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Gráficos de control
Universidad Tecnológica de Torreón
Índice
Introducción
Tipos de gráficos
Construcción del gráfico
Gráfico de control para variables
 Gráfico xR
 Gráfico xS
Gráfico de control para atributos
 Gráfico tipo P
 Gráfico tipo NP
 Gráfico tipo C
 Gráfico tipo U
Gráficos de control especiales
 Gráfico de suma acumuladas (CUSUM)
Capacidad del proceso
 CP
 CPU
 CPL
 CPK
 CPM
 PP
 PPK
 PPM
Teorema del Límite Central
Six sigma
Introducción
Los procesos productivos son incapaces de producir dos unidades de
producto exactamente iguales. Esto se debe a un sin número de causas
que provocan variación y que por lo tanto es necesario controlarlas
cuando se presentan en exceso. Las causas de variación pueden ser de
dos tipos. Primero tenemos las causas no asignables. Ocurren al azar y
se deben a la naturaleza tecnológica de máquinas, procesos y
materiales. Estas causas tienen una influencia muy pequeña sobre la
calidad del producto y no son determinantes para que el proceso salga
fuera de control. Estas causas son independientes entre sí. Luego
están las causas asignables. Ocurren debido al comportamiento
anormal de uno o más factores de calidad, son pocas en número pero de
gran influencia en la calidad del producto. Estas causas pueden ser
estudiadas a fondo para disminuir o anular su influencia. Un proceso es
una combinación única de herramientas, métodos, materiales y personal
dedicados a la labor de producir un resultado medible; por ejemplo una
línea de producción para el ensamble de puertas de vehículos. Todos los
procesos tienen una variabilidad estadística inherente que puede
evaluarse por medio de métodos estadísticos. El gráfico de control es
una forma gráfica y cronológica de representar el comportamiento de
una o más características de calidad, fijando límites que sean acordes
con experiencias y valores especificados y previamente establecidos.
Estadísticamente, el gráfico de control se puede definir como un
intervalo de confianza en una escala serie-tiempo, en donde los límites
de control son niveles de significación, con sus coeficientes
correspondientes a la desviación estándar de la característica en
estudio. El objetivo es llevar un estudio detallado del comportamiento de
la variable con el fin de tomar las acciones correctivas y en especial
preventivas para que las anomalías no se presenten. Los gráficos de
control para variables se componen de dos partes: una se basa en
promedios y controla la exactitud; la otra se basa en medidas de
dispersión y controla la precisión.
Tipos de gráficos
 Gráfico de promedios e intervalos
 Gráfico de promedios y desviación estándar
 Gráfico de medianas e intervalos
 Gráfico de sumas acumuladas
Construcción del gráfico
 Selección de la variable
 Definición del marco de muestreo y el método de selección
 Determinación del número de subgrupos o muestras (m)
 Determinación del tamaño del sub grupo o muestra (n)
 Recolección de la información
 Cálculo de límites de control
 Construcción del gráfico
Gráfico de control para variables
En cualquier proceso productivo resulta conveniente conocer en todo
momento hasta qué punto nuestros productos cumplen con las
especificaciones preestablecidas. Podemos decir que la calidad de un
producto tiene dos grandes “enemigos”: (1) las desviaciones con
respecto al objetivo especificado (falta de exactitud), y (2) una excesiva
variabilidad respecto a los valores deseables (falta de precisión).
La idea consiste en extraer muestras de un proceso productivo que se
encuentra activo y, a partir de las mismas, generar gráficos que nos
permitan tanto estudiar la variabilidad del mismo como comprobar si los
productos obtenidos cumplen o no con las especificaciones
preestablecidas.
En caso de apreciar en tales gráficos tendencias no aleatorias o bien
muestras que se sitúen más allá de los límites de control
consideraremos que el proceso está fuera de control. Si así ocurre,
estaremos interesados en averiguar las causas especiales que afectan al
proceso.
En un gráfico de control se representa gráficamente una característica
de calidad T, medida o calculada a partir de muestras del producto, en
función de las diferentes muestras. La gráfica tiene una línea central que
simboliza el valor medio de la característica de calidad.
Finalmente, otras dos líneas (los límites superior e inferior de control)
flanquean a la anterior a una distancia determinada. Estos límites son
escogidos de manera que si el proceso está bajo control, casi la
totalidad de los puntos muestrales se halle entre ellos. Así, un punto que
se encuentra fuera de los límites de control se interpreta como una
evidencia de que el proceso está fuera de control.
Además, incluso si todos los puntos se hallan comprendidos entre los
límites de control, pero se comportan de manera sistemática o no
aleatoria, también tendríamos un proceso fuera de control (veremos
cómo estudiar la existencia de tales patrones no aleatorios mediante los
llamados tests para causas especiales).
La determinación de los límites de control se basa en conceptos y
resultados estadísticos: supongamos, p.e., que estamos interesados en
“controlar” la media µ de una variable aleatoria X cuya distribución tiene
una desviación estándar σ (µ y σ constantes durante el proceso).
Sabemos (por el TCL) que, para un tamaño muestral n grande, la
distribución de las medias muestrales será aproximadamente normal
con media igual a µ y desviación estándar igual a σ/√n . De este hecho
se deduce que aproximadamente el 99,7% de las medias muestrales
estarán contenidas en el intervalo µ ± 3 * σ/√n, intervalo que viene
definido por los límites de control. Este sencillo razonamiento es la base
para la construcción de todos los gráficos de control. Observar que,
como el intervalo anterior depende de n, si trabajamos con muestras de
distintos tamaños los límites de control no formarán una línea recta,
pues la distancia que les separa de la línea central aumentará conforme
n disminuya (serán límites “escalonados”).
Si dejamos momentáneamente al margen el estudio de posibles
patrones no aleatorios en el gráfico de control, podemos considerar que
éste no es más que un contraste de hipótesis en el que podemos
considerar como hipótesis nula Ho el hecho de que el proceso está bajo
control estadístico. El que un punto se ubique entre los límites de control
es equivalente a no poder rechazar la hipótesis nula Ho; por el
contrario, el que un punto se ubique fuera de los límites de control
equivale al rechazo de la hipótesis del control estadístico.
Observar que la selección de los límites de control equivale pues a
determinar la región crítica para probar la hipótesis nula Ho de que el
proceso está bajo control estadístico: alejando dichos límites de la línea
central se reduce α (o probabilidad de cometer un error de tipo I, i.e.:
que un punto caiga fuera de los límites de control sin que haya una
causa especial), si bien también se eleva con ello β (o riesgo de cometer
un error tipo II, i.e.: que un punto caiga entre dichos límites cuando el
proceso se encuentra en realidad fuera de control).
En general, para un α determinado, cuanto más grande sea el tamaño
muestral n, tanto más “sensible” será el gráfico a la hora de detectar
pequeños cambios en el proceso (i.e., para α fijo, a mayor n mayor será
lapotencia del contraste 1-β).
Podemos distinguir dos grandes clases de gráficos de control: los
gráficos de control por variables hacen uso de estadísticos obtenidos a
partir de datos tales como la longitud o grosor de un elemento, mientras
que los gráficos de control por atributos se basan en frecuencias tales
como el número de unidades defectuosas. Así, en los gráficos de control
por variables es posible medir la característica de calidad a estudiar. En
estos casos conviene describir la característica de calidad mediante una
medida de tendencia central (usualmente la media muestral) y una
medida de su variabilidad (usualmente el rango o la desviación
estándar).
Los gráficos de control por variables son más “sensibles” que los
gráficos de control por atributos, razón por la cual son capaces de
“avisarnos” de posibles problemas de calidad incluso antes de que éstos
sean ya relevantes. Por su parte, los gráficos de control por atributos
tienen la ventaja de sintetizar de forma rápida toda la información
referida a diferentes aspectos de calidad de un producto, ya que
permiten clasificar éste como aceptable o inaceptable; además, no
suelen necesitar de sistemas de medición muy complejos y son más
fácilmente entendibles por los no especialistas.
A continuación se agrupan los gráficos de control por variables según el
tipo de datos de que dispongamos:
Gráfico de control x-R
Un gráfico de control es un diagrama especialmente preparado donde se
van anotando los valores sucesivos de la característica de calidad que se
está controlando.
Los datos se registran durante el funcionamiento del proceso de
fabricación y a medida que se obtienen.
Todo grafico de control esta diseñado para presentar los siguientes
principios:
 Fácil de entendimiento de los datos
 Claridad
 Consistencia
 Proceso de prevención para evitar que el producto llegue sin
defectos al cliente.
 Detectar y corregir variaciones de calidad
El gráfico de control tiene:
Línea Central que representa el promedio histórico de la característica
que se está controlando
Límites Superior e Inferior que calculado con datos históricos
presentan los rangos máximos y mínimos de variabilidad.
Subgrupos: son grupos de mediciones con algún criterio similar
obtenidas de un proceso.
Se realizan agrupando los datos de manera que haya máxima
variabilidad entre subgrupo y mínima variabilidad dentro de cada
subgrupo.
Media: es la sumatoria de todos los subgrupos divididos entre el
número de muestras.
Rango: es el valor máximo menos el valor mínimo.
Los gráficos x-R se utilizan cuando la característica de calidad que se
desea controlar es una variable continua.
Paso 1: Recolección de datos
Estos datos deberán ser:
Recientes de un proceso al cual se quiere controlar
Estos pueden ser tomados
 Diferentes horas del día
 Diferentes días
Todos tienen que ser de un mismo producto.
Paso 2: Promedio
Sumatoria de los datos de cada uno de los subgrupos dividido entre el
número de datos (n).
Formula X
∑X1 + X2 + X3 + Xn
n
La formula debe ser utilizada para cada uno de los subgrupos
Paso 3: Rango
Valor mayor del subgrupo menor el valor menor.
Fórmula
R = x valor mayor – x valor menor
Determine el rango para cada uno de los subgrupos
Paso 4: Promedio global
Sumatoria de todos los valores medios y se divide entre el número de
subgrupos (k).
Formula X’
∑X1 + X2 + X3 +…+ Xn
k
Paso 5: Valor medio del rango
Sumatoria del rango (R) de cada uno de los subgrupos divido entre el
numero de subgrupos (k).
Fórmula R’
∑R1 + R2 + R3 + …. + Rn
k
Ejemplo de tabla de datos
Paso 6: Límites de Control
Para calcular los límites de control se utilizan los datos de la siguiente
tabla.
Limites de control
Gráfica X’
 Línea central (LC) = X’
 Limite control superior (LCS ) = X’ + A2R’
 Limite control inferior (LCI ) = X’ - A2R’
Gráfica de R’
 Línea central (LC ) = R’
 Limite control superior (LCS) = D4R’
 Limite control inferior (LCI) = D3R’
Gráfica X’
Utilizando los datos de X’ de la tabla se construye la gráfica
Gráfica R’
Utilizando los valores del rango (R) de la tabla de datos se construye la
gráfica de R’.
Ejemplo:
Puntos fuera de Control
Identificación de causas especiales o asignables
Pautas de comportamiento que representan cambios en el proceso:
 Un punto exterior a los límites de control.
 Se estudiará la causa de una desviación del comportamiento tan
fuerte.
 Dos puntos consecutivos muy próximos al límite de control.
 La situación es anómala, estudiar las causas de variación.
 Cinco puntos consecutivos por encima o por debajo de la línea
central.
 Investigar las causas de variación pues la media de los cinco
puntos indica una desviación del nivel de funcionamiento del
proceso.
 Fuerte tendencia ascendente o descendente marcada por cinco
puntos consecutivos.
 Investigar las causas de estos cambios progresivos.
 Cambios bruscos de puntos próximos a un límite de control hacia
el otro
límite.
 Examinar esta conducta errática.
Proceso bajo control
Si no hay puntos fuera de los límites de control y no se encuentran
patrones no aleatorios, se adoptan los límites calculados para controlar
la producción futura
Una vez determinado que el proceso esta bajo control estadístico
entonces se puede evaluar la capacidad del proceso.
Gráfico de control x-S
Para obtener la gráfica de medias y desviaciones estándar es necesario
que la característica del producto se haya definido con tipo de análisis
Variable y tamaño de subgrupo igual o mayor a 2. Cada punto de la
gráfica de Medias es el promedio de las muestras de un subgrupo. Cada
punto de la gráfica de Desviaciones es la desviación estándar interna de
cada subgrupo. Los límites de control se calculan a partir de la
Desviación estándar promedio y delimitan una zona de 3 desviaciones
estándar de cada lado de la media.
Los pasos necesarios para obtener el control de intento y los limites de
control revisados de X testada y S son los mismos que en el caso de las
graficas de X testada y R, excepto que se usan formulas distintas.
Para entender los gráficos X-R, es necesario conocer el concepto de
Subgrupos (o Subgrupos racionales). Trabajar con subgrupos significa
agrupar las mediciones que se obtienen de un proceso, de acuerdo a
algún criterio. Los subgrupos se realizan agrupando las mediciones de
tal modo que haya la máxima variabilidad entre subgrupos y la mínima
variabilidad dentro de cada subgrupo.
Por ejemplo, si hay cuatro turnos de trabajo en un día, las mediciones
de cada turno podrían constituir un subgrupo.
Supongamos una fábrica que produce piezas cilíndricas para la industria
automotriz. La característica de calidad que se desea controlar es el
diámetro de las piezas.
Gráfico de control para atributos
Las Gráficas de Control son gráficas utilizadas para estudiar como el
proceso cambia a través del tiempo.
Se gráfica el promedio como la línea central y los límites de control
superior e inferior que son permitidos en el proceso.
Estos límites se determinan con la data del proceso.
Existen cuatro tipos de Gráficas de Control: n, np, c y u.
Objetivos
 Identificar los diferentes tipos de Gráficas de Control
 Definir las reglas básicas a seguir para la elección, construcción e
interpretación de las Gráficas de Control por Atributos
 Resaltar las situaciones en que pueden utilizarse las gráficas de
control
 Indicar algunas Ventajas y Desventajas de las Gráficas de Control
 Mostrar ejemplos de cada una de las Gráficas de Control por
Atributos.
Glosario
Atributos: data que se puede clasificar y contar
Tipos
 Cantidad de defectos por unidad –”Nonconformities”
 Cantidad de unidades defectuosas –”Nonconforming”
Gráficas de control
Gráfica comparación cronológica (hora a hora, día a día) de las
características de calidad reales del producto, parte o unidad, con límites
que reflejan la capacidad de producirla de acuerdo con la experiencia de
las características de calidad de la unidad.
Proceso en control
Método visual para monitorear un proceso- se relaciona a la ausencia de
causas especiales en el proceso.
Gráfica c
Número de defectos por unidad.
Gráfica p
Porcentaje de fracción defectiva.
Gráfica u
Proporción de defectos.
Gráfica np
Número de unidades defectuosas por muestra constante.
Límites de control
Son calculados de la data obtenida del proceso.
Límite superior
Valor máximo en el cual el proceso se encuentra en control.
Límite inferior
Valor mínimo en el cual el proceso se encuentra en control.
Línea central
Es el promedio del número de defectos.
Origen
El control estadístico de la calidad surge luego de la Segunda Guerra
Mundial. Las gráficas de control estadístico fueron propuestas por Walter
A. Shewart en el 1920.
Utilidad
La función primaria de una Gráfica de Control es mostrar el
comportamiento de un proceso.
Identificar la existencia de causas de variación especiales (proceso fuera
de control).
Monitorear las variables claves en un proceso de manera preventiva.
Indicar cambios fundamentales en el proceso.
Ventajas
 Resume varios aspectos de la calidad del producto; es decir si es
aceptable o no
 Son fáciles de entender
 Provee evidencia de problemas de calidad
Desventajas
Interpretación errónea por errores de los datos o los cálculos utilizados
El hecho de que un proceso se mantenga bajo control no significa que
sea un buen proceso, puede estar produciendo constantemente un gran
número de no conformidades.
Controlar una característica de un proceso no significa necesariamente
controlar el proceso. Si no se define bien la información necesaria y
las características del proceso que deben ser controladas,
tendremos interpretaciones erróneas debido a informaciones
incompletas.
Gráfica tipo p
Representa el porcentaje de fracción defectiva
Tamaño de muestra (n) varía.
Principales objetivos
 Descubrir puntos fuera de control
 Proporcionar un criterio para juzgar si lotes sucesivos pueden
considerarse como representativos de un proceso
 Puede influir en el criterio de aceptación
Gráfica tipo np
Se utiliza para graficar las unidades disconformes
Tamaño de muestra es constante
Principales objetivos:
 Conocer las causas que contribuyen al proceso
 Obtener el registro histórico de una o varias características de una
operación con el proceso productivo.
Veremos un ejemplo de este tipo de gráfico de control. En la siguiente
figura tenemos los datos de 24 muestras de producto producido por
turno. En la columna producción tenemos el total de producto fabricado
por turno. La columna Producto Defectuoso nos indica el número de
artículos defectuosos por turno; la columna Número de Defectos nos
indica el número de defectos encontrados en la producción de cada
turno, nótese que por cada turno el número de defectos es mayor o
igual que el número de defectuosos, ya que un artículo defectuoso
puede tener uno o más defectos.
Finalmente tenemos la columna de Fracción Defectuosa, la fracción
defectuosa de un turno se calcula dividiendo el número de productos
defectuosos por la producción de ese turno, es decir, los valores de la
columna D divididos por los valores de la columna C.
Los límites de control de un gráfico de fracción defectuosa con tamaño
de muestra variable vienen dado por la siguiente fórmula:
Mientras que la fracción defectuosa p barra, se calcula con la siguiente
fórmula:
Ahora bien de las ecuaciones de la Figura 2, vemos que para calcular
estos límites necesitamos el valor p barra, que es una estimación de la
fracción defectuosa y ni, que es el tamaño de muestra de cada turno. Es
decir, tendremos límites de control de diferentes tamaños, debido a que
los tamaños de muestra son variables.
El valor de p barra es entonces:
Entonces tenemos ya el valor de p barra y los valores de ni, los cuales
son los artículos producidos en cada turno (tamaño de muestra), cuyos
valores se muestran en la columna C de la Figura 1. Ya con esto,
calculamos los límites de control con las fórmulas de la Figura 2. Los
valores se muestran en las columnas I, J y K de la siguiente figura.
Por otra parte, en la columna H de la figura anterior, tenemos la fracción
defectuosa de cada muestra o turno, está se calcula para cada turno,
dividiendo el número de defectuosos del turno por el total de artículos
producidos.
Con los valores de las cuatro columnas de la Figura 5, podemos
construir el gráfico de control.
Con los datos de la Figura 5, el gráfico de control nos quedaría así:
Podemos ver de la figura anterior, que en virtud del tamaño variable de
la muestra, cada valor de fracción defectuosa tiene límites de control
particulares acordes al tamaño de la muestra.
Gráfica tipo c
Los gráficos C se utilizan para controlar el número de defectos en una
muestra del producto o unidad de inspección. Para controlar este
proceso, un inspector se coloca al final de la línea de producción y cada
cierto intervalo retira una unidad de inspección, verifica y anota el
número total de defectos.
Este resultado se anota en un gráfico denominado gráfico C. De acuerdo
a la Distribución de Poisson, si denominamos C al parámetro de la
función de distribución, el promedio de la población es C y la varianza
también es C.
Una unidad defectuosa puede tener uno o más defectos. Sin embargo,
es posible que una unidad de producto tenga varios defectos y que no
sea clasificada como defectuosa debido a la naturaleza poco importante
del defecto. Existen en la práctica muchas situaciones en las que es
preferible trabajar con el número de defectos que con el porcentaje o el
número de unidades defectuosas. Por ejemplo, el número de soldaduras
defectuosas en un tubo de conducción de gas, el número de defectos
funcionales es un dispositivo electrónico, etc.
Se pueden efectuar gráficos de control para el número total de defectos
por unidad de producto o para el número de defectos en la muestra.
Estos gráficos de control se basan en la distribución de Poisson que
exige un número de puntos donde potencialmente podría producirse el
defecto infinitamente grande, así como que la probabilidad de que el
defecto aparezca en un determinado punto sea muy pequeña y
constante. La unidad de inspección debe ser la misma en cada muestra.
Es decir cada unidad de inspección debe representar siempre una
probabilidad igual de que se produzcan los defectos. En la mayor parte
de las situaciones prácticas, estas condiciones no se satisfacen
exactamente. El número de oportunidades (puntos) para los defectos
suele ser finito y la probabilidad de aparición de defectos puede no ser
constante. Si las desviaciones respecto de la situación ideal no son
importantes, puede usarse el modelo de Poisson. Existen, sin embargo,
casos en los que las desviaciones respecto de las condiciones del modelo
son considerables y en los que la utilización de la distribución de Poisson
es inadecuada.
Gráfico tipo u
Veremos ahora un ejemplo de este tipo de gráfico de control.
Se han observado los defectos de 24 muestras sucesivas de artículos
producidos en 24 turnos sucesivos. Los datos se muestran en la
siguiente tabla:
En la columna E, tenemos la variable U, el número promedio de defectos
por unidad de cada muestra, se calcula dividiendo el número total de
defectos de la muestra (columna D) por el número de productos de la
muestra (columna B).
Por otra parte el valor de Ubarra lo podemos calcular mediante:
La fórmula anterior nos dice que Ubarra se calcula como el cociente de
dividir el número total de defectos en las muestras (434 en la columna
D de la Figura 1) por el número total de productos en las muestras
(2356 en la columna B de la Figura 1).
Entonces tenemos que:
Aquí se muestra que los límites de control de un gráfico U barra con
tamaño de muestra variable vienen dados por la fórmula:
Entonces tenemos ya el valor de U barra. Y tenemos los valores ni que
son los tamaños de cada muestra (columna B de la Figura 1). Esa
información es suficiente para calcular los límites de control. En la
siguiente figura se muestra la información necesaria para la
construcción del gráfico de control.
Con los datos de la Figura 5, el gráfico de control nos quedaría así:
Gráfico de control especial
Grafico de sumas acumuladas (CUSUM)
Los gráficos de control que hemos visto hasta ahora se conocen como
gráficos de Shewhart. Un punto débil de los gráficos de Shewhart es que
solo se utiliza la información contenida en la última muestra
representada e ignora la información dada por el conjunto de muestras.
Es cierto que la incorporación de límites de atención y el estudio de
pautas trata de mejorar la sensibilidad del gráfico Shewhart utilizando
más el conjunto de la información pero a costa de complicar algo el
gráfico reduciendo la sencillez de la Interpretación
El gráfico de sumas acumuladas (CUSUM) se presenta como una
alternativa al grafico de Shewhart. Incorpora directamente toda la
información representando las sumas acumuladas de las desviaciones de
los valores muestrales respecto de un valor objetivo. Por ejemplo,
supongamos que se toman muestras de tamaño igual o mayor que 1,
siendo X−−i la media muestral de la muestra i.
Si suponemos que μo es el objetivo para la media del proceso, el gráfico
de sumas acumuladas se formará representando la
cantidad Sm=∑(X−−i−μ0) respecto al número de orden (m) de la
muestra.
Por combinar la información de varias muestras, los gráficos de sumas
acumuladas son más efectivos que los gráficos de Shewhart para
detectar pequeños cambios. Son particularmente eficaces cuando el
tamaño de muestra es n = 1 y, por consiguiente, adecuados para su
utilización cuando la tecnología permite inspeccionar y medir cada
unidad producida usando a la vez un microordenador en el puesto de
trabajo.
Si el proceso se mantiene bajo control en el objetivo μo , la suma
acumulable Sm=∑(X−−i−μ0)variará aleatoriamente respecto del valor
cero. Sin embargo, si la media asciende a μ1 > μo se apreciará una
tendencia ascendente en la suma acumulada Sm. Por el contrario, si la
media se desplaza a μ2 < μo se apreciara una tendencia decreciente en
Sm. Por consiguiente, una tendencia determinada (positiva o negativa)
se considerará como una evidencia de que la media del proceso se ha
desplazado debido a la presencia de alguna causa asignable que hay que
investigar y eliminar.
Existen dos criterios para establecer formalmente que el proceso está
fuera de control. Uno de ellos es un procedimiento gráfico: La máscara V
propuesta por Barnhard en 1959 y otro es un procedimiento numérico
muy adecuado para establecer en conjunción con un microordenador.
Aquí veremos este segundo procedimiento.
En cada toma de muestra hay que calcular los 2 valores siguientes:
Si=∑i=1l[X−−i−(μ0+F)];Ti=∑i=1l[X−−i−(μ0−F)]
donde:
X−− es la media muestral en la toma i-ésima.
μo es el valor objetivo (media centrada)
F es un parámetro de la carta de control que normalmente vale δo/2
siendo δo el cambio que queremos detectar con prontitud.
F=f⋅σX−=(f/n−−√)⋅σ, siendo normalmente f = 0,5 ya que
queremosdetectar normalmente cambios del orden de σX− (n es el
tamaño muestral).Como veremos más adelante, F se puede seleccionar
también en algún juego de cartas ARL.
Cuando algún valor Si ó Ti cumple que Si > H ó Ti < -H (H elegido de
acuerdo a la curva ARL que nos interese H=h⋅σX− siendo h
normalmente 5) el proceso se considera fuera de control. Si Si se hace
negativo o se pone a 0, de igual forma si Ti se hace positivo o se pone a
0.
Una vez corregido el proceso los contadores Si y Ti se pondrían a 0.
Las curvas ARL de los gráficos CUSUM, se calculan a partir de los
parámetros del grafico, h y f (y del tamaño de la muestra, que está
implícito en el desplazamiento) utilizando cadenas de Markov.
En la tabla 2.3 se dan valores de h y f más comunes en función del
desplazamiento de la media a detectar y sus curvas ARL.
Ejemplo CUSUM
Consideremos que el peso de cartuchos de cierta fabricación sigue
siendo una distribución Normal (ver ejemplo anterior) de media 1,3917
y desviación típica 0,005. Valores que resultaban cuando el proceso
estaba bajo control.
σ4R−−4d2=0,005
Si utilizamos las muestras de tamaño 5 del ejemplo anterior y queremos
detectar desplazamientos de la medía del orden
de σX−=0,0005/5√=0,0022, elegimos h = 5 y f = 0,5 con lo que
obtenemos
F = 0,5 x 0,0022 = 0,0011 ; H = 5 x 0,0022 = 0,01
Secuenciat123456Xt1,39481,38741,39631,39121,39461,3800LIMSUPXt
−1,3928+0,0020−0,0054+0,0035−0,0016+0,0018−0,0128(Sf<H)St=∑
(Xt−1,3928)0,0020<00,00350,00190,0037<0LIMINFXt−1,3906+0,0042
−0,0032+0,0057+0,0006+0,0004−0,0106(Tf<H)Tt=∑/(Xt−1,3906)>−
0,0032>0>0>0−0,0106.
En el sexto subgrupo Ti<−0,01 por lo tanto es un punto fuera de control
y deberíamos corregir el proceso.
Para controlar la variabilidad dentro de las muestras se pueden utilizar
los gráficos de Shewart del recorrido o de la desviación típica, en
conjunción con el CUSUM de medias.
No obstante también es posible diseñar una carta de control CUSUM
específicamente por los gráficos de recorridos o de desviaciones típicas.
La forma de realizarlos es muy similar al CUSUM de medias.
Los parámetros h y f con sus curvas ARL del CUSUM para recorridos o
desviaciones típicas están recogidos en la norma británica BS 5703.
Ci=∑i=1i(Ri−F) donde F=f⋅R−−T
Tabla 2.3
Valores de h y f recomendados para detectar un desplazamiento de la
media de magnitud σ/n−−√ (*)
Capacidad del proceso
Para estudiar la capacidad del proceso se pueden seguir dos
distribuciones: Normal, que es la usada para estudios de capacidad a
largo y corto plazo (capacidades globales y potenciales) Weibull, que es
la utilizada para estudios a largo plazo (capacidades globales). Si los
datos no siguen ninguna de las dos, puede usarse una transformación
Box-Cox para normalizarlos.
Se definen los siguientes tipos de índices:
La diferencia entre ambas capacidades es síntoma de que algo va mal y
que el proceso es mejorable.
Índices de Capacidad CP, PP, CPK y PPK
Sean LS y LI los límites de tolerancia exigidos en las especificaciones, se
define el índice de capacidad de proceso como:
Para afirmar que un proceso es capaz Cp y/o CPK deben ser mayor o
igual que 1.33, lo que garantiza que el 99.994% de los productos
fabricados o servicios prestados por el proceso centrado está en las
especificaciones. En caso de ser necesario estudiar las dos ambas deben
valer como mínimo 1.33. En otro caso, habrá que aplicar acciones
correctoras.
Índices de Capacidad CPU, PPU, CPL, PPL
Se utilizan cuando el proceso sólo tiene un límite de especificación, bien
superior (CPU y PPU), bien inferior (CPL, PPL)
Se calculan como:
Teorema del límite central
El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo
numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo
modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se
distribuye según una distribución normal.
Ejemplo: la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de
Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50
variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una
distribución normal.
Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de
variables continuas.
Los parámetros de la distribución normal son:
Media: n * m (media de la variable individual multiplicada por el
número de variables independientes)
Varianza: n * s2 (varianza de la variable individual multiplicada por el
número de variables individuales)
Veamos un ejemplo:
Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1
y si sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente
que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y
varianza 0,25.
Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más
de 60 caras.
La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye,
por tanto, según una distribución normal.
Media = 100 * 0,5 = 50
Varianza = 100 * 0,25 = 25
Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la
variable normal tipificada equivalente:
(*) 5 es la raiz cuadrada de 25, o sea la desviación típica de esta
distribución
Por lo tanto:
P (X > 60) = P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228
Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salgan más
de 60 caras es tan sólo del 2,28%.
Six Sigma
Seis Sigma, es un enfoque revolucionario de gestión que mide y mejora
la Calidad, ha llegado a ser un método de referencia para, al mismo
tiempo, satisfacer las necesidades de los clientes y lograrlo con niveles
próximos a la perfección. Pero ¿qué es exactamente Seis Sigma?
Dicho en pocas palabras, es un método, basado en datos, para llevar la
Calidad hasta niveles próximos a la perfección, diferente de otros
enfoques ya que también corrige los problemas antes de que se
presenten. Más específicamente se trata de un esfuerzo disciplinado
para examinar los procesos repetitivos de las empresas.
Literalmente cualquier compañía puede beneficiarse del proceso Seis
Sigma. Diseño, comunicación, formación, producción, administración,
pérdidas, etc. Todo entra dentro del campo de Seis Sigma. Pero el
camino no es fácil. Las posibilidades de mejora y de ahorro de costes
son enormes, pero el proceso Seis Sigma requiere el compromiso de
tiempo, talento, dedicación, persistencia y, por supuesto, inversión
económica.
Un típico coste de no Calidad -errores, defectos y pérdidas en los
procesos- puede suponer el 20 ó 30 por 100 de las ventas. El campo es
amplio, incluso sin llegar al nivel Seis Sigma (3,4 errores o defectos por
millón de oportunidades), las posibilidades de mejorar
significativamente los resultados son ilimitadas. Solamente será
necesario que la organización ponga a disposición sus capacidades y
proceda de manera consistente con sus recursos.
El comienzo
Es esencial que el compromiso con el enfoque Seis Sigma comience y
permanezca en la alta dirección de la compañía. La experiencia
demuestra que cuando la dirección no expresa su visión de la compañía,
no transmite firmeza y entusiasmo, no evalúa los resultados y no
reconoce los esfuerzos, los programas de mejora se transforman en una
pérdida de recursos válidos.
El proceso Seis Sigma comienza con la sensibilización de los ejecutivos
para llegar a un entendimiento común del enfoque Seis Sigma y para
comprender los métodos que permitirán a la compañía alcanzar niveles
de Calidad hasta entonces insospechados
El paso siguiente consiste en la selección de los empleados,
profesionales con capacidad y responsabilidad en sus áreas o funciones
que van a ser intensivamente formados para liderar los proyectos de
mejora. Muchos de estos empleados tendrán que dedicar una parte
importante de su tiempo a los proyectos, si se pretenden resultados
significativos.
La formación de estos líderes tiene lugar en cuatro sesiones de cuatro
días cada una, a lo largo de un periodo de 12 semanas durante el cual
trabajarán en un proyecto concreto de mejora, que los capacitará como
candidatos a una nueva profesión, "black belts" como implantadores de
estas avanzadas iniciativas de Calidad. Esta formación, impartida por
expertos, incluye la selección de un proyecto en la primera semana y la
aplicación de lo aprendido a dicho proyecto antes de la sesión siguiente,
mediante un equipo de mejora.
Para alcanzar el nivel "black belt" los candidatos tienen que demostrar
los resultados conseguidos en el proyecto y éste nivel los capacita para
continuar liderando nuevos equipos para nuevos proyectos de mejora.
El método
El método Seis Sigma, conocido como DMAMC, consiste en la aplicación,
proyecto a proyecto, de un proceso estructurado en cinco fases.
En la fase de definición se identifican los posibles proyectos Seis Sigma,
que deben ser evaluados por la dirección para evitar la infrautilización
de recursos. Una vez seleccionado el proyecto se prepara su misión y se
selecciona el equipo más adecuado para el proyecto, asignándole la
prioridad necesaria.
La fase de medición consiste en la caracterización del proceso
identificando los requisitos clave de los clientes, las características clave
del producto (o variables del resultado) y los parámetros (variables de
entrada) que afectan al funcionamiento del proceso y a las
características o variables
clave. A partir de esta caracterización se define el sistema de medida y
se mide la capacidad del proceso.
En la tercera fase, análisis, el equipo analiza los datos de resultados
actuales e históricos. Se desarrollan y comprueban hipótesis sobre
posibles relaciones causa-efecto utilizando las herramientas estadísticas
pertinentes. De esta forma el equipo confirma los determinantes del
proceso, es decir las variables clave de entrada o "pocos vitales" que
afectan a las variables de respuesta del proceso.
En la fase de mejora el equipo trata de determinar la relación causa-
efecto (relación matemática entre las variables de entrada y la variable
de respuesta que interese) para predecir, mejorar y optimizar el
funcionamiento del proceso. Por último se determina el rango
operacional de los parámetros o variables de entrada del proceso.
La última fase, control, consiste en diseñar y documentar los controles
necesarios para asegurar que lo conseguido mediante el proyecto Seis
Sigma se mantenga una vez que se hayan implantado los cambios.
Cuando se han logrado los objetivos y la misión se dé por finalizada, el
equipo informa a la dirección y se disuelve.
Las herramientas
En los proyectos Seis Sigma se utilizan dos tipos de herramientas. Unas,
de tipo general como las 7 herramientas de Calidad, se emplean para la
recogida y tratamiento de datos; las otras, específicas de estos
proyectos, son herramientas estadísticas, entre las que cabe citar los
estudios de capacidad del proceso, análisis ANOVA, contraste de
hipótesis, diseño de experimentos y, también, algunas utilizadas en el
diseño de productos o servicios, como el QFD y AMFE.
Estas herramientas estadísticas que hace unos años estaban solamente
al alcance de especialistas, son hoy accesibles a personas sin grandes
conocimientos de estadística. La disponibilidad de aplicaciones
informáticas sencillas y rápidas, tanto para el procesamiento de datos
como para los cálculos necesarios para su análisis y explotación,
permiten utilizarlas con facilidad y soltura, concentrando los esfuerzos
de las personas en la interpretación de los resultados, no en la
realización de los complejos cálculos que antes eran necesarios.
Los resultados
Conceptualmente los resultados de los proyectos Seis Sigma se obtienen
por dos caminos. Los proyectos consiguen, por un lado, mejorar las
características del producto o servicio, permitiendo conseguir mayores
ingresos y, por otro, el ahorro de costes que se deriva de la disminución
de fallos o errores y de los menores tiempos de ciclo en los procesos.
Así, las experiencias de las compañías que han decidido implantar Seis
Sigma permiten indicar desde cifras globales de reducciones del 90 por
100 del tiempo de ciclo o 15 mil millones de dólares de ahorro en 11
años (Motorola), aumentos de productividad del 6 por 100 en dos años
(Allied Signal), hasta los más recientes de entre 750 y 1000 millones de
dólares de ahorro en un año (General Electric). Ciclo DMAIC: Definir
Medir Analizar Mejorar Verificar Mejora del Proceso 6 sigma:
 Paso1: Definir el Problema
 Paso 2: Observar el Problema
 Paso 3: Analizar el Problema
 Paso 4: Actuar sobre las causas
 Paso 5: Estudiar los resultados
 Paso 6: Estandarizar
 Paso 7: Establecer conclusiones
Bibliografía
http://es.wikipedia.org/wiki/Capacidad_del_proceso
E.L. Grant, R.S. Leavenworth, Statistical Quality Control, McGraw-Hill,
Inc., New York (1988)
D.L. Massart, B.G.M. Vandeginste, L.M.C. Buydens, S. De Jong, P.J.
Lewi, J.Smeyers-Verbeke, Handbook of Qualimetrics and Chemometrics.
Part A. Elsevier, Ámsterdam (1997)
http://www.quimica.urv.es/quimio
Escalona Moreno, Iván. Unidad Profesional Interdisciplinaria de
Ingeniería y Ciencias sociales y Administrativas (UPIICSA) del Instituto
Politécnico Nacional (I.P.N.), México (2002).
Armando Moreno, Diego. Campus Piedras Negras Calidad Piedras Negras
Coahuila, México (2005).
http://essm1987.blogspot.mx/2011/10/graficos-de-control
estadistico.html
http://optyestadistica.wordpress.com/2009/05/19/ejemplo-grafico-de-
control-u-promedio-de-defectos-por-unidad-tamano-de-muestra-
variable/
http://optyestadistica.wordpress.com/2009/06/10/ejemplo-grafico-de-
control-np-numero-de-defectuosos-en-la-muestra-tamano-de-muestra-
variable/
http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/ManualCPE07p7.htm
http://alarcos.infcr.uclm.es/doc/Calidad/webPRCSI/Recursos/Pr6/Sesi%
C3%B3n6.pdf
http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-38-est.htm

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  • 1. Gráficos de control Universidad Tecnológica de Torreón
  • 2. Índice Introducción Tipos de gráficos Construcción del gráfico Gráfico de control para variables  Gráfico xR  Gráfico xS Gráfico de control para atributos  Gráfico tipo P  Gráfico tipo NP  Gráfico tipo C  Gráfico tipo U Gráficos de control especiales  Gráfico de suma acumuladas (CUSUM) Capacidad del proceso  CP  CPU  CPL  CPK  CPM  PP  PPK  PPM Teorema del Límite Central Six sigma
  • 3. Introducción Los procesos productivos son incapaces de producir dos unidades de producto exactamente iguales. Esto se debe a un sin número de causas que provocan variación y que por lo tanto es necesario controlarlas cuando se presentan en exceso. Las causas de variación pueden ser de dos tipos. Primero tenemos las causas no asignables. Ocurren al azar y se deben a la naturaleza tecnológica de máquinas, procesos y materiales. Estas causas tienen una influencia muy pequeña sobre la calidad del producto y no son determinantes para que el proceso salga fuera de control. Estas causas son independientes entre sí. Luego están las causas asignables. Ocurren debido al comportamiento anormal de uno o más factores de calidad, son pocas en número pero de gran influencia en la calidad del producto. Estas causas pueden ser estudiadas a fondo para disminuir o anular su influencia. Un proceso es una combinación única de herramientas, métodos, materiales y personal dedicados a la labor de producir un resultado medible; por ejemplo una línea de producción para el ensamble de puertas de vehículos. Todos los procesos tienen una variabilidad estadística inherente que puede evaluarse por medio de métodos estadísticos. El gráfico de control es una forma gráfica y cronológica de representar el comportamiento de una o más características de calidad, fijando límites que sean acordes con experiencias y valores especificados y previamente establecidos. Estadísticamente, el gráfico de control se puede definir como un intervalo de confianza en una escala serie-tiempo, en donde los límites de control son niveles de significación, con sus coeficientes correspondientes a la desviación estándar de la característica en estudio. El objetivo es llevar un estudio detallado del comportamiento de la variable con el fin de tomar las acciones correctivas y en especial preventivas para que las anomalías no se presenten. Los gráficos de control para variables se componen de dos partes: una se basa en promedios y controla la exactitud; la otra se basa en medidas de dispersión y controla la precisión.
  • 4. Tipos de gráficos  Gráfico de promedios e intervalos  Gráfico de promedios y desviación estándar  Gráfico de medianas e intervalos  Gráfico de sumas acumuladas Construcción del gráfico  Selección de la variable  Definición del marco de muestreo y el método de selección  Determinación del número de subgrupos o muestras (m)  Determinación del tamaño del sub grupo o muestra (n)  Recolección de la información  Cálculo de límites de control  Construcción del gráfico
  • 5. Gráfico de control para variables En cualquier proceso productivo resulta conveniente conocer en todo momento hasta qué punto nuestros productos cumplen con las especificaciones preestablecidas. Podemos decir que la calidad de un producto tiene dos grandes “enemigos”: (1) las desviaciones con respecto al objetivo especificado (falta de exactitud), y (2) una excesiva variabilidad respecto a los valores deseables (falta de precisión). La idea consiste en extraer muestras de un proceso productivo que se encuentra activo y, a partir de las mismas, generar gráficos que nos permitan tanto estudiar la variabilidad del mismo como comprobar si los productos obtenidos cumplen o no con las especificaciones preestablecidas. En caso de apreciar en tales gráficos tendencias no aleatorias o bien muestras que se sitúen más allá de los límites de control consideraremos que el proceso está fuera de control. Si así ocurre, estaremos interesados en averiguar las causas especiales que afectan al proceso. En un gráfico de control se representa gráficamente una característica de calidad T, medida o calculada a partir de muestras del producto, en función de las diferentes muestras. La gráfica tiene una línea central que simboliza el valor medio de la característica de calidad. Finalmente, otras dos líneas (los límites superior e inferior de control) flanquean a la anterior a una distancia determinada. Estos límites son escogidos de manera que si el proceso está bajo control, casi la totalidad de los puntos muestrales se halle entre ellos. Así, un punto que se encuentra fuera de los límites de control se interpreta como una evidencia de que el proceso está fuera de control. Además, incluso si todos los puntos se hallan comprendidos entre los límites de control, pero se comportan de manera sistemática o no aleatoria, también tendríamos un proceso fuera de control (veremos cómo estudiar la existencia de tales patrones no aleatorios mediante los llamados tests para causas especiales).
  • 6. La determinación de los límites de control se basa en conceptos y resultados estadísticos: supongamos, p.e., que estamos interesados en “controlar” la media µ de una variable aleatoria X cuya distribución tiene una desviación estándar σ (µ y σ constantes durante el proceso). Sabemos (por el TCL) que, para un tamaño muestral n grande, la distribución de las medias muestrales será aproximadamente normal con media igual a µ y desviación estándar igual a σ/√n . De este hecho se deduce que aproximadamente el 99,7% de las medias muestrales estarán contenidas en el intervalo µ ± 3 * σ/√n, intervalo que viene definido por los límites de control. Este sencillo razonamiento es la base para la construcción de todos los gráficos de control. Observar que, como el intervalo anterior depende de n, si trabajamos con muestras de distintos tamaños los límites de control no formarán una línea recta, pues la distancia que les separa de la línea central aumentará conforme n disminuya (serán límites “escalonados”). Si dejamos momentáneamente al margen el estudio de posibles patrones no aleatorios en el gráfico de control, podemos considerar que éste no es más que un contraste de hipótesis en el que podemos considerar como hipótesis nula Ho el hecho de que el proceso está bajo control estadístico. El que un punto se ubique entre los límites de control es equivalente a no poder rechazar la hipótesis nula Ho; por el contrario, el que un punto se ubique fuera de los límites de control equivale al rechazo de la hipótesis del control estadístico.
  • 7. Observar que la selección de los límites de control equivale pues a determinar la región crítica para probar la hipótesis nula Ho de que el proceso está bajo control estadístico: alejando dichos límites de la línea central se reduce α (o probabilidad de cometer un error de tipo I, i.e.: que un punto caiga fuera de los límites de control sin que haya una causa especial), si bien también se eleva con ello β (o riesgo de cometer un error tipo II, i.e.: que un punto caiga entre dichos límites cuando el proceso se encuentra en realidad fuera de control). En general, para un α determinado, cuanto más grande sea el tamaño muestral n, tanto más “sensible” será el gráfico a la hora de detectar pequeños cambios en el proceso (i.e., para α fijo, a mayor n mayor será lapotencia del contraste 1-β). Podemos distinguir dos grandes clases de gráficos de control: los gráficos de control por variables hacen uso de estadísticos obtenidos a partir de datos tales como la longitud o grosor de un elemento, mientras que los gráficos de control por atributos se basan en frecuencias tales como el número de unidades defectuosas. Así, en los gráficos de control por variables es posible medir la característica de calidad a estudiar. En estos casos conviene describir la característica de calidad mediante una medida de tendencia central (usualmente la media muestral) y una medida de su variabilidad (usualmente el rango o la desviación estándar). Los gráficos de control por variables son más “sensibles” que los gráficos de control por atributos, razón por la cual son capaces de “avisarnos” de posibles problemas de calidad incluso antes de que éstos sean ya relevantes. Por su parte, los gráficos de control por atributos tienen la ventaja de sintetizar de forma rápida toda la información referida a diferentes aspectos de calidad de un producto, ya que permiten clasificar éste como aceptable o inaceptable; además, no suelen necesitar de sistemas de medición muy complejos y son más fácilmente entendibles por los no especialistas.
  • 8. A continuación se agrupan los gráficos de control por variables según el tipo de datos de que dispongamos:
  • 9. Gráfico de control x-R Un gráfico de control es un diagrama especialmente preparado donde se van anotando los valores sucesivos de la característica de calidad que se está controlando. Los datos se registran durante el funcionamiento del proceso de fabricación y a medida que se obtienen. Todo grafico de control esta diseñado para presentar los siguientes principios:  Fácil de entendimiento de los datos  Claridad  Consistencia  Proceso de prevención para evitar que el producto llegue sin defectos al cliente.  Detectar y corregir variaciones de calidad El gráfico de control tiene: Línea Central que representa el promedio histórico de la característica que se está controlando Límites Superior e Inferior que calculado con datos históricos presentan los rangos máximos y mínimos de variabilidad. Subgrupos: son grupos de mediciones con algún criterio similar obtenidas de un proceso. Se realizan agrupando los datos de manera que haya máxima variabilidad entre subgrupo y mínima variabilidad dentro de cada subgrupo. Media: es la sumatoria de todos los subgrupos divididos entre el número de muestras. Rango: es el valor máximo menos el valor mínimo.
  • 10. Los gráficos x-R se utilizan cuando la característica de calidad que se desea controlar es una variable continua. Paso 1: Recolección de datos Estos datos deberán ser: Recientes de un proceso al cual se quiere controlar Estos pueden ser tomados  Diferentes horas del día  Diferentes días Todos tienen que ser de un mismo producto.
  • 11. Paso 2: Promedio Sumatoria de los datos de cada uno de los subgrupos dividido entre el número de datos (n). Formula X ∑X1 + X2 + X3 + Xn n La formula debe ser utilizada para cada uno de los subgrupos Paso 3: Rango Valor mayor del subgrupo menor el valor menor. Fórmula R = x valor mayor – x valor menor Determine el rango para cada uno de los subgrupos Paso 4: Promedio global Sumatoria de todos los valores medios y se divide entre el número de subgrupos (k). Formula X’ ∑X1 + X2 + X3 +…+ Xn k Paso 5: Valor medio del rango Sumatoria del rango (R) de cada uno de los subgrupos divido entre el numero de subgrupos (k). Fórmula R’ ∑R1 + R2 + R3 + …. + Rn k
  • 12. Ejemplo de tabla de datos Paso 6: Límites de Control Para calcular los límites de control se utilizan los datos de la siguiente tabla.
  • 13. Limites de control Gráfica X’  Línea central (LC) = X’  Limite control superior (LCS ) = X’ + A2R’  Limite control inferior (LCI ) = X’ - A2R’ Gráfica de R’  Línea central (LC ) = R’  Limite control superior (LCS) = D4R’  Limite control inferior (LCI) = D3R’ Gráfica X’ Utilizando los datos de X’ de la tabla se construye la gráfica
  • 14. Gráfica R’ Utilizando los valores del rango (R) de la tabla de datos se construye la gráfica de R’. Ejemplo:
  • 15. Puntos fuera de Control Identificación de causas especiales o asignables Pautas de comportamiento que representan cambios en el proceso:  Un punto exterior a los límites de control.  Se estudiará la causa de una desviación del comportamiento tan fuerte.  Dos puntos consecutivos muy próximos al límite de control.  La situación es anómala, estudiar las causas de variación.  Cinco puntos consecutivos por encima o por debajo de la línea central.  Investigar las causas de variación pues la media de los cinco puntos indica una desviación del nivel de funcionamiento del proceso.  Fuerte tendencia ascendente o descendente marcada por cinco puntos consecutivos.  Investigar las causas de estos cambios progresivos.  Cambios bruscos de puntos próximos a un límite de control hacia el otro límite.  Examinar esta conducta errática. Proceso bajo control Si no hay puntos fuera de los límites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los límites calculados para controlar la producción futura Una vez determinado que el proceso esta bajo control estadístico entonces se puede evaluar la capacidad del proceso.
  • 16. Gráfico de control x-S Para obtener la gráfica de medias y desviaciones estándar es necesario que la característica del producto se haya definido con tipo de análisis Variable y tamaño de subgrupo igual o mayor a 2. Cada punto de la gráfica de Medias es el promedio de las muestras de un subgrupo. Cada punto de la gráfica de Desviaciones es la desviación estándar interna de cada subgrupo. Los límites de control se calculan a partir de la Desviación estándar promedio y delimitan una zona de 3 desviaciones estándar de cada lado de la media.
  • 17. Los pasos necesarios para obtener el control de intento y los limites de control revisados de X testada y S son los mismos que en el caso de las graficas de X testada y R, excepto que se usan formulas distintas. Para entender los gráficos X-R, es necesario conocer el concepto de Subgrupos (o Subgrupos racionales). Trabajar con subgrupos significa agrupar las mediciones que se obtienen de un proceso, de acuerdo a algún criterio. Los subgrupos se realizan agrupando las mediciones de tal modo que haya la máxima variabilidad entre subgrupos y la mínima variabilidad dentro de cada subgrupo. Por ejemplo, si hay cuatro turnos de trabajo en un día, las mediciones de cada turno podrían constituir un subgrupo. Supongamos una fábrica que produce piezas cilíndricas para la industria automotriz. La característica de calidad que se desea controlar es el diámetro de las piezas.
  • 18. Gráfico de control para atributos Las Gráficas de Control son gráficas utilizadas para estudiar como el proceso cambia a través del tiempo. Se gráfica el promedio como la línea central y los límites de control superior e inferior que son permitidos en el proceso. Estos límites se determinan con la data del proceso. Existen cuatro tipos de Gráficas de Control: n, np, c y u. Objetivos  Identificar los diferentes tipos de Gráficas de Control  Definir las reglas básicas a seguir para la elección, construcción e interpretación de las Gráficas de Control por Atributos  Resaltar las situaciones en que pueden utilizarse las gráficas de control  Indicar algunas Ventajas y Desventajas de las Gráficas de Control  Mostrar ejemplos de cada una de las Gráficas de Control por Atributos. Glosario Atributos: data que se puede clasificar y contar Tipos  Cantidad de defectos por unidad –”Nonconformities”  Cantidad de unidades defectuosas –”Nonconforming”
  • 19. Gráficas de control Gráfica comparación cronológica (hora a hora, día a día) de las características de calidad reales del producto, parte o unidad, con límites que reflejan la capacidad de producirla de acuerdo con la experiencia de las características de calidad de la unidad. Proceso en control Método visual para monitorear un proceso- se relaciona a la ausencia de causas especiales en el proceso. Gráfica c Número de defectos por unidad. Gráfica p Porcentaje de fracción defectiva. Gráfica u Proporción de defectos. Gráfica np Número de unidades defectuosas por muestra constante. Límites de control Son calculados de la data obtenida del proceso. Límite superior Valor máximo en el cual el proceso se encuentra en control. Límite inferior Valor mínimo en el cual el proceso se encuentra en control. Línea central Es el promedio del número de defectos.
  • 20. Origen El control estadístico de la calidad surge luego de la Segunda Guerra Mundial. Las gráficas de control estadístico fueron propuestas por Walter A. Shewart en el 1920. Utilidad La función primaria de una Gráfica de Control es mostrar el comportamiento de un proceso. Identificar la existencia de causas de variación especiales (proceso fuera de control). Monitorear las variables claves en un proceso de manera preventiva. Indicar cambios fundamentales en el proceso. Ventajas  Resume varios aspectos de la calidad del producto; es decir si es aceptable o no  Son fáciles de entender  Provee evidencia de problemas de calidad Desventajas Interpretación errónea por errores de los datos o los cálculos utilizados El hecho de que un proceso se mantenga bajo control no significa que sea un buen proceso, puede estar produciendo constantemente un gran número de no conformidades. Controlar una característica de un proceso no significa necesariamente controlar el proceso. Si no se define bien la información necesaria y las características del proceso que deben ser controladas, tendremos interpretaciones erróneas debido a informaciones incompletas.
  • 21. Gráfica tipo p Representa el porcentaje de fracción defectiva Tamaño de muestra (n) varía. Principales objetivos  Descubrir puntos fuera de control  Proporcionar un criterio para juzgar si lotes sucesivos pueden considerarse como representativos de un proceso  Puede influir en el criterio de aceptación Gráfica tipo np Se utiliza para graficar las unidades disconformes Tamaño de muestra es constante Principales objetivos:  Conocer las causas que contribuyen al proceso  Obtener el registro histórico de una o varias características de una operación con el proceso productivo. Veremos un ejemplo de este tipo de gráfico de control. En la siguiente figura tenemos los datos de 24 muestras de producto producido por turno. En la columna producción tenemos el total de producto fabricado por turno. La columna Producto Defectuoso nos indica el número de artículos defectuosos por turno; la columna Número de Defectos nos indica el número de defectos encontrados en la producción de cada turno, nótese que por cada turno el número de defectos es mayor o igual que el número de defectuosos, ya que un artículo defectuoso puede tener uno o más defectos.
  • 22. Finalmente tenemos la columna de Fracción Defectuosa, la fracción defectuosa de un turno se calcula dividiendo el número de productos defectuosos por la producción de ese turno, es decir, los valores de la columna D divididos por los valores de la columna C. Los límites de control de un gráfico de fracción defectuosa con tamaño de muestra variable vienen dado por la siguiente fórmula:
  • 23. Mientras que la fracción defectuosa p barra, se calcula con la siguiente fórmula: Ahora bien de las ecuaciones de la Figura 2, vemos que para calcular estos límites necesitamos el valor p barra, que es una estimación de la fracción defectuosa y ni, que es el tamaño de muestra de cada turno. Es decir, tendremos límites de control de diferentes tamaños, debido a que los tamaños de muestra son variables. El valor de p barra es entonces: Entonces tenemos ya el valor de p barra y los valores de ni, los cuales son los artículos producidos en cada turno (tamaño de muestra), cuyos valores se muestran en la columna C de la Figura 1. Ya con esto, calculamos los límites de control con las fórmulas de la Figura 2. Los valores se muestran en las columnas I, J y K de la siguiente figura.
  • 24. Por otra parte, en la columna H de la figura anterior, tenemos la fracción defectuosa de cada muestra o turno, está se calcula para cada turno, dividiendo el número de defectuosos del turno por el total de artículos producidos. Con los valores de las cuatro columnas de la Figura 5, podemos construir el gráfico de control.
  • 25. Con los datos de la Figura 5, el gráfico de control nos quedaría así: Podemos ver de la figura anterior, que en virtud del tamaño variable de la muestra, cada valor de fracción defectuosa tiene límites de control particulares acordes al tamaño de la muestra.
  • 26. Gráfica tipo c Los gráficos C se utilizan para controlar el número de defectos en una muestra del producto o unidad de inspección. Para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la línea de producción y cada cierto intervalo retira una unidad de inspección, verifica y anota el número total de defectos. Este resultado se anota en un gráfico denominado gráfico C. De acuerdo a la Distribución de Poisson, si denominamos C al parámetro de la función de distribución, el promedio de la población es C y la varianza también es C. Una unidad defectuosa puede tener uno o más defectos. Sin embargo, es posible que una unidad de producto tenga varios defectos y que no sea clasificada como defectuosa debido a la naturaleza poco importante del defecto. Existen en la práctica muchas situaciones en las que es preferible trabajar con el número de defectos que con el porcentaje o el número de unidades defectuosas. Por ejemplo, el número de soldaduras defectuosas en un tubo de conducción de gas, el número de defectos funcionales es un dispositivo electrónico, etc. Se pueden efectuar gráficos de control para el número total de defectos por unidad de producto o para el número de defectos en la muestra. Estos gráficos de control se basan en la distribución de Poisson que exige un número de puntos donde potencialmente podría producirse el defecto infinitamente grande, así como que la probabilidad de que el defecto aparezca en un determinado punto sea muy pequeña y constante. La unidad de inspección debe ser la misma en cada muestra. Es decir cada unidad de inspección debe representar siempre una probabilidad igual de que se produzcan los defectos. En la mayor parte de las situaciones prácticas, estas condiciones no se satisfacen exactamente. El número de oportunidades (puntos) para los defectos suele ser finito y la probabilidad de aparición de defectos puede no ser constante. Si las desviaciones respecto de la situación ideal no son importantes, puede usarse el modelo de Poisson. Existen, sin embargo, casos en los que las desviaciones respecto de las condiciones del modelo son considerables y en los que la utilización de la distribución de Poisson es inadecuada.
  • 27. Gráfico tipo u Veremos ahora un ejemplo de este tipo de gráfico de control. Se han observado los defectos de 24 muestras sucesivas de artículos producidos en 24 turnos sucesivos. Los datos se muestran en la siguiente tabla: En la columna E, tenemos la variable U, el número promedio de defectos por unidad de cada muestra, se calcula dividiendo el número total de defectos de la muestra (columna D) por el número de productos de la muestra (columna B).
  • 28. Por otra parte el valor de Ubarra lo podemos calcular mediante: La fórmula anterior nos dice que Ubarra se calcula como el cociente de dividir el número total de defectos en las muestras (434 en la columna D de la Figura 1) por el número total de productos en las muestras (2356 en la columna B de la Figura 1). Entonces tenemos que: Aquí se muestra que los límites de control de un gráfico U barra con tamaño de muestra variable vienen dados por la fórmula: Entonces tenemos ya el valor de U barra. Y tenemos los valores ni que son los tamaños de cada muestra (columna B de la Figura 1). Esa información es suficiente para calcular los límites de control. En la siguiente figura se muestra la información necesaria para la construcción del gráfico de control.
  • 29. Con los datos de la Figura 5, el gráfico de control nos quedaría así:
  • 30. Gráfico de control especial Grafico de sumas acumuladas (CUSUM) Los gráficos de control que hemos visto hasta ahora se conocen como gráficos de Shewhart. Un punto débil de los gráficos de Shewhart es que solo se utiliza la información contenida en la última muestra representada e ignora la información dada por el conjunto de muestras. Es cierto que la incorporación de límites de atención y el estudio de pautas trata de mejorar la sensibilidad del gráfico Shewhart utilizando más el conjunto de la información pero a costa de complicar algo el gráfico reduciendo la sencillez de la Interpretación El gráfico de sumas acumuladas (CUSUM) se presenta como una alternativa al grafico de Shewhart. Incorpora directamente toda la información representando las sumas acumuladas de las desviaciones de los valores muestrales respecto de un valor objetivo. Por ejemplo, supongamos que se toman muestras de tamaño igual o mayor que 1, siendo X−−i la media muestral de la muestra i. Si suponemos que μo es el objetivo para la media del proceso, el gráfico de sumas acumuladas se formará representando la cantidad Sm=∑(X−−i−μ0) respecto al número de orden (m) de la muestra. Por combinar la información de varias muestras, los gráficos de sumas acumuladas son más efectivos que los gráficos de Shewhart para detectar pequeños cambios. Son particularmente eficaces cuando el tamaño de muestra es n = 1 y, por consiguiente, adecuados para su utilización cuando la tecnología permite inspeccionar y medir cada unidad producida usando a la vez un microordenador en el puesto de trabajo. Si el proceso se mantiene bajo control en el objetivo μo , la suma acumulable Sm=∑(X−−i−μ0)variará aleatoriamente respecto del valor cero. Sin embargo, si la media asciende a μ1 > μo se apreciará una tendencia ascendente en la suma acumulada Sm. Por el contrario, si la media se desplaza a μ2 < μo se apreciara una tendencia decreciente en Sm. Por consiguiente, una tendencia determinada (positiva o negativa) se considerará como una evidencia de que la media del proceso se ha desplazado debido a la presencia de alguna causa asignable que hay que investigar y eliminar.
  • 31. Existen dos criterios para establecer formalmente que el proceso está fuera de control. Uno de ellos es un procedimiento gráfico: La máscara V propuesta por Barnhard en 1959 y otro es un procedimiento numérico muy adecuado para establecer en conjunción con un microordenador. Aquí veremos este segundo procedimiento. En cada toma de muestra hay que calcular los 2 valores siguientes: Si=∑i=1l[X−−i−(μ0+F)];Ti=∑i=1l[X−−i−(μ0−F)] donde: X−− es la media muestral en la toma i-ésima. μo es el valor objetivo (media centrada) F es un parámetro de la carta de control que normalmente vale δo/2 siendo δo el cambio que queremos detectar con prontitud. F=f⋅σX−=(f/n−−√)⋅σ, siendo normalmente f = 0,5 ya que queremosdetectar normalmente cambios del orden de σX− (n es el tamaño muestral).Como veremos más adelante, F se puede seleccionar también en algún juego de cartas ARL. Cuando algún valor Si ó Ti cumple que Si > H ó Ti < -H (H elegido de acuerdo a la curva ARL que nos interese H=h⋅σX− siendo h normalmente 5) el proceso se considera fuera de control. Si Si se hace negativo o se pone a 0, de igual forma si Ti se hace positivo o se pone a 0. Una vez corregido el proceso los contadores Si y Ti se pondrían a 0. Las curvas ARL de los gráficos CUSUM, se calculan a partir de los parámetros del grafico, h y f (y del tamaño de la muestra, que está implícito en el desplazamiento) utilizando cadenas de Markov. En la tabla 2.3 se dan valores de h y f más comunes en función del desplazamiento de la media a detectar y sus curvas ARL.
  • 32. Ejemplo CUSUM Consideremos que el peso de cartuchos de cierta fabricación sigue siendo una distribución Normal (ver ejemplo anterior) de media 1,3917 y desviación típica 0,005. Valores que resultaban cuando el proceso estaba bajo control. σ4R−−4d2=0,005 Si utilizamos las muestras de tamaño 5 del ejemplo anterior y queremos detectar desplazamientos de la medía del orden de σX−=0,0005/5√=0,0022, elegimos h = 5 y f = 0,5 con lo que obtenemos F = 0,5 x 0,0022 = 0,0011 ; H = 5 x 0,0022 = 0,01 Secuenciat123456Xt1,39481,38741,39631,39121,39461,3800LIMSUPXt −1,3928+0,0020−0,0054+0,0035−0,0016+0,0018−0,0128(Sf<H)St=∑ (Xt−1,3928)0,0020<00,00350,00190,0037<0LIMINFXt−1,3906+0,0042 −0,0032+0,0057+0,0006+0,0004−0,0106(Tf<H)Tt=∑/(Xt−1,3906)>− 0,0032>0>0>0−0,0106. En el sexto subgrupo Ti<−0,01 por lo tanto es un punto fuera de control y deberíamos corregir el proceso. Para controlar la variabilidad dentro de las muestras se pueden utilizar los gráficos de Shewart del recorrido o de la desviación típica, en conjunción con el CUSUM de medias. No obstante también es posible diseñar una carta de control CUSUM específicamente por los gráficos de recorridos o de desviaciones típicas. La forma de realizarlos es muy similar al CUSUM de medias.
  • 33. Los parámetros h y f con sus curvas ARL del CUSUM para recorridos o desviaciones típicas están recogidos en la norma británica BS 5703. Ci=∑i=1i(Ri−F) donde F=f⋅R−−T Tabla 2.3 Valores de h y f recomendados para detectar un desplazamiento de la media de magnitud σ/n−−√ (*)
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  • 36. Capacidad del proceso Para estudiar la capacidad del proceso se pueden seguir dos distribuciones: Normal, que es la usada para estudios de capacidad a largo y corto plazo (capacidades globales y potenciales) Weibull, que es la utilizada para estudios a largo plazo (capacidades globales). Si los datos no siguen ninguna de las dos, puede usarse una transformación Box-Cox para normalizarlos. Se definen los siguientes tipos de índices: La diferencia entre ambas capacidades es síntoma de que algo va mal y que el proceso es mejorable. Índices de Capacidad CP, PP, CPK y PPK Sean LS y LI los límites de tolerancia exigidos en las especificaciones, se define el índice de capacidad de proceso como: Para afirmar que un proceso es capaz Cp y/o CPK deben ser mayor o igual que 1.33, lo que garantiza que el 99.994% de los productos fabricados o servicios prestados por el proceso centrado está en las especificaciones. En caso de ser necesario estudiar las dos ambas deben valer como mínimo 1.33. En otro caso, habrá que aplicar acciones correctoras.
  • 37. Índices de Capacidad CPU, PPU, CPL, PPL Se utilizan cuando el proceso sólo tiene un límite de especificación, bien superior (CPU y PPU), bien inferior (CPL, PPL) Se calculan como:
  • 38. Teorema del límite central El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal. Ejemplo: la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una distribución normal. Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables continuas. Los parámetros de la distribución normal son: Media: n * m (media de la variable individual multiplicada por el número de variables independientes) Varianza: n * s2 (varianza de la variable individual multiplicada por el número de variables individuales) Veamos un ejemplo: Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25. Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras. La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto, según una distribución normal. Media = 100 * 0,5 = 50 Varianza = 100 * 0,25 = 25
  • 39. Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la variable normal tipificada equivalente: (*) 5 es la raiz cuadrada de 25, o sea la desviación típica de esta distribución Por lo tanto: P (X > 60) = P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228 Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salgan más de 60 caras es tan sólo del 2,28%.
  • 40. Six Sigma Seis Sigma, es un enfoque revolucionario de gestión que mide y mejora la Calidad, ha llegado a ser un método de referencia para, al mismo tiempo, satisfacer las necesidades de los clientes y lograrlo con niveles próximos a la perfección. Pero ¿qué es exactamente Seis Sigma? Dicho en pocas palabras, es un método, basado en datos, para llevar la Calidad hasta niveles próximos a la perfección, diferente de otros enfoques ya que también corrige los problemas antes de que se presenten. Más específicamente se trata de un esfuerzo disciplinado para examinar los procesos repetitivos de las empresas. Literalmente cualquier compañía puede beneficiarse del proceso Seis Sigma. Diseño, comunicación, formación, producción, administración, pérdidas, etc. Todo entra dentro del campo de Seis Sigma. Pero el camino no es fácil. Las posibilidades de mejora y de ahorro de costes son enormes, pero el proceso Seis Sigma requiere el compromiso de tiempo, talento, dedicación, persistencia y, por supuesto, inversión económica. Un típico coste de no Calidad -errores, defectos y pérdidas en los procesos- puede suponer el 20 ó 30 por 100 de las ventas. El campo es amplio, incluso sin llegar al nivel Seis Sigma (3,4 errores o defectos por millón de oportunidades), las posibilidades de mejorar significativamente los resultados son ilimitadas. Solamente será necesario que la organización ponga a disposición sus capacidades y proceda de manera consistente con sus recursos. El comienzo Es esencial que el compromiso con el enfoque Seis Sigma comience y permanezca en la alta dirección de la compañía. La experiencia demuestra que cuando la dirección no expresa su visión de la compañía, no transmite firmeza y entusiasmo, no evalúa los resultados y no reconoce los esfuerzos, los programas de mejora se transforman en una pérdida de recursos válidos.
  • 41. El proceso Seis Sigma comienza con la sensibilización de los ejecutivos para llegar a un entendimiento común del enfoque Seis Sigma y para comprender los métodos que permitirán a la compañía alcanzar niveles de Calidad hasta entonces insospechados El paso siguiente consiste en la selección de los empleados, profesionales con capacidad y responsabilidad en sus áreas o funciones que van a ser intensivamente formados para liderar los proyectos de mejora. Muchos de estos empleados tendrán que dedicar una parte importante de su tiempo a los proyectos, si se pretenden resultados significativos. La formación de estos líderes tiene lugar en cuatro sesiones de cuatro días cada una, a lo largo de un periodo de 12 semanas durante el cual trabajarán en un proyecto concreto de mejora, que los capacitará como candidatos a una nueva profesión, "black belts" como implantadores de estas avanzadas iniciativas de Calidad. Esta formación, impartida por expertos, incluye la selección de un proyecto en la primera semana y la aplicación de lo aprendido a dicho proyecto antes de la sesión siguiente, mediante un equipo de mejora. Para alcanzar el nivel "black belt" los candidatos tienen que demostrar los resultados conseguidos en el proyecto y éste nivel los capacita para continuar liderando nuevos equipos para nuevos proyectos de mejora. El método El método Seis Sigma, conocido como DMAMC, consiste en la aplicación, proyecto a proyecto, de un proceso estructurado en cinco fases. En la fase de definición se identifican los posibles proyectos Seis Sigma, que deben ser evaluados por la dirección para evitar la infrautilización de recursos. Una vez seleccionado el proyecto se prepara su misión y se selecciona el equipo más adecuado para el proyecto, asignándole la prioridad necesaria.
  • 42. La fase de medición consiste en la caracterización del proceso identificando los requisitos clave de los clientes, las características clave del producto (o variables del resultado) y los parámetros (variables de entrada) que afectan al funcionamiento del proceso y a las características o variables clave. A partir de esta caracterización se define el sistema de medida y se mide la capacidad del proceso. En la tercera fase, análisis, el equipo analiza los datos de resultados actuales e históricos. Se desarrollan y comprueban hipótesis sobre posibles relaciones causa-efecto utilizando las herramientas estadísticas pertinentes. De esta forma el equipo confirma los determinantes del proceso, es decir las variables clave de entrada o "pocos vitales" que afectan a las variables de respuesta del proceso. En la fase de mejora el equipo trata de determinar la relación causa- efecto (relación matemática entre las variables de entrada y la variable de respuesta que interese) para predecir, mejorar y optimizar el funcionamiento del proceso. Por último se determina el rango operacional de los parámetros o variables de entrada del proceso. La última fase, control, consiste en diseñar y documentar los controles necesarios para asegurar que lo conseguido mediante el proyecto Seis Sigma se mantenga una vez que se hayan implantado los cambios. Cuando se han logrado los objetivos y la misión se dé por finalizada, el equipo informa a la dirección y se disuelve. Las herramientas En los proyectos Seis Sigma se utilizan dos tipos de herramientas. Unas, de tipo general como las 7 herramientas de Calidad, se emplean para la recogida y tratamiento de datos; las otras, específicas de estos proyectos, son herramientas estadísticas, entre las que cabe citar los estudios de capacidad del proceso, análisis ANOVA, contraste de hipótesis, diseño de experimentos y, también, algunas utilizadas en el diseño de productos o servicios, como el QFD y AMFE.
  • 43. Estas herramientas estadísticas que hace unos años estaban solamente al alcance de especialistas, son hoy accesibles a personas sin grandes conocimientos de estadística. La disponibilidad de aplicaciones informáticas sencillas y rápidas, tanto para el procesamiento de datos como para los cálculos necesarios para su análisis y explotación, permiten utilizarlas con facilidad y soltura, concentrando los esfuerzos de las personas en la interpretación de los resultados, no en la realización de los complejos cálculos que antes eran necesarios. Los resultados Conceptualmente los resultados de los proyectos Seis Sigma se obtienen por dos caminos. Los proyectos consiguen, por un lado, mejorar las características del producto o servicio, permitiendo conseguir mayores ingresos y, por otro, el ahorro de costes que se deriva de la disminución de fallos o errores y de los menores tiempos de ciclo en los procesos. Así, las experiencias de las compañías que han decidido implantar Seis Sigma permiten indicar desde cifras globales de reducciones del 90 por 100 del tiempo de ciclo o 15 mil millones de dólares de ahorro en 11 años (Motorola), aumentos de productividad del 6 por 100 en dos años (Allied Signal), hasta los más recientes de entre 750 y 1000 millones de dólares de ahorro en un año (General Electric). Ciclo DMAIC: Definir Medir Analizar Mejorar Verificar Mejora del Proceso 6 sigma:  Paso1: Definir el Problema  Paso 2: Observar el Problema  Paso 3: Analizar el Problema  Paso 4: Actuar sobre las causas  Paso 5: Estudiar los resultados  Paso 6: Estandarizar  Paso 7: Establecer conclusiones
  • 44. Bibliografía http://es.wikipedia.org/wiki/Capacidad_del_proceso E.L. Grant, R.S. Leavenworth, Statistical Quality Control, McGraw-Hill, Inc., New York (1988) D.L. Massart, B.G.M. Vandeginste, L.M.C. Buydens, S. De Jong, P.J. Lewi, J.Smeyers-Verbeke, Handbook of Qualimetrics and Chemometrics. Part A. Elsevier, Ámsterdam (1997) http://www.quimica.urv.es/quimio Escalona Moreno, Iván. Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias sociales y Administrativas (UPIICSA) del Instituto Politécnico Nacional (I.P.N.), México (2002). Armando Moreno, Diego. Campus Piedras Negras Calidad Piedras Negras Coahuila, México (2005). http://essm1987.blogspot.mx/2011/10/graficos-de-control estadistico.html http://optyestadistica.wordpress.com/2009/05/19/ejemplo-grafico-de- control-u-promedio-de-defectos-por-unidad-tamano-de-muestra- variable/ http://optyestadistica.wordpress.com/2009/06/10/ejemplo-grafico-de- control-np-numero-de-defectuosos-en-la-muestra-tamano-de-muestra- variable/ http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/ManualCPE07p7.htm http://alarcos.infcr.uclm.es/doc/Calidad/webPRCSI/Recursos/Pr6/Sesi% C3%B3n6.pdf http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-38-est.htm