Distribuciones

1. Estadística I Pedro Pavón Bello
Francisco Martínez Baltodano

2. Antes de Comenzar
I. ¿Cuándo Uso las distribuciones de probabilidad?
Las distribuciones de probabilidad son de dos tipos Discretas y
continuas. Las DPD son usadas para modelar ciertas distribuciones de
probabilidad, conociendo las características de estas. Se estudia
móldelos probabilísticos o distribuciones de probabilidad de variables
aleatorias discretas.

3. Antes de Comenzar
II. Los tipos de distribuciones de probabilidad son:
 Distribución Uniforme
Distribución Binomial
Distribución de Bernoulli
Distribución Binomial Negativa
Distribución Geométrica
Distribución Hipergeométrica
Distribución de Poisson.

4. Antes de Comenzar
III. Distribución Uniforme
Si la variable aleatoria puede tomar k valores distintos con iguales
probabilidades.
Simbólicamente:
F(x)=
1
𝑘
para 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ,…, 𝑥 𝑘
μ= i=1
k xi ∗
1
k
y σ2= i=1
k (xi −μ)
2
*
1
k

5. Antes de Comenzar
IV. Distribución de Bernoulli
Si un experimento tiene dos resultados posibles, “Éxito” y “Fracaso” y
sus probabilidades son p y q, respectivamente, donde q= 1-p,
entonces el numero de existas, 0 o 1, tiene una Distribución de
Bernoulli.
Simbólicamente:
f x;p = px(1−p)
1−x
para x=0, 1, 2…

6. Antes de Comenzar
V. Distribución Binomial
Se aplica al muestreo, el muestreo debe realizarse con reemplazo
Propiedades:
1. El experimento consiste en n intentos repetidos.
2. Los resultados se clasifican como éxitos (p) y fracaso (q) además estas son
complementarias p+q=1.
3. Las probabilidades de éxito permanecen constante para todos los intentos.
4. Los intentos repetidos son independientes
5. La v.a X representa el numero de éxitos en los n ensayos.
f x, n, p =
n
px(1−p)
1−x
para x=0, 1, 2 ,…, n
μ=n∗p
σ2=n∗p∗(1−p)

7. Distribución Binomial Negativa
En relación con ensayos repetidos de Bernoulli, algunas veces nos
interesa al numero del ensayo en el cual ocurre el k-ésimo acierto.
Por ejemplo, podemos encontrar la probabilidad de que el decimo
estudiantes del 3MQ expuesto a una enfermedad contagiosa sea el
tercero en contraerla, o la probabilidad de que un ladrón sea
capturado por segunda vez en su octavo robo.
Si el k-ésimo acierto va a ocurrir en el x-ésimo, debe de haber k-1
aciertos en los primeros x-1 ensayos.

8. Distribución Binomial Negativa
Una variable aleatoria x tiene una distribución binomial negativa y se
denomina variable aleatoria binomial negativa, si y solo si su
distribución de probabilidad esta dada por:
P x =
x−1
k−1
pkqx−k para x=k, k+1, k+2…

9. Distribución Binomial Negativa
Ejemplo 1.
Si la probabilidad es de 0.75 que una persona crea un rumor acerca de cierto político.
Determine la probabilidad de que :
a) La octava persona en oír el rumor sea la quinta en creerlo
b) La decimoquinta persona en oír el rumor sea la décima en creerlo.

10. Distribución Binomial Negativa
La media y la varianza de la distribución binomial negativa son:
E(x)=
k
p
y V x =
kq
p2

11. Distribución Binomial Negativa
Ejemplo 2.
Un gran lote de bombas usadas contiene un 20% de ellas que no
sirven y necesitan reparación. Se manda a un mecánico con tres
juegos de reparación, selecciona bombas al azar y las prueba una
tras otra . Si trabaja una bomba prosigue con la siguiente, si no
trabaja le instala uno de los juegos de reparación. Supóngase que
tarda 10 minutos en probar si una bomba trabajo o no, y 30 minutos
en probar y reparar una bomba que no trabaja. Cual es el valor
esperado y la desviación estándar del tiempo total que le llevara
terminar con sus tres juegos de reparación.

12. Distribución Geométrica
Para k igual a 1
P x =
x−1
1−1
p1qx−1=p(p−1)
x
E(x)=
1
p
y V x =
(1−p)
p2