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Números reales y plano numérico
BARQUISIMETO, FEBRERO 2023.
1
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andes Eloy Blanco
Barquisimeto- Estado Lara.
Autor:
Fabiola Pérez.
CI: 27.629.803
Sección:(0143) 0144
PNF: Contaduría.
¿Qué es un conjunto?
2
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los
elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, letras, colore, figuras, entre otros. Se dice
que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números
naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede
escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define
un conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes, miércoles}
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo, verde, violeta, añil, azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los
planetas del sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante
operaciones, de manera similar a las operaciones con números.
3
Operaciones con Conjuntos
•Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto
de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
•Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los
elementos comunes a A y B.
•Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A  B que resulta de
eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
4
•Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que
no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
•Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simetrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con
todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
•Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de
todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo
elemento b perteneciente a B.
5
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y
podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números
complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R ↓
Números Reales
Clasificación de los números reales
6
Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros,
racionales e irracionales.
• Números naturales
Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños. Este
conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo contrario (cero
neutral).
Expresión:
Nos podemos acordar de los números naturales pensando en que son los números que usamos
“naturalmente” para contar. Cuando contamos con la mano obviamos el cero, lo mismo para los
números naturales.
Ejemplo: 1,2,3,4,5,6...
N
7
• Números enteros
Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los números negativos.
Expresión:
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros.
Nos podemos acordar de los números enteros pensando en que son todos los números que usamos naturalmente para
contar junto con sus opuestos e incluyendo el cero (0). A diferencia de los racionales, los números enteros representan
“enteramente” su valor.
z
8
• Números racionales
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números enteros y
naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números enteros.
Expresión:
Nos podemos acordar de los números racionales pensando en que siendo fracciones de números
enteros, es “racional” que el resultado sea un número entero o un número decimal finito o
semiperiódico.
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números racionales.
q
9
• Números Irracionales
Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de manera
exacta ni de manera periódica.
Expresión:
Nos podemos acordar de los números irracionales pensando en que son todos los números que
no encajan en las clasificaciones anteriores y que también pertenecen a la recta real.
Ejemplo de algunos elementos del conjunto de números irracionales.
i
Desigualdades
10
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones
algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual
que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea para denotar
que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:
•Mayor que >
•Menor que <
•Menor o igual que ≤
•Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
AGREGAR UN PIE DE PÁGINA 11
Valor Absoluto
AGREGAR UN PIE DE PÁGINA 12
El valor absoluto es un concepto que está presente en diversos contextos de la Física y las Matemáticas, por
ejemplo en las nociones de magnitud, distancia, y norma. En casos más complejos es un concepto muy útil, como
en las definiciones de cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número pero con signo positivo. En otras
palabras, es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo. Por ejemplo, el valor
absoluto del número −4 se representa como |−4| y equivale a 4 y el valor absoluto de 4 se representa como |4| lo
cual también equivale a 4
13
Formalmente, el valor absoluto de todo número real está definido por:
Como podemos notar, el valor absoluto de un número real es siempre mayor que o igual a cero y
nunca es negativo. Además, el valor absoluto no sólo describe la distancia de un punto al origen; de
manera general, el valor absoluto puede indicar la distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta
numérica. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en Matemáticas surge de la
generalización del valor absoluto de la diferencia.
Desigualdades de valor absoluto
AGREGAR UN PIE DE PÁGINA 14
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro.
• Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .
AGREGAR UN PIE DE PÁGINA 15
• Ejemplo 1 :
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Desigualdades de valor absoluto
AGREGAR UN PIE DE PÁGINA 16
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a < - b .
17
Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:
18
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto#Operaciones_con_conju
ntos
https://economipedia.com/definiciones/numeros-reales.html
http://campusvirtual.cua.uam.mx/material/tallerm/34_Valor_Ab
soluto_html/index.html

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  • 1. Números reales y plano numérico BARQUISIMETO, FEBRERO 2023. 1 República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder popular para la Educación Universidad Politécnica Territorial Andes Eloy Blanco Barquisimeto- Estado Lara. Autor: Fabiola Pérez. CI: 27.629.803 Sección:(0143) 0144 PNF: Contaduría.
  • 2. ¿Qué es un conjunto? 2 En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, letras, colore, figuras, entre otros. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él. Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes, miércoles} AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo, verde, violeta, añil, azul} Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.
  • 3. 3 Operaciones con Conjuntos •Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B. •Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B. •Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
  • 4. 4 •Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene. •Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simetrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez. •Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.
  • 5. 5 En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real. Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente. Los números reales se representan mediante la letra R ↓ Números Reales
  • 6. Clasificación de los números reales 6 Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros, racionales e irracionales. • Números naturales Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo contrario (cero neutral). Expresión: Nos podemos acordar de los números naturales pensando en que son los números que usamos “naturalmente” para contar. Cuando contamos con la mano obviamos el cero, lo mismo para los números naturales. Ejemplo: 1,2,3,4,5,6... N
  • 7. 7 • Números enteros Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los números negativos. Expresión: Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros. Nos podemos acordar de los números enteros pensando en que son todos los números que usamos naturalmente para contar junto con sus opuestos e incluyendo el cero (0). A diferencia de los racionales, los números enteros representan “enteramente” su valor. z
  • 8. 8 • Números racionales Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números enteros. Expresión: Nos podemos acordar de los números racionales pensando en que siendo fracciones de números enteros, es “racional” que el resultado sea un número entero o un número decimal finito o semiperiódico. Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números racionales. q
  • 9. 9 • Números Irracionales Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera periódica. Expresión: Nos podemos acordar de los números irracionales pensando en que son todos los números que no encajan en las clasificaciones anteriores y que también pertenecen a la recta real. Ejemplo de algunos elementos del conjunto de números irracionales. i
  • 10. Desigualdades 10 Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos. Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales. Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean: •Mayor que > •Menor que < •Menor o igual que ≤ •Mayor o igual que ≥ Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
  • 11. AGREGAR UN PIE DE PÁGINA 11
  • 12. Valor Absoluto AGREGAR UN PIE DE PÁGINA 12 El valor absoluto es un concepto que está presente en diversos contextos de la Física y las Matemáticas, por ejemplo en las nociones de magnitud, distancia, y norma. En casos más complejos es un concepto muy útil, como en las definiciones de cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales. El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número pero con signo positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del número −4 se representa como |−4| y equivale a 4 y el valor absoluto de 4 se representa como |4| lo cual también equivale a 4
  • 13. 13 Formalmente, el valor absoluto de todo número real está definido por: Como podemos notar, el valor absoluto de un número real es siempre mayor que o igual a cero y nunca es negativo. Además, el valor absoluto no sólo describe la distancia de un punto al origen; de manera general, el valor absoluto puede indicar la distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta numérica. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en Matemáticas surge de la generalización del valor absoluto de la diferencia.
  • 14. Desigualdades de valor absoluto AGREGAR UN PIE DE PÁGINA 14 Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. • Desigualdades de valor absoluto (<): La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es . Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .
  • 15. AGREGAR UN PIE DE PÁGINA 15 • Ejemplo 1 : Resuelva y grafique. | x – 7| < 3 Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta . x – 7 < 3 Y x – 7 > –3 –3 < x – 7 < 3 Sume 7 en cada expresión. -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7 4 < x <10 La gráfica se vería así:
  • 16. Desigualdades de valor absoluto AGREGAR UN PIE DE PÁGINA 16 Desigualdades de valor absoluto (>): La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4. Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es . Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a < - b .
  • 17. 17 Ejemplo 2 : Resuelva y grafique. Separe en dos desigualdades. Reste 2 de cada lado en cada desigualdad. La gráfica se vería así: