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Eu2 equiponro 2

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Trabajo de Estadística acerca de la Organización y Presentación de datos estadísticos. Tablas de frecuencia, Histogramas de frecuencia absoluta, polígonos de frecuencia y ovijas de frecuencia acumulada absoluta

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  1. 1. Diciembre, 2.016 República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior Universidad Fermín Toro Facultad de Ingeniería Cabudare – Edo. Lara Ejercicios Unidad II Cátedra: Estadística Tutor Académico: Majano, Eriorkys Sección: A203-SAIAC Integrante: Sánchez, Gabriela. C.I: 26.370.552
  2. 2. Diciembre, 2.016 EJERCICIOS UNIDAD II: ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS Construir en los casos siguientes: a. Distribución de frecuencias. b. Representación gráfica de datos: Histogramas, polígonos de frecuencias, ojiva. Nota: Se evaluarán fórmulas, procedimientos, resultados. EQUIPO 2: 4. Se ha hecho una encuesta sobre el número de hijos en 48 familias, con los siguientes resultados: 2 1 2 5 2 1 1 1 4 0 0 2 0 4 4 1 1 2 2 3 1 2 3 0 3 1 3 2 2 3 3 1 5 4 3 3 1 2 2 2 3 2 2 1 0 2 2 1 a. Distribución de Frecuencias Al observar los datos se puede detallar que la muestra está constituida por 48 elementos y dado que cuando la muestra consta de más de 30 datos es aconsejable agruparlos en clases, se procederá a efectuar dicha agrupación. Se inicia por localizar el valor menor y el valor mayor de la distribución, los cuales son 0 y 5 respectivamente Luego, se determina el rango o recorrido del conjunto de datos, por medio de la siguiente fórmula: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 Al aplicar esta fórmula en el conjunto de datos dados se obtiene: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 5 − 0 = 5 Se establece el número de clases (K) en que se va a agrupar los datos tomando como base la siguiente tabla:
  3. 3. Diciembre, 2.016 Tamaño de muestra o No. De datos Número de clases Menos de 50 5 a 7 50 a 99 6 a 10 100 a 250 7 a 12 250 en adelante 10 a 20 Al observar la tabla, se llega a la conclusión que es recomendable establecer 6 intervalos de clase. Sin embargo, dado que la división entre el rango de la distribución y el número de intervalos de clase no da como resultado un entero positivo, se busca un entero un poco mayor que el rango que sea divisible entre el número de intervalos de clase. Por lo tanto, Rango = 5, se incrementa el número hasta 6, de forma tal que 6/K = 6/6=1. A este último valor (¨1¨) se le llamará amplitud de clases, el cual será igual para todos los intervalos de clase. Los intervalos de clase están constituidos por dos límites, un límite inferior cerrado y un límite superior abierto; es decir, que el límite inferior pertenece al intervalo mientras que el superior no pertenece. Dichos límites deben ser determinados antes de elaborar la tabla de distribución de frecuencias. Se recomienda colocar como límite inferior del primer intervalo de clase al valor menor de la distribución y el límite superior se determina sumando la amplitud de clase al límite inferior. Dado que el límite superior es abierto, este pasa a ser el límite inferior en la siguiente clase para tomar este valor y se vuelve a comenzar el procedimiento. Al aplicar esto en la distribución, se obtiene: Clase Límite Inferior Límite Superior Primera 0 0 + 1 = 1 Segunda 1 1 + 1 = 2 Tercera 2 2 + 1 = 3 Cuarta 3 3 + 1 = 4 Quinta 4 4 + 1 = 5 Sexta 5 5 + 1 = 6 En la tabla de distribución de frecuencias se debe colocar cinco columnas de valores que se obtienen de la distribución y que varían entre los intervalos de clase, estas son: I. Frecuencias Absoluta (fi): Cantidad de datos de la distribución que pertenece al intervalo de clases dado. Cada intervalo de clase tiene su propia frecuencia absoluta, como se ve en la tabla adjunta:
  4. 4. Diciembre, 2.016 Intervalo de Clase Frecuencia Absoluta (fi) [0 – 1) 5 [1 – 2) 12 [2 – 3) 16 [3 – 4) 9 [4 – 5) 4 [5 – 6) 2 II. Frecuencia Acumulada (Fi): Se obtiene al sumar la frecuencia absoluta del intervalo de clase que se analiza más las frecuencias absolutas de los intervalos de clase que anteceden al intervalo en cuestión. Estas se verán en la tabla adjunta: Intervalo de Clase Frecuencia Acumulada (Fi) Fi = fi (del intervalo) + fi (intervalos previos) [0 – 1) 5 + 0 = 5 [1 – 2) 5 + 12 = 17 [2 – 3) 16 + 17 = 33 [3 – 4) 9 + 33 = 42 [4 – 5) 4 + 42 = 46 [5 – 6) 2 + 46 = 48 III. Proporción Absoluta (ni): es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos de la distribución: 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 (𝑛𝑖) = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 Para la distribución se tiene: Intervalo de Clase Proporción Absoluta (ni) ni = fi/Número de datos de la dist. [0 – 1) 5/48 = 0,104 [1 – 2) 12/48 = 0,250 [2 – 3) 16/48 =0,333 [3 – 4) 9/48 = 0,188 [4 – 5) 4/48 = 0,083 [5 – 6) 2/48 = 0,042 IV. Proporción Relativa (Ni): es el cociente entre la frecuencia acumulada y el número total de datos de la distribución: 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑁𝑖) = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 Para la distribución se tiene:
  5. 5. Diciembre, 2.016 Intervalo de Clase Proporción Relativa (Ni) Ni = Fi/Número de datos de la dist. [0 – 1) 5/48 = 0,104 [1 – 2) 17/48 = 0,354 [2 – 3) 33/48 = 0,688 [3 – 4) 42/48 = 0,875 [4 – 5) 46/48 = 0,958 [5 – 6) 48/48 = 1,00 V. Marca de Clase (Xi): es el punto medio de cada intervalo, se determina a través del cociente entre la suma de los límites superior e inferior de cada clase entre 2: 𝑀𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒 (𝑋𝑖) = 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 2 Para la distribución se tiene: Intervalo de Clase Marca de Clase (Xi) Xi = (Límite superior + Límite inferior)/2 [0 – 1) (0 + 1) = 0,5 [1 – 2) (1 + 2) = 1,5 [2 – 3) (2 + 3) = 2,5 [3 – 4) (3 + 4) = 3,5 [4 – 5) (4 + 5) = 4,5 [5 – 6) (5 + 6) = 5,5 Finalmente se obtiene la Distribución de Frecuencias: Intervalos de Clase fi Fi ni Ni Xi [0 – 1) 5 5 0,104 0,104 0,5 [1 – 2) 12 17 0,250 0,354 1,5 [2 – 3) 16 33 0,333 0,688 2,5 [3 – 4) 9 42 0,188 0,875 3,5 [4 – 5) 4 46 0,083 0,958 4,5 [5 – 6) 2 48 0,042 1,000 5,5 b. Representación Gráfica de Datos:  Histograma de Frecuencias Absolutas: se comienza por señalar que este es un gráfico de barra que se diseña utilizando como base los intervalos de Clase de una distribución de frecuencias y las frecuencias Absolutas (o frecuencias acumuladas) agrupadas en cada uno de estos intervalos.
  6. 6. Diciembre, 2.016 La información que se presenta en un histograma puede ser de frecuencias absolutas o relativas (en este caso absolutas). Algunas de sus principales características son: I. En el eje horizontal se colocan los límites superiores de cada intervalo II. En el eje vertical se puede ubicar la frecuencia absoluta o la frecuencia acumulada. III. Todas las barras tienen la misma anchura, que es la amplitud de clases. IV. Las barras siempre permanecen unidas V. Sólo funciona con datos numéricos (discretos o continuos). VI. Todas las barras mantienen el mismo color VII. En la copa de cada barra de puede colocar el valor de la frecuencia de cada barra. Para crear el histograma de Frecuencias Absolutas de la distribución se seguirán los siguientes pasos: I. Se traza una línea horizontal donde se colocarán los intervalos de clase. II. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias absolutas. III. Se hacen 6 marcas en la línea horizontal todas a la misma distancia (amplitud de clases). IV. Se hacen 9 marcas en la línea vertical a la misma distancia. V. En el eje horizontal en cada marca se coloca el límite superior de cada intervalo de clase. VI. En el eje vertical que corresponde con las frecuencias absolutas se colocan valores de frecuencia desde cero hasta un valor superior a la frecuencia absoluta más elevada (18). VII. En el primer intervalo se ubicarán dos puntos A = (0, 5) y B = (1, 5) y se traza una línea que los una. Este procedimiento se repite en todos los intervalos de clase y finalmente se obtiene: 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 2 3 4 5 6 Familias Número de Hijos Histograma de Frecuencia Absoluta
  7. 7. Diciembre, 2.016 Recordando que se emplearon los siguientes datos: Intervalo de Clase (Representa el Número de Hijos por Familia) Frecuencia Absoluta (fi) (Representa las Familias) [0 – 1) 5 [1 – 2) 12 [2 – 3) 16 [3 – 4) 9 [4 – 5) 4 [5 – 6) 2  Polígono de Frecuencias Absolutas: se comienza por señalar que es el gráfico de línea que se diseña utilizando en el eje horizontal la marca de clase de cada intervalo de una distribución de frecuencias. La información que se presenta en un polígono de frecuencias puede ser de frecuencias absolutas o relativas (en este caso será absoluta). Algunas de sus principales características son: I. En el eje horizontal se colocan las marcas de clase de cada intervalo II. En el eje vertical se ubica la frecuencia absoluta o la frecuencia porcentual III. Todos los puntos tienen la misma distancia en el eje X y que coincide con la amplitud de la clase. IV. Las líneas siempre permanecen unidas V. Ambos extremos deben terminar sobre el eje horizontal. VI. Sólo funciona con datos numéricos (continuos o discretos). Para crear el Polígono de Frecuencias Absolutas de la distribución se seguirán los siguientes pasos: I. Se calcula la marca de clase de la distribución. Este paso ya se realizó en la tabla de distribución de frecuencias; sin embargo, se señala en caso que el lector quiera realizar un polígono debe tomar en consideración que debe haber realizado este paso antes de realizar el mencionado polígono. II. Se traza una línea horizontal donde se colocarán las marcas de clases de la distribución. III. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias absolutas. IV. Se colocan las marcas de clase en el eje horizontal espaciadas a una distancia fija igual a la amplitud de clase. V. Se ubican puntos cuya coordenada horizontal sean las marcas de clases y su coordenadas verticales sean las frecuencias absolutas de cada clase. VI. Se traza una línea que una a dichos puntos y finalmente se obtiene:
  8. 8. Diciembre, 2.016 Recordando que se emplearon los siguientes datos: Marca de Clase (Xi) Xi = (Límite superior + Límite inferior)/2 (Representa el Número de Hijos por Familia) Frecuencia Absoluta (fi) (Representa las Familias) (0 + 1) = 0,5 5 (1 + 2) = 1,5 12 (2 + 3) = 2,5 16 (3 + 4) = 3,5 9 (4 + 5) = 4,5 4 (5 + 6) = 5,5 2  Ojiva de Frecuencias Acumuladas: se comienza por señalar que es un gráfico de línea que se diseña utilizando en el eje horizontal las fronteras superiores de una distribución de frecuencias. La información se obtiene de la columna de frecuencias acumuladas (absoluta en este caso). Las características son las siguientes: I. En el eje horizontal se colocan los límites superiores de cada intervalo de clase. II. Todos los puntos tienen la misma distancia en el eje X III. Las líneas permanecen unidas IV. El primer extremo termina sobre el eje horizontal V. Los datos son numéricos (discretos o continuos). VI. En el cambio de intervalo es posible colocar el valor de la frecuencia absoluta o relativa para una mejor comprensión de los datos. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 Familia Número de Hijos Polígono de Frecuencia Absoluta
  9. 9. Diciembre, 2.016 Para crear la Ojiva de Frecuencias Acumuladas Absolutas de la distribución se seguirán los siguientes pasos: I. Se calcula la frecuencia acumulada de la distribución. Este paso ya se realizó en la tabla de distribución de frecuencias; sin embargo, se señala en caso que el lector quiera realizar una ojiva debe tomar en consideración que debe haber realizado este paso antes de realizar la mencionada ojiva. II. Se traza una línea horizontal donde se colocarán los límites superiores de los intervalos de clase. III. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias acumuladas absolutas. IV. Se hacen 6 marcas en la línea horizontal todas a la misma distancia (amplitud de clases). V. Se hacen 6 marcas en la línea vertical a la misma distancia. VI. Se ubican puntos cuya coordenada horizontal sean los límites superiores y su coordenadas verticales sean las frecuencias acumuladas absolutas de cada clase VII. Se traza una línea que una a dichos puntos y finalmente se obtiene: Recordando que se emplearon los siguientes datos: Intervalo de Clase (Representa el Número de Hijos por Familia) Frecuencia Acumulada Absoluta (Fi) (Representa las Familias) [0 – 1) 5 [1 – 2) 17 [2 – 3) 33 [3 – 4) 42 [4 – 5) 46 [5 – 6) 48 0 10 20 30 40 50 60 1 2 3 4 5 6 Familias Número de Hijos Ojíva de Frecuencia Acumulada Absoluta
  10. 10. Diciembre, 2.016 5. Se han pesado 40 piezas. Los resultados de las pesadas, expresados en gramos son: 64,1 66,4 64 66,7 65,3 64,4 63,9 63 65,4 64,3 68,8 66,6 65,1 64,2 68,5 65,7 65,8 63,1 64,6 63,5 65 66,4 67,3 65,7 64 61,5 64,1 65 63 63,2 66,9 66,3 67 66,1 66,8 65,3 64,4 64,5 63,1 65,5 a. Distribución de Frecuencias Al observar los datos se puede detallar que la muestra está constituida por 40 elementos y dado que cuando la muestra consta de más de 30 datos es aconsejable agruparlos en clases, se procederá a efectuar dicha agrupación. Se inicia por localizar el valor menor y el valor mayor de la distribución, los cuales son 61,5 y 68,8 respectivamente. Luego, se determina el rango o recorrido del conjunto de datos, por medio de la siguiente fórmula: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 Al aplicar esta fórmula en el conjunto de datos dados se obtiene: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 68,8 − 61,5 = 7,3 Se establece el número de clases (K) en que se va a agrupar los datos tomando como base la siguiente tabla: Tamaño de muestra o No. De datos Número de clases Menos de 50 5 a 7 50 a 99 6 a 10 100 a 250 7 a 12 250 en adelante 10 a 20 Al observar la tabla, se llega a la conclusión que es recomendable establecer 6 intervalos de clase. Para establecer la amplitud de clases se divide el rango entre el número de intervalos de clases elegido, así se tiene: 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠 = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠
  11. 11. Diciembre, 2.016 Aplicando esta fórmula en la distribución, se obtiene que Amplitud de clases = (7,3/6) = 1,22, la cual es consistente con el hecho de contar con valores continuos en la distribución de frecuencias. Los intervalos de clase están constituidos por dos límites, un límite inferior cerrado y un límite superior abierto; es decir, que el límite inferior pertenece al intervalo mientras que el superior no pertenece. Dichos límites deben ser determinados antes de elaborar la tabla de distribución de frecuencias. Se recomienda colocar como límite inferior del primer intervalo de clase al valor menor de la distribución y el límite superior se determina sumando la amplitud de clase al límite inferior. Dado que el límite superior es abierto, este pasa a ser el límite inferior en la siguiente clase para tomar este valor y se vuelve a comenzar el procedimiento. Al aplicar esto en la distribución, se obtiene: Clase Límite Inferior Límite Superior Primera 61,5 61,5 + 1,22 = 62,72 Segunda 62,72 62,72 + 1,22 = 63,94 Tercera 63,94 63,94 + 1,22 = 65,16 Cuarta 65,16 65,16 + 1,22 = 66,38 Quinta 66,38 66,38 + 1,22 = 67,6 Sexta 67,6 67,6 + 1,22 = 68,82 En la tabla de distribución de frecuencias se debe colocar cinco columnas de valores que se obtienen de la distribución y que varían entre los intervalos de clase, estas son: I. Frecuencias Absoluta (fi): Cantidad de datos de la distribución que pertenece al intervalo de clases dado. Cada intervalo de clase tiene su propia frecuencia absoluta, como se ve en la tabla adjunta: Intervalo de Clase Frecuencia Absoluta (fi) [61,5 - 62,72) 1 [62,72 - 63,94) 7 [63,94 - 65,16) 13 [65,16 - 66,38) 9 [66,38 - 67,6) 8 [67,6 - 68,82) 2 II. Frecuencia Acumulada (Fi): Se obtiene al sumar la frecuencia absoluta del intervalo de clase que se analiza más las frecuencias absolutas de los intervalos de clase que anteceden al intervalo en cuestión. Estas se verán en la tabla adjunta:
  12. 12. Diciembre, 2.016 Intervalo de Clase Frecuencia Acumulada (Fi) Fi = fi (del intervalo) + fi (intervalos previos) [61,5 - 62,72) 1 + 0 = 1 [62,72 - 63,94) 1 + 7 = 8 [63,94 - 65,16) 8 + 13 = 21 [65,16 - 66,38) 21 + 9 = 30 [66,38 - 67,6) 30 + 8 = 38 [67,6 - 68,82) 38 + 2 = 40 III. Proporción Absoluta (ni): es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos de la distribución: 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 (𝑛𝑖) = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 Para la distribución se tiene: Intervalo de Clase Proporción Absoluta (ni) ni = fi/Número de datos de la dist. [61,5 - 62,72) 1/40 = 0,03 [62,72 - 63,94) 7/40 = 0,18 [63,94 - 65,16) 13/40 =0,33 [65,16 - 66,38) 9/40 = 0,23 [66,38 - 67,6) 8/40 = 0,20 [67,6 - 68,82) 2/40 = 0,05 IV. Proporción Relativa (Ni): es el cociente entre la frecuencia acumulada y el número total de datos de la distribución: 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑁𝑖) = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 Para la distribución se tiene: Intervalo de Clase Proporción Relativa (Ni) Ni = Fi/Número de datos de la dist. [61,5 - 62,72) 1/40 = 0,03 [62,72 - 63,94) 8/40 = 0,20 [63,94 - 65,16) 21/40 = 0,53 [65,16 - 66,38) 30/40 = 0,75 [66,38 - 67,6) 38/40 = 0,95 [67,6 - 68,82) 40/40 = 1,00 V. Marca de Clase (Xi): es el punto medio de cada intervalo, se determina a través del cociente entre la suma de los límites superior e inferior de cada clase entre 2:
  13. 13. Diciembre, 2.016 𝑀𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒 (𝑋𝑖) = 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 2 Para la distribución se tiene: Intervalo de Clase Marca de Clase (Xi) Xi = (Límite superior + Límite inferior)/2 [61,5 - 62,72) (61,5 + 62,72)/2 = 62,72 [62,72 - 63,94) (62,72 + 63,94)/2 = 63,94 [63,94 - 65,16) (63,94 + 65,16)/2 = 65,16 [65,16 - 66,38) (65,16 + 66,38)/2 = 66,38 [66,38 - 67,6) (66,38 + 67,6)/2 = 67,70 [67,6 - 68,82) (67,6 + 68,82)/2 = 68,82 Finalmente se obtiene la Distribución de Frecuencias: Intervalos de Clase fi Fi ni Ni Xi [61,5 - 62,72) 1 1 0,03 0,03 61,50 [62,72 - 63,94) 7 8 0,18 0,20 62,72 [63,94 - 65,16) 13 21 0,33 0,53 63,94 [65,16 - 66,38) 9 30 0,23 0,75 65,16 [66,38 - 67,6) 8 38 0,20 0,95 66,38 [67,6 - 68,82) 2 40 0,05 1,00 67,60 b. Representación Gráfica de Datos:  Histograma de Frecuencias Absolutas: se comienza por señalar que este es un gráfico de barra que se diseña utilizando como base los intervalos de Clase de una distribución de frecuencias y las frecuencias Absolutas (o frecuencias acumuladas) agrupadas en cada uno de estos intervalos. La información que se presenta en un histograma puede ser de frecuencias absolutas o relativas (en este caso absolutas). Algunas de sus principales características son: I. En el eje horizontal se colocan los límites superiores de cada intervalo II. En el eje vertical se puede ubicar la frecuencia absoluta o la frecuencia acumulada. III. Todas las barras tienen la misma anchura, que es la amplitud de clases. IV. Las barras siempre permanecen unidas V. Sólo funciona con datos numéricos (discretos o continuos). VI. Todas las barras mantienen el mismo color VII. En la copa de cada barra de puede colocar el valor de la frecuencia de cada barra.
  14. 14. Diciembre, 2.016 Para crear el histograma de Frecuencias Absolutas de la distribución se seguirán los siguientes pasos: I. Se traza una línea horizontal donde se colocarán los intervalos de clase. II. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias absolutas. III. Se hacen 7 marcas en la línea horizontal todas a la misma distancia (amplitud de clases). IV. Se hacen 7 marcas en la línea vertical a la misma distancia. V. En el eje horizontal en cada marca se coloca el límite superior de cada intervalo de clase. VI. En el eje vertical que corresponde con las frecuencias absolutas se colocan valores de frecuencia desde cero hasta un valor superior a la frecuencia absoluta más elevada (14). VII. En el primer intervalo se ubicarán dos puntos A = (61,5; 1) y B = (62,72; 1) y se traza una línea que los una. Este procedimiento se repite en todos los intervalos de clase y finalmente se obtiene: Recordando que se emplearon los siguientes datos: Intervalo de Clase (Representa los pesos en gramos de las piezas) Frecuencia Absoluta (fi) (Representa las Piezas) [61,5 - 62,72) 1 [62,72 - 63,94) 7 [63,94 - 65,16) 13 [65,16 - 66,38) 9 [66,38 - 67,6) 8 [67,6 - 68,82) 2 0 2 4 6 8 10 12 14 61,5 62,72 63,94 65,16 66,38 67,6 68,82 Piezas Pesos en gramos Histograma de Frecuencia Absoluta
  15. 15. Diciembre, 2.016  Polígono de Frecuencias Absolutas: se comienza por señalar que es el gráfico de línea que se diseña utilizando en el eje horizontal la marca de clase de cada intervalo de una distribución de frecuencias. La información que se presenta en un polígono de frecuencias puede ser de frecuencias absolutas o relativas (en este caso será absoluta). Algunas de sus principales características son: I. En el eje horizontal se colocan las marcas de clase de cada intervalo II. En el eje vertical se ubica la frecuencia absoluta o la frecuencia porcentual III. Todos los puntos tienen la misma distancia en el eje X y que coincide con la amplitud de la clase. IV. Las líneas siempre permanecen unidas V. Ambos extremos deben terminar sobre el eje horizontal. VI. Sólo funciona con datos numéricos (continuos o discretos). Para crear el Polígono de Frecuencias Absolutas de la distribución se seguirán los siguientes pasos: I. Se calcula la marca de clase de la distribución. Este paso ya se realizó en la tabla de distribución de frecuencias; sin embargo, se señala en caso que el lector quiera realizar un polígono debe tomar en consideración que debe haber realizado este paso antes de realizar el mencionado polígono. II. Se traza una línea horizontal donde se colocarán las marcas de clases de la distribución. III. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias absolutas. IV. Se colocan las marcas de clase en el eje horizontal espaciadas a una distancia fija igual a la amplitud de clase. V. Se ubican puntos cuya coordenada horizontal sean las marcas de clases y su coordenadas verticales sean las frecuencias absolutas de cada clase. VI. Se traza una línea que una a dichos puntos y finalmente se obtiene:
  16. 16. Diciembre, 2.016 Recordando que se emplearon los siguientes datos: Marca de Clase (Xi) Xi = (Límite superior + Límite inferior)/2 (Representa los pesos en gramos de las piezas) Frecuencia Absoluta (fi) (Representa las Piezas) (61,5 + 62,72)/2 = 62,72 1 (62,72 + 63,94)/2 = 63,94 7 (63,94 + 65,16)/2 = 65,16 13 (65,16 + 66,38)/2 = 66,38 9 (66,38 + 67,6)/2 = 67,70 8 (67,6 + 68,82)/2 = 68,82 2  Ojiva de Frecuencias Acumuladas: se comienza por señalar que es un gráfico de línea que se diseña utilizando en el eje horizontal las fronteras superiores de una distribución de frecuencias. La información se obtiene de la columna de frecuencias acumuladas (absoluta en este caso). Las características son las siguientes: I. En el eje horizontal se colocan los límites superiores de cada intervalo de clase. II. Todos los puntos tienen la misma distancia en el eje X III. Las líneas permanecen unidas IV. El primer extremo termina sobre el eje horizontal V. Los datos son numéricos (discretos o continuos). VI. En el cambio de intervalo es posible colocar el valor de la frecuencia absoluta o relativa para una mejor comprensión de los datos. Para crear la Ojiva de Frecuencias Acumuladas Absolutas de la distribución se seguirán los siguientes pasos: 0 2 4 6 8 10 12 14 62,11 63,33 64,55 65,77 66,99 68,21 Piezas Pesos en gramos Polígono de Frecuencia Absoluta
  17. 17. Diciembre, 2.016 I. Se calcula la frecuencia acumulada de la distribución. Este paso ya se realizó en la tabla de distribución de frecuencias; sin embargo, se señala en caso que el lector quiera realizar una ojiva debe tomar en consideración que debe haber realizado este paso antes de realizar la mencionada ojiva. II. Se traza una línea horizontal donde se colocarán los límites superiores de los intervalos de clase. III. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias acumuladas absolutas. IV. Se hacen 6 marcas en la línea horizontal todas a la misma distancia (amplitud de clases). V. Se hacen 9 marcas en la línea vertical a la misma distancia. VI. Se ubican puntos cuya coordenada horizontal sean los límites superiores y su coordenadas verticales sean las frecuencias acumuladas absolutas de cada clase VII. Se traza una línea que una a dichos puntos y finalmente se obtiene: Recordando que se emplearon los siguientes datos: Intervalo de Clase (Representa los pesos en gramos de las piezas) Frecuencia Acumulada Absoluta (Fi) (Representa las Piezas) [61,5 - 62,72) 1 [62,72 - 63,94) 8 [63,94 - 65,16) 21 [65,16 - 66,38) 30 [66,38 - 67,6) 38 [67,6 - 68,82) 40 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 62,72 63,94 65,16 66,38 67,6 68,82 Piezas Pesos en gramos Ojíva de Frecuencias Acumuladas
  18. 18. Diciembre, 2.016 6. En el siguiente conjunto de números, se proporcionan los pesos (redondeados a la libra más próxima) de los bebés nacidos durante un cierto intervalo de tiempo en un hospital: 4, 8, 4, 6, 8, 6, 7, 7, 7, 8, 10, 9, 7, 6, 10, 8, 5, 9, 6, 3, 7, 6, 4, 7, 6, 9, 7, 4, 7, 6, 8, 8, 9, 11, 8, 7, 10, 8, 5, 7, 7, 6, 5, 10, 8, 9, 7, 5, 6, 5 a. Distribución de Frecuencias Al observar los datos se puede detallar que la muestra está constituida por 50 elementos y dado que cuando la muestra consta de más de 30 datos es aconsejable agruparlos en clases, se procederá a efectuar dicha agrupación. Se inicia por localizar el valor menor y el valor mayor de la distribución, los cuales son 3 y 11 respectivamente Luego, se determina el rango o recorrido del conjunto de datos, por medio de la siguiente fórmula: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 Al aplicar esta fórmula en el conjunto de datos dados se obtiene: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 11 − 3 = 8 Se establece el número de clases (K) en que se va a agrupar los datos tomando como base la siguiente tabla: Tamaño de muestra o No. De datos Número de clases Menos de 50 5 a 7 50 a 99 6 a 10 100 a 250 7 a 12 250 en adelante 10 a 20 Al observar la tabla, se llega a la conclusión que es recomendable establecer 9 intervalos de clase. Sin embargo, dado que la división entre el rango de la distribución y el número de intervalos de clase no da como resultado un entero positivo, se busca un entero un poco mayor que el rango que sea divisible entre el número de intervalos de clase. Por lo tanto, Rango = 8, se incrementa el número hasta 9, de forma tal que 9/K = 9/9 = 1. A este último valor (¨1¨) se le llamará amplitud de clases, el cual será igual para todos los intervalos de clase. Los intervalos de clase están constituidos por dos límites, un límite inferior cerrado y un límite superior abierto; es decir, que el límite inferior pertenece al intervalo mientras que el superior no
  19. 19. Diciembre, 2.016 pertenece. Dichos límites deben ser determinados antes de elaborar la tabla de distribución de frecuencias. Se recomienda colocar como límite inferior del primer intervalo de clase al valor menor de la distribución y el límite superior se determina sumando la amplitud de clase al límite inferior. Dado que el límite superior es abierto, este pasa a ser el límite inferior en la siguiente clase para tomar este valor y se vuelve a comenzar el procedimiento. Al aplicar esto en la distribución, se obtiene: Clase Límite Inferior Límite Superior Primera 3 3 + 1 = 4 Segunda 4 4 + 1 = 5 Tercera 5 5 + 1 = 6 Cuarta 6 6 + 1 = 7 Quinta 7 7 + 1 = 8 Sexta 8 8 + 1 = 9 Séptima 9 9 + 1 = 10 Octava 10 10 + 1 = 11 Novena 11 11 + 1 = 12 En la tabla de distribución de frecuencias se debe colocar cinco columnas de valores que se obtienen de la distribución y que varían entre los intervalos de clase, estas son: I. Frecuencias Absoluta (fi): Cantidad de datos de la distribución que pertenece al intervalo de clases dado. Cada intervalo de clase tiene su propia frecuencia absoluta, como se ve en la tabla adjunta: Intervalo de Clase Frecuencia Absoluta (fi) [3 – 4) 1 [4 – 5) 4 [5 – 6) 5 [6 – 7) 9 [7 – 8) 12 [8 – 9) 9 [9 – 10) 5 [10 – 11) 4 [11 – 12) 1 II. Frecuencia Acumulada (Fi): Se obtiene al sumar la frecuencia absoluta del intervalo de clase que se analiza más las frecuencias absolutas de los intervalos de clase que anteceden al intervalo en cuestión. Estas se verán en la tabla adjunta: Intervalo de Clase Frecuencia Acumulada (Fi) Fi = fi (del intervalo) + fi (intervalos previos) [3 – 4) 1 + 0 = 1 [4 – 5) 4 + 1 = 5
  20. 20. Diciembre, 2.016 [5 – 6) 5 + 5 = 10 [6 – 7) 9 + 10 = 19 [7 – 8) 12 + 19 = 31 [8 – 9) 9 + 31 = 40 [9 – 10) 5 + 40 = 45 [10 – 11) 4 + 45 = 49 [11 – 12) 1 + 49 = 50 III. Proporción Absoluta (ni): es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos de la distribución: 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 (𝑛𝑖) = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 Para la distribución se tiene: Intervalo de Clase Proporción Absoluta (ni) ni = fi/Número de datos de la dist. [3 – 4) 1/50 = 0,02 [4 – 5) 4/50 = 0,08 [5 – 6) 5/50 = 0,10 [6 – 7) 9/50 =0,18 [7 – 8) 12/50 = 0,24 [8 – 9) 9/50 = 0,18 [9 – 10) 5/50 = 0,10 [10 – 11) 4/50 = 0,08 [11 – 12) 1/50 = 0,02 IV. Proporción Relativa (Ni): es el cociente entre la frecuencia acumulada y el número total de datos de la distribución: 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑁𝑖) = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 Para la distribución se tiene: Intervalo de Clase Proporción Relativa (Ni) Ni = Fi/Número de datos de la dist. [3 – 4) 1/50 = 0,02 [4 – 5) 5/50 = 0,10 [5 – 6) 10/50 = 0,20 [6 – 7) 19/50 = 0,38 [7 – 8) 31/50 = 0,62 [8 – 9) 40/50 = 0,80 [9 – 10) 45/50 = 0,90
  21. 21. Diciembre, 2.016 [10 – 11) 49/50 = 0,98 [11 – 12) 50/50 = 1,00 V. Marca de Clase (Xi): es el punto medio de cada intervalo, se determina a través del cociente entre la suma de los límites superior e inferior de cada clase entre 2: 𝑀𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒 (𝑋𝑖) = 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 2 Para la distribución se tiene: Intervalo de Clase Marca de Clase (Xi) Xi = (Límite superior + Límite inferior)/2 [3 – 4) (3 + 4) = 3,5 [4 – 5) (4 + 5) = 4,5 [5 – 6) (5 + 6) = 5,5 [6 – 7) (6 + 7) = 6,5 [7 – 8) (7 + 8) = 7,5 [8 – 9) (8 + 9) = 8,5 [9 – 10) (9 + 10) = 9,5 [10 – 11) (10 + 11) = 10,5 [11 – 12) (11 + 12) = 11,5 Finalmente se obtiene la Distribución de Frecuencias: Intervalos de Clase fi Fi ni Ni Xi [3 – 4) 1 1 0,02 0,02 3,5 [4 – 5) 4 5 0,08 0,10 4,5 [5 – 6) 5 10 0,10 0,20 5,5 [6 – 7) 9 19 0,18 0,38 6,5 [7 – 8) 12 31 0,24 0,62 7,5 [8 – 9) 9 40 0,18 0,80 8,5 [9 – 10) 5 45 0,10 0,90 9,5 [10 – 11) 4 49 0,08 0,98 10,5 [11 – 12) 1 50 0,02 1,00 11,5 b. Representación Gráfica de Datos:  Histograma de Frecuencias Absolutas: se comienza por señalar que este es un gráfico de barra que se diseña utilizando como base los intervalos de Clase de una distribución de frecuencias y las frecuencias Absolutas (o frecuencias acumuladas) agrupadas en cada uno de estos intervalos.
  22. 22. Diciembre, 2.016 La información que se presenta en un histograma puede ser de frecuencias absolutas o relativas (en este caso absolutas). Algunas de sus principales características son: I. En el eje horizontal se colocan los límites superiores de cada intervalo II. En el eje vertical se puede ubicar la frecuencia absoluta o la frecuencia acumulada. III. Todas las barras tienen la misma anchura, que es la amplitud de clases. IV. Las barras siempre permanecen unidas V. Sólo funciona con datos numéricos (discretos o continuos). VI. Todas las barras mantienen el mismo color VII. En la copa de cada barra de puede colocar el valor de la frecuencia de cada barra. Para crear el histograma de Frecuencias Absolutas de la distribución se seguirán los siguientes pasos: I. Se traza una línea horizontal donde se colocarán los intervalos de clase. II. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias absolutas. III. Se hacen 10 marcas en la línea horizontal todas a la misma distancia (amplitud de clases). IV. Se hacen 7 marcas en la línea vertical a la misma distancia. V. En el eje horizontal en cada marca se coloca el límite superior de cada intervalo de clase. VI. En el eje vertical que corresponde con las frecuencias absolutas se colocan valores de frecuencia desde cero hasta un valor superior a la frecuencia absoluta más elevada (14). VII. En el primer intervalo se ubicarán dos puntos A = (3, 1) y B = (4, 1) y se traza una línea que los una. Este procedimiento se repite en todos los intervalos de clase y finalmente se obtiene: 0 2 4 6 8 10 12 14 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Bebés Pesos (Redondeados a la Libra más Próxima) Histograma de Frecuencias Absolutas
  23. 23. Diciembre, 2.016 Recordando que se emplearon los siguientes datos: Intervalo de Clase (Representa los Pesos redondeados a la Libra más próxima de los bebés) Frecuencia Absoluta (fi) (Representa los Bebés) [3 – 4) 1 [4 – 5) 4 [5 – 6) 5 [6 – 7) 9 [7 – 8) 12 [8 – 9) 9 [9 – 10) 5 [10 – 11) 4 [11 – 12) 1  Polígono de Frecuencias Absolutas: se comienza por señalar que es el gráfico de línea que se diseña utilizando en el eje horizontal la marca de clase de cada intervalo de una distribución de frecuencias. La información que se presenta en un polígono de frecuencias puede ser de frecuencias absolutas o relativas (en este caso será absoluta). Algunas de sus principales características son: I. En el eje horizontal se colocan las marcas de clase de cada intervalo II. En el eje vertical se ubica la frecuencia absoluta o la frecuencia porcentual III. Todos los puntos tienen la misma distancia en el eje X y que coincide con la amplitud de la clase. IV. Las líneas siempre permanecen unidas V. Ambos extremos deben terminar sobre el eje horizontal. VI. Sólo funciona con datos numéricos (continuos o discretos). Para crear el Polígono de Frecuencias Absolutas de la distribución se seguirán los siguientes pasos: I. Se calcula la marca de clase de la distribución. Este paso ya se realizó en la tabla de distribución de frecuencias; sin embargo, se señala en caso que el lector quiera realizar un polígono debe tomar en consideración que debe haber realizado este paso antes de realizar el mencionado polígono. II. Se traza una línea horizontal donde se colocarán las marcas de clases de la distribución. III. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias absolutas. IV. Se colocan las marcas de clase en el eje horizontal espaciadas a una distancia fija igual a la amplitud de clase.
  24. 24. Diciembre, 2.016 V. Se ubican puntos cuya coordenada horizontal sean las marcas de clases y sus coordenadas verticales sean las frecuencias absolutas de cada clase. VI. Se traza una línea que una a dichos puntos y finalmente se obtiene: Recordando que se emplearon los siguientes datos: Marca de Clase (Xi) Xi = (Límite superior + Límite inferior)/2 (Representa los Pesos redondeados a la Libra más próxima de los bebés) Frecuencia Absoluta (fi) (Representa los Bebés) (3 + 4) = 3,5 1 (4 + 5) = 4,5 4 (5 + 6) = 5,5 5 (6 + 7) = 6,5 9 (7 + 8) = 7,5 12 (8 + 9) = 8,5 9 (9 + 10) = 9,5 5 (10 + 11) = 10,5 4 (11 + 12) = 11,5 1 0 2 4 6 8 10 12 14 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 Bebés Pesos (Redondeados a la Libra más Próxima) Polígono de Frecuencias Absolutas
  25. 25. Diciembre, 2.016  Ojiva de Frecuencias Acumuladas: se comienza por señalar que es un gráfico de línea que se diseña utilizando en el eje horizontal las fronteras superiores de una distribución de frecuencias. La información se obtiene de la columna de frecuencias acumuladas (absoluta en este caso). Las características son las siguientes: I. En el eje horizontal se colocan los límites superiores de cada intervalo de clase. II. Todos los puntos tienen la misma distancia en el eje X III. Las líneas permanecen unidas IV. El primer extremo termina sobre el eje horizontal V. Los datos son numéricos (discretos o continuos). VI. En el cambio de intervalo es posible colocar el valor de la frecuencia absoluta o relativa para una mejor comprensión de los datos. Para crear la Ojiva de Frecuencias Acumuladas Absolutas de la distribución se seguirán los siguientes pasos: I. Se calcula la frecuencia acumulada de la distribución. Este paso ya se realizó en la tabla de distribución de frecuencias; sin embargo, se señala en caso que el lector quiera realizar una ojiva debe tomar en consideración que debe haber realizado este paso antes de realizar la mencionada ojiva. II. Se traza una línea horizontal donde se colocarán los límites superiores de los intervalos de clase. III. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias acumuladas absolutas. IV. Se hacen 9 marcas en la línea horizontal todas a la misma distancia (amplitud de clases). V. Se hacen 6 marcas en la línea vertical a la misma distancia. VI. Se ubican puntos cuya coordenada horizontal sean los límites superiores y su coordenadas verticales sean las frecuencias acumuladas absolutas de cada clase VII. Se traza una línea que una a dichos puntos y finalmente se obtiene:
  26. 26. Diciembre, 2.016 Recordando que se emplearon los siguientes datos: Intervalo de Clase (Representa los Pesos redondeados a la Libra más próxima de los bebés) Frecuencia Acumulada Absoluta (Fi) (Representa los Bebés) [3 – 4) 1 [4 – 5) 5 [5 – 6) 10 [6 – 7) 19 [7 – 8) 31 [8 – 9) 40 [9 – 10) 45 [10 – 11) 49 [11 – 12) 50 0 10 20 30 40 50 60 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Bebés Pesos (Redondeados a la Libra más Próxima) Ojíva de Frecuencia Acumulada

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