Primera actividad de la materia Análisis Numérico por el sistema de SAIA del Politécnico Santiago Mariño

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSION PORLAMAR.
SEDE GENOVES
ANÁLISIS NUMÉRICO
Introducción al Cálculo numérico y manejo de
errores
PROFESOR: ALUMNO:
DOMINGO MENDEZ. Dr. ERASMO AVELLANEDA
C.I.: V.- 13.848.509
TELFN.: 0414-0213235
SECCION: 3-C
Porlamar, Junio 2016.

2. INTRODUCCIÓN.
El análisis numérico es una rama de las matemáticas que se encarga del estudio de
procesos lógicos que permiten la resolución de problemas complejos. Se puede definir
como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos
permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades
numéricas, con una precisión determinada. En el contexto del cálculo numérico, un
algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un
problema mediante un número de pasos finitos que pueden ejecutarse de manera lógica.
En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos
numéricos.
Muchas de las decisiones tomadas en ingeniería se basan en resultados de medidas
experimentales, por lo tanto es muy importante expresar dichos resultados con claridad
y precisión. De acuerdo a nuestra investigación los errores se define como la
diferencia entre el valor real y una aproximación a este valor, también hay diferentes
tipos de errores. Es en el mundo de las matemáticas computacionales donde
entenderemos la importancia que estas tienen para las ingenierías en general; además de
comprender la necesidad de optimizar los cálculos, reducir los márgenes de errores y lo
más importante reducir el costo computacional.
Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa
para cálculos complicados. Al usar la computadora para obtener soluciones
directamente, se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de
simplificación o a técnicas lentas. Un especialista en análisis numéricos se interesa en la
creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente.
Una característica importante del estudio de los métodos es su valoración (es decir,
decidir cuál método es superior para una tarea dada). Aunque hay muchos métodos
numéricos, comparten una característica común: No es raro que con el desarrollo de
computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la
solución de problemas de ingeniería haya aumentado en forma considerable en los
últimos años. Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se pueden
aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o a
técnicas lentas.
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando
su exactitud y precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor
individual medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos numéricos deben
ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un
problema en particular. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones
para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

3. Análisis Numérico
Consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente
aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los instrumentos de
cálculo (como calculadoras, computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las
instrucciones del algoritmo con el fin de calcular o aproximar alguna cantidad o
función, para el estudio de errores en los cálculos"
Los métodos Numéricos han jugado un papel fundamental en el desarrollo
tecnológico actual. Su aplicación va desde la economía a la industria aeroespacial. En
esta materia vamos a introducirlos al estudio y aplicación de las técnicas de esta
interesante disciplina. Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos
proporcionan una alternativa para cálculos complicados.
También es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De
una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y
crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los
que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada. En el
contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a
una solución aproximada de un problema mediante un número de pasos finitos que
pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos
constructivos a estos algoritmos numéricos. El análisis numérico cobra especial
importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos
matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números
binarios y operaciones matemáticas simples. Desde esta perspectiva, el análisis
numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos los
procedimientos matemáticos existentes en base a algoritmos que permitan su simulación
o cálculo en procesos más sencillos empleando números.
Importancia de utilizar métodos numéricos.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El
análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las
soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis
numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo
las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de
operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema
matemático. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos
matemáticos en: Cálculo de derivadas, Integrales, Ecuaciones, diferenciales,
Operaciones con matrices, Interpolaciones, Ajuste de curvas, Polinomios. Los métodos
numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química,
Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, entre otros.
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de
resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora,

4. reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una
computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo
aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la
pericia matemática y la comprensión de los principios científicos básicos.
Números de decimales y de máquina.
Número Máquina: Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y
unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria"
significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere
de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se
relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales
usa componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica abierta/cerrada.
Número Máquina Decimal: Son aquellos números cuya representación viene dada
de la siguiente forma:
± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9
Para cada i=2, 3, 4, ..., k";
De lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras IBM (mainframes) tienen
aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.
Encontrar números decimales a partir de números de máquinas decimales en
bits.
Existen varios métodos de conversión de números decimales a binarios, aquí solo se
analizara uno. Naturalmente es mucho más fácil una conversión con una calculadora
científica pero no siempre se cuenta con ella, así que es conveniente conocer por lo
menos una forma manual para hacerlo.
El método que explicara utiliza la división sucesiva entre dos, guardando el residuo
como digito binario y el resultado como la siguiente cantidad a dividir.
Tomemos como ejemplo el número 43 decimales:
43/2= 21 y su residuo es 1
21/2= 10 y su residuo es 1
10/2= 5 y su residuo es 0
5/2= 2 y su residuo es 1
2/2= 1 y su residuo es 0
1/2= 0 y su residuo es 1

5. Armando el número de abajo hacia arriba tenemos que el resultado binario es
101011.
Error absoluto y error relativo.
Error absoluto: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como
exacta. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o
inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la
medida.
El error absoluto de una medida no nos informa por sí solo de la bondad de la
misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm al medir la
longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio.
Error relativo: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto.
Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error
absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser
por exceso o por defecto. No tiene unidades.
Las reglas que vamos a adoptar en el cálculo con datos experimentales son las
siguientes:
Una medida se debería repetir tres o cuatro veces para intentar neutralizar el error
accidental.
Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de
los resultados.
El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese
valor tomado como exacto (la media aritmética).
El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor
tomado como exacto (la media aritmética).
Ej: En la medida de 1 m se ha cometido un error de 1 mm, y en 300 Km, 300 m. ¿Qué
error relativo es mayor?. Respuesta: son iguales
Cálculos de errores absolutos y errores relativos.
Ejemplo 1. Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos:
3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s
Valor que se considera exacto:

6. Errores absoluto y relativo de cada medida:
Medidas Errores absolutos Errores relativos
3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s -0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%)
3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s -0,01 / 3,12 = - 0,003 (- 0,3%)
3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s +0,08 / 3,12 = + 0,026 (+ 2,6%)
3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s +0,03 / 3,12 = + 0,010 (+ 1,0%)
Ejemplo 2. Obtenemos el error absoluto y relativo al considerar:
a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 m.
b) 60 m como la distancia entre dos postes que están situados a 59,91 m.
a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m
E r = | 3 , 59 - 3 , 5 | 3 , 59 = 0 , 025 = 2 , 5 %
b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m
E r = | 59 , 91 - 60 | 59 , 91 = 0 , 0015 = 0 , 15 %
Observamos que el error absoluto es el mismo en ambos casos, pero el error relativo es
considerablemente mayor en el primer caso y, por tanto, la aproximación es menos
precisa.
Por ejemplo, si redondeamos el número 2,387 a las centésimas:
Error absoluto: Ea = |2,387 - 2,39| = 0,003.
Error relativo: Er = 0,003 / 2,387 = 0,0013. Es decir, el 0,13%.
Cota de errores absolutos y relativos
Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error absoluto (ni
el relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Se pretende encontrar cotas
superiores de esos errores. Cuanta más pequeña sean esas cotas superiores, mejor. Sea f
una función derivable en I,[a, b] Í I, P la solución exacta de la ecuación f(x)=0 y Pn una
aproximación a P. Supongamos |f '(x)| ³ m > 0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b].
Entonces:
Esto nos da una cota del error al tomar una aproximación de la solución exacta,
conociendo una cota inferior del valor absoluto de la derivada. Algunas veces, en la

7. práctica, la exactitud de una raíz aproximada Pn se estima en función de cómo satisfaga
f(Pn) = 0; es decir si el número |f(Pn)| es pequeño, se considera entonces Pn una buena
aproximación de P; pero si |f(Pn)| es grande, entonces Pn no se considera como una
buena aproximación de la solución exacta P.
Cotas de error:
1.-Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa
2. Una cota para el error relativo es:
Cota de error relativo=cota del error absoluto /valor real
Ejemplo nº 1.-
Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las
siguientes aproximaciones:
a) Precio de una casa: 275 miles de €.
b) 45 miles de asistentes a una manifestación.
c) 4 cientos de coches vendidos.
Solución:
a) |Error absoluto| < 500 €
error relativo<500/275000=0,0018
b) |Error absoluto| < 500 personas
error relativo=500/45000=0,011
c) |Error absoluto| < 50 coches
error relativo<50/400=0,125
Fuentes básicas de Errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de
truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número
limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender la
naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los
números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error de
Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del
modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener
modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen
errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo,
truncando los términos de una serie).

8. Redondeo y truncamiento
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los
cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores de
truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento
matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar
aproximadamente números exactos. En cualquier caso, la relación entre el resultado
exacto y el aproximado está dada por: Valor verdadero = valor aproximado + error, de
donde se observa que el error numérico está dado por: Ev = valor verdadero - valor
aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error. La deficiencia del
truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en la
representación decimal completa no tienen relevancia en la versión de cortar o truncar;
por lo tanto el redondeo produce un error bajo en comparación con el truncamiento o
cortado. Para que obtengas información, esta es la conexión: Aritmética de Punto
Flotante
Error De Redondeo
El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina
de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número
(real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los
números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema
numérico de punto flotante.
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a yy después truncar para que
resulte un número de la forma
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n
El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se
agrega uno (1) a d k para obtener a flyes; esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 <
5, simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia
abajo
Para que obtengas información, esta es la conexión:
Error De Truncamiento
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n

9. Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que
se representará por fl yes, se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales.
Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar
los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n
Este método es bastante preciso y se llama truncar el número.
Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se
detiene en un número finito de pasos. Generalmente se refiere al error involucrado al
usar sumas finitas o truncadas para aproximar la suma de una serie infinita. El error de
truncamiento, a diferencia del error de redondeo no depende directamente del sistema
numérico que se emplee.

10. CONCLUSIONES.
Luego de la realización de este trabajo podemos concluir:
1.- El análisis numérico es una herramienta fundamental para la resolución de problemas en
ingeniería.
2.- Actualmente las computadoras facilitan la tarea de realizar innumerables cálculos mediante
la utilización de algoritmos lógicos, queda de nuestra parte la interpretación correcta que nos
ofrece el ordenador.
3.- El lenguaje de máquina o binario está constituido por una base 2, la más pequeña posible;
este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número
decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica
primaria de las computadoras digitales usa componentes de apagado/prendido, o para
una conexión eléctrica abierta/cerrada.
4.- Aprendimos a tomar un número cualquiera y transformarlo por el método de división de dos
(2), según el residuo resultante sabemos si corresponde a cero (0) o uno (1).
5.- Cota de error relativo=cota del error absoluto /valor real
6.- El redondeo y el truncamiento representan fuentes básicas de errores.