14/11/2022
Sur les bases d'une mécanique quantique complété et
relativiste .
Introduction :
Dans le cadre de mes recherches dans le domaine des phénomènes
paranormaux je pense pouvoir augmenté les donées dans le bon sens .
Pour commenser on peut commencer sur le principe de construction de
l'équation de Shrodinger .
On a l'énergie mécanique non relativiste E=
P
2
2m
+U et les relations
La solution élémentaire de l'équation d'onde ψ(⃗
r ,t)=ψ0 e j(⃗
k .⃗
r−ωt)
.
On utilise les relations quantique
E=ℏω → ω=
E
ℏ
& p=ℏ k → ⃗
k=
⃗
p
ℏ
qui donne la fonction
d'onde quantique ψ(⃗
r ,t)=ψ0 e
j(
⃗
p
ℏ
.⃗
r−
E
ℏ
t)
. On identifié les opérateurs
E et p pour pouvoir écrire une équation d'onde image de l'énergie
mécanique . ̂
p=−i ℏ ∇ →
̂
p
2
=−ℏ
2
Δ & E=i ℏ ∂
∂t
.
Contrairement a se qu'on dit l'opérateur d'energie potentiel U est inconnue
en général , tout dépend de sa source qui peut étre extérieur ou intérieur au
système . Lorsqu'elle est éxtérieur c'est une simple constante U.
De façon général on obtient l'équation de Shrodinger

i ℏ
∂ ψ
∂t
=−
ℏ2
2m
Δ ψ+ ̂
U ψ
Dans le cas particulier bien connue cette équation est linéaire
i ℏ
∂ ψ
∂t
=
−ℏ2
2m
Δ ψ+U ψ
se qui ne garantie pas que l'équation soit en général linéaire , tout depend
de l'opérateur du potentiel dans la mesure ou le systeme microscopique
physique qu'on cherche à modélisé avec une théorie de mécanique
quantique n'est pas terminé . Tout se qu'on peut écrire c'est
̂
U=i ℏ ∂
∂t
+
ℏ
2
2m
Δ
d'Autre part cette équation n'admet pas d'inversion d'opérateurs sinon elle
aurait pris en compte l'opérateiur de la masse ̂
m=
̂
E
c2
=
i ℏ
c2
∂
∂t
.
En éffet , si on reprend le fil du calcul on a
E=
P
2
2m
+U → ̂
E=
̂
[
P
2
2m
+U ]=
̂
P
2
2m
+ ̂
U →
→ i ℏ
∂ ψ
∂t
=−
ℏ
2
2m
Δ ψ+ ̂
U ψ .
Autrement dit cette équation n'est qu'une données parmis d'autre qu'il faut
aussi écrire pour traité au mieux les problèmes de la mécanique quantique
.

De façon général il y a 4 opérateurs à prendre en compte , le couple-espace
temp (r , t ) et le couple énergie-impulsion (E, p ) .
qui donne les 4 opérateurs quantique de base de cette mécanique quantique
̂
p=−i ℏ ∇ , ̂
E=i ℏ ∂
∂t
, ̂
r=−i ℏ ∂
∂ p
, ̂
t=i ℏ ∂
∂ E
,
̂
m=
i ℏ
c2
∂
∂t
.
Il reste à clarifié les règles d'application de l'opérateur sur les variables
d'état quelconque qui pourra étre dérivé de ses 4 opérateurs :
quelquesoit les variables d'état a et b et le complexe alpha on a
̂
(ab)=̂
a∘ ̂
b ,
̂
(
a
b
)=
̂
a
̂
b
=̂
a∘ ̂
b−1
, ̂
(α a)=α ̂
a ,
̂
(
a
α )=
1
α ̂
a ,
̂
(a+b)=̂
a+̂
b .
Avec ses règles on peut mùaitenant inversé les opérateurs
̂
p−1
=−
1
i ℏ
∫d ⃗
r ,
̂
E−1
=
1
i ℏ
∫dt ,
̂
r−1
=−
1
i ℏ
∫dp ,
̂
t−1
=
1
i ℏ
∫dE ,
̂
m−1
=
c
2
i ℏ
∫dt .
Avec ses données de base on peut commensé à faire des calculs comme on
veut . Je vais donées quelques exemple éssentiel en commencons part la
forme de l'équation de Shrodinger .

E=
P
2
2m
+U → ̂
E=
̂
[
P
2
2m
+U ]=
̂
P
2
2 ̂
m
+ ̂
U →
̂
E=
̂
P
2
2
∘ ̂
m−1
+ ̂
U → i ℏ
∂ ψ
∂t
=−
ℏ2
2
c
2
i ℏ
∫Δ ψdt+ ̂
U ψ
soit i ℏ(
∂ψ
∂t
−
1
2
c2
∫Δ ψdt)= ̂
U ψ
→ i ℏ(
∂
2
ψ
∂t
2
−
1
2
c2
Δ ψ)= ∂
∂t
̂
U ψ .
Si on injecte la forme ''standard'' de l'opérateur potentiel
̂
U=i ℏ ∂
∂t
+
ℏ
2
2m
Δ ça donne (selon moi ok bon.., ) une équation de
Shrodinger plus général
i ℏ(
∂
2
ψ
∂t2
−
1
2
c2
Δ ψ)= ∂
∂t
∘(i ℏ ∂
∂t
+
ℏ2
2m
Δ) ψ .
Je vais aussi écrire l'équivalent de l'équation de Lagrange qui est aussi
valable que celle de Shrodinger avec l'énergie :
Dans la première version des règles de calcul ou la masse n'est pas pris en
compte au niveau des opérateurs
F=mr̈ → ̂
F=m ̂
r̈ → ̂
F=−mi ℏ ∂
3
∂t2
∂ p
On utilise l'opérateur potentiel

̂
F=−∇ ̂
U=−∇(i ℏ ∂
∂t
+
ℏ
2
2m
Δ) →
̂
F=−(i ℏ ∇ ∂
∂t
+
ℏ
2
2m
∇
3
) soit
̂
F=−mi ℏ ∂3
∂t
2
∂ p
=−(i ℏ ∇ ∂
∂t
+
ℏ
2
2m
∇
3
)
On simplifie un peut
mi ℏ ∂3
∂t
2
∂ p
=i ℏ ∇ ∂
∂t
+
ℏ
2
2m
∇
3
se qui donne mi ℏ
∂
3
ψ
∂t2
∂ p
=i ℏ ∇
∂ψ
∂t
+
ℏ2
2m
∇3
ψ
soit
mi ℏ
∂2
ψ
∂t
2
=∫(i ℏ ∇
∂ ψ
∂t
+
ℏ2
2m
∇3
ψ)dp
Si on prend en compte l'opérateur de masse et son inverse sa donne
(
i ℏ
c2
∂
∂t
)∘(i ℏ
∂
2
ψ
∂t2
)=∫(i ℏ ∇
∂ψ
∂t
+
ℏ2
2
(
c
2
iℏ
∫dt)∘∇3
ψ)dp
→

−
ℏ2
c2
∂
3
ψ
∂t3
=∫(i ℏ ∇
∂ ψ
∂t
+
ℏ2
2
(
c
2
i ℏ
∫dt)∘∇
3
ψ)dp
_______________________________________________
Quadrivecteur spatio-temporel quantique .
On peut aussi adapté la relativité restreinte avec un quadrivecteur spatio-
temporel quantique .
On a r=(ct ,⃗
r) et il suffit de passé en opérateur quantique
̂
r=(c ̂
t , ̂
r) → ̂
r=(c ̂
t , ̂
r)
Sa donne qui donne les 4 opérateurs quantique de base de cette mécanique
quantique
̂
r=(ci ℏ ∂
∂ E
,−i ℏ ∂
∂ px
,−i ℏ ∂
∂ py
,−i ℏ ∂
∂ pz
)
soit
̂
r=iℏ(c ∂
∂ E
,− ∂
∂ px
,− ∂
∂ py
,− ∂
∂ pz
)
FB