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I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 1 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
ÁNGULO TRIGONOMETRICO
Ángulo Trigonométrico, es aquel que se genera al
hacer rotar un rayo alrededor de su origen, al que
llamaremos: vértice, desde una posición inicial o
lado inicial hasta una posición final o lado final.
Punto 0: vértice
OP : Lado inicial
OR : Lado Final
TIPOS
Ángulo de una vuelta
Ángulo Coterminales
β – α = k (360º)
Ángulo en posición normal
Ángulos cuadrantales
α
β
Lado inicial siempre
en esa posición
Lado final en
cualquier parte
α
0
y
x
0
Lado final en
cualquier los 4
semiejes
x
y
Si la rotación se realiza en el sentido
antihorario, el ángulo será positivo y en
el sentido horario será negativo. El
ángulo trigonométrico puede tomar
cualquier valor positivo o negativo.
: Medida positiva : Medida negativa
Es importante precisar que:
▪ Cuando a un ángulo trigonométrico
se le cambia el sentido, el signo
cambia.
TOMA NOTA
I.E.
EL BUEN PASTOR
TRIGONOMETRIA
ANGULO TRIGONOMETRICO
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 2 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
Practica en el
aula
01.- Del gráfico, se cumple:
a)  +  = 1 vuelta
b)  -  = 1 vuelta
c)  +  = 0°
d)  -  = 1 vuelta
e)  +  = ½ vuelta
02.- Del gráfico se cumple:
a)  +  = ½ vuelta
b)  -  = ½ vuelta
c)  -  = ½ vuelta
d)  +  = 0°
e) - - = ½ vuelta
03.- Hallar “x “ del gráfico
a) 1 vuelta -  - 
b) 1 vuelta +  + 
c) 1 vuelta -  + 
d) ½ vuelta -  - 
e) ½ vuelta +  + 
04.- Del siguiente gráfico,  es igual a:
-3
5
-
05.- Halle x, en términos de  y ; a partir del
siguiente gráfico
-150°

x

06. Hallar x en:
a) 14º b) 12º c) 10º
d) 24º e) 26º
Te toca practicar
BLOQUE I
01. Señale la relación correcta entre  y .
a)  +  = 90º
b)  -  = 90º
c)  +  = -90º
d)  +  = 0
e)  -  = 90º


I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 3 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
02. Del gráfico determine x.
a) 10º
b) 15º
c) 25º
d) 30º
e) 35º
03. Calcular “x”
a) -50
b) -100
c) -200
d) -180
e) -90
04. Hallar “x”
a)
2
º90

-
b)
2
º90

+
c)
2
º180

-
d)
2
º180

+
e)
2
º270

-
05. Del gráfico hallar “x”
a) 15º
b) 35º
c) 55º
d) 30º
e) 60º
06. Del gráfico hallar “x”
a) 10º
b) 30º
c) 40º
d) 50º
e) 60º
07. Del gráfico hallar “x”; si OC es bisectriz.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 12
e) 18
08. Hallar la relación entre ,  y 
a)  -  -  = 90º
b)  +  -  = 90º
c)  -  +  = 90º
d)  -  -
2

= 90º
e)
2

-  -
2

= 90º
09. Señale la relación correcta respecto a los
ángulos trigonométricos mostrados.
a)  -  = -90º
b)  +  = 90º
c)  +  = -90º
d)  -  = 90º
e)  +  = 180º
10. Señale lo correcto:
a)  -  +  = 90º
b)  -  +  = 270º
c)  -  -  = 270º
d)  -  +  = 270º
e)  +  +  = 270º
11. De acuerdo al gráfico señale lo correcto:
a)  +  = 180º
b)  -  = 180º
c)  -  = 180º
d)  +  = -180º
e)  +  = 90º
12. Calcular el valor “x” del siguiente
gráfico:
x + 50º
10º - x
(x + 40)º (20 – x)º
x 
-x
30º- x x + 10º
10º +
x
20º+x
50º - 2x
A
B
C
O
(5x-3)º
(9-6x)º
 









x
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 4 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
a) 2 + 
b) 
c) -2 - 
d)  + 
e)  - 
13. A que es igual  +  +  a partir del
gráfico adjunto:
a) -450º
b) -360º
c) -720º
d) 360º
e) 0º
14. De la figura expresar x en términos de 
y .
a)  -  - 360º
b)  +  - 360º
c) - +  + 360º
d) - -  + 360º
e)  -  - 720º
15. De acuerdo al gráfico indicar una
relación entre  y .
a)  -  = 180º
b) 2 +  = 270º
c) 2 -  = 90º
d)  + 2 = 90º
e)  - 2 = 90º
BLOQUE II
01.- De acuerdo al gráfico, señale lo correcto
respecto a los ángulos trigonométricos
mostrados.
a) ++ = 360º
b) -- = 360º
c) -- = 360º
d) +- = 360º
e) -- = 360º
02.- Calcular “x”
a) 30º b) 20º c) 15º
d) 10º e) 5
03.- De acuerdo al gráfico, señale lo correcto
respecto a los ángulos trigonométricos
mostrados.
a) - = 90º
b) + = 90º
c) - = 270º
d) - = 270º
e) + = 270º
04.- Calcular “x” en la figura.
a) -10º
b) 10º
c) -20º
d) -30º
e) NA
05.- En el gráfico mostrado, hallar “x”
a) 360º - 
b) -360º - 
c) 360º + 
d) 540º - 
e)  - 360º
06.- En cada caso, hallar “x” en función de los
ángulos mostrados.
a) +-270º
b) -+270º
c) --270º
d) ---270º
e) NA
07.- Del gráfico mostrado, hallar “x”
(x - 90)°
(11x - 10)°
(20 - x)°
(x + 40)°
x°




 x


I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 5 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19
08.- Hallar “x”
a) 15°
b) 14°
c) 24°
d) 11°
e) 10°
09.- Si en el gráfico OX y OY son bisectrices del
COB y AOB respectivamente; señale lo
correcto.
a) -2 = 90º
b) -2 = 180º
c) +2 = 180º
d) - = 270º
e) -2 = 360º
O
10.- Señale lo correcto respecto a los ángulos
trigonométricos mostrados:
a) + = 450°
b) - = 450
c) + = 270°
d) - = 450°
e) - = 360°
11.- De acuerdo al gráfico, señale lo correcto
respecto a los ángulos trigonométricos
mostrados.
a) - = 270º
b) - = 270º
c) + = 270º
d) - = 180º
e) - = 90º
12.- En el gráfico mostrado, hallar “x”.
a) 270º-+
b) +-270º
c) --270º
d) --270º
e) 270º+-
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 6 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
SEXAGESIMAL o INGLÉS
360
vuelta1
1 =° 1vuelta =360º
60
º1
'1 = 1º = 60’
60
'1
''1 = 1’ = 60’’
1° = 60’ 1º = 3600’’
CENTESIMAL o FRANCÉS
400
vuelta1
1g
= 1 vuelta = 400g
además:
1g
= 100m
1m
= 100s
1g
= 10000s
RADIAL o CIRCULAR
Unidad: radián (rad)
1 radián: Es aquel ángulo central que
determina sobre la circunferencia un arco (L)
cuya longitud es igual al radio (r).
L = r
Además:
1 vuelta = 2 rad
donde:
 = 3, 1416
 = 22/7
OBS.:
1 vuelta = 360º = 400g
=2 rad
½ vuelta = 180º = 200g
= rad
Luego:
 rad = 180º
 rad = 200g
9º = 10g
FORMAS PRÁCTICAS DE CONVERSIÓN
En general:
dadoSist.
pedido.Sist
dado.Sist
elen.Ang
pedidoSist.
elenAngulo
=
RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS
En general:
K
R
200
C
180
S
=

==
Donde:
S: Nº de grados sexagesimales
C: Nº de grados centesimales
R: Nº de radianes
También:

=

=
R
200C;
R
180S
RELACIÓN PARTICULAR:
10
C
9
S
=
Practica en el
aula
01.- Convertir 153º a grados centesimales.
02.- Determinar la medida de un ángulo en
radianes, tal que verifique la siguiente
condición:
( )2 2
SC 9
C S
181S C
= -
+
03.- Convertir 250g
a radianes.
04.- Simplificar la expresión:
E =
5S 4C
3S C
+
-
L
r
r
o 1
rad
I.E.
EL BUEN PASTOR
TRIGONOMETRIA
SISTEMA DE MEDIDAS ÁNGULARES
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 7 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
05.- ¿Cuántos radianes mide uno de los
ángulos agudos de un triángulo
rectángulo si uno de ellos es de 39º39’?
06.- Calcular:
º10
9
100
90
20rad11
M g
g
+





+
=
07.- Reducir:
º20
40rad
A
g
5
4
+
=

08.- Hallar  en grados sexagesimales:
09.- Hallar R en:
S + C + R = 380 + 
10.- Hallar R en:
)119(RSCSC -=--+
11.- Del gráfico mostrado si:
4xº =
g
y Hallar el valor de: yx +
12.- Si se idea un nuevo sistema de medida
angular donde una vuelta equivale a 300
grados de dicho sistema y a su vez cada
grado posee 20 minutos y cada minuto 20
segundos, ¿a cuántos segundos del nuevo
sistema equivale un segundo centesimal?
a) 3/100 b) 7/100 c) 1/50
d) 1/100 e) 1/40
13.- R, C y S son los números que representan
la medida de un ángulo de los sistemas
correspondientes, en los cuales se verifica
que:
( )191+=-++

R
SCSC . Hallar la
medida de dicho ángulo en radianes.
Te toca practicar
BLOQUE I
01. Expresar en centesimales
10
7 rad.
A) 70g
B) 100g
C) 140g
D) 210g
E) 300g
02. Expresar en sexagesimales 120g
.
A) 96º B) 108º C) 132º
D) 72º E) 95º
03. En un triangulo sus ángulos miden 39º, 90g
y (x )rad. Calcular “x”.
a) 3 b)
3
1
c) 2
d) ½ e) n.a
04. Calcular “x”, si: (3x – 2)º =
18

rad
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
05. Del grafico hallar “x”.
A) 10º B) 30º C) 40º
D) 50º E) 60º
06. Si la medida de un ángulo satisface la
igualdad:
119
R
SCSC
-
=-++
Hallar el  en radianes.
A)

6480 B)

340 C)

571
D)

6481 E) n.a.
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 8 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
07. Expresar 30º 30’36” en la forma a9
bm
cs
y
calcular el valor de:
M= 2a + b – c
a) 121 b) 141 c) 150
d) 12 e) 156
08. Si las medidas sexagesimal, centesimal y
radial de un mismo ángulo se encuentran
relacionados por la expresión:
(S + C) =

2
KR Hallar K
a) 380 b) 95 c) 71
d) 342 e) n.a.
09. La medida de un ángulo se expresa como
.rad
30
x
Calcular la medida de dicho ángulo
en grados centesimales sabiendo que el
valor de su complemento es 9xº
a) 40g b) 80g c) 60g
d) 75g
e) 45g
10. Hallar x si:
S = x2
– 3x – 10
C = x2
– 2x – 4
a) 4 y 16 b) 5 y 25 c) 3 y 9
d) 9 7 y 49 e) n.a.
BLOQUE II
01.- El complemento de 40g
en radianes es:
a)
18

rad b) 3
20

rad c) 2
9

rad
d) 3
10

rad e)
9

rad
02.- Si la suma de las medidas de dos ángulos
es 36° y su diferencia es 20g
¿Cuál es su
mayor?
a)
20

rad b) 29
10

rad c) 3
20

rad
d)
5

rad e)
6

rad
03.- Si la suma de dos ángulos es
4
9

rad y su
diferencia es 20° Calcular el mayor
ángulo.
a) 49° b) 31° c) 55°
d) 44° e) 50°
04.- Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo miden (6n)° y (10n)°. Calcular
los ángulos en radianes.
a)
3 5
y
16 16
 
b) y
3 4
 
c)
d)
3 5
y
11 11
 
e) NA
05.- En un triángulo ABC se tiene A+B =
3
4

rad, B + C = 150°, entonces el triangulo
es:
a) Isósceles
b) Rectángulo
c) Equilátero
d) Rectángulo isósceles
e) Obtusángulo
06.- Convertir 84° 30’ 36’’ al sistema centesimal
a) 92g
90m
b) 93g
90m
c) 92g
80m
d) 92g
91m
e) NA
07.- Dado un triángulo rectángulo donde uno
de sus ángulos mide
11
45

rad, determinar
la medida del otro ángulo agudo.
a) 40° b) 42° c) 44°
d) 46° e) 48°
08.- Del gráfico; hallar “x”.
a) 70°
b) 80°
c) 90°
d) 60°
e) 75°
09.- Calcular :
E =
g
g
rad 110 21
6
20 rad
2


+ - °
+
a) 23/18 b) 18/23 c) 1
d) 13/9 e) NA
5
y
12 12
 
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 9 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
3 3
C S 2S-C
L 6
C-S C-S
+
= + +
10.- Se inventa un nuevo sistema de medida
angular llamado “Neals”, y simbolizado
como “N”; de modo que 105° equivalen a
133 unidades “N”. ¿A cuantas unidades
“N” equivalen “” radianes?
a) 266 b) 228 c) 238
d) 248 e) 258
11.- Convertir: 56g
35m
71s
al sistema
sexagesimal.
a) 50º43’17’’ b) 51º43’17’’
c) 50º42’17’’ d) 50º43’12’’
e) NA
12.- Calcular:
g
g
º
3
º
 +
-
 -
a) 1 b) 2 a) 3
d) 5 e) 4
13.- Si:
16

rad < > a°b’, calcular:
b 1
a 2
+
-
a) 1/3 b) 2/3 c) 4/3
d) 1/2 e) 3/2
14.- Calcular:
g
g
9xº 10y
yºx
+
a) 19 b) 18 c) 17
d) 16 e) 15
15.- Determine el valor de:
g
72º 11
rad
5 50
10

+
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
16.- Calcular el valor de:
g
70 18º
rad 40º
4
-

-
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
17.- Si se cumple lo convencional reducir la
expresión:
a) 10
b) 20
c) 1/40
d) 60
e) NA
18.- Si se cumple lo convencional reducir la
expresión:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
19.- Si se cumple lo convencional reducir la
expresión:
a) 2
b) 3
c) 2 2
d) 4
e) NA
20.- Señale la medida sexagesimal de un ángulo
que verifica:
C – S = 3 ; Siendo “S” y “C” lo
convencional.
a) 18° b) 27° c) 36°
d) 45° e) 9°
21.- Sabiendo que “S” y “C” son lo conocido
para un mismo ángulo, no nulo,
simplificar:
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
22.- Si se cumple lo convencional reducir la
expresión:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
23.- Calcular:
5
120º rad
2C S3E 3
40º S C
 
+  +
= -   -   
 
a) -9 b) -4 c) -2
d) 2 e) NA
2
2
(C-S)(C S)
P
380R
 +
=
2C-S
P 5
C-S
= +
2S-C
K
C-S
=
7
C
SC2
K +
+
=
S-
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 10 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
24.- Calcule un ángulo en radianes que verifica:
(C S)
40
R
 -
=
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 9
25.- Siendo S, C y R lo conocido para un mismo
ángulo, calcular:
E =
(C S) 40R
17R
+  -
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
26.- Hallar la medida de un ángulo expresado
en radianes, tal que cumpla la siguiente
condición:
SR CR
1
20 8
+ =
 
a) /10º b) /9 c) /8
d) /6 e) /5
27.- Siendo S y C los números convencionales,
para los cuales se tiene:
S = 9(a-10)2
C = 10(b-9)2
Calcule el valor de: (a+b)/(a-b)
a) 13 b) 15 c) 17
d) 19 e) 21
28.- Determine la medida circular de un ángulo
si se tiene que:
C = 2a + b
S = a + b
R = 7 - a
a) /2 rad b) /3 rad c) /4 rad
d) /5 rad e) /6 rad
BLOQUE III
01. ¿Cuánto mide un ángulo en el cual se ha
cometido un error de 0,0092 rad al escribir
a’ en lugar de am
?
a) 3,1g
b) 2,14g
c) 3,12g
d) 2,16g
e) 2,1g
02. Dada la igualdad
1
23
2
-=
-
+ R
mn
mn
Donde m, n y R representan el número de
minutos sexagesimales, número de minutos
centesimales y número de radianes de un
mismo ángulo, respectivamente. Calcule el
menor ángulo en radianes que se cumple
dicha condición.
a) -12 b) -14 c) -10
d) -8 e) -6
03. S y C son lo convencional. Además:
151
3
----
=C
S , calcular
107109
610
-++-
+++=
CSCS
CCM
a) 3 b) 4 c) 5
d) 7/2 e) 8
04. Del gráfico adjunto, calcule
y
x
K
+
=
360
(y – 40)g
X’
a) 1/54 b) 53 c) 54
d) 55 e) 56
05. Los ángulos interiores de un triángulo son
,  y  de tal manera que se cumplen las
siguientes relaciones:
º120;
3
2
=+=+  rad
Según esto, calcular

 32 +
=E
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 11 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
APLICACIONES
θ L
R
R
L = θ R
LONGITUD DEL ARCO
Donde:
θ = número de radianes (sin unidad)
R = medida del radio
L
R
R
θ
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
2
2
1
rA =
LRA
2
1
=

2
2
1 L
A =
Donde:
θ = número de radianes (sin unidad)
L = longitud de arco
R = medida del radio
Longitud de la circunferencia
C = 2π R
Área del circulo
C = π R2
Propiedad: (trapecio circular)
c c
a
b
( )cbaA +=
2
1
APLICACIONES:
a) Cuando una rueda gira sobre una superficie plana.
Cuando una rueda gira sobre una superficie curva.
b) Cuando se tienen ruedas unidas mediante una faja tangencial o en contacto.
c) Cuando se tienen ruedas unidas por su centro.
n: de vueltas
que gira la rueda
n1.r1=n2.r2
CALCULO DEL NÚMERO DE
RADIANES DEL ÁNGULO CENTRAL
I.E.
EL BUEN PASTOR
TRIGONOMETRIA
LONGITUD DE ARCO DE
CIRCUNFERENCIA
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 12 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
Practica en el
aula
1. Calcular: S1 – S2, OB=2; BE=1 CE=2.
DF=5
2. Hallar la medida del radio de un sector
circular de 16m de perímetro y cuya área es
la máxima posible.
3. A partir del gráfico, hallar:
ba
ba
E
-
+
=
O
a
b
A
C
D
B
45
75
4. Una maquina laminadora se compone de
dos rodillos, uno fijo de 12cm de diámetro y
el otro móvil de 4cm de diámetro. Si el
rodillo móvil gira completamente alrededor
del fijo, ¿cuántas vueltas dará el rodillo
móvil sobre su eje?
5. Un acróbata recorre interiormente una pista
semicircular de radio 5m con un monociclo
cuya rueda tiene un radio de 50cm.
Determinar el número de vueltas que da la
rueda del monociclo al recorrer
completamente la pista.
6. Del gráfico, hallar el área de la región
sombreada.
B
C
O
D
A
36º
10m
7. Del gráfico, hallar “”. Si
2
21
4
mSS

=+
α rad
α rad
S1 S2
B
A
C
O O1
m5
R
8. En el sistema de engranajes mostrados, el
disco mayor gira a razón de 120 rpm ¿A
cuántos rpm gira el disco menor?
5r 3r
4r r
A B
C D
9. El cuadrado ABCD de la figura adjunta tiene
longitud de lado 6m. Calcular la longitud o
perímetro del contorno que encierra la
región sombreada.
A
C
DO1
O2
B
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 13 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
Te toca practicar
BLOQUE I
01.- Del gráfico mostrado, calcular el área de
la región sombreada.
a) /2
b) 
c) 3/2
d) 4/3
e) 2/3
02.- Calcular el área de la figura sombreada,
siendo O1 y O2 centros.
a)
8
2 3
3

- b) 2 3
3

-
c) 2 3 - d)  + 1 e) NA
03.- Calcule el área de la región sombreada si
BH = 1. Dato: Triángulo ABC es
rectángulo
a)
4
4
- 
b)
4
2
- 
c)
4
6
- 
d)
4
8
- 
e) 4 - 
04.- Si: A = Área, calcular: b/a
a) 2
b) 3
c) 2 3
d) 2 2
e) 6
05.- Calcular el área de la región sombreada
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
06.- S1 y S2 son áreas, calcular: 1
2
S
S
a) 1,5
b) 2
c) 2,5
d) 3
e) 3,5
07.- Calcular el área del círculo si: AB = 4
a) 32 u²
b) 64 u²
c) 40 u²
d) 48 u²
e) 16 u²
08.- A un alumno se le pide calcular el área de
un sector circular cuyo ángulo central es
xº, pero al aplicar la fórmula escribe “x”
rad obteniendo un área de valor “M”, si el
área correcta es “N”. ¿A que es igual N/M?
a) 1 b) 200/9 c) 180/
d) /180 e) 0,9
09.- Hallar el perímetro de la región: . (=22/7)
a) 40
b) 50
c) 43
d) 53
e) 23
10.- Se tiene un sector circular de ángulo
central 36º.¿Cuanto hay que aumentar al
ángulo central de dicho sector para que su
45° 63
4
B
A H C
45°

2 S2
S1
bA A Aa
R
A
B
O 60°
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 14 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
área no varié si su radio disminuye en un
cuarto del anterior.
a) 30º b) 40º c) 28º
d) 63º e) 14º
11.- Del gráfico calcular el área de la región
sombreada.
a) 2
b) 4
c) 16
d) 24
e) 36
12.- Del gráfico mostrado calcular el área de la
región sombreada.
a) 10
b) 15
c) 30
d) 45
e) 20
13.- Del gráfico calcular: K = ( S3 – S2 ) / S1
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
14.- Calcular el área de la región sombreada
siendo BAC un sector circular, además:
AB = BD = 2 2 m
a) 2 2 –
b) 2–
c) 4–
d) 4 2 –
e) 8–
15.- A partir del gráfico, calcular: 3
2S
1S
a) 2/3
b) 3/2
c) 3/4
d) 2
e) 3
16.- Del gráfico, hallar “a” , si: S1 = S2
a) 0,5
b) 0,75
c) 1
d) 1,5
e) 2
BLOQUE II
1. Se tiene un sector circular de área "S". Si el
ángulo central se duplica y el radio se
triplica, se genera un nuevo sector circular
cuya área es:
a) 9S b) 12 S c) 18 S
d) 16S e) 15 S
2. Se tiene un sector circular de área "S". Si el
ángulo central se triplica y el radio se
duplica, se genera un nuevo sector circular
cuya área es:
a) 4 S b) 6 S c) 9 S
d) 12 S e) 18 S
3. Se tiene un sector circular de superficie
36cm2. Si el ángulo central se reduce a la
mitad y el radio se duplica, se genera un
nuevo sector circular cuya superficie es:
a) 36 cm2 b) 72 c) 144
d) 18 e) 96
4. Se tiene un sector circular de superficie 48
cm2. Si el ángulo central se reduce a su
tercera parte y el radio se duplica, se genera
un nuevo sector circular cuya superficie es:
a) 32 cm2 b) 24 c) 16
d) 64 e) 18
5. Se tiene un sector circular cuya superficie es
24 cm2. Si el ángulo central se incrementa
en su doble y el radio se reduce en su tercera
parte, se genera un nuevo sector circular
cuya superficie es:
a) 48 cm2 b) 18 c) 24
d) 36 e) 32
6. Se tiene un sector circular cuya superficie es
40 cm2. Si el ángulo central se reduce en su
quinta parte y el radio se incrementa en su
doble, se genera un nuevo sector circular
cuya superficie es:
a) 80 cm2 b) 576 c) 72
d) 288 e) 144
7. Se tiene un sector circular de radio "R" y
ángulo central de 36º. Si se reduce el ángulo
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 15 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
central en 11º y el radio se incrementa en
"x", de modo que el área del nuevo sector
generado es igual a la del sector original.
¿Cuál es el valor de "x"?
a) R/2 b) R/4 c) R/5
d) R/6 e) R/9
8. Se tiene un sector circular de radio "R" y
ángulo central de 49º. Si se reduce el ángulo
central en 13º y el radio se incrementa en
"x", de modo que el área del nuevo sector
generado es igual a la del sector original.
¿Cuál es el valor de "x"?
a) R/2 b) R/3 c) R/4
d) R/5 e) R/6
9. Del gráfico, calcular el área de la región
sombreada, si DAB es un sector circular con
centro en "A".
a) 4 -  b) 3 -  c)  - 3
d) /2 - 1 e) 2 - /2
10. Del gráfico, calcular el área de la región
sombreada.
a) 10 -  b) 5 -  c) 2 - 5
d) 10 - 2 e) 10 - 3
Bloque III
1. En un sector circular cuyo radio mide 4 cm,
¿Cuál es el mínimo valor entero que puede
tomar la superficie de dicho sector circular?
a) 24 cm2 b) 25 c) 12
d) 18 e) 28
2. Una aplanadora que consta de un rodillo debe
allanar un camino recto de 880m de longitud,
para lo cual da 70 vueltas al recorrer una
vez. Calcular el radio del rodillo.






=
7
22
Tomar
a) 2 b) 5 c) 1,2
d) 3 e) 3
3. Los radios de las ruedas de una bicicleta
están en la relación de 8 a 5. Si la bicicleta
se desplaza en línea recta un cierto tramo, la
rueda menor gira un ángulo de 7200°.
¿Cuántas vueltas dará la rueda mayor?
a) 12 v b) 12,5v c) 10,5v
d) 18v e) n.a.
4. Los radios de las ruedas de una bicicleta son:
(x + 1)m y (x – 1)m . Si la rueda mayor da
(x – 2) vueltas y la menor (x – 1) vueltas,
¿cuántas vueltas en total darán las dos
ruedas?
a) 1 v b) 5 v c)3v
d) 7 v e) 9 v
45º
A
D
C
B
22
22
B
DA
C
E F
5
2
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 16 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
Son las 6 fracciones que se
forman con los lados de un
triángulo rectángulo
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE
ÁNGULOS AGUDOS
A
B
C
c a
b
θ
β
a
c
csc
b
a
tag
b
c
sec
c
b
cos
a
b
ctg
c
a
sen
==
==
==



Como los catetos siempre son menores que
la hipotenusa.
0 < senθ < 1 ; 0 < cosθ <1
Tgθ > 0 ; ctgθ > 0
Secθ > 1 ; cscθ > 1
75º
15º
( ) k13 +
( )k13 -
k22
5k
3k
4k
53º
37º
30º
60º
k
3k
2k
45º
45º
k
k
2k 25k
7k
24k
74º
16º
k27
8º
10k
k2
TRIÁNGULOS NOTABLES
senθ
cosθ
tgθ
ctgθ
secθ
cscθ
senθ x cscθ = 1
cosθ x secθ = 1
tgθ x ctgθ = 1
Raz. Trigonométricas reciprocas
PROPIEDADES
b
c
csc
a
c
csc
a
c
sec
b
c
sec
b
a
ctg
a
b
ctg
a
b
tg
b
a
tg
c
a
cos
c
b
cos
c
b
sen
c
a
sen
==
==
==
==
==
==






A
B
C
c a
b
θ
β
θ y β son ángulos
complementarios
I.E.
EL BUEN PASTOR
TRIGONOMETRIA
RAZONES TRIGONOMETRICAS
DE ÁNGULOS AGUDOS
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 17 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
A partir de los notables tenemos los adicionales:
Practica en el
aula
1. En un triángulo rectángulo se sabe que el
cateto mayor es el doble del cateto menor.
Calcular las 6 razones trigonométricas del
temor ángulo de dicho triángulo rectángulo.
2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C,
se cumple que: Cos A = 0,96. calcular:
CscACotgA
SecAtagA
P
+
+
=
a) 1/4 b) 4/22 c) 4/21
d) 4/7 e) 21/4
3. En un triángulo ABC (recto en C) se cumple
que la suma de tangentes de los ángulos A
y B es 4 veces la longitud de la hipotenusa.
Calcule: E = b senA + a cosA.
a) 1/2 b) 1 c) 1/5
d) 2/5 e) 3/5
4. En un triángulo ABC (recto en C) se cumple
que 8
tan
tan
=
B
A
.
Calcular ABE cos9cot2 -=
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 23
5. Si tan(2x + 7°) = cot (4x + 35°), halle:
)126cos()54(
)116cos()63(
°++°+
°-+°+
=
xxsen
xxsen
E
a) 13 + b) 3 c) 5/6
d) 10/11 e) 13/11
6. Si: senx. Secy = 1, además x e y son
ángulos agudos, halle
yx
yxyx
W tan.tan
3
cot
2
tan 




 +





 +
=
a) 1 b) ½ c) 3
d) 2/3 e) 3 /3
7. Siendo ( )( ) 19cos2csc
3
tan =°-





xsen

,
además 0 < x < 90°, el valor de x es
a) 31° b) 39° c) 42°
d) 49° e) 51°
8. En la siguiente figura, calcular el valor de
tgθ, si M es punto medio.
M θ
20m
20m
C
D A
B
a) 3/4 b) 4/3 c) 1/2
d) 3/2 e) 4/5
22º30'
67º30'
1
4 + 2 2
2 + 1
15º
75º
6 - 2
4
6 + 2
18º30'
71º30'
1
10
3
26º30'
63º30'
1
5
2
8º
82º
1
7
16º
74º
7
25
24
5 2
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 18 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
Te toca practicar
NIVEL I
1).- Calcula : 1-Cos60°-2Sen2
30°
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
2).- Simplifica :
°
+
°+
°+
60Cos
1
45Ctg1
60Tan1
2
2
a) 4 b) 2 c) 6 d) ½ e) 4
3).- Simplifica :
°°+
°-°
30xTan60Tan1
30Tan60Tan
a) 3 b) 3 /3 c) 1 d) 2 e) 3
4).- Calcula:
(Tan37° + Ctg53°)Csc30°
a) 9/4 b) 9/16 c) 3/2 d) 4/9 e) ¾
5).- Simplifica:
2
30Ctg
60Ctg30Ctg
60Ctg.30Ctg1 °
-
°-°
°°+
a) 3 b) ½ c) 2 d)
2
3
e)3
6).- Calcula la medida de “” en la figura.
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 37°
e) 53°
7).- Calcula “x” en :
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
8).- En la figura. Calcula “3Cot”.
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 10
9).- En la figura.
Halla : E = Tan + Tan2 +Tan3
a) 22
b) 22/3
c) 23/3
d) 10
e) 15
10).- Calcula “Tan” en la figura:
a) 1/2
b) 1/3
c) 2
d) 3/2
e) 3/4
11).- Si: Sensec = 1
Halla el valor de:
Tan 




 +





 +
Tan.Tan
3
Cot
2
a) 32 b) 3 2 c) 3
d) 1/2 e) 24
12).- En la figura, calcula:
Q = TanA + TanC
a) 15/23
b) 20/17
c) 13/19
d) 17/20
e) 19/13
14
 37
°
10
60°
30°
37°
5
x
3 +
135°
 6
8 25 55
 

a2a
45°
53°
°
135° 6
2
CA
B
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 19 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
13).- Calcula “x”.
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
14).- Simplifica:
4
Ctg.
4
Sec.
3
Tg
6
Ctg.
4
Tag.
3
Sec


a) 0 b) 2 c) 4 3
d) 7 6 e) 6
15).- Siendo ABC triángulo equilátero.
Halla: Tg
a)
3
3
b)
4
3
c)
5
3
d)
6
3
e)
7
3
NIVEL II
1).- Si : Sen = 60/61 . Calcula el valor de :
P = Tg + Sec
a) 101/11 b) 1/11 c) 11
d) 10 e) 13/11
2).- El perímetro de un triángulo rectángulo es
338m. Si la tangente de uno de los
ángulos agudos es 2,4m ¿Cuánto mide el
cateto menor?
a) 13m b) 33.8m c) 50m
d) 56.33m e) 55
3).- Determina el área de un triángulo
rectángulo, si la hipotenusa mide 54 cm,
y el coseno del ángulo formado por la
altura y la mediana relativa a la
hipotenusa es igual a 2/3.
a) 420 cm2
b) 450cm2
c) 486cm2
d) 962cm2
e) 243cm2
4).- Los lados de un triángulo rectángulo son
números consecutivos. El coseno del
mayor ángulo agudo de ese triangulo es:
a) 3/2 b) 3/4 c) 1/2
d) 3/5 e) 4/5
5).- En el gráfico, calcula : Cot 
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
6).- En un triángulo ABC, recto en B, la
mediana CM y el cateto AB forman un
ángulo agudo , entonces Tg es:
a) ATg2

b) CTgATg

+ c) ACtg2

d) )ACtgCTg(2

+ e) CTg2

7).- En el cuadrado ABCD halla “”; si PR =4;
8PS = ; PT =7
a) 30
b) 37
c) 45
d) 53
e) 60
8).- En un triángulo ABC( C

=90) en el cual se
cumple que :
1 + SenA TgA = SenB + CscB
Calcula el valor de :
ATgASecE 22
+=
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
9).- A partir del triángulo ABC; BCAB = .
Halla Tg 
a) 1/3
b) 3
c) 2
d) 1/2
e) 1
5cm
C
8cm
2
A
B
5
1
1
4

C
BA
D
R
T
P
S



7 82°
x
5
2
D
C
B
A 
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 20 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
ÁNGULOS VERTICALES
Contenidos en un plano vertical, son de dos tipos: Ángulos de Elevación y Ángulo de Depresión.
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN
Formado por la horizontal que pasa por el ojo del observador y la VISUAL que está sobre esta horizontal.
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
Formado por la horizontal que pasa por el ojo del observador y la VISUAL que esta bajo esta horizontal.
VISUAL.- Segmento que une el ojo del observador con el objeto observado.
ÁNGULOS HORIZONTALES
Estos ángulos se estudian por medio de la ROSA NÁUTICA que es un gráfico donde se observa las 32
direcciones más usadas con respecto a los puntos cardinales Norte (N), SUR(S), ESTE (E) y OESTE (O).
Esta es la llamada ROSA NÁUTICA
Línea Horizontal
Línea Visual

h
 : Ángulo de Elevación
H

Línea Horizontal
Línea Visual
 : Ángulo de Depresión

Consideración: En el gráfico adjunto, " " es
el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note
que deben trazarse las dos visuales; una hacia
la parte alta y la otra hacia la parte baja.
Luego " " es el ángulo formado por las dos
visuales.


NENO
SO SE
N
S
O E
NNO
SSE
SSO
OSO
ENE
NNE
NO1/4O
ONO
ESE
SE1/4E
NO1/4N
O1/4NO
O1/4SO
E1/4NE
E1/4SE
SE1/4S
N1/4NO
SO1/4O
SO1/4O
S1/4SO S1/4SE
NE1/4E
N1/4NE
NE1/4N
I.E.
EL BUEN PASTOR
TRIGONOMETRIA
ÁNGULOS VERTICALES Y
HORIZONTALES
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 21 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
En cada uno de los cuatro cuadrantes aparecen ocho ángulos (32 direcciones
principales en todos los cuadrantes con una medida de: 360º: 32 = 11º 15’ cada
uno)
Graficamos sólo el primer cuadrante, los demás tienen direcciones con una
simbología semejante.
Fig. 1
NE (NORESTE). La dirección divide al cuadrante N y E en dos partes iguales. Se
representa: N 45º E
NNE (NOR-NORESTE) y ENE (ESTE – NORESTE) ambas direcciones dividen a los
ángulos de la fig. 1.
El ángulo formado por las direcciones N y NE (45º) está dividido en 4 partes
iguales; entonces:
N ¼ NE significa que a partir de la dirección NORTE nos desplazamos la cuarta parte del ángulo 45º
(11º 15’) hacia el NORESTE.
NE ¼ N (Noreste, un cuarto Norte)
NE ¼ E (Noreste, un cuarto Este)
E ¼ NE (Este, un cuarto Noreste)
RUMBO.- Es una forma de representar la dirección que sigue un móvil
respecto a un punto determinado. Las 32 direcciones estudiadas en la ROSA
NÁUTICA representan a los rumbos.
Ejemplo: N 60º E, es el rumbo que representa la dirección de un móvil
respecto a un punto A.
SITUACIONES COMBINADAS
Cuando los enunciados de los problemas mencionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y
ángulos horizontales (uso de direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la rosa náutica a emplear
asume una posición más real; es decir, ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo, grafiquemos la
siguiente situación:
"Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ángulo de elevación "α". Si
luego nos desplazamos hacia el N60ºE, hasta ubicarnos al Este del poste, el ángulo de elevación para
su parte más alta sería "β". Ahora, note la representación gráfica:

 60º
N60ºE
N
NE
E
45º
45º
N
NE
E
NNE
ENE
N1/4NE NE1/4N
NE1/4E
E1/4NE
N
E
S
O
A
N 60º E
60
º
N
NE
E
NNE
ENE
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 22 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
Practica en el
aula
01. Hallar la altura de la colina si el observador
se encuentra a 28 m de distancia de la
misma, además:  = 74º;  = 37º
a) 118 m b) 117 m c) 120 m
d) 115 m e) 124 m
02. Desde la plataforma superior de una torre
de radar ubicada a orillas del mar se
observa una boya con un ángulo de
depresión de 37º. Si dicha torre mide 24
metros de altura, calcular la distancia de la
boya a la base de la torre.
a) 32 m b) 24 m c) 8 m
d) 3 m e) 4 m
03. Desde un punto sobre el suelo se observa el
punto más alto de un edificio con un ángulo
de elevación de 60º y si retrocedo 150
metros observo el mismo punto pero con un
ángulo de elevación de 30º. Hallar la altura
del edificio.
a) 75 m b) 150 m c) 75 3 m
d) 3 m e) 150 3 m
04. Desde la cima de un monte se observa la
parte superior de un edificio con un ángulo
de elevación de 37º y el pie del mismo bajo
un ángulo de depresión de 53º. Si el
observador se encuentra a 72 m del edificio
¿Cuál es la altura de éste?
a) 54 m b) 96 m c) 150 m
d) 24 m e) 18 m
05. Felipe se desplaza 36 m en la dirección S
60ºO y desde esta nueva ubicación se
desplaza 18 m en la dirección N 60º O.
¿Cuál es la distancia entre el punto de salida
y el punto de llegada?
a) 18 m b) 7 m c) 18 7 m
d) 9 m e) 45 m
06. Un barco se encuentra en el punto A a 120
km del punto B donde se encuentra otro
barco. Respecto a un faro, A se encuentra al
SUR y B al ESTE. Si desde A el ángulo de
elevación con la parte superior del faro es
30º y desde B el ángulo de elevación es ,
calcular la Ctg  si el faro tiene 40 m de
altura.
a) 40 b) 6 c) 40 6
d) 3 2 e) 120
07. Desde lo alto de un faro, se observa un
mismo lado, dos barcos anclados, con un
ángulo de depresión de 53º y 37º. Si los
barcos están separados una distancia de 14
m, ¿Cuál es la altura del faro?
a) 16 m b) 12 m c) 24 m
d) 32 m e) 8 m
08. Una persona observa a 300m en la dirección
N60º E una torre y a 400m en la dirección S
30º E un árbol. Hallar la distancia entre la
torre y el árbol.
a) 200 m b) 300 m c) 400 m
d) 500 m e) 600 m
09. Dos aviones que vuelan a una misma altura
de 300m, en trayectorias perpendiculares,
tienen como objetivo disparar misiles
simultáneamente para dar a un mismo
blanco. En el instante en que uno de ellos
dispara un misil, al observar con un ángulo
de depresión de 45º ambos aviones están
separados 500m. ¿Cuál debe ser la medida
del ángulo de depresión con el que se
observa el otro avión al blanco para lograr
su objetivo.
a) 45º b) 37º c) 24º
d) 53º e) 14º
Te toca practicar
NIVEL I
01. Desde un punto de tierra se observa lo alto
de un edificio con ángulo de elevación 37º,
si la visual mide 30 m, determinar la altura
de edificio.
a) 3 m b) 12 c) 15
d) 18 e) 24
02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo
alto de un poste con un ángulo de elevación
de 45º. Si la altura del poste es de 20 m.
¿A qué distancia de el se halla la persona?
a) 18 b) 20 c) 22
d) 24 e) 32
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 23 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
03. Desde un punto ubicado a 24 m de una
torre, se divisa su parte más alta con un
ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la
altura de la torre?
a) 24 b) 36 c) 32
d) 42 e) 48
04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de
un poste con un ángulo de elevación de
37º. Si la altura del poste es de 30 m. ¿A
qué distancia del poste se encuentra el
punto de observación?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
05. Desde dos puntos separados 42 m se
observa la parte alta de un farol que se
encuentra entre ellos con ángulos de
elevación 37º y 45º. Determinar la altura
del farol.
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
06. Desde un muro de 6 m de altura se observa
la parte alta y baja un poste con ángulos de
elevación y depresión 60º y 30º
respectivamente. Determine la altura del
poste.
a) 15 m b) 24 c) 30
d) 36 e) 48
07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de
una torre con un ángulo de elevación ""
(Tg = 1/4). ¿A qué distancia de la torre se
halla el punto de observación, si la altura de
la torre es 7 m?
a) 14 b) 28 c) 56
d) 21 e) N.A.
08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de
un poste con un ángulo de elevación de
37º. Si nos acercamos una distancia igual a
la altura del poste, el ángulo de elevación
es "". Calcular: "Tg".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
09. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste
se ve su parte más alta con un ángulo de
elevación de 53º. Caminamos 3 m en
dirección al poste y el ángulo de elevación
para su parte más alta es "". Calcular:
"Ctg".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
10. Una hormiga observa la copa de un árbol
con un ángulo de elevación de 37º, luego
se acerca 7 m y observa el mismo punto
con un ángulo de elevación de 53º. Calcular
la altura del árbol.
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 20
11. Desde dos puntos separados 52 m se
observa lo alto de un poste con ángulos de
elevación 53º y θ 





=
5
2
tan . Si el poste
se encuentra entre los dos puntos.
Determine su altura.
a) 12 m b) 16 c) 18
d) 9 e) 11
12. Se observa un poste con ángulo de
elevación "θ" nos acercamos "L" y el ángulo
de elevación es 45º. Si la altura de poste es
"2 L". Determinar: Tg.
a) 1/3 b) 2/3 c) 1
d) 1/2 e) 3/2
13. Desde un edificio de 12 m de altura se
observa un automóvil con ángulo con
ángulo de depresión "θ" 





=
3
1
tan . Luego
se observa una señal más cerca del edificio
con ángulo de depresión 45º. Determine la
distancia entre la señal y el automóvil.
a) 12 m b) 18 c) 24
d) 36 e) 10
14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de
un poste con un ángulo de elevación de
45º, y desde otro punto ubicado en la mitad
de la distancia que hay entre el primer
punto y el poste, el ángulo de elevación es
"". Calcular: "Tg".
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 16
15. Desde un punto ubicado a 30 m de una
torre se divisa su parte más alta con un
ángulo de elevación "" (Tg=1/3). Si nos
alejamos una distancia igual a la altura de
la torre, el ángulo de elevación es "θ".
Calcular: "Ctgθ".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
16. Desde las partes superiores del primero,
segundo y tercer piso de un edificio se
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 24 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
observa lo alto de otro edificio con ángulos
de elevación , , θ respectiva-mente. Si:
Tan - Tan = 0,1 y Tanθ = 2,7.
¿Cuántos pisos tiene el segundo edificio?
a) 10 b) 15 c) 20
d) 30 e) 40
17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se
ve un punto en tierra con un ángulo de
depresión de 45º. Cuánto mide cada piso
del edificio, si el punto observado se halla a
24 m del mismo?
a) 2 b) 2,5 c) 3
d) 3,5 e) 4
18. Desde un punto ubicado a 36 m de un
edificio de 28 m de altura, se divisa su parte
más alta con un ángulo de elevación de 53º.
Señale la distancia de un punto a la base
del edificio.
a) 20 b) 21 c) 35
d) 32 e) 49
19. Desde el puesto del vigía de un barco que
tiene 48 m de altura se observa que el
ángulo de depresión de un bote es de 30º.
Calcular la distancia a la que esta el barco.
a) 48 b) 48 c) 12
d) 24 e) 6
20. Desde el pie de un poste se observa la parte
más alta de una torre con un ángulo de
elevación de 45º, el mismo punto es
observado desde la parte más alta del poste
con un ángulo de elevación de 37º. Calcular
la longitud del poste si la distancia entre el
poste y la torre es de 120 m.
a) 10 b) 15 c) 20
d) 30 e) 40
21. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de
un poste con un ángulo de elevación ""






=
6
1
tan ; y si nos acercamos 30 m el
ángulo de elevación es de 45º.
¿Cuál es la altura del poste?
a) 5 m b) 6 m c) 4 m
d) 8 m e) 12 m
NIVEL II
22. El ángulo de elevación de la cúspide de una
torre es de 60º a 72 metros de ella.
Estando el ojo del observador a 3 metros
sobre el suelo, la altura de la torre es
aproximadamente.
a) 72 m b) 373 c) 71 m
d) 73 m e) 372
23. Desde el pie de un poste el ángulo de
elevación de la parte más alta de un
campanario es 45º. Desde la parte superior
del poste que tiene 9 m de altura, el ángulo
de elevación es de 30º.
¿Cuál es la altura del campanario?
a)
2
39
b)
21
27
+
c)
13
35
+
d)
13
39
-
e)
13
39
+
24. Un niño está volando su cometa soltándole
cuerda, la misma que se mantiene tensa y
haciendo un ángulo θ con la horizontal. A
120 m detrás del niño hay un hombre.
Cuando la cometa se encuentra a 20 m de
altura, el hombre la observa con un ángulo
 respecto a la horizontal.
¿A cuántos metros de altura se encontrará
la cometa para que sea observada por el
hombre con un ángulo 2?
Considere:
3
1
tan =
a)
23
637
b)
17
1285
c)
13
1080
d)
19
1561
e)
13
637
25. Una balsa se aproxima hacia un faro. En un
determinado instante, el faro es observado
por el tripulante de la balsa con un ángulo
de elevación de
12

. Al recorrer 36m
adicionales vuelve a observar, encontrando
esta vez un ángulo de
6

.
Encuentre la altura del faro (desprecie la
altura del tripulante que hizo la
observación)
a) 10 m b) 15 m c) 12 m
d) 14 m e) 18 m
26. Desde lo alto de un edificio se observa a un
automóvil con un ángulo de depresión de
37º. Dicho automóvil se desplaza con
velocidad constante. Luego que avanza 28
m acercándose al edificio es observado con
un ángulo de depresión de 53º. Si desde
esta posición tarda en llegar al edificio 6
I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA
5to año de secundaria 25 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa
segundos, calcular la velocidad del
automovil.
a) 3 m/s b) 6 m/s c) 7 m/s
d) 12 m/s e) 4 m/s
27. Un avión se encuentra volando
horizontalmente a 180 km/h. En cierto
instante, el piloto ve una señal en tierra con
un ángulo de depresión de 30º. Dos
minutos después, estando sobre la señal, el
piloto observa a una distancia de 1000
metros un aerostato con un ángulo de
elevación de 60º.
¿A qué altura está volando el aerostato en
ese instante?
a) 32 km b) 35,2 km c) 33 km
d) 35,3 km e) 34 km
28. Un barco y un avión viajan en la misma
dirección y en el mismo sentido. En la
primera observación desde el barco se ve al
avión adelante con un ángulo de elevación
de 53º, marcando con una boya dicho
lugar. En la segunda observación se le ve
con un ángulo de 37º, si la velocidad del
avión es 8 veces la del barco.
Calcular la cotangente del ángulo con la que
el avión en la segunda posición observa la
boya.
a) 17/12 b) 15/11 c) 11/17
d) 3/4 e) 5/7
29. Dos puntos están ubicados en un mismo
nivel del suelo. Desde uno de ellos se
observa el extremo superior de un poste
con un ángulo de elevación  y desde otro
punto se observa el punto medio del poste
con un ángulo de elevación . Si la suma
de las distancias del poste a cada uno de los
puntos es d, calcular la altura del poste.
a) d.tan + 2d.tan b)
 ctgctg
d
+2
2
c) 2d.ctg + d.ctg d)
 tantan2
2
+
d
e) d(tan + 2tan)
30. Dos autos parten simultáneamente desde
un punto "P" en direcciones que forman un
ángulo "θ" uno a 5 km/h y el otro a 12
km/h.
Calcular el cosθ sabiendo que al cabo de
una hora la distancia desde el punto "P" al
punto medio del segmento que separa
ambos autos es de 7 km.
a) 5/8 b) 7/16 c) 3/80
d) 9/40 e) 13/25
NIVEL III
31. Un poste de 4 3 m se encuentra sujeto a
una cuerda tensa de 5 3 m que está atada
a una estaca en el suelo. Si una persona
observa la parte superior del poste con un
ángulo de elevación de 53º y observa la
cuerda en su totalidad con un ángulo de
30º, halle la distancia en la que se
encuentra la persona de la estaca.
a) 14m b) 15m c) 3 3 m
d) 16m e) 15 3
32. Una persona observa la parte superior de un
edificio de 12m de alto con un ángulo de
elevación de 37º, y la parte superior de una
antena que se encuentra sobre el edificio (a
4m del filo del edificio) con un ángulo de
elevación mayor a 2º al anterior. Entonces,
la longitud de la antena será: (considerar
tan39º = 0,81)
a) 3,3m b) 3,4m c) 4,25m
d) 4,3m e) 4,2m
33. Un niño y dos árboles se encuentran en una
misma línea. El niño, que está entre los
árboles, observa las partes superiores de
dichos árboles con ángulos de elevación ,
2. Si se sabe que sus respectivas visuales
miden 30 y 35m, calcule la altura del mayor
árbol, teniendo en cuenta que la distancia a
la que se encuentra el niño de un árbol es
igual a la altura del otro árbol y este último
es el que se opone a 2. (sugerencia sen2
= 2sen.cos)
a) 60/7m b) 40/7m c)
7
1060
m
d)
7
1050
m e)
7
1045
34. La elevación de la cumbre de una montaña
vista desde un punto del suelo es 45º.
Caminando desde dicho punto una distancia
de 30m en un plano horizontal en dirección
a la cumbre y luego otros 260m sobre un
plano ascendente cuya inclinación tiene
como cotangente 2,4 respecto a la
horizontal, se encuentra que la elevación de
la cumbre, vista desde esta última posición,
es de 53º. Calcular la altura de la cumbre.
a) 780m b) 700m c) 680m
d) 720m e) 400m

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1 tema de trigonometria 5 to

  • 1. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 1 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa ÁNGULO TRIGONOMETRICO Ángulo Trigonométrico, es aquel que se genera al hacer rotar un rayo alrededor de su origen, al que llamaremos: vértice, desde una posición inicial o lado inicial hasta una posición final o lado final. Punto 0: vértice OP : Lado inicial OR : Lado Final TIPOS Ángulo de una vuelta Ángulo Coterminales β – α = k (360º) Ángulo en posición normal Ángulos cuadrantales α β Lado inicial siempre en esa posición Lado final en cualquier parte α 0 y x 0 Lado final en cualquier los 4 semiejes x y Si la rotación se realiza en el sentido antihorario, el ángulo será positivo y en el sentido horario será negativo. El ángulo trigonométrico puede tomar cualquier valor positivo o negativo. : Medida positiva : Medida negativa Es importante precisar que: ▪ Cuando a un ángulo trigonométrico se le cambia el sentido, el signo cambia. TOMA NOTA I.E. EL BUEN PASTOR TRIGONOMETRIA ANGULO TRIGONOMETRICO
  • 2. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 2 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa Practica en el aula 01.- Del gráfico, se cumple: a)  +  = 1 vuelta b)  -  = 1 vuelta c)  +  = 0° d)  -  = 1 vuelta e)  +  = ½ vuelta 02.- Del gráfico se cumple: a)  +  = ½ vuelta b)  -  = ½ vuelta c)  -  = ½ vuelta d)  +  = 0° e) - - = ½ vuelta 03.- Hallar “x “ del gráfico a) 1 vuelta -  -  b) 1 vuelta +  +  c) 1 vuelta -  +  d) ½ vuelta -  -  e) ½ vuelta +  +  04.- Del siguiente gráfico,  es igual a: -3 5 - 05.- Halle x, en términos de  y ; a partir del siguiente gráfico -150°  x  06. Hallar x en: a) 14º b) 12º c) 10º d) 24º e) 26º Te toca practicar BLOQUE I 01. Señale la relación correcta entre  y . a)  +  = 90º b)  -  = 90º c)  +  = -90º d)  +  = 0 e)  -  = 90º  
  • 3. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 3 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa 02. Del gráfico determine x. a) 10º b) 15º c) 25º d) 30º e) 35º 03. Calcular “x” a) -50 b) -100 c) -200 d) -180 e) -90 04. Hallar “x” a) 2 º90  - b) 2 º90  + c) 2 º180  - d) 2 º180  + e) 2 º270  - 05. Del gráfico hallar “x” a) 15º b) 35º c) 55º d) 30º e) 60º 06. Del gráfico hallar “x” a) 10º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º 07. Del gráfico hallar “x”; si OC es bisectriz. a) 2 b) 4 c) 6 d) 12 e) 18 08. Hallar la relación entre ,  y  a)  -  -  = 90º b)  +  -  = 90º c)  -  +  = 90º d)  -  - 2  = 90º e) 2  -  - 2  = 90º 09. Señale la relación correcta respecto a los ángulos trigonométricos mostrados. a)  -  = -90º b)  +  = 90º c)  +  = -90º d)  -  = 90º e)  +  = 180º 10. Señale lo correcto: a)  -  +  = 90º b)  -  +  = 270º c)  -  -  = 270º d)  -  +  = 270º e)  +  +  = 270º 11. De acuerdo al gráfico señale lo correcto: a)  +  = 180º b)  -  = 180º c)  -  = 180º d)  +  = -180º e)  +  = 90º 12. Calcular el valor “x” del siguiente gráfico: x + 50º 10º - x (x + 40)º (20 – x)º x  -x 30º- x x + 10º 10º + x 20º+x 50º - 2x A B C O (5x-3)º (9-6x)º            x
  • 4. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 4 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa a) 2 +  b)  c) -2 -  d)  +  e)  -  13. A que es igual  +  +  a partir del gráfico adjunto: a) -450º b) -360º c) -720º d) 360º e) 0º 14. De la figura expresar x en términos de  y . a)  -  - 360º b)  +  - 360º c) - +  + 360º d) - -  + 360º e)  -  - 720º 15. De acuerdo al gráfico indicar una relación entre  y . a)  -  = 180º b) 2 +  = 270º c) 2 -  = 90º d)  + 2 = 90º e)  - 2 = 90º BLOQUE II 01.- De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados. a) ++ = 360º b) -- = 360º c) -- = 360º d) +- = 360º e) -- = 360º 02.- Calcular “x” a) 30º b) 20º c) 15º d) 10º e) 5 03.- De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados. a) - = 90º b) + = 90º c) - = 270º d) - = 270º e) + = 270º 04.- Calcular “x” en la figura. a) -10º b) 10º c) -20º d) -30º e) NA 05.- En el gráfico mostrado, hallar “x” a) 360º -  b) -360º -  c) 360º +  d) 540º -  e)  - 360º 06.- En cada caso, hallar “x” en función de los ángulos mostrados. a) +-270º b) -+270º c) --270º d) ---270º e) NA 07.- Del gráfico mostrado, hallar “x” (x - 90)° (11x - 10)° (20 - x)° (x + 40)° x°      x  
  • 5. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 5 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 08.- Hallar “x” a) 15° b) 14° c) 24° d) 11° e) 10° 09.- Si en el gráfico OX y OY son bisectrices del COB y AOB respectivamente; señale lo correcto. a) -2 = 90º b) -2 = 180º c) +2 = 180º d) - = 270º e) -2 = 360º O 10.- Señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados: a) + = 450° b) - = 450 c) + = 270° d) - = 450° e) - = 360° 11.- De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados. a) - = 270º b) - = 270º c) + = 270º d) - = 180º e) - = 90º 12.- En el gráfico mostrado, hallar “x”. a) 270º-+ b) +-270º c) --270º d) --270º e) 270º+-
  • 6. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 6 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa SEXAGESIMAL o INGLÉS 360 vuelta1 1 =° 1vuelta =360º 60 º1 '1 = 1º = 60’ 60 '1 ''1 = 1’ = 60’’ 1° = 60’ 1º = 3600’’ CENTESIMAL o FRANCÉS 400 vuelta1 1g = 1 vuelta = 400g además: 1g = 100m 1m = 100s 1g = 10000s RADIAL o CIRCULAR Unidad: radián (rad) 1 radián: Es aquel ángulo central que determina sobre la circunferencia un arco (L) cuya longitud es igual al radio (r). L = r Además: 1 vuelta = 2 rad donde:  = 3, 1416  = 22/7 OBS.: 1 vuelta = 360º = 400g =2 rad ½ vuelta = 180º = 200g = rad Luego:  rad = 180º  rad = 200g 9º = 10g FORMAS PRÁCTICAS DE CONVERSIÓN En general: dadoSist. pedido.Sist dado.Sist elen.Ang pedidoSist. elenAngulo = RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS En general: K R 200 C 180 S =  == Donde: S: Nº de grados sexagesimales C: Nº de grados centesimales R: Nº de radianes También:  =  = R 200C; R 180S RELACIÓN PARTICULAR: 10 C 9 S = Practica en el aula 01.- Convertir 153º a grados centesimales. 02.- Determinar la medida de un ángulo en radianes, tal que verifique la siguiente condición: ( )2 2 SC 9 C S 181S C = - + 03.- Convertir 250g a radianes. 04.- Simplificar la expresión: E = 5S 4C 3S C + - L r r o 1 rad I.E. EL BUEN PASTOR TRIGONOMETRIA SISTEMA DE MEDIDAS ÁNGULARES
  • 7. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 7 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa 05.- ¿Cuántos radianes mide uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo si uno de ellos es de 39º39’? 06.- Calcular: º10 9 100 90 20rad11 M g g +      + = 07.- Reducir: º20 40rad A g 5 4 + =  08.- Hallar  en grados sexagesimales: 09.- Hallar R en: S + C + R = 380 +  10.- Hallar R en: )119(RSCSC -=--+ 11.- Del gráfico mostrado si: 4xº = g y Hallar el valor de: yx + 12.- Si se idea un nuevo sistema de medida angular donde una vuelta equivale a 300 grados de dicho sistema y a su vez cada grado posee 20 minutos y cada minuto 20 segundos, ¿a cuántos segundos del nuevo sistema equivale un segundo centesimal? a) 3/100 b) 7/100 c) 1/50 d) 1/100 e) 1/40 13.- R, C y S son los números que representan la medida de un ángulo de los sistemas correspondientes, en los cuales se verifica que: ( )191+=-++  R SCSC . Hallar la medida de dicho ángulo en radianes. Te toca practicar BLOQUE I 01. Expresar en centesimales 10 7 rad. A) 70g B) 100g C) 140g D) 210g E) 300g 02. Expresar en sexagesimales 120g . A) 96º B) 108º C) 132º D) 72º E) 95º 03. En un triangulo sus ángulos miden 39º, 90g y (x )rad. Calcular “x”. a) 3 b) 3 1 c) 2 d) ½ e) n.a 04. Calcular “x”, si: (3x – 2)º = 18  rad A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 05. Del grafico hallar “x”. A) 10º B) 30º C) 40º D) 50º E) 60º 06. Si la medida de un ángulo satisface la igualdad: 119 R SCSC - =-++ Hallar el  en radianes. A)  6480 B)  340 C)  571 D)  6481 E) n.a.
  • 8. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 8 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa 07. Expresar 30º 30’36” en la forma a9 bm cs y calcular el valor de: M= 2a + b – c a) 121 b) 141 c) 150 d) 12 e) 156 08. Si las medidas sexagesimal, centesimal y radial de un mismo ángulo se encuentran relacionados por la expresión: (S + C) =  2 KR Hallar K a) 380 b) 95 c) 71 d) 342 e) n.a. 09. La medida de un ángulo se expresa como .rad 30 x Calcular la medida de dicho ángulo en grados centesimales sabiendo que el valor de su complemento es 9xº a) 40g b) 80g c) 60g d) 75g e) 45g 10. Hallar x si: S = x2 – 3x – 10 C = x2 – 2x – 4 a) 4 y 16 b) 5 y 25 c) 3 y 9 d) 9 7 y 49 e) n.a. BLOQUE II 01.- El complemento de 40g en radianes es: a) 18  rad b) 3 20  rad c) 2 9  rad d) 3 10  rad e) 9  rad 02.- Si la suma de las medidas de dos ángulos es 36° y su diferencia es 20g ¿Cuál es su mayor? a) 20  rad b) 29 10  rad c) 3 20  rad d) 5  rad e) 6  rad 03.- Si la suma de dos ángulos es 4 9  rad y su diferencia es 20° Calcular el mayor ángulo. a) 49° b) 31° c) 55° d) 44° e) 50° 04.- Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden (6n)° y (10n)°. Calcular los ángulos en radianes. a) 3 5 y 16 16   b) y 3 4   c) d) 3 5 y 11 11   e) NA 05.- En un triángulo ABC se tiene A+B = 3 4  rad, B + C = 150°, entonces el triangulo es: a) Isósceles b) Rectángulo c) Equilátero d) Rectángulo isósceles e) Obtusángulo 06.- Convertir 84° 30’ 36’’ al sistema centesimal a) 92g 90m b) 93g 90m c) 92g 80m d) 92g 91m e) NA 07.- Dado un triángulo rectángulo donde uno de sus ángulos mide 11 45  rad, determinar la medida del otro ángulo agudo. a) 40° b) 42° c) 44° d) 46° e) 48° 08.- Del gráfico; hallar “x”. a) 70° b) 80° c) 90° d) 60° e) 75° 09.- Calcular : E = g g rad 110 21 6 20 rad 2   + - ° + a) 23/18 b) 18/23 c) 1 d) 13/9 e) NA 5 y 12 12  
  • 9. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 9 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa 3 3 C S 2S-C L 6 C-S C-S + = + + 10.- Se inventa un nuevo sistema de medida angular llamado “Neals”, y simbolizado como “N”; de modo que 105° equivalen a 133 unidades “N”. ¿A cuantas unidades “N” equivalen “” radianes? a) 266 b) 228 c) 238 d) 248 e) 258 11.- Convertir: 56g 35m 71s al sistema sexagesimal. a) 50º43’17’’ b) 51º43’17’’ c) 50º42’17’’ d) 50º43’12’’ e) NA 12.- Calcular: g g º 3 º  + -  - a) 1 b) 2 a) 3 d) 5 e) 4 13.- Si: 16  rad < > a°b’, calcular: b 1 a 2 + - a) 1/3 b) 2/3 c) 4/3 d) 1/2 e) 3/2 14.- Calcular: g g 9xº 10y yºx + a) 19 b) 18 c) 17 d) 16 e) 15 15.- Determine el valor de: g 72º 11 rad 5 50 10  + a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 16.- Calcular el valor de: g 70 18º rad 40º 4 -  - a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17.- Si se cumple lo convencional reducir la expresión: a) 10 b) 20 c) 1/40 d) 60 e) NA 18.- Si se cumple lo convencional reducir la expresión: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 19.- Si se cumple lo convencional reducir la expresión: a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 4 e) NA 20.- Señale la medida sexagesimal de un ángulo que verifica: C – S = 3 ; Siendo “S” y “C” lo convencional. a) 18° b) 27° c) 36° d) 45° e) 9° 21.- Sabiendo que “S” y “C” son lo conocido para un mismo ángulo, no nulo, simplificar: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 22.- Si se cumple lo convencional reducir la expresión: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 23.- Calcular: 5 120º rad 2C S3E 3 40º S C   +  + = -   -      a) -9 b) -4 c) -2 d) 2 e) NA 2 2 (C-S)(C S) P 380R  + = 2C-S P 5 C-S = + 2S-C K C-S = 7 C SC2 K + + = S-
  • 10. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 10 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa 24.- Calcule un ángulo en radianes que verifica: (C S) 40 R  - = a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 9 25.- Siendo S, C y R lo conocido para un mismo ángulo, calcular: E = (C S) 40R 17R +  - a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 26.- Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes, tal que cumpla la siguiente condición: SR CR 1 20 8 + =   a) /10º b) /9 c) /8 d) /6 e) /5 27.- Siendo S y C los números convencionales, para los cuales se tiene: S = 9(a-10)2 C = 10(b-9)2 Calcule el valor de: (a+b)/(a-b) a) 13 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21 28.- Determine la medida circular de un ángulo si se tiene que: C = 2a + b S = a + b R = 7 - a a) /2 rad b) /3 rad c) /4 rad d) /5 rad e) /6 rad BLOQUE III 01. ¿Cuánto mide un ángulo en el cual se ha cometido un error de 0,0092 rad al escribir a’ en lugar de am ? a) 3,1g b) 2,14g c) 3,12g d) 2,16g e) 2,1g 02. Dada la igualdad 1 23 2 -= - + R mn mn Donde m, n y R representan el número de minutos sexagesimales, número de minutos centesimales y número de radianes de un mismo ángulo, respectivamente. Calcule el menor ángulo en radianes que se cumple dicha condición. a) -12 b) -14 c) -10 d) -8 e) -6 03. S y C son lo convencional. Además: 151 3 ---- =C S , calcular 107109 610 -++- +++= CSCS CCM a) 3 b) 4 c) 5 d) 7/2 e) 8 04. Del gráfico adjunto, calcule y x K + = 360 (y – 40)g X’ a) 1/54 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56 05. Los ángulos interiores de un triángulo son ,  y  de tal manera que se cumplen las siguientes relaciones: º120; 3 2 =+=+  rad Según esto, calcular   32 + =E
  • 11. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 11 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa APLICACIONES θ L R R L = θ R LONGITUD DEL ARCO Donde: θ = número de radianes (sin unidad) R = medida del radio L R R θ ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR 2 2 1 rA = LRA 2 1 =  2 2 1 L A = Donde: θ = número de radianes (sin unidad) L = longitud de arco R = medida del radio Longitud de la circunferencia C = 2π R Área del circulo C = π R2 Propiedad: (trapecio circular) c c a b ( )cbaA += 2 1 APLICACIONES: a) Cuando una rueda gira sobre una superficie plana. Cuando una rueda gira sobre una superficie curva. b) Cuando se tienen ruedas unidas mediante una faja tangencial o en contacto. c) Cuando se tienen ruedas unidas por su centro. n: de vueltas que gira la rueda n1.r1=n2.r2 CALCULO DEL NÚMERO DE RADIANES DEL ÁNGULO CENTRAL I.E. EL BUEN PASTOR TRIGONOMETRIA LONGITUD DE ARCO DE CIRCUNFERENCIA
  • 12. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 12 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa Practica en el aula 1. Calcular: S1 – S2, OB=2; BE=1 CE=2. DF=5 2. Hallar la medida del radio de un sector circular de 16m de perímetro y cuya área es la máxima posible. 3. A partir del gráfico, hallar: ba ba E - + = O a b A C D B 45 75 4. Una maquina laminadora se compone de dos rodillos, uno fijo de 12cm de diámetro y el otro móvil de 4cm de diámetro. Si el rodillo móvil gira completamente alrededor del fijo, ¿cuántas vueltas dará el rodillo móvil sobre su eje? 5. Un acróbata recorre interiormente una pista semicircular de radio 5m con un monociclo cuya rueda tiene un radio de 50cm. Determinar el número de vueltas que da la rueda del monociclo al recorrer completamente la pista. 6. Del gráfico, hallar el área de la región sombreada. B C O D A 36º 10m 7. Del gráfico, hallar “”. Si 2 21 4 mSS  =+ α rad α rad S1 S2 B A C O O1 m5 R 8. En el sistema de engranajes mostrados, el disco mayor gira a razón de 120 rpm ¿A cuántos rpm gira el disco menor? 5r 3r 4r r A B C D 9. El cuadrado ABCD de la figura adjunta tiene longitud de lado 6m. Calcular la longitud o perímetro del contorno que encierra la región sombreada. A C DO1 O2 B
  • 13. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 13 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa Te toca practicar BLOQUE I 01.- Del gráfico mostrado, calcular el área de la región sombreada. a) /2 b)  c) 3/2 d) 4/3 e) 2/3 02.- Calcular el área de la figura sombreada, siendo O1 y O2 centros. a) 8 2 3 3  - b) 2 3 3  - c) 2 3 - d)  + 1 e) NA 03.- Calcule el área de la región sombreada si BH = 1. Dato: Triángulo ABC es rectángulo a) 4 4 -  b) 4 2 -  c) 4 6 -  d) 4 8 -  e) 4 -  04.- Si: A = Área, calcular: b/a a) 2 b) 3 c) 2 3 d) 2 2 e) 6 05.- Calcular el área de la región sombreada a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 06.- S1 y S2 son áreas, calcular: 1 2 S S a) 1,5 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 3,5 07.- Calcular el área del círculo si: AB = 4 a) 32 u² b) 64 u² c) 40 u² d) 48 u² e) 16 u² 08.- A un alumno se le pide calcular el área de un sector circular cuyo ángulo central es xº, pero al aplicar la fórmula escribe “x” rad obteniendo un área de valor “M”, si el área correcta es “N”. ¿A que es igual N/M? a) 1 b) 200/9 c) 180/ d) /180 e) 0,9 09.- Hallar el perímetro de la región: . (=22/7) a) 40 b) 50 c) 43 d) 53 e) 23 10.- Se tiene un sector circular de ángulo central 36º.¿Cuanto hay que aumentar al ángulo central de dicho sector para que su 45° 63 4 B A H C 45°  2 S2 S1 bA A Aa R A B O 60°
  • 14. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 14 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa área no varié si su radio disminuye en un cuarto del anterior. a) 30º b) 40º c) 28º d) 63º e) 14º 11.- Del gráfico calcular el área de la región sombreada. a) 2 b) 4 c) 16 d) 24 e) 36 12.- Del gráfico mostrado calcular el área de la región sombreada. a) 10 b) 15 c) 30 d) 45 e) 20 13.- Del gráfico calcular: K = ( S3 – S2 ) / S1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14.- Calcular el área de la región sombreada siendo BAC un sector circular, además: AB = BD = 2 2 m a) 2 2 – b) 2– c) 4– d) 4 2 – e) 8– 15.- A partir del gráfico, calcular: 3 2S 1S a) 2/3 b) 3/2 c) 3/4 d) 2 e) 3 16.- Del gráfico, hallar “a” , si: S1 = S2 a) 0,5 b) 0,75 c) 1 d) 1,5 e) 2 BLOQUE II 1. Se tiene un sector circular de área "S". Si el ángulo central se duplica y el radio se triplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 9S b) 12 S c) 18 S d) 16S e) 15 S 2. Se tiene un sector circular de área "S". Si el ángulo central se triplica y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 4 S b) 6 S c) 9 S d) 12 S e) 18 S 3. Se tiene un sector circular de superficie 36cm2. Si el ángulo central se reduce a la mitad y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es: a) 36 cm2 b) 72 c) 144 d) 18 e) 96 4. Se tiene un sector circular de superficie 48 cm2. Si el ángulo central se reduce a su tercera parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es: a) 32 cm2 b) 24 c) 16 d) 64 e) 18 5. Se tiene un sector circular cuya superficie es 24 cm2. Si el ángulo central se incrementa en su doble y el radio se reduce en su tercera parte, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es: a) 48 cm2 b) 18 c) 24 d) 36 e) 32 6. Se tiene un sector circular cuya superficie es 40 cm2. Si el ángulo central se reduce en su quinta parte y el radio se incrementa en su doble, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es: a) 80 cm2 b) 576 c) 72 d) 288 e) 144 7. Se tiene un sector circular de radio "R" y ángulo central de 36º. Si se reduce el ángulo
  • 15. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 15 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa central en 11º y el radio se incrementa en "x", de modo que el área del nuevo sector generado es igual a la del sector original. ¿Cuál es el valor de "x"? a) R/2 b) R/4 c) R/5 d) R/6 e) R/9 8. Se tiene un sector circular de radio "R" y ángulo central de 49º. Si se reduce el ángulo central en 13º y el radio se incrementa en "x", de modo que el área del nuevo sector generado es igual a la del sector original. ¿Cuál es el valor de "x"? a) R/2 b) R/3 c) R/4 d) R/5 e) R/6 9. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada, si DAB es un sector circular con centro en "A". a) 4 -  b) 3 -  c)  - 3 d) /2 - 1 e) 2 - /2 10. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada. a) 10 -  b) 5 -  c) 2 - 5 d) 10 - 2 e) 10 - 3 Bloque III 1. En un sector circular cuyo radio mide 4 cm, ¿Cuál es el mínimo valor entero que puede tomar la superficie de dicho sector circular? a) 24 cm2 b) 25 c) 12 d) 18 e) 28 2. Una aplanadora que consta de un rodillo debe allanar un camino recto de 880m de longitud, para lo cual da 70 vueltas al recorrer una vez. Calcular el radio del rodillo.       = 7 22 Tomar a) 2 b) 5 c) 1,2 d) 3 e) 3 3. Los radios de las ruedas de una bicicleta están en la relación de 8 a 5. Si la bicicleta se desplaza en línea recta un cierto tramo, la rueda menor gira un ángulo de 7200°. ¿Cuántas vueltas dará la rueda mayor? a) 12 v b) 12,5v c) 10,5v d) 18v e) n.a. 4. Los radios de las ruedas de una bicicleta son: (x + 1)m y (x – 1)m . Si la rueda mayor da (x – 2) vueltas y la menor (x – 1) vueltas, ¿cuántas vueltas en total darán las dos ruedas? a) 1 v b) 5 v c)3v d) 7 v e) 9 v 45º A D C B 22 22 B DA C E F 5 2
  • 16. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 16 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa Son las 6 fracciones que se forman con los lados de un triángulo rectángulo RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS A B C c a b θ β a c csc b a tag b c sec c b cos a b ctg c a sen == == ==    Como los catetos siempre son menores que la hipotenusa. 0 < senθ < 1 ; 0 < cosθ <1 Tgθ > 0 ; ctgθ > 0 Secθ > 1 ; cscθ > 1 75º 15º ( ) k13 + ( )k13 - k22 5k 3k 4k 53º 37º 30º 60º k 3k 2k 45º 45º k k 2k 25k 7k 24k 74º 16º k27 8º 10k k2 TRIÁNGULOS NOTABLES senθ cosθ tgθ ctgθ secθ cscθ senθ x cscθ = 1 cosθ x secθ = 1 tgθ x ctgθ = 1 Raz. Trigonométricas reciprocas PROPIEDADES b c csc a c csc a c sec b c sec b a ctg a b ctg a b tg b a tg c a cos c b cos c b sen c a sen == == == == == ==       A B C c a b θ β θ y β son ángulos complementarios I.E. EL BUEN PASTOR TRIGONOMETRIA RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
  • 17. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 17 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa A partir de los notables tenemos los adicionales: Practica en el aula 1. En un triángulo rectángulo se sabe que el cateto mayor es el doble del cateto menor. Calcular las 6 razones trigonométricas del temor ángulo de dicho triángulo rectángulo. 2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que: Cos A = 0,96. calcular: CscACotgA SecAtagA P + + = a) 1/4 b) 4/22 c) 4/21 d) 4/7 e) 21/4 3. En un triángulo ABC (recto en C) se cumple que la suma de tangentes de los ángulos A y B es 4 veces la longitud de la hipotenusa. Calcule: E = b senA + a cosA. a) 1/2 b) 1 c) 1/5 d) 2/5 e) 3/5 4. En un triángulo ABC (recto en C) se cumple que 8 tan tan = B A . Calcular ABE cos9cot2 -= a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 23 5. Si tan(2x + 7°) = cot (4x + 35°), halle: )126cos()54( )116cos()63( °++°+ °-+°+ = xxsen xxsen E a) 13 + b) 3 c) 5/6 d) 10/11 e) 13/11 6. Si: senx. Secy = 1, además x e y son ángulos agudos, halle yx yxyx W tan.tan 3 cot 2 tan       +       + = a) 1 b) ½ c) 3 d) 2/3 e) 3 /3 7. Siendo ( )( ) 19cos2csc 3 tan =°-      xsen  , además 0 < x < 90°, el valor de x es a) 31° b) 39° c) 42° d) 49° e) 51° 8. En la siguiente figura, calcular el valor de tgθ, si M es punto medio. M θ 20m 20m C D A B a) 3/4 b) 4/3 c) 1/2 d) 3/2 e) 4/5 22º30' 67º30' 1 4 + 2 2 2 + 1 15º 75º 6 - 2 4 6 + 2 18º30' 71º30' 1 10 3 26º30' 63º30' 1 5 2 8º 82º 1 7 16º 74º 7 25 24 5 2
  • 18. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 18 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa Te toca practicar NIVEL I 1).- Calcula : 1-Cos60°-2Sen2 30° a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 2).- Simplifica : ° + °+ °+ 60Cos 1 45Ctg1 60Tan1 2 2 a) 4 b) 2 c) 6 d) ½ e) 4 3).- Simplifica : °°+ °-° 30xTan60Tan1 30Tan60Tan a) 3 b) 3 /3 c) 1 d) 2 e) 3 4).- Calcula: (Tan37° + Ctg53°)Csc30° a) 9/4 b) 9/16 c) 3/2 d) 4/9 e) ¾ 5).- Simplifica: 2 30Ctg 60Ctg30Ctg 60Ctg.30Ctg1 ° - °-° °°+ a) 3 b) ½ c) 2 d) 2 3 e)3 6).- Calcula la medida de “” en la figura. a) 30° b) 45° c) 60° d) 37° e) 53° 7).- Calcula “x” en : a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 8).- En la figura. Calcula “3Cot”. a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 10 9).- En la figura. Halla : E = Tan + Tan2 +Tan3 a) 22 b) 22/3 c) 23/3 d) 10 e) 15 10).- Calcula “Tan” en la figura: a) 1/2 b) 1/3 c) 2 d) 3/2 e) 3/4 11).- Si: Sensec = 1 Halla el valor de: Tan       +       + Tan.Tan 3 Cot 2 a) 32 b) 3 2 c) 3 d) 1/2 e) 24 12).- En la figura, calcula: Q = TanA + TanC a) 15/23 b) 20/17 c) 13/19 d) 17/20 e) 19/13 14  37 ° 10 60° 30° 37° 5 x 3 + 135°  6 8 25 55    a2a 45° 53° ° 135° 6 2 CA B
  • 19. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 19 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa 13).- Calcula “x”. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 14).- Simplifica: 4 Ctg. 4 Sec. 3 Tg 6 Ctg. 4 Tag. 3 Sec   a) 0 b) 2 c) 4 3 d) 7 6 e) 6 15).- Siendo ABC triángulo equilátero. Halla: Tg a) 3 3 b) 4 3 c) 5 3 d) 6 3 e) 7 3 NIVEL II 1).- Si : Sen = 60/61 . Calcula el valor de : P = Tg + Sec a) 101/11 b) 1/11 c) 11 d) 10 e) 13/11 2).- El perímetro de un triángulo rectángulo es 338m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4m ¿Cuánto mide el cateto menor? a) 13m b) 33.8m c) 50m d) 56.33m e) 55 3).- Determina el área de un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide 54 cm, y el coseno del ángulo formado por la altura y la mediana relativa a la hipotenusa es igual a 2/3. a) 420 cm2 b) 450cm2 c) 486cm2 d) 962cm2 e) 243cm2 4).- Los lados de un triángulo rectángulo son números consecutivos. El coseno del mayor ángulo agudo de ese triangulo es: a) 3/2 b) 3/4 c) 1/2 d) 3/5 e) 4/5 5).- En el gráfico, calcula : Cot  a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6).- En un triángulo ABC, recto en B, la mediana CM y el cateto AB forman un ángulo agudo , entonces Tg es: a) ATg2  b) CTgATg  + c) ACtg2  d) )ACtgCTg(2  + e) CTg2  7).- En el cuadrado ABCD halla “”; si PR =4; 8PS = ; PT =7 a) 30 b) 37 c) 45 d) 53 e) 60 8).- En un triángulo ABC( C  =90) en el cual se cumple que : 1 + SenA TgA = SenB + CscB Calcula el valor de : ATgASecE 22 += a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 9).- A partir del triángulo ABC; BCAB = . Halla Tg  a) 1/3 b) 3 c) 2 d) 1/2 e) 1 5cm C 8cm 2 A B 5 1 1 4  C BA D R T P S    7 82° x 5 2 D C B A 
  • 20. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 20 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa ÁNGULOS VERTICALES Contenidos en un plano vertical, son de dos tipos: Ángulos de Elevación y Ángulo de Depresión. ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Formado por la horizontal que pasa por el ojo del observador y la VISUAL que está sobre esta horizontal. ÁNGULO DE DEPRESIÓN Formado por la horizontal que pasa por el ojo del observador y la VISUAL que esta bajo esta horizontal. VISUAL.- Segmento que une el ojo del observador con el objeto observado. ÁNGULOS HORIZONTALES Estos ángulos se estudian por medio de la ROSA NÁUTICA que es un gráfico donde se observa las 32 direcciones más usadas con respecto a los puntos cardinales Norte (N), SUR(S), ESTE (E) y OESTE (O). Esta es la llamada ROSA NÁUTICA Línea Horizontal Línea Visual  h  : Ángulo de Elevación H  Línea Horizontal Línea Visual  : Ángulo de Depresión  Consideración: En el gráfico adjunto, " " es el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note que deben trazarse las dos visuales; una hacia la parte alta y la otra hacia la parte baja. Luego " " es el ángulo formado por las dos visuales.   NENO SO SE N S O E NNO SSE SSO OSO ENE NNE NO1/4O ONO ESE SE1/4E NO1/4N O1/4NO O1/4SO E1/4NE E1/4SE SE1/4S N1/4NO SO1/4O SO1/4O S1/4SO S1/4SE NE1/4E N1/4NE NE1/4N I.E. EL BUEN PASTOR TRIGONOMETRIA ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES
  • 21. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 21 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa En cada uno de los cuatro cuadrantes aparecen ocho ángulos (32 direcciones principales en todos los cuadrantes con una medida de: 360º: 32 = 11º 15’ cada uno) Graficamos sólo el primer cuadrante, los demás tienen direcciones con una simbología semejante. Fig. 1 NE (NORESTE). La dirección divide al cuadrante N y E en dos partes iguales. Se representa: N 45º E NNE (NOR-NORESTE) y ENE (ESTE – NORESTE) ambas direcciones dividen a los ángulos de la fig. 1. El ángulo formado por las direcciones N y NE (45º) está dividido en 4 partes iguales; entonces: N ¼ NE significa que a partir de la dirección NORTE nos desplazamos la cuarta parte del ángulo 45º (11º 15’) hacia el NORESTE. NE ¼ N (Noreste, un cuarto Norte) NE ¼ E (Noreste, un cuarto Este) E ¼ NE (Este, un cuarto Noreste) RUMBO.- Es una forma de representar la dirección que sigue un móvil respecto a un punto determinado. Las 32 direcciones estudiadas en la ROSA NÁUTICA representan a los rumbos. Ejemplo: N 60º E, es el rumbo que representa la dirección de un móvil respecto a un punto A. SITUACIONES COMBINADAS Cuando los enunciados de los problemas mencionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y ángulos horizontales (uso de direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la rosa náutica a emplear asume una posición más real; es decir, ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situación: "Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ángulo de elevación "α". Si luego nos desplazamos hacia el N60ºE, hasta ubicarnos al Este del poste, el ángulo de elevación para su parte más alta sería "β". Ahora, note la representación gráfica:   60º N60ºE N NE E 45º 45º N NE E NNE ENE N1/4NE NE1/4N NE1/4E E1/4NE N E S O A N 60º E 60 º N NE E NNE ENE
  • 22. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 22 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa Practica en el aula 01. Hallar la altura de la colina si el observador se encuentra a 28 m de distancia de la misma, además:  = 74º;  = 37º a) 118 m b) 117 m c) 120 m d) 115 m e) 124 m 02. Desde la plataforma superior de una torre de radar ubicada a orillas del mar se observa una boya con un ángulo de depresión de 37º. Si dicha torre mide 24 metros de altura, calcular la distancia de la boya a la base de la torre. a) 32 m b) 24 m c) 8 m d) 3 m e) 4 m 03. Desde un punto sobre el suelo se observa el punto más alto de un edificio con un ángulo de elevación de 60º y si retrocedo 150 metros observo el mismo punto pero con un ángulo de elevación de 30º. Hallar la altura del edificio. a) 75 m b) 150 m c) 75 3 m d) 3 m e) 150 3 m 04. Desde la cima de un monte se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 37º y el pie del mismo bajo un ángulo de depresión de 53º. Si el observador se encuentra a 72 m del edificio ¿Cuál es la altura de éste? a) 54 m b) 96 m c) 150 m d) 24 m e) 18 m 05. Felipe se desplaza 36 m en la dirección S 60ºO y desde esta nueva ubicación se desplaza 18 m en la dirección N 60º O. ¿Cuál es la distancia entre el punto de salida y el punto de llegada? a) 18 m b) 7 m c) 18 7 m d) 9 m e) 45 m 06. Un barco se encuentra en el punto A a 120 km del punto B donde se encuentra otro barco. Respecto a un faro, A se encuentra al SUR y B al ESTE. Si desde A el ángulo de elevación con la parte superior del faro es 30º y desde B el ángulo de elevación es , calcular la Ctg  si el faro tiene 40 m de altura. a) 40 b) 6 c) 40 6 d) 3 2 e) 120 07. Desde lo alto de un faro, se observa un mismo lado, dos barcos anclados, con un ángulo de depresión de 53º y 37º. Si los barcos están separados una distancia de 14 m, ¿Cuál es la altura del faro? a) 16 m b) 12 m c) 24 m d) 32 m e) 8 m 08. Una persona observa a 300m en la dirección N60º E una torre y a 400m en la dirección S 30º E un árbol. Hallar la distancia entre la torre y el árbol. a) 200 m b) 300 m c) 400 m d) 500 m e) 600 m 09. Dos aviones que vuelan a una misma altura de 300m, en trayectorias perpendiculares, tienen como objetivo disparar misiles simultáneamente para dar a un mismo blanco. En el instante en que uno de ellos dispara un misil, al observar con un ángulo de depresión de 45º ambos aviones están separados 500m. ¿Cuál debe ser la medida del ángulo de depresión con el que se observa el otro avión al blanco para lograr su objetivo. a) 45º b) 37º c) 24º d) 53º e) 14º Te toca practicar NIVEL I 01. Desde un punto de tierra se observa lo alto de un edificio con ángulo de elevación 37º, si la visual mide 30 m, determinar la altura de edificio. a) 3 m b) 12 c) 15 d) 18 e) 24 02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 45º. Si la altura del poste es de 20 m. ¿A qué distancia de el se halla la persona? a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 32
  • 23. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 23 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa 03. Desde un punto ubicado a 24 m de una torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 24 b) 36 c) 32 d) 42 e) 48 04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura del poste es de 30 m. ¿A qué distancia del poste se encuentra el punto de observación? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 05. Desde dos puntos separados 42 m se observa la parte alta de un farol que se encuentra entre ellos con ángulos de elevación 37º y 45º. Determinar la altura del farol. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 06. Desde un muro de 6 m de altura se observa la parte alta y baja un poste con ángulos de elevación y depresión 60º y 30º respectivamente. Determine la altura del poste. a) 15 m b) 24 c) 30 d) 36 e) 48 07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación "" (Tg = 1/4). ¿A qué distancia de la torre se halla el punto de observación, si la altura de la torre es 7 m? a) 14 b) 28 c) 56 d) 21 e) N.A. 08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37º. Si nos acercamos una distancia igual a la altura del poste, el ángulo de elevación es "". Calcular: "Tg". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 09. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. Caminamos 3 m en dirección al poste y el ángulo de elevación para su parte más alta es "". Calcular: "Ctg". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 10. Una hormiga observa la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 37º, luego se acerca 7 m y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 53º. Calcular la altura del árbol. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 20 11. Desde dos puntos separados 52 m se observa lo alto de un poste con ángulos de elevación 53º y θ       = 5 2 tan . Si el poste se encuentra entre los dos puntos. Determine su altura. a) 12 m b) 16 c) 18 d) 9 e) 11 12. Se observa un poste con ángulo de elevación "θ" nos acercamos "L" y el ángulo de elevación es 45º. Si la altura de poste es "2 L". Determinar: Tg. a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 1/2 e) 3/2 13. Desde un edificio de 12 m de altura se observa un automóvil con ángulo con ángulo de depresión "θ"       = 3 1 tan . Luego se observa una señal más cerca del edificio con ángulo de depresión 45º. Determine la distancia entre la señal y el automóvil. a) 12 m b) 18 c) 24 d) 36 e) 10 14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 45º, y desde otro punto ubicado en la mitad de la distancia que hay entre el primer punto y el poste, el ángulo de elevación es "". Calcular: "Tg". a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16 15. Desde un punto ubicado a 30 m de una torre se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación "" (Tg=1/3). Si nos alejamos una distancia igual a la altura de la torre, el ángulo de elevación es "θ". Calcular: "Ctgθ". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 16. Desde las partes superiores del primero, segundo y tercer piso de un edificio se
  • 24. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 24 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa observa lo alto de otro edificio con ángulos de elevación , , θ respectiva-mente. Si: Tan - Tan = 0,1 y Tanθ = 2,7. ¿Cuántos pisos tiene el segundo edificio? a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40 17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve un punto en tierra con un ángulo de depresión de 45º. Cuánto mide cada piso del edificio, si el punto observado se halla a 24 m del mismo? a) 2 b) 2,5 c) 3 d) 3,5 e) 4 18. Desde un punto ubicado a 36 m de un edificio de 28 m de altura, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. Señale la distancia de un punto a la base del edificio. a) 20 b) 21 c) 35 d) 32 e) 49 19. Desde el puesto del vigía de un barco que tiene 48 m de altura se observa que el ángulo de depresión de un bote es de 30º. Calcular la distancia a la que esta el barco. a) 48 b) 48 c) 12 d) 24 e) 6 20. Desde el pie de un poste se observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 45º, el mismo punto es observado desde la parte más alta del poste con un ángulo de elevación de 37º. Calcular la longitud del poste si la distancia entre el poste y la torre es de 120 m. a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40 21. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación ""       = 6 1 tan ; y si nos acercamos 30 m el ángulo de elevación es de 45º. ¿Cuál es la altura del poste? a) 5 m b) 6 m c) 4 m d) 8 m e) 12 m NIVEL II 22. El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de 60º a 72 metros de ella. Estando el ojo del observador a 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre es aproximadamente. a) 72 m b) 373 c) 71 m d) 73 m e) 372 23. Desde el pie de un poste el ángulo de elevación de la parte más alta de un campanario es 45º. Desde la parte superior del poste que tiene 9 m de altura, el ángulo de elevación es de 30º. ¿Cuál es la altura del campanario? a) 2 39 b) 21 27 + c) 13 35 + d) 13 39 - e) 13 39 + 24. Un niño está volando su cometa soltándole cuerda, la misma que se mantiene tensa y haciendo un ángulo θ con la horizontal. A 120 m detrás del niño hay un hombre. Cuando la cometa se encuentra a 20 m de altura, el hombre la observa con un ángulo  respecto a la horizontal. ¿A cuántos metros de altura se encontrará la cometa para que sea observada por el hombre con un ángulo 2? Considere: 3 1 tan = a) 23 637 b) 17 1285 c) 13 1080 d) 19 1561 e) 13 637 25. Una balsa se aproxima hacia un faro. En un determinado instante, el faro es observado por el tripulante de la balsa con un ángulo de elevación de 12  . Al recorrer 36m adicionales vuelve a observar, encontrando esta vez un ángulo de 6  . Encuentre la altura del faro (desprecie la altura del tripulante que hizo la observación) a) 10 m b) 15 m c) 12 m d) 14 m e) 18 m 26. Desde lo alto de un edificio se observa a un automóvil con un ángulo de depresión de 37º. Dicho automóvil se desplaza con velocidad constante. Luego que avanza 28 m acercándose al edificio es observado con un ángulo de depresión de 53º. Si desde esta posición tarda en llegar al edificio 6
  • 25. I.E. “EL BUEN PASTOR” TRIGONOMETRIA 5to año de secundaria 25 Prof. Lic. Luis Principe Quipuscoa segundos, calcular la velocidad del automovil. a) 3 m/s b) 6 m/s c) 7 m/s d) 12 m/s e) 4 m/s 27. Un avión se encuentra volando horizontalmente a 180 km/h. En cierto instante, el piloto ve una señal en tierra con un ángulo de depresión de 30º. Dos minutos después, estando sobre la señal, el piloto observa a una distancia de 1000 metros un aerostato con un ángulo de elevación de 60º. ¿A qué altura está volando el aerostato en ese instante? a) 32 km b) 35,2 km c) 33 km d) 35,3 km e) 34 km 28. Un barco y un avión viajan en la misma dirección y en el mismo sentido. En la primera observación desde el barco se ve al avión adelante con un ángulo de elevación de 53º, marcando con una boya dicho lugar. En la segunda observación se le ve con un ángulo de 37º, si la velocidad del avión es 8 veces la del barco. Calcular la cotangente del ángulo con la que el avión en la segunda posición observa la boya. a) 17/12 b) 15/11 c) 11/17 d) 3/4 e) 5/7 29. Dos puntos están ubicados en un mismo nivel del suelo. Desde uno de ellos se observa el extremo superior de un poste con un ángulo de elevación  y desde otro punto se observa el punto medio del poste con un ángulo de elevación . Si la suma de las distancias del poste a cada uno de los puntos es d, calcular la altura del poste. a) d.tan + 2d.tan b)  ctgctg d +2 2 c) 2d.ctg + d.ctg d)  tantan2 2 + d e) d(tan + 2tan) 30. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P" en direcciones que forman un ángulo "θ" uno a 5 km/h y el otro a 12 km/h. Calcular el cosθ sabiendo que al cabo de una hora la distancia desde el punto "P" al punto medio del segmento que separa ambos autos es de 7 km. a) 5/8 b) 7/16 c) 3/80 d) 9/40 e) 13/25 NIVEL III 31. Un poste de 4 3 m se encuentra sujeto a una cuerda tensa de 5 3 m que está atada a una estaca en el suelo. Si una persona observa la parte superior del poste con un ángulo de elevación de 53º y observa la cuerda en su totalidad con un ángulo de 30º, halle la distancia en la que se encuentra la persona de la estaca. a) 14m b) 15m c) 3 3 m d) 16m e) 15 3 32. Una persona observa la parte superior de un edificio de 12m de alto con un ángulo de elevación de 37º, y la parte superior de una antena que se encuentra sobre el edificio (a 4m del filo del edificio) con un ángulo de elevación mayor a 2º al anterior. Entonces, la longitud de la antena será: (considerar tan39º = 0,81) a) 3,3m b) 3,4m c) 4,25m d) 4,3m e) 4,2m 33. Un niño y dos árboles se encuentran en una misma línea. El niño, que está entre los árboles, observa las partes superiores de dichos árboles con ángulos de elevación , 2. Si se sabe que sus respectivas visuales miden 30 y 35m, calcule la altura del mayor árbol, teniendo en cuenta que la distancia a la que se encuentra el niño de un árbol es igual a la altura del otro árbol y este último es el que se opone a 2. (sugerencia sen2 = 2sen.cos) a) 60/7m b) 40/7m c) 7 1060 m d) 7 1050 m e) 7 1045 34. La elevación de la cumbre de una montaña vista desde un punto del suelo es 45º. Caminando desde dicho punto una distancia de 30m en un plano horizontal en dirección a la cumbre y luego otros 260m sobre un plano ascendente cuya inclinación tiene como cotangente 2,4 respecto a la horizontal, se encuentra que la elevación de la cumbre, vista desde esta última posición, es de 53º. Calcular la altura de la cumbre. a) 780m b) 700m c) 680m d) 720m e) 400m