si y entonces .O sea, el valor del límite de una función en un punto es único.Prueba: Al final del capítulo.Teorema 2Si son números reales entoncesPrueba: Al final del capítulo.Ejemplos:1.2.Ejercicio:Determine cada uno de los siguientes límites:1.2.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node8.html (1 de 10)27/11/2005 12:45:09 a.m.
  28. 28. Límites y continuidadComo consecuencia del teorema anterior se tiene que:a. con , enb. con enEjemplos:1.2.3.4.Teorema 3Si y es un número real entonces se cumple quePrueba: Al final del capítulo.Ejemplos:1.2.Ejercicio:Determine cada uno de los límites siguientes:1.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node8.html (2 de 10)27/11/2005 12:45:09 a.m.
  29. 29. Límites y continuidad2.Teorema 4Si entonces .Prueba: Al final del capítulo.Ejemplos:1.2.Ejercicio:Determine los límites indicados.1.2.Teorema 5Si y son dos funciones para las que y entonces secumple que:Este teorema lo que nos dice es que el límite de la suma de dos funciones, es igual ala suma de los límites de cada una de las funciones.Prueba: Al final del capítulo.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node8.html (3 de 10)27/11/2005 12:45:09 a.m.
  30. 30. Límites y continuidadEjemplos:1.2.Ejercicio:Determine los límites siguientes:1.2.El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones.Teorema 6Si y son dos funciones para las que y entonces secumple queEs decir, el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites decada una da las funciones.Prueba: Al final del capítulo.Ejemplos:1.2.3.Ejercicio:Determine el valor de cada uno de los límites siguientes:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node8.html (4 de 10)27/11/2005 12:45:09 a.m.
  31. 31. Límites y continuidad1.2.El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funcionesCorolarioSi entoncesObserve que (n factores) por lo que aplicando el teorema anterior setiene que:(n factores)Ejemplos:1.2.En particular, el límite de la enésima potencia de es igual a la enésima potencia dellímite de . Es decirEjemplos:1.2.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node8.html (5 de 10)27/11/2005 12:45:09 a.m.
  32. 32. Límites y continuidadTeorema 7Si y son dos funciones para las cuales y entoncesse tiene que:siempre quePrueba: Se hará posteriormente utilizando para ello un resultado sobre continuidadde funciones, y el siguiente teorema.Teorema 8siempre quePrueba: Al final del capítulo.Ejemplos de los teoremas 7 y 81.2.3. (se aplicaron los teoremas 2 y 4)4. (por teorema 7)(por teorema 5)http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node8.html (6 de 10)27/11/2005 12:45:09 a.m.
  33. 33. Límites y continuidad(Por teorema 3 y corolario del teorema 6)5.Observe que en este ejemplo se han aplicado directamente los teoremas estudiados, sinhacer el desglose paso por paso como en el ejemplo anterior.Ejercicio:Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:1.2.Teorema 9Si si:i.es cualquier número positivo.ii.es impar.Prueba: Al final del capítulo.Ejemplos:1.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node8.html (7 de 10)27/11/2005 12:45:09 a.m.
  34. 34. Límites y continuidad2.3.4.Teorema 10Si , entonces si se cumple alguna delas condiciones siguiente:i.es cualquier entero positivo ( ).ii.es un entero impar positivo.Prueba: Al final del capítulo.Ejemplos:1.2.3.Ejercicio:Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:1.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node8.html (8 de 10)27/11/2005 12:45:09 a.m.
  35. 35. Límites y continuidad2.Teorema 11Si , y son funciones tales que para todo de ciertoentorno reducido y además entonces se cumpleque .Prueba: Al final del capítulo.El teorema anterior nos dice que si para próximo a , la función está comprendidaentre dos funciones que tienden a un mismo límite , entonces también tiende a .Gráficamente podemos tener lo siguiente:Por ejemplo, si es una función tal que y comoentonces se tiene que .Sea ahora una función tal queSe tiene quehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node8.html (9 de 10)27/11/2005 12:45:09 a.m.
  36. 36. Límites y continuidadLuegoEjercicio:Sea una función tal queCalculeCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node8.html (10 de 10)27/11/2005 12:45:09 a.m.
  37. 37. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Otros aspectos sobre límitesEn algunos límites no es posible aplicar directamente los teoremas sobre límites,especialmente el del límite de un cociente de funciones, ya que se presenta la formaindeterminada .En estos casos se hace necesario realizar primero algún proceso algebraico, para luegodeterminar el valor del límite.Es indispensable en esta parte tener muy en claro los conceptos sobre factorización,racionalización y valor absoluto.Por medio de ejemplos estudiaremos:a. Límites que involucran factorizaciones1.Si evaluamos el numerador se obtiene: y en eldenominador:Luego se tiene la expresión que no tiene sentido.Como 2 hace cero ambos polinomios podemos hacer una factorización comosigue:Luego el límite dado puede escribirsecomo , y simplificando se obtiene: que sí puededeterminarse pueses diferente de cero.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node9.html (1 de 7)27/11/2005 12:45:17 a.m.
  38. 38. Limites y continuidadLuego:2.Evaluando nuevamente numerador y denominador se obtiene:Puede escribirse el límite anterior ya factorizados los polinomios como:simplificando la expresión anterior.Aplicando el teorema 73. EjercicioDeterminar:b. Límites que involucran racionalizaciones1.Como al evaluar el numerador y el denominador se obtiene cero en ambos,procedemos a racionalizar el denominador de la forma siguiente:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node9.html (2 de 7)27/11/2005 12:45:17 a.m.
  39. 39. Limites y continuidaden este último límite no hay ningún problema y aplicando los teoremasrespectivos se obtiene como resultado2. Recuerde queComo vuelve a presentarse la forma , procedemos a racionalizar comosigue:3. EjercicioDeterminarc. Límites con valor absolutoRecuerde que1.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node9.html (3 de 7)27/11/2005 12:45:17 a.m.
  40. 40. Limites y continuidadComo vuelve a obtenerse la forma .Como aparece de acuerdo a la definición de valor absoluto se tieneque:Así, para valores de mayores que 2 la expresión se puedesustituir por , y para valores de mayores que 2 se sustituye por, por lo que se hace necesario calcular los límites cuando, es decir, se deben calcular los límites laterales.Luego:Como los límites laterales son diferentes entonces el no existe.2.Vuelve a presentarse la forma . Analizando el valor absoluto se obtieneque:Como se desea averiguar el límite cuando es mayor que 1,entonces se analiza únicamente el siguiente límite:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node9.html (4 de 7)27/11/2005 12:45:17 a.m.
  41. 41. Limites y continuidadEn este caso el límite sí existe.3. EjercicioDeterminar eld. Límites que involucran un cambio de variable1.Al evaluar numerador y denominador en se obtiene . Aunque eneste caso podría efectuarse una racionalización, el procedimiento sería muylargo pues hay que racionalizar tanto el numerador como el denominador.Por tanto, vamos a hacer un cambio de variable en la forma siguiente.Se desea sustituir la expresión por otra que tenga tanto raíz cúbicacomo raíz cuadrada. Luego, sea (observe que).Además cuando se tiene que y por tanto , es decir,; en el límite original se sustituyeSustituyendo se tiene que:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node9.html (5 de 7)27/11/2005 12:45:17 a.m.
  42. 42. Limites y continuidadAunque vuelve a presentarse la forma , la expresión ahora es fácilmentefactorizable.Así:2.Nuevamente, evaluando el numerador y el denominador en 1 se obtieneEn este caso vamos a sustituir por una expresión que posea raízquinta. Tomamos entonces .Cuando tiende a 1 se tiene que también tiende a 1 y por tantode dondeSustituyendo se obtiene que:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node9.html (6 de 7)27/11/2005 12:45:17 a.m.
  43. 43. Limites y continuidad3. EjercicioCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...CIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node9.html (7 de 7)27/11/2005 12:45:17 a.m.
  44. 44. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Límites que involucran funciones trigonométricasEstudiaremos aquí los límites de las funciones seno y coseno, y algunos límites especialesque no pueden resolverse por los procedimientos ya estudiados.Vamos a probar que:a. donde es un ángulo que se mide en radianes.Recordemos que la medida en radianes de un ángulo se define por la igualdadsiguiente: , donde el la longitud del arco interceptado por el ángulo, sobreuna circunferencia de radio , cuyo centro coincide con el vértice del ángulo,como se muestra en la siguiente figura:es la medida del arcoes el radio del círculoConsideramos ahora un círculo de radio uno y un ángulo agudo cuya medida enradianes eshttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node10.html (1 de 8)27/11/2005 12:45:27 a.m.
  45. 45. Limites y continuidadEn este caso como se tiene que por lo queEl triángulo es rectángulo y sus catetos miden respectivamente(Note que ).Por el teorema de Pitágoras se obtiene que:Como la longitud de es menor que la longitud del arco , es decir, es menor que, se tiene que:Como los dos sumandos del primer miembro de la desigualdad anterior son positivos,entonces cada uno de ellos es menor que la suma de ambos, por lo que:y como entonces:de dondeSi es un número positivo, podemos tomar de tal forma quesiempre que .http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node10.html (2 de 8)27/11/2005 12:45:27 a.m.
  46. 46. Limites y continuidadDe otra manera: siempre que por lo que , ysimilarmente, siempre que por lo queDe esta forma hemos probado los dos límites.b.Vamos a probar ahora queObserve que este límite no puede resolverse por los procedimientos ya estudiadosde factorización, racionalización o cambio de variable, y que al evaluardirectamente se obtiene la forma .Consideremos nuevamente un círculo unitario y designemos por el ángulocentral (siendo en radianes su medida), con , como se muestraen la figura siguiente:Puede observarse que: el área del el área del sector el área del(1). Además se tiene que:el área del .el área del sectorhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node10.html (3 de 8)27/11/2005 12:45:27 a.m.
  47. 47. Limites y continuidadel área delSustituyendo en (1):de dondeComo entonces , por lo que podemos dividir los términos de ladesigualdad anterior por , sin alternar el sentido de la desigualdad, obteniendoentonces que:por lo queEsta última desigualdad también es válida cuando puesy ademásComo y y , aplicando el teorema 11 seconcluye que:Ejemplos:1.2.Observe que en este caso el argumento es , por lo que en el denominador senecesita también la expresión , de ahí que se lleve a cabo el siguienteprocedimiento:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node10.html (4 de 8)27/11/2005 12:45:27 a.m.
  48. 48. Limites y continuidad3. pues cuando4.5.6. Ejercicio7. EjercicioEn los siguientes ejemplos utilizaremos un procedimiento común en algunoslímites trigonométricos y que consiste en multiplicar por el conjugado de unaexpresión.8.Multiplicamos por el conjugado de que es como sigue:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node10.html (5 de 8)27/11/2005 12:45:27 a.m.
  49. 49. Limites y continuidad9.10.Como entonces cuando .Ademáshttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node10.html (6 de 8)27/11/2005 12:45:27 a.m.
  50. 50. Limites y continuidadDesarrollemos :Luego:11. Ejercicio12. Ejerciciohttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node10.html (7 de 8)27/11/2005 12:45:27 a.m.
  51. 51. Limites y continuidadCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node10.html (8 de 8)27/11/2005 12:45:27 a.m.
  52. 52. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Límites infinitos y límites al infinitoEl símbolo se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valorespositivos, se escribe (que se lee: tiende a más infinito), y si decrece a travésde valores negativos, se denota como (que se lee: tiende a menos infinito).Similarmente, cuando crece indefinidamente y toma valores positivos cada vezmayores, se escribe , y si decrece tomando valores negativos escribimos.Consideramos la función definida por para . Vamos adeterminar el comportamiento de la función cuando cuando y cuando. Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:a.En este caso, cuando , la función tiende a tomarvalores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como, es decirb.Ahora, cuando toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende ahttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (1 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  53. 53. Limites y continuidadvalores negativos cada vez menores. Es decir, cuando , o sea.c.Ahora observe que es la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores,obteniendo como resultado que tiende a valores cercanos a cero.Así , o sea, cuando .d.En forma similar a la tabla anterior se tiene que cuando esdecir,Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función en la formasiguiente.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (2 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  54. 54. Limites y continuidadConsideramos ahora la función definida por para ,cuya representación gráfica es la siguiente:Podemos decir que:a.yb. yEjercicioDetermine: , , , , , ,utilizando para ello la función .http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (3 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  55. 55. Limites y continuidadDaremos ahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito.DefiniciónSe dice que crece sin límite cuando tiende a , que se denota, si para todo número real , (sin importar su magnitud), existetal que siempre que .Gráficamente se tiene:Esta definición nos dice que es posible hacer tan grande como se quiera, (es decir,http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (4 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  56. 56. Limites y continuidadmayor que cualquier número positivo ), tomando suficientemente cerca de .EjemploConsideremos la representación gráfica de la función definida por:Demostremos ahora quePara hacer la prueba, debe establecerse que dado un existe tal que.Observe que: .Luego, dado , escogemos de tal forma que se satisfaga que.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (5 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  57. 57. Limites y continuidadSi tomamos, por ejemplo, cuando , esdecir, cuando .DefiniciónSe dice que decrece sin límite cuando tiende a , que se denota por, si para todo número real , existe una tal queGráficamente se tiene que:La definición anterior afirma que es posible hacer menor que cualquier númeronegativo , tomando suficientemente cerca de .EjemploConsideremos la representación gráfica de la función definida porhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (6 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  58. 58. Limites y continuidadDemostremos ahora quePara hacer la prueba debe establecerse que dado un , existesiempre queObserve que (el sentido de la desigualdad cambia pues).Además .Note que sí tiene sentido puesLuego, si y solo si por lo tanto tomamos .Así, dada , existe , tal que siempre queSi por ejemplo, tomamos entonces o sea , por loque siempre quehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (7 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  59. 59. Limites y continuidadDefiniciónSe dice que tiende a cuando tiende a por la derecha, y se escribe, si se cumple que a cada número positivo , (tan grande como sequiera), corresponde otro número positivo , (que depende de ) tal que.Similarmente, se dice que tiende a cuando tiende a por la izquierda y seescribe si siempre que (Observe que esmayor que cero pues ya que ).-El comportamiento de la función definida por cuando , estáregido por la definición anterior.Recuerde la representación gráfica de esta función hecha anteriormente.-Los símbolos y se definen análogamente,escribiendo en vez de . (note que si entonces )Gráficamente se tiene:En esta representación gráfica se tiene que tanto al acercarnos a por la derecha comohttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (8 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  60. 60. Limites y continuidadpor la izquierda, los valores de la función son negativos cada vez mayores, (mayores en elvalor absoluto), es decir, se tiene que y cuandoDefiniciónSe dice que cuando es decir, si para cadanúmero positivo existe otro número positivo , tal que.Podríamos representar gráficamente este comportamiento de una función como sigue:Observe que y quePodemos anotar queEjemplo:Demostraremos quehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (9 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  61. 61. Limites y continuidadPara probar este límite, se debe establecer que dado un , debe existirsiempre queAhora, como si y solo si , entonces, para cualquier número ,podemos tomar de tal forma que se cumpla que .Por ejemplo, si entonces . Esto significa que esmayor a 1000 siempre que sea mayor que 10.La función f definida por , con , tiene como representación gráfica lasiguienteNota: En forma similar a la definición anterior pueden definirse ,yEn las siguientes representaciones gráficas vamos a ejemplificar el comportamiento dehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (10 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  62. 62. Limites y continuidaduna función f en el que se evidencien los límites anteriores:a.b.c.Ejercicio:En cada caso, utilizando el dibujo que se da, determine los límites que se indican:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (11 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  63. 63. Limites y continuidada) b) c) d)a) b) c) d)Consideraremos ahora la función f definida porEn las siguientes tablas vamos a evidenciar su comportamiento cuando ycuando :http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (12 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  64. 64. Limites y continuidada.b.En ambas tablas puede observarse que cuando toma valores positivos o valoresnegativos cada vez mayores, (mayores en valor absoluto), se tiene que la función tiendea acercarse a 2, por lo que se puede escribir que:yA continuación hacemos la respectiva representación gráfica de la función :Damos ahora las definiciones para los límites cuyo resultado es una constante cuandoy cuandohttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (13 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  65. 65. Limites y continuidadDefiniciónSea una función con dominio tal que para cualquier número existenelementos de en el intervalo .El límite de cuando tiende a más infinito es , que se representa, si para cada existe un número tal que paratoda y .EjemploProbar queHay que demostrar que para existe tal que siSe tiene queSi entonces por lo que:Luego, dada se cumple que si y solo si , o sea, si, por lo que podemos tomar de tal forma que se verifique quesiempre que .Por ejemplo, si entonces por lo que:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (14 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  66. 66. Limites y continuidadLa representación gráfica de la función es la siguiente:DefiniciónSea una función con dominio tal que para cualquier número , existenelementos de en el intervalo .El límite de cuando tiende a menos infinito es , que se representa, si para todo existe un número tal que paracada y .EjercicioUtilizando la definición anterior y un proceso similar al desarrollado en el ejemploinmediato anterior, pruebe que:Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html (15 de 15)27/11/2005 12:45:41 a.m.
  67. 67. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Teoremas sobre límites infinitosTeorema 12Si es cualquier entero positivo, entonces se cumple que:1.2. si es par3. si es imparPrueba: Al final del capítulo.Ejemplos:1. en este caso2. conGráficamente se tiene que:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (1 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  68. 68. Limites y continuidad3.4.5.6.Ejercicio:Determine cada uno de los límites siguientes:1.2.3.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (2 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  69. 69. Limites y continuidadTeorema 13Si es cualquier número real, y con , entonces:1. si se tiene que y2. si se tiene que y3. si se tiene que y4. si se tiene que yPrueba: Al final del capítulo.Ejemplos: de cada uno de los casos que se mencionan en el teorema anterior.1.Observe que si se hiciera la sustitución directa se obtiene la forma indeterminada.Como la expresión puede aproximarse a cero a través de valores positivos o através de valores negativos, estudiaremos los límites laterales como sigue:a.Como , entonces por lo que y se dice que .Así, el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a .Luego, aplicando la parte 1 del teorema se obtiene quehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (3 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  70. 70. Limites y continuidadb.Como , entonces por lo que y se tiene que .Como el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende aaplicando la parte 2 del teorema anterior se obtiene queComo los límites laterales son diferentes decimos que no existe.2.Observe que y queComo la expresión puede tender hacia cero a través de valores positivos o a travésde valores negativos debemos calcular los límites laterales de la siguiente forma:a.Como entonces por lo que y de donde.Así el numerador tiende a una constante negativa y el denominador tiende a , porlo que aplicando la parte 3 del teorema anterior se obtiene queb.Como entonces y de donde y puede decirseque .Luego, el numerador tiende a una constante negativa y el denominador tiende a ,por lo que aplicando la parte 4 del teorema anterior se obtiene quehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (4 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  71. 71. Limites y continuidadComo entonces no existe.Ejercicio:Calcular cada uno de los límites siguientes:1.2.Teorema 14Sean y funciones con dominios respectivamente y sea "a" un númerotal que todo intervalo abierto que contenga a "a" contiene números diferentes de "a"en .Si y entonces1.2. si3. si4.Prueba: Al final del capítulo.Ejemplos:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (5 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  72. 72. Limites y continuidada.En este caso y pues y en elnumerador se tiene una constante positiva, obteniéndose el resultado anterior alaplicar la parte 1 del teorema 13.Luego:b.Este límite anterior puede escribirse como siendoyCalculamos elComo entonces y ; además la constante en elnumerador es positiva por lo que aplicando la parte 1 del teorema 13 se tiene queAhora, el y aplicando la parte 2 del teorema anterior setiene quec.Este límite puede escribirse como sabemos quey además por lo que aplicando laparte 3 del teorema anterior concluimos qued.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (6 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  73. 73. Limites y continuidadEn este caso se tiene que y que por parte 1 delteorema 13 de donde, aplicando la parte d) del teorema 14 concluimos queTeorema 15Sean y dos funciones, "a" un número con la propiedad mencionada en elteorema 14.Si y entonces:1.2. si3. si4.Prueba: Similar a la del teorema 14.Ejemplos:1.En este caso yCalculemosSi entonces por lo que puede decirse quehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (7 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  74. 74. Limites y continuidadComo la constante en el numerador es positiva, aplicando la parte 2 del teorema 13se deduce que:Por otra parte , y aplicando el punto 1 del teorema 15 se obtiene que2.Este límite puede escribirse comoComo y , aplicando la parte 2 del teorema 15 seobtiene que3.El límite anterior puede escribirse comoComo , y , entonces aplicando el punto 3del teorema 15 se obtiene que4.En este caso se tiene que y por parte 2 delteorema 13 (compruébelo). Luego aplicando el punto 4 del teorema 15 se tiene queEjercicios: aplicación de los teoremas 13,14 y 15Calcule los límites siguientes:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (8 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  75. 75. Limites y continuidad1.2.3.Teorema 16Si y son funciones tales que y entonces secumple que:1.2.Prueba: Ejercicio para el estudiante.Ejemplo:Determinar el límite siguienteEn este caso calculemos: yComo entonces y por lo que y o seay . Luego, se tiene que y(por teorema 13), y concluimos de acuerdo al teorema anterior que:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (9 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  76. 76. Limites y continuidadEjercicioCalcule cada uno de los límites siguientes:1.2.Teorema 17Si y son funciones tales que y entonces:1.2.Prueba: Ejercicio para el estudianteEjemplo:Calculemos:yComo entonces por lo que , o sea y. Luego, se tiene que (por teorema 13 parte 2) y(por teorema 13 ).Entonces, utilizando el teorema anterior se tiene que:yhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (10 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  77. 77. Limites y continuidadEjercicioCalcule los límites siguientes:1.2.Teorema 18Si y son funciones tales que y entonces:Prueba: Al final del capítulo.Ejemplo:Calculemos:yComo entonces además y cuando .Luego, se tiene que: y y aplicando el teoremaanterior tenemos que:Ejercicio:Calculehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (11 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  78. 78. Limites y continuidadNota: los teoremas 12 a 18 son válidos cuandoTeorema 19Si entoncesPrueba: Al final del capítulo.Ejemplos:1.2.3.4.5.Teorema 20Si es un número positivo tal que es un número real para , entoncesPrueba: Similar a la del teorema 19.Nota: observe que, como está creciendo a través de valores negativos es necesario quesea un número real, no teniendo sentido expresiones como:Ejemplos:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (12 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  79. 79. Limites y continuidad1.2.3.4.Note que si entonces por lo que sí tiene sentido cuando.Daremos ahora ejemplos de límites cuando y cuando . Para calculary factorizamos la variable de mayor exponente como se evidenciaa continuación.1.Note que cuando2.pueshttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (13 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  80. 80. Limites y continuidad3. ejercicio para el estudiante4.Recuerde que cuando5.Observe que evaluando, el numerador tiende a una constante (5), y el denominadortiende a .(por teorema 19)6.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (14 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  81. 81. Limites y continuidadComo está definida a través de valores positivos entoncesObserve que y que la expresión dentro del paréntesis tiende a .7.Como crece a través de valores negativos se tiene queNota: Recuerde si es par.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (15 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  82. 82. Limites y continuidad8. Ejercicio9.Note que10.Observe que:Luego se presenta la forma para la que no tenemos ningún teoremaque nos permita dar el resultado.Cuando se presenta esta situación, primero racionalizamos y luego evaluamos ellímite con el proceso que ya conocemos:Así tenemos que:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (16 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  83. 83. Limites y continuidad11.Observe que:yPor lo que en este caso se presenta la forma , o sea, para laque sí existe un teorema y concluimos que:Ejerciciohttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (17 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  84. 84. Limites y continuidad1. (respuesta: 2)Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node12.html (18 de 18)27/11/2005 12:46:03 a.m.
  85. 85. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Límites que involucran la función exponencial y la función logarítmicaRecordemos primero el comportamiento de la función exponencial y el de la funciónlogarítmica.1. conNote que: y2. conhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node13.html (1 de 9)27/11/2005 12:46:13 a.m.
  86. 86. Limites y continuidadNote que: y3. Función logarítmica de baseObserve que: yAdemás yhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node13.html (2 de 9)27/11/2005 12:46:13 a.m.
  87. 87. Limites y continuidadSi entonces y , o sea y por tanto .Si entonces y por lo que yTomando en cuenta las representaciones gráficas de las funciones exponenciales ylogarítmicas, estudiaremos límites que involucran funciones de la formacon constante.Calculemos los siguientes límites:1.En este caso se tiene la función exponencial de base .Observe que en la expresión el denominador tiende a cero cuando ,por lo que analizaremos el comportamiento de esta expresión cuando , ycuandoa.Si entonces , por lo que(Teorema 13)Como entoncespues estamos trabajando con la función exponencial con base mayor que.Luegob.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node13.html (3 de 9)27/11/2005 12:46:13 a.m.
  88. 88. Limites y continuidadSi entonces , por lo queComo el exponente de la función exponencial tiende a más infinitoentonces:cuando y por tanto:Como los límites laterales son diferentes entoncesno existe2.Tratamos nuevamente con la función exponencial, pero ahora la base es(Revise la representación gráfica de )Calculamos los límites laterales nuevamente pues el denominador de la expresióntiende a cero cuandoa.rSi entonces por lo que ycomo se tiene quehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node13.html (4 de 9)27/11/2005 12:46:13 a.m.
  89. 89. Limites y continuidadLuegob.Si entonces por lo que ycomo entoncesLuegoComoentonces no existe.3.Observe que cuando se tiene que por lo que. Como el numerador tiende a una constante, y el denominadortiende a cero, es necesario calcular los límites laterales como sigue:a.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node13.html (5 de 9)27/11/2005 12:46:13 a.m.
  90. 90. Limites y continuidadComo entonces por lo quey por tanto , de donde y setiene queLuegob.Como entonces por lo quey por tanto , de donde o sea quey se tiene quePor tanto:Como los límites laterales son diferentes, se concluye que:no existe.4. Ejercicio5. Ejercicio6.Se deben analizar dos casos:i.ii.Además se debe tomar en cuenta el comportamiento de la funciónen los alrededores de , pues y por lo que eldenominador tiende a cero cuando .http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node13.html (6 de 9)27/11/2005 12:46:13 a.m.
  91. 91. Limites y continuidadLa representación gráfica de la función , en el intervalo es la siguiente:Observe que cuando se tiene que y que cuandoentonces , por lo que yAhora analicemos el límite pedido.i.Cuando1)2)Como los límites laterales son diferentes entonces:no existe.ii.Cuando1)http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node13.html (7 de 9)27/11/2005 12:46:13 a.m.
  92. 92. Limites y continuidad2)Luego, los límites laterales son diferentes por lo que no existe.7.En este caso la base de la función exponencial es y .Como y cuando , analicemos la gráfica decuando , analicemos la gráfica de en losalrededores deSi entonces por lo que y , esdecir,Si entonces por lo que y , osea, .Luego al calcular los límites laterales se tiene que:yhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node13.html (8 de 9)27/11/2005 12:46:13 a.m.
  93. 93. Limites y continuidadPor lo que no existe.8. Ejercicio para el estudiante.Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node13.html (9 de 9)27/11/2005 12:46:13 a.m.
  94. 94. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Introducción"Cuando empezó a desarrollarse el Cálculo, la mayor parte de las funciones con las quese trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sentía la necesidad de penetrar en elsignificado exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII que se presentaronalgunas funciones discontinuas en conexión con distintas clases de problemas físicos. Enparticular, los trabajos de J.B.J. Fourier (1758-1830) sobre la Teoría del calor, obligarona los matemáticos de principios de siglo XIX a examinar cuidadosamente el significadode los conceptos de función y continuidad.A pesar de que el significado de la palabra "continuo" parece intuitivamente clara a todoel mundo, no es fácil imaginarse cuál sería una buena definición de esta idea. Undiccionario popular da la siguiente definición de continuidad:Continuidad: Cualidad o condición de ser continuo.Continuo: Que tiene continuidad entre las partes.Intentar aprender el significado de continuidad únicamente a partir de estas dosdefiniciones, es lo mismo que intentar aprender chino con sólo un diccionario chino.Una definición matemática satisfactoria de continuidad, expresada enteramente pormedio de las propiedades del sistema de los números reales, fue formulada porprimera vez en 1821 por el matemático francés Agustín-Louis Cauchy (1789-1857)".(Apóstol, 1977, 156)Antes de dar la definición de continuidad de una función en un punto, veremos elcomportamiento de algunas funciones que no son continuas.a.Sea f la función definida porSu representación gráfica es la siguiente:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node15.html (1 de 4)27/11/2005 12:46:16 a.m.
  95. 95. Limites y continuidadEn este caso la función f estádefinida en pues .Sin embargo el no existe ya que, y,y se tiene que los límites laterales son distintos.b.Sea g la función definida por para ,Su representación gráfica es la siguientehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node15.html (2 de 4)27/11/2005 12:46:16 a.m.
  96. 96. Limites y continuidadNote que la función g no estádefinida en 2 y que además no existe puesyc.Consideremos ahora la función h definida por:Su representación gráfica es la siguiente:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node15.html (3 de 4)27/11/2005 12:46:16 a.m.
  97. 97. Limites y continuidadEn este caso, la función h estádefinida en 1 pues , además existe y esigual a 1, peroPuede observarse que las gráficas de las funciones f, g y h, presentan "saltos bruscos" odiscontinuidades en los puntos en los que no está definida la función o en los puntos, enlos que aún cuando la función está definida, el límite de la función en ese punto no existe,o su valor es diferente al que toma la función en ese punto. Luego, debemos establecercondiciones bajo las cuales se sepa con certeza cuándo una función es continua. De losejemplos anteriores podemos deducir intuitivamente lo que se establece en la siguientedefinición.Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node15.html (4 de 4)27/11/2005 12:46:16 a.m.
  98. 98. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Definición de continuidadSe dice que una función f es continua en c si y solo si se cumplen las tres condicionessiguientes:1.está definida, (o sea, c pertenece al dominio de f)2.existe3.La función f será discontinua en c si por lo menos una de las condiciones anteriores no secumple.EjemploDeterminar si la función definida por es continua enPrimero por lo que f está definida en 2Calculemos(de aquí existe)Como entonces f es continua enNote que f no está definida ni en , ni en por lo que f es discontinua en esospuntos.EjemploDetermine si la función definida porhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node16.html (1 de 3)27/11/2005 12:46:18 a.m.
  99. 99. Limites y continuidades o no continua enSe tiene que (es decir, 4 pertenece al dominio de )AdemásPero por lo que es discontinua en .La representación gráfica de la función es la siguiente:EjemploSea f la función definidaDeterminar si f es continua enSegún la definición de la función .Ademáshttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node16.html (2 de 3)27/11/2005 12:46:18 a.m.
  100. 100. Limites y continuidadLuego por lo que f es continua enLa representación gráfica de esta función es la siguiente:EjerciciosDetermine si la función f definida por es o no continua enSimilarmente para la función h definida por , en los puntos yCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node16.html (3 de 3)27/11/2005 12:46:18 a.m.
  101. 101. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Discontinuidades evitablesSi una función f es discontinua en pero se tiene que existe, entoncessucede que no existe o que es diferente de . Ambas situaciones seilustran a continuación:y no existe y ( )En ambos casos, la discontinuidad de la función puede evitarse predefiniendo la funciónde tal forma que sea igual al resultado delEjemploSea f la función definida porDeterminemos si f es continua enSe tiene que y queSe observa que existe pero es diferente dehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node17.html (1 de 3)27/11/2005 12:46:21 a.m.
  102. 102. Limites y continuidadLuego, si le asignamos a el valor de 0 (cero), la función es continua. Puedeescribirse de nuevo la definición de f como sigue:Ambas situaciones se ilustran a continuación:La discontinuidad será inevitable o esencial si el limite de la función en el punto dediscontinuidad no existe.EjemploConsideremos la función definida porAnalicemos la continuidad en .Como f no está definida en 2, automáticamente f es discontinua en ese valor. Sinembargo, si el existe puede redefinirse la función para que sea continua.Calculemos por tanto el .Para ello vamos a analizar los límites laterales como sigue:Como los límites laterales son diferentes entonces no existe y la discontinuidades inevitable, ya que no podemos redefinir la función.La representación gráfica de la función f es la siguiente:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node17.html (2 de 3)27/11/2005 12:46:21 a.m.
  103. 103. Limites y continuidadEjercicioPara cada una de las funciones definidas a continuación, determine si la función es o nocontinua en el valor de especificado.En caso de discontinuidad, especifique si ésta es evitable o no.Si la discontinuidad es evitable, escriba la nueva definición de la función.1.2.3.Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node17.html (3 de 3)27/11/2005 12:46:21 a.m.
  104. 104. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Continuidad en un intervalo [a,b]Una función f definida en un intervalo , es continua en el intervalo si:a. es continua para todo tal queb. es continua por la derecha en "a"c. es continua por la izquierda en "b"Es decir, f es continua en si:a.b.c.EjemploConsideremos la función f definida por .Esta función es continua en el intervalo cerrado , ya que si se tieneque:; además, y,La representación gráfica de esta función es la siguiente:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node18.html (1 de 3)27/11/2005 12:46:24 a.m.
  105. 105. Limites y continuidadTambién se tiene que una función definida en el intervalo , es continua en eseintervalo, si y solo si es continua en el intervalo abierto y es continua por la derechade "a".Similarmente, para que una función definida en el intervalo sea continua en eseintervalo, es necesario que sea continua en el intervalo abierto y a la vez que seacontinua por la izquierda en "b".EjemploConsideremos la función definida por en el intervalo .Para , se tiene queAdemás , por lo que la función es continua por laderecha en .Luego f es continua enEjemploConsidere la función definida por en el intervalo .http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node18.html (2 de 3)27/11/2005 12:46:24 a.m.
  106. 106. Limites y continuidadPare se tiene que ypor lo que es continua enAdemás, y es continua por la izquierda en 2.Luego es continua en el intervaloCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node18.html (3 de 3)27/11/2005 12:46:24 a.m.
  107. 107. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Definición de continuidad utilizando ySegún la definición de continuidad, una función f es continua en un punto c si.Utilizando la definición de límite, la anterior igualdad significa que para cada existetal que si entoncesSin embargo ahora la restricción no es necesaria, ya que si tomaentonces y por lo que y cero es menor que , lo cualcumple con lo que estipula la definición de límite.Luego puede decirse queDefiniciónUna función es continua en si y solo si para cada existe tal que sientonces .Note que si la función es continua en c, entonces el punto está en la gráfica def y existen puntos de ella tan cercanos como se desee al punto .Según la definición dada de continuidad, dada una y para cualquier selección de lasrectas cuyas ecuaciones son , , existen rectas con ecuaciones, tales que la parte gráfica de f que está entre las dos últimas líneas,queda enteramente contenida en el rectángulo determinado por las cuatro rectas yamencionadas, como se muestra en la figura siguiente:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node19.html (1 de 2)27/11/2005 12:46:26 a.m.
  108. 108. Limites y continuidadCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node19.html (2 de 2)27/11/2005 12:46:26 a.m.
  109. 109. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Teoremas sobre continuidad de funcionesTeorema aSi las funciones f y g son continuas sobre los intervalos y respectivamente ysi entonces:a.es continua sobre el intervalo Ub.es continua sobre Uc.es continua sobre U (Producto de dos funciones)d.es continua sobre U, excepto para tal queDemostración: al final del capítulo.Teorema bLa función f definida por , donde es un polinomio real, escontinua para todo número real.(Recuerde que , , ,para )Demostración: al final del capítuloSegún el teorema son ejemplos de funciones continuas las siguientes:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node20.html (1 de 5)27/11/2005 12:46:32 a.m.
  110. 110. Limites y continuidadTeorema cUna función definida poryDemostración: al final del capítulo.Ejemplos1.La función definida por es continua para todo, ya que el polinomio en el denominador se hace cero cuando se evalúaen , o2.La función definida por es continua para tal que yTeorema dSean y dos funciones tales queAdemás y g es continua en d.EntoncesDemostración: al final del capítulo.Ejemplo:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node20.html (2 de 5)27/11/2005 12:46:32 a.m.
  111. 111. Limites y continuidadSean y dos funciones tales que:,Como y g es continua para pues, entoncesTeorema eSi es una función continua en y es una función continua en , entonces lacomposición de funciones es continua en .Demostración: al final del capítulo.Nota: La continuidad de la composición de funciones es válida para cualquier número finito defunciones, siempre y cuando se cumpla que cada función sea continua en su respectivo argumento.Ejemplo1.Sean y dos funciones definidas por las siguientes ecuaciones ,.Note que es una función polinomial y por lo tanto continua para todo . La función fes continua paraLuego la función será continua para losvalores de x tales que sea mayor o igual que cero.Como y , entonces la función h será continuapara todo valor real.2.Consideremos las funciones definidas porhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node20.html (3 de 5)27/11/2005 12:46:32 a.m.
  112. 112. Limites y continuidad,.La función es continua para , y la función es continua para todo valor realpor ser función polinomial.Luego la función , dada por sea continua siempre , esdecir, siempre que .3.La función h definida por es continua siempre que sea mayor quecero.Esta última condición se satisface cuandoTeorema fLa función seno definida por es continua sobre todo su dominio, o sea.sobre todo .Demostración: al final del capítulo.EjemploLa función f definida por es continua siempre que x sea diferente de cero, pues ense tiene que no está definida.Teorema gLa función coseno denotada por es continua sobre todo su dominio .Demostración: Ejercicio para el estudiante.EjemploLa función puede considerarse como la composición de las funciones con ecuacioneshttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node20.html (4 de 5)27/11/2005 12:46:32 a.m.
  113. 113. Limites y continuidad, . Como la función f es continua para y la función g es continua paratodo x en , entonces la función h es continua siempre que sea mayor o igual a cero, lo quesucede cuando:, , par.Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node20.html (5 de 5)27/11/2005 12:46:32 a.m.
  114. 114. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Algunas propiedades de las funciones continuasDaremos ahora algunas propiedades de las funciones continuas sobre un intervalo, cuyainterpretación geométrica parece hacerlas evidentes.Teorema hSea f una función continua en c tal que .Existe entonces un intervalo en el que f tiene el mismo signo que .Demostración: al final del Capítulo.Gráficamente se tiene:En este caso para x cercano a c, puesTeorema de BolzanoSea f una función continua en cada punto de un intervalo cerrado , de dondey tiene signos opuestos. Entonces existe por lo menos un punto enel intervalo abierto tal queDemostración: al final del capítulo.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node21.html (1 de 6)27/11/2005 12:46:39 a.m.
  115. 115. Limites y continuidadGeométricamente puede interpretarse este teorema como sigue:la gráfica de la función continua con ecuación , que une los puntos y, donde y , (o bien , ), corta o interseca eleje X por lo que menos un punto, como se representa en las figuras siguientes:Note que En este caso , yEjemplos1.Consideremos la función f con ecuación en el intervalo .Como , , , , entonces existe por lo menos unen tal que .En este caso .Gráficamente se tiene:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node21.html (2 de 6)27/11/2005 12:46:39 a.m.
  116. 116. Limites y continuidad2.Consideremos ahora la función con ecuación en el intervaloComo y , entonces existe por lo menos un valor en elintervalo tal queLa representación gráfica de la función es la siguiente:Note que la función interseca al eje X en un valor entre -2 y -1 en , y en un valorentre 3 y 4. Resolviendo se obtiene que , ,http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node21.html (3 de 6)27/11/2005 12:46:39 a.m.
  117. 117. Limites y continuidadTeorema del valor intermedio para funciones continuas.Sea f una función definida y continua en cada punto de un intervalo . Sin yson dos puntos cualesquiera de tales que y ,entonces la función f toma todos los valores comprendidos entre y porlo menos una vez en el intervalo .Demostración: al final del Capítulo.Gráficamente se tiene lo siguiente:En otras palabras, si en los extremos del segmento dado la función toma valores diferentes, , siempre se encontrará un punto , comprendido entre y, tal que , cualquiera que sea el número k entre los valores A y B.EjemploConsideremos la función f con ecuación definida en el intervalo , cuyarepresentación gráfica es la siguiente:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node21.html (4 de 6)27/11/2005 12:46:39 a.m.
  118. 118. Limites y continuidadEn este caso y (obviamente )Entonces, según el Teorema anterior, siempre se encontrará algún valor entre y 4 cuyaimagen esté comprendida en y .Si existe , tal queSi existe , tal que ; en este casoEs necesario hacer notar que el Teorema del valor intermedio es válido únicamentecuando la función es continua en un intervalo dado.En caso de que la función sea discontinua, el Teorema no siempre se cumple.Por ejemplo, consideremos la función en el intervalo definida por la siguienteecuación:La representación gráfica es la siguiente:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node21.html (5 de 6)27/11/2005 12:46:39 a.m.
  119. 119. Limites y continuidadNote que la función es discontinua en el intervalo , pues en , el noexiste. Se tiene que y que .Si se toma un valor k entre y 1, , no existe ningún valor C entre 0 y 2,tal que , pues la función nunca toma valores entre y 1. Si se trazara una rectacon ecuación , ésta nunca intersecaría a la curva.De aquí que la condición de continuidad en el intervalo es indispensable para que secumpla el Teorema.Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node21.html (6 de 6)27/11/2005 12:46:39 a.m.
  120. 120. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Continuidad y funcionesAntes de establecer las relaciones entre las funciones inversas y los teoremas sobrecontinuidad, daremos las siguientes definiciones.Definición: Función estrictamente crecienteSe dice que una función f definida en un intervalo es estrictamente creciente, sipara cada , con se tiene quehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node22.html (1 de 9)27/11/2005 12:46:44 a.m.
  121. 121. Limites y continuidadDefinición: Función estrictamente decrecienteSimilarmente, una función f es estrictamente decreciente si peroPor ejemplo, la función con ecuación es estrictamente creciente en elintervalo de , como se muestra en la gráfica siguiente:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node22.html (2 de 9)27/11/2005 12:46:44 a.m.
  122. 122. Limites y continuidadLa función con ecuación es decreciente en el intervalo como semuestra en la figura siguiente:Consideremos ahora la gráfica de una función f, denotada por , que es continua yestrictamente creciente en un intervaloSegún el Teorema del valor intermedio, si "y" está comprendido entre y ,entonces existe por lo menos un tal que . En este caso, como f es unafunción estrictamente creciente, si , existe un único valor talquePodría establecerse una nueva función g que tomara a "y" como la variable independiente,de tal forma que x sea igual a . Esta nueva función g recibe el nombre de funcióninversa de la función f y se denota por .http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node22.html (3 de 9)27/11/2005 12:46:44 a.m.
  123. 123. Limites y continuidadDefinición: Función inversaSea f una función determinada porSi existe una función tal que si y solo si , entoncesrecibe el nombre de función inversa y está determinada porEl dominio de es el rango de , y el rango de es el dominio de f.Así:Por ejemplo, la funcióntiene como función inversa, la función definida porLa representación gráfica de ambas funciones es la siguientehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node22.html (4 de 9)27/11/2005 12:46:44 a.m.
  124. 124. Limites y continuidadNote que una función y su inversa son simétricas respecto a la gráfica de la funciónidentidad.Propiedades de las funciones inversashttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node22.html (5 de 9)27/11/2005 12:46:44 a.m.
  125. 125. Limites y continuidadTeorema kSi una función f es continua y estrictamente creciente en un intervalo , entonces:1.existe la función inversa en el intervalo2.es estrictamente creciente en3.es continua enDemostración: al final del capítuloEjemploSea f la función definida por:Su representación gráfica es la siguiente:Se observa que f es continua y estrictamente creciente en . Luego, según elteorema existe una función inversa que también es continua y estrictamentecreciente.Dicha función está definida de la manera siguiente:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node22.html (6 de 9)27/11/2005 12:46:44 a.m.
  126. 126. Limites y continuidadSu representación gráfica es la siguiente:Teorema LSi una función es continua y estrictamente decreciente en un intervaloentonces:1.f posee una función inversa denotada , definida en2.es decreciente en3.es continua enEjemploConsideremos la función f definida como sigue:Su representación gráfica es la siguiente:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node22.html (7 de 9)27/11/2005 12:46:44 a.m.
  127. 127. Limites y continuidadLa función f es continua y estrictamente decreciente por lo que posee función inversa quetambién es continua y estrictamente decreciente. Dicha función está definida por:Su representación gráfica es la siguiente:Ejercicios1.Sea f la función definida porRepresente gráficamente esta función.Si f cumple las condiciones del teorema L o del teorema k, determine y hagala respectiva representación gráfica.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node22.html (8 de 9)27/11/2005 12:46:44 a.m.
  128. 128. Limites y continuidad2.Proceda en forma similar a lo enunciado en 1. paraNota: Los teoremas L y k enunciados anteriormente, serán de gran utilidad cuandoestudiamos las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas en el próximo capítulo.Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node22.html (9 de 9)27/11/2005 12:46:44 a.m.
  129. 129. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Valores máximos y mínimos para funciones continuasDefinición Máximo absoluto y mínimo absolutoSea f una función real de variable real definida en un conjunto U de números reales.a.Se dice que la función f posee un máximo absoluto en el conjunto U, si existepor lo menos un valor c en U tal que para todo .El número recibe el nombre de máximo absoluto en en U.b.Se dice que f posee un mínimo absoluto en U si existe un valor d en U tal quepara todo .EjemploConsideremos la función f definida por:en el intervaloSu representación gráfica en este intervalo es la siguiente:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node23.html (1 de 8)27/11/2005 12:46:50 a.m.
  130. 130. Limites y continuidadComo para todo entonces el máximo absoluto de la función esComo para todo entonces el mínimo absoluto de la función esEjemploConsideremos la función f definida por:Su representación gráfica es la siguiente:En este caso para todo , por lo que es el máximoabsoluto de .Sin embargo, esta función no posee un mínimo absoluto.Note quehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node23.html (2 de 8)27/11/2005 12:46:50 a.m.
  131. 131. Limites y continuidadTeorema de acotación para funciones continuasSi f es una función continua en un intervalo cerrado entonces es acotada en, es decir, existe un número tal que para todo .Una demostración de este teorema aparece en el libro Calculus de Tom M. Apóstol.EjemploSea f una función definida por:Su representación gráfica es la siguiente:es continua para todoNote que lo que puede escribirse como , de dondeLuego para por lo que es acotada enEjemploConsidere la función definida por:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node23.html (3 de 8)27/11/2005 12:46:50 a.m.
  132. 132. Limites y continuidadSu representación gráfica es la siguientees continua para todoSe tiene que para , porlo que de donde y por tanto para. Luego es acotada enSi una función f es acotada en un intervalo cerrado , entonces el conjunto de todos losvalores de está acotado tanto superior como inferiormente.Luego, este conjunto posee un extremo superior y un extremo inferior denotados pore respectivamente. Se escribe entonces:El es el mayor de los paraEl es el menor de los parahttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node23.html (4 de 8)27/11/2005 12:46:50 a.m.
  133. 133. Limites y continuidadPara cualquier función acotada se tiene que para todoEn el ejemplo inmediato anterior se tiene que el es , y que el esTeorema del máximo (mínimo) para funciones continuasSi una función es continua en un intervalo cerrado , entonces existe puntosy en tales que yDemostración: al final del capítuloSegún el teorema, podemos decir que si f es continua en entonces el es sumáximo absoluto, y el es su mínimo absoluto. Luego, por el teorema del valormedio, los valores que toma estarán en el intervalo .Es indispensable que el intervalo sea cerrado, pues de no serlo, puede ocurrir que aunqueuna función sea continua en un intervalo abierto, no alcance en él ni su valor máximo nisu valor mínimo.EjemploSea la función definida por:Su representación gráfica es la siguiente:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node23.html (5 de 8)27/11/2005 12:46:50 a.m.
  134. 134. Limites y continuidadObserve que aunque es continua en no posee ni máximo ni mínimo absoluto,o sea no tiene ni niEjemploSea f la función definida porEn la gráfica siguiente puede apreciarse que para , por lo que. Sin embargo no posee un valor máximo absoluto.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node23.html (6 de 8)27/11/2005 12:46:50 a.m.
  135. 135. Limites y continuidadNote queEjemploSea f la función definida porSu representación gráfica es la siguiente:En este caso, el intervalo en el que está definida la función f sí es cerrado. Note quepara por lo que existe en tal que .Además para , por lo que existe en tal queSe tiene entonces que es el máximo absoluto de la función y el corresponde asu mínimo absoluto.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node23.html (7 de 8)27/11/2005 12:46:50 a.m.
  136. 136. Limites y continuidadCidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node23.html (8 de 8)27/11/2005 12:46:50 a.m.
  137. 137. Limites y continuidadLic. Elsie Hernández S..1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Este documento fue generado usando LaTeX2HTML translator Version 2002-2 (1.70)Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit,University of Leeds.Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, MacquarieUniversity, Sydney.Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCRhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node24.html27/11/2005 12:46:51 a.m.
  138. 138. DemostracionesLic. Elsie Hernández S.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23Demostraciones1. Probar queConsideremos la siguiente igualdad:Sustituyendo por se obtieneSumando, por separado, cada uno de los términos en ambos lados de la igualdad se obtieneComo entonceshttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFER...so-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (1 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  139. 139. Demostracionesde dondeEfectuando la suma del lado izquierdo, se obtiene quey por lo tanto , que era lo que sequería probar.Puede utilizarse también el método de inducción matemática para probar la validez de estaigualdad, lo mismo que para probar que se cumple2. Teorema 1 (sobre la unicidad del límite)Vamos a suponer que y demostraremos que ello es imposible.Si , hagamos que será positivo por estar tomando el valorabsoluto.http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFER...so-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (2 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  140. 140. DemostracionesComo entonces, por la definición de límite, se sabe que talque siempre queAdemás, y también por definición se sabe que existe Tal quecuando . Puede suceder que o que .Supongamos que .Como entoncesde donde(Recuerde que )Como y entoncesy por lo tantoPero habíamos definido y hemos llegado a que lo que es absurdo.Luego la suposición de que es diferente de nos ha llevado a una contradicción, porlo que debe ser falsa.Entonces, necesariamente , con lo que queda demostrado el teorema.3. Teorema 2. Sea , números reales. Nos interesa encontrar unatal que siempre quehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFER...so-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (3 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  141. 141. DemostracionesComo entonces.Considere los casos siguientes1.Dada cualquier se tiene que es menor que siempre quesea menor queLuego si entonces , siempre que.2.Si entonces , por lo que dada cualquier ,la desigualdad será cierta para todos los valores de ypor lo tanto, para cualquier se cumple que cuando4. Teorema 3. Debemos probar que dada cualquier , existe tal quesiempre que .Como entonces serámenor que si (A) Como entonces dadahttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFER...so-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (4 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  142. 142. Demostracionesuna , existe tal que cuando .Considerando lo especificado en (A), podemos utilizar esta misma para quey así queda demostrado el teorema.5. Teorema 4. Consideremos los siguientes casos1.En este caso debemos probar que , es decir que dada cualquier, existe tal que o sea , cuando, con , lo que convierte en .Tenemos que si entonces por lo que si se cumple quecuando y así queda demostrado este caso.2.En este caso debe probarse que es decir que para cadaexiste una tal que es menor que cuando, con .Se tiene que para la expresión puede escribirse como sigue:de dondehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFER...so-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (5 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  143. 143. DemostracionesLuego, , siempre que Tomandose cumple que cuando y asíqueda demostrado el segundo caso.6. Teorema 5. Para demostrar que dadadebemos probar que existe tal que si entoncesSi se tiene que tambiénComo:1. se sabe que existe tal que sientonces2. se sabe que existe tal que sientoncesTomando como el mínimo de y se tiene que si entoncesyAhora:y como y se tiene quePor lo tanto, si es igual al mínimo de y se obtiene que sientonceshttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFER...so-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (6 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  144. 144. Demostraciones7. Teorema 6.Dado hay que demostrar que existe tal que siComo y entonces multiplicando yrestando se obtiene que:Luego:Por hipótesis, como , existe tal quesiTambíen como , existe tal que siTambíen se tiene que si ysi Si es el mínimo de , lasdesigualdades anteriores se cumplen para toda tal queLuego:es menor que:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFER...so-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (7 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  145. 145. DemostracionesAdemás como y se tiene queyLuego:para . Y así queda demostrado el teorema.NotaSe utilizó y en los denominadores de y en lugarde y , pues si es igual a cero no puede estar en el denominador, en tantoque no puede hacerse cero y como ya se dijo es siempre menor que 1, yaque el denominador es mayor que el numerador.8. Teorema 8. , conHay que considerar dos casos; cuando y cuando Haremos el desarrolloparaDebe probarse que para cualquier , existe un tal que sea menor quehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFER...so-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (8 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  146. 146. Demostracionessiempre queNote que:pues (*).Como la desigualdad es equivalente a y por tanto, y como entoncesLuego, siempre que se tiene queVolviendo a (*) podemos escribir que:por lo quesiempre queComo queremos que sea menor que , , al tomar comola más pequeña entre y , nos aseguramos que siempre que yLuegohttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFER...so-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (9 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  147. 147. Demostracionesde dondesiempre que donde es igual al mínimo entre yDe esta forma queda demostrado que , con9. Teorema 9.Vamos a demostrar que cuando y es cualquiernúmero positivo.Luego debe demostrarse que para cualquier , existe un tal que ,siempre que .Vamos a utilizar la fórmula siguiente válida para cualquier entero positivopara expresar en términos de como sigue:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...o-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (10 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  148. 148. DemostracionesSe desea encontrar un número tal que la fracción en el lado derecho de la igualdad anteriorsea menor que ese número.Si se condiciona que la que se está buscando sea menor o igual que entonces siempreque se sabe que , lo que es equivalente a:o seaLuego siempre que se tiene que x>0, por lo que, si en el denominador de lafracción del lado derecho de la igualdad dada en , la se sustituye por 0, se tieneque:que es la fracción mencionada.Luego, siempre que se tiene queSe desea que sea menor que es decir queAsí tomando como la más pequeña entre y nos aseguramos que siempre quehttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...o-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (11 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  149. 149. Demostracionesse cumple que yPor tantosiempre que , donde es igual al mínimo entre y , con lo quequeda demostrado el teorema.10. Teorema 10.Será demostrado más adelante, utilizando el teorema 8, y un resultado sobre continuidad.11. Teorema 11.Como entonces para cualquier existe unentorno reducido de tal que y es deciryAhora, para toda toda que pertenece a donde se tiene que:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...o-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (12 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  150. 150. Demostracionespor lo queDe aquí que para lo que significa que y elteorema queda demostrado.12.Teorema 12.Probaremos la parte a)Se debe demostrar que dada , existe tal que siempre que(Recuerde la definición 1.10.3)Como y entonces se tiene que siempre que .Además por lo que siempre que .Tomando se cumple que siempre que .Las demostraciones de las partes b) y c).13. Teorema 13.Vamos a probar la parte a) o sea si y cuando.Para ello debe probarse que dada , existe una tal que siempreque (Recuerde la definición 1.10.1)http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...o-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (13 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  151. 151. DemostracionesComo , con c>0, tomando , se tiene que existe una talque siempre que (Por definición en un punto delímite en un punto).Luego, de la desigualdad se sigue que siempre que, por lo que siempre que .Luego existe una tal que siempre que (*)Por otra parte, como se tiene que dada , (cualquiera), existe unatal que siempre que . (También por definición delímite).Como tiende a cero a través de valores positivos entoncesLuego, dad , existe una tal qu siempre que(**)De las afirmaciones hechas en (*) y (**) se puede concluir que dada una , existe unay una tales que:siempre que que es lo que se quería demostrar, como se indicó alprincipio de la prueba.14. Teorema 14.Probaremos la parte 1), o sea que si yhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...o-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (14 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  152. 152. DemostracionesPara ello se necesita que dada , (sin importar que tan grande), exista con lapropiedad que siempre que .Como , para , existe tal que siempreque .Luego se tiene que , siempre que de dondesiempre que .Además, como , dada , existe tal quesiempre que . Tomando como el mínimo de y , lasdesigualdades y se cumplen si .Luego cuando y el teorema quedademostrado pues es suficientemente grande.15. Teorema 18.Para demostrar este teorema se necesita que para un dado, (sin importar lo pequeño),exista tal que si .Como entonces dada (sin importar su magnitud), existe talque siempre que .Además, como , dada (sin importar lo pequeña que sea); existetal que si .http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...o-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (15 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.
  153. 153. DemostracionesSupongamos, sin pérdida de la generalidad, que , , y.Se tiene entonces que si y por tantosi y .Tomando como el mínimo de y y , se cumple quesiempre que .Como puede ser arbitrariamente pequeña, (por tanto negativa), y puede serarbitrariamente grande, (por tanto positiva), entonces puede ser arbitrariamentepequeña y se tiene demostrado el teorema.16. Teorema 19.Para demostrar que se necesita que para cualquier dado existaK tal que:para toda (Recuerde la definición 1.10.5).Ahora, si entoncespor lo que si y solo si . Además, si y solo si:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...o-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (16 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.

×