Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ

268 visualizaciones

Publicado el

ДИДАКТИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ
ПО АЛГЕБРЕ
И
НАЧАЛАМ АНАЛИЗА для 10 класса

стр. 75-137
http://matematika.advandcash.biz/samostoyatelnie-raboti-po-algebre/

Publicado en: Educación
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ

  1. 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ Вариант 1 ДС-1 1. Найдите производную функции if: а) г]) (х) = sin х cos 2х + cos х sin 2х; бЖлг) = Г г - 18( т - * 2. Напишите уравнение касательной к графику функции g (х) sin |— х 1в точке с абсциссой х = — . 4 / 12 Вариант 2 ДС-1 1. Найдите производную функции if: а) -ф(х) = cos a: cos Зх + sin х sin Зх; б) 1|>(х) = ctg ( - = - - * ) + sin* 2 / sin 2х 2. Напишите уравнение касательной к графику функции g (х) = cos f — + в точке с абсциссой х — — — . 4 I 12 Вариант 3 ДС-1 1. Найдите производную функции р : а) р (х) — cos Зх cos 2х — sin Зх sin 2х; б) р (х) = tg (2х2— 1). 2. Докажите, что функция / (я) = 2,6* + sin (1 — 2,5*) воз­ растает на всей числовой прямой. 75
  2. 2. Вариант 4 д с -i 1. Найдите производную функции р : а) р (х) = sin 2х • cos 3* + sin Зх cos 2х; б) р (х) = ctg (2 — Зх2). 2. Докажите, что функция / (х) = cos (1 — 4х) — 4,1л: убывает на всей числовой прямой. Вариант 5 ДС-1 1. Найдите производную функции Я : а) Н (х) = tg * “ 18(х ~ П ; б) Н(х) = sin32х + cos32х. 1+ tg* ■tg(x— 1) 2. Докажите, что функция г (х) = —2,5л: — cos2х + sin2х убы- вает на всей числовой прямой. Вариант 6 д с -1 1. Найдите производную функции Я : а) Н ( Х ) = 1 Т Т Т Т Т Г ' б)Н(х)2tg(* + 1) = cos4(2х2— 3). 2. Докажите, что функция г (х) = 2,1л: + 2 sin х sin ----- х возрастает на всей числовой прямой. Вариант 1 ДС-2* 1. Найдите предел: a) lim (sin 4х cosx — sinA:cos4x); б) я 1im^ctg (2х + y j . * - 2 12 2. Вычислите: , ,. sin 7л: ,. 2х a) urn------------ ; б) lirn------------ х-+о sin 3,5* *->.0 sin(— х) 76
  3. 3. 1. Найдите предел: / Зл a) lim (cos х cos 2х — sin л: sin 2л:); б) lim tg|3x + — ). х-*п п 4 J Вариант 2 Д С - 2 * 2. Вычислите: а) lim ‘l 2f ; б) lim JHL(£z^L х-*о 5х Х-+Л п — х Вариант 3 ДС-2* 1. Найдите предел: a) j;m s»n2х cos х + cos 2х sinх ш g, jjm 2tgs *-►0 2х ’ я 1— tg2х *"*6 2. Докажите, что функция у = у? + 2 cos х возрастает на про­ межутке [0; оо[. Вариант 4 Д С-2* 1. Найдите предел: a) lim - — 5 б) lim ■1~ tg * . *_>о cos.*sin 5х — cos 5 * sin * я 2 tg дс 2. Докажите, что функция у = cos х + 0,5л;2 убывает на про­ межутке ]—оо ; 0]. Вариант 5 ДС-2* 1. Найдите предел: X X cos2 — — sin2 —О О a) lim (sin 2л; •ctg 6л:); б) lim Х-+0 х-*п „ . X X 2 sin — cos — 8 8 2. Докажите, что функция у = л;2 + cos2х убывает на проме­ жутке ]—оо; 0]. 77
  4. 4. 1. Найдите предел: a) lim (sin 3* ctg 4х); б) lim 2cos* .. * - 0 я я Х-+—- Вариант 6 ДС-2* 2 2 2. Докажите, что функция у = 2 c o s * y + — возрастает на промежутке [0; оо[. Вариант 1 ДС-3 1. При помощи первой и второй производной исследуйте пове­ дение функции f (х) = 2х + cos 2х на промежутке 0; т [ ' 2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического коле­ бания у = 7 cos 3xj. Укажите амплитуду, период, частоту и начальную фазу этого колебания. Вариант 2 ДС-3 1. При помощи первой и второй производной исследуйте пове­ дение функции / (х) = sin 2х — 2х на промежутке 2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического коле­ бания y = 3 c o s ( — — — Укажите амплитуду, период, частоту и 18 2 начальную фаз-у этого колебания. Вариант 3 ДС-3 1. Найдите точки перегиба функции у = х3 — х2 + 2. 2. Напишите гармоническое колебание, удовлетворяющее диф­ ференциальному уравнению У" = - 4 у , если известно, что амплитуда этого колебания равна 5, а начальная фаза равна 78
  5. 5. 1. Найдите точки перегиба функции у = х? + 2х2 — 4. , 2. Напишите гармоническое колебание, удовлетворяющее диф­ ференциальному уравнению У" = ~ 9 у , если известно, что амплитуда этого колебания равна 2,5, а началь­ ная фаза равна Вариант 4 ДС-3 Вариант 5 ДС-3 1. Найдите точки перегиба функции у = х4 — х3 + 2х. 2. Найдите амплитуду гармонического ряющего дифференциальному уравнению у" что у (0) = 2 и у' (0) = 3. колебания, удовлетво- = —4у, если известно, Вариант 6 ДС-3 1. Найдите точки перегиба функции у — sin2х. 2. Найдите амплитуду гармонического ряющего дифференциальному уравнению колебания, удовлетво- У" = - 9 у , если известно, что у (0) = 2 и у' (0) = 8. Вариант 1 ДС-4 Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче­ ских колебаний уг = cos х и уг — cos 79
  6. 6. Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче­ ских колебаний ух = 2 cos х и у2 = cos ^х + -л Вариант 2 ДС-4 Вариант 3 ДС-4 Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче­ ских колебаний ух — 3 cos 2* и у2 = 4 cos 2х + y j. Вариант 4 ДС-4 Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче­ ских колебаний ух = 4 cos Зх и у2 = 3 cos ^3* — Вариант 5 ДС-4 Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче­ ских колебаний ух = 5 cos и у2= 12 cos Вариант 6 ДС-4 Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче­ ских колебаний 1 х /х . п у, = — cos— и у, = c o s ----- ух 2 3 ■У2 з з 80
  7. 7. Вариант 1 ДС-5 1. Приведите к значениям тригонометрических функций наи­ меньшего положительного аргумента: a) tg (-7 2 8 °); б) cos О 2. Упростите sin (л — a) cos + РI — sin (-у — а) cos (Зя + Р). Вариант 2 ДС-5 1,- Приведите к значениям тригонометрических функций наи­ меньшего положительного аргумента: a) ctg 519°; б) siri — . 6 2. Упростите cos (я + a) sin fy - — p'j — cos ( у + оАsin (Зя — р). Вариант 3 ДС-5 1. Докажите тождество sin (а + я) cos (Зя — а) _ 1 Зя ‘ 2 J , , . я cos а sin |а + — I cos [— + а |— 1 2. Упростите — cos (4а + я) — 2 cos ^у- + 2а| sin (Зл + 2а) — cos2 -f y j . Вариант 4 ДС-5 1. Докажите тождество tg (я — a) Jl + ctg + aj ctg + 2a jj = tg a — ctg j^y — 2a j. 2. Вычислите 8 sin 110° cos 140° sin 30° sin 890°. 81
  8. 8. Вариант 5 ДС-5 1. Докажите тождество sin [2и — у j cos (Зи + л) = sin (2и — л) sin (л — 3и) — sin ^у 2. Упростите —os ^ - •ctg ( — — а')— cos (— + а ] sin (л — а). sin (я — а ) s 2 j 2 } Вариант 6 ДС-5 1. Докажите тождество cos [4/ 4- у j cos (I — л) — cos ( у + 3/j = sin ^ y — 4/j sin (t + л). 2. Упростите • » « (? + “ ) + si" ( y + “ ) (« + 2")- Вариант 1 ДС-6 На рисунке дан график функ­ ции g (х) = tg х на промежутке ]—л; л[. Ответьте на следующие вопросы: 1. Каковы множества зна­ чений переменной х, для кото­ рых g (х) = 0; g (х) > 0; g (х) < < 0? 2. Каковы промежутки мо­ нотонности функции g? 3. На каком множестве из области определения функция g монотонна и принимает все свои значения? 4. Обратима ли функция g> Почему? 5. Из скольких «непрерывных кусков» состоит график? 82
  9. 9. Вариант 2 ДС-6 На рисунке дан график функ­ ции g (х) = ctg х на проме- ЗлГ жутке Ответьте на я 2 ' 2 следующие вопросы: 1. Каковы множества значе­ ний переменной х, для которых g (.к) = 0; g (х) > 0; g (х) < 0? 2. Каковы промежутки мо­ нотонности функции g? 3. На каком множестве из области определения функция g монотонна и принимает все свои значения? 4. Обратима ли функция g? Почему? 5. При каких х функция g принимает значение 1? Вариант 3 Д С-6 На рисунке дан график функ­ ции h (х) = sin х на промежутке — — ; л . Ответьте на следую- 3 щие вопросы: 1. Каковы множества зна­ чений переменной х, для кото­ рых h (я) == 0; h (х) < 0; h (х) > 0? 2. Укажите значения х, при которых функция h имеет макси­ мум или минимум. 3. Каковы промежутки монотонности функции /г? 4. На каком множестве из области определения функция h монотонна и принимает все свои значения? 5. Обратима ли функция Ю 83
  10. 10. Вариант 4 ДС-6 На рисунке дан график функ­ ции h (х) = cos х на промежут- 2я 1 „ Ответьте на сле-ке - Т ;Л дующие вопросы: 1. Каковы множества зна­ чений переменной х, для кото­ рых h (х) = 0; h (ж) < 0; h (х) > 0? 2. Укажите значения х, при которых функция h имеет максимум или минимум. 3. Каковы промежутки монотонности функции /г? 4. На каком множестве из области определения функция h мо­ нотонна и принимает все свои значения? 5. ОбраТтима ли функция Ю Вариант 5 Д С -6 ке Ответьте на сле- На рисунке дан график функ­ ции h (х) = sin 2х на промежут- я 4 дующие вопросы: 1. Каковы множества зна­ чений переменной х, для которых h {х) = 0; h {х) < 0; h (х) > 0? 2. Укажите значения х, при которых функция h имеет мак­ симум или минимум. 3. Каковы промежутки мо­ нотонности функции h? 4. На каком множестве из области определения функция h монотонна и принимает все свои значения? 5. Обратима ли функция Л? Почему? 84
  11. 11. Вариант 6 ДС-6 На рисунке дан график функ­ ции h (х) = cos 2х на проме- У ] жутке n j. Ответьте на следующие вопросы: _ # / 1. Каковы множества значе- л ж З п / 4 2 4 / JT ний переменной х, для которых 0 h {х) = 0 ; h (х) < 0 ; h (х) > 0 ? 2. Укажите значения х, при которых функция h имеет мак­ симум или минимум. ‘ * 3 . Каковы промежутки монотонности функции h ? 4. На каком множестве из области определения функция h монотонна и принимает все свои значения? 5. Обратима ли функция /г? Почему? Вариант 1 ДС-7 1. Вычислите tg (arcsin ( — - i ] + arcsin 2. Решите уравнение sin x cos 2x + cos x sin 2x — y 0 . Вариант 2 ДС-7 1. Вычислите ctg (arcsin + arcsin (— 1)). 2. Решите уравнение 2 sin x sin — x'j = 1. Вариант 3 ДС-7 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют неравенству |sin t ^ 0,6. 2. Решите уравнение sin2х = 85
  12. 12. Вариант 4 ДС-7 1. Отметьте на единичной окружности множестео точек Р„ для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера­ венству |sin t 0,4. 2. Решите уравнение sin2х = 1 Вариант 5 ДС-7 1. Решите уравнение Jsin 2д:| = 1. 2. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера­ венству 1 < | sin / | < И . 2 2 Вариант 6 ДС-7 1. Решите уравнение Isin 3*1 = —. 2 2. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера­ венству — |sin f| < 1. 2 Вариант 1 Д С-8 1. Отметьте на графике функции у = tg х, * € , мно- л _ _л_ Т ’ 2 жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не­ равенству — 1 < tg х < 2. 2. Решите уравнение tg / £ _ ^ = _ К з . ,2 3 3. Расположите в порядке возрастания числа cos 4; cos 8', cos 12. 86
  13. 13. Вариант 2 Д С - 8 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Рп для которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют не­ равенству — 1 < cos t < —. 2 2. Решите уравнение 3. Расположите в порядке убывания числа tg 4; tg' 8; tg 12. Вариант 3 Д С -8 1. Отметьте на графике функции у = tg х, х € , мно- я _ п Т ’ Т жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не­ равенству tg2 * > 1. 2. Решите уравнение cos” (2* + т ) “ {■ 3. Расположите в порядке возрастания числа tg 2; tg 4; tg 6; tg 8. Вариант 4 ДС-8 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют не­ равенству I COS ^ I > — . ' 2 2. Решите уравнение tg * + tg 2х _ 1__ 1 — tg х ■tg 2х V 3 3. Расположите в порядке убывания числа cos 2; cos 4; cos 6; cos 8. 87
  14. 14. Вариант 5 ДС-8 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют нера­ венству cos2 1 ^ 1. 2. Решите уравнение 2 cos4х — 3 cos2х = — 1. 3. Определите знак числа (tg 4 - tg 3) • (tg 2 - tg 1) (tg 0 - tg (-1 ) ). Вариант 6 ДС-8 я . я Г ¥ ’ 2 [’ МНО-1. Отметьте на графике функции у — tg х, х £ жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не­ равенству tg2х ^ 3. 2. Решите уравнение 3 tg4* — 10 tg2х + 3 = 0. 3. Определите знак числа (cos 6 — cos 5) (cos 4 — cos 3) (cos 2 — cos 1). Вариант 1 ДС-9* 1. Отметьте на графике функции у = ctg лг, х 6 ]—л; 0[, мно­ жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не­ равенству — 1 ctg х 2. 2. Определите знак выражения (ctg ( - 1 ) - ctg ( - 2 ) ) • (ctg ( - 3 ) - ctg ( -4 ) ). Вариант 2 ДС-9* 1. Отметьте на графике функции у = ctg лг, х 6 ]—л, 0[, мно­ жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не­ равенству —2 < ctg х < 1. 2. Расположите в порядке возрастания числа ctg 4; ctg 8; ctg 12. 88
  15. 15. Вариант 3 ДС-9* 1. Расположите в порядке убывания числа arcctg 3; arcctg 7; arcctg 9; arcctg 11. 2. Решите уравнение c t g . ( 2 * - f ) - 3 . Вариант 4 ДС-9* 1. Расположите в порядке возрастания числа arcctg 4; arcctg 8; arcctg 12; arcctg 16. 2. Решите уравнение с‘Ф + 1 ) = т Вариант 5 ДС-9* 1. Решите уравнение ctg (Зх — — 4 1. 2. Определите знак числа (ctg 3 — ctg 4) (ctg 5 — ctg 6) (ctg 7 — ctg 8). Вариант 6 ДС-9* 1. Решите уравнение 3 ctg4х — 4 ctg2* + 1 = 0 . 2. Определите знак числа (arcctg 3 — arcctg 4) (arcctg 5 — arcctg 6). Вариант 1 ДС-10 1. Найдите sin а , если известно, что tg а = 3. 2. Найдите sin а и cos сс, если известно, что tg а = —2 и что а — угол II четверти.
  16. 16. 1. Найдите cos а, еслиизвестно, что ctg а = —2. 2. Найдите sin а и cos а , если известно,что ctg а = — и что а — угол III четверти. Вариант 3 ДС-10 1. Найдите cos (а + р), если известно, что 7 a 12 cos а -------, a cos р = —. 25 м 13 2. Решите уравнение V 1 + c t g 2 X = --------— . sin дг Вариант 4 ДС-10 12 1. Найдите sin (а — (3), если известно, что sin a = - , a io ft 24cos p = —. K 25 Вариант 2 ДС-10 2. Решите уравнение V 1 + tg2* cos * Вариант 5 ДС-10 12 1. Найдите cos (a — P), если известно, что sin a = — , a sin p = » * 1 3 3 5 2. Решите уравнение V i 1 = — COS X. + tg 2 X Вариант 6 ДС-10 5 1. Найдите sin (a + P), если известно, что sin a = -, а lo « 4 COS P = — . 5 2. Решите уравнение = sin x. I + ctg2X 90
  17. 17. 1. Найдите tg -2-и ctg у , если cos а = у и я < а < 2л. 2. Упростите выражение i + sin а Вариант 1 ДС-11 Вариант 2 ДС-11 1. Найдите tg — и ctg— , если sin а = — — 2 2 4 з и — л < а < 2л. 2 2. Упростите выражение 1/ 1— sin а V 2 • Вариант 3 ДС-11 1. Найдите предел lim l / 1 cos•*. V 2*а 2. Решите уравнение 1 — cos 2х — 2 sin х. Вариант 4 д с -11 1. Найдите предел lim 2 I*1 • / 2 *-►0 г 1— cos* 2. Решите уравнение 1 -f cos 4х — 2 cos 2х. • Вариант 5 ДС-11 1. Найдите предел Пт 1/ isin 3*| Ц. х-*0 г 1— COS3* 2. Решите уравнение 1 + sin 2х — 2 cos 91
  18. 18. Вариант 6 Д С -11 1. Найдите предел lim lz z £ 2i £ х-+а 2х ■sin х 2. Решите уравнение 1 — sin 4х — 2 sin ( * - т > Вариант 1 Д С -12 1. Упростите выражение (|~—■ ■—'J— 1. 2. Найдите sin a, tg a , ctg а, если cos — = — — и — £ [л; —я]. 2 13 2 2 Вариант 2 Д С -12 П + tg2 а 2 1. Упростите выражение 2tg а 2. Найдите cos a, tga, ctg а, если sin у = и а £ |я; я| Вариант 3 ДС-12 1+ tg21"Г* —а 1. Упростите выражение ~ -------— -tg 2a. — — a 4 2. Найдите sin 4a и cos 4a, если tg a = 2. 2tg ¥ v^"3 3. Решите уравнение ------------ = ------- g-. 1+ V - j 92
  19. 19. Вариант 4 ДС-12 2 t g ( y + « ) 1 — tg2 ( - ^ — « ) 1. Упростите выражение -— —. /я / л l + tg2 ^— + a j l + tg3 |^— — a j 2. Нарщите sin 4a и cos 4a, если ctg a = 3. 1— tg2~2 V 3" 3. Решите уравнение ------------ = l + tga| Вариант 5 ДС-12 1. Упростите выражение — ~ *c tg 2 [3 . l + 1 2. Найдите sin 3a и cos 3a, если tg 1,5a = 8. 3. Решите уравнение —2t g - = — —. 1 + tg2 x 2 Вариант 6 ДС-12 я ' 1 + t g 2 (P — 1. Упростите выражение ------ 1 — ctg2 (" T + P4 2. Найдите sin За и cos За, если tg 1,5 a = 5. 1 — tg2 x l 3. Решите уравнение 1 + tg2 * 2 Вариант 1 ДС-13* 1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения sin 105° sin 75°. 2. Упростите выражение 2 sin 5х sin Зх + 2 cos х cos 7х. 93
  20. 20. 1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения cos 105° •cos 75°. 2. Упростите выражение 2 cos 2х cos 5х — 2 sin 6* sin 3*. Вариант 2 ДС-13* Вариант 5 ДС-13* 1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения cos 10° • sin 20° • sin 40°. 2. Упростите выражение sin2а + cos + а j cos ^ — a j. 3. Решите уравнение sin x • sin 3* = К Вариант 4 ДС-13* 1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения cos 20° • cos 40° • cos 80°. 2. Упростите выражение sin ^ + a j •sin ^ a j -f sin3a. 3. Решите уравнение cos x • cos 3x = — 2 Вариант 3 ДС-13* 1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения я 2я 4я cos — COS COS . 7 7 7 2. Упростите выражение cos|p 3. Решите уравнение . х Зле 1 . sin — cos — == sin x. 2 2 2 94
  21. 21. 1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения о 2я 4я 8я 2cos — cos — cos —. 7 7 7 2. Упростите выражение cos — Yj cos ( у + ?) + cos2( y — yj. 3. Решите уравнение . Зх x l . л sin — cos— = — sm 2*. 2 2 2 Вариант 6 ДС-13* Вариант 1 ДС-14 Решите неравенство: _ 1. sin 3* cos х — cos Зх sin х > — t-L . 2. ctg x < V 3. Вариант 2 ДС-14 Решите неравенство: 1. cos 1,5* • cos * + sin 1,5* • sin * ^ —]I j L 2. ctg x > — y = . Вариант 3 ДС-14 Решите неравенство: 1. sin (2* -j- j 2. |tg*| < 1. 1. sin (2* -j- cos Щ + cos (2x + y j sin у < 1. Вариант 4 ДС-14 Решите неравенство: . / п . 2я Зя • /о р 2я . Зя . , 1. cos 2* А Icos sin 2* sm — < 1. 7 ) 14 7 / 1 4 2. |tg*|> 1. 95
  22. 22. Решите неравенство: t g ( * + y ) + tg 2л: , j 1. — < 7г^. 2. sin2x - > —. п У 6 А 1 — tg 2л • tg ( л + — J Вариант 5 ДС-14 Вариант 6 ДС-14 Решите неравенство: tg Зх — tg (х —у ) 1. 1 71 >уз. 1+ tg Зл •tg — у j 2. cos2* <; у . Вариант 1 ДС-15 Решите уравнение: 1. 2 cos2z — 5 sin z + 1 = 0 . 2. tg2* + 3 ctg2* = 4. Вариант 2 ДС-15 Решите уравнение: 1. 2 cos22 + 5 sin 2 + 1 = 0. 2. 3 tg2л: + ctg2* = 4. Вариант 3 ДС-15 Решите уравнение: 1. 2 cos2 + - y j — 3 sin^y----- + 1= 0. 2. sin 2х + cos * = 0. Вариант 4 ДС-15 Решите уравнение: 1. 1 — cos (л — х) — sin ^-у + у |=0. 2.5 sin Зх — 2 cos 3 *= 0 . 96
  23. 23. Вариант 5 ДС-15 Решите уравнение: 1. 3 sin 2л: + 7 cos 2х — 0. 2. cos 2х — sin х — 0. Вариант 6 ДС-15 Решите уравнение: 1. 2 cos2[х + + 3 sin ( ~ — x j + 1 = 0. 2. sin 2х — sin Зх = 0. Вариант 1 Д С -16 Докажите тождество: 1 1+ *g ft _ 1+ sin 23 1— tg р cos 2Р) 2. 4 cos (а 4- •cos Iа 4- — ) •cos а = — cos За. I з/ I 3 ) Вариант 2 Д С -18 Докажите тождество: . 1 — tg р 1 — sin 2(5 1 + tg cos 2р 2. 4 sin fa + y j • sin а • sin fa + ^ = sin 3a. Вариант 3 Д С -16 Докажите тождество: 1. У 1 + sin a — у 1 — sin а = 2 sin у , если 0 < a < _ tg 2 a j_ tg a _ s i n 2 « . tg 2 a — tg a 4 Заказ 48 97
  24. 24. Вариант 4 ДС-16 Докажите тождество: 1. V l -f- cos а + У 1 — cos а = 2 cos ^ y -j, если 0< а < ~ . 2. 1 + cos а + cos 2а = 4 cos а •cos ( — + — ) •-cos — 6 2 I [ 6 2 о i л i n tg 4 а •tg 2 а 2. tg 4а — tg 2а = —--------— . sin 4 а Вариант 5 ДС-16 Докажите тождество: 1 sin 2? . а ^ ^ я 1. Л =— .......— — - = sin у, если 0< v < — . У + sin 2у + У 1 — sin 2у 4 Вариант 6 ДС-16 Докажите тождество: 1. j/ 4g * + sin * + У ig х — sinx = 2 У tgxcos jy ---- если 0 < x < — . 2 2. tg 2f3 - 2 tg p = tg2 p tg 2p. Вариант 1 ДС-17 1. Докажите, что функция Н есть первообразная дляфункции/г на промежутке /, если: а) Н (х) = tg2(1 - 2 х ) - 1; h (х) = ■4sl; 1 = ]0; 1[; cos3 (2х — 1) б) Н (х) = X2— h (X) = - + 2х- / = ] 0; со [. х ' х2 2. Для функции / (х) = — — найдите первообразную, график sin2* которой проходит через точку (—■; 0j. 98
  25. 25. 1. Докажите, что функция Я есть первообразная для функции h на промежутке /, если: а) Н(х) = ctg2(1 + 2х) + 2; h(x) = 4cos-^ -± i L ; /= ]0; 1[; — sin* lx -f- 1) б) Я (х) ^ ~ + у + 2; h (х) = ха — / = ] — оо; 0 [. 2. Для функции — — найдите первообразную, график которой cos2* Вариант 2 ДС-17 проходит через точку 0j. Вариант 3 ДС-17 1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке /, если: а) F <*) = * > °J. 0; / М - 2 М ; / = ] - ■ » ; оо[; б) F (х) = 2 — sin2л: + cos2х f (х) = —2 sin 2х I = ]0; 2[. 2. Одна из первообразных функции — — проходит через точ- COS X ку o'), а вторая — через точку (— ; lV График какой из них 6 ) 3 / расположен выше? Какова разность этих первообразных? Вариант 4 ДС-17 1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке /, если: а) F И = { ^ прпяря/ > 0? ; / W = - 2 W; / = ] - » ; ~ [ ; б) F (х) = 6 sin — cos — — 5; f (х) = 1,5 cos —; I = ]— 1; 1[. 4 4 2 2. Одна из первообразных ф ункции 5— проходит через sin2 X точку !■— у ; -М , а вторая — через точку ^— -j; — y j. График ка­ кой из них расположен выше? Какова разность этих первообразных? 4* 99
  26. 26. Вариант 5 ДС-17 1. Найдите первообразные для функции /: а) f = y j z r f : б) f W = C°s2*’ 2. График одной из первообразных функции у = *2 — 3* + 2 проходит через точку (— 1; 2), график другой — через точку (0; 4). Какой из графиков расположен выше? Какова разность этих перво­ образных? Вариант 6 ДС-17 1. Найдите первообразные для функции /: а) /(х) = ----/1*------ ; б) /(*) = sin2*. ’ ' w 2К *3+ 1 2. График одной из первообразных функции у = Зх2— * + 5 проходит через точку (0; 2), график второй — через точку (1; 4). Какой из графиков расположен выше? Какова разность этих перво­ образных? Вариант 1 Д С -18 Найдите первообразные для следующих функций: 1. / (*) = sin2 (2 — 3*). 2. f (х) = cos (2х — 1) — К б * + 3 н ] 0 ; о о [. Вариант 2 ДС-18 Найдите первообразные для следующих функций: 1. / (*) = cos2 (3 + 2х). 2. / (х) = sin (0,5* — j-'j — j / 3 + ±.х. Вариант 3 ДС-18 Найдите первообразные для следующих функций: 1. / (*) = у7(* — I)2 на промежутке ]—оо; 1[. 2. /(*) = * sin * + Y 2 x — 1. 100
  27. 27. Вариант 4 ДС-18 Найдите первообразные для следующих функций: 3 1. f (х) = у (х — I)4 на промежутке ] —оо; 1[. 2. / (х) = х cos х — У 1 + 2х. Вариант 5 ДС-18 Найдите первообразные для следующих функций: 1. f(x) = -------— гг---------- 3 sin (4 — Зх) + 1. COS2(X— 1) 2. / (х) — У х2 на промежутке ] — оо; оо[. Вариант 6 ДС-18 Найдите первообразные для следующих функций: 1. /(*) - . 2. , + 3 cos (3 Ах) 1. sin2(х + 1) 2. / (х) = |х|-1-1 на промежутке ]—оо; оо[. Вариант 1 ДС-19 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок): у = (х + I)2, х = —3, у = 0. 10 2. Найдите sin 2х dx. -10 Вариант 2 ДС-19 1, Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок): у = —х~ + 4х; у = 0. Л 18 2. Найдите J (cos х cos 2х — sin х ■ sin 2х) dx. 0 Вариант 3 ДС-19 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав ' исунок): у = — (х3 — 5х + 4) и у = 0. 2. Найдите Г хdx. —2 101
  28. 28. Вариант 4 ДС-19 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок): у — х + 1 и у = 4 + 3* — х2. Л 6 2. Найдите ( |sin х |dx. п —т Вариант 5 ДС-19 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок): у = 4 ; х = 1, у = х — 1. JT п 2. Найдите lim 1 л—►со J я2 1 Вариант 6 ДС-19 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок): у = 2 cos х (— -у ^ х -y j; у = 1. 2. Найдите lim 1 -^=. n-ooj К * п Вариант 1 ДС-20* Бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, запоЛ' няется водой до высоты 4 м. Определите затраченную при этом ра боту, если стороны основания равны 2 м и 3 м. (Вода подается чере: отверстие в дне с плоскости основания бака.) Вариант 2 Д С -20 Определите кинетическую энергию однородного диска, массо! 2 кг, вращающегося равномерно вокруг центра с угловой скоростьн 2 рад/сек. Радиус диска равен 0,5 м. 102
  29. 29. Вариант 3 ДС-20* Определите давление воды на вертикальную стенку, имеющую форму трапеции, нижнее основание которой а — 10 м, верхнее b — 6 м и высота h = 5 м, если уровень погружения нижнего ос­ нования с = 10 м. Вариант 4 ДС-20* Определите давление воды на вертикальную стенку, имеющую форму трапеции, нижнее основание которой а — 4 м, верхнее осно­ вание b — 8 м и высота h = 6 м, если уровень погружения нижнего основания с = 12 м. Вариант 5 ДС-20* Определите кинетическую энергию однородного цилиндра, ка­ тящегося без проскальзывания по плоскости со скоростью 1 м/сек. Радиус цилиндра равен R м, масса цилиндра m кг. Вариант 6 ДС-20* Аквариум, имеющий форму полушара радиуса г, заполнен во­ дой. Определите силу давления воды на «стенки» аквариума. Вариант 1 ДС -21* Вычислите: Я 1 3 1. j ( 1 + ■§■']****• 2- j (с032 + y j ~ sin2 + y j ) dx. ~ I _Я 6 Вариант 2 Д С-21* Вычислите: Зя 0 j I 1).. 2. i 12s i n jiAcosf— — xdx., ^ —I 103
  30. 30. Вариант 3 ДС-21* Вычислите: 1,5 1. j ( l — 2х)1dx. i Я 24 2. j (cos2 ^2х — у ) — Sl’n2(Эх — y j j dx. Я 12 Вариант 4 Д С-21* Вычислите: 1 3 1. j1(Зх + I)8dx. 0 1,2Я 2. j 4,2 dn ( f - - J ) cos ( f 1.6Я Вариант 5 ДС -21* Вычислите: —2 4 ' 2- j ( sin( f + i ) + c o s ( f + r 2 ) ) v - i - i12 Вариант 6 ДС-21* Вычислите: —4 1. j У (4 — Зх)3dx. 0 л 2 2. | cos4^ x— ~ j dx. Я 3 Вариант 1 ДС-22 1. Решите уравнение 3 . 2V+1— 6 • 2*-1 = 12. 1 2 2. Решите неравенство 2 5 ^ + * < 1 2 5 —® 104
  31. 31. Вариант 2 ДС-22 1. Решите уравнение 0,53 2Х+ 3 •0,25й х = 14. 2. Решите неравенство 2 4^ < $УХ+ Ч Вариант 3 ДС-22 1. Решите уравнение Ш ' + ( Г = 1 2. Решите неравенство ( i r > F T Вариант 4 ДС-22 1. Решите уравнение 4У й « = (1 ) ' 2. Решите неравенство ( Т ~ ' >2 1 2 V2 Вариант 5 ДС-22 1. Решите уравнение 2 . + 6 •9°>ех-а = 56. х«+.2*т-15 7 ,3 > 1 .2. Решите неравенство Вариант 6 ДС-22 1. Решите уравнение 4 ' 2. Решите неравенство ,р л х - 1 _ 2 7 ^ = 33, 2^ -4 > 4*. Вариант 1 ДС-23 1. Найдите уравнение горизонтальной касательной функции у = ех + е~х. /1 в*-4 2. Найдите производную функции у = {— к графику 3. Найдите первообразную функции f(x) — 22х * + (1 г 105
  32. 32. 1. Найдите угол между касательной к графику функции у = е~~х в точке с абсциссой х = 0 и осью Ох. Напишите уравнение этой касательной. 2. Найдите производную функции у — З3*-4 + с~х 3. Найдите первообразную функции f (х) = 0,92г—°-9. Вариант 2 ДС-23 Вариант 3 ДС-23 1. Найдите промежутки монотонности функции у = х'ге'~х. з 2. Вычислите j ^22Л'~1 + ( у ) ) dx. 2 / 1г-х 3. Изобразите схематически график функции у = — I . ' 4 ' Вариант 4 ДС- ?3 1. Найдите промежутки монотонности функции у = х ■2х 1. 2 2. Вычислите J jV -* + ( y j j dx. о 3. Изобразите схематически график функции у = 32~х. Вариант 5 ДС-23 1. Найдите экстремумы функции / (х) = х • 2. Найдите первообразную функции h (х) = 21~°'ix, график ко­ торой проходит через точку (2,5; 1). 6 3. Вычислите j (х — 3) exZ~lxdx. _______________ о________________________________________ Вариант 6 ДС-23 ( I х2 X — I 2. Найдите первообразную функции h (х) = 0,51—Зг, график ко­ торой проходит через точку (— 1; 1). Я_ 2 3. Вычислите j sinx ecosх dx. 106
  33. 33. х + 2 1. Решите неравенство — — г^О. 2. Постройте график функции у = elnros*. Вариант 1 ДС-24 Вариант 2 ДС-24 ]. Решите уравнение In (—* — 2. Постройте график функции 1) = 0,5 In (1 — 1,5х). у = 31ое> * Вариант 3 ДС-24 1. Решите уравнение log^+j (х — 0,5) = logx_0,5(х + 1). 2. Решите неравенство log^ х + log2хг < — 1. Вариант 4 ДС-24 1. Решите уравнение 0,5 In (8 — х) = In (1 + ] / х + 5). 2. Решите неравенство logjj х 4* log4 > ] д Вариант 5 ДС-24 , „ 1п(10дг — л:2 — 7) 0 1. Решите уравнение ------------- — ----- = In (* + 1) 2. Постройте график функции у = ю '8(1Х+1|_2). Вариант 6 ДС-24 1. Решите уравнение log4 (61 — log2 (2х — 1)) = 3. 2. Постройте график функции у = е п (лг2~4х+3 Вариант 1 ДС-25 1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ­ ции h (jc)=ln (— 1— 2х) + log2 (1 — ле) в точке с абсциссой х = — 1. — 2 2. Для функции у —------- найдите первообразную, график ко- х — 2 торой проходит через точку (3; 2). 3. Изобразите схематически график функции у = In х — 11. 107
  34. 34. 1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ­ ции h (х) = lg (3 — 2х) + logi х в точке с абсциссой х = —. 2~ 2 з 2. Для функции у = ------ найдите первообразную, график ко- х 2 торой проходит через точку (— 1; 1). 3. Изобразите схематически график функции у = |In ( х — 1)|. Вариант 2 ДС-25 Вариант 3 ДС-25 1. Найдите экстремумы функции у = хг In х. 2 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линия?*! у = —; X х + у = 3. — 8 3. Вычислите Г — —— J |*| in4 9 Вариант 4 ДС-25 1. Найдите экстремумы функции у — In2х — In х. 4 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = —; * х + у = 5. —27 3. Вычислите Г — —— ■. J |* 1in 9 Вариант 5 ДС-25 з 1. Найдите промежутки монотонности функции у — — In2х — — In3 3 Г 2х 2. Вычислите dx. J *2+ 1 о 1 2 3. Решите уравнение------------- 1---------------- = 1. п Ig * + 3 3 - l g * 108
  35. 35. 1. Н + lg3л:. Вариант 6 ДС-25 з 1. Найдите промежутки монотонности функции у = — lg2х 4* з 2. Вычислите J д с * - 1 3. Решите уравнение log2У х — 4 + log2 у 2 х — 1 = log23. Вариант 1 ДС-26* Докажите, пользуясь свойствами функции In, что ехр (а + Ь) = = ехр а • ехр Ь. Вариант 2 ДС-26* Докажите, пользуясь свойствами функции In, что ехр (а — Ь) =* _ ехр а ехр b Вариант 3 Д С-26* Докажите, что для п Z N In п < 1 + — 4- ... + 1 2 и— 1 Вариант 4 Д С-26* Докажите, что для п 6 N 1 п п > 7 + ¥ + - - ' + 7 ‘ Вариант 5 Д С-26* Найдите область определения функции х‘+2х f(x) = f j d t . Вычислите производную /. 109
  36. 36. Вариант 6 ДС-26* Найдите область определения функции 2х—х‘г f(x) = J j d t . Вычислите производную функции /. Вариант 1 ДС-27 1. Найдите первообразную функции f (х) = (1 - 2х)-°*7. 2. Решите уравнение V 1 4- V + х = х. Вариант 2 ДС-27 1. Найдите первообразную функции / (х) = (1 - 2. Решите уравнение 2 — У 2 + х = х. Вариант 3 ДС-27 1. Найдите промежутки монотонности функции YT у = (х — 1) X 2. Решите уравнение У 2х + 3 + У х — 2 = 2 У х + 1. Вариант 4 ДС-27 1. Найдите промежутки монотонности функции у = (2 4- X) х УЯ. 2. Решите уравнение У 2х — 1 = 2 У х — 1 — У х — 4. Вариант 5 ДС-27 1. Найдите производную функции у = (У х )х. 2. Решите уравнение У х 2 + 6х + 9 + У х2— 4х + 4 = 5. 110
  37. 37. Вариант 6 ДС-27 1. Найдите производную функции у = X2*. 2. Решите уравнение У~ 1 — х = 1 — У х . Вариант 1 ДС-28 Решите методом Гаусса систему уравнений ( х + Зу — 4z = —21 —2х + Зу + 2z = —6 1 З х + З у — 8z = —31. Вариант 2 ДС-28 Решите методом Гаусса систему уравнений 1 х — у — Зг =11 | Зх + 2у + 4z = 18 (—4х + Зу — z — —5. Вариант 3 ДС-28 Решите методом Гаусса систему уравнений 1 х — у + z — и =■ 2 х + 2у — 2z — и — 5 —Зх + 2у + 5z + и — —3 2х — z — и — 4. Вариант 4 ДС-28 Решите методом Гаусса систему уравнений х + у — z + и = —7 — х + у + 3z — 4и = 9 2х — Зу + Зг — 8и — 16 х — 2у + z — и — 12. Вариант 5 ДС-28 Решите методом Гаусса систему уравнений л: — 2у + 2г — Зи — 4 Зх + 2у — Юг + 11м = 0 —2х + у + 5г = 7 у + г + 4и = 9. i l l
  38. 38. Вариант 6 ДС-28 Решите методом Гаусса систему уравнений •х + у + 4z — и = О —Зх — 2у 3z 2и — 28 —х + 7у — z — 2w = 11 Зх — 6у — 6г + = 5. Вариант 1 Решите систему уравнений (р — параметр) 12х — Зу = р2 4х — 6у = 8р. ДС-29 Вариант 2 Решите систему уравнений (р — параметр) l3x + 6у = —р + 1 2х + Р2У = 2. ДС-29 Вариант 3 Решите систему уравнений (m — параметр) j (пг — 1) л: + у = m + 1 2х + ту = 6. ДС-29 Вариант 4 Решите систему уравнений (ш — параметр) ((пг — 1) х + 2 ту = — 2 2тх + (т — 1) у = т — 1. ДС-29 Вариант 5 ДС-29 Какому условию должны удовлетворять числа b и с, ма (х + у + Z = 1 х + by + г = 1 1х + у + CZ — 1 имела решение и притом только одно? чтобы систе- 112
  39. 39. Вариант 6 ДС-29 Найдите, при каких значениях р решение системы (х + ру = 3 рх + 4у = 6 существует и удовлетворяет неравенствам х > 1, у > 0. Вариант 1 ДС-30 Решите систему уравнений (5-г • 2у = 3200 j 10? / - (У — *) = 2. Вариант 2 д с -з о Решите систему уравнений (Ъх ■ 2у = 3 - 32 log (х — у) = 9. V r Вариант 3 ДС-30 Решите систему уравнений ((х + у) (х2 — у2) = 9 { logs (х — У) + logs (*2 + У2) = 1- Вариант 4 ДС-30 Решите систему уравнений /lg (х2 + 1) + lg (у2 + 1) = 1 [(•* + у) (ху — 1) = з. Вариант 5 ДС-30 Решите систему уравнений ( х2 = 1 + 6 log4у ( у2 = у • 2х + 22х+1. из
  40. 40. Вариант 6 ДС-30 Решите систему уравнений ^ «-lSy+бв _ } [ у _ х = 5. Вариант 1 Д С-31* Решите систему уравнений I . „ . . „ 1 4 я X — у = — . 6 Вариант 2 ДС-31* Решите систему уравнений (cos2х + cos2у = — | Ея 4 1 = Вариант 3 Д С-31* Решите систему уравнений [tg X ■ tg у = 3 1 , 2л 1* + У - 7 - Вариант 4 ДС-31* Решите систему уравнений [tg х + tg у = 1 < л Вариант 5 Д С-31* Решите систему уравнений /sin х — cosec х + sin у (cos х = sec х -f cos у. 114
  41. 41. Найдите решения системы уравнений /sin х — sin 2у {cos х = sin у, удовлетворяющие условиям О ^ у ^ я . Вариант 1 ДС-32 1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр: а) а + b : с; б) а — b — с, где а да 12,839; b да 1,442; с да 1,2. 2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажите границу погрешности и границу относительной погрешности полу­ ченного результата: а) х + у, где х = 8,58 ± 0,1; у = 11,76 ± 0,2; б) х ■ у, где х = 3,5 ± 0,05; у — 1,2 ± 0,1. Вариант 2 ДС-32 1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр: а) а — Ьс б) а — b + с, где а да 42,991; b « 20,9; с « 0,3. 2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажите границу погрешности и границу относительной погрешности полу­ ченного результата: а) х 4- у, где х = 7,32 ± 0,05; у = 23,1 ± 0,1; б) х : у, где х = 43,6 ± 0,2; у = 2,3 ± 0,1. Вариант 3 ДС-32 1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр: а) а : b + 2ab — с; б) (а — Ь)2, где а як 7,45; Ь « 1,5; с ж да 0,1397. 2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажи­ те границу погрешности и границу относительной погрешности полученного результата: а) х + у — ху, где х = 9,9 ± 0,1; у = 0,0022978 ± 10~в; б) х8 -f 2ху + у2 — Зх, где х = 7,8 ± 0,2; у = 11,2 ± 0,1. Вариант 6 ДС-31* 115
  42. 42. Вариант 4 ДС-32 1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр: а) а : b — 2Ьс + с; б) (а + Ь)2, где а да 3,65; b да 2,5; сда0,092. 2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, ука­ жите границу погрешности и границу относительной погрешности полученного результата: а) х — у + ху, где х = 7,7 ± 0,1; у = 0,0034995 ± 10~6; б) х2 — 2л:у + у2 — Зу, где х = 5,7 ± 0,1; у = 1,7 ± 0,2. Вариант 5 ДС-32 1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр: a) ab + ас — Ь б) (а + с)2, где а да 8,32; b да 0,367; с да 1,633. 2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажи­ те границу погрешности и границу относительной погрешности полу­ ченного результата: а) х + у + ху, где х = 6,8 ± 0,1; у = 0,0032997 + 10~7; б) х* + Зху2 + 3х2у + у3, где х = 8,9 + 0,3; у = 11,1 ± 0,1. Вариант 6 ДС-32 1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр: а) а : b — с : b + а; б) (а + b)3, где а да 7,6; с да 0,0139; b да да 1,4. 2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажите границу погрешности и границу относительной погрешности полу­ ченного результата: а) х — у — ху, где х = 5,3 ± 0,2; у = 0,0041997 ± 10~6; б) у? + Ъху2 — Зх2у — у3, где х = 12,9 ± 0,2; у = 6,9 ± 0,1. Вариант 1 ДС-33 1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки: а) 0,75 ■ 0,391 • 5,411; б) в) 3 2 ,32 2. С помощью логарифмической линейки Найдите неизвестный х 4 5 ,9 член пропорции == г - ~ - . ^ к 79,8 0,0327 116
  43. 43. Вариант 2 ДС-33 1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки: а) 34,5 • 732 • 0,0063; б) ]/ 4 ^ 3 ^ в) 2. С помощью логарифмической линейки найдите неизвестный 358 х член пропорции ~ = — . Вариант 3 ДС-33 1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки: а) / 8|’^22|'?7; б) 3,442•14,52; в) ^ 3 5 ^ - 37,8. 2. Длины сторон треугольника равны 7,8 дм, 5,4 дм, 3,85 дм. Найдите длины сторон треугольника, подобного данному, если дли­ на меньшей его стороны равна 24 м. Вариант 4 ДС-33 1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки: а) * б) 5,282 • 21,32; в) ^ 2 2 ^ - 42,8. 2. Длины сторон треугольника равны 12,7 см, 10,2 см, 5,6 см. Найдите длины сторон треугольника, подобного данному, если дли­ на большей его стороны равна 42,1 дм. Вариант 5 ДС-33 1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки: а) ; б) 42,52 •4,232; в) ^ 3 2 Д ^ 21,8. 2. При помощи логарифмической линейки найдите массу ци­ линдра, высота которого равна 32,4 см, радиус основания — 4,53 см, если плотность материала бруска равна 4,79 г/см3. Вариант 6 ДС-33 1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки: г) •Г-° з ‘ 45892’7 : . б> 4>2уз ’ 5’383; в) ^ 5 Ж 2’ - ° .325- 2. При помощи логарифмической линейки найдите радиус осно­ вания цилиндра, если его объем равен 2,45 дм3, а высота — 23,8 см. 117
  44. 44. Вариант 1 ДС-34 I 1. Упростите ( 2а 2 -1а : 2а 2 + Ь -----------— = , 2 У а — Ь) Ь - 2 У а )' 2. Решите уравнение ———— = —( — — + — Ь 2у (у — I)2 2 — у 1 + у 1 Вариант 2 ДС-34 1. Упростите |0Т + 2 6 « ■ _ ) . ( 0Т _ « I 2b f a ) - J H — 2b j „ „ 1 , 1 2у 3 2. Решите уравнение ; + — ~ 1+ у -У 2 (1+.V)2 Вариант 3 ДС-34 ( Л , Г + 1 ( Л _ , ) + ( > _ , У 1. Упростите — ( V * — у )2 + у /* 2 — У2 ( ^ * + у) 2 2. При каких значениях переменной а равны соответственные значения суммы дробей и — и их произведения? а — 7 а + 3 Вариант 4 ДС-34 / 1 г 1. Упростите -------------- у2 у X6 х л — ~ — + У2 _ У 2. При каких значениях переменной а равны соответственные , „ з а — ю 0 значения разности дробей — — и и их произведения? а — 12 а — 9 118
  45. 45. - L i - _L -1 , , т а 3 с2 — 36 2 . ■ 3 a J -f b 2 ca 1. Упростите — -f Вариант 5 ДС-34 (Сг + З)а3 + V b ) ( ^ _ 3)U 3 + V b) 1 i 2 2. Решите уравнение —— - ~г у2 _ j уа+ 2 Вариант 6 ДС-34 L JL J_— А 4 I А 2 4 2 Л1 , . , 4а + ос , а с — 40 1. Упростите ' (.4 с 2 ) (у" а — ь) {4— с 2 ) ( У а — b) 1 2 1 2. Решите уравнение -— — = —— - + 2— у2 )4— 1 >2 Вариант 1 ДС-35 1. Стороны треугольника пропорциональны числам 0,6; 0,8; 1. Радиус описанной около треугольника окружности равен 14 см. Определите периметр и площадь этого треугольника. 2. Решите систему неравенств /21,7* — 4,5 < 4,7 х + 7,4 { 3,2л: — 1 > 2* — 13. Вариант 2 ДС-35 , _ - 5 12 1. Стороны треугольника пропорциональны числам 1; —; — . Радиус описанной около треугольника окружности равен 26 см. Определите периметр и площадь этого треугольника. 2. Решите систему неравенств х2 + Зх + 3 > 1 — 2х + х2 0 ,2 х — 0 ,4 > — 0 ,1 * — 0 ,1 . 119
  46. 46. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 3; 4; 5. Определите периметр и площадь этого треугольника, если наимень­ шая его сторона равна 12 см. 2. Решите систему неравенств 2 (х — 2) (10* — 1) — 2(k 2 > 2х + 1 , Зх — 0,2 < 2х — 0,3. Вариант 4 ДС-35 1. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 7; 24; 25. Определите периметр и площадь этого треугольника, если наибольшая его сторона равна 15 м. 2. Решите систему неравенств 0,8л; — 2 (0,3л: + 0,7) < 0,4л: + 2 0,3 (1 — 2х) + 0,6л: > х + 4,7. Вариант 5 ДС-35 1. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 5; 12; 13. Определите периметр и площадь этого треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 6,5 см. 2. Решите систему неравенств ' х2 + х + 1 ^ — 1 — 4х — х2 1*1 < 6. Вариант 6 ДС-35 1. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 12; 35; 37. Определите периметр и площадь этого треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 19,5 см. 2. Решите систему неравенств *3 + х + 1 > —2 — 9х — 2х2 |х| < 4. Вариант 3 ДС-35 Вариант 1 ДС-36 1. Для функции у = Зх2 + 12х + 12 укажите множество зна­ чений переменной х, для которых у ^ 0; у ^ 0. 2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен Зх2— — 4х — 3 на множители. 3. Запишите квадратное уравнение, корнями которого служат числа 1^8 — 3 и ]/8~+3. 120
  47. 47. 1. Для функции у = 37* — 6л;2— 6 укажите множество значе­ ний переменной х, для которых у ^ 0; у ^ 0. 2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен 5х2 + + Зх — 5 на множители. 3. Запишите квадратное уравнение, корнями которого служат числа У 5 — 2 и ]/5 + 2. Вариант 2 ДС-36 Вариант 3 ДС-36 1. Разложите (если это возможно) многочлен 2л^ + Зх2 — 5 на множители. 2. При каких значениях параметра а {а ф 0) оба корня квадрат­ ного трехчлена а2х2 + ах — 2 по модулю больше единицы. 3. Найдите сумму кубов корней уравнения х2 + х — 1 = 0 . Вариант 4 ДС-36 1. Разложите (если это возможно) многочлен Зх* + 2х2 — 5 на множители. 2. При каких значениях параметра а (а ф 0) оба корня квадрат­ ного трехчлена а2х2 — ах — 6 по модулю больше или равны еди­ нице. 3. Найдите сумму кубов корней уравнения х2 — х — 1 = 0 . Вариант 5 ДС-36 1. Разложите (если это возможно) многочлен Зл:4— Юл:2 + 3 на множители. 2. При каких значениях параметра b (Ь Ф 0) оба корня квадрат­ ного уравнения 2Ь2х2 — Ьх — 1 = 0 по модулю меньше единицы. 3. Найдите сумму четвертых степеней корней квадратного урав­ нения х2 + х — 1 = 0. Вариант 6 ДС-36 1. Разложите (если это возможно) многочлен 2xi + 5х2 + 2 на множители. 2. При каких значениях параметра Ь (Ь ф 0) оба корня квадрат­ ного уравнения 2Ь2хг — Ьх — 3 = 0 по модулю не превосходят еди­ ницы. 3. Можно ли найти сумму четвертых степеней корней квадрат­ ного уравнения х2 — х + 2 = 0? 121
  48. 48. 1. Найдите пределы: ч 3 — 5п п‘— 2я + 1 m V п2 + Зп — 2 a) lim ------------ -------------- г— ; б) lim -------— —--------. ri~*со 4 -f- 2 ,5 я 1 — п п-юэ 1 4~3п „ _ 6 —2я - 2. Докажите, что последовательность vn= — является убы- 10л — 1 вающей. Вариант 1 ДС-37 Вариант 2 ДС-37 1. Найдите пределы: . . . 3 — 4 п 2л2 — п + З «гч 1 • 2 ] ^ п 2 + 7п — 5 a lim ------------ ■ ------------ 1— ; б) lim — ------------------ п-есо 4 + 1 ,Ел 3 — 2л2 п~оо Зп — 2 - _т 9л — 1 2. Докажите, что последовательность vn= является воз- 15л + 2 растающей. Вариант 3 ДС-37 1. Найдите пределы: 5 + 2л + и2 4 — я3+ л7 ,. з у „4 + „з _ „ а) п т — г : — — • — — Г Т Т Т ; б) lim Я-*00 1.5Л3 — 2 1 -J- пЗ О- fi»7> / 2. Является ли моното: Проведите доказательство. 1,5л* — 2 1 + л З + 6я7’ ^ 0 0 1 — л — 2л2 п ) 2. Является ли монотонной последовательность Ьп= ( !■ + —')? Вариант 4 ДС-37 1. Найдите пределы: . 3 — 2л + л2 4 — л4 -j- 5л8 ,. 2 V 1 — Пт + «4 a) lim ---------—— • --------—— ; б) lim — . п-+оо 6л2 + 1 л8 — 2л + 3 П-+ОЭ 2л — 1 + Зл2 2. Является ли монотонной последовательность en = (l + —У* ? л Проведите доказательство. 122
  49. 49. 1. Найдите пределы: ч I- 2 — З я + 0 ,7 я 2 5я — я5 Л |. 2 У 2п4 — я3 + 7я a) lim --------------- !-------• —-------—; б) lim — --------. оо 1 ,2я2 — 3 0 ,7 я 8 +. 2 п-оо 1 — Зп — 2п2 з,--------- 2. Является ли монотонной последовательность хп = у п + 1 — — у п . Проведите доказательство. Вариант 5 ДС-37 Вариант 6 ДС-37 1. Найдите пределы: . 2 — Зя + я3 4 — 2п4+ 3 я 9 2 ^ 3 — 2я + 3я4 а) ]+т — 1----- • --------- —— ; б) п т «-♦-оо 2п3 + 2 я9— 2я + 0 ,7 п-у со 1 — п + Зя2 2. Является ли монотонной последовательность у — у^п? Проведите доказательство. Вариант 1 ДС-38 Докажите методом математической индукции, что при любом п £ N число 5" + 2 - 2п делится на 3. Вариант 2 ДС-38 Докажите методом математической индукции, что при любом п d N число 1п + 4 • 2" делится на 5. Вариант 3 ДС-38 Последовательность задана рекуррентно: — 2; а2 = 3; ап = = 3an_x — 2an_i при п > 2. Докажите, что п-й член этой после­ довательности может быть вычислен по формуле ап = 2я-1 + 1. Вариант 4 ДС-38 Докажите, что при любом натуральном п > 1 верно неравенство я + ! я + 2 2я 24 123
  50. 50. Докажите, что при любом натуральном п справедливо равенство ( д + 1 ) ( я + 2 ) . . . ( 2 я - 1 ) 2 я 1 •3 •5 • . . . • (2л — 1) Вариант 6 ДС-38 Последовательность задана рекуррентно: ах = 1; ап+1 = ап + -f 8п, для любого п с N. Докажите, что п-й член последователь­ ности можно вычислить по формуле ап = (2п — I)2. Вариант 5 ДС-38 Вариант 1 ДС-39 1. Сколькими способами пионерский отряд из 25 человек может выбрать 5 пионеров: председателя совета отряда, его заместителя и 3 звеньевых? 2. Вычислите: /-*42 г <43 гЛ I ^ 3 I _ L Г® ^6 4 65. 10 *| 10 • 10 "Т* '-'Ю I 10ч Ь4 Ьо. (£ а) — — б) С 2(С °+ С 2+ С* + С®) Вариант 2 ДС-39 1. Сколькими способами из 15 человек можно выбрать судью и 6 участников волейбольного матча? 2. Вычислите: 3Cgg _ 3 ( С° + Cj + с ) + Су) /-*45 ^ 4 4 * /->1 | р З г | /о7 | /-.9 ° 7 0 — °6Э 9 ~ г ^ 9 * 9 9 • 9 Вариант 3 ДС-39 1. Сколько существует семизначных нечетных чисел, составлен­ ных из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6, если каждая цифра в записи числа встре­ чается один раз? 2. Упростите: a) C l + 2С 1Г*-1+ d + 2; б) С°2п + С*п+ '' ‘ + ^ Clk + C l + Cl + 124
  51. 51. 1. Сколько существует семизначных чисел, не кратных пяти, составленных из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6, если каждая цифра в записи числа встречается один раз? Вариант 4 ДС-39 2. Упростите: а) Ср~: + 2Cp~k+l + С* ; б) с° + с1п+ с2п+ ... + С” pi I рЗ | 1p2k—1 L 2fe Т Т • • • "Г ^ 2k Вариант 5 ДС-39 1. Группу из 16 человек нужно разделить на 3 бригады: из 4, 5 и 7 человек. Сколькими способами это может быть сделано? 2. Упростите: С^+ 2СГт-' + С Г2 g C2m+ CL + С2т + •■• С+1+ 2с г т- 2+ С+3 ’ с‘„+ с33„+ сп+ ... ' Вариант 6 ДС-39 1. Группу из 18 человек нужно разбить на 3 бригады: из 4, 6 и 8 человек. Сколькими способами это может быть сделано? 2. Упростите: cg + 2 c * - p - 4 c g +2 _ С*, + 4 + 4 + --- c r 1+ 2c£ -'’ + cg+1 ’ с°р+ с2р + $ + . . . ' Вариант 1 ДС-49 1. Найдите член разложения, содержащий х в степени — 1: ( У ^ + х) 2. Вычислите 2С + 2z q + 2«С? + 24С4 + 25С* + 2°С® + 27С77. Вариант 2 ДС-40 1. Найдите член разложения, содержащий у в нулевой степени: V 7 - # ‘ 2. Вычислите —зс* + 32q — з3с 3 + 34q — ... — з8с « , 125
  52. 52. В а р и а н т 3 Д С -4 0 1. Н айдите номер н аи больш его член а в р азлож ен и и (1 + 0 ,1 )100. 2. В ы чи сл и те /~*0 о /"*1 | о2 /-*2 оЗ /"*3 I q9 /°9L«g--- О •Ug -f- О •Од --- О Og —р . . . --- О 'Од С 15 + С15 + ' ' • + С15 В а р и а н т 4 Д С -4 0 1. Н айдите номер н аи больш его члена в р азлож ен и и (1 + 0 ,0 2 )300. 2. В ы чи сл и те 099 . __ 098 . /°1 _1_ 097 , /^99 99 z ^99 > z °99 “ ••• — ь 99 С9 + С9 + С9 + С9 + С?) В а р и а н т 5 Д С -4 0 1. Н айдите номер н аи больш его члена в р азлож ен и и + 0 , 0 1)500. 2. В ы чи сл и те (2 + 1 - 5С'00 + 52С|00 - 53C j00 + 54С(00 1 + ЗС‘5 + З^С|5 + 3*С35 + 34Сд5 + . . . В а р и а н т 6 Д С -4 0 1. Н айди те номер наи больш его члена в р азлож ен и и (3 + 0 , 1)800. 2. В ы чи сл и те 280 _). 279Cgo -f 2 + 277Cgg + . . . 1 - 4с ‘6 + 4*С276 - 43С36 + 44Су6 В а р и а н т 1 Д С -4 1 1. Н айдите предел: 1* х* -- Зх -j- 2 j. *. 0 Л a) lim — — ------; б) lim 3 c o s 2 x . *н_ 1 2х* + х — 7 *_*о • — »2 2 . В ы ч и сл и те l>m ^ „ • * - 2 F Х + 7 — 3 126
  53. 53. Вариант 2 ДС-41 1. Найдите предел: а) 1,т о а . ч + о: б) ' 1т tg 4х.х~*—12.x -f- Зх — 9 *->-0 2. Вычислите lim —_ г-з У х + 1— 2 Вариант 3 ДС-41 1. Найдите предел функции *|т — 2 r х-+2 ъх2— х — 3 2. Вычислите: . 3*2 + 7.* + 2 , , У ~ х — 2 a) lim -— —— — ; б) lim — ------ ------. х-+—22х2 5х т-2 х-*4 j/~х -{- 5— 3 Вариант 4 ДС-41 1. Найдите предел функции: lim —~ — х-+—г 2х2 — Зх 2. Вычислите: . Зх2 +10х + 3 ^ 3 — V T a) lim --------—------- ; б lim - т — - — * ___ 3 2л:2 + 1х + 3 Ы К ^ - 5 - 2 Вариант 5 ДС-41 1. Найдите предел: п х sin— a) lim -------— ; б) lim У х2— 4х + 4. х - 2 cos2 Зх х -*—5 2л:2 + 5х + 2 2) Вычислите , бл:2+ х — 1' Т 127
  54. 54. 1. Найдите предел: л х sin — ________ a) lim — ; б) lim ]/x3+ 7. cos (x — 1) * -2 2. Вычислите: lim . х-*2 У х + 7 — 3 Вариант 6 ДС-41 Вариант 1 ДС-42 1. Найдите производную функции ср (х): а) ф (х) = У 5 х в ■ е~х б) ср (х) = ~ . In X 2. Найдите производную, пользуясь формулой дифференциро­ вания сложной функции: а) Н (х) = e,nsinЪх б) Н (х) = cos lg Зх. Вариант 2 ДС-42 1. Найдите производную функции <р (х): а) ср (х) = У З х 1 • е~2х б) ср (х) = Ctg л: 2. Найдите производную, пользуясь формулой дифференциро­ вания сложной функции: а) Н (х) = 10lgtgSx; б) Н (х) = sin In Вариант 3 ДС-42 1. Найдите производную функции / (х): а) / (х) = 3 cos4х + 4 sin3х; б) /(х) = ^ ~ / *. Зг— е*~ 2. Найдите производную функции: a) g (х) = ех>~х; б) g (х) = In ((xV'2 — l)17 + 2). 128
  55. 55. Вариант 4 ДС-42 1. Найдите производную функции / (х): р Х . р X а) / (*) = sin4X — COS4 Х б) /(х) — --------2------- • 2. Найдите производную' функции: а) g (х) — In In С*4 + *); б) 3. Вариант 5 ДС-42 1. Найдите производную функции © (х): а) 0 (х) = (sin х cos 4х + sin 4х cos л;)6; б) 0 (х) = 2 •* In л:2' 2. Найдите производную функций: а) -ф(х) = sin ех‘~х; б) ; (х) = lg (х^3 + 2х~1)5. Вариант 6 ДС-42 1. Найдите производную функции if (х): а) 0 (х) = (cos х cos Ъх + sin х sin 5л')4; б) 0 (х)= 3~х esmх 2) Найдите производную функции: a) if (х) = cos е>х *х’ ; б) f (х) — 2,X~ ')U, Вариант 1 ДС-43 Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции х'2+ Зх + 12 у = — !-------!— . * х — 1 Вариант 2 ДС-43 Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции х2— 4х + 4 у = ------------ !— . * X-f- 1 5 Заказ 48 129
  56. 56. Вариант 3 Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию х3— '2х2 ДС-43 У ~ ех Вариант 4 Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию In2х + 2 Inх У ~ х • ДС-43 Вариант 5 Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию X3— х'! У ~ е~х ДС-43 Вариант 6 ДС-43 Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию 2 in2 х + з In х Вариант 1 ДС-44 В полушар радиуса 3 вписан конус так, что вершина конуса ле­ жит в центре полушара. При каком радиусе основания этот конус будет иметь максимальный объем? 130
  57. 57. Вариант 2 ДС-44 В полушар радиуса 4 вписан цилиндр так, что плоскость основа­ ния цилиндра совпадает с плоскостью, ограничивающей полушар. Чему должна быть равна высота цилиндра, чтобы этот цилиндр имел наибольший объем? Вариант 3 ДС-44 Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра, который при заданном объеме имеет наименьшую полную поверх­ ность. Вариант 4 ДС-44 Найдите отношение высоты к радиусу основания конуса, кото­ рый при заданном объеме имеет наименьшую боковую поверхность. Вариант 5 ДС-44 Картина высоты 1,5 м повешена на стену так, что ее нижний край на 1,2 м выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен стать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения был наибольшим)? Вариант 6 ДС-44 Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен V, причем стороны основания относились бы как 2 : 3. Ка­ ковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей? 5*
  58. 58. МАТЕРИАЛ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЫ С УЧАЩИМИСЯ, ИНТЕРЕСУЮЩИМИСЯ МАТЕМАТИКОЙ Вариант 1 ДС-45 1. Найдите производную /' (х), если: а) / (х) = sin (Зх — 2) • cos х; б) / (х) = tg (х + 2) + ctg (Зх — 2). 2. Найдите предел 3. Напишите уравнение касательной к графику функции у = = sin (1 — 2х) в точке oj. 4. Напишите уравнение гармонического колебания, если диф­ ференциальное уравнение этого колебания у" = —4у, амплитуда равна ]/"3, а начальная фаза равна — . 8 Вариант 2 ДС-45 1. Найдите производную /' (х), если: а) / (*) = cos (4* + 3) ■ sin 2х; б) / (х) = ctg (х — 3) + tg (2х — 5). 2. Найдите предел lim - ^ X х-*0 4х 3. Напишите уравнение касательной к графику функции у = = cos (1 — Зх) в точке ; 1 4. Напишите уравнение гармонического колебания, если диф ференциальное уравнение этого колебания у" — — 9у, амплитуда равна ]/2 и начальная фаза равна 6 132
  59. 59. Вариант 1 ДС-46 1. Упростите ^ — pj sin + <xj + cos (я — P) sin (2я — a )cos sin (я + a — P) 2. Вычислите arccos (— K p ) + arcsin ( — -^ x ) + arctg (— У з ) . 3. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для ко­ торых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера­ венству |sin t |> —. 2 4. Решите уравнение 3 tg 2л: = ]/3. 5. Постройте график функции f (х) — 3 sin 2х. а) Укажите какой-нибудь промежуток, в котором функция возрастает от—ЗдоЗ; б) напишите два промежутка, в которых / (х) < 0. Вариант 2 ДС-46 1. Упростите cos ( — а ] cos + Р] + cos (я — а ) cos (2я — Р) sin ( у + а + Р 2. Вычислите arcs,„ ( - КЗГ) + arccos ( - i ? ) + arctg< _ 3. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для которых соответствующие значения тангенса удовлетворяют не­ равенству |tg/I > 2. 4. Решите уравнение 4 sin л: cos х — У З . 5. Постройте график функции / (х) = 2 cos —х. а) Укажите какой- нибудь промежуток, в котором функция убывает от 2 до —2; б) напишите два промежутка, в которых / (.х) > 0.
  60. 60. 1. Найдите cos + -j-j, если ctg а = 1 и я < а < - ^ . 2. Приведите к значениям тригонометрических функций наи­ меньшего положительного аргумента: a) cos 1839°; б) tg — . 8 3. Докажите тождество У 3 cos х — sin х = 2 cos ^ + x j. 4. Найдите экстремумы функции у = х — cos 2х. 5. Решите неравенство cos ^0,5х — j ■ Вариант 1 ДС-47 Вариант 2 ДС-47 ( ft ft а + — 1, если cos а — —0,5 и — < а < л . 2. Приведите к значениям тригонометрических функций наи­ меньшего положительного аргумента: 113 яa) sin 3856°; б) ctg - 7 3. Докажите тождество cos а + sin а — У 2 cos a j. 4. Найдите экстремумы функции у = х + sin 2х. I п Y~2 ~ 5. Решите неравенство sin (2х -f- — I ^ ------ Вариант 1 ДС-48 1. Найдите s (х), зная, что s' (х) — 6х2— 2х и что s (0) = 5. 31 2 2. Найдите j* (cos х — sin х)2 dx. о 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3; у — 0; х — —2. 134
  61. 61. 1. Найдите функцию, обращающуюся в нуль при х = 1, если про­ изводная от этой функции равна Зх2— 2х + 1. 1 2. Найдите J (У х— I)2dx. О 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями л л „ у = sin х; х = — - ; х = — ; у = 0. Вариант 2 ДС-43 Вариант 1 ДС-49 1. Найдите производную функции: а) у = 2 • 4х — 1/2; б) у = е2х • sin (1 — 2х). 2. Решите уравнение: а) 2'*"11 = 16 • 4~0'5; б) 3*+1 — 3* = 2. 3. Изобразите схематически график функции у = 0,9Х~3 и на­ пишите уравнение касательной в точке (3; 1). Вариант 2 ДС-49 1. Найдите производную функции: а) у = 3 • 9* — Y 3; б) у = е~2х+1 ■ cos 2х. 2. Решите уравнение: а) з^+ч = з-1 • 91-5; б) 2Х+1 + 2х = 3. 3. Изобразите схематически график функции у — (2,2) r+3 и напишите уравнение касательной в точке (— 3; 1). Вариант 1 ДС-50 1. Определите знаки чисел: a) log j я; б) In 0,8 — 0,8. "е” 2. Найдите область определения функции / (х) = In (х2 + Зх — — 28). Найдите производную /' (х). 3. Решите неравенство 1о£г (х — 5 )2 < lo g 2 (З х + I ) 2. 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = ех~1; у = 0; х = 0; х = 2.
  62. 62. 1. Определите знаки чисел: a) In (2е) — 1; б) log0,24 • log24,3. 2. Найдите область определения функции h (х) = In (8 — 2х — — х2). Найдите производную ti (х). 3. Решите неравенство logo,5 (х + 5)2 > log3>5 (Зх — I)2. 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х; у = 0; х — 0; х = 1. Вариант 1 ДС-51 1. Решите систему уравнений методом исключения переменных 2х + у — Зг = О Вариант 2 ДС-50 х + у + 2 = 3 3х 2у — z — 4. Найдите множество решений системы х ^ у 2 ху > 1 х ^ 2. Решите систему уравнений I 1 I 2+ у 2 * + log6у = —2. х ' + у = 5 11 Вариант 2 ДС-51 1. Решите систему уравнений методом исключения переменных З л: — у + z = О х + у + z = 2 2 л; у z = 3. 2. Найдите множество решений системы ' х < >’2 -v2+ у2 < 4 1у < 1. 3. Решите систему уравнений
  63. 63. 1. Решите неравенство In х2 < In 4х. 2. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо неравенство 3 + 6 + ... + 3 • 2"-1 = 3 • (2Л— 1). 3. Упростите выражение 1 — sin (0 ,5 я + .2 х )_______ cos (х — 2я ) + sin (1 -;'5л -j- Зл:) Может ли значение данного выражения быть 0,5? Ответ обосновать. 4. Напишите уравнение касательной, параллельной оси абсцисс, к графику функции у = е х+з е-х_ 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у — — —х2 + 4х и прямой у —. х. Вариант 1 ДС-5 2 Вариант 2 ДС-52 1. Решите неравенство In (—Зх) > In х2. 2. Докажите методом математической, индукции, чтошри любом натуральном п справедливо равенство —3 + 3 + ... + (6л — 9) = Зя2 — 6п. 3. Упростите выражение 1 — sin (2х + 1 ,5я ) sin (я — Зх) — sin (— х) Может ли значение данного выражения быть равным 0,5? Ответ обосновать. 4. Напишите уравнение касательной к графику функции у = = ех + ег~х, параллельной оси абсцисс. 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у — х? и у = У х .

×