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CLASIFICACIÓN:
                                                   A. SEGÚN SUS ÁNGULOS
    CONTENIDO TEÓRICO                          1. TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
 Definición: Es una figura cerrada
 formada por la reunión de 3                       A                             *         OBTUS ÁNGULO
 segmentos.                                                                               90° <  ° < 180°
                        B

      Región                                                          
      triangular
                   c              a                                 B                         C

                                          w°
                                           2. TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
            A
                        b             C                  °, °, W° < 90°
 Elementos:
 VÉRTICES          : A, B, C                                                         B

 LADOS             : AB, BC y AC                                                     
 ÁNGULOS INTERNOS : ,  y 
 ÁNGULOS EXTERNOS : w°
 PERÍMETRO         : 2p = a + b + c
                                                                                                W°
                                                                A                                      C
 NOTACIÓN: Triángulo ABC: Δ ABC

APLICACIONES EN LA VIDA REAL                   3. TRIÁNGULO RECTÁNGULO:
                                                 B  90
                                                       B




                                               A                                     C


                                               B. SEGÚN SUS LADOS
                                                           1.       Escaleno
                                                                                 B



                                                                        c                         a



                                                                A                                          C
                                                                                          b
2.        Isósceles                          LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
                                      B
                                                      1.CEVIANA
                                                                                     B
                                                                                                        BD : CEVIANA
                             L               L


                                           
                       A                          C                         A                   D        C
                                     base                                       Punto cualquiera de AC
                                                      2. MEDIANA
         3.        Equilátero                                                           B

                                      B                                                                  BM: MEDIANA



                                      60°
                             L               L                          A                                        C
                                                                                            M
                                                      3. ALTURA:
                             60°            60°                                                     B
                       A                          C                 B



PROPIEDADES GENERALES:
1. Suma de sus ángulos interiores
                                                      A                                         C                                         C
                                                                    H                               H                A
              B

          
                                                                                         BH : ALTURA

                                                      4. MEDIATRIZ:
                                                                                    B
                                                                                                        M ediatriz de AC
                     W°
A                                C


° + ° + W° = 180°
2. Suma de sus ángulos exteriores                                       A                                    C
                                                      5. BISECTRIZ:
                        e2
                                                                                                                              Bisectriz
                                                                        B                                                     exterior
                                                                                                             B       

                                                                                                                 
                                                      Bisectriz
                                            e3        interior

                   e1                                             
                                                                   
                                                            A                               C       A                     C                   D
          e1  e 2  e 3  360
3. Suma de 1 ángulo exterior
                             




                                            x
                  
                           x = ° + °
TRIÁNGULO RECTÁNGULO                               TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
                                                          NOTABLES


                                              45°         m 2                           45°    L
                                                                                 L 2
                                          m                                      2

                                                                  45°                               45°
                                                       m                                      L 2
                                                                                              2
Es aquel triángulo que tiene un ángulo
interno igual a 90°.
Los lados que forman el ángulo recto se             30°
                                                              h
les denomina CATETO y al lado mayor       h 3
                                                                                        53°
                                                                                                   5K
HIPOTENUSA                                2
                                                                                   3K

                                                                      60°                               37°
Teorema de Pitágoras                                          h                               4K
                                                              2

“La suma de los
cuadrados de los catetos                      Algunos triángulos Rectángulos cuyos
es igual a la hipotenusa                           lados son números enteros
al cuadrado”
                                                              13                              25

                                              12                                  24



                                                          5                                   7


    a 2 + b2 = c 2
                                                              17                              41

 Demostración Geométrica                  15                                      40



                                                          8                                   9
                                                                       Observación
                                                              B



                                                                  h
                                               75°
                                                                                       15°
                                                   A          H                                    C
                                                                            4h




                                                          PROPORCIONALIDAD
APLICACIONES DE LOS TRIÁNGULOS          PROPORCIONALIDAD
       RECTÁNGULOS NOTABLES         Definición.- Un número proporcional es
Ejemplo gráfico1:
                                    aquel que expresa cuántas veces una
                                    cantidad contiene en sí otra inferior; por
                                    ejemplo: doble, triple.




                                           Thales de Mileto


Ejemplo gráfico2:




                                          Reparto Proporcional

Ejemplo 1:
Hallar “x” en el gráfico:

Solución:
Usando Pitágoras:
102 = x2 + 82
100 = x2 + 64                             Teorema de Thales
100 – 64 = x2
36 = x2                              Tres o más rectas paralelas determinan
  36  x                             sobre otras dos secantes a ellas
 x = 6 Respuesta                    segmentos cuyas longitudes serán
Ejemplo 2:                           proporcionales entre sí.
Hallar “x” en el gráfico:                               A      D       L
                                                                           1
Solución:
                                                    B              E
                                                                               L
                                                                               2
Usando Pitágoras:
                                                C                      F           L
x2 = (x-1)2 + 72                                                                    3

x2 = x2 -2x +1 + 49
x2 – x2 +2x = 50
2x = 50                                             Si L1 // L2 // L3
 x = 25 Respuesta
                                              AB        DE                     AB          DE
                                                    =        También :                 =
                                              BC        EF                     AC          DF
Ejemplo: Si L1 // L2 // L3. Hallar x                                        PROPIEDAD
                                                L
                                                  1                                           B
                                           x- 2
                       4
                                                       L
                                                       2

                                               x+ 2
                   6
                                                           L                    1°       2°               3°
                                                            3
                                                                            A        M        C                    N


Resolución:
       4 x2                                                     Si   BM    bisectriz interior y
          
       6 x2                                                          BN    bisectriz exterior
 4x  2   6x  2 
        x  10                                                                                AM AN
                                                                                                 =
                                                                                              MC   CN
 Aplicación del Teorema de Thales

                                                                 4. Teorema de Menelao :

                                                                                              B



                                                                                     M
                                                                                                      N


                                                                            A                     C                P
1.         A un triangulo                                                   AM . BN . CP = MB . NC . AP
               B
                                           Si: M N // AC
                                                                 5. Teorema de Ceva
                                                      BM BN
           M                   N                         =
                                                      M A NC
                                                                                              B
       A                                       C


2.         Teorema de la Bisectriz Exterior                                          M                         N



                                                      a b
                                                      m=n                   A                     P                C
                   a           x           b
                                                                            AM . BN . CP = M B . NC . AP



                       m               n
3. Teorema de la bisectriz Exterior:

                                                           a b
                                                           m=n
               a
                           b


                                   n
                           m
SEMEJANZA DE FIGURAS GEOMETRICAS                      2. Segundo Caso:
                                                        Dos triángulos serán semejantes si
                                                        tienen un mismo ángulo y los lados que
                                                        lo forman son proporcionales.



                                                               a                             
                                                                                                     m
    SEMEJANZA DE TRIÁ NGULOS                                                                            
Definición: Dos triángulos serán                                        b                                    n
semejantes cuando los ángulos de uno de
ellos sean iguales a los ángulos del otro;                   Si:
como consecuencia. Sus lados respectivos
serán proporcionales entre sí:                        3. Tercer Caso:
                                                         Dos triángulos serán semejantes si sus
                B                         N              lados son proporcionales entre si.
                                         



        A
                            C   M
                                                P                 a                b       
        ˆ ˆ                                                                                          m           n
        A M
  Si:   ˆ ˆ
        BN             MNP
                      ABC
                                                                            c                                p
        ˆ   ˆ
        C  P
                                                             Si:
  
                                                                            PROPIEDADES
        K: razón de semejanza                           1.
                                                                                         B

            CASOS DE SEMEJANZA DE
                 TRIÁNGULOS                                                      M               N



                                                                            A                            C



                                                                        Si:     MN // AC

                                                                    ABC  MNB



1. Primer Caso:                                         2.
                                                                                M                N
  Dos triángulos serán semejantes si
  tienen dos ángulos iguales.                                                        B



                                                                        A                            C

                                  
                                                                        Si:     MN // AC
                                            
                                                                    ABC  MNB
APLICACIONES DE LA SEMEJANZA                  EJERCICIOS DE APLICACIÓN DEL
        DE TRIÁNGULOS                                TEOREMA DE THALES
                                             01. En la figura mostrada. Si m // n // t
En la figura se encuentran dos edificios a      Hallar x:
la misma hora y muy cerca uno del otro.
                                                                                         m
                                                             x                          x+ 2
                                                                                                        n

                                                        4x                                      15              l

                                             a) 1,75
                                             b) 1,5
                                             c) 1,42
                                             d) 2,5
El más alto proyecta una sombra de 12        e) 1,25
m, mientras que el más bajo proyecta         02. En la figura mostrada. Si m // n // l //r
una sombra de 4m, Si el edificio más            Hallar x.
pequeño tiene una altura de 10m.
¿Cuál es la altura del más grande?                                    x
                                                                                        m
                                                                                        2
                                                                                         n

   a) 18m b) 20m c) 30m d) 40m e) 60m                        3x+2                       2y +1
                                                                                            l
Resolución:                                                   6                                 y       t

                                             a) 1
                                             b) 2
                                             c) 3
                                             d) 4
                                             e) 5
                                             03.En la figura mostrada. Si m // n // l. y
                                                AB // CD . Hallar x.
Por el teorema se semejanza:
                                                                      C
 4 10                                                                                     m
                                                                                       x +1
12 x                                                              A                              n
4 x  12(10)                                                 E
                                                                                                2x
                                                                                                        l
 x  30
                                                                       3x       B   9       D

                                             a) 3
Luego la altura del edificio más grande      b) 4
  es de 30 metros                            c) 6
                                             d) 7
                                             e) 5
                                             04. Siendo L1 // L2 // L3 .Hallar BC
                                                                                A               E
                                                                           L1
                                                                           5k - 5                   1
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                                                                      L2
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                                                                 L3



                                             a) 5
                                             b) 10
                                             c) 15
                                             d) 7/5
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Triángulos-semejanza

  • 1. CLASIFICACIÓN: A. SEGÚN SUS ÁNGULOS CONTENIDO TEÓRICO 1. TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO Definición: Es una figura cerrada formada por la reunión de 3 A * OBTUS ÁNGULO segmentos. 90° <  ° < 180° B Región   triangular c a B C w°   2. TRIÁNGULO ACUTÁNGULO A b C °, °, W° < 90° Elementos: VÉRTICES : A, B, C B LADOS : AB, BC y AC  ÁNGULOS INTERNOS : ,  y  ÁNGULOS EXTERNOS : w° PERÍMETRO : 2p = a + b + c  W° A C NOTACIÓN: Triángulo ABC: Δ ABC APLICACIONES EN LA VIDA REAL 3. TRIÁNGULO RECTÁNGULO:  B  90 B A C B. SEGÚN SUS LADOS 1. Escaleno B c a A C b
  • 2. 2. Isósceles LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO B 1.CEVIANA B BD : CEVIANA L L   A C A D C base Punto cualquiera de AC 2. MEDIANA 3. Equilátero B B BM: MEDIANA 60° L L A C M 3. ALTURA: 60° 60° B A C B PROPIEDADES GENERALES: 1. Suma de sus ángulos interiores A C C H H A B  BH : ALTURA 4. MEDIATRIZ: B M ediatriz de AC  W° A C ° + ° + W° = 180° 2. Suma de sus ángulos exteriores A C 5. BISECTRIZ: e2 Bisectriz B exterior B   Bisectriz e3 interior e1   A C A C D e1  e 2  e 3  360 3. Suma de 1 ángulo exterior  x  x = ° + °
  • 3. TRIÁNGULO RECTÁNGULO TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 45° m 2 45° L L 2 m 2 45° 45° m L 2 2 Es aquel triángulo que tiene un ángulo interno igual a 90°. Los lados que forman el ángulo recto se 30° h les denomina CATETO y al lado mayor h 3 53° 5K HIPOTENUSA 2 3K 60° 37° Teorema de Pitágoras h 4K 2 “La suma de los cuadrados de los catetos Algunos triángulos Rectángulos cuyos es igual a la hipotenusa lados son números enteros al cuadrado” 13 25 12 24 5 7 a 2 + b2 = c 2 17 41 Demostración Geométrica 15 40 8 9 Observación B h 75° 15° A H C 4h PROPORCIONALIDAD
  • 4. APLICACIONES DE LOS TRIÁNGULOS PROPORCIONALIDAD RECTÁNGULOS NOTABLES Definición.- Un número proporcional es Ejemplo gráfico1: aquel que expresa cuántas veces una cantidad contiene en sí otra inferior; por ejemplo: doble, triple. Thales de Mileto Ejemplo gráfico2: Reparto Proporcional Ejemplo 1: Hallar “x” en el gráfico: Solución: Usando Pitágoras: 102 = x2 + 82 100 = x2 + 64 Teorema de Thales 100 – 64 = x2 36 = x2 Tres o más rectas paralelas determinan 36  x sobre otras dos secantes a ellas  x = 6 Respuesta segmentos cuyas longitudes serán Ejemplo 2: proporcionales entre sí. Hallar “x” en el gráfico: A D L 1 Solución: B E L 2 Usando Pitágoras: C F L x2 = (x-1)2 + 72 3 x2 = x2 -2x +1 + 49 x2 – x2 +2x = 50 2x = 50 Si L1 // L2 // L3  x = 25 Respuesta AB DE AB DE = También : = BC EF AC DF
  • 5. Ejemplo: Si L1 // L2 // L3. Hallar x PROPIEDAD L 1 B x- 2 4 L 2 x+ 2 6 L 1° 2° 3° 3 A M C N Resolución: 4 x2 Si BM  bisectriz interior y  6 x2 BN  bisectriz exterior 4x  2   6x  2  x  10 AM AN = MC CN Aplicación del Teorema de Thales 4. Teorema de Menelao : B M N A C P 1. A un triangulo AM . BN . CP = MB . NC . AP B Si: M N // AC 5. Teorema de Ceva BM BN M N = M A NC B A C 2. Teorema de la Bisectriz Exterior M N a b m=n A P C a x b AM . BN . CP = M B . NC . AP m n 3. Teorema de la bisectriz Exterior: a b m=n a b n m
  • 6. SEMEJANZA DE FIGURAS GEOMETRICAS 2. Segundo Caso: Dos triángulos serán semejantes si tienen un mismo ángulo y los lados que lo forman son proporcionales. a  m SEMEJANZA DE TRIÁ NGULOS   Definición: Dos triángulos serán b n semejantes cuando los ángulos de uno de ellos sean iguales a los ángulos del otro; Si: como consecuencia. Sus lados respectivos serán proporcionales entre sí: 3. Tercer Caso: Dos triángulos serán semejantes si sus B N lados son proporcionales entre si.   A   C M   P a b  ˆ ˆ m n A M Si: ˆ ˆ BN     MNP ABC c p ˆ ˆ C  P Si:  PROPIEDADES K: razón de semejanza 1. B CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS M N A C Si: MN // AC  ABC  MNB 1. Primer Caso: 2. M N Dos triángulos serán semejantes si tienen dos ángulos iguales. B A C  Si: MN // AC      ABC  MNB
  • 7. APLICACIONES DE LA SEMEJANZA EJERCICIOS DE APLICACIÓN DEL DE TRIÁNGULOS TEOREMA DE THALES 01. En la figura mostrada. Si m // n // t En la figura se encuentran dos edificios a Hallar x: la misma hora y muy cerca uno del otro. m x x+ 2 n 4x 15 l a) 1,75 b) 1,5 c) 1,42 d) 2,5 El más alto proyecta una sombra de 12 e) 1,25 m, mientras que el más bajo proyecta 02. En la figura mostrada. Si m // n // l //r una sombra de 4m, Si el edificio más Hallar x. pequeño tiene una altura de 10m. ¿Cuál es la altura del más grande? x m 2 n a) 18m b) 20m c) 30m d) 40m e) 60m 3x+2 2y +1 l Resolución: 6 y t a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03.En la figura mostrada. Si m // n // l. y AB // CD . Hallar x. Por el teorema se semejanza: C 4 10 m  x +1 12 x A n 4 x  12(10) E 2x l x  30 3x B 9 D a) 3 Luego la altura del edificio más grande b) 4 es de 30 metros c) 6 d) 7 e) 5 04. Siendo L1 // L2 // L3 .Hallar BC A E L1 5k - 5 1 B F L2 5k +1 4 C G L3 a) 5 b) 10 c) 15 d) 7/5 e) 8