COMUNICACIONES

1. Universidad Autonoma de Baja California
.
1
LA TRANSFORMADA DE HILBERT
Marcos Marcos Fernando
e-mail: fmarcos@uabc.edu.mx
a) Fundamento matemático de la
Transformada de Hilbert
Considerando un sistema que no distorsiona la
amplitud de ninguna señal de entrada, pero que si
distorsina la fase,de tal manera que produce un desfase
de π/2 a todas las señales de entrada. Esto quiere decir
que si x(t) ⇔ X(f), entonces el espectro de salida del
sistema, que se representara con 𝑋̂(f), será
𝑋̂(f) = 𝑋(f) exp(−𝑗
𝜋
2
) = −𝑗𝑋(f) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑓
𝑋̂(f) = 𝑋(f)exp (𝑗
𝜋
2
) = 𝑗𝑋(f) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓 < 0
Entonces, para todo f, 𝑋̂(f) = -jX(f)u(f) + jX(f)[u(-f)-
u(f)]
𝑋̂(f) = −𝑗 𝑠𝑔𝑛(f) 𝑋(f) (1)
Y tambien
𝑋̂(f) = 𝑗 𝑠𝑔𝑛(f) 𝑋̂(f) (2)
Si hacemos 𝑋̂(f) =Hh(f)X(f), donde Hh(f) es la
funcin de transferencia del sistema, entonces, de (1),
𝐻ℎ( 𝑓) = −𝑗 𝑠𝑔𝑛( 𝑓) (3)
Que se presenta en la Figura 1b. Este sistema se
conoce con el nombre de “Transformador de Hilbert” ,
“Filtro de Hilbert” o “Filtro de Cuadratura”, Fig. 1(a).
Podemos considerar entonces al filtro de Hilbert como
un filtro de banda ancha. En la Fig. 1(d) se muestra en
forma gráfica la formación del espectro de la
transformada de Hilbert, ecuación (1).
a) Transformada de Hilbert
b) Funcion de transferencia de la Transferencia
de Hilbert
c) Respuesta impulsional del Transformador de
Hilbert
d) Formacion grafica del espectro 𝑋̂(f)
Figura 1. Caracteristicas de la Transformada
de Hilbert
De (3), la respuesta impulsional del transformador
de Hilbert es
{ 𝐻ℎ(f)}= ℎℎ( 𝑡) =
1
𝜋𝑡
(4)
Que se muestra en la Figura 1(c) (El área del
impulso es 1 𝜋⁄ .
En consecuencia,
𝑥̂(f) = ℎℎ ∗ 𝑥( 𝑡) =
1
𝜋
∫
𝑥(𝜏)
𝑡 − 𝜏
∞
−∞
𝑑𝜏
=
1
𝜋
∫
𝑥(𝑡 − 𝜏)
𝜏
∞
−∞
𝑑𝜏 (5)
La señal 𝑥̂(f) se conoce con el nombre de
“Transformada de Hilbert” o “funcion conjugada de x(t)” y
es de gran aplicación de la representacion de señales y
sistemas pasabanda y en el estudio de señales
moduladas en banda lateral unica.La transformacion (5)
generalmente se representa en la forma
𝑥̂(t) = { 𝑥(𝑡)}
De (2),
{ 𝑋(𝑡)} = x(t) = j(
−1
𝑗𝜋𝑡
) ∗ 𝑥̂(f) =
−1
𝜋
∫
𝑥(𝜏)
𝑡−𝜏
∞
−∞
𝑑𝜏 =
−1
𝜋
∫
𝑥(𝑡−𝜏)
𝜏
∞
−∞
𝑑𝜏 (6)
Y en virtud de (1), |𝑋̂(f)| = | 𝑋(f)| (7)
𝐻ℎ(f) = | 𝐻ℎ(f)| 𝑒𝑥𝑝[ 𝑗𝜙ℎ (f)]
| 𝐻ℎ(f)| = 1;
T7

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2
𝜙ℎ(f) = 𝜙ℎ(f) ±
𝜋
2
(8)
La expresión (7) demuestra que x(t) y x)(t) tienen la
misma densidad espectral de energía o la misma
densidad espectral de potencia (en el límite); mientras
que las expresiones (8) explican el cambio de fase en
± 𝜋 2⁄ , es decir, que si por ejemplo, x(t) =Acos(ωct + θ),
entonces 𝑥̂ (t)=Asen(ωct+θ); pero si x(t) = sen(ω t + θ) ,
entonces 𝑥̂ (t) =−Acos(ωct+θ).
Otras propiedades de la Transformada de Hilbert,
que no demostraremos aquí, son:
 { {[ 𝑥( 𝑡)]}} = −𝑥( 𝑡)
 Si x(t) es par, entonces 𝑥̂ (t) es impar, y viceversa.
 x(t) y su transformada de Hilbert 𝑥̂(t) son
ortogonales, es decir, ∫ 𝑥( 𝑡) 𝑥̂
∞
−∞
( 𝑡) 𝑑𝑡 = 0.
 x(t) y su transformada de Hilbert 𝑥̂ (t) tienen la
misma función de auto correlación (La función de
auto correlación la trataremos más adelante).
 La transformada de Hilbertes lineal, es decir
{ax1(t) + bx2(t)}=a𝑥̂1( 𝑡) + 𝑏𝑥̂2(𝑡).
 La transformada de Hilbert de una constante es
cero.
 { 𝑥1( 𝑡) ∗ 𝑥2( 𝑡)} = 𝑥̂1( 𝑡) ∗ 𝑥2( 𝑡) = 𝑥1( 𝑡) ∗ 𝑥̂2( 𝑡).
 { 𝑥(𝑡 − 𝑡0)} = 𝑥̂(𝑡 − 𝑡0)
 {
𝑑
𝑑𝑡
𝑥( 𝑡)} =
𝑑
𝑑𝑡
𝑥̂( 𝑡)
Tabla de las Transformadas de Hilbert
Figura 2.
b) Uso de la Transformada de Hilbert en
el área de comunicaciones
La transformada de Hilbert es útil para calcular el
contenido en frecuencia de una señal de energía o de
potencia. Así se pueden analizar y diseñar filtros
selectivos en frecuencia para poder separar señales
según su contenido en frecuencia. Este proceso se
denomina discriminación en frecuencia.
Otro criterio para separar señales es el que está
basado en la selectividad en fase, o también llamado
discriminación en fase, que desfasa las señales
pertinentes de modo que se puedan separar fácilmente.
El caso más sencillo consiste en desfasar una señal
180º, lo que se consigue invirtiendo la polaridad o
multiplicando por −1.El desfasar todas las componentes
180º requiere el uso de un transformador ideal.
Otro desfase de interés es el de ±90˚.En particular,
cuando las componentes angulares de una señal han
sido desfasadas ±90˚,la función resultante se denomina
transformada de Hilbert de la señal.
Sea g(t) una señal cuya transformada de Fourier es
G(f). La transformada de Hilbert de g(t) que se denota
por ˆg(t) viene dada por la ecuación (9). Claramente se
puede ver que la transformada de Hilbertes un operador
lineal.
𝑔̂( 𝑡) =
1
𝜋
∫
𝑔(𝜏)
𝑡 − 𝜏
𝑔𝜏
∞
−∞
(9)
Es una integral impropia, puesto que para t = 𝜏 el
integrando tiene una singularidad.
Para evitar este problema se supone que se
calcula la integral de forma simétrica en torno a t = 𝜏
según la ecuación (10).
∫
𝑔(𝜏)
𝑡 − 𝜏
𝑔𝜏
∞
−∞
= lim
𝜖→0
[∫
𝑔(𝜏)
𝑡 − 𝜏
𝑔𝜏 + ∫
𝑔(𝜏)
𝑡 − 𝜏
𝑔𝜏
∞
𝑡+𝜖
𝑡−𝜖
−∞
] (10)
La transformada inversa de Hilbert puede
calcularse mediante la ecuación (11). g(t) y 𝑔̂( 𝑡) se dice
que constituyen un par transformado de Hilbert.
𝑔( 𝑡) = −
1
𝜋
∫
𝑔̂(𝜏)
𝑡 − 𝜏
𝑔𝜏
∞
−∞
(11)
De la definición de la transformada de Hilbert se
puede deducir que 𝑔̂( 𝑡) se puede interpretar como una
convolución, según la ecuación (12).
𝑔̂( 𝑡) = 𝑔( 𝑡) ∗
1
𝜋𝑡
(12)
Puesto que la transformada de Fourier de
1
𝜋𝑡
es −j
sgn(f), a partir de la propiedad de convolución en el
dominio del tiempo de la transformada de Fourier, la
transformada de Fourier de 𝑔̂( 𝑡) denotada por 𝐺̂( 𝑓) va a
venir dada por la ecuación (13).

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.
3
𝐺̂( 𝑓) = −𝑗 𝑠𝑔𝑛( 𝑓) 𝐺( 𝑓) (13)
Figura 3. Respuesta en Fase del sistema
Transformador de Hilbert.
Por lo tanto se puede calcular la transformada de
Hilbert de una señal g(t) haciéndola pasar por un
sistema LTIcon respuesta al impulso
1
𝜋𝑡
o con función de
transferencia −j sgn(f). Este sistema introduce un
desfase de −90º para frecuencias positivas y 90º para
frecuencias negativas. En la figura 1 puede verse la
respuesta en fase de este sistema.
La amplitud a la salida de este sistema no queda
modificada a ninguna frecuencia.
Este sistema ideal se denomina transformador de
Hilbert y tiene muchas aplicaciones importantes como:
1. Se puede utilizar para tener selectividad en fase
para un tipo especial de modulación en amplitud
denominado modulación en banda lateral única o
SSB.
2. Proporciona la base matemática necesaria para
representar señales paso banda.
La transformada de Hilbert se puede aplicar a
cualquier señal que tenga transformada de Fourier y por
lo tanto a señales de potencia y de energía de las
usadas en sistemas de comunicaciones.
c) Implementación de la Transformada
de Hilbert
Determinar la transformada de Hilbert de un
impulso rectangular x(t)= AΠ((1-T/2)/T).
Solución
De (2.84),
𝑥̂( 𝑡) =
1
𝜋
∫ 𝐴Π (
𝜏 − 𝑇/2
𝑇
)
𝑑𝜏
𝑡 − 𝜏
= −
𝐴
𝜋
∞
−∞
∫
𝑑𝜏
𝑡 − 𝜏
𝑇
0
𝑥̂( 𝑡) = −
𝐴
𝜋
𝑙𝑛| 𝜏 − 𝑡|0
𝑇
=
𝐴
𝜋
[𝑙𝑛| 𝑡| − 𝑙𝑛| 𝑇 − 𝑡|] =
𝐴
𝜋
𝑙𝑛 |
𝑡
𝑇 − 𝜏
|
La señal x(t) y su transformada de Hilbert se
muestran en la Fig. 4. A los lugares donde x)(t) se hace
infinito algunas veces se les denomina “cuernos”; estos
cuernos pueden causar problemas (silbidos de alta
frecuencia) en sistemas de comunicación que utilizan
transformadas de Hilbert, por ejemplo, en sistemas
telefónicos que son sistemas donde se aplica el
concepto de banda lateral única. En general, las
discontinuidades de una señal producirán cuernos en su
transformada de Hilbert correspondiente.
Figura 4.
Determinar la transformada de Hilbert de la
señal pasa bajo x(t) = 2ABsinc(2Bt).
Solución
Evidentemente, X(f) = AΠ(f/2B), De (1) o según el
procedimiento gráfico mostrado en la Fig. 1(c), el
espectro de la transformada de Hilbert es
𝑋̂(f) = −𝑗 𝑠𝑔𝑛( 𝑓) 𝑋( 𝑓)
= −𝑗𝐴 𝑠𝑔𝑛(𝑓) [Π(
f + B/2
B
) + Π (
f − B/2
B
)]
𝑋̂(f) = 𝑗𝐴 [Π(
f + B/2
B
) + Π (
f − B/2
B
)]
Por transformada de Fourier inversa,
𝑥̂( 𝑡) = 𝑗𝐴[ 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑐( 𝐵𝑡) exp(−𝑗𝜋𝐵𝑡) − 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑐( 𝐵𝑡)exp(𝑗𝜋𝐵𝑡)]
𝑥̂( 𝑡) = 2𝐴𝐵 𝑆𝑖𝑛𝑐( 𝐵𝑡) 𝑆𝑒𝑛( 𝜋𝐵𝑡) = 2𝐴
𝑆𝑒𝑛2
(𝜋𝐵𝑡)
𝜋𝑡
Determinar la Transformada de Hilbert de la
señal pasabanda
𝒙( 𝒕) = 𝟐𝑨𝑩 𝑺𝒊𝒏𝒄( 𝟐𝑩𝒕) 𝑪𝒐𝒔( 𝟐𝝅𝒇 𝒄 𝒕) 𝒄𝒐𝒏 𝒇 𝒄 ≥ 𝑩
Solución
Sea m(t) = 2AB Sinc(2Bt) ⟺ M(f) = AΠ (
f
2B
); m(t)
es una señal pasa-bajo.
Del teorema de la modulación
𝑋( 𝑡) =
𝐴
2
[Π(
f + fc
2B
) + Π (
f − fc
2B
)]
, y según el procedimiento grafico de la figura 1(c).
𝑋̂(f) = −𝑗 𝑠𝑔𝑛(f) 𝑋( 𝑓)
= −𝑗
𝐴
2
𝑠𝑔𝑛(f)[Π(
f + fc
2B
) + Π(
f − fc
2B
)]
𝑋̂(f) = 𝑗
𝐴
2
[Π (
f+fc
2B
) + Π(
f−fc
2B
)]
Por transformada de Fourier inversa,
𝑥̂( 𝑡) = 𝑗
𝐴
2
[2𝐵𝑠𝑖𝑛𝑐(2𝐵𝑡) exp(−𝑗2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
− 2𝐵𝑠𝑖𝑛𝑐(2𝐵𝑡)exp(𝑗2𝜋𝑓𝑐 𝑡)]

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4
𝑥̂( 𝑡) = 2𝐴𝐵𝑠𝑖𝑛𝑐(2𝐵𝑡) 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
En general, si m(t) es una señal pasa bajo de
banda limitada B y fc ≥B, se cumple que si x(t)
=m(t)cos(2πfct), entonces 𝑥̂(t) =m(t)sen(2πfct), y si x(t)
m(t)sen(2 fct) = π , entonces 𝑥̂(t) m(t) cos(2 f c t) = − π .
Estos resultados son muy importantes en el análisis de
sistemas de comunicación.
d) Descripción de un circuito
implementando la Transformada de
Hilbert
Modulación BLU utilizando la transformada de
HIlbert.
Una señal en BLU se puede escribir como:
xc(t) =
Ac
2
x(t)cos(wpt) ±
Ac
2
x̂(t)cos(wpt − π/2)
Dependiendo del signo se tiene banda lateral
superior (−) o inferior (+).
x̂(t) es la transformada de Hilbert de la señal x(t),
en espectro se tiene:
X(w) = −jX(w)sgn(w)̂ , siendo sgn(w) =1 si w > 0; o
iguale a -1 si w < 0. La transformada de Hilbert (T.H.)
desfasa (−π/2) para w > 0 y π/2 paraw < 0.
Figura 5. Modulo de la función de transferencia de la
T.H.
Figura 6. Fase de la función de transferencia de la T.H.
Implementación de la Transformada de Hilbert
Inconvenientes
- Es difícil desfasar la señal 90 grados en toda la
banda que ocupa.
- x(t) no suele ser un tono, ocupa un ancho de
banda y es complicado un desfasaje perfecto.
- Aparecen imperfecciones, con una banda lateral
no deseada adicional.
Figura 7. Modulador BLU mediante T.H.
Para un tono modulado en BLUI, se tiene:
V0(t) = cos(wmt) cos(wpt) + sin(wmt) sin(wpt)
V0(t) = cos((wm − wp)t)
Demodulación BLU Y DBL
Para AM con m < 1 se utiliza el detector de
envolvente.
Para BLU o DBL, se parte de la señal modulada
con la expresión general:
V0(t) = x(t) cos(wpt) + x̂(t) sin(wpt)
- Si x̂(t) = 0 se tiene una modulación dBL.
- Si x̂(t) ≠ 0 se tiene una BLU.
- En ambos casos la información no está en la
envolvente.
Por ejemplo, para
x(t) = cos(wmt),
x̂(t) = sin(wmt),
Y
V0(t) = cos(wmt) cos(wp t)
+ sin(wmt) sin(wp t)
= cos((wm − wp )t)
Figura 8. Espectro de una BLU

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5
Figura 9. BLU en el tiempo
Detección coherente
- Para detectar la señal no se puede usar un
detector de envolvente.
- El oscilador debe tener la frecuencia y la fase
de la portadora.
- En A aparecen armónicos a frecuencia doble
que son eliminados con un filtro paso bajo
Figura 10. Demodulador BLU (Multiplicador y filtro pasa
bajo)
En A se tiene:
𝑉𝐴( 𝑡) = 𝑉𝑜( 𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝑤 𝑝 𝑡)
= (𝑥( 𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝑤 𝑝 𝑡)
+ 𝑥̂( 𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝑤 𝑝 𝑡))𝑐𝑜𝑠(wpt)
x(t)cos2
(wpt) + x̂(t) sin(wp t)cos(wpt)
= x(t)
1 + cos(2wpt)
2
+ x̂(t)
sin(2wpt)
2
En B después de filtrar se tiene para BLU y DBL:
VB(t) =
x(t)
2
e)BIBLIOGRAFIA
Papoulis Atanasios.Sistemas Digitales y
Analógicos,Transformadas de Fourier,estimación
espectral.Marcombo,1985.ISBN 9788426705969