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Presentación

Contenido Temático

Recursos

Evaluación           Prof. Pedro Eche Querevalú
                                  CTA
Bibliografía               5to de Secundaria
                                  2012
Créditos
Si deseamos tener toda la información posible del
viento, no solo necesitaremos su intensidad, por
ejemplo 60 km/h, además es necesario saber su
dirección y sentido. No es lo mismo para un velero que
quiere llegar a puerto un viento de 60 km/h hacia el
mar que hacia la costa.
Existen muchas magnitudes físicas cuya descripción
completa exige conocer su intensidad y dirección. Una
forma de describir un viento a 60 km/h de forma
sencilla es mediante una flecha cuya longitud sea
proporcional a su velocidad y que apunte en la
dirección del viento. A estas flechas se les denomina
vectores, y a su magnitud que los miden “vectoriales”
                                                         Hermann Grassmann
Contenido Temático
DEFINICIÓN DE VECTORES
MAGNITUDES ESCALARES
MAGNITUDES VECTORIALES
PROPIEDADES DE UN VECTOR
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR
VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO
OPERACIÓN CON VECTORES: IGUALDAD DE LOS
VECTORES
OPERACIÓN CON VECTORES: ADICIÓN
OPERACIÓN CON VECTORES: SUSTRACCIÓN
EJEMPLOS
MAGNITUDES FÍSICAS
Magnitudes Escalares
Son aquellas magnitudes físicas
que necesitan sólo de un número
(puede ser positivo o negativo) y de
una magnitud para quedar
definidas.
Por lo tanto es una magnitud que
queda definida completamente por
una cantidad y una unidad
apropiada. Por ejemplo: el tiempo,
temperatura, volumen, longitud,
masa, carga eléctrica, etc
Magnitudes Vectoriales
Son aquellas magnitudes físicas que,
además de tener un valor numérico y una
unidad, necesitan de una dirección y un
sentido para quedar correctamente
definidas.
Muchas magnitudes se pueden representar
en forma gráfica por medio de una flecha
(vector).
Ejemplos de magnitudes vectoriales:
 • La velocidad.
 • La aceleración.
 • La fuerza.
 • El campo eléctrico, etc.
Vector
Un vector es un segmento de recta orientado,
caracterizado por:
 •   Su origen o punto de aplicación: El punto O en
     Fig. 1.
 •   Su extremo: A en la figura 1.
 •   Su dirección: La dirección de la recta que lo
     contiene (la recta r en la figura).
 •   Su sentido: Indicado por la punta de la flecha.
 •   Su módulo: La longitud del vector. Se designa
     escribiendo el nombre del vector entre dos líneas
     verticales. Para el vector

 Como se indica también en la figura, un vector se suele designar escribiendo su origen
 y su
 extremo con una flecha encima , o bien, simplemente mediante una letra mayúscula
 o minúscula con una flecha encima
 Entendemos por vector unitario un vector de módulo unidad: = 1.
 Por convención, la dirección y el sentido de un vector están
 determinados por el ángulo que forman el vector con el eje +X.
Operación con Vectores:

 • Igualdad de los vectores:
Dos vectores y pueden definirse como
iguales si tienen la misma magnitud y
apuntan en la misma dirección. Es
decir, = , sólo si = y, los dos actúan a
lo largo de direcciones paralelas.
Como se pude ver en la imagen de la
derecha.
También:
Operación con Vectores:
Adición
Cuando dos o más vectores se suman todos deben tener las mismas unidades.
Existen diferentes métodos para calcular la suma de vectores, entre los cuales se
tienen los siguientes:
 •   El método de adición del triángulo
     Resultante de dos vectores coplanares y concurrentes
     Cuando el vector A se suma al vector B la resultante R es el vector que va desde
     el origen del vector A hasta la saeta o cabeza del vector B.




                                                                              CONTINUA>>
Operación con Vectores: Adición
    • MÉTODO DEL POLÍGONO
   El vector que completa el polígono:
   Cuando se suman más de dos vectores, por ejemplo hallar la suma de los
   vectores A + B + C + D la resultante R, es el vector que va desde el origen del
   primer vector hasta la saeta del último vector, en este caso del vector A hasta la
   saeta del vector D.




                                                                               CONTINUA>>
Operación con Vectores: Adición
 La regla de adición de paralelogramo:

    - En la siguiente construcción los orígenes
    de los dos vectores A y B están juntos y el
    vector resultante R es la diagonal de un
    paralelogramo con lados A y B.
    Algunas de las leyes que se utilizan en la
    suma de vectores son las siguientes: La
    ley conmutativa y la asociativa.



                                            - Cuando la suma de vectores A y B es
                                            independiente del orden, lo cual le da
                                            origen a la ley conmutativa de la suma,
                                            esta se puede observar a continuación:



                                                                            CONTINUA>>
Operación con Vectores: Adición
  •    La regla de adición del paralelogramo :
      Cuando tres o más vectores se suman, y su total es independiente de la forma en
      la que se agruparon los vectores individuales. Lo antes mencionado recibe el
      nombre de la ley asociativa de la suma de vectores.
Operación con Vectores: Sustracción
 •  Opuesto (También llamado: Negativo) de un Vector:
   Es cuando se suma dos vectores con la misma magnitud pero con diferente
   sentido, lo cuál ocasiona que el resultado de la operación sea cero, como un
   ejemplo tenemos A + (-A) = 0.
 • Diferencia de vectores:
     Es la sustracción de vectores A – B = D se usa la definición del negativo de un
     vector. En esta operación se da de la siguiente manera: A - B en donde el vector
     -B sumado al vector A, que podemos reemplazar por: A + ( -B ) = D
     Por lo tanto:
     ( A - B = A + (-B) )
Propiedades de un Vector
•   Opuest
    o:

                A    -A

•   Nulo
    :           0= A + ( -A
                         )
•   Vector
    Unitario:
Descomposición rectangular de un vector
 Un vector oblicuo puede expresarse como la composición de dos vectores
 perpendiculares; estos vectores son llamados componentes rectangulares. Los
 componentes rectangulares se trazan sobre los ejes de coordenadas X e Y desde
 el origen de coordenadas.
                                       Componentes rectangulares



                                                                   Módulo del componente horizontal


                                                                    Módulo del componente vertical




                                                                   Indica la dirección y el sentido de


 Observación: Cuando un vector está sobre un eje de coordenadas, el
 sentido del vector está dado por el signo del eje respectivo, los vectores
 orientados hacia la derecha o hacia arriba son positivos y los vectores
 orientados hacia la izquierda o hacia abajo son negativos.
Ejemplo 1
•   Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes
    vectores:



                        A                B


                              C
                          A               B


                                              R = 2C
                                                               CONTINUA>>
Versores: Vectores unitarios en el espacio
 Para indicar la dirección y el sentido de los componentes de un vector,
 usamos los vectores unitarios llamados versores.

 Versores rectangulares en dos                       Versores rectangulares en tres
 dimensiones                                         dimensiones




i: es el versor que indica la dirección del eje +X
J: es el versor que indica la dirección del eje +Y
K: es el versor que indica la dirección del eje +Z
Ejemplo 2
•   Determinando la resultante de los siguientes
    vectores:
                4u                                 3u


    Donde es la resultante:




                                     7u
                                                        CONTINUA>>
Ejemplo 3
•   Determinando la resultante de los siguientes vectores:




    8u             +               4u          =             4u



                                                              CONTINUA>>
Ejemplo 4
•   Determinando la resultante de los siguientes
    vectores:




                 4u                            3u




                                                    CONTINUA>>
Ejemplo 4

•   Determinando la resultante de los siguientes
    vectores:




                    4u                             3u
Recursos
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lúdicas




          Actividades interactivas
Créditos
Imagen de la presentación
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hgrassmann.jpg

¿Qué es un vector?
http://bacterio.uc3m.es/docencia/profesores/mongema/Industriales/Apuntes/matematicas.pdf

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Vectores/Vectores.html

Vectores
http://www.aulafacil.com/matematicas-coordenadas/curso/Lecc-4.htm

http://www.tochtli.fisica.uson.mx/electro/vectores/definici%C3%B3n_de_vectores.htm

Historia introducción de vectores
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorial-geova-walter/node1.html

Espacio vectorial
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

Ejercicios
http://www.educaplus.org/play-115-Magnitudes-escalares-y-vectoriales.html

Suma de vectores
http://andromeda.ls.utp.ac.pa/mai/notas/vectores/#cantidad

Simulador de vectores: interactivo
http://www.perueduca.edu.pe/recursos/simuladores/CTA_mask_simul_FIS_30.html

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Magnitudes Vectoriales

  • 1. Presentación Contenido Temático Recursos Evaluación Prof. Pedro Eche Querevalú CTA Bibliografía 5to de Secundaria 2012 Créditos
  • 2. Si deseamos tener toda la información posible del viento, no solo necesitaremos su intensidad, por ejemplo 60 km/h, además es necesario saber su dirección y sentido. No es lo mismo para un velero que quiere llegar a puerto un viento de 60 km/h hacia el mar que hacia la costa. Existen muchas magnitudes físicas cuya descripción completa exige conocer su intensidad y dirección. Una forma de describir un viento a 60 km/h de forma sencilla es mediante una flecha cuya longitud sea proporcional a su velocidad y que apunte en la dirección del viento. A estas flechas se les denomina vectores, y a su magnitud que los miden “vectoriales” Hermann Grassmann
  • 3. Contenido Temático DEFINICIÓN DE VECTORES MAGNITUDES ESCALARES MAGNITUDES VECTORIALES PROPIEDADES DE UN VECTOR DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO OPERACIÓN CON VECTORES: IGUALDAD DE LOS VECTORES OPERACIÓN CON VECTORES: ADICIÓN OPERACIÓN CON VECTORES: SUSTRACCIÓN EJEMPLOS
  • 5. Magnitudes Escalares Son aquellas magnitudes físicas que necesitan sólo de un número (puede ser positivo o negativo) y de una magnitud para quedar definidas. Por lo tanto es una magnitud que queda definida completamente por una cantidad y una unidad apropiada. Por ejemplo: el tiempo, temperatura, volumen, longitud, masa, carga eléctrica, etc
  • 6. Magnitudes Vectoriales Son aquellas magnitudes físicas que, además de tener un valor numérico y una unidad, necesitan de una dirección y un sentido para quedar correctamente definidas. Muchas magnitudes se pueden representar en forma gráfica por medio de una flecha (vector). Ejemplos de magnitudes vectoriales: • La velocidad. • La aceleración. • La fuerza. • El campo eléctrico, etc.
  • 7. Vector Un vector es un segmento de recta orientado, caracterizado por: • Su origen o punto de aplicación: El punto O en Fig. 1. • Su extremo: A en la figura 1. • Su dirección: La dirección de la recta que lo contiene (la recta r en la figura). • Su sentido: Indicado por la punta de la flecha. • Su módulo: La longitud del vector. Se designa escribiendo el nombre del vector entre dos líneas verticales. Para el vector Como se indica también en la figura, un vector se suele designar escribiendo su origen y su extremo con una flecha encima , o bien, simplemente mediante una letra mayúscula o minúscula con una flecha encima Entendemos por vector unitario un vector de módulo unidad: = 1. Por convención, la dirección y el sentido de un vector están determinados por el ángulo que forman el vector con el eje +X.
  • 8. Operación con Vectores: • Igualdad de los vectores: Dos vectores y pueden definirse como iguales si tienen la misma magnitud y apuntan en la misma dirección. Es decir, = , sólo si = y, los dos actúan a lo largo de direcciones paralelas. Como se pude ver en la imagen de la derecha. También:
  • 9. Operación con Vectores: Adición Cuando dos o más vectores se suman todos deben tener las mismas unidades. Existen diferentes métodos para calcular la suma de vectores, entre los cuales se tienen los siguientes: • El método de adición del triángulo Resultante de dos vectores coplanares y concurrentes Cuando el vector A se suma al vector B la resultante R es el vector que va desde el origen del vector A hasta la saeta o cabeza del vector B. CONTINUA>>
  • 10. Operación con Vectores: Adición • MÉTODO DEL POLÍGONO El vector que completa el polígono: Cuando se suman más de dos vectores, por ejemplo hallar la suma de los vectores A + B + C + D la resultante R, es el vector que va desde el origen del primer vector hasta la saeta del último vector, en este caso del vector A hasta la saeta del vector D. CONTINUA>>
  • 11. Operación con Vectores: Adición La regla de adición de paralelogramo: - En la siguiente construcción los orígenes de los dos vectores A y B están juntos y el vector resultante R es la diagonal de un paralelogramo con lados A y B. Algunas de las leyes que se utilizan en la suma de vectores son las siguientes: La ley conmutativa y la asociativa. - Cuando la suma de vectores A y B es independiente del orden, lo cual le da origen a la ley conmutativa de la suma, esta se puede observar a continuación: CONTINUA>>
  • 12. Operación con Vectores: Adición • La regla de adición del paralelogramo : Cuando tres o más vectores se suman, y su total es independiente de la forma en la que se agruparon los vectores individuales. Lo antes mencionado recibe el nombre de la ley asociativa de la suma de vectores.
  • 13. Operación con Vectores: Sustracción • Opuesto (También llamado: Negativo) de un Vector: Es cuando se suma dos vectores con la misma magnitud pero con diferente sentido, lo cuál ocasiona que el resultado de la operación sea cero, como un ejemplo tenemos A + (-A) = 0. • Diferencia de vectores: Es la sustracción de vectores A – B = D se usa la definición del negativo de un vector. En esta operación se da de la siguiente manera: A - B en donde el vector -B sumado al vector A, que podemos reemplazar por: A + ( -B ) = D Por lo tanto: ( A - B = A + (-B) )
  • 14. Propiedades de un Vector • Opuest o: A -A • Nulo : 0= A + ( -A ) • Vector Unitario:
  • 15. Descomposición rectangular de un vector Un vector oblicuo puede expresarse como la composición de dos vectores perpendiculares; estos vectores son llamados componentes rectangulares. Los componentes rectangulares se trazan sobre los ejes de coordenadas X e Y desde el origen de coordenadas. Componentes rectangulares Módulo del componente horizontal Módulo del componente vertical Indica la dirección y el sentido de Observación: Cuando un vector está sobre un eje de coordenadas, el sentido del vector está dado por el signo del eje respectivo, los vectores orientados hacia la derecha o hacia arriba son positivos y los vectores orientados hacia la izquierda o hacia abajo son negativos.
  • 16. Ejemplo 1 • Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores: A B C A B R = 2C CONTINUA>>
  • 17. Versores: Vectores unitarios en el espacio Para indicar la dirección y el sentido de los componentes de un vector, usamos los vectores unitarios llamados versores. Versores rectangulares en dos Versores rectangulares en tres dimensiones dimensiones i: es el versor que indica la dirección del eje +X J: es el versor que indica la dirección del eje +Y K: es el versor que indica la dirección del eje +Z
  • 18. Ejemplo 2 • Determinando la resultante de los siguientes vectores: 4u 3u Donde es la resultante: 7u CONTINUA>>
  • 19. Ejemplo 3 • Determinando la resultante de los siguientes vectores: 8u + 4u = 4u CONTINUA>>
  • 20. Ejemplo 4 • Determinando la resultante de los siguientes vectores: 4u 3u CONTINUA>>
  • 21. Ejemplo 4 • Determinando la resultante de los siguientes vectores: 4u 3u
  • 22. Recursos Haz clic en “Actividades interactivas” para ingresar para desarrollar las actividades educativas lúdicas Actividades interactivas
  • 23. Créditos Imagen de la presentación http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hgrassmann.jpg ¿Qué es un vector? http://bacterio.uc3m.es/docencia/profesores/mongema/Industriales/Apuntes/matematicas.pdf http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Vectores/Vectores.html Vectores http://www.aulafacil.com/matematicas-coordenadas/curso/Lecc-4.htm http://www.tochtli.fisica.uson.mx/electro/vectores/definici%C3%B3n_de_vectores.htm Historia introducción de vectores http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorial-geova-walter/node1.html Espacio vectorial http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial Ejercicios http://www.educaplus.org/play-115-Magnitudes-escalares-y-vectoriales.html Suma de vectores http://andromeda.ls.utp.ac.pa/mai/notas/vectores/#cantidad Simulador de vectores: interactivo http://www.perueduca.edu.pe/recursos/simuladores/CTA_mask_simul_FIS_30.html