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  1. 1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICERECTORADO ACADEMICO DECANATO DE INGENIERIA FERNANDO RAMIREZ
  2. 2. 1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial. a.) y  3sen2 x  e  x ; y ,,  4 y  5e  x 1 1 b.) y  senx  cos x  10e  x ; y ,  y  senx 2 2 c) y  C1e  x  C2e x  C3e  2 x  C4e 2 x ; y 4   5 y ,,  4 y  0 2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente. a.) e y sen2 xdx  cos x e 2 y  y dy  0   b.) xy  y  x dx  x dy  0 2 2 2 c) y cos x dx  4  5 ysenx dy  0 2 2 d) y  y  x 2 cos x , x 3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente. a.) y ,,  3 y ,  2 y  3e  x  10 cos 3x b.) y 6   5 y 4   16 y ,,,  36 y ,,  16 y ,  32 y  0
  3. 3. Solución: para poder solucionar las partes a, b y c debemos derivar la función y, luego sustituir en la ED y si la igualdad coincide entonces si es solución: Veamos: a.) y  3sen2 x  e  x ; y ,,  4 y  5e  x . Para este primer problema debemos derivar 2 veces la función y luego sustituirla en la ecuación diferencial y realizamos los cálculos correspondientes. y = 3xsen2 x  e  x  y = 6 x cos 2 x  e x  y   12sen2 x  e  x Entonces: y” + 4y = 12sen2 x  e  x  43sen2 x  e  x  =  12sen2x  e x  12sen2x  4e x y”+ 4y = 5e  x 5e  x = 5e  x La función es solución de la ecuación diferencial
  4. 4. 1 1 b.) y  senx  cos x  10e  x ; y ,  y  senx 2 2 Para esta ecuación se deriva la función y solo una vez y luego se sustituye en la ecuación diferencial. 1 1 1 1 y= senx  cos x  10e  x  y '  cos x  senx  10e  x 2 2 2 2 Entonces: 1 1 1 1 y’ +y = cos x  senx  10e  x  senx  cos x  10e  x 2 2 2 2 y’ +y = senx La función es solución de la ecuación diferencial c) y  C1e x  C2e x  C3e2 x  C4e2 x ; y  4   5 y ,,  4 y  0 Para este problema debemos derivar la función cuatro veces y luego se sustituye en la ED, de esta manera: y’ =  c1e  x  c2 e x  2c3e 2 x  2c4 e 2 x y” = c1e x  c2e x  4c3e2 x  4c4e2 x y’’’ = c1e x  c2e x  8c3e2 x  8c4e2 x y(4) = c1e  x  c2 e x  16c3e 2 x  16c4 e 2 x
  5. 5. Entonces: y(4) - 5 y” +4y = c1e  x  c2 e x  16c3e 2 x  16c4 e 2 x   c1e  x  c2 e x  16c3 e 2 x  16c4 e 2 x  5 c1e x  c2e x  4c3e2 x  c4e2 x +   4 c1e x  c2e x  c3e2 x  c4e2 x = c1e  x  c2 e x  16c3 e 2 x  16c4 e 2 x  0 c1e x  c2e x  16c3e2 x  16c4e2 x  5c1e x  5c2e x  20c3e2 x  20c4e2 x 4c1e x  4c2e x  4c3e2 x  4c4e2 x = 0 00 La función es solución de la ecuación diferencial. 2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente.  a.) e y sen2 xdx  cos x e2 y  y dy  0 La ecuación diferencial mostrada se resuelve por el método de variable separables, ya que como se puede notar las variables x y Y se pueden separar de igualdad a igualdad, una vez que se separen las variables se integra para poder eliminar los diferenciales y nos quede la ecuación general de dicha función.   e y .sen2 x.dx  cos x e2 y  y dy  0  e y .sen2 x.dx   cos x e2 y  y dy  Usando variables separables
  6. 6. sen2 x e2 y  dx   y dy cos x e 2senx cos x  e2y y  dx   y  y dy e cos x  c   2senxdx   e y  ye  y dy  Integrando tenemos que:  2 cos x  e y  e y  y  1  c Solución general   b.) xy  y 2  x 2 dx  x 2 dy  0 La siguiente ecuación diferencial posee la forma de una ED homogénea ahora bien veremos si se cumple con la condición de las ED homogéneas: xy  y 2   x 2 dx  x 2 dy dy xy  y 2  x 2  dx x2 Con lo cual: xy  y 2  x 2 t 2 xy  t 2 y 2  t 2 x 2 f x, y    f x, ty   x2 t2x  f tx, ty    t 2 xy  y 2  x 2  t 2 x2
  7. 7. xy  y 2  x 2  f tx, ty   x2 f tx, ty   f x, y  Como f tx, ty   f x, y   la ecuación diferencial es homogénea, con lo vual podemos hacer el cambio de variable y  vx Así: dy dv y  vx   .x  v dx dx Sustituyendo y separando variables tenemos: dv xvx  v 2 x 2  x 2 .x  v  dx x2 dv .x   x2 v  v2 1  dx x2 dv .x  v 2  v  1 dx dx dv  2 x v  v 1 Integrando: Ln x = 2 tg 1  2 y  1 +c  3  3 Devolviendo el cambio de variable:
  8. 8. Ln x = 2 tg 1  2 y / x  x +c  3  3 Ln x = 2 tg 1  2 y  x  +c solución general 3  3x c) y 2  cos x dx  4  5 ysenx dy  0 Para poder resolver esta ecuación diferencial, en primer lugar notamos que posee la forma de un ED exacta, primero lo comprobamos: y 2 cos xdx  (4  5 ysenx)dy  0 Verifiquemos si es exacta: M M ( x, y)  y 2 cos x   2 y cos x y N N ( x, y)  4  5 ysenx   5 y cos x x M N Como   no es exacta, sin embargo podemos buscar el factor y x integrante (FI) y luego multiplicar la ED por ese factor integrante y asi poder resolver la misma.  N M    x  y     ( y)  e  
  9. 9. 5 y cos x  2 y cos x  dy e y 2 cos x dy 3 y  e3 Lnly  y 3 3 =e Entonces  ( y)  y 3 es el factor inteligente, multipliquemos ± por  (y) = y 3 Y5 cosxdx + (4 y3 + 5 y4 senx) dy = 0 La cual debe ser ahora exacta aM M = y5 cosx  = 5 y4 cosx ay aN N = 4 y3 + 5 y4 senx  = 5 y4 cosx ax aM aN Como =  es exacta y resolvemos usando ay ax x y  a M ( xb)dx   N  ( xy )  0 b x y b cos xdx   (ay 4  5 y 4 senx)dy  0 5 a b x y b5senx   (y  y 5 senx)   0 4 a b b5senx - b5sena + y4 + y5 senx – b4 b5senx = 0
  10. 10. y4 + y5 senx +c = 0 c = -b5sena – b4 2 d ) y,  y  x 2 cos x x La Ed posee la Forma de la ecuación de Ricatti, por lo que la resolvemos por ese método así: 2 y´ - y = x2 cosx x La ecuación tiene la estructura de una ecuación lineal de 1er orden con lo cual Q(x) = x2 cosx 2 dx P(x) = -   P( x)dx  2  2 ln x x x Así la solución es de la forma Buscamos el factor integrante;  P ( x ) dx   P ( x ) dxdx  c Y=e    Q ( x )e    Sustituyendo  P( x)dx , tenemos y=e 2 Ln x  x cos xe 2  2 Ln x dx  c 
  11. 11. 2 Ln x 2  x 2 cos xe 1n x2 dx  c  y=e    y = x2  x cos x.x 2 2 dx  c  y = x2  cos xdx  c y  x 2 senx  c 3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente. a.) y ,,  3 y ,  2 y  3e x  10 cos 3x Para esta Ed utilizamos el método del anulador ya que la ecuación es no lineal y no Homogenea. y” – 3y3 + 2y = 3e-x – 10cos3x Usaremos el método del anulador, entonces R(x) = 3e-x -10cos3x L(D) = D2 – 3D + 2 = (D - 1) (D - 2) A (D) = (D + 1) (D2 + 9) anulador de R(x) Entonces la ecuación anterior se puede escribir como
  12. 12. (D2 – 3 D + 2) y = 3 e-x – 10cos 3x Multiplicando ambos lados de la igualdad por A(D) (D-1)(D+2)(D+1)(D2+9) y = (D+1)(D2+9)(3e-x-10cos3x) (D-1)(D-2)(D+1)(D2+9) = 0, polinômios característicos D -1 = 0, D - 2 = 0, D + 1 = 0 y D2 + 9 = 0 D = 1, D = 2, D = -1 y D = ± 3 La solución tiene forma Y = c, ex + c2 e2x + c3 e-x + c4 sen3x + c5cos3x Sustituyendo nos queda: (D2-3D+2)(c, ex+c2 e2x + c3e-x + c4sen3x + c5cos3x) = 3e-x-10cos3x Desarrollando tenemos que 2c, ex + 2 c2 e2x + 2 c3 e-x + 2 c4 sem 3x + 2 c5 cos 3x -3(c, e2 + 2 c2 e-2x – c3 e-x + 3 c4 cos 3x – 3 c5 sem 3x) + c, ex + 4 c2 e-2x + c, e-x – 9 c4 sen3x – 9 c5 cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3x 3c1 e2 + 6 c2 e-2x + 3 c3 e-x – 7 c4 sem 3x – 7 c5 cos 3x – 3 c, ex - 6 c2 e-2x + 3c3 e-x – 9 c4 cos3x + 9 c5 sem 3x = 3 e-x – 10 cos 3x
  13. 13. 6 c3 e-x + (-7 c4 + 9 c5) sem 3x – (9 c4 + 7 c5) cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3x Igualando coeficientes 6 c3 = 3  c3 = ½ -7 c4 9 c5 = 0  c4 = 9/7 c5 9 9 c4 + 7 c5 = 10  9 c5 + 7 c5 = 10  130 c5 = 70 7  c5 = 7/13  c4 = 9/13 Por lo tanto la solución es 1 -x 7 9 y = c, ex + c2 e2x e + sen 3x + cos 3x 2 13 13 b.) y 6   5 y 4   16 y ,,,  36 y ,,  16 y ,  32 y  0 Esta Ed la resolvemos y(6) – 5 y(4) + 15 y”´ 35 y” 16 y´ - 32 y = 0 el polinomio característico nos queda: Buscamos las raíces nos dan: ( )( )( )( )
  14. 14. La solución es y = c, ex + c2 e-x + c3 e-2x + c4 x e-2x + c5 e2x sem x + c5 e2x cos 2x

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