Capitolo 1 richiami mat. finanziaria

Finanza Computazionale

Corso di Laurea in Scienze di Internet
Anno Accademico 2003-2004
Giovanni Della Lunga

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE

Finanza Computazionale

Il Valore Finanziario del Tempo
Richiami di Matematica Finanziaria


Il valore finanziario del Tempo
Operazioni Finanziarie
Tassi di interesse e di sconto
Leggi di Capitalizzazione
Tassi di interesse nominali e tassi
equivalenti
Intensità di Interesse
Il Tasso Interno di Rendimento
Creazione di Scadenzari








Nel linguaggio comune si parla di inflazione
ogniqualvolta varia nel tempo il potere di acquisto
della moneta all’interno del paese in cui ha corso
legale.
La determinazione quantitativa del potere di
acquisto della moneta presenta non poche difficoltà
e incertezze.
Risulta pertanto opportuno iniziare lo sviluppo delle
tematiche finanziarie facendo riferimento ad unità
monetarie aventi potere di acquisto costante nel
tempo ipotizzando cioè un’economia in cui non
esiste inflazione.





Anche in un’economia priva di inflazione
accade che chi presta denaro (finanziatore)
voglia essere compensato e accade
viceversa che chi ottiene il denaro in prestito
sia disposto (spesso a malincuore) a
compensare colui che lo ha finanziato.
Se il compenso è anch’esso di natura
finanziaria allora l’intera operazione viene
chiamata Operazione Finanziaria Semplice.








Un’operazione finanziaria è quindi definibile come
un insieme di importi di denaro che vengono pagati
o riscossi (flussi di cassa) in certe date (scadenze).
E’ naturale definire un’operazione in cui paghiamo
una somma in cambio di un flusso di somme future
un’operazione di investimento, ed allo stesso modo
è immediato definire operazione di finanziamento
l’introito di una somma a fronte di esborsi futuri.
I flussi associati ad ogni operazione finanziaria sono
destinati alla remunerazione ed alla restituzione del
capitale impiegato o raccolto.








Consideriamo un operazione finanziaria elementare,
cioè con solo due scambi di denaro
L’importo scambiato che scade per primo viene
designato come valore attuale
l’importo scambiato che scade per ultimo viene
chiamato montante o valore a scadenza






In tutte le leggi di interesse il montante risulta tanto maggiore
quanto maggiore è il valore attuale e quanto maggiore il tempo
che separa le due operazioni
Corrispondentemente il valore attuale risulta funzione crescente
del montante e funzione decrescente del tempo che separa le
due operazioni








Esempi di operazioni di investimento che incontriamo nella vita
quotidiana sono il nostro deposito in una banca, la sottoscrizione
di un titolo di stato, l’acquisto di un titolo azionario, l’acquisto di
un immobile, o di un opera d’arte.
L’esperienza di tutti i giorni ci suggerisce che i flussi interessati
possono essere radicalmente diversi.
Nell’acquisto di un titolo di stato, a fronte di un esborso di denaro
abbiamo un flusso di introiti futuri che sono determinabili a partire
da precise relazioni: ad esempio,
 il capitale può essere remunerato con un flusso di pagamenti,
definiti cedole, che possono essere fissati come una percentuale
costante del capitale, oppure determinati in riferimento a qualche
altro indicatore di mercato;
 il capitale viene invece tipicamente rimborsato in una somma
unica al termine dell’operazione di investimento, cioè alla
cosiddetta data di scadenza.






Quando sottoscriviamo invece un titolo azionario, i
flussi che riceviamo a fronte dell’esborso di capitale
sono rappresentati da dividendi che vengono
determinati di anno in anno in funzione della
profittabilità dell’impresa e della politica di
accantonamento del capitale decisa dal consiglio di
amministrazione dell’impresa stessa.
Se detenete il vostro titolo azionario per un dato
periodo di tempo (holding period) al termine avrete
incassato un flusso di dividendi, oltre alla variazione
del valore di mercato del titolo stesso, legata
probabilmente alle prospettive di profittabilità
dell’impresa oltre il periodo di detenzione.



Se vi è capitato, o quando vi capiterà, di mettere su
un’impresa, o di acquistare una casa, o una
macchina, avrete esempi concreti di operazioni di
finanziamento.




Per finanziare l’acquisto della vostra casa vi verrà proposto
un mutuo a rata fissa o variabile, con varie modalità di
retribuzione e rimborso del capitale.
Oppure vi offriranno di far fronte alla retribuzione del
capitale con pagamenti periodici determinati in funzione di
qualche indice di mercato, magari con la possibilità di
fissare un limite massimo a tali versamenti,






Gli esempi precedenti mostrano a sufficienza che anche nei
problemi più pratici della vita quotidiana vi è richiesto di definire,
valutare e scegliere operazioni finanziarie.
La struttura di base di ogni operazione finanziaria sarà composta
dagli stessi elementi: un insieme di scadenze ed un insieme di flussi
di cassa

{t0
{c0


t1
c1

t2
c2

tN }

.
.

cN }

Converremo inoltre di:





attribuire segno positivo agli importi ricevuti o da ricevere (entrate);
attribuire segno negativo agli importi corrisposti o da corrispondere
(uscite);
scegliere sempre l’origine dei tempi in modo che le scadenze degli
importi siano sempre successive a tale origine


Tassi d’interesse e di sconto


Se chiedete informazioni su un mutuo o su un leasing, o
sull’ultima emissione di titoli di stato, il vostro interlocutore vi dirà
che le condizioni praticate per un mutuo dalla sua banca
prevedono un tasso di interesse annuo del 6%. Cosa significa?



Vi spiegheranno che la banca richiede una retribuzione del 6%
annuo sul capitale che vi viene dato in prestito.



Notate che la nozione di interesse è legata alla definizione di
un intervallo temporale: la retribuzione del capitale richiesta
è del 6% per ogni anno di impiego.




Se definiamo i il tasso d’interesse di un’operazione
finanziaria che vede l’impiego di una quantità V0 di
capitale tra il tempo t0 e t1 significa che alla fine del
periodo il valore del capitale sarà

V1 = V0 + iV0 = V0 ( 1 + i )




la grandezza V0 è definita capitale investito, V1 è
noto come montante, ed il termine
(1 + i) è il fattore di accumulazione, o fattore di
capitalizzazione.




Pensate adesso ad un’operazione inversa alla precedente.



Volete acquistare V1 unità di capitale, disponibile al tempo t1 , e
calcolarne il valore al tempo t0.




E’ il problema che avete se acquistate un Buono Ordinario del Tesoro
(B.O.T.) emesso dallo stato italiano: si tratta di titoli che danno diritto a
riscuotere una somma pari a 1 000 Euro in una data futura, ad esempio a
distanza di un anno.

Semplicemente manipolando l’equazione precedente otteniamo

1
V0 =
V1 = vV1
1+ i
dove v è definito fattore di sconto o fattore di attualizzazione.




Se calcoliamo la percentuale di riduzione che dobbiamo applicare al
valore V1 per ottenere il valore scontato V0 otteniamo

V1 − V0 V1 − vV1
d≡
=
= 1− v
V1
V1
dove d è il tasso di sconto. E’ immediato ottenere la relazione tra tasso
d’interesse e tasso di sconto

1
i
d = 1− v = 1−
=
1+ i 1+ i
o anche

d
i=
1− d

Tasso d’interesse e di sconto









Esempio
Prendiamo il caso del B.O.T. annuale
emesso l’11 settembre 2001, e
assegnato in asta ad un prezzo medio
di 961.61 per ogni 1 000 Euro di
nominale.
La data di emissione è il 14/09/01,
mentre quella di scadenza è il
16/09/01,
per
una
durata
dell’operazione di 367 giorni, che
possiamo arrotondare ad un anno.
Su questo orizzonte il tasso
d’interesse dell’operazione è:
1 000/961.61 – 1 = 3.9923%.
Il tasso di sconto è pari a
1 – 961.61/1 000 = 3.839%.

1
V0 =
V1 = vV1
1+ i
⇓
V1
i = −1
V0


V1 − V0
V0
d≡
= 1−
V1
V1











Pensate a un agente di un’impresa di assicurazione che vi propone una
polizza vita con tasso i, per un periodo di N anni, al termine del quale
otterrete una somma, determinata dagli interessi sul capitale che avete
investito.
Si tratta di un’operazione di investimento per la quale vi è richiesto il
versamento di un capitale V0 iniziale al tempo t0 e somme di denaro xk , k
= 1, 2,…,N a ciascun tempo tk.
Il tasso di interesse maturato nel periodo tra ti e ti+1 viene pagato al
termine del periodo: si dice in questo caso che l’interesse è posticipato.
Assumiamo che il periodo di tempo cui è riferito il tasso di interesse, ed
il periodo di maturazione coincidano, e siano uguali a un anno. Parliamo
quindi di un tasso d’interesse annuo posticipato pagato una volta l’anno.
Supponiamo anche che sia i versamenti che gli interessi pagati alla fine
di un periodo vengano investiti nella stessa polizza allo stesso tasso
d’interesse i.




Al generico tempo tk il valore del capitale accumulato sarà uguale a

Vk = Vk −1 + iVk −1 + xk = Vk −1 (1 + i ) + xk


Se scegliete tk = tN e sostituite ricorsivamente i valori Vk-1 nell’equazione che
definisce Vk ottenete

VN = VN −1 (1 + i ) + x N

VN = [VN − 2 (1 + i ) + x N −1 ](1 + i ) + x N
.
.
N

VN = (1 + i ) V0 + ∑ (1 + i )
N

k =1



N −k

xk

Avete così determinato il valore della somma che otterrete al tempo tN.



Anche in questo caso possiamo pensare al problema inverso e
cercare di determinare la somma V0 da pagare e/o la struttura dei
pagamenti xk da effettuare per garantire una somma VN alla
scadenza.



A tal fine utilizziamo il fattore di sconto definito sopra per scrivere
N

v NVN = V0 + ∑ v k xk
i =1

e otteniamo che il valore scontato della somma che verrà ricevuta al
tempo tN è pari a:
N

V0 = v NVN − ∑ v k xk
i =1




Riflettiamo brevemente sulle caratteristiche della nostra operazione finanziaria, e
sul modo in cui abbiamo determinato una relazione, diciamo una legge di
equivalenza, tra somme versate prima della data di scadenza tN e l’ammontare
finale VN.



Per rendere il ragionamento più semplice, assumiamo che non vengano pagati
flussi di cassa intermedi, e poniamo xk = 0 per ogni k. Otteniamo così

N

v VN =

1

(1 + i )

N

VN = V0

che definisce il valore scontato della somma VN al tempo t0.




Si noti che il fatto che il fattore di sconto annuale sia elevato a potenza dipende
dall’assunzione che gli interessi pagati alla fine del periodo vengano investiti allo stesso
tasso di interesse i per i periodi che rimangono prima della scadenza.
Questo tipo di legge finanziaria è definita regime di capitalizzazione composta. Si
tratta del regime di capitalizzazione di più largo utilizzo.




Cosa sarebbe successo se tali interessi non fossero invece reinvestiti?
In questo caso ciascuna somma investita al tempo tk maturerebbe un
flusso di interessi pari a i(N – k), alla data di scadenza tN. In generale
avremmo quindi
N

VN = (1 + Ni )V0 + ∑ [1 + i ( N − k ) ] xk
i =1



Questa legge di equivalenza finanziaria è nota come regime di
capitalizzazione semplice.



Il regime di capitalizzazione semplice è utilizzato per tutti i prodotti con
scadenza inferiore all’anno.

Tassi di interesse nominali e
tassi equivalenti
Il Tasso Interno di Rendimento


Tassi d’Interesse Nominali e Tassi Equivalenti


Nella discussione sin qui svolta abbiamo utilizzato l’assunzione
che il periodo di riferimento del tasso di interesse ed il suo periodo
di maturazione coincidessero.








Nella realtà questa è più l’eccezione che la regola. In gran parte dei prodotti
finanziari, ad esempio, gli interessi vengono pagati ogni sei mesi o ogni tre
mesi. Il tasso d’interesse è comunque sempre (o quasi) espresso su base
annua.
Così, se un’obbligazione garantisce un interesse del 6% su base annua con
periodo di maturazione trimestrale, significa che ogni tre mesi viene staccata
una cedola pari al 1,5% del capitale presente all’inizio del periodo.
In questo caso il tasso al 6% è quello che chiamiamo tasso d’interesse
nominale, mentre il tasso 1,5% è il tasso d’interesse effettivo su base
trimestrale.

I diversi concetti di tasso di interesse non devono essere confusi,
perché in caso contrario condurranno a grossolani errori di
valutazione.




Supponiamo che un agente di una compagnia di assicurazioni ci
sottoponga una polizza di N anni con tasso d’interesse nominale
annuo pari a i(m) = 6% e interessi pagati m (= 4) volte per ogni anno
(per semplicità assumiamo che i versamenti xk siano tutti uguali a
zero).



Per valutare la grandezza VN dobbiamo tener presente il fatto che
 gli interessi verranno pagati e capitalizzati mN volte nell’arco di vita
della polizza, e
 gli interessi maturati in ogni periodo sono pari a i(m)/m del capitale
all’inizio del periodo (1,5% nel nostro caso).

 i
V N = 1 +

m


(m)

mN


 V0










Se vogliamo confrontare la proposta del nostro agente di assicurazione con
proposte simili, ad esempio con pagamenti mensili, semestrali o annuali, è
necessario convertire il tasso di interesse nella stessa unita di tempo.
In generale è naturale scegliere l’anno come periodo di riferimento, e calcolare
l’interesse dell’operazione su base annua.
In pratica, cerchiamo il tasso d’interesse effettivo su base annua che garantisce lo
stesso valore VN al termine dell’operazione finanziaria. Se definiamo tale tasso i,
possiamo porre

 i
 1 +=
i

m


(m)

mN
m

m

 i 

N
 1 +V0 = 1 + 1) V0

(


 -i
m 


(m)




Il tasso di rendimento annuo i è definito come tasso effettivo su base
annua equivalente al tasso i(m)/m. Per tornare al nostro caso numerico, il
tasso annuo equivalente a un tasso effettivo trimestrale dell’1,5% risulta
pari a (1,015)4 – 1 = 6,136%.



Usando la stessa tecnica, se il nostro agente ci garantisce un tasso
d’interesse annuo effettivo pari a i, con m pagamenti l’anno, possiamo
calcolare il tasso d’interesse nominale corrispondente come

i


(m)

= m[(1 + i )

1/ m

− 1]

Quindi, se ci viene proposto un tasso effettivo annuo del 6% con
pagamenti trimestrali, questo corrisponde a un tasso nominale pari a
4*(1.060.25-1) = 5.8695%.



Riprendiamo l’esempio precedente, e chiediamoci quale
sarebbe il tasso nominale se, in corrispondenza di un tasso
effettivo su base annua del 6%, gli interessi venissero
accumulati su base giornaliera.



In questo caso avremmo 365*(1,06(1/365)-1) = 5,8274%.



E se assumessimo che gli interessi venissero pagati 1000
volte l’anno? Otterremmo un risultato pari a 5,8269%.



Nel limite del continuo abbiamo

lim i ( m ) = ln ( 1 + i )

m →∞




Giustificazione della precedente formula


Si ricordi il limite notevole
x

1

 k
lim 1 +  = e = lim 1 + 
x →∞
x →∞
x
x



x/k

⇒

x

 k
⇒ lim 1 +  = e k
x →∞
x

m

 i 
 - 1 ⇒ i = exp(i ( m ) ) − 1
i = 1 +

m →∞
m 


1 + i = exp(i ( m ) ) ⇒ i ( m ) = ln(1 + i )
( m)




Possiamo definire una nuova grandezza finanziaria

δ ≡ ln (1 + i )





nota come intensità istantanea di interesse.
Tale grandezza corrisponde quindi al tasso
nominale annuo a capitalizzazione continua.
L’intensità d’interesse può essere utilizzata in
alternativa al tasso d’interesse effettivo annuo per
rappresentare il fattore di capitalizzazione.




Possiamo infatti scrivere

VN = (1 + i ) N V0 = eδNV0


Per chiarire ulteriormente il concetto di intensità di interesse
chiediamoci qual’è la variazione di valore del nostro
investimento, per unità di tempo, nell’intervallo [t, t + h].
Otteniamo
Vt + h − Vt eδ ( t + h )V0 − eδtV0
eδh − 1
eδh − 1
=
= eδt
V0 =
Vt
h
h
h
h
Vt + h − Vt ∂V ( t )
eδh − 1
lim
=
= lim
Vt = δVt
h →0
h →0
h
∂t
h



Possiamo considerare anche il caso più generale
nel quale la delta è funzione del tempo, cosicché
abbiamo

dV ( t )
= δ ( t )Vt
dt



In questo caso, integrando da 0 a N otteniamo
N

∫ δ ( u ) du

VN = e 0

V0


Riassunto Leggi di Capitalizzazione e Sconto


Semplice


Funzione di Sconto



capitalizzazione



sconto

1
v(t , T ) =
[1 + (T − t )i(t , T )]
V (T ) = V (t )[ 1 + (T − t )i (t , T )]

V (T )
V (t ) = V (T )v(t , T ) =
[1 + (T − t )i(t , T )]




Composta Discreta


Funzione di Sconto



capitalizzazione

1
v(t , T ) =
T −t
( 1 + i(t , T ) )

V (T ) = V (t )[ 1 + i (t , T )]


sconto

T −t

V (T )
V (t ) = V (T )v(t , T ) =
T −t
[1 + i(t , T )]




Composta Continua


Funzione di Sconto



capitalizzazione



v(t , T ) = e

− i ( t ,T )[T −t ]

V (T ) = V (t )e

i ( t ,T )[T −t ]

sconto

V (t ) = V (T )v(t , T ) = V (T )e


− i ( t ,T )[T −t ]

Tassi di interesse nominali e
tassi equivalenti
Tasso Interno di Rendimento


Il tasso interno di rendimento: definizione




Il Tasso interno di rendimento è quel tasso che garantisce
l’eguaglianza, ad una data di valutazione fissata, fra il Prezzo e la
somma dei valori attuali dei flussi che saranno generati da quel titolo
a partire dalla data di valutazione fino alla data di scadenza del titolo
stesso.
Di seguito viene data la relazione fra Prezzo e TIR:
n

n

i =1

i =1

P = ∑ Fi (1 + TIR ) −ti ⇒ P − ∑ Fi (1 + TIR ) −ti = 0


In generale il calcolo del tasso interno di rendimento richiede
procedure numeriche. Se i flussi sono tutti dello stesso segno, una
possibile soluzione consiste nell’utilizzo dell’algoritmo di NewtonRaphson.

Il tasso interno di rendimento


Esempio




Un BTP è un titolo di debito emesso dallo stato italiano che paga una cedola fissa
(semestrale) ed il rimborso del capitale in un’unica soluzione alla scadenza. Titoli
di debito di questo tipo sono definiti bullet bond.
In questo caso, l’investimento in un BTP rappresenta un’operazione finanziaria in
cui c0 = – P rappresenta l’esborso iniziale (assumiamo per semplicità di
sottoscrivere il titolo all’emissione), ck = c, k = 1, 2, …N – 1 e cN = 1 + c. Inoltre,
assumiamo t0 = 0 e tk = tk –1 + 1, k = 1, 2, …N. La determinazione del tasso
interno di rendimento è in questo caso ottenuta calcolando
N

− P + ∑ vk c + v N = 0
k =1



L’equazione può essere anche scritta come

1− vN
− P + cv
+ vN = 0
1− v


Il tasso interno di rendimento


nel caso in cui sia P = 1

(

)

 cv

1− v 
− 1 = 0
1− v 



N

da cui si ricava facilmente

cv
1− v
= 1⇒
=c⇒i=c
1− v
v




In questo caso si dice che il titolo “quota alla pari”, ed il tasso interno di rendimento è uguale
alla cedola.
Se ovviamente il prezzo del titolo è superiore a 1 si dice che il titolo è “sopra la pari”, e ciò
implica che il valore della cedola è superiore al tasso interno di rendimento. Al contrario, il
tasso interno di rendimento di titoli “sotto la pari” è superiore alla cedola.

A parte casi particolari come quello descritto nell’esempio, il calcolo del
tasso interno di rendimento richiede procedure numeriche

La creazione di Scadenzari:
un problema sorprendentemente complicato








Per l’analisi delle operazioni finanziari risulta indispensabile disporre di
una serie di procedure per la creazione di scadenzari.
Uno scadenzario non è altro che una successione di date disposte in
ordine cronologico, ad un primo sguardo il compito appare facile, ai limiti
della banalità; questa prima impressione si rivela ben presto una tragica
illusione!
Uno dei problemi più complessi delle procedure di generazione degli
scadenzari per uso finanziario è dato dalla presenza dei giorni festivi
che, eccezion fatta per sabati, domeniche e poche altre festività,
dipendono dal particolare paese considerato. E se vi occupate di paesi
islamici, anche il sabato e la domenica vi tradiscono.
Talvolta neanche la conoscenza del paese è sufficiente (è il caso ad
esempio degli Stati Uniti) in quanto mercati diversi osservano periodi di
chiusura differenti.


La creazione di Scadenzari: le convenzioni




Uno scadenzario che non tenga conto delle festività viene detto di tipo
Unadjusted. In questo caso le date sono tutte equispaziate fra loro,
senza tenere conto del fatto che alcune potrebbero cadere in giorni
festivi.
Negli scadenzari di tipo Adjusted invece viene introdotto un
aggiustamento per tener conto delle festività. Esistono in merito
diverse convenzioni:


Preceding: se la data è festiva si considera la data feriale immediatamente
precedente;



Following: se la data è festiva si considera la data feriale immediatamente
successiva;



Modified Preceding: se la data è festiva si sostituisce con il giorno lavorativo
successivo salvo che questo non cada in un mese diverso, in questo caso si prende
il giorno lavorativo precedente;



Modified Following: se la data è festiva si sostituisce con il giorno lavorativo
precedente salvo che questo non cada in un mese diverso, in questo caso si
prende il giorno lavorativo successivo.










Negli scadenzari di tipo Adjusted è necessario tenere conto non solo dei
sabati e delle domeniche ma anche di tutte le altre festività previste dal
calendario bancario in vigore per il mercato considerato.
La conoscenza precisa delle date festive è problematica specialmente
qualora si consideri la generazione di scadenzari che si estendono nel
futuro per alcune decine di anni.
La questione è meno teorica di quanto si possa pensare dato che
esistono innumerevoli titoli che prevedono piani cedole trentennali e
anche più lunghi (per non parlare delle obbligazioni perpetue!).
Per questo esistono appositi database in cui sono raccolti e
costantemente aggiornati i calendari di un gran numero di mercati.
Chiunque sia interessato ad approfondire questo tipo di problematiche può visitare il sito
internet di una società che offre questo tipo di servizio: www.financialcalendar.com.




Occorre poi stabilire come calcolare l’intervallo di tempo fra due
date definite.



Nei mercati finanziari esistono in proposito diverse convenzioni
introdotte prima dell’avvento dell’informatica al fine di semplificare le
procedure computazionali relative al calcolo degli interessiSussistono
ancora diverse modalità per il calcolo degli intervalli di tempo che
differiscono fra loro sia nella definizione del numero di giorni per mese
sia nella definizione del numero di giorni per anno.



Normalmente col termine base (day-count basis) ci si riferisce alla
modalità scelta per misurare mesi ed anni in numero di giorni, la
notazione utilizzata per esprimere la base è (giorni in un mese)/(giorni
in un anno). Ad esempio una base di 30/360 indica che ognuno dei
dodici mesi dell’anno è considerato composto esattamente da 30
giorni mentre la lunghezza dell’anno viene considerata pari a 360
giorni.



Esistono diverse convenzioni per il calcolo
degli intervalli di tempo







Actual/Actual
Actual/360
Actual/365
30/360 American
30/360 European
...




Actual/Actual.


Seguendo questa convenzione si assume che l’anno sia composto da 366 o 365
giorni a seconda che le due date fra le quali vogliamo calcolare la differenza includano
o meno il 29 febbraio. Occorre prestare molta attenzione a questa convenzione, infatti
essa comporta di considerare un denominatore di 366 giorni se e solo se la data del
29 febbraio cade all’interno dell’intervallo di tempo considerato indipendentemente dal
fatto che l’anno sia o meno bisestile. Se ad esempio vogliamo calcolare il tempo in
anni compreso fra le date del 15 aprile 1992 e del 15 ottobre 1992 seguendo questa
convenzione otteniamo
t = (Numero giorni fra il 15/10/1992 e il 15/4/1992)/365 = 183/365 = 0.501369
Si noti che sebbene il 1992 fosse un anno bisestile, il denominatore utilizzato nel
calcolo è pari a 365 poiché il 29 febbraio non cade nell’intervallo di tempo compreso
fra le due date. Se invece vogliamo calcolare la differenza fra il 15 aprile 1992 e il 15
gennaio 1992, dobbiamo calcolare
t = (Numero giorni fra il 15/4/1992 e il 15/1/1992)/366 = 91/366 = 0.248633
In questo caso il denominatore è pari a 366 perché la data del 29 febbraio è inclusa
nell’intervallo di tempo considerato.




Actual/360.


In questo caso il numero di giorni fra le due date viene calcolato
assumendo che ogni mese abbia il numero di giorni appropriato
mentre al denominatore si considera un anno composto di 360
giorni. Molti calcoli relativi al mercato monetario seguono questa
convenzione. Volendo calcolare ancora una volta il tempo in anni
compreso fra le date del 15 aprile 1992 e del 15 ottobre 1992
seguendo questa convenzione otteniamo
t = (Numero giorni fra il 15/10/1992 e il 15/4/1992)/360 = 183/360 =
0.508333




Actual/365.


Come la precedente salvo che l’anno si assume in ogni caso
composto da 365 giorni. Lo stesso calcolo del precedente
esempio produce come risultato
t = (Numero giorni fra il 15/10/1992 e il 15/4/1992)/365 = 183/365
= 0.501369
Per questo intervallo si ottiene lo stesso risultato seguendo la
convenzione Actual/Actual ma volendo calcolare l’intervallo di
tempo fra il 15 gennaio 1992 e il 15 aprile 1992 questa volta
avremo
t = (Numero giorni fra il 15/4/1992 e il 15/1/1992)/365 = 91/365 =
0.249315




30/360 American.


In questo caso i mesi sono considerati tutti di 30 giorni mentre il numero totale di giorni in un anno è
pari a 360. Per il calcolo del numeratore, se la data iniziale o finale cade il 31 del mese, il numero di
giorni compreso fra le due date viene aggiustato nel modo seguente: supponiamo che D1 e D2
indichino rispettivamente la data iniziale e la data finale che delimita l’intervallo di tempo del quale
vogliamo calcolare il numero di giorni, allora
Se D1 = 31 porre D1 = 30
Se D2 = 31 e D1 = 30 porre D2 = 30
Si osservi che per cambiare la seconda data non è sufficiente che questa cada il 31 del mese ma occorre verificare
anche che la data precedente sia 30. Supponiamo di voler calcolare secondo questa convenzione il numero di giorni
compresi fra il 25 agosto 2001 e il 31 dicembre dello stesso anno,
D1 = 25/08/2001
D2 = 31/12/2001
Poiché D1 è diverso da 31 questa data non viene cambiata per cui anche la data successiva rimane inalterata.
Indicando con Y1 e Y2 gli anni e con M1 e M2 i mesi, la differenza espressa in giorni fra due date qualsiasi è pari a
t = (Y2 – Y1) × 360 + (M2 – M1) × 30 + (D2 – D1)
Per le date riportate sopra otteniamo t = 125 gg.




30/360 European.


La convenzione è analoga alla precedente con una sola
importante differenza, se una delle due date cade il 31 di un
mese, questa viene in ogni caso riportata al 30 dello stesso
mese. Eseguendo lo stesso calcolo della convenzione
precedente in questo caso otteniamo t = 126 gg.




Riassumendo, i dati di input necessari per costruire
uno scadenzario sono:









la data di valutazione dell’operazione;
la scadenza;
la frequenza dei pagamenti;
la base per il conteggio dei giorni;
il tipo di scadenzario (Adjusted o Unadjusted );
il tipo di aggiustamento da fare sulle date (Following,
Preceding, Modified Following, Modified Preceding );
il mercato di riferimento per le festività.


Bibliografia


U. Cherubini, G. Della Lunga
Matematica Finanziaria
Capitolo 2 e 3

McGraw-Hill, 2002.


Capitolo 1 richiami mat. finanziaria

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