Caderno de exercícios de probabilidades e combinatória

Caderno
~ Prático
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~ Editora
· Conjunto de exercícios organizados
por unidade temática
· Soluções de todos os exercícios
propostos

Ml§ufll Probabilidades e combinatória
'
Ml§ufiW Introdução ao cálculo diferencial li 38
Ml§.rffl Trigonometria e números complexos 76
Soluções 98
Ao Aluno
A conclusão do ensino secundário , com exame à disciplina de Matemática, é o fecho de um ciclo de
estudos, que prepara, por sua vez, o início de uma nova etapa, a qual exige um trabalho regular e
responsável.
A persistência é uma faculdade que tem co mo mérito ir reduzindo as dificuldades, pois, em cada
nova abordagem, algo se torna mais claro.
A co nsolidação dos conhecimentos adquiridos é atingida com persistência e trabalho assente nas
propostas diversificadas que te sugerimos neste Caderno Prático.
Este caderno divide-se em três temas :
Tema 1 -Probabilidades e combinatória
Tema 2- Introdução ao cálculo diferencial li
Tema 3- Trigonometria e números comp lexos
Em cada um dos temas encontras um conjunto de propostas, com soluções, que compreendem:
• exercícios mais ou menos rotineiros, para que desenvolvas e consolides as técnicas;
• problemas que envo lvem a compreensão da situação, a necessidade de estabelecer uma
estratégia de resolução e, por fim, uma análise crítica dos resultados;
• problemas que envolvem análise gráfica, modelação e comun icação matemática.
Não tenhas medo de errar! Os erros são fonte de reflexão e essenciais no processo dinâmico de
construção da tua própria aprendizagem .
Os autores
ISBN 978-972-0-42066-4

Probabilidades e combinatória
1. Introdução ao cálculo de probabilidades
1. Para cada uma das seguintes experiências aleatórias, indica o espaço de resultados.
1.1. Retirar, ao acaso, uma carta de um baralho e registar o naipe a que pertence.
1.2. Selecionar, ao acaso, um poliedro regular e registar o número de faces .
1.3. Selecionar, ao acaso, um poliedro regular e registar o nome do polígono
representado em cada face.
1.4. Lançar dois dados cúbicos com as faces numeradas de 1 a 6 e reg istar a
soma das pontuações obtidas.
2. O dado da figura tem a forma de um octaedro regular com as faces numeradas
de 1 a 8 .
Considera a experiência aleatória que consiste em lançar o dado e registar o número
da face que fica voltada para baixo.
Sejam A , B e C os acontecimentos :
A : "Sa ir número ímpar."
B : "Sair número primo."
C: "Sair número múltiplo de 3 ...
Representa na forma de conjunto o acontecimento :
2.1. A
2.3. c
2.5. B n c
2.2. B
2.4. A u C
2.6. A n B
3. As fichas representadas na figura, indistinguíveis ao tato, foram introduzidas
num saco.
Considera a experiência aleatória que consiste em retirar as fichas, uma a uma,
sem reposição, registando-se os seus números pela ordem de saída .
3.1. Representa o espaço de resultados, .Q, na forma de conj unto.
3.2. Sejam A e B os acontecimentos:
A: "A soma dos números da primeira e da ter-
ceira fichas retiradas é ímpar."
B: "O produto dos números das duas primeiras
fichas retiradas é múltiplo de 5 ...
Indica o número de resultados favoráveis a cada
um dos acontecimentos.

PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA
4. Um saco contém cinco bolas numeradas de 1 a 5 , sendo vermelhas as nume-
radas com número par e azu is as restantes.
4.1. Considera a experiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso, uma
bola e observar a cor.
4.1.1. Indica o espaço de resultados.
4.1.2. Os acontecimentos elementares são equiprováveis? Justifica.
4.2. Considera a experiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso, uma
bola e reg istar o número.
4.2.1. Indica o espaço de resu ltados.
4.2.2. Os acontecimentos elementares são equiprováveis? Justifica .
4.3. Considera a experiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso, duas
bolas, uma após a outra, sem reposição, observando-se a cor e o seu
numero.
Exemplo de notação:
V2 : representa a bola vermelha com o número 2 :
A5 : representa a bola azul com o número 5.
Sejam A, 8 e C os acontecimentos:
A: "A soma dos números das bolas retiradas é par."
8: "As bolas retiradas têm a mesma cor."
C: "O número da primeira bola retirada é maior que o da segunda."
Representa na forma de conjunto o acontecimento:
4.3.1. A
4.3.2. 8
4.3.3. c
4.3.4. A íl C
4.3.5. 8 u c

6. Num saco há oito bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 8 . Retira-se
uma bola ao acaso.
Considera os acontecimentos:
A : "O número da bola não é múltiplo de 4 ...
8: "O número da bola é par."
C: "O número da bola é ímpar."
5. 1. Representa sob a forma de conjunto os acontecimentos:
5.1.1. A n 8
5.1.3. A n c
5.1.5. 8 A
5.1.2. A u 8
5.1.4. C A
5.1.6. A u 8
5.2. Estabelece uma correspondência entre os conjuntos CU A , A n 8 e
A n 8 e os acontecimentos:
I: "O número da bola é par e múltiplo de 4 ...
11 : "O número da bola não é múltiplo de 4 nem é ímpar."
III: "O número da bola é múltiplo de 4 ou ímpar."
6. Uma moeda equilibrada tem as faces numeradas com 1 e 2 .
Considera a experiência aleatória que consiste em fazer três lançamentos da
moeda e registar em cada um deles o número da face que fica voltada para cima.
6.1. Indica o espaço de resultados associado à experiência descrita .
6.2. Sejam A , 8 e C os acontecimentos:
A: "No segundo lançamento ocorre a face com o número 1 ...
8: "Ocorre a face com o mesmo número nos três lançamentos."
C: "No primeiro lançamento e no último ocorre a face com o mesmo
número.
Mostra que :
6.2.1. 8UC éoacontecimentocerto;
6.2.2. A U 8 é o acontecimento elementar;
6.2.3. A 8 =A n 8

7. Numa turma com 22 alunos, sabe -se que 14 praticam natação, 1O futebol e
4 não praticam nenhuma destas modalidades. Considera a experiência que con -
siste na escolha aleatória de um aluno desta turma e no registo das modalidades
desportivas que pratica.
Sejam N e F os acontecimentos :
N: ''Pratica natação."
F: "Pratica futebol. "
Determina o número de resultados favoráveis a cada um dos seguintes aconteci -
mentos :
7.1. NnF
7.3. N
7.5. F N
7.2. NUF
7.4. N F
7.6. N n F
8. Numa aldeia decorre uma campanha de vacinação, feita por duas equ ipas, que
abrange todas as crianças com menos de 12 anos. Uma das equipas aplica a
vaci na A e a outra equ ipa aplica a vacina B .
Em dada fase do processo, 70% das crianças já tinham sido vacinadas por, pelo
menos, uma das equipas. Sabe-se ainda que 50% das crianças da alde ia já
tinham sido vacinadas com a vacina tipo A e 30% com a vacina tipo B.
Nesta fase do processo, indica qual a percentagem de crianças da aldeia que
tinham sido vacinadas:
8.1. com os dois tipos de vacinas;
8.2. apenas com a vacina tipo B.

9. Uma campanha de vacinação abrange um universo de 500 crianças. A cada
cria nça são admi nistradas três vacinas A, B e C em momentos distintos.
Em dado momento da ca mpanha, os dados relativos às perce ntage ns de crian -
ças vac in adas eram os segu intes:
• 35% com a vac ina A ;
• 50% com a vac ina B;
• 40% com a vac1na C ·
'
• 12% com as vacinas A e B;
• 20% co m as vacmas B e C;
• 10% com as vac1nas A e C;
• 5% com as vacinas A , B e C.
9.1. Representa os dados num diagram a de Venn .
9.2. Qual a percentagem de cr ianças ab rangidas pela campan ha qu e foram
vac in adas:
9.2.1. ape nas co m a vacina A?
9.2.2. com duas e só dua s vacinas?
9.3. Quantas cri anças ainda não foram vacinadas nesta campa nha ?
10. Numa gaiola estão 15 ratos, uns pretos e outros brancos, desconhecendo-se
quantos são de cada co r.
Admite que se retira, ao acaso, um rato da gaiola, regista-se a cor e devolve-se
de novo o rato à gaiola .
Esta expe ri ênc ia foi realizada várias vezes, obtendo-se os segu intes resultados:
N.0
de
20 50 100 200 1000 2000 5000 8000
experiências
N.0
de
14 32 79 158 798 1596 4005 6403
ratos brancos
N.0
de
6 18 21 42 202 404 995 1597
ratos pretos
Com base nos dados da tabela, qual a previsão que fazes para o número de ratos
brancos e para o número de ratos pretos? Fundamenta a tua opção.

11. Num saco há bolas vermelhas , pretas e azu is num
total de oito.
Pretende-se estimar o número de bolas de cada cor
que há no saco, sem as contar diretamente.
Para fazer essa estimat iva, repet iu- se um grande
número de vezes a retirada de uma bola do saco, seguida
da observação da sua cor e reposição da mesma.
Na tabela seg uinte estão algu ns va lores dessas expe-
riências.
I
Bola preta Bola vermelha Bola azul
N.0
de Freq. Freq. Freq.
experiências N.0
de
relativa
N.0
de
relativa
N.0
de
relativa
ocorrências
(3 c. d.)
ocorrências
(3 c. d.)
ocorrências
(3 c. d.)
5 o 2 3
105 13 42 50
200 24 78 98
500 57 209 234
1000 120 395 485
1500 185 599 716
11.1. Completa a tabela com os va lores em falta.
11.2. A partir dos resultados obtidos em 11.1., faz uma estimativa do número de
bolas de cada cor que há no saco.
12. Integrado num estudo sobre os malefícios do tabaco, alguns investigadores
observaram um grupo de 180 pessoas que tinham acorrido aos serviços de um
determinado hospital. Detetaram que 76 pessoas eram fumadores, 62 apre-
sentavam doenças pulmonares e 56 eram fumadores e apresentavam doenças
pu lmonares. Considera a experiência que consiste na escolha aleatória de um
elemento desse grupo. Sejam os acontecimentos:
O: "Sofre de doença pulmonar."
F: "É fumador."
Determ ina a probabilidade de ocorrer o acontecimento:
12.1. o
12.3. on F
12.2. Ou F
12.4. on F
13. Num saco há três bolas vermelhas, cinco bolas pretas e quatro bolas brancas,
indistinguíveis ao tato.
Uma bola é retirada do saco ao acaso. Ca lcula a probabilidade de:
13.1. ser bola vermelha (resultado sob a forma de percentagem);
13.2. não ser bola preta (resultado sob a forma de dízima arredondado às milésimas);
13.3. ser bola vermelha ou preta (resultado sob a forma de fração irredutível).

14. Admite que num saco há três bolas, sendo duas azu is e uma vermelha.
14.1. São retiradas, uma a uma, sem reposição, três bolas.
Determina a probabilidade de :
14.1.1. as bolas azuis ocorrerem em extrações consecutivas;
14.1.2. a bola vermelha ocorrer na primeira extração.
14.2. São retiradas, uma a uma, com reposição, três bolas.
Determina a probabilidade de:
14.2.1. as bolas retiradas serem da mesma cor;
14.2.2. ocorrerem exatamente duas bolas vermelhas.
15. Num saco há três bolas numeradas: uma numerada com o 1 , outra numerada
com o 8 e outra numerada com um número natural par menor que 8 . OCarlos
retira, sucessivamente, sem reposição, duas bolas e escreve o número de dois
algarismos, em que o algarismo das dezenas corresponde ao número da bola
que ocorre na primeira extração.
15.1. Calcula a probabilidade de o número escrito pelo Carlos ser:
15.1.1. múltiplo de 5;
15.1.2. ser par;
15.1.3. ser menor que 87.
15.2. Sabe-se que o Carlos tem 25 anos e a probabilidade de o número por ele
escrito ser maior que a sua idade é 50% . Determina a soma dos números
das três bolas.
16. Numa reunião de condomín io, o administrador fez circular uma folha pelos
28 condóminos presentes para que registassem o número de telefone, facili-
tando assim o contacto, no caso de ser necessário. Cada um podia registar o
número do telefone fixo e/ou o número de telemóvel.
No final, após todos os presentes terem efetuado o registo, a folha continha
11 números de telefone fixo e 26 números de telemóvel.
Oadministrador escolhe, aleatoriamente, um dos 28 condóminos.
Sejam F e T os segu intes acontecimentos:
F: "O condómino escolhido registou número de telefone fixo."
T: "O condómino escolhido reg istou número de telemóvel."
Determina:
16.1. P (F n T) 16.2. P(F n f) 16.3. P(F u f)

17. Seja Q o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória E .
Sejam A e 8 dois acontecimentos tais que:
P(A) = 0,4; P(B) = 0,7 e P(A n 8) = 0,2.
17.1. Determina:
17.1.1. P (A u 8) 17.1.2. P(AnB)
17.2. Mostra que os acontecimentos A e B são compatíveis.
18. Seja Q o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória E.
Sejam A e 8 dois acontecimentos.
18.1. Prova que:
18.1.1. P(A n 8) = P(A)- P(A n 8) 18.1.2: P(Au 8)- P(A n 8) = P(A)
18.2. Dos elementos de uma turma, sabe-se que:
• 10% são rapazes com óculos; • 65% são raparigas ou usam óculos.
Escolhe-se um elemento da turma ao acaso. Recorrendo à igualdade
demonstrada em 18.1 .2. , determina a probabilidade de o elemento esco-
lhido ser rapariga.
Sugestão: Considera os acontecimentos:
A : "Ser rapaz." ; 8: "Usar óculos...
19. Na tabela aba ixo está parte da informação sobre alunos de uma esco la que se
inscreveram para participar em atividades de ocupação de tempos livres.
Ano de i
escolaridade
Alunas Alunos
10.0
ano 16 50
11.0
ano 17 40
12.0
ano 3
46 100
19.1. Completa a tabela com os valores em falta .
19.2. Dos estudantes inscritos, escolhe-se um ao acaso.
Determina a probabilidade de se escolher:
19.2.1. um rapaz;
19.2.2. um rapaz do 10.0
ano;
19.2.3. uma rapariga que não seja do 10.0
ano.
19.3. Determina a probabilidade de o estudante escolhido ser do 10.0
ano,
sabendo que é uma rapariga .
19.4. Determina a probabilidade de o estudante escolhido ser rapaz, sabendo
que frequenta o 11.0
ano.

12 TEMA 1 PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA
20. Considera um baralho de cartas com 52 cartas, sendo 13 de cada naipe.
Retiram-se, ao acaso, sucessivamente, sem reposição, duas cartas.
Sejam A , 8 e C os acontecimentos:
A: "Sair figura de copas na primeira extração."
8: "Sair ás na segunda extração."
C: "Sair figura na segunda extração."
Sem utilizares a fórmula da probabilidade condicionada, indica o valor de:
20.1. P(C IA)
20.2. P (8 IA)
21. Considera a experiência que consiste em dois lançàmentos sucessivos de um
dado cúbico, equilibrado, e no registo das respetivas pontuações.
Sejam A , 8 e C os acontecimentos:
A: "Sair 4 no primeiro lançamento."
8: "Sair par no seg undo lançamento."
C : "Sa ir par nos dois lançamentos."
21.1. Mostra que A e 8 são acontecimentos independentes.
21.2. Indica o valor de:
21.2.1. P(C)
21.2.2. P(8 I C)
21.2.3. P(C I8)
22. Um saco contém cinco bolas, numeradas de 1 a 5.
As bolas que têm número ímpar são vermelhas e as bolas com número par são
aZUIS.
Retiram-se duas bolas, uma de cada vez.
Sejam A, 8 e C os acontecimentos:
A: "Sa ir bo la verme lha na primeira extração."
8: "Sa ir bo la com número ímpar na segunda extração."
C: "Sair bola azul na segunda extração."
22.1. Considera as extrações sem reposição e determina:
22.1.1. P(A) 22.1.2. P (8 IA) 22.1.3. P(C IA)
22.2. Considera as extrações com reposição e determina:
22.2.1. p (8) 22.2.2. P(8 IA)
22.1.4. P(8 IA)

23. Num saco há cinco dados com as faces numeradas de 1 a 6 . Dois dos dados
são brancos e os restantes são vermelhos.
Retira-se um dos dados, ao acaso, e faz -se o lançamento desse dado.
Sejam A , B e V os acontecimentos:
A: "Sair número maior que 4 ...
B : "Sair dado branco."
V: "Sair dado vermelho."
Determina :
23.1. P (A n B) 23.2. P(A Iv) 23.3. P(An v)
24. A produção diária de uma fábrica é de 600 peças. A máquina A produz 250 peças,
das quais 2% são defeituosas, e a máquina B produz as restantes peças, com
5% de peças defeituosas.
Para o controlo de qualidade foi retirada, ao acaso, uma peça da produção de um
dos dias.

24.1. a peça retirada ter sido prod,uzi~a p:la máquina A;
24.2. a peça ser boa, sabendo que foi produzida pela máquina B;
24.3. ser uma peça boa e produzida pela máquina B;
24.4. ser uma peça produzida pela máquina A, sabendo que é defeituosa.
25. Seja Q o espaço de resultados de uma experiência aleatória E.
Sejam A e B dois acontecimentos tais que:
• P (A)= 0,7 • P(B) = 0,4 • P (A U B) = 0,8
Determina:
25.1. P(A n B) 25.2. P (B IA) 25.3. P(A IB)
Sejam A e B dois acontecimentos.
26.1. Mostra que, se A e B são acontecimentos independentes, então:
P(A u B) = P(A) + P(B) P(A)
26.2. Se P (A) =~ e P (B) =i, qual é o valor de P (A U B) para que os aconte-
cimentos A e 8 sejam independentes?

Sejam A e 8 dois acontecimentos independentes.
27.1. Mostra que P(A U 8)= 1 - P(A) x P(8) .
27.2. Numa equipa de futebol há dois jogadores X e Y responsáveis pela marca-
ção de penáltis. A eficácia do jogador X é de 95% e do jogador Y é de 90% .
Num jogo, se cada um destes jogadores apontar um penálti, qual é a pro-
babilidade de pelo menos um deles não o concret izar em golo?
Responde a esta questão utili za ndo a igualdade demon strada em 27.1.,
explicitando os acontecimentos A e 8 nesta situação.
28. Na figura está representada uma
roleta dividida em seis setores cir-
culares numerados de 1 a 6 .
Sa be-se que:
• P(1) = 0,25
• P(2) =P(3) =P(6)
• P(5) =2P(4) =..!_
3
28.1. Pondo a ro leta em movimento, qual a probabilidade de ocorrer cada um
dos seis setores em que está dividida?
28.2. A roleta foi posta em movimento. Determina a probabilidade de :
28.2.1. ocorrer número ímpar, sabendo que ocorreu setor colorido:
28.2.2. ocorrer número maior que 3, sabendo que ocorreu setor branco.
28.3. A roleta foi posta em movimento três vezes. Determina a probabilidade de
ocorrer o setor co m o número 5, pela primeira vez, precisamente na ter-
ceira "jogada".

29. A Luísa e o Tiago estão a jogar um jogo que consiste no lançamento de um dado
cúb ico, com as faces numeradas de 1 a 6 e no registo do número da face que
fica voltada para cima. O jogador ganha se, no lançamento, obtiver mais de quatro
pontos. Para isso, a Luísa e o Tiago têm à disposição dois dados, A e B , não
equilibrados, dos quais esco lhem um, aleatoriamente, para efetuar o lançamento.
Em relação ao dado A , sabe-se que a probabilidade de sair face com o número 5
é a terça parte da probabilidade de sair qualquer uma das outras faces. No dado B,
cada uma das faces ímpares tem metade da probabilidade de ocorrer que qualquer
uma das faces pares.
29.1. Admite que se vai lançar o dado A. Determina a probabilidade de ocorrer
cada uma das suas faces.
29.2. Qual é a probabilidade de a Luísa ganhar sabendo que escolheu o dado B?
29.3. Identifica o dado que proporciona uma maior probabilidade de vencer.
29.4. Qual é a probabilidade de o Tiago jogar e ganhar?
29.5. A Luísa jogou e ganhou . Qual é a probabilidade de ter esco lhido o dado A?
30. Um estudo feito numa maternidade acerca da previsão do sexo dos bebés a partir
de 200 ecografias permitiu construir a seg uinte tabela:
Sexo verdadeiro
Sexo na
ecografia
ô
30.1. Determina a probabilidade de :
ô
102 23
5 70
30.1.1. ser um rapaz se a ecografia faz prever uma menina;
30.1.2. ser uma menina se a ecografia faz prever um rapaz.
30.2. Na tua opinião, em que situação há maior fiabilidade: quando a partir da
ecografia se prevê um rapaz ou quando se prevê uma menina?
Numa pequena composição fundamenta a tua op ini ão.
Nota:
Deves organ izar a tua composição de acordo com os seguintes tópicos:
• referência à probabilidade condicionada;
• probabilidade de a previsão ser de uma cr1ança do sexo feminino e
corresponder à realidade;
• probabilidade de a previsão ser de uma criança do sexo masculino e
corresponder à realidade .

31. Oito bolas foram distribuídas por duas caixas, a caixa
forma:
e a caixa 2, da seguinte
Caixa 1 : duas bolas azuis e duas bolas brancas;
Caixa 2: uma bola azul e três bolas brancas.
31.1. OTó escolhe uma caixa ao acaso e retira uma bola.
31.1.1. Qual é a probabilidade de sair bola azul? Apresenta o resu ltado
sob a forma de dízima .
31 .1.2. Qual a probabilidade de o Tó ter escolhido a caixa 1 , sabendo que a
bola retirada é branca? Apresenta o resultado sob a forma de per-
centagem.
31.2. OTó escolhe, ao acaso, uma caixa e retira uma bola. Sem repor a bola, tira
outra bola da mesma caixa.
31.2.1. Qual é a proba bilidade de as bolas retiradas serem da mesma cor
e pertencerem à caixa 2?
31.2.2. Qual é a probabilidade de as bolas terem cores diferentes, sabendo
que foram retiradas da caixa 1 ?
32. Na figura estão representadas duas caixas A e B e um dado equilibrado com as
faces pontuadas de 1 a 6 .
Acaixa A contém três bolas azu is e uma bola vermelha.
Acaixa B contém uma bola azu l e duas bolas vermelhas.
Caixa A Caixa 8
Considera a experiência aleatória:
O dado é lançado. Se sa ir um número menor que 3 , retira-se, ao acaso, uma
bola da caixa A que é colocada na caixa B .
Se o número de pontos não for menor que 3 , retira-se da caixa B uma bola
que é colocada na caixa A.
Determina a probabilidade de, no final da experiência, se ter:
32.1. a caixa A apenas com bolas azuis;
32.2. a ca1xa B com igual número de bolas vermelhas e azu is.

PROBABILIDADES E COMBINATÓR IA
33. A Joana tem duas caixas de fósforos A e
8 , com igual aspeto. A caixa A tem, no
total, vinte fósforos, cin co dos quais já
foram utilizados. A caixa 8 tem trinta fós-
foros, dos quais 20% já foram utilizados.
A Joana, ao acaso, escolhe uma ca1xa e
retira um fósforo .
33.1. Determina a probabilidade de a Joana retirar um fósforo já utilizado.
Apresenta o resultado em percentagem.
33.2. O fósforo retirado pela Joana estava em boas condições. Determina a pro-
babilidade de o fósforo ter sido retirado da caixa A. Apresenta o resultado
na forma de fração irredutível.
34. Sejam A e 8 dois acontecimentos associados a uma mesma experiência aleatória.
Sabe-se que :
• P(A) = 0,6 • p (8) = 0,3 • P(A U 8) = 0,4
34.1. Determina P(A n 8) . Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
34.2. Mostra que os acontecimentos A e B são compat ívei s.
35. Os dois melhores amigos da Patrícia são o Luís e o Diogo.
A Patrícia convida, com regularidade, estes dois am igos para fazerem equ 1pa
com ela em campeonatos de jogos tradicionais.
A experiência levou a Patrícia a concluir que o Luís aceita 90% dos convites,
enquanto que o Diogo aceita apenas 75% dos convites.
A Patrícia vai fazer um novo convite a estes dois amigos para o próximo campeo-
nato, que se realiza na aldeia natal da Patrícia.
Determina a probabilidade de, pelo menos, um dos amigos aceitar o convite.
36. Um inquérito feito, numa dada região, a pessoas em idade ativa, conduziu às
conclusões representadas na figura.
Das pessoas que responderam ao in- Empregados [88% )
quérito, escolhe-se uma ao acaso. Habilitações académicas
36.1. Determina a probabilidade de a
pessoa escolhida ter como habi-
litações o Ensino Superior.
36.2. Qual é a probabilidade de a pessoa
escolh id a estar desempregada,
sabendo que tem como habilita -
ções o Ensino Secundário?
NEMA12CP-02
50%
15%
D Ensino Superior
D Ensino Secundário
D Ensino Básico
Desempregados [12% )

•18 TEMA 1 PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA
2. Análise combinatória
1. Numa grande zona comercial, o sistema de segurança identifica as lojas por um
código const ituído por dois algarismos seguidos de duas letras. Por exemplo:
09kk
Qual é o maior número possível de lojas que este sistema pode identificar?
Nota: Admite que o alfabeto tem 26 letras.
2. Uma máquina produz sistemas de segurança. A cada sistema de segurança pro-
duzido é-lhe atribuído um código constituído por uma sequência de cinco dígitos.
Por exemplo, a um dos sistemas foi-lhe atribuído o código:
00575
O computador que gere a atribuição de códigos está programado para que não
haja repetição de códigos.
2.1. Qua l é o número máximo de códigos que é possível atribuir nas condições
indicadas?
2.2. Quantos são os códigos em que:
2.2.1. o primeiro algarismo (da esquerda) é ímpar?
2.2.2. todos os algarismos são ímpares?
2.3. Admite que é gerado um código de forma aleatória. Qual é a probabilidade
de esse código ter os algarismos das extremidades igua is e diferentes dos
restan tes?
2.4. Se um código é gerado de forma aleatória qual dos seguintes aconteci -
mentos é mais provável?
A: "O código tem um e um só algarismo 5 ...
B: "O algarismo 7 não faz parte do código."
Na resposta deves indicar a probabilidade de cada um dos acontecimentos.

3. A Direção de um grupo desportivo, na comemoração do 25. 0
ano do grupo, pro -
moveu um sorteio de valiosos prémios.
Foram impressos bilhetes identificados por quatro dígitos. Por exemplo, 0292.
Apenas foram vendidos os bilhetes numerados desde 1258 até ao número 7500,
inclusive.
Para atribuir o 1.0
prémio há uma tômbola com 1O bolas numeradas de O a 9,
sendo feita a extração sucessiva de quatro bolas com reposição.
A sequência dos algarismos das bolas extraídas identifica o bilhete premiado.
Qual é a probabilidade de o prémio corresponder a um bilhete não vendido?
4. Uma operadora de telefones fixos, para atribuir os números aos telefones de
uma ilha, dividiu-a em duas zonas : a Zona Norte e a Zona Sul. Todos os números
de telefone da ilha começam por 19 e têm seis dígitos. Os núm eros da Zona
Norte são pares e os da Zona Sul são ímpares.
4.1. Qual o número máximo de telefones que a operadora pode atribuir a cada
uma das duas zonas da ilh a?
4.2. A Carla habita na Zona Norte e o número do seu telefone é constituído por
seis algarismos todos diferentes, se ndo três deles pares e três ímpares.
Quantos são os telefones cujo número satisfaz as mesmas condições que
o da Carla?
5. Uma empresa tem delegações espalhadas por várias partes do mundo. Cada dele-
gação é identificada por um código constituído por cinco algarismos de 1 a 9 .
Por exemplo, em Portugal há uma delegação cujo cód igo é 2 2 7 3 7.
Os dois primeiros algarismos (da esquerda) identificam o país a que pertence a
delegação e os três últimos algarismos identificam a delegação.
5.1. Escolhido, ao acaso, um código possível de ser utilizado em Portugal, qual
é a probabilidade de esse código ter exatamente dois algarismos iguais?
5.2. O código das delegações em França começa por 3 5.
Qual é a probabilidade de escolher, ao acaso, um código possível de ser
utilizado em França e ter exatamente três algarismos iguais?

6. Uma empresa pretende selecionar para os seus quadros três novos func ionários
para o desempenho de tarefas distintas.
Apresentaram-se 25 cand idatos dos quais três são selecionados.
Quantas são as possibilidades de escolha que a empresa tem se:
6.1. todos os cand idatos têm igua is possibi lidades?
6.2. sete dos candidatos não reúnem as cond ições mínimas e foram eliminados?
7. Numa prova de atletismo participam 26 atletas.
7.1. Admit indo que não há desistência s nem atletas co m resultados iguais, de
quantas maneiras é possível obter o pódio (os três primeiros lugares)?
7.2. Perto do final da prova um dos atletas isolou-se, garantindo assim a
obtenção do primeiro lugar e dois atletas desistiram . Nesta situação, de
quantas maneiras pod e ser constituído o pódio?
8. Do co njunto de todos os números de três algarismos co nstituídos pelos algaris-
mos 1 a 9, alguns deles satisfa zem as seguintes co ndições:
A: têm os algarismos todos diferentes e são pares;
8: têm exatamente dois algarismos iguais;
C: a soma dos três algarismos é ímpar.
Quantos são os números que satisfazem:
8.1. a condição A 7 8.2. a cond ição 8?
9. A So fia co nstru iu um hexágono reg ular in scrito
numa circunferência de ce ntro O .
Escolhe-se, ao acaso, dois vértices do hexágono.
Qual é a probabilidade de a reta definida pelos vérti-
ces escolhidos passar pelo centro da circunferência?
Apresenta o resu lta do em percentagem.
8.3. as condições A e C 7

PROBAB ILIDADES E COMBINATÓRIA
10. Um jogo eletrónico é constituído por nove discos numerados de 1 a 9 , como é
ilustrado na figura.
Em cada jogada são ilumin ados aleatoriamente ~,.---------......
quatro discos.
10.1. Determina a probabilidade de se obter, numa
jogada:
10.1.1. apenas números pares iluminados:
10.1.2. apenas números ímpares iluminados:
10.1.3. todos os núm eros de uma diagonal
iluminados.
I.
10.2. Determina a probabilidade de obter, numa jqgada, o número 4 iluminado,
sabendo que os quatro números iluminados são menores que 7.
11. Na figura estão representados cin co cartões, cada um
com uma letra.
Os cartões vão ser colocados, lado a lado, ao acaso, man-
tendo a orientação das letras (sem rodar).
11.1. Qual é o número máximo de palavras diferentes, com ou sem significado,
que é possível obter?
11.2. Determina a probabilidade de se obter a palavra LOGIN.
Apresenta o resultado arredondado às milésimas.
12. Na figura estão representados cinco cartões, cada um
com uma letra.
Os cartões vão ser colocados, lado a lado, ao acaso, man-
tendo a orientação das letras (sem rodar).
12.1. Qual é o número máximo de palavras diferentes, com ou sem significado,
que é possível obter?
12.2. Determina a probabilidade de se obter a palavra NATAL.
Apresenta o resultado arredondado às milésimas.

13. Num saco foram co locados seis cartões. Cada car-
tão tem uma letra. Há três letras vermelhas, duas
verdes e uma azul.
As letras são retiradas do saco, ao acaso, sendo dis-
postas, lado a lado, co nforme se exemplifica a seguir.
Determina a probabilidade de ocorrer os seg uintes acontecim entos :
13.1. nos extremos fica m letra s verdes;
13.2. as letras verdes ficam em posições consecutivas;
13.3. as letras da mesma cor ficam em posições consec utivas;
13.4. a letra azul não fica nos extremos.
14. Cinco discos, dois vermelhos, dois azuis e um verde, sã o distribuídos, ao acaso,
por seis das nove quadrículas de um tabuleiro, como é sugerido na figura .
14.1. De quantas formas diferentes, atendendo a que os discos da mesma cor
são indistinguíveis, pod e ser feita a distribuição?
A resposta a esta questão pode ser dada através das seguintes expressões:
I: 9
C2 x 7
C2 x 5
11 9c x 5!
:
5
2! X 2!
Explica o raciocín io associado a cada uma das expressões apresentadas.
14.2. Determina a probabilidade de o disco verde ocupar a quadrícula central.
Apresenta o resultado na forma de fra ção irredutível.

15. Uma empresa de segurança privada tem 1O fun cionários destinados à vigilância
noturna de uma zona comerc ial, esca lando diariamente seis desses funcionários.
15.1. De quantas maneiras diferentes a empresa pode organ izar a esca la de
serviço para uma das noites?
15.2. O Rui e o Pedro são dois dos funcionários esca lados para o serviço de uma
noite. Por motivos imprevistos, pouco antes de ini ciarem o serviço, comu-
nicaram a sua ausê ncia. Quantas são as possibili dades de a empresa fazer
as substituições?
15.3. Numa noite, o responsável pela distribui ção do serviço reuniu-se com os
se is elementos esca lados e distribui-lhes tarefas . Três fazem vigilância à
descarga de mercadoria, um vigia o parque de estacionamento, um vigia a
zona cultura l e outro visiona o monitor ligado às câmaras de filmar.
De quantas maneiras o responsável pela distribuição do serviço pode atri-
buir as tarefas aos se is funcionários? ·
16. Numa agência de uma compan hia de seg uros os diversos processos, em suporte
de papel, estão orga ni zados em 12 dossiês:
• se is do ramo automóvel : A, , A2 , A3 , A4 ,
A5 e A6 ;
• quatro do ramo habitação : H1 , H2 , H3
e H4 ;
• dois do ramo vida: V1 e V2 .
Os dossiês estão dispostos num arm ário
com duas prateleiras, fi ca nd o se is em cada
prateleira.
16.1. Determina de quantas maneiras é possível co locar os 12 dossiês no
armário de modo que:
16.1.1. os do ramo automóvel fiquem na mesma prateleira;
16.1.2. os do ramo vida fiquem na mesma prateleira lado a lado;
16.1.3. os do ramo habitação não fiquem todos na mesma prateleira.
16.2. Há necessid ade de r eg istar um a nota em todos os processos. Para o
efe ito, são retirados do arm ário quatro dossiês, ao acaso, para que um
funcionário proceda ao reg isto.
Determina de quantas maneiras diferentes pode ocorrer a escolha dos
quatro dossiês se:
16.2.1. não houver qualquer indicação;
16.2.2. exatame nte dois forem do ramo automóvel;
16.2.3. nenhum for do ramo habitação;
16.2.4. pelo menos um for do ramo vida.

TEMA 1 PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA
17. Na figura está uma representação esquemática de E
parte da planta de uma cidade, em que as linhas
representam ruas.
Os pontos E, L e P representam, respet ivamente, a
escola, a casa da Luísa e a casa do Pedro.
17.1. De quantas maneiras diferentes pode ir a Luísa
de casa (L) para a escola (E)?
17.2. De quantas maneiras diferentes pode ir o Pedro
de casa (P) para a escola (E) , passando pela
casa da Luísa?
L
p
17.3. No regresso da escola para casa, quantos são os cam inhos diferentes que
o Pedro pode seguir se não quiser passar pela casa da Luísa?
Nota: Os movimentos são feitos sempre em progressão, isto é, 'não andam em sentido contrário
ao pretendido.
18. A Joana escolhe ao acaso um código constituído por cinco dígitos. Por exemplo:
02037
Admite que os dígitos são atribuídos ao acaso, com igual probabilidade de ocorrer.
Determina a probabilidade de ocorrer um código constituído por:
18.1. cinco dígitos diferentes;
18.2. exatamente dois 4;
18.3. exatamente três 5 e os outros dígitos diferentes.
19. Um grupo de sete amigos, três rapazes e qua-
tro raparigas, vão ao cinema, ficando em luga-
res consecutivos na mesma fila .
19.1. De quantas maneiras diferentes se podem
distribuir os sete amigos?
19.2. Admit indo que os sete am igos se sentam
de forma aleatória, calcula a probabili-
dade de:
19.2.1. os rapazes ficarem juntos;
19.2.2. as raparigas não ficarem juntas;
19.2.3. os extremos serem ocupados por rapazes;
19.2.4. os rapazes e as raparigas ficarem sentados alternadamente.

20. O código de um cartão multibanco é constituído por
uma sequência de quatro algarismos (por exemplo,
0232) .
Escolhida, de forma aleatória, uma sequência de
quatro dígitos, qual é a probabilidade de:
20.1. a sequência representar um número múltiplo
de 5, constituído por algarismos diferentes?
20.2. ser uma capicua (sequência de algarismos cuja
leitura da direita para a esquerda ou da
esquerda para a direita é igual)?
20.3. ter exatamente dois pares de algarismos iguais?
20.4. ser uma capicua, sabendo que tem dois pares de algarismos iguais?
21. Uma associação cultural vai eleger a Direção que é constituída por um presi-
dente, um vice-presidente, um secretário e dois vogais (os vogais não têm tare-
fas diferenciadas). De um grupo de 12 associados pretende-se formar uma lista
concorrente.

21.1. Quantas listas se podem formar se:
21.1.1. dois dos elementos forem incompatíveis e não puderem integrar
uma mesma lista?
21.1.2. o presidente e o secretário já estiverem definidos?
21.2. Do grupo de 12 elementos, há três que são irmãos. Ao ser definida uma
lista, aleatoriamente e sem restrições, qual é a probabilidade de, pelo
menos, um dos três irmãos fazer parte da lista?
22. Na figura encontra - se representado um cubo.
Escolhendo, ao acaso, dois vértices do cubo, qual
é a probabilidade de definirem uma reta que:
22.1. não contenha qualquer aresta?
22.2. contenha uma diagonal espacial?
H~------------~G
E ~--~--------~F
__9-·------------- ------- c
A B

23. Foram introdu zidos num saco seis dados: dois verdes, dois vermelhos, um azul e
um amarelo.
23.1. Ret iram-se, simu ltaneamente e ao acaso, dois
dados.
Determina a probabilidade de cada um dos acon-
tec imentos.
23.1.1. "Retirar dois dados de cores distintas."
23.1.2. "Pelo menos um dado ser verde."
23.1.3. "Nenhum dos dados retirados ser azul."
23.2. Considera a experiência aleatória que consiste em retirar três dados, um a
um, sem reposição .
Determina a probabilidade de :
23.2.1. retirar, pelo menos, um dado vermelho;
23.2.2. o terceiro dado a ser retirado ser vermelho, sabendo que os pri-
meiros eram verdes.
24. Sabe-se que a soma dos dois primeiros números de uma determinada linha do
Triângulo de Pascal é 16 .
24.1. Determina o terceiro elemento dessa linha .
24.2. Dos números que constituem a linha seguinte, escolhem-se dois ao acaso.
Determina a probabilidade de serem iguais.
25. Considera a linha do Triângulo de Pasca l em que o penú ltimo elemento é 16.
Escolhe-se, ao acaso, um elemento dessa linha. Determina a probabilidade de o
elemento escolhido ser menor que 500.
26. A seguir está parte do Triângulo de Pascal em que a, b e c representam ele-
mentos desse triângulo.
Determina os valores de a, b e c.
•
•
a
•
•
c
•
1365
•
6188
•
b
• •
4368
• •
•

27. Determina, caso exista, o termo em x4
, no desenvolvimento de:
(
1 2)
5
27.1. X+ X
27.2. (2Vx- x)6
28. Considera a linha do Triângulo de Pascal, em que a soma dos dois prim eiros ele-
mentos com os últimos dois é igual a 28 .
Cada um dos elementos dessa linha do Triângu lo de Pascal foi escrito num ca rtão.
Todos os cartões, co m igual aspeto, foram introd uzidos numa ca ixa , da qual vão
se r retirados, ao acaso, dois, um após o outro, sem reposição .
28.1. Determina a probabilidade de a diferença dos números dos cartões retira-
dos ser zero.
28.2. Sejam A e 8 os acontecimentos:
A: "O primeiro cartão re tirado tem o número maior do que 1 ...
8: "O ca rtão retirado em segundo lugar tem um número maior que o do
primeiro cartão."
Determina P (8 IA) .
29. Cada um dos números 16 , 32, 128 e 1024 foi atribuído a uma bola.
As bolas, indistinguíveis ao tato, foram introduzidas num saco.
Considera a experiência aleatória que co nsiste, em retirar, ao acaso, uma bola
do saco e escrever a linha do Triângulo de Pa sca l, cuja soma dos se us elem en-
tos é igual ao número da bola retirada.
Determina a probabilidade:
29.1. de a linha escrita ser constituída por 11 números;
29.2. de o terceiro elemento da linha do Triângulo de Pascal que é escrita ser
menor que 20 .
30. Numa linha do Triângulo de Pascal, o 3.0
elem ento é 300 e a soma dos três últi-
mos elementos é 326 .
Determina:
30.1. o número de elementos da linha;
30.2. os três últimos números da linha seguinte;
30.3. a soma dos elementos da linha anterior.

31. Determina a soma do sexto elemento com o décimo elemento de uma linha do
Triângulo de Pascal, sabendo que nessa linha há 17 elementos.
32. Sabe-se que a soma dos elementos de uma linha do Triângu lo de Pascal é 262 144.
32.1 . Determina a soma dos três primeiros elementos dessa linha.
32.2. Quantos elementos dessa linha são menores que 4000?
33. Considera duas linhas consecutiva s do Triângulo de Pascal, das quais se repro-
duzem alguns elementos.
a 116 280 203 490
.
170 544 b 497 420
Indica os valores correspondentes a a , b e c .
34. Sabe-se que nc2+ nc n_2= 8n . Ca lcula:
34.1. nc o+ nc 1 + nc 2+ ... + nc n-1 + ncn
I
34.2. nc 5 + nc b+ nc7+ nca+ nc 9
35. Sabe-se que nco+ nc 1 + nc 2+ ... + ncn_1+ ncn = k e n é ímpar.
I
Determina em função de k:
+ ncn+ 1
-2-
c
•
36. Recorre ao Binómio de Newton para desenvolver e representar, na forma de
polinómio reduzido, as expressões:
36.1 . (1 - 2x)3
36.2. (x + x2
)
5
37. Considera as funções polinomiais f e g tais que :
x4
f (x) =
2 e g (x - 1) = 2x3
.
Representa na forma de polinómio reduzido as expressões:
37.1. f (x + 2)
37.2. g (x)

PROBABILIDADES E COMB INATÓRIA
38. No desenvolvimento de (x-~Jdetermina o termo:
38.1. independente de x ;
38.2. de grau 4 .
39. Considera a expressão (Vx + fJ,n E lN .
No desenvolvimento através do Binómio de Newton, determina:
39.1. o termo independente se n = 6;
39.2. o termo em x se n = 8 ;
39.3. o coeficiente do termo em x3
se n = 12;
39.4. o valor de n, sabendo que 7x2
é um dos termos do desenvolvimento.
40. Considera a linha do Triângulo de Pascal em que a soma dos dois primeiros ele-
mentos com os dois últimos é 38 .
Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha.
40.1. a soma dos elementos escolhidos não ser 2 ;
40.2. os elementos escolhidos serem iguais.
41. Um grupo de oito amigos dirigiu-se a um
restaurante para jantar.
Não houve possibilidade de ficarem todos na
mesma mesa, atendendo a que apenas exis-
tiam duas mesas livres de quatro lugares
que não era possível juntar.
41.1. A Carla e o Francisco fazem parte do
grupo.
Chegados ao restaurante, os oito amigos ocuparam os lugares das duas
mesas ao acaso.
Determina a probabilidade de a Carla e do Francisco ficarem :
41.1.1. em mesas diferentes;
41.1.2. na mesma mesa frente a frente .
41.2. O grupo era constituído por quatro rapa zes e por quatro raparigas. Admite
que os lugares nas mesas estavam numerados de 1 a 8 e que foram sor-
teados pelos elementos do grupo.
Qual é a probabilidade de os rapazes ficarem nos lugares com número
ímpar e as rapariga s nos lugares com número par? Apresenta o resu ltado
sob a forma de dízima arredondado às milésimas.

42. Na figu ra está represe ntado um prisma octogonal.
Considera a experiência aleatória que consiste em
escolher, ao acaso, um vé rtice de cada face.
Determina a probabilidade de os vértices escolhi-
dos serem os extremos de:
42.1. uma aresta lateral;
42.2. uma diago nal de uma face lateral;
42.3. uma diagona l espacial do prisma.
43. Em relação a um prisma, em que o número de arestas é dado por 3n , com n ? 3 ,
escolhe-se, ao acaso, um vértice de cada uma das bases.
43.1. Mostra que a probabilidade, em fun ção de n, de os vértices escolhid os
d d· l · l d · ' d d n
2
- 3nserem extremos e uma 1ago na espac1a o pnsma, e a a por 2
n
43.2. Sa be-se que a probabilidade de os vértices escolhid os serem extremos de
uma diagona l de uma face lateral é 20%. Determ ina o número de arestas
de cada base do pris ma .
44. O cód igo de acesso a um computador é constituído por uma sequência de quatro
algarismos seguido de duas vogais. Por exemplo:
0535 aa
44.1 . O Lucas vai definir um código ao acaso. Qual é a probabilidade de o código
resultante ter as letras diferentes e exatamente dois alga rismos iguais?
44.2. A irmã do João sa be que o cód igo de acesso ao computador do irmão é
constituído por quatro algarismos diferentes e duas voga is iguais. Qual a
proba bilid ade de ace rtar no có di go à prim eira tentat iva? Apresenta o
resultado com sete casas decimais.
44.3. Considera o problema :
"Alguns dos códigos satisfazem as seguintes três condições:
• a parte numérica representa um número maior que 4000 ;
• tem os algarismos todos diferentes e ímpares;
• as letras são diferentes.
Quantos são esses códigos?
Duas res postas corretas a este pro blema são:
Numa composição matemática, explica porquê.

3. Distribuição de frequências relativas e distribuição de probabilidades
1. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades.
X =X; o
P(X =X;) 0,20
1.1. lndicaovalorde:
1.1.1. P(X= 3)
1.1.2. P(X< 3)
2 3
O, 18 0,30 0,22
1.2. Calcula o valor médio e o desvio-padrão de ~.
4
O, 1O
2. São retiradas simultaneamente quatro cartas de um baralho de quarenta cartas.
Por cada ás que ocorra há um prémio de 2 €.
Considera a variável aleatória X, que representa o ganho, em euros, numa
jogada.
2.1. Constrói uma tabela representativa da distribuição de probabilidades da
variável aleatória X.
2.2. Determina P (X< 3) . Apresenta o resultado em percentagem arredon-
dado às décimas.
3. Um saco contém bolas brancas e bolas pretas indistinguíveis ao tato. São retira-
das sucessivamente, com reposição, duas bolas.
Sejam X e Y as variáveis aleatórias:
X: "Número de bolas brancas que ocorrem nas duas extrações."
Y: "Número de bolas pretas que ocorrem nas duas extrações."
Sabe-se que numa extração a probabilidade de sair bola branca é 0,625.
3.1. Calcula:
3.1.1. P(X = 1)
3.1.2. P(Y = 2)
3.2. Constrói as tabelas de distribuição de probabilidades das variáveis aleató-
rias X e Y.
3.3. Determina o número de bolas brancas, sabendo que no total o saco con-
tém oito bolas.

4. Um saco contém seis bolas indistinguíveis ao tato.
Três bolas são vermelhas e as restantes são pretas.
Considera a experiência aleatória que consiste em
retirar do saco, simultaneamente, quatro bolas.
Seja X a variável aleatória : "Número de bolas verme-
lhas extraídas··.
4.1. Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável X.
Apresenta as probabilidades na forma de fração irredutível.
4.2. Qual é a probabilidade de saírem pelo menos duas bolas vermelhas?
5. Numa caixa foram colocados 1O cartões.
Cada cartão tem impresso um valor em
euros, conforme é indicado na figura.
Uma jogada consiste em retirar, ao
acaso, um cartão e obter como prémio o
valor indicado no cartão.
Para efetuar uma jogada, o jogador tem
de pagar _5 € .
Seja X a variável aleatória : "Lucro/prejuízo obtido numa jogada".
5.1. Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável X .
5.2. Calcula o valor médio e o desvio-padrão da variável aleatória X .
6. Seis caixas com compotas, numeradas de 1 a 6 ,
são empilhadas, ao acaso, como a figura sugere.
6.1. Determina a probabilidade de o produto dos
três números das caixas do patamar inferior
ser ímpar.
6.2. Seja X a variável aleatória : "Soma dos núme-
ros das duas caixas que ficam no segundo
patamar".
6.2.1. Indica os valores que a variável aleatória X pode tomar.
6.2.2. Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável
aleatória X.
6.2.3. Sejam f.1 e (J, respetivamente o valor médio e o desvio-padrão da
variável X.
Determina P(/.1 <X< f.1 + (J) .

7. Numa fábrica, 85% das peças submetidas ao processo de controlo de qualidade
não apresentam defeitos.
Um lote de 1O peças é submetido ao processo de controlo. Determina a proba-
bilidade de:
7.1. todas as peças serem cons id eradas boas;
7.2. exata mente duas peças aprese ntarem defeitos;
7.3. no máximo, duas peças apresentarem defeitos.
8. O "trapa lhão" é um jogo que dois am igos, o Ru i e o Pedro, jogam há muito
tempo. Neste jogo há sempre um vencedor e o acumular dos resultados obtidos
nas diversas partidas entre os dois amigos, perm itiu construi r a seg uinte tabela:
N.0
de jogos 50 200 ' 300 450 700
------
N.o de vitórias do Rui 26 125 178 273 421
N.0
de vitórias do Pedro 24 75 122 177 279
8.1. A partir dos dados da tabela, faz uma estimativa do valor da probabilidade
de vitória para cada um dos dois jogadores, quando jogam uma partida do
"trapalhão".
8.2. Adm ite que a probabilidade de o Ru i sa ir ve ncedor numa partida é %
Os dois amigos comb in am fazer um conjunto de quatro partidas do
"trapalhão" .
8.2.1. Determina a probabi lidade de :
8.2.1.1. o Pedro ganhar exatamente três partidas;
8.2.1.2. chegarem ao fim das quatro partidas empatados.
8.2.2. Seja X a variável aleatória: "Número de partidas em que o Pedro
sa iu vencedor" .
Calcula P (X ~ 2) .
9. Num concurso televisivo, há um jogo em que o concorrente tem acesso a um de
quatro prém ios, com a possibilidade de ser eliminado.
Os quatro prém ios correspondem respetivamente a 500 € , 1000 € , 2000 € e
5000 €. A probabilidade de o jogador ser prem iado é igual à probabilidade de ser
eliminado e os quatro prémios têm igua l probabilidade de ocorrer.
A Carlota va i participar no jogo. Seja X a variável aleatória: "Va lor arrecadado
pela Carlota no final do jogo".
9.1. Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X.
9.2. Determina, em percentagem, P(500 <X< }.1. + cr) , sendo }.1. e cr, respe-
tivamente, o va lor médio e o desvio-padrão da variável X .
NEMA12CP-03

10. Numa tômbola, há cinco bolas numeradas
de 1 a 5 . As bolas 1 , 2 e 3 são azuis e
as bolas 4 e 5 são vermelhas.
Retira-se da tômbola uma bola, ao acaso,
e regista-se o número e a cor da bola.
Sabe-se que:
• as bolas da mesma cor têm igual pro-
babilidade de sair;
• a probabilidade de sa ir uma bola azul é o dobro da probabilidade de sair uma
bola vermelha.
10.1. Mostra que:
é
2
9 '
10.1.1. a probabilidade de ocorrer a bola com o número
4 é
1
6.10.1.2. a probabilidade de ocorrer a bola com o número
10.2. Seja X a variável aleatória : "Soma dos números das bolas que ficam na
tômbola após a retirada da bola".
10.2.1. Indica os va lores que toma a variável X.
10.2.2. Determina P (X< p) , em que J..l é o valor médio de X.
11. Num teste, a primeira parte é constituída por cinco questões de escolha múlti-
pla. Para cada questão são apresentadas quatro opções, das quais apenas uma
está correta.
Admite que um aluno responde, ao acaso, às cinco questões.
11.1. Determina a probabilidade de:
11.1.1. o aluno falhar exatamente três respostas;
11.1.2. o aluno acertar pelo menos numa resposta.
11.2. As cotações para esta parte do teste são distribuídas da segu inte forma:
• 9 pontos por cada resposta correta;
• -3 pontos por cada resposta errada;
• O pontos por cada questão sem resposta.
Para um total negativo de pontos é atribuída cotação final de O pontos.

11.2.1. Seja X a variável aleatória: "Cotação final obtida na primeira parte
do teste".
Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável
aleatória X.
11.2.2. Considera os acontecimentos A , 8 e C:
A : ''Acertar pelo menos uma resposta."
8 : "Obter cotação final inferior a 20 pontos."
C: "Obter cotação positiva."
Calcula a probabilidade de:
11.2.2.1. P (B IC)
11.2.2.2. P (A IB)
12. Numa caixa há cinco bolas, duas pretas e três azuis.
Considera a experiência aleatória que consiste
em retirar da caixa, simu ltaneamente e ao acaso,
duas bolas e verificar a cor das mesmas.
12.1. Determina a probabilidade de serem extraí-
das as duas bolas pretas. Apresenta o
resultado na forma de fração irredutível.
12.2. Admite que a experiência vaiser realizada três vezes, nas mesmas condições.
Seja X a variável aleatória: "Número de vezes em que as bolas extraídas
são pretas".
Calcula o valor médio da variável X. Apresenta o resultado arredondado
às centésimas.
13. O Carlos, na deslocação para o local de trabalho, atravessa diariamente a
cidade. Otempo gasto na travessia da cidade segue uma distribuição normal, em
que o valor médio é 20 minutos e o desvio-padrão é 4 minutos.
Determina a probabilidade de, em certo dia, o tempo de travessia da cidade ser:
13.1. inferior a 20 minutos;
13.2. superior a 24 minutos;
13.3. supenor a 12 minutos e inferior a 24 minutos.

14. Um praticante de atletismo regista, com regularidade, os tempos gastos ao
percorrer uma certa distância nos treinos que efetua diariamente.
Seja X a variável aleatória: "Tempo gasto em cada treino, em minutos, a percorrer
a distância definida".
Sabe-se que a variável X segue uma distribuição normal do tipo N (90, 2).
Determina:
14.1. P(90~X~92) 14.2. P(X~ 91)
15. Odiâmetro de uma máquina de peças circulares, em milímetros, seg ue uma dis-
tribuição normal de va lor médio 75 e desvio-padrão 3.
15.1. Escolhida uma peça, ao acaso, é mais provável ter diâmetro inferior a 7,3 cm
ou diâmetro superior a 7,9 cm ? Justifica.
15.2. Um cliente faz uma encomenda de 1500 discos e estabelece um contrato
segundo o qual não aceita discos cujo diâmetro, em milímetros, não per-
tença ao intervalo [72, 78].
Faz uma estimativa do número de discos que o cliente vai rejeitar.
16. Sempre que o motor de uma máquina está ligado mais de três horas consecutivas,
ao fim desse tempo é registada a sua temperatura, em graus Celsius.
Seja X a variável aleatória : "Temperatura do motor ao fim de três horas de
trabalho".
Sabe-se que X seg ue uma distribuição normal N (52, 3).
Vai ser feito o registo da temperatura do motor. Determina:
16.1. P (X ~ 50)
16.3. P(48 ~X~ 50)
16.2. P(X ~ 51 ,5)
17. Vários testes permitiram concluir que, em
determinadas condições, a distância necessária
para que um automóvel fique imobilizado segue
uma distribuição normal N (40, 5) . O va lor
médio e o desvio-padrão são dados em metros.
Uma nova série de 80 testes va i sai feita, nas
mesmas cond ições, com 80 automóveis.
Quantos destes automóveis se prevê que
fiquem imobilizados numa distância compreendida entre:
17.1. 35 m e 45 m ; 17.2. 38me40m.

38
Tema2 Introdução ao cálculo diferencial li
1. Funções exponenciais e logarítmicas
1. Resolve as seguintes equações.
1.1.
1.3.
1.5.
1.7.
2x= 8
9x- 3YJx =O
3x'+1- J_ = O
9x
1.2.
1.4.
1.6.
1.8.
7x= _1_
49
21-lxl = V2
e2
x + 4e" - 5 = O
2. Considera a família de funções f, tais que:
f (x) = 4x- k2x , k E IR
2.1. A seguir, nos referenciais I e 11 , estão representadas graficamente duas
funções da família.
li
y
8
X X
2.1.1. Os pontos A e B pertencem ao gráfico da função f representada
no referencial I.
Determina as coordenadas do ponto B, sabendo que as coorde-
nadas do ponto A são (O , - 2) .
2.1.2. Os pontos C e O pertencem ao gráfico da função f representada
no referencial 11 .
Determina as coordenadas do ponto O , sabendo que as coorde-
nadas do ponto C são (- 2 ,
1
5
6
).
2.2. Considera k = 12 e resolve a equação f (x) =- 32.

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL li
3. A partir do gráfico da função y = 2x, preenche a seguinte tabela.
Zeros
Função Domínio Contradomínio
(caso existam)
Y =- 1 + 2 x-3
1
y=Tx
Y= 3 X 2 x+1
Y= 11 - 2x1
X
Y=22
4. Considera a função f definida por f (x) =
4
_
1
2
_x .
4.1. Determina o domínio da função f.
Assíntotas
4.2. A ordenada de um ponto do gráfico de f é ~ . Determina a abcissa desse
ponto.
5. No referencia l da figura estão representadas duas funções f e g .
X
Sabe-se que:
,_,-:
• f (x) = 8 2 e g (x) = 2x-l ;
• P é o ponto de interseção dos dois gráficos.
5.1. Determina as coordenadas do ponto P.
5.2. Representa, na forma de intervalo de números reais , o conjunto-solução
da inequação:
5.2.1. f (x) < V2
5.2.2. O< g (x) ~ f (4)

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL 11
6. No referencial da figura encontram-se representa-
ções gráficas de duas funções f e g tais que
f (x) =3x e g (x) = 12 - 9x.
6.1. Indica o domínio, contradomínio e assíntotas
do gráfico da fun ção:
6.1.1. f 6.1.2. g
6.2. Determina, ana liti camente, os va lores de x
para os quais se verifi ca cada uma da s segu in -
tes cond ições:
6.2.1. g (x) < 9
6.2.2. (f + g)(x) < 12
6.2.3. g (x) > f (x)
X
6.3. Calcula a área do triângulo [ABC] , adm itind o que a unidade do referen -
cial é o cent ím etro.
6.4. Sabe-se que o ponto B pertence ao gráfico de uma função do tipo:
y=~. kE IR
Determina o valor de k.
7. Para realizar uma experiência co locou-se água
num reservatório e mediante dete rmin ados
procedimentos a quantidade de água no reser-
vatório vai variando.
No decorrer da experiênc ia foi registada a
altura do nível da água, no reservatório, tendo-
-se concluído que, t hora s após o início da
experiência, essa altura, em decímetros, é
dada pelo seguinte modelo:
h (t) =- 41
+ 5 X 21
h [t)
Adm ite que o rese rvatório tem a forma de prisma quadrangular regu lar em que
a base tem de lado 25 cm .
7.1. Determina a quantidade de água, em litros, que foi colocada no reservatório.
7.2. Determina durante quanto tempo deco rreu a experiência, sabe ndo qu e
acabou no in stante em que deixou de haver água no reservatório. Apre-
senta o resultado em minutos, arredondado às unidades.
7.3. Determina o tempo decorrido, após o início da experiência, para o qual a
altura do nível da água no reservatório foi igual à altura inicial.
7.4. Determina o primeiro in stante, após o início da experiência , em que no
reservatório havia 37,5 litros de água .

8. O Sr. Silva é proprietário de uma drogaria e está a lançar um novo produto 8
para substitu ir um produto A que já está no mercado há vários anos.
Durante algum tempo o Sr. Silva pretende comercializar os dois produtos.
Passados t meses, desde que o produto 8 foi lançado, as vendas mensais, em
litros, de cada um dos produtos, são dadas pelos seguintes modelos:
PA== 3 + 16 x 4-0
·
251
e P8 == 3 + (V2f .
8.1. Quantos litros, de cada um dos produtos, foram vendidos no pr1me1ro
mês?
8.2. O sr. Silva decidiu deixar de vender o produto A quando as vendas do pro-
duto 8 igualar as vendas do produto A . Quanto tempo permanecem à
venda os dois produtos?
8.3. O modelo P8 manteve-se válido até as v-endas ating irem os 25 li tros
mensa is. A partir desse momento as vendas estabili zaram.
Qua l fo i o período de tempo em que as vendas do produto 8 cresceram?
9. O Carlos e um grupo de amigos investiram na abertura de um bar.
10.
O lucro L acumulado, em milhares de euros, t meses após a abertura do bar é
modelado por:
L (t) == - 9 + 3°·41
Sem recorrer à ca lcu ladora, responde às seguintes questões.
9.1. Ao fim do primeiro mês de funcionamento do bar qual foi , em euros, o
resu ltado financeiro?
9.2. Quanto tempo decorreu até haver um equi líbrio entre as despesas e as
receitas?
9.3. Qual fo i o resultado financeiro, em euros, no decorrer do 7.0
mês?
9.4. Ao fim de quanto tempo, o lucro acumulado atin giu o valor de 72 000 €?
Calcula:
10.1. log 2 8 10.2.
1
log -rr 11:
10.3. log5 0,04 10.4. log 0,001
10.5. log2 0,25 10.6. ln Ve
10.7. ln (ln e) 10.8.
V3log93
10.9. log7 V49 10.10. log5 (5Í5)

11. A partir do gráfico da função y =ln x preenche a seg uinte tabela.
Função Domínio Contradomínio
Zeros
(caso existam)
y = ln (x- 2)
y=ln(1)
Y= Iln(- x)l
Y=
ln (x + 1)
2
12. Na figura está representada graficamente a função f
tal que:
f (x) = 1 - log2 (ax + b) , com a , b E IR .
12.1. Determ ina a e b.
12.2. Mostra que o ponto do gráfico de f que tem
abcissa 4 pertence à bissetriz dos quadrantes
pares.
12.3. Verifica que - 6 pertence ao contradomínio de f
e indica o respetivo objeto.
Assíntotas
y
o X
12.4. O gráfico de f passa pelo ponto de coordenadas (2, log2 c) , sendo
c E IR+. Determina c.
13. Sejam a , b e c números rea is tais que ab=c , sendo b E IR+ e a E IW{1}.
Mostra que:
13.1. loga c = 2b 13.2.
13.3. loga(%)= b - 1 13.4.
13.5. loga(f)+ alog, b =- 1 + b 13.6.
14. Considera os números rea is a, x, y E IW e a "F 1 .
Mostra que:
14.1. a log, x+log, y = xy
14.3. a1-log, (ax) = _l
X
14.2.
logl c=- b
a
loga(Ya c2} = ++ b
log~( ~)=- ++ b
a log, x-log, y = !._
y

15. Sejam f e g duas funções, de domínio IW, definidas por:
f (x) = 2 - log3 (x) e g (x) = 1 + log2(3x) .
15.1. Calcula, se m reco rrer à calculadora:
f (22012) - f (182012)
15.2. Representa na forma de intervalo de números rea is o conjunto-solução de:
15.2.1. g (x) ~ 3
15.2.3. g (x) > f (~)
15.2.2. f (x) <- 3
16. Na figura estão represe ntadas graficame nte
duas fun ções f e g, tais que:
f (x) = 3 x 2" e g (x) = 3 + 2 log3 x .
Sa be-se que :
• o ponto 8 pertence ao gráfico de g;
• C é o ponto de interseção do gráfico de f
com o eixo Oy;
• [OABC] é um retângulo.
16.1. Escreve equações das assíntotas dos gráficos de f e de g .
16.2. Determina o valor da área do retângulo [ABCD].
16.3. Calcula (f o g)(VJ).
16.4. Mostra que (g o f)(x) = 5 + log3 (4x), 'íl x E 09
, 1 .
17. Seja (un) uma prog ressão geométrica de termos positivos e razão r> 1.
Considera as sucessões (vn) e (wn) tais que:
Vn= ln (un) e Wn= ln (~) .
Mostra que:
17.1. (vn) é uma progressão aritmética de razão ln (r);
17 2 ( )
, _ . , . d _ ln (r)
. . wn e uma progressao arttmettca e razao -
2
- .
18. Determina o conjunto-solução das seg uintes eq uações.
18.1. 2x= 5 18.2. 5x- 3 X 52x= O
18.3. 2x- 6 X 2-x - 1 = O 18.4. 32x-1 + 3x-1 = 2
18.5. ex+lnx = 2x 18.6. 2 + log10 X= 0
g
X
18.7. log2(x - 1) = 3 18.8. (Y2) 1logx 2 =- 2 1 x E IW{1}
18.9. ln x + ln (2x - 1) = O
X
18.10. 2 log4(4x + 1) - 1 = 2 log42

44 TEMA2 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL li
19. Resolve as seguintes inequações:
19.1. e2-x?: 1 19.2. 3x< YJ
9
19.3. 73x- 2 X 7x?: O 19.4. 4x- 2x< 6
19.5. logrrx < 1 19.6. ln ((2x2- x)) <O
19.7. ln2x-ln x <O 19.8. log2x + log2(x + 1) ~ 1
19.9. ln (x + 3) - 2 ln x > O 19.10. log5 (x
2
+ x) - log5 (3- i)= 1
20. Considera as fun ções reais de variável real f e g definid as por:
(
1)9-x' x
f (x) =
2 e g (x) = 4 2 .,
20.1. Indica o domínio e o contradomínio de cada uma das funções.
20.2. Determina, analiticamente:
20.2.1. as coordenadas dos pontos dos gráficos das funções que perten-
cem à reta de equação y = 0,5;
20.2.2. as abcissas dos pontos de interseção dos gráficos das duas funções.
20.3. Para cada uma das funções diz, ju st ificando, se é ou não invertível.
21. No referencial da figura está parte da representação gráfica de uma função poli-
nomial f, do 3. 0
grau, cujos zeros são: - 2, 1 e 4.
Seja g a função, real de variável
real, tal que: g (x) = log2(x2- 3) .
Det ermin a os va lores de x que
são so lu ção da cond ição:
21.1. f(2x) x g(x)=0
21.2. r(1) x g(x)=0
21.3. f (x) x g (x) < O
22. Determina o domínio da fun ção f definida por:
22.1.
22.2.
f (x) = log2(x2- 3x)
1
f (x) = 1 - log2 (x)
X
22.3. f (x) = e x+ 1 - 3e"
22.4. f (x) = ln (ln x)
22.5. r(x) = V2x- e +lnx
y
X

1
23. Seja f a função definida por f (x) = 2 - 3x .
23.1. Determina :
23.1.1. o domínio da funç ão f;
23.1.2. o(s) zero(s).
23.2. Seja f -1
a função inversa de f .
23.2.1. Mostra que f -1
(x) = (
1
) e caracteriza a função f-1
.
log3 2 - x
23.2.2. Ind ica o contrado míni o de f.
24. Na figura estão represe ntadas as fun ções f e f- 1
função inversa de f, se ndo
a função f definida por f (x) = 2 + log2 (x + 1) .
24.1. Escreve uma equação da assíntota do gráfico de f .
24.2. Sem utilizar a função f -1
• determin a as coo rd enada s dos pontos de inter-
seção do gráfico de f -1
com os eixos coo rd enados.
24.3. Os pontos A e 8 pertencem à bi ssetri z dos quadrantes ímpares. Justifi ca.
24.4. Determina com du as casas decimais, recorrendo à ca lculadora gráfica, as
coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos de f e f-1
.
24.5. Define por uma condição a reg ião sombreada, inclu ind o a fronteira .
25. Considera as funções f, g, h e j definidas por:
f (x) = ln (x2
- 1) - ln (x - 1) g(x) = ln (x- 1) ;
h (x) = n log2 x e j (x) = log2 xn, n E IR .
25.1. Mostra que f(x) = g (x). v X E o h n Dg.
25.2. As funções f e g são igu ais? Justifica .
25.3. Para que valores de n as fun ções h e j são igua is? Fundamenta a tua
resposta.

46 TEMA2 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL 11
26. Considera as funções f, g e h definidas por:
1
f (x) = xe
g (x) = ln x e h (x) =x4
.
Determ ina :
26.1. lim f (x)
X --+ - oo
. (g(x))26.2. l1m -(-)
x --+O• h X
l
. f (x)
26.3. 1m - -
x --+ + oo h (x)
26.4. lim g (x)
x --+ + oo h (x)
27. Considera a segu inte família de funções:
y = axbcx ; a ;;t:. O; b > 1 e c E IR .
27.1. Dá exemp los de funções da família.
27.2. Quais os parâmetros que têm influência no estudo do sinal das funções da
família?
27.3. Considera a afirmação:
"Todos os parâmetros têm influência nos contradomín ios das funções da
família."
Concordas com a afirmação? Fundam enta de forma clara a tua op inião .
27.4. No referencial da figura está parte da representação gráfica de uma
função g da família em que b = 2 .
Os pontos A(1 ,t) e B (- 1, -3) pertencem ao gráfico de g.
y
27.4.1 Sem recorrer à calcu ladora, determina a expressão correspon -
dente a g (x) .
27.4.2 Sabe-se que o contradomínio da função g é um intervalo do tipo
] - 00' k].
Recorrendo à ca lculadora gráfica, determina o va lor de k , arre-
dondado às ce ntés imas.

28. Considera as funções f e g tais que :
f (x) = 2 - log2 (x) e g (x) = log2 (x + 3) .
No referencial da figura estão representadas as funções f e g e dois triângu-
los, [OAC] e [ADE] .
B
:b X
o
Sabe-se que:
• a abcissa do ponto A é zero da função f;
• b é a abcissa do ponto 8 de ordenada 4 e que pertence ao gráfico de g;
• P é um ponto móvel do eixo Ox que tem abc issa pertencente ao intervalo
]a, b];
• os pontos O, E e P têm a mesma abcissa, sendo O um ponto do gráfico de f
e E um ponto do gráfico de g;
• C é o ponto de interseção dos gráficos das funções f e g .
28.1. Determ ina as coordenadas de cada um dos seg uintes pontos:
28.1.1. A
28.1.2. 8
28.1.3. c
28.2. Determina a área do triângulo [OAC] .
28.3. Seja h a função que a cada x , abcissa do ponto P, faz corresponder a
área do triângulo [ADE] .
Mostra que:
28.3.1. DE = log 2 (x2
:
3
x)
28.3.2. h (x) =(x- 4) log2 ( Vx
2
2
+
3
x), xE ]4, 13]

29. Admite que às O horas foi administrado a um doente um fármaco, o "Curabem".
Sabe-se que a concentração do fármaco, por cada litro de sangue, t horas após
ter sido administrado é dada, em miligramas por litro (mg/l) , pelo segu inte
modelo:
C (t) = t X 1,05-21
29.1. Determina :
29.1.1. a concentração de fármaco às 3 horas e 30 minutos. Apresenta o
resultado arredondado às décimas;
29.1.2. o valor da concentração máxima e a hora em que ocorreu.
29.2. Para o tratamento ter o efeito desejado é necessário tomar um 2.0
fármaco no
instante em que a concentração de "Curabem" atinge o valor máximo, sendo
também necessário garantir que, após a administração do 2.0
fármaco a con-
centração de "Curabem" no sangue, se mantém superior a 3,5 mg/l, pelo
menos durante 3 horas.
Sabe-se que o doente tomou o "Curabem" às O horas e o 2.0
fármaco às
11 horas e 30 minutos.
Numa composição matemática, explica de forma clara o cumprimento, ou
não, por parte do doente, das indicações médicas e se estão reun idas as
cond ições para que o tratamento tenha o efeito desejado.
30. Na aldeia do Pedro há uma albufeira onde
praticam vários desportos aquáticos.
O Pedro está a iniciar-se na condução de
motas de água. Nos treinos tem de fazer
um determinado percurso, derrubando o
menor número possível de obstáculos.
Adm ite que o número N de obstácu los
derrubados pelo Pedro depende do
número de horas de treino e é mode-
lado por:
N (t) = 2 + 8 x e-0
.4
51
, t em horas.
30.1 . Qual é o número de obstáculos que o Pedro derruba no início do treino?
30.2. Quanto tempo de treino deve ter o Pedro para diminuir em 60% o número
de obstáculos derrubados? Apresenta o resultado em horas, arredondado
às unidades.
30.3. Adm ite que o modelo se mantém vá lido para um grande número de horas
de treino. Será que o Pedro consegue efetuar o percurso sem derrubar
obstáculos? Justifica .

31. Considera a função f definida por f (x) = 1,2-3
x .
No referencial da figura está parte da representação gráfica de f e um ponto
móvel P, de abcissa positiva, pertencente ao gráfico de f .
Seja A a área do retângulo [OMPN] representado na figura segu inte.
y
o X
31.1. Mostra que a área A é dada em função de x, abcissa do ponto P, por
uma função da família:
y = axbcx ; a t:- O; b > 1 e c E IR .
31.2. Mostra que:
31.2.1. a área do retângulo [OMPN] é máxima quando x = 1,83 (valor
arredondado às centésimas);
31.2.2. o perímetro do retângulo [OMPN] é dado em função de x,
abcissa do ponto P, por P(x) = 2x + 2 (1 ,2t3
x .
31.3. Observa com atenção a figura e imagina os diferentes retângulos para as
várias posições do ponto P .
A (x) e P(x) representam , respetivamente, a área e o perímetro do retân -
gulo.
31.3.1. Conjetura resultados para os seguintes limites:
lim A (x); lim A (x); lim P(x) e lim P(x).
X--+ Q+ X --+ +oo X --+ Q+ X --+ +ex:>
Confirma (ou rejeita) as conjeturas feitas.
31.3.2. Tendo em consideração o "estudo" feito em 31.3.1. , o que podes
concluir quanto à existência de assíntotas dos gráficos das funções
A(área) e P(perímetro)?
31.4. Por processos gráficos resolve o segu inte problema:
NEMA12CP-04
"Para que valores inteiros de x o perímetro do retângulo [OMPN] está
compreendido entre 15 e 30 ?"
Apresenta todos os elementos recolhidos através da utilização da ca lcula-
dora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s).
I
I

32. Na figura está parte da representação gráfica da função f.
Seja g a função definida por:
g (x) = ln (t (x))
32.1. Determina relativamente à
função g :
32.1.1. o domínio e o contra-
domínio;
32.1.2. o zero.
32.2. Resolve a equação:
f (x) x ln (x) = O
33. Considera a família de fun ções f tais que:
y
f (x) = a (1 - e-bx) , a , b E IR
33.1. Completa a seguinte tabela:
lim f(x)
x----. -oo
lim f(x)
x- +oo
a>O b>O
a>O b<O
a< O b>O
a<O b<O
33.2. Faz b =2 e resolve a equação f (x) =%.
34. Numa propriedade agrícola, foi detetada uma doença que afeta as árvores de
fruta.
Sabe-se que t dias após a doença ter sido detetada o número de árvores afeta-
das é dado aproximadamente por:
260
f (t) = 1 + 3 X 2 -0.51
34.1. Determina o número de árvores afetadas no momento em que a doença foi
detetada.
34.2. Quantos dias decorreram até que o número de árvores afetadas passasse
para o triplo das que existiam no dia em que a doença foi detetada?
34.3. Se nada for feito para alterar a situação e admitindo que o modelo conti-
nua a ser válido, determina para que valor tende o número de árvores afe-
tadas.

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL li TEMA 2
2. Teoria de limites. Continuidade. Teorema de Bolzano. Assíntotas
1. Seja r a funç ão defini da por:
r(x) = 2x- 3
X - 1
1.1. Determina as equações das assín -
totas do gráfico de r. --------- --- ---------- -,------------------- .
1.2. Sejam (un) , (vn) , (wn) e (sn) tais
que:
• un= n2
+ n
• v = 1 +-
1
-
n 2n
1 - n3
• w = - -
n n2
2n- 5
• s = - -
n 2n
Determina :
1.2.1. lim(r(un))
1.2.3. lim(r(wn))
2. Na figura está representada uma função
r.
As equações das assíntotas do gráfico de
r, tal como a figura sugere, são:
x=-2; x=2; y=2 e y=1.
Sejam (un) , (vn) e (wn) as sucessões
definidas por:
(- 1)n
Un =k + -n-, Vn =n2
+ 1
1 - n2
e Wn=-n-·
2.1. Determina:
2.1.1. lim r(vn)
2.1.2. lim r(wn)
2.2. Indica o valor de k E IR de modo que:
2.2.1. n é par e lim r(un) = - oo;
2.2.2. n é ímpar e lim r(un) = + oo ;
2.2.3. n é ímpar e lim r(un) =- oo .
o
1.2.2. lim (r(vn))
1.2.4. lim (r (sn))
y
'
X
IL2 --- -- -:--------------- .
----- --- -- --,------ 1
'
-2: o
'
'
'
'
'
'
'
2 X

TEMA2 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL li
3. Na figura está representada a função g, sendo x = - 3 e y = 2 as assíntota s do
seu gráfico.
'·
X
3.1. Sejam (un), (vn) e (wn) as sucessões tais que :
Determ ina :
3.1.1. lim g (un)
3.1.3. limg(wn)
3.1.2. lim gCJ
3.1.4. limg(vn)
3.2 Dá exemplo de uma sucessão (an) tal que : lim g (an) =- oo .
1No referencial da figura está representada a função f tal que f (x) = -l - .
n x
y
X
Sejam (un), (vn) e (wn) as sucessões de termos gera is:
u =(n + 1)2
v =- 1- e n + 1
n ' n n + 1 W n = - n- .

4.1. Indica o valor de cada um dos segu intes limites:
4.1.1. lim (r(un))
4.1.2. lim (r(vn))
4.1.3. lim(r(wn))
TEMA 2
4.2. Seja g a função, rea l de variável real, tal que g (x) =r(- x).
Qual é o lim (g ((vn) - 1)) ?
5. No referencial da figura está representada graficamente uma função h, de domí-
nio IR, e as assíntotas do gráfico.
y
X
'-3 - _, _____________ __ _
Dá exemplo de uma sucessão (un) tal que :
5.1. lim (h (un)) = 2
5.2. lim (h (un)) =- oo
5.3. lim (h (un)) = 3
5.4. lim (h (un)) =- 3
'
'
6. Sejam f, g e h as funções, reais de variável real, tais que:
r(x) = x - 3 , g (x) = ln (l) e h (x) = ln (x +
1
) .
X+ 1 X X
Determina o valor de cada um dos seguintes limites de sucessões:
6.1. lim [(t (n))"]
6.2. lim (n x g (un)) , sendo un= _n_
1
.
n+
6.3. lim (h(vn)), sendo vn= *.

54 TEMA2 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL 11
7. Sejam f e g funções, reais de variável real, tais que:
1
3
2+ - - <==x< 1
2 x - 1
f (x) = 3x - 1 e g (x) = ( 2x )
ln - - <== x ~ 1
X+ 1
Aplicando a definição de limite segundo Heine, mostra que:
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
lim f (x) = _ __!_
X---+ -1 2
lim f(x) = O
X---++oo
lim f (x) = + oo
1+
X---+ J
lim g(x) =- 1
X -+ 0
lim g(x) = 2
X---+ -oo
lim g(x) = ln 2
X---++oo
lim _g(x) =- oo
x ---+1
lim g(x) = OX --+ 1+
8. Seja f a função definida por:
f(x) =
2
- x+ -
X
se x < O
4 se O ~ x < 3
2x- 1
se x ~ 3
X+ 1
Aplicando a definição de limite de uma função segundo Heine, calcu la:
8.1. lim f (x)
X---+ -2
8.2. lim _f(x)
X-+ 0
8.3. lim _f (x)
x---+ 0
8.4. lim f (x)
X ---+ +00
8.5. lim f (x)
x--+ -oo

9. No referencial da figura estão representadas duas funções polinomiais f e g.
y
X
Sabe-se que:
• f é uma função quadrática e os zeros são representados por c e e ;
• g é uma função cúb ica e os zeros são representados por a, O e d;
• a abcissa de um ponto de interseção dos dois gráficos é representada por b .
Indica os resultados dos seg uintes limites.
9.1. lim g (x) 9.2. l' g (x)1m - -
X--+-00 x-e f (x)
9.3. lim (g x f) (x) 9.4. lim !_ (x)
x-o x-b g
9.5. lim (f - g) (x) 9.6. lim !_ (x)
x-b x-d· g
9.7. lim (g- f) (x) 9.8. l' 11m--
X-+ +OO x-e· f (x)
9.9. lim (g x f) (x)
x-e
10. Considera as funções definidas por f (x) = x2
- 1 e g (x) =- x2
- x + 2.
Determina:
lx- 11
10.1. lim _ f ( )x-1 x
l
. f (x)
10.3. 1m - -
x- -oo X g (x)
l
. f (x)
10.5. 1m - -
x-1 g (x)
10.2.
10.4.
l
. f (x)
1m--
x--oo g(x)
l
. x f (x)
1m--
x-+oo g (x)
11. Sejam f e g as funções definidas por f (x) = VX+J e g (x) = x2
- x.
Calcula:
f (x) - 2 ( )
11 .1. lim () 11.2. lim g(x) -2x3
x- 1 g X x--=
11.3. lim (f (x) -Vx)X-++oo
11.4. lim (-
1
- + l)x-o g(x) x

56
12.
Determina, caso existam, os segu intes limites.
. x2
- 2x- 3
12.1. l1m 2x--->3 9- X
l
. x (4x2
- x)
12.3. 1m 2 2
x- -oo (x + 1) (x + 2)
12 5 l
. x2
- 1
.. 1m . ~
X--->
1 2- VX + 3
12.7. lim V2x2
- xX--+ +00
12.9. lim (V7+ 9x2
- 5x)X--++oo
12 2 l
. 2x - 5x3
. . l m 2 3
x---> + oo 3 - 2x + x
. l2x- 41
12.4. l1m 2
4X--->2 X -
12.6.
12.8.
lim (___!___2
x (x2
+ 2x))
X--->-2 X+
l
. wlm - -
x---.o X
13. Considera a função f definida por:
l
i"~xl se x < O
f (x) = x3-x kx
se x >O
13.1. Determina :
13.1.1. lim f (x)
X-+ - 00
13.1.2. lim f (x)
X-++oo
13.1.3. k E IR de modo que exista lim f (x) .
X--->0
13.2. Considera k = 1 .
Seja g a função definida por g (x) = axn, n E lN e a E IR{O} .
Indica os valores de a e n de modo que:
. ( f (x))13.2.1. l1m - (- ) = 4
X---> +oo g X
. ( f (x))13.2.2. l1m -(-) = OX--->+oo g X
!
0 -X
f (x) = x
- 1
se x ::t O
se x = O
Mostra que a função é contínua em x =O .
15. Considera a função h definida por:
f X- 2
h (x) = lrx' l
se x ::t - 2 1 x ::t 2
se x =- 2 V x = 2
15.1. Determina os pontos de descontinuidade da função .
15.2. Em algum dos pontos de descontinuidade há continuidade latera l?

16.
. _ x = 1 - x2
l
-x2
+ 4x + 5
Considera a funçao g tal que g ( )
3
se x E IR{- 1 , 1}
se x E {- 1 , 1}
Estuda a continuidade da função g.
l
1
f X = 1 -ln X
17. Seja f a função definida por ( )
2
_ ek
se x >O 1 x -:t-e
se x ~O V x =e
17.1. Determ ina k E IR de modo que a fun ção f seja co ntínua em x= O.
17.2. Mostra que f é descontínua em x =e , qualquer que seja k E IR .
18. Considera a função g definida por g (x) =v;_-} ·.
18.1. Determina o domínio de g.
18.2. Define a função h sabendo que:
• é um prolongamento de g a IW ;
• é co ntínu a.
19. Na figura está representada grafica-
mente a função f que é definida por:
1
2 + ex~3
f(x) =
1 +~
Vx
se x <- 3
se x > O
19.1. Determina as coordenadas dos pontos A e B .
y
8
o
19.2. Define um prolongamento de f a IR que seja uma função contínua.
20. Considera as funções f e g definidas por:
l
lxl
f (x) = x se x -:t- O
k se x =O
e (x) = {4 se x <O9
2 se x;;;:: O
20.1. Mostra que f e g são descontínuas em x =O.
20.2. Determina k E IR de modo que:
20.2.1. f seja contínua à esquerda em x = O;
20.2.2. a função f + g seja contínua em x = O.
X

21. A função f de domínio IW está representada
graficamente no referencial da figura, sendo
ex
f (x) =- x .
Mostra, analiticamente, que:
21.1. aequação f(x)=0,1 épossívelem
]- 2' -1[;
21.2. a abcissa do ponto A , ponto de interse-
ção do gráfico de f com a bissetriz dos
quadrantes pares, pertence ao intervalo
]- 1 , O[.
22. Relativamente a uma função f de domínio IR, sabe-se que :
• é contínua;
• é ímpar;
• f(2) x f(-4)>0
Mostra que:
22.1. a função f tem pelo menos um zero em ]2, 4 [;
22.2. a função f tem pelo menos três zeros.
23. Considera a função polinomial f tal que f (x) = 2x2013 - 3x2012 + 2007.
23.1. Determina:
23.1.1. lim
x _., - oo
f (x)
23.1.2. lim f (x)
x--+ +oo
X
23.2. Recorre ao Teorema de Bolzano e justifica que a função tem pelo menos
um zero.
24. Seja f uma função contínua de domínio IR .
Sabe-se que :
• f é uma função par.
• f (- 1) X f (4) > 0
Indica, justificando, se é verdadeira ou falsa a afirmação:
"A função f não tem necessariamente zeros nos intervalos ]- 4, - 1[ e ]1 , 4[ ...
25. Determina as assíntotas do gráfico da função f definida por:
25.1. f (x) = x2- 25x: 6
X -
25.2. f (x) =
2
~
3
- x
X -X

1
2x
f (x) = x + 1
3x2
x-4
26.1. Determina o domínio de f.
se x < - 1
se x ~ - 1
26.2. Mostra que o gráfico de f tem duas assíntotas verticais.
26.3. Determina, caso ex istam, as assíntotas não verticais.
27. Na figura está representada a função f .
O eixo das ordenadas e as retas r e s
são assíntotas do gráfico de f.
27.1. Determina :
27.1.1. lim f (x)
X -+ +oo X
27.1.2. l
. f (x)
1m - -
x--+ - oo X
27.1.3. li m (f(x)+x-2 )
X--+ - oo
r y
27.2. Considera as funções g, h e j definidas por:
g(x)=f(-x), h(x)=1+f(x-3) e j(x)=-f(x) .
Determina as assíntotas dos respetivos gráficos.
28. Seja f uma fun ção de dom ínio IW , cujo grá fi co tem uma úni ca assíntota qu e é
definida pela equação y = 2x + 3 .
28.1. Determina a equação da assíntota do gráfico da função g se :
28.1.1. g (x) = 2 + f (x - 1)
28.1.2. g (x) = f (- x)
28.1.3. g (x) = - 3 + f (x + 2)
28.2. Sejam h e i as fu nções ta is que:
h (x) = - 2x + f (x)
f (x)
e i (x) = 3 + -x- .
Mostra que y = 3 é assíntota horizontal do gráfico de h e y = 5 é assín-
tota horizontal do gráfico de i.

1
1 +~
29. Seja f a função definida por f (x) = ~x
X - 1
se x >O
se x ~O
29.1. Determina o domínio da função.
29.2. Mostra que os eixos coordenados são assíntotas do gráfico de f.
29.3. Determina as restantes assíntotas, caso existam.
30. Considera f uma função de domínio IR+ cujo gráfico tem como única assíntota a
reta y = 3x + 2 .
Sejam g e h as funções defin idas por g (x) =- 3x + f(x) e h (x) = f;:) .
Mostra que:
30.1. o gráfico de g não tem assíntota oblíqua, mas sim assíntota horizontal e
define-a por uma equação;
30.2. o eixo das abcissas é uma assíntota do gráfico de h.
31. Cons idera a função j tal que:
j (x) = 3 + ln (h (x)) ,
sendo h a função representada grafica-
mente na figura.
A reta y = 1 é assíntota horizontal do
gráfico de h.
Determina:
31.1. o domínio de j;
31.2. as assíntotas do gráfico de j .
y
1 ---
o
32. Seja f uma função contínua, estritamente decrescente, de domínio IR+ e con-
tradomínio ]- oo, 2[ .
Mostra que o gráfico da função g definida por g (x) = n1
(x) tem uma só assíntota
e define-a por uma equação .
33. A Carlota colocou uma bebida no frigorífico durante 45 m inutos e, de segu ida,
colocou-a na mesa até ser servida .
Adm ite que a temperatura da beb ida, em graus Ce lsius, t m inutos após ter sido
co locada no frigorífico, é dada, para um certo va lor de k, por:
T (t) = {40- 5 log2 (2t + 38) se O~ t < 45
3 + keo.os(t-45) se t ;;;::, 45
33.1. Qual era a temperatura da bebida quando foi colocada no frigorífico? Apre-
senta o resultado arredondado às centésimas.
33.2. Por processos exclusivamente ana líticos, mostra que 19 minutos foi o
tempo necessário para que a temperatura da bebida descesse 5 oc .

33.3. Atendendo a que a função T é contínua, mostra que k = 2 .
33.4. No caso de a bebida ser servida à temperatura ambiente e esta ser de 9 oc ,
qu anto tempo passa entre o instante em que a bebida é retirada do frigorí-
fi co e o instante em que é servida?
Apresenta o resultado em minutos e segundos, os segundos arredondados
às unidades.
34. Seja f uma função contínua de domínio [1 , 6] e contradomínio [- 1 , 4].
35.
Mostra que se f (1) x f (6) > O, então a fun ção f tem pelo menos dois zeros.
De uma fun ção g, de domínio IW, sa be-se que a reta de eq uação y = 2x- 1 é
assíntota do seu gráfico.
Mostra que, se a função h , de domínio IW , é definida por
então a reta de equação y =- 4 é assíntota do gráfico de h .
h (x) = 1 - (g (x)f
x2
36. Seja f a função de domínio IR definida por:
e'
f (x) = ex+ 1
36.1. Verifi ca se 2 pertence ao co ntradomínio da função f.
36.2. Determina, caso existam, as assíntotas do gráfico da função f.
36.3. Na figura , a região som-
breada é limitada pelo grá-
fico de f, pe los eixos Ox e
Oy e pela reta de equa ção
x=a; a;;;;,O.
Sa be-se que a área A da
reg ião sombreada é dada por:
A= ln C~ e•)
36.3.1. Mostra que a= ln (2eA-1 ) .
y
o a X
36.3.2. Para cada valor de a a reg ião sombreada corresponde ao molde
de uma peça.
Um do s moldes foi co nstruído faze ndo a= 5 . Depo is de co ns-
truído, foi ped ido um seg und o molde, porém, com a área reduzida
em 25% .
Qual deve ser o valor a atribuir a a na construção do segundo
molde?
Numa pequena composição, responde à questão colocada, recor-
rendo à calculadora para determinar graficamente o valor de a .
Apresenta o resultado arredondado às centésimas.

37. Considera a família de fun ções f , tais que:
<== x>O
f(x)= lnk
I0,25 + x' e-'
<== X= 0; k E IR
~-1
X <== x<O
137.1. Mostra que as retas definidas pelas equações y =!; e y =O são assínto-
tas do gráfico de qualquer função da família .
37.2. Determ ina k de modo qu e f seja co ntínu a em:
37.2.1. J-oo , O]
37.2.2. [O, + oo [
37.3. Não há qualquer função da fam ília que seja co ntínua. Justifica a afirma -
ção.
38. Considera as funções f e g tais que:
3ex
f (x) = 2x - 1 + - - e
e+ 1
g (x) = e
I
kx +el -x
2x2
+ 1
X
se x > O
se x =O ; k E IR
se x <O
38.1. Mostra que a reta y = 2x- 1 é uma assíntota do gráfico da função f
quand o x-+- oo.
38.2. Em relação à função g determ ina k de modo que:
38.2.1. a função seja contínua em [0 , + oo[ ;
38.2.2. o gráfico de g tenha um a e uma só assíntota ob líqua.
39. No referencia l o. m. xOy da figura estão
partes das representações gráficas de duas
funções f e g e um retângulo [ABCD] ,
cujos lados são paralelos aos eixos coorde-
nados.
Sabe-se qu e:
2
• f (x) = - 1 + ln (2x) e g (x) = ln (
2
x)
• a reta r é uma assíntota vertica l do grá-
fico da fun ção g;
• os vértices A e C do retâ ngulo são pon-
tos de interseção dos gráficos das funções
f e g.
y
o
o
f-A: - - - - - - - - a
39.1. Determin a as eq uações das assíntotas dos gráficos da s funções f e g.
39.2. Determina as coorde nadas dos vértices do retângulo [ABCD].

3. Cálculo diferencial
1. Na figura está representada uma função f de domínio IR.
1.1. Determ ina a va riação da fun ção f,
no intervalo:
1.1.1. [- 3 ' - 2]
1.1.2. [- 1 ' 1]
1.1.3. [2 ' 4]
1.1.4. [- 3 ' - 1]
1.2. Determina a taxa média de variação
(t. m. v.) da fu nção f no intervalo:
1.2.1. [O, 2]
1.2.2. [- 3' 1]
1.2.3. [- 3' 4]
1.3. Dá exemplo de um intervalo do tipo [a , b] em que a função f, nesse intervalo,
não seja crescente e a taxa média de variação nesse intervalo seja positiva.
2. Na figura estão representados o gráfico de uma função f e duas retas r e t.
y
o
Sabe-se que:
r
-------- -- --- -- -:----- -----
''
3
• os pontos A (3 , 3) e B (5 , 1) pertence m ao gráfico de f;
• a reta r passa pelos pontos A e B ;
• a reta t é tangente ao gráfico de f no ponto A e é definida pela equação
4
y = -
11
x + 4.
2.1. Determina a equação reduzida da reta r .
2.2.
. f (x) - 3
Determ ina o valor de l1m .
x-+3 X- 3

3. Na figura está representada graficamente uma função f, de domínio IR, e uma
reta r que é tangente ao gráfico de f no ponto A (2 , 4) .
y
r
X
Sabe-se que a amplitude do ângulo formado pela reta r e o semieixo negativo
das abcissas é de 135°.
Determina:
3.1. f'(2)
3.2. g'(- 2) , se ndo g (x) = f (- x) , 'íl x E IR ;
3.3. h'(2), sendo h (x) =- f (x), 'íl x E IR.
4. Recorre à definição de derivada de uma função num ponto e calcula:
4.1. f' (3) ' sendo f(x) =W+2, ;
4.2. f' (1) ' sendo f (x) = x2
- 2x
X '
4.3. f'(O) , se ndo
1
f (x) = y?+l.
x2
+ 1
5. Caracteriza a função derivada da função f, sendo:
5.1.
3x4
f (x) =- - - 4x2
- x + 5
2
5.2. f (x) =(x
2
-1)(4x- 2)
5.3. f (x) =(2x; 1J
5.4. f (x) =
(x + 1)2
x3
5.5. f (x) = fix2
- 3
5.6. f (x) =x {f

5.7.
1
f (x) = lx- 31
5.8. {3x
2
se x ~ O
f (x) = Í2X se x >O
( 2x- 4 x~4/x=t2
f(x)= 12 - xl
se
5.9.
(x-4)2
- 2 se x>4Vx=2
5.10. f (x) = (x --: 1)W"+1
5.11. (~
<==x>2
f (x) = ~
<==x~2
5.12. f (x) = 1~
x2
+ 1
se x >O
se x ~O
6. Co nsid era as fu nções f e g , rea is de variável rea l, em que g está represe n-
ta da no referencial da figura e f é tal que:
a
6.1. Determ ina:
6.1.1. f'(O)
(
x + 2x2
f(x) = _2_
x-1
y
6.2. Existe f'(1)? Justifica.
<==x>1
g
X
6.1.2. f' (3)
6.3. A reta t é tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a .
Determina g'(a).
6.4. A reta s é paralela ao eixo Ox. Determina g'(c).
6.5. Existe g'(b)? Justifica.
NEMA12CP-05

7. Abriu -se uma torneira para encher um reservatório
com a forma de prisma quadrangular regu lar.
A altura do nível de ág ua no reservatório, ao fim de
t minutos após se ter aberto a torneira, é dada pela
expressão:
h (t) = -
3
-t_ com h (t) em metros.
2t + 5 '
7.1. Calcula, apresentando valores arredondados às centésimas:
7.1.1. a variação da altura de água entre o 3.0
e o 6.0
minuto;
7.1.2. a variação média da altura da água entre o 2.0
e o 5.0
min uto;
7.1.3. a variação da altura da água no instante t = 4.
7.2. Comenta a segu inte afirmação:
"O cauda l de água em itid o pela torneira não é constante."
7.3. Sabe-se que o reservatório tem capacidade para 5600 litros e a sua base
tem 2m de lado. Determina, analiticamente, o tempo que demora a encher.
8. Relativamente a uma fun ção f sabe-se que as retas tangentes ao gráfico, res-
petivamente em x =a e x = b, são perpendiculares.
Mostra que f'(a) x f'(b) =- 1 .
9. Considera f a fun ção definida por f (x) = ~.
x+4
9.1. Determina f'(O), recorrendo à definição de derivada de uma função num
ponto.
9.2. Determ ina a equação reduzida da reta normal ao gráfico de f no ponto de
abcissa O.
Nota: Reta normal ao gráfico num ponto é a que é perpendicular à reta tangente ao
gráfico nesse ponto.
9.3. Seja 9 uma função derivável e a reta r , de equação y = 2x - 1 , tangente
ao gráfico de 9 no ponto de abc issa 3.
Mostra que : (f o 9)' (3) =-
2
.
10. Seja 9 uma função derivável e y = 3x- 5 uma equação da reta tangente ao grá-
fico de 9 nos pontos de abcissa 4 e 1 .
10.1. Determina as ordenadas dos pontos de tangência.
10.2. Sejam h e j funções definidas por h (x) = 19(x)l e j (x) = 9(1).
10.2.1. Determina h'(1) e h'(4) .
10.2.2. Para que valor de k E IR se tem j'(x) = k x 9{1)?
10.2.3. Determina j'(S).

11. Na figura estão representadas as funções g e
a respetiva função derivada g'. A reta r é tan -
gente a um dos gráficos no ponto de abcissa 1 .
11.1. Identifica o gráfico de g e o gráfico de g'.
Fundamenta a tua escolha.
11.2. Determ ina a e b.
11.3. Sabe-se que a função g' é definida por:
'( ) 8x
g x = - (x2+ 1)2
11.3.1.
11.3.2.
Det erm in a o co ntradomínio da
fun ção g' .
Determina lim g (x) - g (3)
x-+3 x2- 3x
X
11.3.3. Quais são as abcissas dos pontos de inflexão do gráfico da função g?
12. Determin a f' (x), se ndo:
12.1. f (x) = 2ex'-l 12.2. f (x) = (3-x- 1)2
12.3. f (x) = log2 Vx 12.4. f (x) =x ln (+)
12.5. f (x) =
e2x _ x2
12.6. (x-2)
X
f (x) = log 10
1 + Jx
12.7. f (x) =( 1 - xln x y 12.8.
2'rx
f (x) = Vx
12.9. f (x) =xexlnx'
13. Consid era a função f definida por:
f (x) _ ln x
1 +ln x
13.1. Determina o domínio da função f .
13.2. Determin a as eq uações da s assíntotas do gráfico de f que são paralelas
aos eixos coordenados.
13.3. Mostra que:
f' ( ) 1
x = x (1 + ln x)2
13.4 Escreve a equação reduz ida da reta tangente ao gráfico de f no ponto:
13.4.1. de abcissa e;
13.4.2. de ordenada O.

14. No referenc ial da figura está representada uma função f de domínio IR, tal que:
2
!
xex
f(x)= ~
x2
+ 1
Ç= X> Ü
A
X
8
Os pontos A e 8 são pontos em que a função toma va lores extremos.
Determina as coordenadas dos pontos A e 8.
15. Na figura está rep r ese ntada a fun ção f de domín io IR e co ntradomínio IW .
(A)
y
X
Seja g a funcão defin id a por g (x) = -
1
-) .
' f (x
Um dos gráficos seguintes pode ser uma representação gráfica da função g
Identifica-o e, para cada um dos gráficos rejeitados, apresenta uma razão que
justifi que a sua r eje ição.
(B) (C)
y y
X X X

16. No referencial da figura está representada a
função f', fun ção derivada da função f.
Sa be-se qu e o gráfico de f pa ssa pelo ponto de
co ordenadas A(3 , - 1) e o gráfico de f' é
tangente ao eixo Ox.
16.1. Diz, fundamentando convenientemente a
tua resposta, quais das seguintes afir-
mações são verdadeiras.
I. f(1) > f (2)
11. f tem um extremo em x = 3 .
III. f"(1) X f"(7) < 0
IV. f"(3) = O
o 3 X
V. A concavidade do gráfico da função f é vo~tada para baixo em ]3 , + = [ .
VI. O ponto A é ponto de inflexão do gráfico de f.
16.2. Determina a equação da reta tangente ao gráfico de f que é paralela ao
eixo Ox .
16.3. Qual o va lor de lim f (x)? Ju stifi ca.
x --+3
17. Cons id era a fun ção f, real de variável real, tal que:
x2 x2
f (x) =
2
ln x -
4
Mostra que:
17.1. f'(x)=xlnx, V xE01
17.2. f (x) ?J; - ±, V x E IW
17.3. o ponto de coordenadas (~, -
4
!2) é um ponto de inflexão do gráfi co da
função f.
18. Consid era a função h real de variável rea l tal que:
1
~
X
h (x) =
2x2
+ x- 1
4x2
- 1
18.1. Mostra que a função h é descontínua.
18.2. Diz, justificando, se existe h'(~).
1Ç:::::: X ~ -
72
1Ç:::::: X < -
2
18.3. Determ ina a eq uação reduzida da reta tangente ao gráfico de h no ponto
de abc issa 1 .

19. Acerca de uma função real g de variável real, sabe-se que g'(4) = - 1 e
g(4)=2.
19.1. Justifica a seg uinte afirmação:
"A função é contínua para x = 4 ...
19.2. Indica o valor de lim g (x), justificando a sua existência.
x--+4
g(x) - g(4)
19.3. Calcula o valor de lim 2
16X -> 4 X -
19.4. Determina uma equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de
abcissa 4.
20. A função g", segunda derivada da função g, é definid a por g"(x) = x2
- 2x.
Qual dos gráficos seguintes pode corresponder ao gráfico da função g?
(A) (B) (C)
y y
X X
21. Seja f a função definida por f (x) = x ; 2
1
.
21.1. Determina f'(- 1), usando a definição de derivada de uma função num
ponto.
21.2. Estuda os intervalos de monotonia e a existênc ia de extremos.
21.3. Relativamente à função g sabe-se que g' (2) = 1 .
21.3.1. A função g é contínua em X= 2 . Justifica.
21.3.2. Determina (f x g)' (2) sabendo que g é uma função derivável.
22. Seja f a função definida por f (x) = ex(x2
- 3).
22.1. Mostra que o eixo Ox é assíntota do gráfico.
22.2. Determina f' (O) usando a definição de derivada num ponto.
22.3. Sejam a e b, respetivamente, o mínimo abso luto de f e o máximo da
função f em IR- .
22.3.1. Mostra analiticamente que a=- 2e e b =-;..e
22.3.2. Determina, recorrendo à calculadora, o conjunto das soluções
inteiras da condição: a< f(x) < b.

23. Seja f (x) = x + ln+ .
23.1. Determ ina f'(1) , usando a definição de derivada num ponto.
23.2. Mostra que:
23.2.1 . f'(x) = 1 - e -x+t(x) , V x E IW
23.2.2. y =- x + ln (2e) é uma equação da reta tangente ao gráfico de f
no ponto de abcissa ~
23.3. A solução da inequação f (x) < 6 é um intervalo do tipo ]a, b[, a, b E IR .
Utiliza a calculadora para determinar a e b. Apresenta os valores de a e b
arredondados às mi lésimas.
24. Na fi gura está parte da representação Y
gráfica da função g que é definida por:
g (x) = - 1 + ln2
(x)
24.1. Determina as abcissas dos pontos
A e B.
24.2. Mostra que o eixo das ordenadas é
assíntota do gráfico de g.
g
X
24.3. Deter m ina as abcissas dos po ntos de interseção dos gráficos de g e da
função f definida por: f (x) = 3 ln Vx.
24.4. Seja P um ponto de ordenada negativa pertencente ao gráfico da função g .
Mostra que o valor da área do triângulo [ABP] que tem área máxima é e
2
2~ 1
.
24.5. Estuda o sentido da concavidade da função g e a existência de pontos de
inflexão.
25. Re lativamente a uma função f, derivável e de domínio IR , sabe-se que:
• tem contradomín io [- ~ , + =[;
• y=O éassíntotadográficode f;
• o gráfico passa pela origem do referencial;
• as funções primeira e segunda derivadas de f são definidas por f (nl(x) = (x + n)ex ,
respetivamente, para n = 1 e n = 2.
25.1. Determina uma equação da reta tangente ao gráfico de f na origem do
referenc ial.
. f(a+h)-f (a)
25.2. Determ ina a E 01 sabe ndo que l1 m h =O .
h-O
25.3. Estuda os intervalos de monotonia da função f.
25.4. Mostra que:
25.4.1. o contradomínio da função primeira derivada de f está contido no
contradomínio de f;
25.4.2. o gráfico de f tem um ponto de inflexão.
25.5. Esboça uma possível representação gráfica da função f.

26. Considera f a função de domínio IR definida por:
f (x) = xex
26.1. Determina, caso existam, as coordenadas dos pontos de inflexão do gráfico
de f.
26.2. Mostra que f"(x)- 2f'(x) + f (x) = O, '1 x E IR .
27. Considera f a função de domínio IR, definida por:
f (x) = ln (x2
+ 1)
No referencial da figura está representada a função f e um retângulo [ABCD].
y
A X
Sabe-se que:
• o eixo Oy é um eixo de simetria do retângulo [ABCO] ;
• os pontos A e O pertencem ao eixo das abcissas e os pontos B e C perten-
cem ao gráfico de f.
Representa por a a abcissa dos pontos A e B.
27.1. Seja g a função que a cada valor de a, positivo, fa z corresponder a área
do retângulo [ABCD] .
Indica a expressão analítica da função g.
27.2. Determina a área do retângulo no caso de os pontos B e C serem pontos
de inflexão do gráfico de f.
28. Numa fábrica, a partir das 8 horas e até às 18 horas, um reservatório de forma
cúbica, com 1 metro de altura, fornece água a uma máquina e recebe água con-
tinuamente de uma torneira de caudal constante .
Admite que, num determinado dia, a altura, em centímetros, da água no reserva -
tório, t horas após o início do fornecimento, é dada por:
1
h (t) = 30 + 2t + 5 ln (t +
1
)2 , O!( t !( 1O

28.1. Justifica a afirmação:
"A quantidade de água que é consumida pe la máquina ao longo do dia não
é co nsta nte."
28.2. Mostra, recorrendo ao Teorema de Bolzano, que houve um instante entre
as 8 h 30 min e as 9 h em que a quantidade de água contida no reserva-
tório foi de 260 litros.
28.3. Determina a taxa de variação da altura da água no reservatório às 14 horas.
28.4. Por processos analíticos, recorrendo à calculadora apenas para efetuar
eventua is cá lculos, respo nde às questões segu intes, fundamentando con-
venienteme nte as respostas.
28.4.1. Em que período(s) do dia a quantidade de água que está a entrar
no reservatório é superior ou igual à quantidade de água que está
a sair?
28.4.2. Quantos litros de água contém o reservatório quando esta atinge a
altura mínima?
28.4.3. A quantidade de água consumida pela máqu ina foi superior ou
in ferior à qua ntid ade de ág ua que entro u no reservatório? Em
quantos litros?
29. Seja f uma função de domínio IR.
Sabe-se que a função f' , função derivada de f, é definida por:
f'(x) = 2 -x2
ex
29.1. Determi na a equação red uzida da reta tangente ao gráfico da função f , no
ponto de abcissa O, sabendo que f (O) = O.
29.2. Estuda a função f quanto ao sentido da concavidade do gráfico e aos pon-
tos de inflexão.
30. Estuda e representa graficamente a função f definida por:
30.1. f (x) = +-1X -
4
30.2. f (x) = x - - 2
X
X
30.3. f (x) = - ,
ex
30.4. f (x) = -
1 : ln x

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