Distribuciones de probabilidad

1. Lic. Edgar Gerardo mata
Ortiz
Erik Daniel Guerrero
Adame
2º “E”
Distribuciones de
probabilidad

2. Introducción
Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que
pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase
a cabo.
Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro,
constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se
puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las
tendencias actuales de diversos fenómenos naturales
Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque
puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es
totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (x).
Porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Por
ejemplo:
X Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de
probabilidad en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (x).
Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número
infinito de ellos dentro de un mismo intervalo. Por ejemplo:
X es la Variable que nos define la concentración en gramos de plata de
algunas muestras de mineral (14.8 gr, 12.1, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0,
21.0, 20.8,…, n)
"Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos
ignoramos las mismas cosas.
Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como
una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo
del saber.
“Albert Einstein”

3. Para cualquier ensayo de Bernoulli se define a la variable
aleatorio X, así si el experimento propicio “éxito”, entonces x=1.
De lo contrario, x=0. De ahí que X sea una variable aleatoria
discreta, con función de masa de probabilidad.
P(x=k) = nCk (1-P) n-k
1.-Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que caiga en “cara”. Sea
X=1 si la moneda cae en “cara” y X=0 si cae en “cruz”. ¿Cuál es la distribución de X?
Solución:
Puesto que X=1 cuando cae “cara”, esta es resultado de éxito. La probabilidad de éxito P(X=1),
es igual a 0.5. Por tanto, X= bernoulli (0.5).
2.- cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X=1 si el dado cae
seis y X=0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?
Solución:
La probabilidad de éxito es P= P(X=1)= 1/6. Por tanto X~ Bernoulli (1/6).
3.- diez por ciento de los componentes fabricados mediante determinado proceso esta
defectuoso. Se selecciona un componente aleatoriamente. Sea X=1 si el componente esta
defectuoso y X=0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?
Solución:
La probabilidad de éxito es P=P(X=1)= 0.1. Por lo que X~ Bernoulli (0.1).
Problemas:
1.- La probabilidad de que Erik anote goles en una portería de futbol rápido.
Probabilidad subjetiva: 30%
Erik hace 3 intentos por anotar un gol.
P(x=k) = nCk (1-P) n-k
BERNOULLI
FORMULA:

4. P(X=0)= (0.3)0
(0.7)3-0
P(X=0)= (1) (0.343)
P(X=0)= 0.343 o 34.3%
P(X=1)= (0.3)1
(0.7)3-1
P(X=1)= (0.3) (0.49)
P(X=1)= 0.441 o 44.1%
P(X=2)= (0.3)2
(0.7)3-2
P(X=2)= (0.09) (0.7)
P(X=2)= 0.189 o 18.9%
2.- La probabilidad de que lupita gane apostando en una carrera de
caballos. Probabilidad subjetiva: 15%. Lupita hace solo 2 apuestas a lo
largo de la carrera.
P(X=0)= (0.15)0
(0.85)2-0
P(X=0)= (1) (0.7225)
P(X=0)= 0.7225 o 72.25%
P(X=1)= (0.15)1
(0.85)2-1
P(X=1)= (0.15) (0.85)
P(X=1)= 0.255 o 25.5%
P(X=2)= (0.15)2
(0.85)2-2
P(X=2)= (0.0225) (1)
P(X=2)= 0.045 o 4.5%

5. La distribución de probabilidad binomial es una distribución de
probabilidad que tiene muchas aplicaciones. Está relacionada con un
experimento de pasos múltiples al que se le llama experimento binomial.
1.- Un lote contiene varios miles de componentes, de estos 10% están
defectuosos. Se extraen siete componentes de la población. Sea X el
número de componentes defectuosos en la muestra. ¿Cuál es distribución
de X?
Solución:
Puesto que el tamaño muestral es pequeño en comparación con la
población (es decir, menor a 5%), su número de éxitos representa una
distribución binomial. Por tanto, se modela X con la distribución binomial
Bin (7, 0.1).
2.- Se lanza al aire diez veces una moneda. Sea X el número de caras que
aparecen. ¿Cuál es distribución de X?
Solución:
Hay diez ensayos de bernoulli independientes, cada uno con probabilidad
de éxito de P= 0.5. La variable aleatoria X es igual al número de éxitos en los
diez ensayos. Por consiguiente, X= Bin (10, 0.5).
FORMULA:

6. La distribución de Poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo científico.
Una manera de considerarla es como una aproximación de la distribución
binomial cuando “n” es grande y “p” es pequeña.
FORMULA:
Ejemplos:
Si X~ Poisson (3) calcule P(X=2), P(X=10) y P(X=0)
Solución:
Cuando se usa la función masa de probabilidad (4.9), con lambda = 3, se
obtiene
P(X=2)=e-3
= 0.2240
P(X=10)= e-3
=0.0008
P(X=-1)= e-3
=0.0498
PROBLEMAS
1.- Si X~ Poisson (4) calcule P(X=5)
P(X=5)= e- 4
= 0.156293
2.- si X~ Poisson (1) calcule P(X=7)
P(X=7)= e-1
= 0.000072991
3.- Si X~ Poisson (2) calcule P(X=5)
P(X=5)= e-2
= 0.036089

7. 4.- Si X ~ Poisson (0) calcule P(X=9)
P(X=9)= e-0
= 0
5.- Si X Poisson (4) calcule P(X=4)
P(X=4)= e-4
= 0.195366

8. La distribución exponencial es una distribución continua que algunas veces
se utiliza para modelar el tiempo que transcurre antes de que ocurra un
evento. A menudo, a aquel se llama tiempo de espera. En algunas
ocasiones la distribución exponencial se utiliza para modelar el tiempo de
vida e un componente. Así mismo, hay una relación cercana entre la
distribución exponencial y la distribución de Poisson.
La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial tiene
un parámetro, que representa una constante positiva cuyo valor determina
la localización y forma de la función.
Formula:
Ejemplos:
1.-El tiempo de vida de un circuito integrado particular tiene una
distribución exponencial con media de dos años. Encuentra la probabilidad
que el circuito dure más tiempo de tres años.
Solución:
Sea T el tiempo de vida del circuito. Dado que ut= 2, lambda= 0.5. Se
necesita encontrar P (T>3).
P (T>3)= 1- P (T< 3)
= 1-(1-e-0.5 (3)
)
=e-1.5
=0.223

9. 2. El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una
cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con
una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea
atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días
siguientes?
Solución: