Aplicación de las derivadas

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Aplicación de las derivadas

  1. 1.  En gran medida con el estudio de la derivada de una función, podemos saber si la función es creciente o decreciente, cóncava hacia arriba o hacia abajo, en un determinado intervalo, calcular máximos y mínimos locales y globales, sin necesidad de hacer primero la gráfica con una tabla de valores, que sería un tanto tedioso, sino que con la información que arroja el estudio de la derivada es suficiente, podemos construir dicha gráfica con todos los detalles para una función dada.
  2. 2.  m = f’(x) representa la pendiente de la recta tangente evaluada en un valor de x.  con f’(x)>0 (La función es creciente en un intervalo [a,b] )  si f’(x)<0 ( La función es decreciente en [a,b] )  con f’’(x)=0 (las raíces son posibles puntos de inflexión, es decir cambio de concavidad)  si f’’(x) >0 ( La función es cóncava hacia arriba en [a,b] )  si f’’(x) <0 ( La función es cóncava hacia arriba en [a,b] )  Si f’(x)=0, la raíces r1, r2, r3,…rn son posibles puntos críticos, que al evaluarlos en f’’(x), podemos saber si allí hay máximos o mínimos locales. Esto es, por ejemplo:  Si f’’ (r1) <0 (Hay un máximo en X=r1.)  Si f’’ (r2)>0 (Hay un mínimo en X=r2.)  Así sucesivamente según vayamos desarrollando el problema.
  3. 3.  Por ejemplo en física en el área de las vibraciones mecánicas, la derivada se aplica para el estudio de la posición de un punto de una pieza que vibra, partícula, objeto, etc., también la rapidez y la aceleración de los mismos. Dicho de forma matemática tenemos X(t):posición de la partícula que depende del tiempo. Su rapidez sería la derivada de X(t), X’(t)=V(t), y su aceleración será la segunda derivada de X(t) o la derivada de V(t), es decir; a(t)=X’’(t)=V’(t).
  4. 4. Por ejemplo en acústica la ecuación de la posición de un punto del cuerpo que vibra es:  X(t)= A.Cos (w.t+φ)  Donde:  A: Es la amplitud.  W: Rapidez angular.  t: tiempo.  φ: Ángulo de desfase de la gráfica.(Constante).  Para obtener la rapidez y la aceleración debemos derivar como mencionamos anteriormente.  V(t)= X’(t)= -A.w.Sen (w.t+ φ)  a(t)=X’’(t)=V’(t)= -A.w2. Cos (w.t+φ)

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