O documento discute a trigonometria do triângulo retângulo, definindo as funções trigonométricas básicas de seno, cosseno e tangente por meio de razões entre os lados do triângulo e seus ângulos. Ele também explica como a trigonometria é aplicada no estudo da eletricidade, usando o exemplo do fator de potência.
2. Vamos Começar?
A trigonometria é utilizada em várias áreas, como na engenharia civil,
naval, elétrica, agronômica e na astronomia como também no dia a dia de
profissionais como costureiras, eletricistas, mestres de obras etc. Por
isso, nesta aula, estudaremos a trigonometria do triângulo retângulo, pois
ela nos permitirá realizar facilmente cálculos como:
- altura de um prédio através de sua sombra;
- distância a ser percorrida em uma pista circular de atletismo;
- largura de rios, montanhas etc.
No curso de eletrotécnica estuda-se muito eletricidade. Logo, você terá
de lidar com potências elétricas, não é mesmo? Mas, então, qual será a
relação entre eletricidade, potência e trigonometria?
3. Já aconteceu de você estar assistindo a sua TV e, quando é ligado um motor
elétrico (liquidificador, secador de cabelo ) a TV ficar com ruídos na imagem?
Pois é, esta é uma amostra das interferências que acontecem quando a rede
elétrica recebe cargas muito elevadas.
É aí que entra a trigonometria. Então, vamos ver esta aula para entender melhor
como isso funciona.
4. Fique por dentro
As funções trigonométricas básicas são relações entre as
medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos.
As três funções mais importantes da trigonometria são:
,
e
.
5. Observe que os triângulos retângulos na figura possuem os lados
.
B
5
N
5
Q
10
12
9
6
C
8
P
4
M
4
A
O Teorema de Tales nos garante que os triângulos formados são semelhantes:
ABC
~ MNC
~ PQC
6. Podemos então, estabelecer três importantes razões:
1. Razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo α e a medida da hipotenusa
PQ = _6 = 3
QC 10
5
MN = _9 = 3
NC 15
5
15
10
6
9
As razões encontradas são
AB = 12 = 3
BC 20
5
constantes 3
20
5
12
e são chamadas de
seno de α
7. O Teorema de Tales nos garante que, para um triângulo retângulo qualquer,
sendo C um ângulo agudo de medida α, podemos escrever:
B
B1
A
A1
C
Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo
agudo é a razão entre a medida do cateto oposto
a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
sen=
cateto oposto a
hipotenusa
=
A1 B1
B1 C
AB
=
BC
8. 2. Razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo α e a medida da hipotenusa
CP = _8 = 4
QC 10
5
CM = 12 = 4
NC 15
5
10
8
15
12
As razões encontradas são
CA = 16 = 4
BC 20
5
constantes 4
20
5
e são chamadas de
16
cosseno de α
9. Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um
ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto
adjacente a esse ângulo e a medida da
hipotenusa.
A
B
C
10. 3. Razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo α.
QP = 6
PC 8
=3
4
NM = 12
MC 15
=3
4
6
12
8
15
As razões encontradas são
constantes 3
BA = 12 = 3
AC 16
4
12
16
4
e são chamadas de
tangente de α
11. Em todo triângulo retângulo, a tangente de um
ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto
oposto e a medida cateto adjacente a esse
ângulo.
A
B
C
12. Podemos verificar que, dada as definições de
seno e cosseno de um ângulo, podemos
também escrever a relação da tangente como:
13. Alguns ângulos, por aparecerem com muita frequência nos problemas de
trigonometria são chamados de ângulos notáveis. São eles: 30 , 45 e 60 .
Para facilitar a consulta, colocaremos os valores das razões trigonométricas
desses ângulos em uma tabela.
α
30°
45°
60°
sen α
1
_
2
2
_
2
3
_
2
cos α
tg α
3
_
2
2
_
2
1
1
_
2
14. Esses valores da tabela são obtidos a partir das relações trigonométricas dos
triângulos retângulos obtidos pela diagonal do quadrado (45°) ...
45°
l
l
45°
l
15. ... e pela divisão do triângulo equilátero (30° e 60°), como você pode
conferir na figura a seguir:
A
30° 30°
l
l
h
60°
B
60°
H
l
C
2
Depois, é só aplicar as razões trigonométricas nos catetos
e hipotenusa para obter os valores da tabela.
Experimente!
16. Assista ao vídeo explicativo com
problemas práticos, envolvendo a
trigonometria e suas soluções.
https://www.youtube.com/watch?v=HkTlT5oN8g8
17. Os problemas em trigonometria
também podem envolver outros
ângulos. E, para isso, podemos
consultar uma tabela
trigonométrica ou utilizar uma
calculadora científica.
Também usamos as tabelas e
calculadoras para fazer o caminho
inverso: dado o valor do cosseno ou
seno, qual o valor do ângulo?
Na calculadora, isso se faz com as teclas
das funções inversas arcsen (ou sin-¹),
arccos (ou cos-¹) e arctg (tan-¹).
19. Outras relações entre seno e cosseno:
O seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do complemento desse ângulo e
vice-versa.
Essas propriedades podem ser facilmente
verificadas no triângulo retângulo. Experimente!
20. E a relação entre eletricidade, potência e trigonometria sobre a
qual falamos anteriormente, como fica?
A trigonometria está na base do estudo teórico da eletricidade e um
exemplo disso é o fator de potência.
Mas...
O que é fator de potência?
21.
22. Nas instalações elétricas, é considerado
bom um fator de potência maior ou igual
a 0,85 ou 85% porque, quanto menor o
fator de potência, maior a corrente. Se o
fator de potência não for adequado,
haverá perdas por aquecimento e
desgaste nas instalações.
Matematicamente, o fator de potência é a relação entre a
potência real e a potência aparente e é o valor do cos α no
triângulo retângulo.
23. Análise prática do fator de potência (cos α)
Nos sistemas em que o cos α é reduzido a baixos valores, a corrente nos
condutores não é toda aproveitada como seria desejável.
Vejamos um caso concreto:
Imaginemos duas fábricas consumindo a mesma potência de 400 kW a
uma tensão de 5 KV (quilo volt= 1000volts) mas com fatores de potência
distintos:
cos α na fábrica 1 = 1
e cos α na fábrica 2 = 0,5.
Ao fim de igual tempo de funcionamento, os dois sistemas terão consumido
a mesma energia. Calculemos as correntes utilizadas por cada um:
P = U.I . cos α
Onde:
P= potência
U= tensão
I = corrente elétrica
cos α = fator de potência
Fábrica 1 :
I1 = P1 / (U1 . cos α 1) = 400 / (5x 1) = 80 A
Fábrica 2 :
I2 = P2 / (U2 . cos α 2) = 400 / (5x 0,5) =160 A
24. A segunda instalação, para a mesma
potência, necessita do dobro da
intensidade de corrente da primeira.
Viu só que prejuízo?
Isso traz consequências tanto para produtores como para consumidores. Dessa
forma, produtores e distribuidores de energia terão que dispor de alternadores
com potências mais elevadas para poderem fornecer a corrente, o que
provocará um dimensionamento de toda a aparelhagem, linhas de transporte e
distribuição para maiores intensidades.
Logo, em relação aos sistemas, é melhor dispor-se de um elevado fator de
potência porque, se isso não ocorrer, terá que ser superdimensionada a
aparelhagem de proteção, o que resultará em maiores custos.
25. Veja outro exemplo
O gráfico a seguir representa a tensão U (volts) aplicada a
um resistor versus a corrente i (ampères) obtida. Calcule o
valor da resistência:
Solução:
θ
A resistência será dada pela tangente do ângulo formado entre o eixo da corrente
e a reta do gráfico, ângulo θ na figura anterior.
26. Acompanhe outro
exemplo.
Em um campo magnético B de intensidade 10²T (tesla), uma
partícula q com carga 0,0002 C (coulomb) é lançada com
6
velocidade de 2.10 m/s, em uma direção que forma um
ângulo de 30° com a direção do campo magnético, conforme
indica a figura:
Qual a intensidade da força magnética que age sobre a
partícula?
Para calcularmos a força magnética que age sobre
esta partícula, devemos usar a equação do campo
magnético generalizado para direções arbitrárias de
"lançamento". Ou seja:
27. Navegando ...
Assista à animação abaixo e veja como a trigonometria está em vários
campos e atividades.
http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/mundo_trigonometria/index.html
Veja um vídeo sobre corrente elétrica em: https://www.youtube.com/watch?v=tZLnsyPuohs
Entenda mais sobre potência e energia potencial em:
https://www.youtube.com/watch?v=XU2n8Dl_MC8
28. Agora é sua vez!
-14
1. Em um campo magnético de intensidade B= 100T, uma partícula com carga q= 2.10 é lançada
5
com velocidade v= 2.10 (em m/s), em uma direção que forma um ângulo de 30° com a direção do
campo magnético. Qual a intensidade da força que atua sobre a partícula? Use a equação da
intensidade da força magnética.
29. 2. Em um circuito RL, (circuito constituído por uma bobina real), temos o triângulo
das tensões e o triângulo das impedâncias como nas figuras a seguir:
Determine, os valores de cosφ e
senφ em função de Z, R e XL.
Lembrete:
U = tensão em volts; XL = reatância indutiva em Ohms; R = resistência em Ohms,
Z= é a impedância (U/I) também em ohms
