EL OTRO ERA TEMA I ESTE ES DEL TEMA II, disculpen!

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
BARQUISIMETO-LARA
Números Reales
Alumna: Gabriela Yacobucci
30.759.826
Sección 0104-0113

2. Definición de Conjuntos.
La noción en las matemáticas
En el ámbito de las matemáticas, un conjunto señala a la
totalidad de los entes que tienen una propiedad común. Un
conjunto está formado por una cantidad finita o infinita de
elementos, cuyo orden es irrelevante. Los conjuntos
matemáticos pueden definirse por extensión o por comprensión.
Fue recién a principios del siglo XIX que los científicos
empezaron a utilizar el concepto de conjunto, coincidiendo con
los avances en el estudio acerca del infinito. Los matemáticos
Bolzano y Riemann, dos personas cuyos aportes aún resultan
indispensables en la actualidad, se valieron de los conjuntos
abstractos para expresar sus ideas.
Sin embargo, el autor de la teoría de conjuntos, estudiada como
una disciplina independiente, fue el matemático alemán Georg
Cantor, quien investigó con particular devoción los conjuntos de
números infinitos y sus propiedades.
Operaciones con conjuntos.
Recuerde que un conjunto es una colección de elementos.
Dado:
1. Interseccion: todos los elementos que están tanto en A como
en B.

3. Notacion:
2. Unión: todos los elementos que están ya sea en A o B (o
ambos)
Notación:
3. Diferencia: todos los elementos que están en A pero no en B
Notación:
4. Complemento: todos los elementos que no están en A
Notación: (o )
Ej 1.
Digamos que A = {1, 2, 3, 4} y digamos que B = {3, 4, 5, 6}.
Entonces:
= {3, 4}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {1, 2}
= {todos los números reales excepto 1, 2, 3, y 4}
Ej 2.
Digamos que A = { y , z } y digamos que B = { x , y , z }.
Entonces:
= { y , z }
= { x , y , z }

4. =
= {todo excepto y y z }
Números Reales
El conjunto de los números reales consta de números
naturales, enteros, racionales e irracionales.
-El conjunto de los números Naturales. La suma de números
enteros, es el conjunto de los números que sirven para contar,
se denota con N y es N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Para cada número
natural n, existe su siguiente representado por n+1. El siguiente
de 27489 es 27490 y el siguiente de éste es 27491 y así
sucesivamente. El conjunto de los números naturales tiene
infinitos elementos y no existe un número natural que sea
mayor que los demás.
456298; 74000000; 26007253187 y 453571000000023 son
ejemplos de números naturales.
-Los números Enteros. Son los naturales, sus opuestos
(negativos) y el cero. El conjunto de los números enteros se
representa mediante una Z, Z= {0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4...}. Se
cumple entonces que todo número natural es entero.
-456298; 74000000; 26007253187; -13789 y
453571000000023.

5. -El Conjunto de números Racionales, denotado por Q, es el
conjunto de todos los cocientes de dos números enteros donde
el denominador es diferente de cero:
.
Con la definición de número Racional, se concluye que los
divisores no pueden ser cero, es decir, división entre cero no
existe, no representa ningún número.
-El Conjunto de números Irracionales, denotado por I, es el
conjunto de todos los números decimales infinitos no
periódicos.
1.41421356..., 3.14.1592265..., 2.7182818284...,
2.31323334353637... y -14.1234567891011...
Existen en el conjunto de los irracionales números
como π y e que son constantes universales y , etc,
que, además de tener esta forma, tienen su representación
como números decimales infinitos no periódicos.
Ningún número racional es irracional porque todo número
racional es de la forma y al realizar la división indicada,
encuentra la representación decimal infinita periódica.

6. Como los números reales se clasifican en racionales o
irracionales y ambos tienen una representación decimal,
entonces todo número real tiene una representación decimal.
Los números naturales y los enteros se pueden representar
como cociente de números, por ejemplo:
.
Además ellos tienen representación decimal infinita periódica
con periodo cero o nueve. Por ejemplo:
Ej.
Para clasificar el número , se encuentra
primero su representación en decimal, la cual es -4000.205. En
la representación decimal se observa que no es natural, ni
entero por tener parte decimal finita, es racional porque la
representación como cociente de enteros es, irracional por ser
un decimal finito y es real por ser racional.
Desigualdades.

7. La desigualdad matemática define que, aquella proposición que
relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son
distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos
elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor,
mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas
tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente signo
(> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones
matemáticas diferente según su naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este
concepto con el menor número de palabras posibles diremos
que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que
dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.
Signos de desigualdad matemática:
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las
desigualdades matemáticas posibles en los cinco siguientes:
 Desigual a: ≠
 Menor que: <
 Menor o igual que: ≤
 Mayor que: >
 Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos.
De modo que implicaría que a es menor a b, mientras que “a>b”
significa que a es mayor a b. En el caso de “a ≠ b”, leeremos la

8. expresión como a es desigual a b, “a ≤ b”; a es menor o igual a
b, y “a ≥ b” implica que “a” es mayor o igual a “b”.
Ej.
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría
de ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se
encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que
“cuatro veces nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”.
Siendo el elemento 4x - 2 el elemento A y 9 el elemento B. La
resolución nos mostraría que (en números naturales) la
desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x ≥ 3).
Tipología de desigualdades:
Existen dos tipos distintos de desigualdades dependiendo de su
nivel de aceptación. Ninguna de ellas no incluye la desigualdad
general (≠). Son las siguientes:
 Desigualdades estrictas: son aquellas que no aceptan la
igualdad entre elementos. De este modo, entenderemos
como desigualdades de este tipo el “mayor que” (>) o
“menor que” (<).
 Desigualdades amplias o no estrictas: todas aquellas en
las que no se especifica si uno de los elementos es
mayor/menor o igual. Por lo tanto, estamos hablando de
“menor o igual que” (≤), o bien “mayor o igual que” (≥).

9. Propiedades:
Para operar con desigualdades debemos conocer todas sus
propiedades:
Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo
valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3 (4x -
2) > 3 · 9
Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo
valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)
/3 > 9/3
Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el
mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 =
4x - 2 - 3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x - 2 + 3 > 9 + 3
Valor Absoluto
El valor absoluto es un concepto que está presente en diversos
contextos de la Física y las Matemáticas, por ejemplo en las
nociones de magnitud, distancia, y norma. En casos más
complejos es un concepto muy útil, como en las definiciones de
cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el
mismo número pero con signo positivo. En otras palabras, es el
valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o
negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del número −4−4 se
representa como |−4||−4| y equivale a 44, y el valor absoluto

10. de 44 se representa como |4||4|, lo cual también equivale
a 44.
En la recta numérica se representa como valor absoluto a
la distancia que existe de un punto al origen. Por ejemplo, si se
recorren 4 unidades del cero hacia la izquierda o hacia la
derecha, llegamos a −4−4 o a 44, respectivamente; el valor
absoluto de cualquiera de dichos valores es 44.
Formalmente, el valor absoluto de todo número real está
definido por:
|a| = {a, si a ≥ 0, −a, si a < 0}
Propiedades del valor absoluto:
Otra forma de resolverlo es calcular el valor absoluto de cada
uno de los factores y después operarlos ya sea por producto o
cociente, según sea el caso:
| (− 3) (− 2 + 5)| = | (− 3) (3)|, Para poder desarrollar o entender
las técnicas que se utilizan para resolver igualdades o
desigualdades, es conveniente conocer las propiedades del valor
absoluto. Algunas propiedades del valor absoluto derivan
directamente de su definición. Por ejemplo, si tenemos un
producto (o cociente) dentro de un valor absoluto como
| (−3) (−2+5) |, el resultado se puede obtener de dos formas:

11. Una es resolviendo la expresión que se encuentra encerrada
entre los signos de valor absoluto (||) y posteriormente al
resultado se le aplica el valor absoluto.
En este caso: |(− 3 ) (− 2 + 5)| = |(− 3) (3)| = |− 9| = 9
|− 3||3|=9.
Desigualdades con Valor Absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene
un signo de valor absoluto con una variable dentro.
Desigualdades con valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es
menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos
casos a considerar.

12. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos
casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si
| a | < b , entonces a < b Y a > - b .
Ej.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos
descomponerla en una desigualdad compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:

13. Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es
mayor que 4.
Así, x < - 4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos
casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si
| a | > b , entonces a > b O a < - b .
Ej.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.

14. La gráfica se vería así:
Revisión bibliográfica
 https://definicion.de/conjunto/#:~:text=Puede%20servirte
%3A%20Cumplea%C3%B1os-
,La%20noci%C3%B3n%20en%20las%20matem%C3%A1tic
as,elementos%2C%20cuyo%20orden%20es%20irrelevante.
 https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/s
panish/topics/operations-on-sets
 https://proyectos.javerianacali.edu.co/cursos_virtuales/p
regrado/matematicas_fundamentales/NumerosReales/Ca
p3/#:~:text=El%20conjunto%20de%20los%20n%C3%BAm
eros,5%2C...%7D.
 https://www.sdelsol.com/glosario/desigualdad-
matematica/
 http://campusvirtual.cua.uam.mx/material/tallerm/34_V
alor_Absoluto_html/index.html#
 https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/s
panish/topics/absolute-value-inequalities