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Aduni repaso algebra 1

Algebra 2015

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Álgebra
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3
NIVEL BÁSICO
1. Si se sabe que
F =



 +



 −




−




−
−




−
−



1
3
1
2
1
7
1
2
2 1
4
1 1
2

−







1 70
calcule
F
96
1




−
.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
2. Calcule el exponente final de b en
b b
b
n
nn nn
nn
3 1 3 1
1 3 29 2 1
+ −
−−
⋅
∈; Z+
A) 0 B) 1 C) n2
D) n E) 2
3. Al simplificar la expresión
3 3
9 9
x x
x x
−
−
−
−
se obtiene
A)
3
3 1
x
x
+
B)
3
3 1
−
−
+
x
x
C)
3
9 1
x
x
+
D)
3
9 1
x
x
−
E)
9
3 1
x
x
+
4. Si x x− =−1
2,
determine el valor de
x6
+x–6
A) 12 B) 36 C) 48
D) 52 E) 64
5. Sea el polinomio
P(x)=5x99
–25x98
+3x+1
Determine el valor de P(5).
A) 5 B) 10 C) 15
D) 16 E) 20
6. Si se sabe que el polinomio
P(x)=(x+1)(x–1)–xnn–1
–xn–1
es completo, determine º[P(x)]+n.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
7. Si la división
x ax a x a
x a
3 2 2 3
3 5 5+ + +
+
genera como resto 4, halle el valor de a5
.
A) 23 B) 43
C) 2
D) 2 23
E) 2 43
NIVEL INTERMEDIO
8. Si
S M=
⋅ ⋅
( ) ⋅
=
− − − −
45 4 49
120 21
216
2 4
2
27 9 4 2 1
,
determine el valor de S+M.
A) 50 B) 60 C) 90
D) 75 E) 85
Expresiones algebraicas
Álgebra
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4
Academia ADUNI Material Didáctico
9. Si
N
n n n
n
=
+ +
×
+ + +
2 2 2
14 2
3 2 1
M
n n n
n n n
=
+ +
+ +
+ + +
− − −
3 3 3
3 3 3
3 2 1
3 2 1
determine el valor de MNM M
.
A) 81 B) 1 C) 9
D) 27 E) 36
10. Calcule el exponente final de x en
x x x x
x x x x
41 29 61 6737131216
11 8 23 3037131216
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
11. Sabiendo que
a+b+c=0, ab+ac+bc=–7 y abc=–6
calcule el valor de
1 1 1
2 2 2
a b c
+ +
A) 18/36 B) 49/36 C) 29/36
D) 7/36 E) 7/6
UNMSM 2010-II
12. Si sen cosx x− =
−3 1
2
, entonces el valor de
senx+cosx es
A)
3 2
2
+
B)
2 3
3
+
C)
3 2
3
+
D)
2 3
2
+
E)
3 2
2
+
13. Determine un polinomio P(x) de segundo gra-
do y mónico, tal que
P(1+x)=P(1–x); P(0)=3
A) x2
+3 B) x2
+2x+3 C) x2
–2x+3
D) x2
–6x+3 E) x2
+6x+3
UNMSM 2010-II
14. Si se cumple que
P xQ x+( )+( ) ≡ +
1 2 3 1
P(x+2)≡2x+1
determine el valor de PQ 3( )( ).
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
15. Si se sabe que P(x), al ser dividido entre (x–1)
y (x+2), genera como restos 3 y 6, respectiva-
mente, determine el resto de dividir P(x) entre
x2
+x–2.
A) –x
B) x+1
C) –x+4
D) x+2
E) –x–1
16. Si el polinomio
P(x)=x4
+ax3
–bx2
+cx–1 es divisible entre
(x–1)(x+1)(x–2), el valor de a+b+c es
A) 8 B) 64 C) 27
D) 0 E) 1
NIVEL AVANZADO
17. Si x
k
=
+
32
2 1
, donde k ∈Z–{0},
determine el valor de x x+ 4
.
A) 3 3 12
2 1 2
2k k−
⋅ +( )
B) 3 32
2
2
2 2k k
+
−
C) 3 3 12
2
2
2 2k k
⋅ +( )−
D) 3 3 12
2 1 2
2 1k k− +
⋅ +( )
E) 3 3 12
2 1 2
2 1k k− −
⋅ +( )
UNMSM 2010-II
Álgebra
4
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5
Repaso Especial San Marcos Álgebra
18. Si
1 1 1
3
a b c
+ + = , donde a ≠ b ≠ c,
calcule el valor de
1 1 1
1
1
1
1
1
3 3 3
−


 +
−


 +
−



−



 −



 −
a
a
b
b
c
c
a b c
11




A) 4 B) 3 C) 1/3
D) –1 E) 2
19. Sea la expresión polinomial
Q(x+a)=2x2
–ax–2a2
+4, donde a ∈N.
Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de
las siguientes proposiciones.
I. ∑coef.(Q)=–4
II. T.I.(Q)=–4
III. ∑coef.(Q)+T.I.(Q)=8
A) FFV
B) FFF
C) VVF
D) VFF
E) FVV
20. Considerando que P(x) es un polinomio, el
cual cumple lo siguiente:
	 •	 º[P(x)]=3
	 •	 P(x) es divisible entre x2
+5.
	 •	 El	resto	de	dividir	P(x) entre x–1 es 18.
	 •	 P(x) es mónico.
determine el término independiente del poli-
nomio.
A) 5 B) 3 C) 10
D) 15 E) 2
Álgebra
5
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Academia ADUNI
02
SEMANA
Material Didáctico
NIVEL BÁSICO
1. Luego de resolver la ecuación lineal
3 55
275
3 86
122
3
x x−
+
−
=
determine la suma de cifras de la solución.
A) 5 B) 2 C) 3
D) 4 E) 6
2. Al resolver la ecuación en variable x
(x+1)+(x+3)+(x+5)+(x+2n–1)=144
se obtiene por conjunto solución CS={0}. Deter-
mine el valor de n.
A) 2 B) 10 C) 12
D) 6 E) 4
3. Respecto a la ecuación cuadrática
135x2
–225x=17(3x–5), señale la veracidad (V)
o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. Su CS = { }17
45
II. Su mayor solución es 5/3.
III. Su menor solución es 17/45.
A) FVV B) FFF C) VVV
D) FVF E) VFF
4. Sea la ecuación
3x2
–5x–7=0, donde CS={a; b}
Determine el valor de
α
β
β
α
+ .
A) −
4
21
B) −
3
7
C)
1
7
D) −
12
21
E) −
67
21
5. Luego de resolver la ecuación
x4
+3x3
–x2
–3x=0, indique la suma de solucio-
nes no positivas.
A) –1 B) –2 C) –3
D) –4 E) –5
6. Sea la ecuación
x3
–3x–1=0 de raíces a, b y c.
Determine el valor de
1 1 1 2 2 2
a b c
a
bc
b
ac
c
ab
+ + + + +
A) 0 B) 3 C) –3
D) 4 E) 5
NIVEL INTERMEDIO
7. Si la ecuación lineal en variable x
(a2
–36)x2
+(a–6)x+b=5 presenta por conjun-
to solución CS={2}, determine el valor de a+b.
A) 17 B) 6 C) –6
D) 11 E) 23
8. Si la ecuación
2013x2
–2x–5=0 presenta por raíces x1; x2, de-
termine el valor de
2013 2013 2011 20111
2
2
2
1 2x x x x+ + +
A) 2 B) 6 C) 4
D) 8 E) 12
9. En la ecuación
x2
–2(n+1)x+5n=0 con n ∈R,
determine la suma de valores de n, los cuales
verifican que la ecuación presenta raíces rea-
les e iguales.
A) 2 B) –1 C) –2
D) 1 E) 3
Ecuaciones polinomiales
Álgebra
6
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7
Repaso Especial San Marcos Álgebra
10. Dada la ecuación
x2
–3x+5=0 de raíces a; b,
reconstruya la ecuación cuadrática de raíces
(3a–1) y (3b–1).
A) x2
–3x+1=0
B) x2
–7x+1=0
C) x2
–33x+7=0
D) x2
–7x+37=0
E) x2
–5x+1=0
11. Dada la ecuación cuadrática
3x2
+(m+1)x+30=0 de raíces x1; x2, determine
la suma de valores de m que verifiquen que
x
x
1
2
2
5
=
A) –1 B) –2 C) 20
D) –22 E) –10
12. Si las ecuaciones cuadráticas
x2
–5x+a=0
x2
–ax+8=0; a ∈Z+
tienen a b como raíz común, donde 1 < b < 3,
determine el valor de a.
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 16
13. Dada la ecuación cuadrática con raíces com-
plejas imaginarias
3x2
+(m+2)x+m=–2
Halle el máximo valor entero que puede to-
mar m.
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
UNMSM 2007-II
14. Si las raíces de la ecuación
x3
–3x2
+ax+b=0 están en progresión aritmé-
tica de razón 2, determine el valor de ab
+ba
.
A) –2/3 B) 1/3 C) –1/3
D) 2/3 E) –1
NIVEL AVANZADO
15. Si a es solución de la ecuación
x2
–x–1=0, además, la ecuación en variable x
x x
b
−
+
−
=
3
2
1
3
presenta como conjunto solución
CS = +






α
α
2
2
1
determine el valor de 3
2 1
2
b
a
( )
+
α
.
A) 2 B) 4 C) 8
D) 16 E) 32
16. La ecuación paramétrica de incógnita x
(a–36b)x=c–2 presenta infinitas soluciones.
Determine el valor de a+c si se sabe que
b = + + + +
1
2
1
6
1
12
1
35 36
...
( )
A) 35 B) 37 C) 39
D) 36 E) 32
17. Si las ecuaciones en variable x
2 3
355
2
4123
312x x−
+
−
=
x2
–4x+a=0
son equivalentes, determine el valor de a.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

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  • 2. Álgebra 2 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 3 NIVEL BÁSICO 1. Si se sabe que F =     +     −     −     − −     − −    1 3 1 2 1 7 1 2 2 1 4 1 1 2  −        1 70 calcule F 96 1     − . A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. Calcule el exponente final de b en b b b n nn nn nn 3 1 3 1 1 3 29 2 1 + − −− ⋅ ∈; Z+ A) 0 B) 1 C) n2 D) n E) 2 3. Al simplificar la expresión 3 3 9 9 x x x x − − − − se obtiene A) 3 3 1 x x + B) 3 3 1 − − + x x C) 3 9 1 x x + D) 3 9 1 x x − E) 9 3 1 x x + 4. Si x x− =−1 2, determine el valor de x6 +x–6 A) 12 B) 36 C) 48 D) 52 E) 64 5. Sea el polinomio P(x)=5x99 –25x98 +3x+1 Determine el valor de P(5). A) 5 B) 10 C) 15 D) 16 E) 20 6. Si se sabe que el polinomio P(x)=(x+1)(x–1)–xnn–1 –xn–1 es completo, determine º[P(x)]+n. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. Si la división x ax a x a x a 3 2 2 3 3 5 5+ + + + genera como resto 4, halle el valor de a5 . A) 23 B) 43 C) 2 D) 2 23 E) 2 43 NIVEL INTERMEDIO 8. Si S M= ⋅ ⋅ ( ) ⋅ = − − − − 45 4 49 120 21 216 2 4 2 27 9 4 2 1 , determine el valor de S+M. A) 50 B) 60 C) 90 D) 75 E) 85 Expresiones algebraicas
  • 3. Álgebra 3 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 4 Academia ADUNI Material Didáctico 9. Si N n n n n = + + × + + + 2 2 2 14 2 3 2 1 M n n n n n n = + + + + + + + − − − 3 3 3 3 3 3 3 2 1 3 2 1 determine el valor de MNM M . A) 81 B) 1 C) 9 D) 27 E) 36 10. Calcule el exponente final de x en x x x x x x x x 41 29 61 6737131216 11 8 23 3037131216 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. Sabiendo que a+b+c=0, ab+ac+bc=–7 y abc=–6 calcule el valor de 1 1 1 2 2 2 a b c + + A) 18/36 B) 49/36 C) 29/36 D) 7/36 E) 7/6 UNMSM 2010-II 12. Si sen cosx x− = −3 1 2 , entonces el valor de senx+cosx es A) 3 2 2 + B) 2 3 3 + C) 3 2 3 + D) 2 3 2 + E) 3 2 2 + 13. Determine un polinomio P(x) de segundo gra- do y mónico, tal que P(1+x)=P(1–x); P(0)=3 A) x2 +3 B) x2 +2x+3 C) x2 –2x+3 D) x2 –6x+3 E) x2 +6x+3 UNMSM 2010-II 14. Si se cumple que P xQ x+( )+( ) ≡ + 1 2 3 1 P(x+2)≡2x+1 determine el valor de PQ 3( )( ). A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 15. Si se sabe que P(x), al ser dividido entre (x–1) y (x+2), genera como restos 3 y 6, respectiva- mente, determine el resto de dividir P(x) entre x2 +x–2. A) –x B) x+1 C) –x+4 D) x+2 E) –x–1 16. Si el polinomio P(x)=x4 +ax3 –bx2 +cx–1 es divisible entre (x–1)(x+1)(x–2), el valor de a+b+c es A) 8 B) 64 C) 27 D) 0 E) 1 NIVEL AVANZADO 17. Si x k = + 32 2 1 , donde k ∈Z–{0}, determine el valor de x x+ 4 . A) 3 3 12 2 1 2 2k k− ⋅ +( ) B) 3 32 2 2 2 2k k + − C) 3 3 12 2 2 2 2k k ⋅ +( )− D) 3 3 12 2 1 2 2 1k k− + ⋅ +( ) E) 3 3 12 2 1 2 2 1k k− − ⋅ +( ) UNMSM 2010-II
  • 4. Álgebra 4 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 5 Repaso Especial San Marcos Álgebra 18. Si 1 1 1 3 a b c + + = , donde a ≠ b ≠ c, calcule el valor de 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 −    + −    + −    −     −     − a a b b c c a b c 11     A) 4 B) 3 C) 1/3 D) –1 E) 2 19. Sea la expresión polinomial Q(x+a)=2x2 –ax–2a2 +4, donde a ∈N. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. ∑coef.(Q)=–4 II. T.I.(Q)=–4 III. ∑coef.(Q)+T.I.(Q)=8 A) FFV B) FFF C) VVF D) VFF E) FVV 20. Considerando que P(x) es un polinomio, el cual cumple lo siguiente: • º[P(x)]=3 • P(x) es divisible entre x2 +5. • El resto de dividir P(x) entre x–1 es 18. • P(x) es mónico. determine el término independiente del poli- nomio. A) 5 B) 3 C) 10 D) 15 E) 2
  • 5. Álgebra 5 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 6 Academia ADUNI 02 SEMANA Material Didáctico NIVEL BÁSICO 1. Luego de resolver la ecuación lineal 3 55 275 3 86 122 3 x x− + − = determine la suma de cifras de la solución. A) 5 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 2. Al resolver la ecuación en variable x (x+1)+(x+3)+(x+5)+(x+2n–1)=144 se obtiene por conjunto solución CS={0}. Deter- mine el valor de n. A) 2 B) 10 C) 12 D) 6 E) 4 3. Respecto a la ecuación cuadrática 135x2 –225x=17(3x–5), señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Su CS = { }17 45 II. Su mayor solución es 5/3. III. Su menor solución es 17/45. A) FVV B) FFF C) VVV D) FVF E) VFF 4. Sea la ecuación 3x2 –5x–7=0, donde CS={a; b} Determine el valor de α β β α + . A) − 4 21 B) − 3 7 C) 1 7 D) − 12 21 E) − 67 21 5. Luego de resolver la ecuación x4 +3x3 –x2 –3x=0, indique la suma de solucio- nes no positivas. A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5 6. Sea la ecuación x3 –3x–1=0 de raíces a, b y c. Determine el valor de 1 1 1 2 2 2 a b c a bc b ac c ab + + + + + A) 0 B) 3 C) –3 D) 4 E) 5 NIVEL INTERMEDIO 7. Si la ecuación lineal en variable x (a2 –36)x2 +(a–6)x+b=5 presenta por conjun- to solución CS={2}, determine el valor de a+b. A) 17 B) 6 C) –6 D) 11 E) 23 8. Si la ecuación 2013x2 –2x–5=0 presenta por raíces x1; x2, de- termine el valor de 2013 2013 2011 20111 2 2 2 1 2x x x x+ + + A) 2 B) 6 C) 4 D) 8 E) 12 9. En la ecuación x2 –2(n+1)x+5n=0 con n ∈R, determine la suma de valores de n, los cuales verifican que la ecuación presenta raíces rea- les e iguales. A) 2 B) –1 C) –2 D) 1 E) 3 Ecuaciones polinomiales
  • 6. Álgebra 6 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 7 Repaso Especial San Marcos Álgebra 10. Dada la ecuación x2 –3x+5=0 de raíces a; b, reconstruya la ecuación cuadrática de raíces (3a–1) y (3b–1). A) x2 –3x+1=0 B) x2 –7x+1=0 C) x2 –33x+7=0 D) x2 –7x+37=0 E) x2 –5x+1=0 11. Dada la ecuación cuadrática 3x2 +(m+1)x+30=0 de raíces x1; x2, determine la suma de valores de m que verifiquen que x x 1 2 2 5 = A) –1 B) –2 C) 20 D) –22 E) –10 12. Si las ecuaciones cuadráticas x2 –5x+a=0 x2 –ax+8=0; a ∈Z+ tienen a b como raíz común, donde 1 < b < 3, determine el valor de a. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16 13. Dada la ecuación cuadrática con raíces com- plejas imaginarias 3x2 +(m+2)x+m=–2 Halle el máximo valor entero que puede to- mar m. A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 UNMSM 2007-II 14. Si las raíces de la ecuación x3 –3x2 +ax+b=0 están en progresión aritmé- tica de razón 2, determine el valor de ab +ba . A) –2/3 B) 1/3 C) –1/3 D) 2/3 E) –1 NIVEL AVANZADO 15. Si a es solución de la ecuación x2 –x–1=0, además, la ecuación en variable x x x b − + − = 3 2 1 3 presenta como conjunto solución CS = +       α α 2 2 1 determine el valor de 3 2 1 2 b a ( ) + α . A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32 16. La ecuación paramétrica de incógnita x (a–36b)x=c–2 presenta infinitas soluciones. Determine el valor de a+c si se sabe que b = + + + + 1 2 1 6 1 12 1 35 36 ... ( ) A) 35 B) 37 C) 39 D) 36 E) 32 17. Si las ecuaciones en variable x 2 3 355 2 4123 312x x− + − = x2 –4x+a=0 son equivalentes, determine el valor de a. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
  • 7. Álgebra 7 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 8 Academia ADUNI Material Didáctico 18. ¿Cuál es el valor de la suma de las imáge- nes según P(x)=x2 –2x+1 de las raíces de Q(x)=x2 +x–1? A) 3 5 8 B) 7 C) 5 D) 10 E) 0 19. Para la ecuación x3 –5x2 +5x+a+b=0, donde {a; b} ⊂ Z se tiene que una raíz es 2 3+ . Según ello, de- termine el valor de (a+b)2014 . A) 1 B) 0 C) –1 D) 4 E) 2 20. Si la ecuación ax3 +bx2 +3x+2=0, donde {a; b} ⊂ Z tiene una raíz de la forma 3 8− , determine el valor de 6a+b. A) 2 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5
  • 8. Álgebra 8 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 9 Repaso Especial San Marcos Álgebra 03 SEMANA NIVEL BÁSICO 1. Luego de resolver la siguiente ecuación frac- cionaria 1 2 2 1 22 3 2 2 x x x x x x x− + − − = − determine el cardinal del conjunto solución solución. A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1 2. Resuelva la ecuación 1 1 1 1 2 1 3 4 1 48 49 49 50 − − + − − + − − + + − − = x x x x x x x x ( ) ( )( ) ( )( ) ... ( )( ) Luego indique el cardinal del conjunto solución. A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1 3. Si el par (2; b) es solución del sistema de incóg- nitas x e y 2 3 5 x y a x y a − = + = +    determine el valor de a–2b . A) 5 2 B) 2 5 C) 1 2 D) − 8 125 E) 8 125 4. Determine el menor valor de a+b, de modo que el sistema de incógnitas x e y ( )a x y b x ay + + = + =    1 2 3 presente infinitas soluciones. A) –1 B) –3 C) –4 D) –5 E) 7 5. El sistema de ecuaciones 2 2 32 3 3 81 x by ax bx y ay + − = =        tiene solución única (x; y) si y solamente si A) a ≠ b B) a2 –b2 ≠1 C) a=b D) a2 +b2 ≠1 E) a2 –b2 =1 6. Respecto a la suma combinatoria S C C= +2 5 2 4 se puede afirmar que A) S es un cuadrado perfecto. B) S+1 es un número par. C) S es un número impar. D) S es primo. E) S+3 es un múltiplo de 4. NIVEL INTERMEDIO 7. Resuelva la ecuación fraccionaria 4 6 10 6 10 4 6 9 6 9 2 2 2 2 x x x x x x x x − + + + = − + + + Luego indique la suma de soluciones. A) 4 B) 9 C) 3 D) 6 E) 12 8. Luego de resolver la ecuación x x x x x x x x 2 2 7 2 2 7 3 7 2 5 2 5 3 7 2 + + + + + + + + + = indique lo correcto. A) La solución es impar. B) La solución es un cuadrado perfecto. C) La solución es mayor que 2. D) La solución es negativa. E) La solución es múltiplo de 3. Tópicos de álgebra I
  • 9. Álgebra 9 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 10 Academia ADUNI Material Didáctico 9. Si el siguiente sistema de incógnitas x e y 2 3 5 3 3 3 2 x y x y ax y a − = − − = − = +      tiene solución única, determine el valor de a2 . A) 9 B) 10 C) 100 D) 11 E) 121 10. Si x e y son números enteros positivos que satisfacen el sistema x y x x x y xy x y + + + = − − =      6 6 5 2 9 halle el valor de 13x+9y. A) 103 B) 104 C) 105 D) 102 E) 106 UNMSM 2010-I 11. Si x es un número real, tal que el término cen- tral del desarrollo de 2 3 3 2 12 −     x es 924, halle el valor de 1+x2 +x4 +x6 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16 12. Halle el término que carece de variable en el desarrollo del binomio. (x–2 +2x)9 A) C4 9 B) 6 3 9 C C) 64 6 9 C D) 128 7 9 C E) 12 5 9 C NIVEL AVANZADO 13. Luego de resolver la ecuación x x x x x x 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 6 − −     + +     + +     + +     + + ...    =8 dé como respuesta el cardinal del conjunto solución. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 14. Se define la operación matemática S#C=S+C+8. Luego de resolver la ecuación en variable x x a x a a x a x # # # # − − − = − − − 8 8( ) ( ) ( ) ( ) indique lo correcto. A) Si a=4,entonces CS ≠ f. B) Si a=8,entonces CS=f. C) Si a ≠ 4,entonces CS=f. D) Si a ≠ 8,entonces CS=f. E) Si a ≠ 4,entonces CS={4}. 15. Para el siguiente sistema de incógnitas x e y ax y x a y − =− + + =−    6 2 3 2 3( ) se tiene que su conjunto solución viene dado por CS={(x; y)/x < 0 ∧ y > 0} Determine la suma de valores enteros no ne- gativos de a. A) 2 B) 8 C) 1 D) 3 E) 5 16. En el siguiente sistema x y z x y z x y z + + = + − = + + =      2 3 9 3 2 5 2 2 4 4 halle el valor de (x+y+z)z . A) 3 B) 1/3 C) 1 D) 1/2 E) 4 17. Halle el menor valor positivo de q para que el sistema de incógnitas x e y (sen ) ( cos ) θ θ x y x y − = + =    0 4 0 tenga más de una solución. A) 165º B) 105º C) 75º D) 225º E) 120º
  • 10. Álgebra 10 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 11 Repaso Especial San Marcos Álgebra 18. Si 30 3 20 7 8 2 0 30 0 20 k k n k k k k k    ⋅      +    ⋅       =    = = ∑ ∑  = ∑ k n 0 2 halle el valor de n, (n ∈N). A) 31 B) 19 C) 29 D) 32 E) 27 UNMSM 2009-II 19. Luego de resolver el sistema ( )( )x y x y − + = + =    2 3 5 5 determine el valor de ab , donde a=menor valor de x b=menor valor de y A) 4 B) 5 C) 1/2 D) 1/3 E) 1/9 20. Si x e y son números reales que satisfacen el sistema x y xy x y xy + − = + + =     7 1332 2 halle el valor de x–y. A) 13 B) 9 C) 5 D) 7 E) 4 UNMSM 2012-II
  • 11. Álgebra 11 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 12 Academia ADUNI Material Didáctico 04 SEMANA NIVEL BÁSICO 1. Se definen los conjuntos A={x ∈Z+ /x5 –13x3 =–36x} B={x ∈Z/(x+1) ∈A} Determine el cardinal de (A B) ∪ (B A). A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 0 2. Sean los conjuntos A x x B x x m m = ∈ ∈{ } = ∈ = ∈{ } Z N R N 15 5/ ; Determine la cantidad de elementos de A ∩ B. A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 0 3. Si {a, b y c} ⊂ R+ verifica 1 3 3 ≤ + + abc a b c determine el valor de ( )a b c abc + + 3 3 A) 1 B) 9 C) 4 D) 2 E) 5 4. Halle el mayor valor de E=3x+2y, donde x e y son los valores enteros que satisfacen el si- guiente sistema de inecuaciones. 3 17 2 5 2 7 1 x y x y x < + + < >      A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1 5. Halle la suma de los enteros que verifican si- multáneamente las siguientes inecuaciones. 4 5 7 3 3 8 4 2 5 x x x x − < + ∧ − > + A) –30 B) –21 C) 10 D) 14 E) –8 6. Determine la cantidad de números enteros po- sitivos que verifican que su cuadrado no sea mayor que su séxtuplo disminuido en 5. A) 1 B) 5 C) 4 D) 2 E) 0 7. Halle el menor número real M, tal que se cum- ple que 6+6x–x2 ≤ M; ∀ x ∈R A) 14 B) 13 C) –15 D) 15 E) 16 8. Si a < 0 < b, entonces el conjunto solución de la inecuación ax b x ab − + >0 es A) 〈ab; –ab〉 B) −∞ ∪ − +∞; ; b a ab C) − −a b a ; D) b a ab; − E) ab b a ; − Tópicos de álgebra II
  • 12. Álgebra 12 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 13 Repaso Especial San Marcos Álgebra NIVEL INTERMEDIO 9. Se definen los conjuntos A={x ∈Z/(x–1)(2x2 +3x–2)=0} B={x ∈R/7x–6 < 3x–2 < 5x+2} Determine A ∪ B. A) 〈–2; 1〉 B) [–2; 1] C) 〈–3; 1〉 D) [–3; 1〉  E) R 10. Entre 3 cazadores A, B, C reúnen más de 8 leo- nes; pero B piensa adquirir 4 leones más, con lo que tendrá más leones que entre A y C, ade- más, se sabe que B tiene menos leones que C y los que este tiene no llegan a 5. ¿Cuántos leones tiene cada cazador, respectivamente? A) 2; 3; 4 B) 4; 2; 3 C) 4; 3; 2 D) 3; 3; 4 E) 3; 2; 4 11. Determine el máximo valor que alcanza la si- guiente expresión. 49 14 562 x x− + A) 11 B) 2 C) 5 D) 7 E) 9 12. De los gráficos, se deduce que A) pesa menos que B) pesa más que C) pesa más que D) pesa más que E) pesa menos que UNMSM 2007-II 13. Sean los conjuntos A={x ∈R/x2 ≤ 25} B={x ∈R/x2 –4x ≥ 0} Determine la cantidad de valores enteros de A ∪ BC . A) 1 B) 2 C) 0 D) 4 E) 3 14. La inecuación x2 –2bx–c < 0 tiene como conjunto solución CS=〈–3; 5〉. Halle b+c. A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 15. Determine el conjunto solución de x b x a a b − − < si 0 < a < b. A) 〈a; b〉 B) 〈b; a+b〉 C) 〈a; a+b〉 D) 〈a–b; a+b〉 E) 〈0; b〉 16. Si A es el conjunto solución de la inecuación irracional x x− ≥ −1 3 1, determine la canti- dad de elementos del conjunto AC ∩ Z+ . A) 7 B) 10 C) 9 D) 8 E) 11 NIVEL AVANZADO 17. Si a > 0, resuelva x a x a a − + + + > 1 2 1 2 A) 〈a; a+1〉 B) 〈a; 1〉 C) 〈a;+∞〉 D) 〈a+1; +∞〉 E) 〈–∞; a〉
  • 13. Álgebra 13 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 14 Academia ADUNI Material Didáctico 18. Si 3 1 2 x+ −     pertenece al intervalo 7 2 11 2 ;  , en- tonces el intervalo al cual pertenece x x + +     1 2 es A) [1; 2〉 B) 3 2 5 2 ;   C) −   2 3 7 ; D) −   1 1 7 ; E) −   3 3 7 ; 19. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las siguientes proposiciones. I. Si a b b a > ∧− > → <0 0 1 1 II. Si a > 0 ∧ –b > 0 →  b(b–a) > 0 III. Si a b a b ab > ∧− < → −    >0 0 0 IV. Si a < b → bc < ac; ∀ a > 0; b > 0; c > 0 A) VVFF B) VVVF C) FVVF D) VFVV E) VFFF UNMSM 2003 20. Luego de resolver la inecuación irracional 2 6 7 2x x+ ≥ + + , halle la suma de los dígitos de la menor solución. A) 29 B) 11 C) 5 D) 9 E) 10
  • 14. Álgebra 14 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 15 Repaso Especial San Marcos Álgebra 05 SEMANA NIVEL BÁSICO 1. Si –3 < x < 1, determine la variación de S=|x+5|–|7–x| A) 〈–4; 0〉  B) 〈–4; 1〉     C) 〈–6; 2〉 D) 〈–6; 1〉            E) 〈–8; 0〉 2. Luego de resolver la ecuación |3x–15|+|2x–10|+|25–5x|=30 indique como respuesta la suma de soluciones. A) 10 B) 2 C) 8 D) 4 E) 6 3. Si se sabe que a y b son raíces de 3x2 –2x–7=0, determine el valor de 6 14 ab a b ( ) +log ( ) . A) 7/3 B) 2/3 C) 5/3 D) 1 E) 2 4. Si se sabe que log25=a, entonces el valor de log4016 es A) 4 a B) 4 3+a C) 2 a D) 4 1+a E) 2 1+a 5. Si se sabe que x bc ac ab a b c a b c = + + + + + { }⊂ + 1 1 1 1 1 1 log log log ; , , R reduzca la siguiente expresión. log log log ... log 6 6 6 5 6 6 7 7 8 x x x x x x + +     + + +     + + +     + + 66 34 35 x x + +     A) 1 B) –1 C) 2 D) 4 E) 3 6. Sea la función cuadrática f(x)=2x2 –8x+1; x ∈R Determine el menor valor del Ran(f). A) –7 B) –3 C) 8 D) 5 E) 7 7. Si f={(2; 9), (2; n2 ), (n; 3)(3; 5)} es una función, determine n(Dom(f))+n(Ran(f))+n A) 0 B) –3 C) 1 D) 2 E) 9 NIVEL INTERMEDIO 8. ¿Cuántas soluciones reales tiene la siguiente ecuación? (x2 –7|x|–8)(|x2 –4x|–2)=0. A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6 9. Indique el conjunto solución de 1 2 1 1 3 1x x+ ≤ − A) R–[0; 2] B) R–〈0; 2〉 C) 0 2 1 3 ;[ ]−{ } D) 〈0; 2〉–{1} E) R− −{ }1 3 1 2 ; 10. Si log3272 +log3276 +log32712 +...+log327n(n+1) =1320 el valor de n es A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 Tópicos de álgebra III
  • 15. Álgebra 15 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 16 Academia ADUNI Material Didáctico 11. El logaritmo de A en base 7 es igual al logarit- mo de B en base 73 . Además A·B=16. Halle el valor de A+B. A) 10 B) 2 C) 8 D) 4 E) 6 12. Simplifique las expresiones P y x y =( ) + +     27 2 3 3 3 log log Q x y x =( ) + +     9 3 3 2 3 log log Dé como respuesta P+Q. A) 9x+27y B) x+y C) 27x+9y D) 9x–27y E) 27x–9y 13. Se define la relación binaria R={(x; y) R2 /|x – 3| ≤ 5 ∧ |y+1| ≤ 2} Determine el área de la región formada por R. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 14. Sea f: R– → R, tal que f x xx( ) = + 4 . Determine el valor de n f C Ran ∩( )− Z0 . A) 2 B) 1 C) 4 D) 3 E) 0 NIVEL AVANZADO 15. Si 0 < a <1, entonces indique dos valores que satisfacen la ecuación |x2 –2x|=a A) − + + − +1 1 1 1a ay B) − + + − +1 2 1 1 2 1a ay C) 1 1 1 1+ − − − −a ay D) 1 1 1 1+ + − −a ay E) 2 2 2 2+ + − +a ay UNMSM 2004-I 16. Sean los conjuntos A={x ∈R/(x–5)2 –3|x–5|–18 < 0} B x x = ∈ − ∈         R 1 2 1 1 12 1 3 ; Entonces AC ∪ BC es A) R B) R−   2 13 2 ; C) R−  2 13 2 ; D) R–{1} E) − −   ∪    11 2 1 2 13 2 ; ; 17. Si log2=a y log3=b, determine el valor de log0,2300 en términos de a y b. A) b a + − 2 1 B) b a + − 1 2 C) 2 1 a b + D) a b a + − − 1 2 E) b a − + 2 1
  • 16. Álgebra 16 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 17 Repaso Especial San Marcos Álgebra 18. Sean b > 1, senx > 0, cosx > 0 y logb(senx)=a. Halle logb(cosx). A) 1 2 1 2 logb a b+( ) B) 2 1 2logb a b−( ) C) 1 2 12 logb a b −( ) D) 2logb(1–b2a ) E) 1 2 1 2 logb a b−( ) UNMSM 2005-I 19. Dada la función f={(x; x2 +2x)/–2 < x ≤ 3} Halle Dom(f) ∩ Ran(f). A) 〈0; 2] B) [–1; 3] C) 〈–2; 2] D) 〈0; 3] E) [1; 2] 20. Para la función f x xx( ) = + − 1 2 se sabe que el Ran(f)=〈–∞; –1] Determine el Dom(f). A) R+ –{2} B) R–{2} C) 〈2; +∞〉 D) 〈2; 4〉          E) 〈–∞; 2〉
  • 17. Álgebra 17 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 18 Academia ADUNI Material Didáctico 06 SEMANA NIVEL BÁSICO 1. Sea la función f(x)=ax3 +b cuya gráfica se muestra X Y 16 –2 Halle f(1). A) 4 B) 2 C) 6 D) 18 E) 16 2. Halle la función lineal cuya gráfica se interseca con la circunferencia (x–2)2 +(y–4)2 =16 en los puntos (2; a) y (6; b), donde a > 0; b > 0. A) y=x–2 B) y=–x+10 C) y=–x+8 D) y=2x+4 E) y x = − 2 3 3. Represente la gráfica de la función y=f(x)=2x2 –4x+5, en x > –3 A) X Y 3 1 B) X Y 3 3 C) X Y 3 3–3 D) X Y 3 2 E) X Y 3 1–3 4. Sea la gráfica de la parábola Y 5 y=f(x) 3 2 X Halle f(1). A) 4 B) 9/2 C) 6 D) 18 E) 16 5. La figura es un esbozo del gráfico de la función definida por y=log(a+b)(x–b). Indique el valor de a/b. Y 2 a 3a X A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 6. Determine la longitud del conjunto solución de la siguiente inecuación. x x x x − +( ) < − +( )− + 1 11 1 11 3 2 1 , , A) 4 B) 1/2 C) 6 D) 18 E) 16 7. Halle la cantidad de soluciones enteras de la ecuación log3x3 +5logx3=8 A) 4 B) 3 C) 0 D) 2 E) 1 Funciones
  • 18. Álgebra 18 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 19 Repaso Especial San Marcos Álgebra 8. Resuelva la inecuación 9x –13·3x +30 ≤ 0 A) [log32; log310] B) 〈log32; log310〉 C) [0; log310] D) [3; 10] E) [1; log310] NIVEL INTERMEDIO 9. La figura representa los gráficos de las funciones f(x)=x3 –x, g(x)=ax+b, {a, b} ⊂ R Indique el producto de ab. Y X–1 2 A) 6 B) –2 C) –4 D) 4 E) 2 10. De acuerdo con las gráficas, halle el área de la región sombreada. Y 4 5 xy= q p0 X Y q p y=x2 0 X A) 16 25 B) 64 25 C) 128 125 D) 16 125 E) 32 125 11. La figura es un esbozo de la función f(x)=–x2 +2x. El lado del cuadrado inscrito ABCD es igual a BA C D A) 2 1 3 +    u B) 2 2 1−( ) u C) 6 4     u D) 3 1−( ) u E) 4 5 2−( ) u 12. Dada la función f xx x x( ) log log= + −+3 3 3 determine la longitud de uno de los intervalos del conjunto solución. A) 1 B) 2 C) 4 D) 3 E) 5 13. Dada la función f: 〈1; +∞〉 → R, tal que f x xx( ) log= + −    1 3 1 1 Halle el rango. A) [3; 5] B) 〈–∞; –1] C) 〈–∞; 1] D) [3; 10] E) [1; log310]
  • 19. Álgebra 19 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 20 Academia ADUNI Material Didáctico 14. Considere las funciones reales f(x)=2logx y g(x)=log(2x) en sus respectivos dominios. Respecto al gráfico de f, g, es correcto afirmar que A) no se intersecan. B) se intersecan en un punto. C) se intersecan en dos puntos. D) se intersecan en tres puntos. E) se intersecan en infinitos puntos. 15. Si los números enteros x e y satisfacen la ecua- ción 3x+1 +2y =2y+2 –3x indique el valor de 3x . A) 3 B) 1/3 C) 1/9 D) 1 E) 9 NIVEL AVANZADO 16. Si la figura es el gráfico de la función y=P(x), donde P(x) es un polinomio, se puede afirmar que P(x) es divisible entre –2 3 Y X A) (x+3)(x–2) B) (x+2)(x+3) C) x+3 D) x–2 E) (x+2)(x–3) 17. Indique el mínimo valor que asume la función f x x ( ) =     − 1 2 2 2 A) 1/4 B) 8 C) 1/8 D) 4 E) 1/2 18. Una función cuadrática y=f(x)=ax2 +bx+c toma valores negativos (y < 0) solamente para –1 < x < 2. Dado f(3)=10, la ordenada del pun- to donde el gráfico de la función interseca al eje OY es A) –3 B) –6 C) –2 D) –4 E) –5 19. En la figura, los puntos D y E pertenecen al grá- fico de la función y=logax, donde a > 1. Sean B(m·0), C(m+1,0) y A(m–1,0). El valor de m, para que el área del trapecio BCDE sea el triple del área del triángulo ABE, es A) 1 5+ A Y X E BA y=loga x C D B) 1 2 2 5+ C) 1 2 5 2 + D) 1 5 2 + E) 1 2 5+ 20. Al resolver la desigualdad log5 21 2 3 35 8 0x x− +     < determine la suma de todos los números x en- teros que la satisfacen. A) 10 B) 8 C) 2 D) 6 E) 4
  • 20. 01 - B 02 - B 03 - C 04 - D 05 - D 06 - E 07 - E 08 - C 09 - A 10 - B 11 - B 12 - D 13 - C 14 - C 15 - C 16 - D 17 - E 18 - B 19 - E 20 - C 01 - B 02 - B 03 - C 04 - D 05 - D 06 - E 07 - E 08 - C 09 - A 10 - B 11 - B 12 - D 13 - C 14 - C 15 - C 16 - D 17 - E 18 - B 19 - E 20 - C Expresiones algebraicas 01 - B 02 - C 03 - A 04 - E 05 - D 06 - A 07 - E 08 - E 09 - E 10 - D 11 - B 12 - C 13 - B 14 - A 15 - C 16 - B 17 - D 18 - B 19 - A 20 - A 01 - B 02 - C 03 - A 04 - E 05 - D 06 - A 07 - E 08 - E 09 - E 10 - D 11 - B 12 - C 13 - B 14 - A 15 - C 16 - B 17 - D 18 - B 19 - A 20 - A Ecuaciones polinomiales 01 - E 02 - B 03 - E 04 - D 05 - B 06 - A 07 - A 08 - D 09 - E 10 - C 11 - B 12 - C 13 - A 14 - E 15 - C 16 - B 17 - B 18 - C 19 - E 20 - c 01 - E 02 - B 03 - E 04 - D 05 - B 06 - A 07 - A 08 - D 09 - E 10 - C 11 - B 12 - C 13 - A 14 - E 15 - C 16 - B 17 - B 18 - C 19 - E 20 - c Tópicos de álgebra I 01 - D 02 - D 03 - B 04 - B 05 - B 06 - B 07 - D 08 - D 09 - B 10 - A 11 - D 12 - B 13 - E 14 - A 15 - C 16 - C 17 - D 18 - B 19 - A 20 - B 01 - D 02 - D 03 - B 04 - B 05 - B 06 - B 07 - D 08 - D 09 - B 10 - A 11 - D 12 - B 13 - E 14 - A 15 - C 16 - C 17 - D 18 - B 19 - A 20 - B Tópicos de álgebra II 01 - E 02 - A 03 - B 04 - B 05 - B 06 - A 07 - E 08 - E 09 - C 10 - D 11 - A 12 - A 13 - D 14 - C 15 - D 16 - B 17 - A 18 - E 19 - B 20 - C 01 - E 02 - A 03 - B 04 - B 05 - B 06 - A 07 - E 08 - E 09 - C 10 - D 11 - A 12 - A 13 - D 14 - C 15 - D 16 - B 17 - A 18 - E 19 - B 20 - C Tópicos de álgebra III 01 - D 02 - B 03 - E 04 - B 05 - B 06 - B 07 - E 08 - E 09 - D 10 - E 11 - B 12 - A 13 - B 14 - B 15 - A 16 - E 17 - A 18 - E 19 - C 20 - D 01 - D 02 - B 03 - E 04 - B 05 - B 06 - B 07 - E 08 - E 09 - D 10 - E 11 - B 12 - A 13 - B 14 - B 15 - A 16 - E 17 - A 18 - E 19 - C 20 - D Funciones Repaso Especial SM