Serie de Taylor y Maclaurin
Ing. Antonio Crivillero
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Suponiendo que f es cualquier función representable mediante una serie de
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f ' ' ' ( x) = 2 ⋅ 3c3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4c4 ( x − a ) + 3 ⋅ 4 ⋅ 5c5 ( x − a ) + ...

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Teorema: Si f tiene una representación (desarrollo) en forma de serie de
potencias en a, e...
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f ( x) = ∑
n =0

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n!

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EJEMPLO 1 – Determina la serie de Maclaurin de la función f(x) = ex y su
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Al igual que con cualquier serie convergente, esto significa que f(x) es el límite de
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T1 ( x) = 1 + x

x2
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2!

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T3 ( x) = 1 + x + +
2! 3!

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En la figura 1 se trazan las gráficas de la función exponencial y de estos tres
polinomios...
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Hemos demostrado el teorema que sigue.
Teorema: Si f (x) = Tn(x) + Rn(x), donde Tn es el p...
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Demostración
f n ( x) ≤ M
Para ver por qué es verdadero lo anterior en el n = 1, suponemos...
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( x − a) 2
f ( x) − f (a ) ≤ f ' (a )( x − a ) + M
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M
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EJEMPLO 2 – Escriba la serie de Maclaurin de sen x y demuestre que
representa sen x para t...
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En vista de que las derivadas se repiten en ciclos de cuatro, podemos escribir la
serie de...
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Por la ecuación 10 el lado derecho de esta desigualdad se acerca a 0
cuando n→∞, de manera...
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EJEMPLO 3 – (a) ¿Cuál es el máximo error posible al emplear la
aproximación
x3 x5
sen x ≈ ...
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Si − 0.3 ≤ x ≤ 0.3 , entonces x ≤ 0.3 , modo que el error es menor que

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Por consiguiente, sen 12º ≈ 0.207912 , con cinco decimales.
(b) El error será menor que 0....
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¿Y si hubiéramos empleado la desigualdad de Taylor para resolver el ejemplo 3?
Dado que f ...
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Y ahí se muestra que R6 ( x) < 4.3 ×10 cuando x ≤ 0.3 . Es la misma estimación
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Serie de Taylor y Maclaurin

Si en el ejemplo 3 se nos hubiera pedido aproximar sen 72º en lugar de sen 12º,
habría sid...
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Serie de Taylor y Maclaurin

La Figura 6 representa la gráficas de las aproximaciones con polinomios de Taylor
x3
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Serie de Taylor y Maclaurin

Uno de los empleos de este tipo de cálculos, como los de los ejemplos anteriores,
se prese...
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Serie de Taylor y Maclaurin

EJEMPLO 4 – En la teoría especial de la relatividad de Einstein, la masa de
un objeto se m...
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SOLUCIÓN – (a) Con las expresiones dadas para K y m, obtenemos
m0 c 2
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 1 v 2 3 v 4 5 v 6
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 2 c 2 + 8 c 4 + 16 c 6 + ...  − 1
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Como f ' ' ( x) =

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m0 c 2 (1 + x) −5 / 2 y se tiene v ≤ 100 m/s , tenemos
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3m0 c 2
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  1. 1. Serie de Taylor y Maclaurin Ing. Antonio Crivillero
  2. 2.  Serie de Taylor y Maclaurin ¿Qué funciones tienen representación en serie de potencias? ¿Cómo podemos encontrar esas representaciones?
  3. 3.  Serie de Taylor y Maclaurin Suponiendo que f es cualquier función representable mediante una serie de potencias: 4 3 f ( x) = c0 + c1 ( x − a ) + c2 ( x − a ) 2 + c3 ( x − a ) + c4 ( x − a ) + ... x−a < R f (a ) = c0 2 f ' ( x) = c1 + 2c2 ( x − a ) + 3c3 ( x − a ) + 4c4 ( x − a ) 3 + ... x−a < R f ' (a ) = c1 f ' ' ( x) = 2c2 + 2 ⋅ 3c3 ( x − a ) + 3 ⋅ 4c4 ( x − a ) 2 + ... f ' ' ( a ) = 2c 2 x−a < R
  4. 4.  Serie de Taylor y Maclaurin 2 f ' ' ' ( x) = 2 ⋅ 3c3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4c4 ( x − a ) + 3 ⋅ 4 ⋅ 5c5 ( x − a ) + ... f ' ' ' ( a ) = 2 ⋅ 3c3 = 3!c3 f ( n ) (a) = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ ncn = n!cn f ( n ) (a) cn = n! x−a < R
  5. 5.  Serie de Taylor y Maclaurin Teorema: Si f tiene una representación (desarrollo) en forma de serie de potencias en a, esto es, si ∞ f ( x ) = ∑ cn ( x − a ) n n =0 x−a < R Los coeficientes están expresados por la fórmula f ( n ) (a) cn = n!
  6. 6.  Serie de Taylor y Maclaurin ∞ f ( x) = ∑ n =0 f ( n ) (a ) ( x − a) n n! = f (a ) + ∞ f ( x) = ∑ n =0 f ' (a) ( x − a ) + f ' ' (a ) ( x − a ) 2 + f ' ' ' (a) ( x − a) 3 + ... 1! 2! 3! f ( n ) (0) n x = n! f ( 0) + f ' (0) f ' ' (0) 2 x+ x + ... 1! 2!
  7. 7.  Serie de Taylor y Maclaurin EJEMPLO 1 – Determina la serie de Maclaurin de la función f(x) = ex y su radio de convergencia SOLUCIÓN – Si f(x) = ex , de modo que f n (0) = e 0 = 1 para toda n. En consecuencia, la serie de Taylor de f en 0 (esto es, la serie de Maclaurin) es ∞ ∑ n =0 f ( n ) (0) n x = n! ∞ xn x x 2 x3 ∑ n! = 1 + 1! + 2! + 3! + ... n =0 n Para hallar el radio de convergencia, sea an = x / n! . Entonces x an +1 x n +1 n! = ⋅ n = → 0 <1 an (n + 1)! x n +1 De modo que, de acuerdo con la prueba de la razón, la serie converge para toda x y el radio de convergencia R = ∞
  8. 8.  Serie de Taylor y Maclaurin La conclusión a la que llegamos con el teorema 5 y el ejemplo 1 es que en caso de que ex tenga un desarrollo como serie potencias en 0, entonces ∞ xn e =∑ n = 0 n! x Así pues, ¿cómo determinar si acaso ex posee una representación en forma de serie de potencias? Investigaremos la pregunta más general: ¿en qué circunstancias una función es igual a la suma de su serie de Taylor? En otras palabras, si f tiene derivadas de todos los órdenes, ¿cuándo se cumple? ∞ f ( x) = ∑ n =0 f ( n ) (a) ( x − a) n n!
  9. 9.  Serie de Taylor y Maclaurin Al igual que con cualquier serie convergente, esto significa que f(x) es el límite de la sucesión de sumas parciales. En el caso de las series de Taylor, tenemos que las sumas son n Tn ( x) = ∑ i =0 f (i ) (a) ( x − a)i i! f ' (a) f n (a) f ' ' (a) 2 = f (a ) + ( x − a) + ( x − a) n ( x − a ) + ... + 1! n! 2! Observará que Tn es un polinomio de grado n llamado polinomio de Taylor de grado n-ésimo, de f en a. Por ejemplo, la función exponencial f(x)= ex, resultado del ejemplo 1, indica que sus primeros tres polinomios de Taylor en 0 (o sus polinomios de Maclaurin) con n = 1,2 y 3 son
  10. 10.  Serie de Taylor y Maclaurin T1 ( x) = 1 + x x2 T2 ( x) = 1 + x + 2! x 2 x3 T3 ( x) = 1 + x + + 2! 3! y = ex y = T2 ( x) y = T3 ( x) y = T1 ( x)
  11. 11.  Serie de Taylor y Maclaurin En la figura 1 se trazan las gráficas de la función exponencial y de estos tres polinomios de Taylor. En general, f(x) es la suma de la serie de Taylor si f ( x) = Lim Tn ( x) n →∞ Si ponemos Rn ( x) = f ( x) − Tn ( x) y f ( x) = Tn ( x) + Rn ( x) entonces Rn (x) se llama residuo de la serie de Taylor. Si pudiéramos demostrar que Lim Rn ( x) = 0 entonces se desprendería n →∞ Lim Tn ( x) = Lim [ f ( x) − Rn ( x)] = f ( x) − Lim Rn ( x) = f ( x) n →∞ n →∞ n →∞
  12. 12.  Serie de Taylor y Maclaurin Hemos demostrado el teorema que sigue. Teorema: Si f (x) = Tn(x) + Rn(x), donde Tn es el polinomio de Taylor de n-ésimo grado de f en a y Lim Rn ( x) = 0 n →∞ Cuando x − a < R , entonces f es igual a la suma de su serie de Taylor en el intervalo x − a < R. ( n +1) ( x) ≤ M para x − a ≤ d Desigualdad de Taylor: Si f , entonces el residuo Rn(x) de la serie de Taylor satisface la desigualdad M n +1 Rn ( x) ≤ x−a (n + 1)! para x−a ≤ d
  13. 13.  Serie de Taylor y Maclaurin Demostración f n ( x) ≤ M Para ver por qué es verdadero lo anterior en el n = 1, suponemos que . f ' ' ( x) ≤ M a≤ x≤ x+d En particular se tiene , de manera que para tenemos x x ∫ a f n (t ) dt ≤ ∫ M dt a Una antiderivada de f’’ es f’, de manera que en virtud de la parte 2 del teorema fundamental del cálculo, tenemos f ' ( x) − f ' (a) ≤ M ( x − a) Luego ∫ x a o f ' ( x) ≤ f ' (a) + M ( x − a) f ' (t )dt ≤ ∫ [ f ' (a ) + M (t − a )] dt x a
  14. 14.  Serie de Taylor y Maclaurin ( x − a) 2 f ( x) − f (a ) ≤ f ' (a )( x − a ) + M 2 M f ( x) − f (a ) − f ' (a )( x − a ) ≤ ( x − a) 2 2 Pero R1 ( x) = f ( x) − T1 ( x) = f ( x) − f (a) − f ' (a )( x − a). Así que R1 ( x) ≤ M ( x − a) 2 2 Por un razonamiento semejante con f ' ' ( x) ≥ − M , se obtiene R1 ( x) ≥ − Luego R1 ( x) ≤ M ( x − a) 2 2 M 2 x−a 2
  15. 15.  Serie de Taylor y Maclaurin EJEMPLO 2 – Escriba la serie de Maclaurin de sen x y demuestre que representa sen x para toda x. SOLUCIÓN – Ordenamos nuestros cálculos en dos columnas: f ( x) = sen x f (0) = 0 f ' ( x) = cos x f ' ( 0) = 1 f ' ' ( x) = − sen x f ' ' ( 0) = 0 f ' ' ' ( x) = − cos x f ' ' ' (0) = −1 f ( 4 ) ( x) = sen x f ( 4 ) (0) = 0
  16. 16.  Serie de Taylor y Maclaurin En vista de que las derivadas se repiten en ciclos de cuatro, podemos escribir la serie de Maclaurin de esta manera: f ( 0) + f ' (0) x+ 1! f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3 x + x + ... 2! 3! ∞ x3 x5 x7 x 2 n +1 n = x − + − + = ... = ∑ (−1) 3! 5! 7! (2n + 1)! n =0 ( n +1) ( x) es sen x o ± cos x ,sabemos que f ( n +1) ( x) ≤ 1 para toda Ya que f x. De modo que podemos tomar M = 1 en la desigualdad de Taylor: n +1 x M x n +1 = Rn (x) ≤ (n + 1)! (n + 1)!
  17. 17.  Serie de Taylor y Maclaurin Por la ecuación 10 el lado derecho de esta desigualdad se acerca a 0 cuando n→∞, de manera que |Rn(x)|→ 0 por el teorema del emparedado, se sigue que Rn(x)→ 0 cuando n→∞, de modo que sen x es igual a la suma de su serie de Maclaurin, por el teorema 8. Para referencias futuras enunciamos el resultado del ejemplo 4. x3 x5 x7 sen x = x − + − + ... 3! 5! 7! x 2 n +1 = ∑ (−1) (2n + 1)! n =0 ∞ n para toda x
  18. 18.  Serie de Taylor y Maclaurin EJEMPLO 3 – (a) ¿Cuál es el máximo error posible al emplear la aproximación x3 x5 sen x ≈ x − + 3! 5! Cuando − 0.3 ≤ x ≤ 0.3 ? Use esta aproximación a fin de calcular sen 12ª, con seis decimales (b) ¿Para qué valores de x esta aproximación tiene una exactitud de 0.00005? SOLUCIÓN – a) Observará que la serie de Maclaurin x3 x5 x7 sen x = x − + + + ... 3! 5! 7! Es alternante para todos los valores de x, distintos de cero, de modo que podemos aplicar el teorema de estimación de series alternantes. El error cometido al aproximar sen x mediante los tres primeros términos de la serie de Maclaurin es, cuando mucho
  19. 19.  Serie de Taylor y Maclaurin 7 x x7 + 7! 5040 Si − 0.3 ≤ x ≤ 0.3 , entonces x ≤ 0.3 , modo que el error es menor que (0.3) 7 ≈ 4.3 ×10 −8 5040 Para calcular sen 12º, primero convertirnos a radiantes:  12π  π  sen 12º = sen  = sen   180   15  3 ≈ 5 π π  1 π  1 −  +  15  15  3!  15  5! ≈ 0.20791169
  20. 20.  Serie de Taylor y Maclaurin Por consiguiente, sen 12º ≈ 0.207912 , con cinco decimales. (b) El error será menor que 0.00005 si x 7 5040 < 0.00005 Al despejar x, de esta desigualdad, obtenemos 7 x < 0.252 o x < (0.252)1/ 7 ≈ 0.821 De suerte que la aproximación dada posee una precisión de 0.00005 cuando |x| < 0.82 .
  21. 21.  Serie de Taylor y Maclaurin ¿Y si hubiéramos empleado la desigualdad de Taylor para resolver el ejemplo 3? Dado que f (7)(x)= -cos x, tenemos f ( 7 ) ( x) ≤ 1 y luego 1 7 R6 ( x) ≤ x 7! De modo que se obtienen las mismas estimaciones que con el teorema de estimación de series alternantes. ¿Y si recurrimos a métodos gráficos? En la figura 4 se exhibe la gráfica de 1 1 5  R6 ( x) = sen x −  x − x 3 + x  6 120  
  22. 22.  Serie de Taylor y Maclaurin −8 Y ahí se muestra que R6 ( x) < 4.3 ×10 cuando x ≤ 0.3 . Es la misma estimación R6 que obtuvimos en el ejemplo 3. Para la parte (b) deseamos que( x) < 0.00005 , de modo que graficamos y = R6 ( x) y y = 0.00005 (figura 5) . Al poner el cursor en la intersección de la derecha, la desigualdad se satisface cuando x < 0.82 . Es la misma estimación obtenida en la solución del ejemplo 3. 4.3 ×10 −8 0.00006 y = 0.00005 y = R6 ( x) − 0.3 y = R6 ( x) 0 0.3 −1 0 1
  23. 23.  Serie de Taylor y Maclaurin Si en el ejemplo 3 se nos hubiera pedido aproximar sen 72º en lugar de sen 12º, habría sido más adecuado usar los polinomios de Taylor en a = π / 3 en lugar de a = 0 , ya que son mejores aproximaciones a los valores de sen x cuando x está próxima a π / 3 . Observe que 72º es próximo a 60º, o π / 3 radianes, y que es fácil calcular las derivadas de sen x en π / 3 .
  24. 24.  Serie de Taylor y Maclaurin La Figura 6 representa la gráficas de las aproximaciones con polinomios de Taylor x3 T1 ( x) = x T3 ( x) = x − 3! x3 x5 x3 x5 x7 T5 ( x) = x − + T7 ( x) = x − + − A la senoide. Puede 3! 5! 3! 5! 7! ver que, al aumentar n, Tn(x) es buena aproximación a T5 sen x en un intervalo T7 cada vez mayor. y = sen(x) T1 T3
  25. 25.  Serie de Taylor y Maclaurin Uno de los empleos de este tipo de cálculos, como los de los ejemplos anteriores, se presenta en las calculadoras y computadoras; por ejemplo, cuando se oprime la tecla sen o ex en la calculadora, o cuando un programador emplea una subrutina para definir una función trigonométrica, exponencial o de Bessel, el cálculo en muchas máquinas es una aproximación polinomial. A menudo, se trata de un polinomio de Taylor modificado para repartir el error con más uniformidad en un intervalo.
  26. 26.  Serie de Taylor y Maclaurin EJEMPLO 4 – En la teoría especial de la relatividad de Einstein, la masa de un objeto se mueve a la velocidad v es m= m0 1− v2 / c2 En donde m0 es la masa del objeto cuando está en reposo y c es la velocidad de la luz. La energía cinética del objeto es la diferencia entre su energía total y su energía en reposo: K = mc 2 − m0 c 2 (a) Demuestre que cuando v es muy pequeña, en comparación con c, la ecuación para calcular K concuerda con la que se obtiene en la física clásica newtoniana: K = (1 / 2)m0 v 2 (b) Emplee la desigualdad de Taylor a fin de estimar la diferencia entre estas expresiones para calcular K cuando |v| ≤ 100 m/s.
  27. 27.  Serie de Taylor y Maclaurin SOLUCIÓN – (a) Con las expresiones dadas para K y m, obtenemos m0 c 2 2 2 K = mc − m0 c = − m0 c 2 1− v2 / c2  v 2  −1/ 2  = m0 c 2 1 − 2  − 1    c     Con x = −v 2 / c 2 , la serie de Maclaurin de (1+x) 1/2 se calcula con más facilidad como una serie binomial con k= -1/2. (Mientras que |x|<1 porque v < c.) Por consiguiente (−1 / 2)(−2 / 3) 2 (−1 / 2)(−2 / 3)(−5 / 2) 3 (1 + x) −1/ 2 = 1 − (1 / 2) x + x + x + ... 2! 3! = 1 − (1 / 2) x + (3 / 8) x 2 − (5 / 16) x 3 + ...
  28. 28.  y Serie de Taylor y Maclaurin  1 v 2 3 v 4 5 v 6   K = m0 c 1 +  2 c 2 + 8 c 4 + 16 c 6 + ...  − 1     2  1 v2 3 v4 5 v6   2+ 4+ = m0 c  + ... 6   2 c 8 c 16 c  2 Si v es mucho menor que c, todos los términos después del primero son muy pequeño en comparación con el primero. Si los omitimos, llegamos a  1 v2  K ≈ m0 c  2  = (1 / 2)m0 v 2 2 c    2 [ ] 2 2 2 − 1 , y M es un número tal que (b) Si x = −v / c , f ( x) = m0 c (1 + x ) f ' ' ( x) ≤ M , entonces por la desigualdad de Taylor podemos escribir R1 ( x) ≤ −1 / 2 M 2 x 2!
  29. 29.  Serie de Taylor y Maclaurin Como f ' ' ( x) = 3 m0 c 2 (1 + x) −5 / 2 y se tiene v ≤ 100 m/s , tenemos 4 3m0 c 2 3m0 c 2 f ' ' ( x) = ≤ (= M ) 2 2 5/ 2 2 2 5/ 2 4(1 − v / c ) 4(1 − 100 / c ) 8 Ahora, con c = 3 × 10 m / s, 3m0 c 2 1 100 4 R1 ( x) ≤ ⋅ ⋅ 4 < ( 4.17 ×10 −10 ) m0 2 4(1 −100 2 / c 2 ) 5 / 2 c 8 Así cuando c = 3 ×10 m / s , la magnitud del error cometido al usar la expresión de Newton para la energía cinética es, cuando mucho 4.2 ×10 −10 m0 . ( )

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