Guia de Geometria Espacial e de Posição

PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Geografia Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71

1
EM_V_MAT_029
Geometria
espacial e de
posição
A geometria de posição é o ponto inicial para
o entendimento da geometria espacial. Com ela
temos a melhor percepção das projeções tanto de
um ponto na reta como de uma reta no plano, dando
início à formação de um sólido. É muito utilizada na
astronomia e na computação gráfica.
Postulados (axiomas)
Por dois pontos distintos passa uma única1)
reta.
Por três pontos distintos, não-colineares,2)
passa um único plano.
Se uma reta tem dois pontos distintos em um3)
plano, então todos os pontos da reta perten-
cem a esse plano.
Umpontodeumaretadivide-aemduassemirre-4)
tas, e esse ponto é dito origem das semirretas.
Uma reta de um plano divide-o em dois se-5)
miplanos onde tal reta é a origem dos semi-
-planos.

2
EM_V_MAT_029
Um plano divide o espaço em dois semi-6)
espaços, sendo esse plano a origem dos
semiespaços.
Duas retas7) r e s são ditas paralelas quando
forem coplanares e a interseção for vazia,
ou quando forem coincidentes (r ≡ s). Nesse
caso, são ditas paralelas coincidentes.
Por um ponto exterior a uma reta r, passa uma8)
única reta s e paralela a r.
Duas retas paralelas a uma terceira são pa-9)
ralelas entre si.
Posições relativas
Retas concorrentes – quando a interseção é1)
um ponto.
r s
P
r ∩ s = {P}
Retas reversas – quando a interseção é vazia2)
(não são coplanares e não são paralelas).
Ângulos entre retas reversas – Dadas duas3)
retas reversas r e s e um ponto P, exterior a
r e s, o ângulo entre r e s é dado pelo ângulo
entre as concorrentes r1
e s1
, que são, res-
pectivamente, as paralelas a r e s passando
por P.
Uma reta4) r é secante a um plano α quando
a interseção é um ponto. Esse ponto é dito
traço da reta no plano.
P
α
Uma reta5) r é paralela a um plano α quando a
interseção for vazia.
r
α
Dois planos são secantes quando a interseção6)
é uma reta e são paralelos quando a interse-
ção é vazia.
α
β
r
α
β
Secantes Paralelos
Alguns teoremas importantes:
Uma reta e um ponto fora dela determinam1)
um único plano que os contêm.
Duas retas concorrentes determinam um2)
único plano que as contêm.
Duas retas paralelas não coincidentes deter-3)
minam um único plano.
Sejam três planos distintos e secantes dois a4)
dois em três retas distintas, sendo que essas
retas ou são paralelas duas a duas, ou são
concorrentes num mesmo ponto.
Dados dois planos paralelos a5) α e β, seja γ um
terceiro plano secante a α, logo γ também será
secante a β e as interações serão paralelas.
Por um ponto exterior a um plano6) α existe
um único plano paralelo a α que contenha
tal ponto.

3
EM_V_MAT_029
Projeção ortogonal
A projeção ortogonal de um ponto1) P sobre
um plano α é um ponto P, que é a interseção
da reta que passa por P e é perpendicular
ao plano α.
A projeção ortogonal de uma reta sobre um2)
plano é uma reta ou é um ponto, no caso de
r ⊥ α.
Algumas notações:
P → ponto
α → plano
r → reta
⊥ → perpendicular
// → paralela
Poliedros convexos
Os poliedros são sólidos delimitados por figuras
planas e muito utilizados por escultores contempo-
râneos, pois suas combinações de faces, vértices e
arestas expressam bem as três dimensões. Atual-
mente, encontramos jogos infantis como o RPG, cujos
dados são poliedros. Temos como grande estudioso
dos poliedros, Platão.
Consideramos um poliedro convexo, aquele
obtido pela reunião de 4 ou mais polígonos convexos
e quando o segmento de reta que liga dois pontos
do poliedro estiver contido no poliedro. Como exem-
plo, podemos destacar uma caixa de sapatos e uma
pirâmide.
Exemplo:``
Pontos e partes do poliedro
Vértices: A, B, C, ...
Arestas: AB, AD, AE, ...
Faces: ABCD, ABFE, …
Diagonal da Face: CF, AF, ...
Diagonal do poliedro: DF, AG...
Existem poliedros não-convexos:
Relação de Euler
Para todo poliedro convexo vale a seguinte
relação:
V + F = A + 2
onde:
V = número de vértices••
F = número de faces••
A = número de arestas••
Exemplo:``
V = 5 (A, B, C, D, E)
F = 5 (ABC, ACD, ADE, ABE, BCDE)
A = 8 (AB, AC, AD, AE, BC, CD, DE, BE)
Logo, podemos observar que a relação de Euler
é verdadeira.
V + F = A + 2 → (5 + 5 = 8 + 2)
Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem
todo poliedro euleriano é convexo.

4
EM_V_MAT_029
Dicas para o cálculo do número de arestas
A =
n.° de faces x n° de lados de faces
2
A =
n.° de vértices x n.° de arestas de cada vértice
2
Outras relações importantes são:
soma dos ângulos das faces:••
SF = 360º (V – 2)
número de diagonais:••
−
= − − Σ
V(V 1)
D A df
2
superfície do poliedro convexo aberta:••
V + F = A + 1
Poliedros regulares
Poliedro regular é aquele em que todas as faces
são polígonos regulares congruentes, e todos os ân-
gulos sólidos são congruentes.
Só existem cinco polígonos regulares:
Tetraedro regular
4 faces triangulares equiláteras;••
4 vértices onde chegam 3 arestas;••
6 arestas.••
Hexaedro regular
6 faces quadradas;••
12 arestas.••
Octaedro regular
12 arestas.••
Dodecaedro regular
12 faces pentagonais regulares;••
30 arestas.••
Icosaedro regular
30 arestas.••
Prismas
Chama-se prisma a reunião de todos os segmen-
tos paralelos e congruentes a um segmento de reta,
que tem uma das extremidades contida num polígono
pertencente a um plano, de forma que todos esses
segmentos estejam num mesmo semiespaço (assim,
as bases são paralelas e iguais).

5
EM_V_MAT_029
Elementos:
Fl
al
h = altura
ab = aresta da base
al =aresta lateral
V = vértices
Fl = face lateral
Classificação dos prismas
Reto:•• as arestas laterais são perpendiculares
aos planos das bases.
Oblíquo:•• as arestas laterais são oblíquas aos
planos das bases.
90º
Regular:•• é todo prisma reto, cujas bases são
polígonos regulares.
Secção
Reta:•• é a seção obtida no prisma por um plano
perpendicular à aresta lateral.
Transversal:•• é a seção obtida no prisma por
um plano paralelo aos planos das bases.
Fórmulas:
Área Total (St)
St = 2Sb + SI
Sb = área da base
SI = área lateral
Volume (V)
V = Sb . h
Sb = área da base
h = altura

6
EM_V_MAT_029
Cubo
É um prisma quadrangular regular, com todas
as arestas iguais.
Área Total
St = 6a2
Volume
V = a3
Diagonal
D = a 3
Demonstração do cálculo da diagonal
D2
= d2
+ a2
D2
= (a 2)2
+ a2
D2
= 3a2
D = a 3
Paralelepípedo retângulo: é um prisma reto
cujas bases são retângulos.
Área total
St = 2 (ab + ac + bc)
Volume
V = a . b . c
Diagonal
D = a2
+ b2
+ c2
Demonstração do cálculo da diagonal
d2
= a2
+ b2
D2
= d2
+ c2
D2
= a2
+ b2
+ c2
D = a2
+ b2
+ c2
Pirâmides
Dado um polígono contido em um plano, se de
um ponto V fora do plano, traçarmos segmentos aos
vértices desse polígono, o sólido formado será uma
pirâmide.
(a)
V
(a)
Uma pirâmide é regular quando a base é um
polígono regular e a projeção ortogonal do vértice
sobre o plano é o centro desta.

7
EM_V_MAT_029
Elementos da pirâmide
V
h
O a
A
h
A
a
A2
= h2
+ a2
a = apótema da base
h = altura da pirâmide
A = apótema da pirâmide ou altura da face
O = centro da base
Área e volume
Área lateral (S )
S = p . A
p = semiperímetro da base
A = apótema da pirâmide
Área total (ST
)
ST
= SB
+ S
SB
= área da base
S = área lateral
Volume (V)
= BS . h
V
3
SB
= área da base
h = altura
Demonstração do volume
A
D D
B
E E
C
C
F F
A
D
B
E
C
A A
D
B
E
E
C C
Caso particular
Tetraedro regular
A
B
O
C
D
M
a
a
a
h
O = baricentro do triângulo equilátero BCD
h = altura

8
EM_V_MAT_029
BM
3
2
BO =
2
3a
3
2
BO =
3
3a
BO =
3
3a
A
B o
a h
2
2
2
h
3
3a
a +







=
3
6a
h =
Área total (ST
)
2
T
a 3
S = 4.
4
→
2
TS = a 3
Volume (V)
BS .h
V =
3
2
B
a 3
S =
4
3
a 2
V =
12
2
a 3 a 6
4 3V =
3
Considere as seguintes sentenças:1.
Se dois planos distintos têm um ponto comum, en-I.
tão terão também outro ponto comum distinto do
primeiro.
Três pontos distintos determinam um único plano.II.
A distância entre dois pontos de uma reta é umIII.
número real que depende da unidade da medida
escolhida.
Assinale a alternativa correta.
Apenas II é falsa.a)
I e II são falsas.b)
II e III são verdadeiras.c)
I, II e III são falsas.d)
Apenas I é verdadeira.e)
Solução:`` A
II. Falsa, três pontos distintos não colineares determinam
um único plano.
(UFF) Marque a opção que indica quantos pares de2.
retas reversas são formados pelas retas suportes das
arestas de um tetraedro.
Um par.a)
Dois pares.b)
Três pares.c)
Quatro pares.d)
Cinco pares.e)
Solução:`` C
A
B
C
D
AC e BD••
CD e AB••
AD e BC••
Três pares
Num poliedro convexo, 7 faces são quadriláteras e as3.
outras são triângulos. O número de arestas é o dobro
do número de faces triangulares. Determine o número
de faces, vértices e arestas do poliedro.
Solução:``
7F – 4
xF – 3
A = 2x
A =
7 . 4
+
x . 3
2 2
2x =
28 + 3x
2
4x = 28 + 3x
x = 28
F = 7 + 28
F = 35
A = 2 . 28
A = 56
V + F = A + 2
V + 35 = 56 + 2
V = 23

9
EM_V_MAT_029
Pedrinho fez um poliedro convexo de origami que tinha4.
5 faces quadrangulares e 6 faces pentagonais. Calcule
o número de vértices desse poliedro.
Solução:``
5F – 4
6F – 5
F = 11
A =
5 . 4
+
6 . 5
2 2
A = 25
V + F = A + 2
V + 11 = 25 + 2
V = 16
Dois blocos de alumínio em forma de cubo, com aresta5.
medindo 10cm e 6cm, são levados juntos à fusão e em
seguida o alumínio líquido é moldado como paralelepí-
pedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. Calcule x.
Solução:``
V3
= V1
+ V2
8 . 8 . x = 103
+ 63
64 x = 1 216
x = 19cm
As faces de um paralelepípedo retângular têm por6.
área 12cm2
, 15cm2
e 20cm2
. Calcule o volume desse
paralelepípedo.
Solução:``
Dado:
a . b = 20a)
a . c = 15b)
b . c = 12c)
a . b . a . c . b . c = 20 . 15 . 12
a2
. b2
. c2
= 20 . 15 . 12
a . b . c = 20 . 15 . 12 = 3 600
a . b . c = 60
Uma caixa cúbica com 10cm de aresta tem o mesmo7.
volume que um litro. Calcule quantos litros tem uma caixa
d’água cúbica com 1m de aresta.
Solução:``
1litro = 1 000cm3
= 1dm3
1m3
= 1 000dm3
= 1 000
A figura representa a planificação de uma pirâmide8.
quadrilátera regular, com todas as arestas iguais.
Se OQ vale 3 3cm, calcule o volume da pirâmide:
P Q
Solução:``
P
h
Q
a a
O
2
3a
PQ =
2
3a
33 =
a = 6cm → OQ = 3cm

10
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h 33
O Q
P
222
3h)33( +=
2cm3h =
B
2
B
3
S .h
V =
3
6 3 2
S = =
3
V = 36 2cm
Calcule o volume do tetraedro regular que tem área total9.
igual a 36 3m2
.
Solução:``
3aST
2
=
3363a2
=
a a
a
a = 6m
12
2a
V
3
=
12
26
V
3
=
3
m218V =
Pedro comprou uma barra de chocolate cúbica e pre-10.
tende dividi-Ia em pirâmides que tenham como base as
faces do cubo. Ouantas pirâmides Pedro pode formar?
Solução:``
Se tomarmos um ponto no interior do cubo, poderemos
formar seis pirâmides com vértices nesse ponto e base
nas faces do cubo.
Considere as seguintes sentenças:1.
se dois planos distintos têm um ponto comum, en-I.
tão terão outro ponto comum, distinto do primeiro.
três pontos distintos determinam um único plano.II.
a distância entre dois pontos de uma reta é umIII.
número real, que depende da unidade da medida
escolhida.
Assinale a alternativa correta.
Apenas II é falsa.a)
I e III são falsas.b)
II e III são verdadeiras.c)
I, II e III são falsas.d)
Apenas I é verdadeira.e)
Qual das afirmações abaixo é verdadeira?2.
Se duas retas distintas não são paralelas, elas sãoa)
congruentes.
Duas retas não-coplanares são reversas.b)
Se a interseção de duas retas é conjunto vazio, elasc)
são paralelas.
Se três retas são paralelas, existe um plano que asd)
contém.
Se três retas distintas são duas a duas concorren-e)
tes, elas determinam um e um só plano.
Em relação ao plano3. a, os pontos A e B estão no mesmo
semiespaço e os pontos A e C estão em semiespaços
opostos. Em relação ao plano b, os pontos A e B estão
em semiespaços opostos, bem como os pontos A e C.
Pode-se concluir que o segmento BC:
é paralelo aa) aÇ b.
encontrab) a e b.
encontrac) a, mas não b.
encontrad) b, mas não a.
não encontrae) a nem b.
A reta r é paralela ao plano4. a. Então:
todas as retas dea) a são paralelas a r.
a reta r não pode ser coplanar com nenhuma retab)
de a.
existem emc) a retas paralelas e retas reversas em
relação a r.
existem emd) a retas paralelas e perpendiculares a r.
todo plano que contém r é paralelo ae) a.
Sejam r, s e t retas no espaço. Se r e s são perpendicu-5.
lares a t, então:
r e s são paralelas.a)
r e s são perpendiculares.b)
r e s são reversas.c)
r e s são coplanares.d)
nenhuma das afirmativas acima é verdadeira.e)
Se uma reta a é perpendicular a uma reta b e a reta b é6.
paralela a uma reta c, podemos concluir que:
aa) ∩ c ≠ ∅
ab) ⊥ c
a = cc)

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EM_V_MAT_029
a // cd)
nenhuma das anteriores está correta.e)
Dois planos7. b e g se cortam na reta r e são perpendicu-
lares a um plano a. Então:
ba) e g são perpendiculares.
r é perpendicular ab) a.
r é paralela ac) a.
todo plano perpendicular ad) a encontra r.
existe uma reta paralela ae) a e a r.
São dados cinco pontos não-coplanares A, B, C, D, E.8.
Sabe-se que ABCD é um retângulo, AE ⊥ AB e AE ⊥ AD.
Pode-se concluir que são perpendiculares as retas:
EA e EB.a)
EC e CA.b)
EB e BA.c)
EA e AC.d)
AC e BE.e)
Das afirmações abaixo:9.
Duas retas perpendiculares a um mesmo plano sãoI.
coplanares.
Duas retas paralelas a um mesmo plano são para-II.
lelas entre si.
Se um plano intercepta dois outros planos, em retasIII.
paralelas, então os dois também são paralelos.
Temos que:
apenas uma é falsa.a)
apenas uma é verdadeira.b)
apenas duas são verdadeiras.c)
todas são falsas.d)
todas são verdadeiras.e)
Determine o número de vértices de um poliedro convexo10.
com 30 faces pentagonais.
Um poliedro convexo possui 6 faces pentagonais e11.
oito faces hexagonais. Determine o número de vértices
desse poliedro.
(PUC) O poliedro regular que possui 20 vértices, 3012.
arestas e 12 faces denomina-se:
tetraedro.a)
hexágono.b)
octaedro.c)
icosaedro.d)
dodecaedro.e)
(UFPA) Um poliedro convexo tem 6 faces e 8 vértices.13.
O número de arestas é:
6a)
8b)
10c)
12d)
14e)
(ITA)14. Se um poliedro convexo possui 20 faces e 12
vértices, o número de arestas desse poliedro é:
12a)
18b)
28c)
30d)
32e)
(Mackenzie) Sabe-se que um poliedro convexo tem 815.
faces e que o número de vértices é maior que 6 e menor
que 14. Então, o número de arestas é tal que:
14 20≤ ≤Aa)
14 20≤ <Ab)
13 19< <Ac)
13 19≤ ≤Ad)
12 20≤ ≤Ae)
(Unificado) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em16.
6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses
vértices concorrem 3 arestas nos demais concorrem 5
arestas. O número de faces do poliedro é igual a:
16a)
18b)
24c)
30d)
44e)
(UERJ)17. Com uma chapa plana, delgada, de espes-
sura uniforme e massa homogeneamente distribuída,
construíram-se duas peças: uma com a forma de um
cubo (Fig. A) e a outra com a forma de um poliedro com
9 faces, formado a partir de um outro cubo congruente
ao primeiro, onde as três faces menores são quadrados
congruentes (Fig. B).
Fig. A Fig. B

12
EM_V_MAT_029
As informações acima possibilitam a seguinte con-
clusão:
o peso de A é igual ao de B.a)
o volume de A é igual ao de B.b)
a superfície de A é maior que a de B.c)
a superfície de A é menor que a de B.d)
(UFF)18. O sólido representado abaixo possui todas as
arestas iguais a L.
L
Sabendo-se que todos os ângulos entre duas faces
adjacentes são retos, pode-se afirmar que o seu volume é:
7La) 3
9Lb) 3
11Lc) 3
19Ld) 3
27Le) 3
(Fuvest)19. O volume de um paralelepípedo reto retângulo
é 240cm3
. As áreas de duas de suas faces são 30cm2
e
48cm2
. A área total do paralelepípedo, em cm2
, é:
96a)
118b)
236c)
240d)
472e)
(Unificado)20.
1cm
1cm
2cm 1cm 2cm
4cm
4cm
Na fabricação da peça anterior, de um único material que
custa R$5,00 o cm3
deve-se gastar a quantia de:
R$400,00a)
R$380,00b)
R$360,00c)
R$340,00d)
R$329,00e)
(Fuvest)21. Dois blocos de alumínio em forma de cubo, com
arestas medindo 10cm e 6cm, são levados juntos à fusão
e, em seguida, o alumínio líquido é moldado como um
paralelepípedo reto de arestas 8cm e xcm.
O valor de x é:
16a)
17b)
18c)
19d)
20e)
(Unirio) Uma piscina na forma de um paralelepípedo22.
retângulo tem 8m de comprimento, 6m de largura e 3m
de profundidade. Um nadador que estava totalmente
submerso na piscina verificou que, ao sair, o nível da
água baixou 0,5cm.
O volume do nadador, em dm3
, é igual a:
480a)
360b)
300c)
240d)
120e)
(Unirio) Um engenheiro vai projetar uma piscina, em23.
forma de paralelepípedo reto retângulo, cujas medidas
internas são, em m, expressas por x, 20 – x, e 2. O maior
volume que essa piscina poderá ter, em m3
, é igual a:
240a)
220b)
200c)
150d)
100e)
(UFF)24. Em um cubo de aresta l, a distância entre o ponto
de encontro de suas diagonais internas e qualquer de
suas arestas é:
la) 3
lb) 2
lc)
3
2
ld)
2
2
le)
1
2

13
EM_V_MAT_029
A soma das seis distâncias a cada face de um ponto P,25.
no interior de um cubo, é igual a 6cm. O volume desse
cubo é:
1ma) 3
6mb) 3
8mc) 3
64md) 3
216me) 3
(FCC-MG) As dimensões de um paralelepípedo retân-26.
gulo são diretamente proporcionais aos números 5, 6
e 8. Se a diagonal desse paralelepípedo mede 25cm, a
sua área total, em cm2
, é:
590a)
630b)
1 180c)
1 260d)
1 380e)
(FMABC) Sejam a, b, c as dimensões de um paralelepí-27.
pedo retângulo, p a soma das dimensões, d a diagonal,
k2
a área total e V o volume. Temos:
pa) 2
= d2
+ k2
db) 2
= p2
+ k2
kc) 2
= p2
+ d2
V = pdkd)
pe) 2
= dk
(Vunesp)28. Se dobrarmos convenientemente as linhas
tracejadas da figura abaixo, obteremos uma figura es-
pacial cujo nome é:
pirâmide de base pentagonal.a)
paralelepípedo.b)
octaedro.c)
tetraedro.d)
prisma.e)
(UfcE)29. A figura abaixo representa um galpão com as
medidas indicadas.
4m
8m
5m 5m
20m
O volume total desse galpão é:
880ma) 3
920mb) 3
960mc) 3
1 020md) 3
(Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm30.
bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a
metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é:
H/6a)
H/3b)
2Hc)
3Hd)
6He)
(Unirio)31.
Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a
figura acima. Sabendo-se que o volume da pirâmide é
de 6m3
, então o volume do cubo, em m3
, é igual a:
9a)
12b)
15c)
18d)
21e)
(UFF) A figura abaixo representa a planificação de uma32.
pirâmide quadrangular regular.
P
Q

14
EM_V_MAT_029
Sabendo-se que PQ mede 3 3cm e que as faces laterais
são triângulos equiláteros, o volume da pirâmide é:
18 2
3
cma)
36 2 3
cmb)
48 2
3
cmc)
60 2 3
cmd)
72 2
3
cme)
É possível construir uma pirâmide regular de 7 vértices33.
com todas as arestas congruentes, isto é, de mesma
medida? Justifique.
A altura da pirâmide de base ACF contida no cubo de34.
aresta igual a 3 abaixo, é:
A
B C
D
G
FE
6a)
3b)
1
3
c)
2
2
d)
1
3
e)
Um tetraedro regular tem área total igual a35. 6 3
3
cm .
Então, sua altura, em cm, é igual a:
2a)
3b)
2 2c)
3 2d)
3 3e)
Dado um cubo de aresta, qual é o volume do octaedro36.
cujos vértices são os centros das faces do cubo?
(Cesgranrio) Em um cubo de aresta37. 63
, considera-se o
tetraedro VABC, como o indicado na figura.
V
C
A
B
O volume do tetraedro é:
2a)
2b)
3c)
6
3
d)
1e)
(Fuvest) Qual a altura de uma pirâmide quadrangular38.
que tem as oito arestas iguais a 2 ?
1a)
1 5,b)
2c)
2 5,d)
3e)
(Unicamp) Uma pirâmide regular, de base quadrada,39.
tem altura igual a 20cm. Sobre a base dessa pirâmide
constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base
do cubo corte a pirâmide em um quadrado de lado igual
a 5cm. Faça uma figura representativa dessa situação e
calcule o volume do cubo.
(EsPCEx) Considere as seguintes proposições:1.
Toda reta paralela a um plano é paralela a qualquerI.
reta desse plano.
Uma reta e um ponto determinam sempre um únicoII.
plano.
Se uma reta é perpendicular a duas retas concor-III.
rentes de um plano, então, ela é perpendicular a
esse plano.

15
EM_V_MAT_029
Pode-se afirmar que:
só I é verdadeira.a)
só III é verdadeira.b)
só I e III são verdadeiras.c)
só III é falsa.d)
só I e III são falsas.e)
(AFA)2. Os planos a e b são paralelos. A reta r é per-
pendicular a a e a reta s é perpendicular a b. Pode-se
concluir que r e s são:
coplanares.a)
reversas.b)
ortogonais.c)
perpendiculares.d)
(AFA) Qual é a afirmação verdadeira?3.
Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela aa)
todas as retas contidas nesse plano.
Se dois planos são perpendiculares entre si, qual-b)
quer outro plano que os corta faz retas perpendi-
culares.
Se uma reta e um plano são perpendiculares entrec)
si, então o plano contém todas as suas retas per-
pendiculares à reta dada pelo seu ponto de inter-
secção com o plano dado.
Se duas retas paralelas r e s encontram o planod) a
em A e B, respectivamente, o segmento de reta AB
é perpendicular à reta r e s.
(AFA)4. Dado um plano p e dois pontos A e B fora dele,
é verdadeiro afirmar que:
nunca se pode passar por A e B um plano paraleloa)
a p.
é sempre possível passar por A e B pelo menos umb)
plano perpendicular a p.
há no máximo dois planos passando por A e B, per-c)
pendiculares a p.
nunca se pode passar por A e B dois planos, sendod)
um paralelo e outro perpendicular a p.
(AFA)5. Qual das afirmações é correta?
Dois planosa) a e b paralelos à mesma reta, são pa-
ralelos entre si.
Um planob) a paralelo a uma reta de um plano b é
paralelo a b.
Um planoc) a paralelo a duas retas de um plano b é
paralelo a b.
Um planod) a perpendicular a uma reta de um plano
b é perpendicular a b.
(AFA)6. Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
Por uma reta dada pode-se conduzir um plano pa-a)
ralelo a um plano dado.
Se uma reta é paralela a dois planos, então essesb)
planos são paralelos.
Por um ponto qualquer é possível traçar uma retac)
que intercepta duas retas reversas dadas.
Se duas retas concorrentes de um plano são, res-d)
pectivamente, paralelas a duas retas de outro pla-
no, então estes planos são paralelos.
(AFA) O conjunto de soluções de uma única equação7.
linear a1
x + a2
y + a3
z = b é representado por um plano
no sistema de coordenadas retangulares xyz (quando
a1
, a2
, a3
não são todos iguais a zero). Analise as figuras
a seguir.
Três planos se cortando numa reta.I.
Três planos se cortando num ponto.II.
Três planos sem interseção.III.
I.
II.
III.
Assinale a opção verdadeira.
A figura I representa um sistema de três equações,a)
com uma única solução.
A figura III representa um sistema de três equa-b)
ções, cujo conjunto solução é vazio.

16
EM_V_MAT_029Quantos pares de retas reversas existem em um10.
cubo?
Num poliedro convexo, 7 faces são quadriláteras e as11.
outras são triângulos. O número de arestas é o dobro
do número de faces triangulares. Determine o número
de faces, vértices e arestas do poliedro.
A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é12.
igual a 5 760º, e ele possui somente faces triangulares e
heptagonais. Sendo 28 o seu número de arestas, calcule
o número de faces de cada tipo.
(UFF)13. São dados 7 triângulos equiláteros, 15 quadrados
e 30 pentágonos regulares, todos de mesmo lado. Utili-
zando esses polígonos, o número máximo de poliedros
regulares que se pode formar é:
5a)
6b)
7c)
8d)
9e)
(Cesgranrio) O poliedro da figura (uma invenção de Le-14.
onardo Da Vinci, utilizada modernamente na fabricação
de bolas de futebol) tem como faces 20 hexágonos e 12
pentágonos. O número de vértices do poliedro é:
64a)
90b)
60c)
72d)
56e)
(UERJ)15. Considere a estrutura da figura a seguir como
um poliedro de faces quadradas, formadas por 4 cubos
de arestas iguais, sendo V o número de vértices distintos,
F o número de faces distintas e A o número de arestas
distintas.
Se V, F e A são, respectivamente, o número de vértices,
faces e arestas desse “poliedro”, temos V + F igual:
A – 4a)
A + 4b)
A – 2c)
A + 2d)
Ae)
(Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas explo-16.
rações, um cristal de rocha no formato de um poliedro,
que satisfaz a relação de Euler de 60 faces triangulares.
O número de vértices desse cristal é igual a:
35a)
34b)
Quatro pontos distintos e não-coplanares determi-9.
nam exatamente:
1 plano.a)
2 planos.b)
3 planos.c)
4 planos.d)
5 planos.e)
A figura II representa um sistema de três equações,c)
com uma infinidade de soluções.
As figuras I e III representam um sistema de trêsd)
equações, com soluções iguais.
(AFA-SP) Considere as proposições a seguir:8.
se dois planos são paralelos, então toda reta queI.
é paralela a um deles é paralela ou está contida no
outro;
se uma reta é paralela a um plano, então é paralelaII.
a todas as retas do plano;
se dois planos são secantes, toda reta de um inter-III.
cepta o outro plano.
Pode-se afirmar que as proposições verdadeiras são:
apenas I.a)
I e III.b)
II e III.c)
apenas II.d)

17
EM_V_MAT_029
Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces21.
triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um
plano convenientemente escolhido, dele se destaca
um novo poliedro convexo, que possui apenas faces
quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a
menos que o original e uma face a mais que o número
de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, res-
pectivamente, o número de faces e o número de vértices
do poliedro original, então:
m = 9, n = 7a)
m = n = 9b)
m = 8, n = 10c)
m = 10, n = 8d)
m = 7, n = 9e)
Um cubo é formado de 1 000 “cubinhos” congruentes22.
e cinco de suas faces, excetuando-se a base, foram
pintadas.
Desmontando-se essa pilha de “cubinhos”, verificamos
que há “cubinhos” que estão pintados em uma face,
duas faces e três faces. O número de “cubinhos”
pintados em apenas duas faces é igual a:
80a)
72b)
68c)
33c)
32d)
31e)
(Enem) Um poliedro convexo possui 11 faces. Sabemos17.
que, de um de seus vértices partem 5 arestas, de 5 ou-
tros vértices partem 4 arestas e de cada vértice restante
parte 3 arestas. O número de arestas do poliedro é:
20a)
25b)
30c)
37d)
41e)
(ITA) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta18.
faces triangulares e quadrangulares. O número de
faces quadrangulares, o número de faces triangulares
e o número total de faces formam, nessa ordem, uma
progressão aritmética. O número de arestas é:
10a)
17b)
20c)
22d)
23e)
(Mackenzie) Em um poliedro convexo, em 4 de seus19.
vértices concorrem 3 arestas, em outros 5, 4 arestas e
nos 3 vértices restantes, 6 arestas. O número de faces
do poliedro é igual a:
10a)
11b)
12c)
13d)
15e)
(UERJ) Um icosaedro regular tem 20 faces e 1220.
vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides
congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmi-
des são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que
resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de
bolas. Observe as figuras.
Para confeccionar uma bola de futebol, o artesão
usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma
face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces
do poliedro, ele gasta 7cm de linha.
Depois de pronta, o artesão gastou, no mínimo, um
comprimento de linha igual a:
7,0ma)
6,3mb)
4,9mc)
2,1md)

18
EM_V_MAT_029
64d)
60e)
Uma barra (paralelepípedo retângulo) de doce de leite23.
com 5cm x 6cm x 7cm foi completamente envolvida por
um papel laminado. Se a barra for cortada em cubos
de 1cm de aresta, quantos cubos ficarão sem qualquer
cobertura de papel laminado?
(UFRJ) Uma caixa sem tampa, completamente cheia de24.
leite, tem a forma de um paralelepípedo retângulo de
dimensões internas a = 10cm, b = 7cm e c = 16cm.
Inclina-se a caixa de 60° em relação ao plano horizontal,
de modo que apenas uma das menores arestas fique em
contato com o plano, como mostra a figura.
a
c
b
60
Calcule o volume do leite derramado.
Procura-se construir um cubo grande empilhando cubos25.
pequenos e todos iguais. Quando se coloca um certo
número de cubos pequenos em cada aresta, sobram
cinco; e se tentasse acrescentar um cubo a mais em
cada aresta, ficariam faltando trinta e dois. Quantos são
os cubos pequenos?
As medidas das três dimensões de um paralelepípedo26.
retângulo estão em progressão geométrica. Sabendo
que a área total e o volume desse paralelepípedo são,
respectivamente, 112cm2
e 64cm3
, calcule as medidas
das suas dimensões.
Um fabricante de embalagens, para fazer caixas de pa-27.
pelão, sem tampa, em forma de prisma hexagonal regular
(veja figura 1, abaixo), utiliza hexágonos regulares de
papelão, cada um deles com lado 30cm. Corta, em cada
vértice, um quadrilátero, como o pontilhado na figura 2
e, a seguir, dobra o papelão nas linhas tracejadas.
h= 3 3cm
30cm
Fig. 1 Fig. 2
Sabendo-se que a altura é de 3 3cm , seu volume é:
900cma) 3
2 700 3b) cm3
727 3
3
cmc)
776 3
3
cmd)
7 776cme) 3
As faces de um paralelepípedo são losangos de lado28.
igual a 2m, sendo a diagonal menor igual ao lado. O
volume desse paralelepípedo vale:
3
2
3
ma)
3mb) 3
2 2 3
mc)
2md) 3
3 2
2
3
me)
(UFC) A base de um prisma reto é um triângulo isós-29.
celes cujos lados iguais medem 2cm e um dos ângulos
internos mede 120°. Se esse prisma tem 6 3cm de
altura, o seu volume, em cm3
, é:
9 3a)
18b)
18 3c)
21d)
21 3e)
(UFF) A base de um prisma reto é um triângulo de la-30.
dos iguais a 5m, 5m e 8m e altura de 3m; o seu volume
será:
12ma) 3
24mb) 3
36mc) 3
48md) 3
60me) 3
(Fuvest) Na figura abaixo, X e Y são, respectivamente,31.
os pontos médios das arestas AB e CD do cubo.
A
A razão entre o volume do prisma AXFEDYGH e o do
cubo é:
3
8
a)

19
EM_V_MAT_029
1
2
b) 0
2
3
c)
3
4
d)
5
6
e)
(UERJ)32. O menor número de seções planas que se pode
fazer em uma peça cúbica de modo a dividi-la em 27
cubos congruentes é:
3a)
4b)
6c)
9d)
27e)
Operários rolam um cubo de granito de 1m de aresta34.
até ele dar uma volta completa.
A distância, em metros, percorrida por um vértice é
de:
2 2
2
+( )p
a)
2 1
2
+( )p
b)
3
2
pc)
3 2
2
pd)
2pe)
A figura mostra a vista de cima de uma pirâmide VA-35.
BCD, de base retangular ABCD. A projeção ortogonal
do vértice V sobre o plano da base divide a aresta CD
ao meio.
A B
D V C
Se AB = 10, BC = 5 e a altura da pirâmide é 5, então o
comprimento da aresta VB é:
20
3
a)
15
2
b)
5 5
2
c)
5 2d)
5 3e)
Determine a razão entre o volume de um tetraedro e o36.
volume do octoedro cujos vértices são os pontos médios
das arestas do tetraedro.
Considere um tetraedro regular aresta L, altura h e altura37.
de uma face h1
. Se k é um ponto interno do tetraedro
e x, y, z e w são as distâncias de k a cada uma de suas
faces, pode-se afirmar que:
x + y + z + w = La)
x + y + z + w = hb)
Um dado com forma de cubo tem suas faces nume-33.
radas arbitrariamente de 1 a 6.
A figura abaixo representa o mesmo dado em duas
posições diferentes.
2
5
4
3
1
5
Qual a face oposta à face 1?
2a)
3b)
4c)
5d)
6e)

20
EM_V_MAT_029
x + y + z + w = hc) 1
x + y + z + w = 3Ld)
x + y + z + w = 3he) 1
(UERJ) Com os vértices A, B, C e D de um cubo de38.
aresta a, construiu-se um tetraedro regular, como mostra
a figura abaixo:
A
D
C
EB
Calcule:
o volume da pirâmide EBCD em função dea) a;
a razão entre os volumes do tetraedro ABCD e dob)
cubo.
(UERJ) Um triângulo equilátero ABC (fig. 1) de pape-39.
lão foi dobrado na sua altura AH. Apoia-se o papelão
dobrado com os lados AB e AC sobre a mesa, de modo
que o ângulo BHCˆ tenha 60° (fig. 2).
C
H
B
A
Fig. 1
A
H
C
M
B
Fig. 2
θ
A tangente do ângulo θ que AH faz com o plano da
mesa é igual a:
2
2
a)
3
2
b)
1
2
c)
1
3
d)
Em um tetraedro OABC, os ângulos entre as arestas40.
que concorrem em O são todos iguais a 90°. Se OA = 3,
OB = 5 e OC = 12, o comprimento da maior aresta do
tetraedro é:
20a)
13b)
15c)
12d)
25
2
e)
(UFF) No tetraedro regular representado na figura,41. R e S
são, respectivamente, os pontos médios de NP e OM.
N
M
P
R
0
S
A razão
RS
MN
é igual a:
3a)
3
2
b)
2c)
2
2
d)
3 2e)
(UFES) Considere um cubo de aresta igual a 1cm. Sejam42.
ABCD e A’ B’ C’ D’ duas faces opostas desse cubo.
Podemos obter uma pirâmide tomando o quadrado
ABCD como base e A’ como vértice. A área total dessa
pirâmide mede:
1 2+( )a) cm2
2 1 2+( )b) cm2
3 2+( )c) cm2
2 2 2+( )d) cm2
2 2+( )e) cm2
(Ceasesp) Considere um octógono regular, cuja aresta43.
mede 6cm e um de seus vértices V repousa sobre um
plano P perpendicular a P em V, até interceptar o plano P,
formando uma pirâmide de base quadrangular. Assinale,
então, dentre as alternativas a seguir, a única que corres-
ponde à área total dessa pirâmide assim construída.

21
EM_V_MAT_029
V
P
V
9 3a) cm3
36 3b) cm2
144 3 1+( )c) cm2
144 3d) cm2
108 3e) cm2
Em uma pirâmide triangular regular VABC, o triedro de44.
vértice V é trirretângulo, e as arestas VA, VB e VC têm
comprimentos iguais. O cosseno do ângulo diedro, for-
mado pelas faces ABC e VAB, vale, aproximadamente:
0,33a)
0,50b)
0,58c)
0,71d)
0,84e)
Calcule a aresta do tetraedro que se obtém unindo-se45.
os baricentros das faces de tetraedro regular ABCD de
3cm de aresta.
A
DB
C
Calcule o volume do poliedro ABCDEF, cujas faces são47.
um quadrado ABCD de lado a, dois triângulos equilá-
teros ADF e BEC e dois trapézios CDEF e ABEF, ambos
com base maior EF = 2a.
(Unificado) Uma folha de papel colorido, com a for-46.
ma de um quadrado de 20cm de lado, será usada
para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide
quadrangular regular com altura de 12cm e apótema
da base medindo 5cm. Após se ter concluído essa
tarefa, e levando-se em conta que não houve des-
perdício de papel, a fração percentual que sobrará
dessa folha de papel corresponde a:
20%a)
16%b)
15%c)
12%d)
10%e)

22
EM_V_MAT_029
A1.
B2.
C3.
C4.
E5.
E6.
B7.
D8.
B9.
4710.
2711.
E12.
D13.
D14.
D15.
A16.
A17.
A18.
C19.
B20.
D21.
D22.
C23.
D24.
C25.
C26.
A27.
E28.
A29.
E30.
D31.
B32.

23
EM_V_MAT_029
Não, pois as faces laterais seriam 6 triângulos equiláte-33.
ros; em torno do vértice da pirâmide teríamos 6 x 60°
= 360°; portanto, as faces laterais estariam contidas no
plano da base.
B34.
A35.
l3
636.
E37.
A38.
V = 1 000cm39. 3
B1.
A2.
C3.
B4.
D5.
D6.
B7.
A8.
D9.
2410.
F = 3511.
V = 23
A = 56
7 faces triangulares; 5 faces heptagonais.12.
A13.
C14.
B15.
D16.
A17.
C18.
E19.
B20.
B21.
C22.
60 cubos23.
350 3
3
3
cm24.
32 cubos.25.
2cm, 4cm e 8cm.26.
E27.
E28.
B29.
C30.
D31.
C32.
A33.
A34.
E35.
236.
B37.
38.
a3
6
a)
1
3b)
C39.
B40.
D41.
A42.
C43.
C44.
1cm45.
E46.
a3
2
3
47.

24
EM_V_MAT_029

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