Capitolo 6 introduzione alle opzioni finanziarie

Finanza Computazionale

Introduzione alla Valutazione dei
Prodotti Derivati

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE

Introduzione al pricing
Il principio di Arbitraggio
Il modello Binomiale
Il modello di Black e Scholes
Metodi alle Differenze Finite
Metodo Monte Carlo


Il Principio di Assenza di Arbitraggio






Molte volte ci è capitato di sentire frasi del tipo: “ho appena
comprato un paio di scarpe e ne ho trovate un paio uguale ad
un prezzo minore”, oppure: “ho scoperto che un altro
concessionario per lo stesso prezzo che ho pagato per la mia
nuova macchina fornisce anche l’aria condizionata”.
Sono frasi di buon senso che mettono in luce in che modo
cerchiamo di fornire un valore a beni e servizi che
acquistiamo e consumiamo.
Il buon senso ci suggerisce che prodotti uguali devono avere
lo stesso prezzo, e che prodotti che ci garantiscono
un’opportunità in più rispetto ad altri hanno un valore
maggiore.






Il fondamento della valutazione dei prodotti finanziari è il principio di
arbitraggio, o nella colorita espressione anglosassone, free-lunch
(pasto gratis).
Nel mondo dei prodotti finanziari utilizziamo definizioni di arbitraggio
più sofisticate, ma con lo stesso contenuto di fondo:

Si definisce arbitraggio la possibilità di ottenere
guadagni sicuri, senza incorrere in alcun tipo di
rischio.


E’ su questa base che è possibile determinare la relazione tra i prezzi di diverse
attività finanziarie: l’idea è che le relazioni tra i prezzi devono essere tali da
escludere la possibilità di effettuare arbitraggi, cosicché non deve essere
possibile costruire sul mercato posizioni e strategie che consentano di ottenere
guadagni senza alcun tipo di rischio.



Se pensiamo a come si possono identificare delle possibilità di
arbitraggio, possiamo intuitivamente delineare due tipi di situazione.


La prima è quella di un biglietto di lotteria gratis: supponete di poter
ottenere senza alcun costo un titolo (un biglietto della lotteria) che in
futuro vi darà un rendimento comunque non negativo, e la possibilità di
un guadagno positivo se si verifica qualche evento fortunato;



Un’altra situazione che vi garantirebbe un guadagno sicuro, e quindi un
arbitraggio, è la seguente: considerate di acquistare un titolo e venderne
un altro in modo che a una data futura il valore complessivo del
portafoglio sia zero in tutti i possibili scenari (li chiamiamo tecnicamente
stati di natura), e supponete che questa posizione abbia oggi valore
negativo, e cioè vi consenta di intascare dei soldi. Poiché sapete che a
una data futura la vostra posizione varrà sicuramente zero (e quindi non
avrete alcuna perdita), il guadagno che ottenete oggi è assolutamente
senza rischio, ed avete compiuto un’operazione di arbitraggio.




Per mostrare in maniera semplice l’utilizzo dell’ipotesi di non arbitraggio per
la valutazione delle attività finanziarie utilizziamo un modello in cui il rischio
è rappresentato da un insieme discreto di possibili scenari, o stati di natura.



L’esempio più semplice è quello di un mondo a due tempi e due stati.


Assumiamo che sul mercato vengano scambiati due titoli rischiosi, il cui valore
denotiamo X(t) e Y(t). I due titoli rischiosi assumono valori diversi nei due stati del
mondo H e L che si verificano al tempo T: abbiamo quindi X(H) > X(L) e Y(H) >
Y(L).



Assumiamo che esista anche un titolo privo di rischio che alla scadenza T
garantisce un pay-off di un Euro: il titolo privo di rischio al tempo T assume lo
stesso valore nei due stati del mondo.



Il valore del titolo privo di rischio al tempo t è definito dalla funzione di
sconto P(t,T), discussa nel primo capitolo, mentre il prezzo del titolo
rischioso è Y(t).



Il problema è determinare il prezzo X(t) che esclude possibilità di
arbitraggio.

Un modello binomiale
Tempo t

Tempo T

Tempo T

Stato

H

L

Y(t)

Y(H)

Y(L)

X(t)

X(H)

X(L)

P(t,T)

1

1


Relazioni di arbitraggio tra i prezzi


Formiamo un portafoglio selezionando



Una posizione lunga (acquisto, segno +) in una unità di X
Una posizione corta (vendita, segno -) in ∆ unità di Y

Valore Attuale = X (t ) − ∆Y (t )




Se scegliamo

X ( H ) − X ( L)
∆=
Y ( H ) − Y ( L)

Il valore del portafoglio all’istante T nei due stati finali sarà pari a

X ( L ) − ∆Y ( L ) = X ( L ) −

X ( H ) − X ( L)
X ( L)Y ( H ) − X ( H )Y ( L)
Y ( L) =
Y ( H ) − Y ( L)
Y ( H ) − Y ( L)

X ( H ) − ∆Y ( H ) = X ( H ) −

X ( H ) − X ( L)
X ( L)Y ( H ) − X ( H )Y ( L)
Y (H ) =
Y ( H ) − Y ( L)
Y ( H ) − Y ( L)


Relazioni di arbitraggio tra i prezzi




Con questa scelta il valore del portafoglio è lo
stesso sia in H che in L, indichiamolo con α;
Il portafoglio è quindi privo di rischio;






infatti assume lo stesso valore in tutti gli stati del mondo.

Come possiamo replicare questo portafoglio?
Acquistando in t α unità del titolo privo di rischio.
Per il principio di assenza di arbitraggio due attività
finanziarie che hanno lo stesso valore ad un tempo
futuro T, devono avere lo stesso valore anche oggi.


Relazioni di Arbitraggio fra i Prezzi


Indicando con α il valore del portafoglio
all’istante T, il principio di assenza di
arbitraggio implica a t:

X (t ) − ∆Y (t ) = αP (t , T )
X (t ) = ∆Y (t ) + αP (t , T )

Un esempio importante:

Put call parity


Consideriamo un’opzione call alla scadenza





C(T) = max(0, S(T) -K)
essendo S il valore del sottostante e K il valore dello strike price
(prezzo di esercizio)

… che può essere scritta nella forma




C(T) = S(T) – min(S(T),K)

È facile verificare che le due scritture sono
perfettamente equivalenti!


Un esempio importante:

Put call parity


Dalla relazione precedente




Allo stesso modo si può verificare per la put




C(T) + K = P(T) + S(T)

Per l’assenza di arbitraggio questa relazione deve essere
valida anche oggi per cui




P(T) - K = -min(S(T), K)

Da questa relazione otteniamo




C(T) – S(T) = -min(S(T),K)

c(t) + K × exp[-r(T-t)] = p(t) + S(t)

Questa relazione è come put-call parity

Relazioni arbitraggio tra i prezzi


Riprendiamo la relazione di arbitraggio




X (t) = ∆Y(t) + αP(t,T)

Poiché ci sono due stati del mondo all’istante T, possiamo
scrivere





X(H) = ∆Y(H) + α
X(L) = ∆Y(L) + α

da cui:





∆ = (X(H) – X(L))/(Y(H) – Y(L))
α= -(X(H) Y(L) – X(L) Y(H))/(Y(H) – Y(L))

Sostituendo i valori di alfa e delta nella prima relazione e
raccogliamo i termini X(H) e X(L) otteniamo...

X ( t ) = P ( t , T ) [π ( H ) X ( H ) + π ( L ) X ( L ) ]
con

Y ( t ) / P( t , T ) − Y ( L )
π(H) ≡
Y ( H ) − Y ( L)
Y ( H ) − Y ( t ) / P( t , T )
π ( L) ≡
Y ( H ) − Y ( L)


La misura risk-adjusted


Si noti che




Y(L) < Y(t)/P(t,T) < Y(H) ⇒ π*(H), π*(L) > 0
π*(H) + π*(L) = 1
π* è una misura di probabilità e il prezzo di X(t) è

X ( t ) = P( t , T ) [πX ( H ) + ( 1 − π ) X ( L ) ] ≡ P( t , T ) Eπ [ X ( T ) ]


Si può verificare agevolmente che




Y(t) = P(t,T) E π*[Y(T)]

N.B.: la misura π* deriva dal non-arbitraggio



Per analizzare le proprietà della misura
probabilità π è immediato osservare che

di

 X (T ) − X ( t ) 
 X (T ) 
Eπ 
 = Eπ  X ( t ) − 1 =
X (t)




1
1
=
Eπ [ X (T )] − 1 =
− 1 ≡ Rf
X (t )
P( t , T )


dove Rf è il tasso di rendimento dell’attività priva di rischio sul
periodo da t a T.











Sotto la misura di probabilità π, quindi, il rendimento atteso del titolo
rischioso X è pari al tasso d'interesse privo di rischio.
Si può verificare che anche il rendimento dell'altro titolo rischioso è
pari al tasso privo di rischio!
Si tratta quindi di una prerogativa della misura di probabilità π : sotto
questa misura, il rendimento di tutti i titoli rischiosi è pari al
rendimento del titolo privo di rischio.
E' come se i rendimenti dei titoli venissero calcolati senza tenere
conto del loro livello rischio.
Per questo motivo questa misura di probabilità è nota nella
letteratura come "misura neutrale rispetto al rischio", oppure "misura
aggiustata per il rischio".




Un altro modo di caratterizzare la misura aggiustata per il rischio è il seguente.
Misuriamo i titoli rischiosi, ad esempio il titolo X, utilizzando quello privo di rischio
come numerario. Definiamo così una nuova variabile

X (t)
Z (t) ≡
P( t , T )



Dalle proprietà della misura aggiustata per il rischio otteniamo adesso

 X (T ) 
X (t)
Z(t) ≡
= Eπ 
 = Eπ [ Z ( T ) ]
P( t , T )
 P( T , T ) 







dove abbiamo usato la proprietà della funzione di sconto P(T,T) = 1.
In altri termini, il valore futuro atteso della nuova variabile Z(t), misurato utilizzando la
misura aggiustata per il rischio è uguale al valore corrente.
Questa caratteristica è nota nella teoria dei processi stocastici come proprietà di
"martingala".
Per questo la misura di probabilità π è nota anche come misura di martingala
equivalente (equivalent martingale measure, o EMM).


Il Teorema Fondamentale della Finanza
(Harrison e Kreps, 1979 e Harrison e Pliska, 1981, 1983)

Nel mercato non esistono possibilità di
arbitraggio se e solo se esiste una misura di
probabilità sotto la quale i prezzi di tutte le
attività finanziarie, misurate utilizzando il titolo
privo di rischio come numerario, sono
martingale.
Se questa misura è unica, il mercato è detto
completo.


Valutazione di un’opzione call
Tempo t

Tempo T

Tempo T

Stato

H

L

Y(t)

Y(H)

Y(L)

C (Y,t;T,K)

Max(Y(H)-K,0)

Max(Y(L)-K,0)

P(t,T)

1

1




Consideriamo un portafoglio con
 Una posizione lunga in una unità di C
 Una posizione corta in ∆ unità di Y



Calcoliamo

C ( H ) − C ( L) max[Y ( H ) − K ,0] − max[Y ( L) − K ,0]
∆=
=
Y ( H ) − Y ( L)
Y ( H ) − Y ( L)


Al tempo T



Max(Y(H) – K,0) - ∆ Y(H) = α
Max(Y(L) – K, 0) - ∆ Y(L) = α


Replica di un’opzione call








Se K < Y(L) < Y(H)
 ⇒ ∆ = 1 e α = - K
Se K > Y(H) > Y(L)
 ⇒ ∆ = 0 e α = 0
Se Y(L) < K < Y(H)
 ⇒ 0 < ∆ < 1 e α = -Y(H) ∆

Replica di un’opzione call
C(Y,t;T,K) = ∆ Y(t) + α P(t,T)



In ogni periodo assumiamo che il prezzo del
sottostante possa muoversi in due sole direzioni
(Modello Binomiale);



Backward induction: partendo dalla data di
scadenza del contratto derivato in cui si conosce il
valore dell’opzione si risale verso la radice
dell’albero calcolando ad ogni nodo la probabilità
risk adjusted;


Sd
fd
S
f





Sia S il valore del sottostante e f il valore
dell’opzione scritta su di esso.
Formiamo un portafoglio con una posizione
lunga in ∆ unità del sottostante e una corta in
un’opzione call.

Il valore del portafoglio nei due stati del
mondo sarà pari a

Su
fu



Determiniamo il valore di ∆ che rende uguali
questi due valori

S 0 u∆ − f u
S 0 d∆ − f d

fu − f d
S0 u∆ − f u = S0 d∆ − f d ⇒ ∆ =
S0 u − S0 d





Il portafoglio è quindi privo di rischio per cui, al fine di evitare
possibilità di arbitraggio, il suo rendimento deve eguagliare il tasso
di rendimento risk-free.
Questo implica che il valore scontato del portafoglio in uno dei due
stati del mondo futuri deve eguagliare il valore attuale oggi, ovvero

S0 ∆ − f = ( S0 u∆ − f u ) e − rT ⇒ f = S0 ∆ − ( S0 u∆ − f u ) e − rT
sostituendo ∆...
sostituendo ∆...

f =e

− rT

[ pf u + (1 − p) f d ]

dove


e rT − d
p=
u−d

Il modello Binomiale: Un Esempio Numerico
Su = 5.630

Opzione CALL su ENEL

fu = 0.630

Data Valutazione

8/11/2003

Consegna

19/11/2003

S = 5.414

Strike

= 5.00

f = 0.432

S

= 5.414

Var% giornaliera

= 1.18%

tasso risk free

~ 1%

Sd = 5.2
fd = 0.2

Variazione a scadenza stimata al 4%
∆t = 11/365 ~ 0.03

e rT − d e0.01⋅0.03 − 0.96 0.04
p=
=
≈
= 1/ 2
u−d
0.08
0.08

f =e

− rT

0.630 + 0.2
[ pf u + (1 − p) f d ] ≈
= 0.415
2


Estensione a più periodi
πH

1-π H

π

Y(HH)

Y(HL)

Y(H)

Y(0)

πL

1-π L

1-π

Y(LH)

Y(LL)

Y(L)


Bushy trees/Recombining trees


Dopo n periodi (steps) l’albero presenta 2n nodi (stati). Un albero
solo dopo 100 steps genera
1.267.650.600.228.230.000.000.000.000.000 nodi



Poiché questo tipo di albero pone problemi computazionali
rilevanti, spesso si assume che sentieri con lo stesso numero di
aumenti e diminuzioni del prezzo, sebbene in sequenza diversa,
portino allo stesso nodo (lattice, recombining tree, reticolo,…)



Dopo 100 steps un recombining tree ha 101 nodi


Recombining trees


Sostituendo un albero a cespuglio con un albero
“ricombinante” rinunciamo alle informazioni sui singoli sentieri
che portano allo stesso nodo



L’informazione può essere rilevante per
 valutare opzioni con pay-off path-dependent
 modelli della dinamica del tasso di interesse



Alcuni programmi di ricerca sono dedicati a metodologie per
ridurre la crescita dei bushy-trees


Estensione a più periodi
πH
π

Y(HH)

Y(H)
1-π H

Y(0)

Y(HL)≡ Y(LH)

πL
1-π

Y(L)
1-π L

Y(LL)


Generalizzazione a più livelli


Riprendiamo la definizione di
probabilità risk-neutral



Poniamo



Inoltre ricordiamo che

Y (t )
− Y ( L)
P (t , T )
π* =
Y ( H ) − Y ( L)

Y (t ) = S
Y ( H ) = Su
Y ( L) = Sd

P (t , T ) = e


− r (T −t )

Generalizzazione a più livelli


Possiamo quindi scrivere



r∆t

e −d
π* =
u−d

Come determiniamo i fattori u e d?


In funzione della volatilità del sottostante

u=e


σ ∆t

1
d=
u

La scelta d = 1/u garantisce che l’albero sia ricombinante
(infatti con questa posizione si ha (Su)d = S)


Generalizzazione a più Livelli
ST
2
2  ST
r=
− 1 ⇒ σ (r ) = σ 
S
S0
 0
 ST
σ (r ) = Eπ 
S
 0
2

 ST
Eπ 
S
 0
 ST
Eπ 
S
 0

2

   ST
 −  Eπ 

S
   0





2


 = σ 2 ∆t




 = πu + (1 − π )d


2


 = πu 2 + (1 − π )d 2




La scelta di u e d si
giustifica ricordando che
la
volatilità
del
rendimento dell’azione,
nel nostro modello deve
essere pari a σ2∆t

Generalizzazione a più Livelli
σ 2 (r ) = πu 2 + (1 − π )d 2 − π 2u 2 − (1 − π ) 2 d 2 − 2π (1 − π )ud =
πu 2 (1 − π ) + π (1 − π )d 2 − 2π (1 − π )ud =
π (1 − π )(u 2 + d 2 − 2ud ) = π (1 − π )(u − d ) 2 =
 u − e r∆t 
(u − d ) 2 = (e r∆t − d )(u − e r∆t ) =


u−d 

= e r∆t (u + d ) − ud − e 2 r∆t
e r∆t − d
u−d

Sostituendo ud = 1 e sviluppando al primo ordine otteniamo...

e r∆t (u + d ) − ud − e 2 r∆t ≈ (1 + r∆t )(u + d ) − 1 − 1 − 2r∆t = (1 + r∆t )(u + d − 2)


Generazione a più Livelli




Verifichiamo che la posizione

u = eσ

∆t

,

d = e −σ

porta al risultato desiderato.
Sviluppando al primo ordine in ∆t abbiamo infatti

1 2
1 2
u = 1 + σ ∆t + σ ∆t , d = 1 − σ ∆t + σ ∆t
2
2
da cui (trattenendo solo i termini al primo ordine)

(1 + r∆t )(u + d − 2) =
1
1


(1 + r∆t ) 1 + σ ∆t + σ 2 ∆t + 1 − σ ∆t + σ 2 ∆t − 2  = σ 2 ∆t
2
2




∆t

Generazione dei valori per il sottostante
125.5
120.8
116.3
112
107.9
103.9
100

112
107.9

103.9
100

96.29

116.3

107.9
103.9

100
96.29

92.72

s(0, 0) = PrezzoSottostante
For n = 1 To NumeroSteps
For j = n To 1 Step -1
s(j, n) = u * s(j - 1, n - 1)
Next j
s(0, n) = d * s(0, n - 1)
Next n

100
96.29

92.72
89.28

92.72
89.28

85.97

Per ogni livello tutti i nodi tranne
l’ultimo derivano dal corrispondente
nodo precedente moltiplicato per il
coefficiente u. L’ultimo nodo deriva
dal precedente moltiplicato per d.

85.97
82.78
79.71


Generazione dei valori per l’opzione
For j = 0 To NumeroSteps
V(j, NumeroSteps) = Payoff(s(j, NumeroSteps), Strike, FlagCall)
Next j
For n = NumeroSteps To 1 Step -1
For j = 0 To n - 1
V(j, n - 1) = (p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) * FattoreSconto
21.12
Next j
120.8
16.8
Next n
116.3

12.86
112
9.482
107.9
6.766
103.9
4.691
100

5.975
103.9

2.53
96.29

8.013
107.9
5.054
103.9

3.073
100
1.821
96.29

1.058
92.72

16.48
116.3

12.33
112
8.763
107.9

3.941
100

25.62
125.5

1.968
100
1.006
96.29

0.514
92.72
0.263
89.28

0
92.72
0
89.28

0
85.97

0
85.97
0
82.78
0
79.71


Opzioni Americane






Fino a questo momento abbiamo considerato solo opzioni di
tipo europeo cioè opzioni esercitabili soltanto alla scadenza;
Le opzioni di tipo americano, cioè quelle esercitabili entro la
scadenza, sono facilmente valutabili nell’approccio binomiale;
Ad ogni step è necessario valutare qual’è il maggior valore fra




il valore dell’opzione calcolato come valore atteso futuro
(continuation value)
il valore che deriva dall’esercizio immediato dell’opzione (payoff)

For n = NumeroSteps To 1 Step -1
For j = 0 To n - 1
V(j, n - 1) = Application.Max((p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) _
* FattoreSconto, Payoff(s(j, n - 1), Strike, FlagCall))
Next j
Next n


Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale
Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale


sottostante

∆S = µS∆t + σS∆z

Il prezzo dell’opzione deve essere una funzione di S e t pertanto
per il lemma di Ito possiamo scrivere

2
 ∂f
∂f 1 ∂ f 2 2 
∂f
∆f =  µS + +
σ S ∆t + σS∆z
2
 ∂S

∂t 2 ∂S
∂S



I processi di Wiener da cui è influenzata la dinamica di
f e di S sono gli stessi. Ne segue che scegliendo un
portafoglio composto dall’azione e dal derivato il
processo di Wiener può essere eliminato!




Ipotesi










Non esistono opportunità di arbitraggio;
Il prezzo del sottostante segue un moto geometrico
browniano;
E’ consentita la vendita allo scoperto dei titoli;
Non ci sono costi di transazione né tasse (no friction),
inoltre i titoli sono infinitamente divisibili;
Non vengono pagati dividendi durante la vita dell’opzione;
Il tasso risk-free e la volatilità sono costanti;
L’opzione può essere esercitata soltanto alla scadenza
(opzione europea).




Il portafoglio appropriato è così composto

 ∂f 1 ∂ f
2
∆Π =  − −
σ S ∆t
 ∂t 2 ∂S 2


Per definizione il valore del portafoglio 
così



-1
+ ∂ f/∂ S

2
unità del derivato
unità del sottostante 2



composto è pari a

∂f
∂f
Π=−f +
S ⇒ ∆Π = − ∆f +
∆S
∂S
∂S







Dato che in quest’equazione non figura il termine
dz il portafoglio deve essere privo di rischio
nell’intervallo dt.
Quindi il rendimento del portafoglio così
composto nel prossimo intervallo di tempo deve
essere uguale al tasso risk free sullo stesso
periodo di tempo altrimento emergerebbero
opportunità di arbitraggio
Ne segue che

∆Π = rΠ∆t

 ∂f 1 ∂ f 2 2 
∂f

 +
σ S dt = r  f −
 ∂t 2 ∂S 2

∂S



⇓
2

∂f
∂f 1 2 2 ∂ f
+ rS
+ σ S
= rf
2
∂t
∂S 2
∂S
2



S dt


L’equazione di Black & Scholes


L’equazione di Black & Scholes

∂f
∂f 1 2 2 ∂ 2 f
+ rS
+ σ S
= rf
2
∂t
∂S 2
∂S




ha molte soluzioni corrispondenti alle diverse condizioni al contorno che ossono
essere definite.
Tali condizioni specificano il valore del derivato sui confini del dominio di integrazione
rispetto a S e t.
Nel caso di un’opzione di tipo europeo le principali condizioni sono nel caso di una
call:

f = max(S − X ,0)


t=T

f = max( X − S ,0)

t=T

e nel caso di una put:


Tasso privo di rischio

Prezzo del Sottostante

Prezzo di Esercizio

Volatilità del
Sottostante

1
N ( z) =
2π

z

∫e

− y2 / 2

dy

Tempo a Scadenza

−∞


Il modello di Black & Scholes


Utilizzando la put-call parity troviamo il valore
della put nel modello di B&S

put ( S , t ; E , T ) = call ( S , t ; E , T ) − S + e − rT E
= S [ N ( d 1 ) − 1] − e

− rT

E [ N ( d 2 ) − 1]

= − S [ 1 − N ( d 1 ) ] + e − rT E [ 1 − N ( d 2 ) ]
= − SN ( − d 1 ) + e

− rT

EN ( − d 2 )




∆
Delta è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione
rispetto al prezzo dell’attività sottostate.



Γ
Gamma è il tasso di variazione del Delta dell’opzione
rispetto al prezzo dell’attività sottostante.



Λ
Vega è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione
rispetto alla volatilità dell’attività sottostante.



Θ
Theta è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione
rispetto al tempo.



ρ
Rho
è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione
rispetto al tasso privo di rischio.


Analisi di Sensitività con le greek letters : ∆

∂f
∆=
∂S

0 < ∆ = N (d1 ) < 1

per una call

− 1 < ∆ = [ N (d1 ) − 1] < 0

per una put

Analisi di Sensitività con le greek letters : Γ

∂∆ ∂ f
Γ=
= 2
∂S ∂S
2

N ′(d 1 )
Γ=
σS T


Analisi di Sensitività con le greek letters : Λ

∂f
Λ=
= S t N ′(d 1 ) = S t
∂σ

1 − d12 / 2
e
2π

Analisi di Sensitività con le greek letters : ρ

call
∂f Te EN (d 2 )
ρ=
=
− rT
∂r − TEe N (−d 2 ) put
− rT


La volatilità implicita






Dato il prezzo di mercato di un’opzione,
Invertendo l’equazione di Black & Scholes
possiamo ricavare la volatilità implicita nella
quotazione.
L’inversione può essere effettuata solo con
strumenti di calcolo numerico.
Nell’esempio in VBA utilizzeremo l’algoritmo
di Newton-Raphson discusso a suo tempo
per il tasso interno di rendimento.




Smile


Spesso sulla stessa azione sono quotate più
opzioni con prezzi di esercizio e scadenza diversi;


Se il modello di Black & Scholes fose corretto le opzioni
avrebbero prezzi differenti ma un identico valore per la
volatilità implicita;



σ infatti è funzione dell’attività sottostante e non del prezzo di
esercizio o del tempo;


Tuttavia è stato osservato che la volatilità implicita
per contratti con identica vita residua varia in
funzione del prezzo di esercizio!
20.00%
19.80%
19.60%
19.40%
19.20%
19.00%
18.80%
18.60%
18.40%
18.20%
18.00%
85.000

90.000

95.000

100.000

105.000


110.000

115.000



Smile


Di norma le opzioni “out” e “in” the money hanno un valore di
volatilità implicita maggiore di quelle at-the-money.



L’effetto, noto come volatility smile è accentuto per i contratti con
scadenza breve ed è quasi inesistente per quelli di lunga durata;



l’effetto smile contrasta con la teoria e rivela che il modello non è
corretto;



il fatto che, dopo il crash del 1987, l’effetto sia più evidente ha
indotto alcuni studiosi a formulare l’ipotesi che il vero processo
diffusivo dei prezzi sia a salti e non continuo.


Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

Calcolo della volatilità implicita nel prezzo di opzioni Call
Calcolo della volatilità implicita nel prezzo di opzioni Call


Volatilità Implicita


Il metodo della secante










L’efficienza del metodo di Newton-Raphson dipende dalla
volatilità iniziale scelta;
una procedura meno sensibile al valore iniziale di σ è il metodo
della secante;
il primo passo da compiere è di scegliere due valori per σ, uno
basso e uno alto.
Il valore basso σb stima C(σb) minore di C, il valore alto σa stima
C(σa) maggiore di C.
La volatilità implicita risulta dalla seguente interpolazione lineare:

[ C − C ( σ b ) ]( σ a − σ b )
σ1 = σb +
C (σ a ) − C (σ b )

Volatilità Implicita


Il metodo della secante


se il valore di C(σ) ottenuto inserendo nel modello di Black & Scholes è
inferiore al prezzo di mercato C, la nuova stima di σ è ottenuta
sostituendo σb con il valore della volatilità interpolata

[ C − C ( σ 1 ) ]( σ a − σ 1 )
σ2 = σ1 +
C (σ a ) − C (σ 1 )






Se il valore di C(σ) ottenuto inserendo σ1 nel modello è superiore al
prezzo di mercato per la nuova stima di σ si sostituisce a σa il valore della
volatilità interpolata.
Quando C(σ) coincide con C il processo iterativo termina è si è trovata
la volatilità implicita.
Il metodo è in generale preferito a quello di Newton-Raphson perché non
richiede la stima di Vega ad ogni iterazione.


Capitolo 6 introduzione alle opzioni finanziarie

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