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Solución de problemas por polya

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Solución de problemas por polya

  1. 1. George Pólya Nació: 13 Dec 1887 in Budapest, Hungary Murió: 7 Sept 1985 in Palo Alto, California, USA Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos: 1.- Entender el problema. 2.- Configurar un plan 3.- Ejecutar el plan 4.- Probar el resultado. Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta
  2. 2. Paso 1: Entender el Problema. Paso 2: Configurar un Plan. Paso 3: Ejecutar el Plan. Paso 4: Mirar hacia atrás. {¿Entiendes todo lo que dice? 1.-Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). 2.Usar una variable. Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. {¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? { ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? 3.Resolver un problema similar más simple {No tengas miedo de {¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? {¿Distingues cuáles son los datos? 4.Hacer una figura. {¿Sabes a qué quieres llegar? 5.Hacer un diagrama {¿Hay suficiente información? {¿Hay información extraña? 6.Usar razonamiento indirecto {¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes? 7.Usar razonamiento directo volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito. {¿Adviertes una solución más sencilla?
  3. 3. 1. La suma de dos números es 18 y la de sus cuadrados es 180, ¿Cuáles son los números? Entender el problema Identificación de variables Configurar un plan Ejecutar el plan Relación de variables Resolver las funciones o ecuaciones
  4. 4. Entender el problema Identificación de variables h= altura en (m) t= tiempo en (s) Configurar un plan Relación de variables Ejecutar el plan Resolver las funciones o ecuaciones
  5. 5. 3. Determina las dimensiones de un rectángulo, si su perímetro es de 280m y su área es de 4000m2 Entender el problema Identificación de variables Configurar un plan Relación de variables Base = x Altura = y Perímetro= 280m Área = 4000m2 P = x+x+y+y = 2x+2y A = x.y 2x + 2y = 280 (x) ( y) = 4000 y x Ejecutar el plan Resolver las funciones o ecuaciones
  6. 6. 4. La base de un triángulo es 3 veces su altura. Su área es de 150 m2, ¿Cuáles son sus dimensiones de la base y la altura Entender el problema Identificación de variables Configurar un plan Relación de variables b=? h= ? Datos b=3h Área= 150m2 Ejecutar el plan Resolver las funciones o ecuaciones Fórmulas 3h2 = 300 A = (b x h)/2 1 h2 = 300/3 b=3h 2 Sustituyendo 2 en 1 150 = (3h x h)/2 3h2 = 300 h= h = 10m b= 3h = 3(10) = 30m
  7. 7. 1. La suma de un número y su reciproco es Entender el problema Identificación de variables X 1/X . Hallar los números Configurar un plan Relación de variables Ejecutar el plan Resolver las funciones o ecuaciones X + 1/X = 26/5 X2 + 1 = 26/5 X X2 - 26/5 X + 1 = 0 5X2 – 26X +5 = 0 Por fórmula general a= 5 b= -26 C = 5
  8. 8. 1.- La altura de un rectángulo es 2 metros mayor que su base. Hallar sus dimensiones sabiendo que su área es: a) 80 metros cuadrados Entender el problema Identificación de variables 80m2 b=X h=X+2 Configurar un plan Relación de variables Ejecutar el plan Resolver las funciones o ecuaciones X2 + 2X – 80 = 0 (X + 10 ) (X – 8 ) = 0 (X + 10 ) = 0 X1 = - 10 (X – 8 ) = 0 X2 = 8 b=8 h = X + 2 = 8 + 2 = 10
  9. 9. b) 48 metros cuadrados cuando cada dimensión se aumenta en 2 metros Entender el problema Identificación de variables Configurar un plan Relación de variables Ejecutar el plan Resolver las funciones o ecuaciones X2 + 6X – 40 = 0 ( x +10)(x – 4 ) = 0 48m 2 b=X h=X+2 Cada dimensión aumenta en 2m. b = X +2 h=X+2+2=X+4 ( x +10) = 0 X1 = - 10 (x – 4 ) = 0 X2 = 4 b= X + 2 h=X+4 Los valores negativos se descartan b= X + 2 = 4 + 2 = 6 h=X+4=4+4=8 b= 6 h= 8
  10. 10. c) 30 metros cuadrados si se duplica su base Entender el problema Identificación de variables 30 m 2 b = 2X h=X+2 Configurar un plan Relación de variables Ejecutar el plan Resolver las funciones o ecuaciones
  11. 11. d) Aumenta en 70 metros cuadrados cuando se disminuye su altura en 5 metros y se duplica su base Entender el problema Identificación de variables 70 m 2 b = 2X h=X+2-5 Configurar un plan Relación de variables Ejecutar el plan Resolver las funciones o ecuaciones
  12. 12. La sala de la casa de Ronaldo es 2 ft más larga que ancha y tiene un área de 168 ft2 .¿Cuáles son las dimensiones de esa habitación? Entender el problema Identificación de variables 168 ft2 a=X L=X+2 A = 168 ft 2 Configurar un plan Relación de variables Ejecutar el plan Resolver las funciones o ecuaciones
  13. 13. Problema: A partir de una pieza cuadrada de hoja de lata o cartón, se desea construir una caja con base cuadrada y sin tapa, quitando cuadrados en las esquinas de 2cm por lado y doblando hacia arriba los lados, si la caja debe tener 98 cm 3 ¿ Cuáles son las dimensiones de la pieza de hoja de lata o cartón qué deberá usarse?
  14. 14. Largo (cm) Ancho (cm) Área (cm2) Altura (cm) Volumen (cm3) Dimensiones de la placa (cm2) 1 49 49 2 98 5 X 53 = 265 2 24 48 2 96 6 x 28 = 168 3 16 48 2 96 7 x 20 = 140 4 12 48 2 96 8 x 16 = 128 5 9 45 2 90 9 x 13 = 117 6 8 48 2 96 10 x 12 = 120 7 7 49 2 98 11 x 11 = 121
  15. 15. 1.- ¿Qué puedes concluir con los datos de la tabla? 2.-¿Con qué dimensiones de la placa se obtiene un mejor rendimiento? R= 11cm x 11cm 3.-¿Con qué dimensiones se obtiene mayor volumen? R= 1cm x 49cm y 7 cm x 7 cm 4.-¿Qué caja recomendarías fabricar? R= 7 cm x 7 cm 5.- El volumen ¿De qué depende? R= Del Área 6.- El área ¿De qué depende? R= Del largo y ancho 7.- Se cumple lo siguiente: • A mayor área, mayor volumen R= Si se cumple • A mayor dimensión de la placa, mayor volumen R= No se cumple • A mayor dimensión de la placa, mayor área R= No se cumple
  16. 16. En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido. En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio Dominio X Codominio f(x)
  17. 17. Clasifica las siguientes situaciones en relaciones (R) o funciones ( f ) ________ Asientos en un camión------- Personas en una parada de autobús. ________ Número de alumnos --------- Bancas en un salón de clases. ________ El balón de futbol ------------ Partido de futbol. ________ La televisión en una casa-------Integrantes de la familia. ________ El número de tortas en una tienda ------- Ganancias por venderlas ________ El n de padres de familia o tutores_____ n de alumnos de una escuela ________ Kilos de corte de café______ Salario pagado por el corte ________ Desayunos del comedor _____Alumnos de la escuela ________ Vendedoras del bachillerato_______ Alumnos de la escuela ________ Maestros del bachillerato ________ Plan de estudios (56 Materias correspondientes al bachillerato) ________ Asignación de áreas verdes_______ Grupos de la escuela ________ Baños de la escuela _______ Alumnos de la escuela
  18. 18. VALOR 20% Clasifica las siguientes situaciones en relaciones (R) o funciones ( f ) ___R_____ Asientos en un camión------- Personas en una parada de autobús. ___f_____ Número de alumnos --------- Bancas en un salón de clases. ___f_____ El balón de futbol ------------ Partido de futbol. ___R_____ La televisión en una casa-------Integrantes de la familia. ___f_____ El número de tortas en una tienda ------- Ganancias por venderlas ___f_____ El n de padres de familia o tutores_____ n de alumnos de una escuela ___f_____ Kilos de corte de café______ Salario pagado por el corte ___R_____ Desayunos del comedor _____Alumnos de la escuela ___R_____ Vendedoras del bachillerato_______ Alumnos de la escuela ___R_____ Maestros del bachillerato ________ Plan de estudios (56 Materias correspondientes al bachillerato) ___f_____ Asignación de áreas verdes_______ Grupos de la escuela ___R_____ Baños de la escuela _______ Alumnos de la escuela
  19. 19. Actividad: De las anteriores situaciones, menciona quien depende de quien. EJEMPLO: 1.- Asientos en un camión------- Personas en una parada de autobús. El n de personas depende del n de asientos Variable independiente: Asientos en un camión Variable dependiente: N de personas
  20. 20. Identifica la variable dependiente e independiente Número de alumnos: Variable independiente Bancas en un salón de clases: Variable dependiente El balón de futbol: Variable independiente Partido de futbol: Variable dependiente La televisión en una casa: Variable dependiente Integrantes de la familia: Variable Independiente El número de tortas en una tienda: Variable independiente Ganancias por venderlas: Variable dependiente El n de padres de familia o tutores: Variable dependiente N de alumnos de una escuela: Variable independiente Kilos de corte de café: Variable independiente Salario pagado por el corte: Variable dependiente Desayunos del comedor: Variable dependiente Alumnos de la escuela: Variable independiente
  21. 21. Vendedoras del bachillerato: Variable dependiente Alumnos de la escuela: Variable independiente Maestros del bachillerato: Variable dependiente Plan de estudios : Variable independiente (56 Materias correspondientes al bachillerato) Asignación de áreas verdes: Variable dependiente Grupos de la escuela: Variable independiente Baños de la escuela: Variable dependiente Alumnos de la escuela: Variable independiente
  22. 22. Número de alumnos: Variable independiente Bancas en un salón de clases: Variable dependiente f(x) = X X = Variable independiente f(x) = variable independiente F(x) = x Si x = 4, entonces f(x) = 4 Si x= 10, entonces f(x) = 10 Si f(x) = 5x2 El balón de futbol: Variable independiente Partido de futbol: Variable dependiente La televisión en una casa: Variable dependiente Integrantes de la familia: Variable Independiente
  23. 23. Actividad: Construir 10 ejemplos, donde se reflejen claramente la variable independiente y dependiente Ejemplo: 1.- Kilowatts consumidos contra el pago de luz Vi Vd 2.- Calificaciones obtenidas contra promedio Vd Vi 3.- # de faltas a una clase contra aprendizaje obtenido Vi Vd

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