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UNIDAD III Los rieles siempre paralelos
Capítulo 1
Ángulos determinados entre dos rectas
paralelas y una secante ................................... 	59
Capítulo 2
Operaciones entre ángulos determinados
por rectas paralelas ........................................ 	67
Capítulo 3
Aplicaciones de ángulos entre
rectas paralelas................................................	74
Capítulo 4
Recordando lo aprendido................................ 	82
Capítulo 5
Triángulos	 .................................................. 	88
UNIDAD II Todo sobre ángulos
Capítulo 1
Identificando y midiendo ángulos................... 	27	
Capítulo 2
Operaciones con ángulos ................................ 	 34
Capítulo 3
Solo con enunciados ....................................... 	43
Capítulo 4
Complemento y suplemento de un ángulo ..... 	48
Capítulo 5
Repaso bimestral ............................................ 	54
UNIDAD II Conociendo a la geometría
Capítulo 1
Introducción 	.................................................. 	5
Capítulo 2
Segmento de recta ......................................... 	12
Capítulo 3
Punto medio y el segmento de recta ..............	18
Capítulo 4
Recordando lo aprendido ............................... 	23
UNIDAD IV El triángulo de las bermudas, ¿verdad o fantasía?
Capítulo 1
Líneas notables en el triángulo I .................... 	97	
Capítulo 2
Lineas notables en el triángulo II ................... 	105
Capítulo 3
Repaso bimestral ............................................ 	113
Índice
TRILCE
Geometría
UNIDAD V CUANDO EL NÚMERO DE LADOS AUMENTA
Capítulo 1
Estudiando las figuras de más
de tres lados	 .................................................. 	120
Capítulo 2
¿Cuál será la suma de ángulos internos.......... 	129
Capítulo 3
Estudiando las figuras de cuatro lasdos.......... 	136
Capítulo 4
Conociendo los paralelogramos ..................... 	144
Capítulo 5
Operaciones en el cuadrilátero ....................... 	152
UNIDAD VII Región y área, ¿lo mismo?
Capítulo 1
Perímetro es lo mismo que área ..................... 	182
Capítulo 2
Conociendo las regiones poligonales .............. 	190
Capítulo 3
Calculando el área de regiones triángulares ... 	199
Capítulo 4
Calculando el área de diversas regiones ......... 	208
UNIDAD VIII eSTUDIANDO LOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Capítulo 1
Reconociendo los elementos .......................... 	215
Capítulo 2
¿Area es lo mismo que volumen? ................... 	223
Capítulo 3
Recordando lo estudiado ................................ 231
UNIDAD VI calculando la suma de los lados
Capítulo 1
¿Qué es perímetro? ......................................... 	159
Capítulo 2
Calculando el perímetro de diversas figuras... 	167
Capítulo 3
Repaso general ............................................... 	175
AprendiZajes esperados
UNIDAD 1
L
a base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que
los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y
crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos
Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros)
ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos.
¿Cuál es la etimología de Geometría?
¿Qué estudia la Geometría?
¿Qué es postulado?
Conociendoalageometría
UNIDAD 1
•	 Reconocer y relacionar  figuras y elementos geométricos.
•	 Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte.
•	 Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables.
•	 Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás.
•	 Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables.
CEILTR
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A diario vemos objetos de diversas formas, que si quisiéramos describirlos tendríamos que usar términos
geométricos.
•    ¿Qué diferencia hay entre un cubo y un dado?
•    ¿Es igual círculo que circunferencia?
Introducción
En este capítulo aprenderemos:
•	 A reconocer elementos y figuras geométricas en el plano.
•	 A reconocer elementos y figuras geométricas espaciales.
•	 A identificar y graficar rectas paralelas y secantes.
•	 A identificar y graficar planos paralelos y secantes.
•	 A contar puntos de corte entre rectas y figuras geométricas planas.
5
1
Central: 619-8100 Unidad I
CAPITULO
6
CEILTR
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Introducción
Conceptos básicos
Figura geométrica
Son las ideas obtenidas a partir de la forma de un objeto
	
Objeto Figura geométrica
esfera
cubo
cilindro
Elementos geométricos
Son las ideas geométricas en las cuales no se consideran longitudes o medidas y son los siguientes:
	
	 El punto
	 Es la idea geométrica más pequeña. La marca de un lápiz, un grano de azúcar, un residuo de tiza, etc.,
nos dan la idea de punto. Se nombra con una letra mayúscula.
				 A Punto "A"			 M Punto "M"
	 La recta
	 Los puntos sucesivos en una misma dirección e ilimitadamente nos representa una recta.
Recta l
l
Recta a
a
	 El plano
	 Es la idea geométrica obtenida a partir de la mayoría de superficies. Todo plano puede obtener
completamente figuras geométricas. Se le nombra con una letra mayúscula.
		 Plano R
R
7
Central: 619-8100 Unidad I
1
División de la Geometría
Para el mejor estudio de la geometría elemental se divide en:
	
	 Geometría plana
	 Estudia a las figuras geométricas contenidas en un solo plano.
	
PentágonoCircunferencia
Centro Radio
r
Triángulo
Vértices
Cuadrilátero
Lados
	 Geometría del espacio
	 Estudia a las figuras geométricas tridimensionales o cuyos elementos están contenidos en dos o más
planos.
		
	 Cono Prisma Tetraedro
	Rayo
	 Es la parte de una recta que tiene un punto de origen y es ilimitado en un solo sentido.
	
AO
Rayo OA: OA
B
P
Rayo PB: PB
a es paralela a b (a // b)
a
b
m y n son secantes
"P" es el punto de intersección
m
n
P
Rectas secantes
Dos rectas son secantes si tienen un punto
en común.
	 Rectas paralelas
	 Dos rectas paralelas son aquellas que no
tienen punto de corte.
Ten en cuenta
8
CEILTR
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Introducción
Número de puntos de corte	
	 •	 Entre dos rectas paralelas y una secante.
"P" y "Q" son planos paralelos (P//Q)
Planos paralelos
Son aquellos que no tienen ni un punto en
común.
Planos secantes
Son aquellas que tienen una recta en común.
l
"R" y "Q" son planos secantes
l  es la intersección entre "R" y "Q"
Dos puntos de corte
	 •	 Entre tres rectas secantes.
Un punto de corte
como mínimo
Tres puntos
de corte como
máximo
9
Central: 619-8100 Unidad I
1
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
1.	 Graficar un rayo OA en posición horizontal.
2.	 Graficar un rayo PB en posición vertical.
3.	 Graficar los rayos MN y MQ en sentidos
opuestos. ¿Qué se forma?
4.	 Graficar tres rectas paralelas y una secante.
¿Cuántos puntos de corte se obtienen?
5.	 Graficar tres rectas secantes y dar el máximo
número de puntos de corte.
6.	 Calcular el máximo número de puntos de
corte entre cinco rectas paralelas y dos rectas
secantes.
7.	 Calcular el máximo número de puntos de corte
entre un triángulo y tres rectas secantes.
8.	 Calcular el máximo número de puntos de corte
entre un cuadrilátero y tres rectas secantes.
9.	 Calcular el máximo número de puntos de corte
entre un pentágono y dos rectas secantes.
10.	Calcular el número de puntos de corte entre
una circunferencia y seis rectas paralelas.
	 •	 Entre una circunferencia y una recta secante.	      •	 Entre un triángulo y una recta secante.
		
Dos puntos
de corte.
Dos puntos
de corte
      •	 Entre una circunferencia y dos rectas secantes.
Tres puntos
de corte como
mínimo.
Cinco puntos
de corte como
máximo.
Comunicación matemática
1.	 Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
	 •	 Según Euclides, los elementos geométricos son cuatro......................................................... 	(	 )
	 •	 La Geometría se divide en plana y del espacio..................................................................... 	(	 )
2.	 Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
	 •	 Las rectas paralelas tienen un punto de intersección............................................................. 	(	 )
	 •	 Las rectas secantes no tienen ningún punto en común.......................................................... 	(	 )
Conceptos básicosAprende más...
10
CEILTR
Colegios
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Introducción
Resolución de problemas
6.	 Calcular el máximo número de puntos de corte
entre cinco rectas secantes.
7.	 Calcular el máximo número de puntos de
corte entre cuatro rectas paralelas y dos rectas
secantes.
8.	 Calcular el máximo número de puntos de corte
entre seis rectas paralelas y dos rectas secantes.
9.	 Calcular el máximo número de puntos de corte
entre una circunferencia y cuatro rectas secantes.
10.	Calcular el máximo número de puntos de corte
entre una circunferencia y cinco rectas secantes.
Aplicación cotidiana
•	 Supongamos que en el Perú se quiere construir la mayor cantidad de carreteras subterráneas rectilíneas
para trenes eléctricos, que facilitarían el viaje entre los departamentos mostrados.
	
Arequipa
Piura
Lima
Ica
Ayacucho
11.	¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Lima y Ayacucho?
12.	¿Cuántas carreteras se forman entre Lima, Arequipa e Ica?
13.	¿Cuántas carreteras se forman entre Lima, Ayacucho, Ica y Arequipa?
14.	¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Arequipa, Ica y Ayacucho?
15.	¿Cuántas carreteras se forman entre los cinco departamentos?
3.	 Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:
	 •	 La intersección entre dos ............................ está representado por .......................... recta.
	 •	 El rayo tiene un ......................... de origen y es ilimitado en un solo ..................................
rectas   -   punto   -   planos   -   dos  -  una   -   sentido   -   número
4.	 Graficar un plano "H" y a una circunferencia contenida en "H".
5.	 Graficar un plano "M" y a dos rectas a y b secantes en "P".
11
Central: 619-8100 Unidad I
1
Conceptosbásicos ¡Tú puedes!
1.	 Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y cuatro rectas secantes.
2.	 Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes.
3.	 Calcular el máximo número de puntos de corte entre siete rectas secantes.
4.	 Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes y dos rectas paralelas.
5.	 Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes y tres rectas paralelas.
1.	 Hallar el máximo número de puntos de corte
entre tres rectas secantes y una circunferencia.
2.	 Calcular el máximo número de puntos de corte
entre ocho rectas paralelas y una circunferencia.
3.	 Calcular el máximo número de puntos de corte
entre un triángulo y tres rectas paralelas.
4.	 Hallar el máximo número de puntos de corte
entre un triángulo y una circunferencia.
5.	 Hallar el máximo número de puntos de corte
entre dos rectas secantes y un triángulo.
	
6.	 Calcular el máximo número de puntos de corte
entre dos rectas secantes y un cuadrilátero.
	
7.	 Calcular el máximo número de puntos de
corte entre cuatro rectas secantes y dos rectas
paralelas.
	
8.	 ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico?
9.	 ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico?
10.	Hallar el máximo número de puntos de corte
entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes.
	
11.	Hallar el máximo número de puntos de corte
entre cinco rectas paralelas y una circunferencia.
12.	Hallar el máximo número de puntos de corte
entre seis rectas paralelas y un triángulo.
13.	Hallar el máximo número de puntos de corte
entre tres rectas secantes y un triángulo.
14.	Hallar el máximo número de puntos de corte
entre un cuadrilátero y una circunferencia.
15.	¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico?
Practica en casa
18:10:45
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
12
CEILTR
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Saberes previos
Segmentos de recta
En este capítulo aprenderemos:
•	 A identificar al segmento de recta y a su medida.
•	 A relacionar segmentos consecutivos y no consecutivos.
•	 A sumar y restar longitudes de segmentos  consecutivos.
Podemos mencionar otros tipos de líneas:
línea curva y línea quebrada. En nuestro
lenguaje común, el término "segmento"
significa parte o porción de algo con lo cual
lo podemos conjugar a términos anteriores.
•    ¿Qué líneas observas?
	 •	 Unidades de longitud
- Centímetros, metros, kilómetros.
- Pulgadas, pies, yardas, millas.
	 •	 Unidad de peso: .......................
	 	 Unidad de temperatura: .........................
	 •	 Ecuaciones de primer grado:
2x + 10 = 18 ⇒ x =
3x + x + 5 = 25 ⇒ x =
CAPITULO
2
En el capítulo anterior, mencionamos a la "línea
recta",  pero no es el único tipo de línea, en la
naturaleza encontramos diversidad de formas así
como en nuestro mismo cuerpo.
13
Geometría
Unidad ICentral: 619-8100
Observación
Definición de segmento de recta
Es la parte de una línea recta que tiene por extremos a dos puntos. Su medida esta representada por la
distancia entre los extremos del segmento y se expresa en unidades de longitud (centímetros, metros,
pulgadas, pies, etc.).
R
S8 cm
•	 Segmento RS	: RS o SR
•	 Medida de RS : mRS = 8 cm
	                   	     RS = 8 cmL
•	 Cuando no se conoce la medida de un
segmento de recta, se usan variables
como en el Álgebra.
•	 También se usan unidades arbitrarias
de longitud, es decir, si no son
centímetros, pulgadas, etc. se emplea
la letra "∝" de unidades. PQ = 12 cm
12 cm
QP
"x" µ
NM
	 Puntos colineales
	 Son puntos que pertenecen a una línea recta.
"A", "B" y "C" son puntos colineales por
que pertenecen a L y se pueden contar
tres segmentos de recta.
A B C
L
	 Segmentos consecutivos
	 Son segmentos que tienen un extremo común y son de dos tipos:
A C
B
C
A
B
D
Segmentos
no colineales
A B C
A B C D
Segmentos
colineales
Conceptos básicos
CEILTR
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14
Segmento de recta
	 Suma y resta entre longitudes de segmentos consecutivos y colineales.
EH = 8 + 14 = 22 cm
8 cm
E F H
14 cm
AD = 6 + 10 + 14 = 30 cm
6 cm 10 cm
A B C D
14 cm
PQ = 36 - 12 = 24 cm
P Q R
12 cm
36 cm
LE = 23 - (13 + 7)
LE = 3 cm
13 cm
A
L E J
7 cm
23 cm
MP = a + b
AN = x - y
A
x
N
y
Q
M
a b
N P
1 + 2 + 3 = 6 segmentos
A B C D
1 + 2 = 3 segmentos
P Q R
1 + 2 + 3 + 4 = 10 segmentos
M EN F Q
L
L
L
Número máximo de segmentos de recta
Suma y resta con variables
Ten en cuenta
Central: 619-8100
15
2
Unidad I
ConceptosbásicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
1.	 Si: AC = 42 cm y BC = 31 cm, calcular "AB".
A B C
2.	 Si: EH = 56u y FH = 14u, calcular "EF".
E F H
3.	 Si: MN = 13u; NE = 8u y EF = 18u, calcular
"MF".
M EN F
4.	 Si: PR = 24 cm; QS = 36 cm y QR = 100 cm,
calcular "PS".
P RQ S
5.	 Si: AC = 58 cm; BD = 76 cm y BC = 32 cm,
calcular "AD".
A CB D
6.	 Si: EH = 41u; FN = 38u y EN= 52u, calcular "FH".
E F NH
7.	 Si: PT = 22u; QU = 45u y PU = 59u, calcular
"QT".
P Q UT
8.	 Si: EL = 120 cm; EJ = 30 cm y KL = 70 cm,
calcular "JK".
E J LK
9.	 Si: AB = 17,2u; CD = 41,8u y AD = 80u,
calcular "BC".
A B DC
10.	Si: PT = 56 cm, calcular "x".
P Q
2x 5x
T
Comunicación matemática
1.	 Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
	 •	 El segmento de recta está formado por dos puntos.................................................................. (	)
	 •	 El segmento de recta tiene una cantidad indeterminada de puntos.......................................... (	)
2.	 Completar las siguientes proposiciones con los términos del recuadro:
	 •	 La menor ................................ entre dos puntos está representado por el ................................ de
recta que los une.
	 •	 Dos o más segmentos de ................................ se llaman colineales, si ................................ a una
misma recta.
plano - recta - 	perpendicular - distancia -	 pertenecen - segmento - secantes.
Conceptos básicosAprende más...
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16
Segmento de recta
Resolución de problemas
6.	 En el gráfico: AC = 17 cm; BD = 22 cm y
BC= 6 cm. Calcular "AD".
A CB D
7.	 Si: PR = 19u; QS = 26u y QR = 4u, calcular
"PS".
P RQ S
8.	 Si: AF = 11u; EN = 19u y AN = 25u, calcular
"EF".
A FE N
9.	 Si: PQ = 2x; QE = 8u; EF = 5x y PF = 43u,
calcular "x".
P EQ F
10.	Si: AB = x + a ; BC = 6x - a y AC = 63u,
calcular "x".
A B C
11.	Si: AB = x; BC = 2x; CD = 5x y AD = 40u,
calcular "x".
A B C D
12.	Si: PQ = 3k; RT = 7k; QR = 38u y PT = 118u,
calcular "k".
P Q R T
Aplicación cotidiana
•	 Un grupo de alumnos van de excursión partiendo de un punto "A", en una carretera recta, siendo su
destino el punto "B". Pero tienen que hacer escala en los puntos "E" y "F". La distancia entre "A" y "F"
es de 34 km, la distancia entre "E" y "B" es de 42 km y la distancia entre el punto de partida y el punto
de destino es 63 km.
A FE B
13.	Calcular la distancia entre "A" y "E".
14.	Calcular la distancia entre "E" y "F".
15.	Calcular la distancia entre "F" y "B".
3.	 Completar los siguientes recuadros, de acuerdo a la teoría hecha en clase:
		 E P Q EQ	=	.......... + .........
	 	 P M N PM	=	.........  –   .........
4.	 Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC, tal que: AB = 2 cm y BC = 3 cm. Luego
mide la longitud del segmento AC. (Usar regla calibrada en centímetros)
5.	 Usando una regla calibrada en centímetros, graficar los segmentos consecutivos no colineales: PQ = 3 cm
y QR = 5 cm. Luego mide la longitud de PR.
Central: 619-8100
17
2
Unidad I
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1.	 Si: AC = 46u y BC - AB = 14u, calcular "AB"
A B C
2.	 Si: PQ = 2(QR) y PR = 36u, calcular "QR".
P Q R
3.	 Si: AC + BD = 53u y AD = 30u, calcular "BC".
A CB D
4.	 Si: PQ + PR = 65 cm y QR = 3(PQ), calcular "PQ".
P Q R
5.	 Si: BC = 3(AB) y CD = 5(AB), calcular "AB".
A B C D
135 cm
1.	 En una recta, marcar a los puntos consecutivos
"A", "B" y "C". ¿Cuántos segmentos como
máximo se determinan?
2.	 Si: AB = 72u, calcular "x".
A E
x 8x
B
3.	 Si: AC = 120 cm, calcular "x".
A B
3x 7x
C
4.	 Si: MQ = 124u y NQ = 80u, calcular "MN"
QNM
5.	 Si: EF=20u; MH=30u y MF=16u, calcular "EH".
HM FE
6.	 Si: PR=16u; QT=23u y QR=9u, calcular "PT".
TQ RP
7.	 Si: EN = 24u; MH = 43u y EH = 57u,	
calcular "MN".
HM NE
8.	 Si: AE = 96 cm, calcular "x".
A B C D
2x x 4x 5x
E
9.	 Si: AP = 60u, calcular "AB".
A B
2x 8x
P
10.	Si: EF = 16u; TQ = 22u y EQ = 53u, calcular
"FT".
QF TE
11.	Si: PR = 21u, calcular "RT".
P Q R
4a 3a 10a
T
12.	En el problema anterior, calcular "PT"
13.	Si: AL = 4x; LE = 6x y AJ = 24x, calcular "x".
A L E
28 cm
J
14.	Si: MT = 98u, calcular "x".
M N Q
5x 26u 7x
T
15.	¿Cuántos segmentos se cuentan como máximo
en la siguiente figura?
A CB ED
Conceptosbásicos ¡Tú puedes!
18
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Punto medio del segmento
de recta
En este capítulo aprenderemos:
•	 A ubicar los puntos medios de los segmentos, conociendo sus medidas.
•	 A usar variables para representar segmentos congruentes.
•	 A usar el compás para ubicar el punto medio del segmento de recta.
CAPITULO
3
	
	 En nuestro país, las unidades de longitud más usadas son:
	 •	 1 metro		 =	 100 centímetros
	 •	 1 kilómetro	 =	 1000 metros
	 En las carreteras, para señalar las distancias entre las ciudades se usan los kilómetros.
	 Por ejemplo, en Norte América se usan:
	 pulgadas; pies; yardas y millas.
		
1 yarda = 3 pies1 pie = 12 pulgadas 1 milla = 1760 yardas
	 Partiendo de que 1 pulgada es aproximadamente 2,54 centímetros, se calcula que 1 milla es
aproximadamente 1,6 kilómetros
19
Geometría
Unidad ICentral: 619-8100
Saberes previos
Conceptos básicos
•
	
r
B
O
A
O:	
r:
mAO = mOB
Circunferencia
	
•	 Trazar con el compás una circunferencia de 2,5 cm de radio.
•	
AC = ......... + .........
CD = ......... –  .........
AD =......... + .........CBA D
ya
b
Definición del punto medio de un segmento de recta
Es el punto que pertenece al segmento y tiene igual distancia a los extremos; es decir, que divide al
segmento en dos segmentos congruentes (congruentes: medidas iguales)
	 Q M
aa
R
A P 19 cm
38 cm
19 cm B
•	 "P" es punto medio de AB
•	 AP es congruente con PB (AP ≅ PB)
•	 mAP = mPB
•	 Si no se conoce la medida se usan variables
iguales: QM = MR = a
•	 "M" es punto medio de QR
Ubicación del punto medio del segmento usando el compás
Dado el segmento RG y tomando como centro a cada extremo se trazan circunferencias con el mismo
radio. Luego se unen los puntos de intersección de las curvas ("E" y "F") y el punto de corte entre RG y EF
es el buscado punto medio "M" de RG.
F
G
MR
E
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20
Punto medio y el segmento de recta
Conceptos básicosAprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
1.	 Grafica un segmento de recta AB de 4,2 cm
y ubica a su punto medio, usando el compás.
(Usar regla calibrada en centímetros)
2.	 Grafica un segmento de recta PQ de 5,7 cm
y ubica a su punto medio, usando el compás.
(Usar regla calibrada en centímetros)
3.	 Si: AB = 15 cm; BC = 42 cm y "M" es punto
medio de BC, calcular "AM".
CB MA
4.	 Si: PQ = 48u; QR = 14u y "N" es punto medio
de PR, calcular "NQ".
RN QP
5.	 Si: EF = 23u; NG = 25u y "F" es punto medio
de EN, calcular "EG".
GF NE
6.	 Si: AB = 21u y BC = 65u, hallar "MN", si "M"
y "N" son puntos medios de AB y BC.
A M B N C
7.	 Si: AM = 79u; MF = 31u y "E" y "N" son puntos
medios de AM y MF respectivamente, calcular
"EN".
FNMEA
8.	 Si: RB = 70u; "A" es punto medio de RM y "C"
es punto medio de MB, calcular "AC".
R A
a ba b
M C B
9.	 Si: PR = 55u, calcular "MN"; siendo "M" y "N"
puntos medios de PQ y QR.
RN
yx yx
QMP
10.	Si: EF = 118 cm, calcular "AB", siendo "A" y
"B" puntos medios de EK y KF respectivamente.
FA K BE
Comunicación matemática
1.	 Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
	 •	 Cada segmento de recta tiene solo un punto medio.................................................................(	)
	 •	 El punto medio de un segmento de recta equidista de los extremos de dicho segmento..........(	)
2.	 Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro.
	 •	 Dos ..........................de recta que tienen igual longitud se denominan segmentos ..........................
	 •	 El .......................... medio de un segmento de recta .......................... a éste en otros dos segmentos
congruentes.
iguales - semejantes - congruentes - punto - recta - segmentos  -  divide -  determina
3.	 Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC que miden 3,2 cm y 2,5 cm (usar regla
calibrada en centímetros). Luego ubicar a los puntos medios de AB y BC con el uso del compás.
Central: 619-8100
21
3
Unidad I
Resolución de problemas
6.	 Si: AB = 31u; BC = 75u y "M" es punto medio
de AC, calcular "BM".
CB MA
7.	 Si: EQ = 86u; FQ = 32u y "N" es punto medio
de EF, calcular "NQ".
QN FE
8.	 Si: MQ = 33u; MN = 97u y "P" es punto medio
de QN, calcular "MP".
NQ PM
9.	 Si: AC = 40u; BD = 80u y BC = 10u, calcular
"MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB
y CD respectivamente.
DB CM NA
10.	Si: PR = 43u; QS = 47u; QR = 13u y "A" y "B"
son puntos medios de PQ y RS, calcular "AB".
SQ RA BP
11.	Si: AB = 26u; BC = 58u; "M" y "N" son puntos
medios de AB y BC y además "P" es punto
medio de MN, calcular "BP".
CB PM NA
12.	Si: PQ = 72u; QR = 28u y "E", "F" y "M" son
puntos medios de PQ, QR y EF respectivamente,
calcular "MQ".
RM QE FP
4.	 Grafica a los segmentos consecutivos y colineales PQ y QR, tal que: PQ = 2,8 cm y RP = 3,6 cm (usar
regla calibrada en centímetros). ¿Cuánto mide QR y qué observa?
5.	 Grafica al segmento EF que mide 6 cm y a los segmentos consecutivos no colineales EA y AF de
cualquier medida. Luego ubica a los puntos medios de EA y AF con el uso del compás. ¿Cuánto mide
el segmento de recta que une dichos puntos medios? (Usar regla calibrada en centímetros)
Aplicación cotidiana
•	 Un edificio está compuesto por siete pisos, tal que el primer piso
tiene una altura de 3 metros y el resto de los pisos 2 metros de altura.
13.	¿Qué altura tiene el edificio?
14.	¿Qué altura sube una persona que vive en el cuarto piso?
15.	¿Qué altura sube una persona que vive en el sexto piso?
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22
Punto medio y el segmento de recta
Conceptos básicos¡Tú puedes!
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1.	 Sobreunarectasetienenlospuntosconsecutivos
"A", "B", "C" y "D". Si: AB = CD y AD + BC = 16,
calcular "BD".
2.	 En una recta se ubican los puntos consecutivos
"A", "B" y "C". Si: AB + AC = 28, calcular
"AM", siendo "M" punto medio de BC.
3.	 Sobreunarectasetomanlospuntosconsecutivos
"A", "B", "C" y "D". Calcular "AD", si: AC = 12µ
y AD + CD = 28µ.
4.	 Sobreunarectaseubicanlospuntosconsecutivos
"A", "B", "C" y "D". Si: AC + BD = 64µ, calcular
"PQ", siendo "P" y "Q" puntos medios de AB y
CD respectivamente.
5.	 En una recta se ubican los puntos consecutivos
"P", "Q", "R" y "S". Si "M" es punto medio de
PS, PQ + RS = 17 m y QM - MR = 3 m,
calcular "RS".
1.	 Si: AC = 40 cm; BD = 60 cm y AD = 90 cm,
hallar "BC".
DB CA
	
2.	 Si: AB = 11 cm; BD = 28 cm y "C" es punto
medio de BD, hallar "AC".
DB CA
3.	 Si: PM = 58; TM = 34 y "Q" es punto medio de
PT, hallar "QM".
MQ TP
4.	 Si: AC = 24; CB = 50 y "M" es punto medio de
AB, hallar "CM".
BC MA
5.	 Si: AB = 18; BC = 32, "M" y "N" son puntos
medios de AB y AC , hallar "MN".
CBM NA
6.	 ¿Cuántos segmentos hay?
QFE TP
7.	 Si: AB = 42; BC = 19; CD = 64 y "M" y "N"
son puntos medios de AB y CD, hallar "MN".
DBM C NA
8.	 Si: AE = 26; EF = 32; FH = 48 y "M" es punto
medio de EF, hallar "MH - AM".
HE M FA
9.	 Si: PE = MT = 38; EF = 11 y PT = 127, hallar "FM".
TE F MP
10.	Si: AB = 7u y BC = 19u, hallar "PQ", siendo
"P" y "Q" puntos medios de AB y BC.
CP B QA
11.	Si: AR = 27 cm; TQ = 32 cm y TR = 18 cm,
hallar "AQ".
QT RA
12.	Si: EN = 48; EM = 26 y "N" es punto medio de
MF, hallar "EF".
FM NE
13.	Si "E" es punto medio de AF y AG = 60u,
calcular "x".
A E F G
3xx
14.	Si "R" es punto medio de PT y PT = 70u,
calcular "PQ".
P Q R T
2x 3x
15.	Si "C" es punto medio de AD y AD = 160 cm,
calcular "x".
A B C D
5x 3x
Central: 619-8100
23
4
Unidad ICentral: 619-8100
Comunicación matemática
•	 Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
	 1.	 Por un punto pasan infinitas rectas.............................................................................. (	)
	 2.	 Por dos puntos solamente pasa una recta..................................................................... (	)
	 3.	 Dos rayos con el mismo origen y en sentidos opuestos forman una recta.................... (	)
	 4.	 Si un punto tiene igual distancia a los extremos de un segmento de recta, entonces es.	
necesariamente el punto medio................................................................................... (	)
	 5.	 Los puntos que pertenecen a una misma recta se llaman colineales............................. (	)
•	 Completar las siguientes proposiciones correctamente, usando los términos del recuadro mostrado:
	 6.	 Los elementos ................................... son tres y no tienen ...................................
	 7.	 El punto ................................ de un segmento de ........................... pertenece a dicho segmento y
........................ igual distancia a los ................................. del segmento.
	 8.	 Dos segmentos de recta son ................................... y colineales si ................................... a una
misma recta y tienen un ................................... en común.
extremos   -   medio   -   plano   -   congruentes
consecutivos - geométricos - calculan
punto - pertenecen - tiene - recta - medida
•	 Completar correctamente los recuadros adjuntos a cada gráfico:
	
	9.	
		
BC < ...............
CA
B
3 cm
1
cm
	10.
		
AC = ...............
CB
3 cm 1 cm
A
Conceptos básicosAprende más...
Recordando lo aprendido
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24
Recordando lo aprendido
Conceptosbásicos ¡Tú puedes!
Resolución de problemas
11.	Calcular el máximo número de puntos de corte
entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes.
12.	Calcular el máximo número de puntos de corte
entre dos rectas paralelas y tres rectas secantes.
13.	Calcular el máximo número de puntos de corte
entre dos circunferencias y tres rectas paralelas.
14.	Si: AB = 28u; BC = 12u y "P" y "Q" son puntos
medios de AC y BC respectivamente, calcular
"PQ".
CP B QA
15.	Si "M" y "N" son puntos medios de EN y EQ
respectivamente, calcular "MN", si además:
EQ = 60u
QM NE
16.	Si: PE = 78u; PR = 32u; QE = 60u y "M" es
punto medio de QR, calcular "MR".
ERQ MP
17.	Si: AB = DE = x ; BC=3x; CD = 5x y AE = 130u,
calcular "AC".
EDB CA
18.	Si: AB + AC = 96u y BC = 54u, calcular "AB"
CBA
19.	 Si: PQ - QR = 31u y PR = 59u, calcular "QR".
RQP
20.	Si: EQ = 80u; PF = 140u y EF = 170u, calcular
"MN", si además "M" y "N" son puntos medios
de EP y QF.
FQ NM PE
1.	 En una recta se marcan los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D", "E", "F", "G" y "H". Calcular el
máximo número de segmentos determinados.
2.	 Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C", tal que: AC + BC = 68u y "M" es
punto medio de AB. Calcular "MC".
3.	 Se tienen los puntos colineales "P", "Q" y "R" (PQ > QR) tal que: PQ - QR = 18u. Calcular "MQ",
siendo "M" punto medio de PR.
4.	 Se tienen 10 rectas secantes. Calcular el máximo número de puntos de corte.
5.	 Calcular el máximo número de puntos de corte entre 12 rectas  paralelas y 10 rectas secantes.
Central: 619-8100
25
4
Unidad I
Conceptosbásicos Practica en casa
18:10:45
1.	 Calcular el máximo número de puntos de corte
entre dos triángulos.
2.	 Calcular el máximo número de puntos de corte
entre cuatro rectas secantes.
3.	 Calcular el máximo número de puntos de corte
entre cinco rectas secantes.
4.	 ¿Cuántos puntos de corte hay entre el triángulo
ABC y la circunferencia?
B
CA
5.	¿Cuántos puntos de corte hay entre las
circunferencias y las rectas paralelas?
6.	 Si: AD = 58 cm, calcular "x".
A B C
x 18 cm 3x
D
7.	 Si: AB = 11u; BC = 39u y "M" y "N" son puntos
medios de AB y BC respectivamente, calcular
"MN"
A M B N C
8.	 Si: PF = 59u y EF = 21u, calcular "MF", siendo
"M" el punto medio de PE.
P M E F
9.	 Si: AD = 48u y BC = 15u, calcular: a + b
A B C D
a b
10.	Si: AB = 12u; BC = 10u; CD = 18u y "M" es
punto medio de BD, calcular "AM".
A B C DM
11.	Si: AM = 38u; MP = 54u; PQ = 22u y "N" es
punto medio de AQ, calcular "NP".
A M N QP
12.	Si: AD = 72u, calcular "y"
A B C
y 16u 7y
D
13.	Si: AC + AB = 72u y BC = 50u, calcular "AB"
A CB
14.	Si: QR - PQ = 16u y PR = 60u, calcular "PQ"
P RQ
15.	Si: AB=24u; BC=30u y "M" y "N" son puntos
medios de AB y BC respectivamente, calcular
"MN"
A B CM N
AprendiZajes esperados
UNIDAD 1
E
xisten tres sistemas de medición angular y el sistema que usaremos es el sexagesimal.
Para la elaboración de estos sistemas se tomó como referencia a la circunferencia.
¿Cómo se mide un ángulo?
Todo sobre ángulos
UNIDAD 2
•	 Uso del transportador y compás para la medida angular y trazo de la bisectriz.
•	 Resolver ejercicios sin usar el transportador.
•	 Relacionar ángulos de acuerdo a su medida, tomando como referencia al ángulo recto y al
ángulo llano.
•	 Resolución de problemas gráficos con variables y ecuaciones sobre ángulos consecutivos.
•	 Interpretar enunciados para la elaboración de gráficos sobre segmentos y ángulos.
•	 Elaborar propiedades a partir de ejercicios numéricos.
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Identificando y midiendo
ángulos
Antigüamente; al tomar como base la división del año en 360 días se dividió al círculo en 360 partes,
dando como origen al sistema sexagesimal para la medición angular, que posteriormente sirvió para la
elaboración del reloj.
Las antiguas civilizaciones de Mesopotamia observaron que el Sol parecía desplazarse hacia el Oeste en el
firmamento de una manera regular, con el paso de los días. Este era un descubrimiento sofisticado: primero
crearon un mapa de las estrellas, luego observaron que cada día el Sol salía y se ponía en un intervalo
breve; pero discernible, contra el fondo de las estrellas para completar un circuito completo de todo el
campo de estrellas.
Los egipcios sabían que el Sol tardaba  aproximadamente 360 días, por eso fue que se dividió el círculo
en 360º donde "cada grado representaba la distancia recorrida por el Sol contra el fondo de estrellas en
un día". Sin embargo, los egipcios sabían que el año verdadero tenía 365 días y no 360, el asunto se
complicaba más por el uso de un calendario de 12 meses de 30 días sin añadirles nada.
Hasta los avances de la Aritmética, el año oficial egipcio duraba 360 días y simplemente se declaraban que
los restantes cinco no existían, al menos oficialmente. Este periodo era dedicado a festejos y banquetes con
animales especialmente sacrificados para este periodo.
¿Por qué una vuelta mide 360º?
1º: un grado sexagesimal
360º
1º
12
6
11
5
10
1º
4
9 3
8
2
7
1
En este capítulo aprenderemos:
•	 A diferenciar entre ángulo, medida angular y región angular.
•	 A clasificar a los ángulos de acuerdo a su medida.
•	 A usar el transportador para graficar y/o medir ángulos.
•	 A trazar la bisectriz de un ángulo con el uso del compás y con el uso del transportador.
CAPITULO
27
1
Central: 619-8100 Unidad II
28
Identificando y midiendo ángulos
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Clasificación de ángulos
	 Ángulo agudo
	 Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º.
θº 0º<θº<90º
	 Ángulo recto
	 Es el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendiculares
A
O B
m AOB = 90º
OA OB
Los rayos OA
y OB son
perpendiculares
Observación
Saberes previos
Conceptos básicos
•	
O A
		OA es un .............................
•	 Algunas letras griegas:
	 α	 =	 Alpha
	 β	 =	 Beta
	 θ	 =	 Tetha
•	 Dos rayos opuestos con el mismo origen forman
una ........................................
	
A
O
B
Definición de ángulo
El ángulo es la reunión de dos rayos a través de su origen. La medida del ángulo está dado por la abertura
entre sus lados.
αº
A
B
O
Región
angular
Vértice	:	O
Lados	:	OA y OB
Medida	:	 αº
Elementos
Ángulo AOB	:	 AOB; BOA; AOB; BOA.
Medida del AOB: m AOB = αº
Notación
29
1
Unidad IICentral: 619-8100
Clasificación de ángulos
	 Ángulo agudo
	 Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º.
θº 0º<θº<90º
	 Ángulo recto
	 Es el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendiculares
A
O B
m AOB = 90º
OA OB
Observación
Los rayos OA
y OB son
perpendiculares
	 Ángulo obtuso
	 Se denomina así a los ángulos que sus medidas varían entre 90º y 180º.
αº 90º<αº<180º
	 Ángulo llano
	 Es el ángulo que mide 180º, es decir, que sus lados están en sentidos opuestos.
m AOB = 180º
A BO
180ºRecta
	 Ángulo no convexo
	 Es aquel cuya medida varía entre 180º y 360º.
180º<βº<360º
βº
O
M N
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30
Identificando y midiendo ángulos
ConceptosbásicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
Uso del transportador
Se ubica el transportador coincidiendo el vértice del ángulo con el centro del transportador y a uno de los
lados con uno de los ceros y el otro lado señala el valor del ángulo.
110º
O M
F
E
•	 Con cualquier abertura se traza el
compás obteniéndose los puntos "E" y
"F" .
•	 Luego, tomando como centros a
estos puntos "E" y "F", se trazan
circunferencias con el mismo radio;
obteniéndose el punto "M".
•	 Finalmente, el rayo OM es la bisectriz
del ángulo.
1.	Mide los siguientes ángulos mostrados y
clasifícalos.
Central: 619-8100
31
1
Unidad II
Conceptosbásicos Aprende más...
2.	 Trazar una recta a perpendicular a la recta
mostrada L y que pase por el punto "E".
E
L
3.	 Medir los siguientes ángulos y clasifícalos.
4.	 Traza la bisectriz del siguiente ángulo con el
uso del compás.
5.	 Traza la bisectriz del ángulo mostrado.
6.	 Grafica un ángulo de 120º y traza su bisectriz
con el transportador.
7.	 Grafica un ángulo de 70º y traza su bisectriz
con el transportador.
8.	 Grafica un ángulo de 60º y traza su bisectriz
con el uso del transportador.
9.	 Grafica un ángulo de 140º y traza su bisectriz
con el uso del transportador.
10.	Grafica un ángulo de 200º y traza su bisectriz
con el uso del transportador.
Comunicación matemática
1.	 Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
	 •	 El ángulo de una vuelta mide 360º.....................................................................................(	)
	 •	 El ángulo llano mide 90º....................................................................................................(	)
2.	 Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro.
	 •	 La ................................... de un ángulo divide a éste en ................................... iguales.
	 •	 Dos ángulos que ................................... igual medida se llaman ángulos ...................................
rayo - recta - congruentes - iguales - tienen - bisectriz - medidas - ángulos
3.	 Grafica los ángulos congruentes AOB y PMQ que miden 80º.
4.	 Grafica los ángulos congruentes MON y APB que miden 130º.
5.	 Grafica el ángulo AOB, tal que: m AOB = 230º.
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32
Identificando y midiendo ángulos
Resolución de problemas
6.	 Medir los ángulos internos "A", "B" y "C"
usando el transportador.
A
C
B
7.	 Medir los ángulos en los vértices "A", "B", "C" y
"D" usando el transportador.
D
A
B
C
8.	 Medir los: AOB; BOC y AOC usando el
transportador.
O C
BA
9.	 Medir los: AOB; BOC; COD y AOD
usando el transportador.
A
D C
B
O
10.	Medir los: AOB; BOC y COD usando el
transportador.
C
B
D
O
A
Recta
11.	 Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal
que: m AOB = 100º y m BOC = 60º. ¿Cuánto
mide el ángulo AOC?  (Usar el transportador)
12.	 Graficar los ángulos consecutivos PQM y MQN
talque:m PQM=70ºym MQN=50º. ¿Cuánto
mide el ángulo PQN? (Usar el transportador)
13.	Usando el compás, trazar la bisectriz del ángulo
AOB. Luego ubicar a un punto "P" de dicha
bisectriz y medir las distancias de "P" a los lados
OA y OB
O
A
B
Aplicación cotidiana
•	 Las agujas del reloj (horario y minutero) son observadas por Anita
que entusiasmada con el tema de ángulos encuentra que:
14.	Al escuchar la campanita del reloj siendo las 8 a.m en punto, las
agujas forman un ángulo de:
15.	Luego de dos horas vuelve a escuchar la campanita y las agujas del
reloj forman un ángulo de:
http://es.123rf.com
Central: 619-8100
33
1
Unidad II
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptosbásicos ¡Tú puedes!
1.	 Graficar un ángulo no convexo de 240º y luego trazar su bisectriz usando el transportador.
2.	 Graficar un ángulo no convexo cualquiera y luego trazar su bisectriz con el uso del compás.
3.	 Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC que miden 120º y 100º respectivamente. Luego trazar
la bisectriz OM del ángulo AOC.
4.	 En el problema anterior, calcular: m MOB.
5.	 Trazar las bisectrices de los ángulos AOB y BOC, usando el compás. Luego mide el ángulo formado
por dichas bisectrices.
A O C
B
•	 Graficar y clasificar a los siguientes ángulos (usa
el transportador)
1.	35º
	
2.	65º
	
3.	104º
4.	170º
5.	28º
6.	126º
7.	58º
	
8.	220º
•	 Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC.
Luego, calcular m AOC. (Usa el transportador)
9.	m AOB = 30º y m BOC = 60º
10.	m AOB = 40º y m BOC = 80º
11.	m AOB = 20º y m BOC = 70º
12.	m AOB = 80º y m BOC = 70º
13.	m AOB = 110º y m BOC = 90º
14.	m AOB = 130º y m BOC = 80º
	
15.	m AOB = 100º y m BOC = 50º
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34
Ordenamiento lineal y circular
Se cree que el alfabeto griego deriva de
una variante del fenicio, introducido
en Grecia por mercaderes de esa
nacionalidad. El fenicio, como los
alfabetos semíticos posteriores, no
empleaba signos para registrar las
vocales; para salvar esta dificultad,
que lo hacía incompleto para la
transcripción de la lengua griega,
los griegos adaptaron algunos signos
utilizados en fenicio para indicar
aspiración para representar las vocales.
Este aporte puede considerarse
fundamental; la inmensa mayoría de
los alfabetos que incluyen signos
vocálicos se derivan de la aportación
original griega. Además de las
vocales, el griego añadió tres letras
nuevas al final del alfabeto: fi y ji, para
representar sonidos aspirados que no
existían en fenicio, y psi.
En el Álgebra se usan variables como
"x", "y" y "z" para señalar valores
numéricos, en general trabajando
básicamente con las operaciones.
En Geometría para señalar valores
angulares no conocidos se utilizan
letras griegas como: "α";"β";"θ" y "δ";
etc
Operaciones con ángulos
En este capítulo aprenderemos:
•	 A relacionar ángulos por sus lados
•	 A graficar ángulos sin el uso del transportador comparando al ángulo recto y 		
	 ángulo llano.
•	 A sumar y restar medidas de ángulos consecutivos.
2
A	 α	 alfa			N	ν	 ni
B	 β	 beta		Ξ	 ξ	 xi
r	 γ	 gamma		 O	 o	 ómicron
∆	 δ	 delta	 	 ∏	 π	 pi
E	 ε	 épsilon		 P	 p	 ro
Z	 ζ	 dseta	 	 ∑	 σ	 sigma
H	 η	 eta			T	τ	 tau
Θ	 θ	 zeta			 ϒ	 υ	 ipsilon
I	 ι	 iota			 Φ	 ϕ	 fi
K	 κ	 kappa		 X	 χ	 ji
Λ	 λ	 lambda		 Ψ	 ψ	 psi
M	 µ	 mi			 Ω	 ω	 omega
Geometría
Central: 619-8100
35
Unidad II
Saberes previos
Conceptos básicos
•	 Rectas ..................................................	
•	 Rectas...................................................	
•	 Una vuelta mide...................................	
•	 El ángulo POQ mide.............................	
P
QO
•	 El ángulo llano AOB mide....................	
OA B
Ángulos opuestos por el vértice
Son los ángulos que se forman al trazar dos rectas secantes.
	
M αº
αº
N
F
E
A
Vértice
Los ángulos MAN y EAF son
opuestos por el vértice
m MAN = m EAF = αº
	
θº
B
P Q
A C
Vértice
θº
Los ángulos PBQ y ABC son
opuestos por el vértice
m PBQ = m ABC = θº
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36
Operaciones con ángulos
Ángulos consecutivos
Son dos, tres o más ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común respectivamente.
En el gráfico:
m AOC = 40º + 60º = 100º40º 60º
O
C
B
A
AOB y BOC son consecutivos o adyacentes
En el gráfico:
m POR = 50º + 70º = 120º
m QOS = 70º + 20º = 90º
O
S
Q
R
20º
70º
50º
P
POQ; QOR y ROS son consecutivos
En el gráfico:
m POR = 35º + 65º = 100º
m ROS = 180º - 100º = 80ºO S
Q
R
65º
35º
P
Recta
POQ; QOR y ROS son consecutivos.
	 Suma y resta de ángulos consecutivos usando variables.
	
B
βºαº
A
C
O
yº
yº = αº + βº
βº
αº
αº + βº = 90º
Central: 619-8100
37
2
Unidad II
ConceptosbásicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
xº = bº – qº
O
θº
βºxº
A
B
C
m AOB = 180º - θº
A O C
B
180º – θº
θº
xº
90º – xº
Q
RO
P
m QOR = 90º - xº
O
αº
βº
θº
αº+ βº + θº = 180º αº+ βº + θº + ωº = 360º
ωº βº
αº
qº
1.	 Calcular "xº", si: m AOF = 18º
	
O
E
B
F
A
2xº
xº
2.	 Si: m EOF = 130º; m EON = 100º y OM es
bisectriz del ángulo NOF, calcular: m EOM
O
M
F
N
E
3.	Si OM es bisectriz del ángulo AOB y
m BOC = 32º, calcular: m MOC.
COA
M
B
4.	 Si: m MOA = 48º y m MOQ = 142º, calcular:
m NOQ, si OA es bisectriz del ángulo MON
	 QO
A
M
N
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38
Operaciones con ángulos
Conceptos básicosAprende más...
5.	 Calcular "xº"
4xº
xº
6.	 Si: m AOB = 38º; m BOC = 72º y OM es
bisectriz del ángulo AOC, calcular "θº".
O
A
B
θº
M
C
7.	 Si: m AOB = 28º; m BOC = 102º y ON es
bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON
O
A
B N
C
8.	 Si: m EOF = αº y m FOH = 5αº, calcular "αº"
F
E O H
9.	 Calcular "αº".
αº
8αº
10.	Calcular "αº".
80º 4αº
αº
Comunicación matemática
1.	 Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
	 •	 La medida de un ángulo llano es el doble de la medida de un ángulo recto.......................... (	)
	 •	 La bisectriz de un ángulo es un rayo que divide en medidas iguales a dicho ángulo.............. (	)
2.	 Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:
	 •	 Dos ángulos .......................................... por el vértice, tienen sus .......................................... en
sentidos opuestos y sus medidas son ...........................................
	 •	 Dos rectas secantes y .......................................... forman cuatro ángulos ......................................
consecutivos.
perpendiculares - paralelas - llanos - rectos - opuestos
- iguales - consecutivos - lados - ángulos
Central: 619-8100
39
2
Unidad II
	 Completar las relaciones, según los gráficos:
3.	
m AOE = ........ − ........
A O
βº
E
B
	 	
4.	
m FOM = ........ − ........
E O M
F
αº
		
5.
αº + βº + θº + ωº = ........
θº
βº
αº
ωº
Resolución de problemas
6.	 Si: m COD = 23º, calcular: m AOB.
A O
C
B
D
7.	 Si: m AOC = 74º; m BOC = 22º y OM es
bisectriz del ángulo AOB, calcular: m MOC.
A
M
B
O
C
8.	Si: m AOB=42º; m BOC=90º y ON es
bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON.
O
A
B N
C
9.	 Calcular "αº"
2αº
4αº
3αº
αº
A B
C
D
O
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40
Operaciones con ángulos
Conceptosbásicos ¡Tú puedes!
10.	Calcular "xº", si: m AOD = 148º.
A
O
C
B
Dxº
68º3xº
11.	Si OM y ON son bisectrices de los ángulos
AOB y COD, calcular: m BOC
A
M
B
C
N
26º
DO
34º
12.	 OM y ON son bisectrices de AOt B y COt D. 	
Si: m AOB=36º, calcular: m MON
A
B
M
C
N100º
DO
13.	Si OE y OF son bisectrices de AOt C y BOt C,
calcular: m EOF
A
F
B
E
30º
C
O
Aplicación cotidiana
•	 Una puerta metálica levadiza de la cochera de una casa
está decorada y asegurada por varillas que forman ángulos
consecutivos congruentes.
14.	¿Cuántos ángulos consecutivos, congruentes y menores se han
formado?
15.	¿Cuánto mide cada ángulo menor?
1.	 Si: m BOC = 80º; OM y ON son bisectrices de
los ángulos AOB y COD, calcular la m MON.
DA
M
B
C
N
O
2.	 Calcular "xº", si: m AOC + m BOD = 130º.
xº
A
B
C
DO
Central: 619-8100
41
2
Unidad II
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
3.	 Se tiene dos ángulos consecutivos POQ y QOR.
Se traza OM bisectriz del ángulo POQ.
	 Si: m POR + m QOR =140º, calcular la          
m MOR.
4.	 Si: m AOB - m BOC = 70º, calcular la                
m MOB. Además OM es bisectriz del ángulo
AOC.
B
C
M
A
O
5.	 Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC
de tal manera que el ángulo AOB mide 50º.
Calcular la medida del ángulo formado por las
bisectrices de los ángulos AOC y BOC.
1.	 Si: m AOB = 20°  y  m AOC = 100°, calcule:
m BOC.
B C
O
A
2.	 Si:m AOD=120º,m BOC=70ºym COD=30º,
calcule: m AOB.
OA
B
C D
3.	 Calcule "α°"
32º αº
4.	 Calcule "x°"
4xº
xº
5.	 Calcule "x°", si: m AOD = 110°.
50º
2xº
xº
O
A
B
C
D
6.	 Calcule "x°"
120º
3xºxº
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42
Operaciones con ángulos
7.	 Si: m AOC=120°, m BOC=20° y OM es
bisectriz del ángulo AOB, calcule: m MOC.
C
O
B
M
A
8.	 Si: m POQ=100°, m QOR=40° y OM es
bisectriz del ángulo POR, calcule: m MOQ.
P
M Q
O
R
9.	Si OM es bisectriz del ángulo AOC y ON es
bisectriz del ángulo BOC, calcule: m MON, si
además: m BOC=40º.
A
M B N
C
O
10.	Si: m AOB=36°, OM y ON son bisectrices
de los ángulos AOB y COD, calcule: m MON.
A O D
N
C
B
M
11.	Calcular: m BOC.
A
B C
D
5xº3xº
2xº
O
8xº
12.	Calcule "xº", si:   m AOC=158º y OM es
bisectriz del ángulo BOC
64º
xº
A
B
M
C
O
13.	Si OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule "θ°".
O
A
M
48º θº
5θº
B
C
14.	Calcule "β°"
A
B
C
38º
βº
64º
Recta
DO
15.	Si: m AOB = 30°  y  m BOC = 80º y además
OM es bisectriz del AOt C, calcule m BOM.
O
A
B
M
C
Central: 619-8100 Unidad IICentral: 619-8100
Conceptos básicos
3
43
¿Qué es generalizar?
¿Qué es para ti una fórmula?
1
2
3
n
........
"n" puntos segmentos
( )n n
2
1-
1
2
3
3 puntos 3 segmentos 4 puntos 6 segmentos
1
2
3
4
En la Aritmética, estudiamos a los números haciendo operaciones que resuelven problemas diversos de la
vida cotidiana como compra, venta, edades, etc.
En el Álgebra, el concepto de cantidad es mucho más amplio utilizando letras para representar a las
cantidades conocidas y desconocidas. Una fórmula algebraica surge justamente de la generalización que
implica la representación de cantidades por letras.
En nuestro curso de Geometría, empleamos claramente estos conceptos básicos y en estos dos capítulos es
importante entenderlo y dominarlo para aplicarlo en capítulos más complejos.
Solo con enunciados
En este capítulo aprenderemos:
•	 A interpretar un enunciado con términos geométricos de segmentos de recta y ángulos.
•	 A graficar problemas para su resolución conociendo sus valores o usando variables.
•	 A representar mediante una ecuación la suma y resta de segmentos y ángulos.
•	 "Q" es punto medio de AN
A Q N
a a
	
•	 Puntos y segmentos consecutivos y
colineales.
A B C
a
yb
D
AB	= a – b
AD=a+y
Recuerda que...
44
Solo con enunciados
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•	
	
•	 Suma y resta de ángulos consecutivos.
	
m AOB = θº - βº
m AOD = θº + αº
O
A B C
βº
θº
αº
D
E
F
A
αº
αºO
OF es bisectriz del ángulo AOE
1.	 Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos "A", "B" y "C" tal que: AC = 25u. Calcular la
longitud del segmento que une los puntos medios de AB y BC.
	 Resolución:
	
	 Se ubican arbitrariamente a los puntos medios "M" y "N" de AB y BC respectivamente. Como no se
conocen los valores de AB y BC se ponen letras.
	
A M B
25u
N C
a a b b
	 •	 Del gráfico: 2a + 2b = 25u, simplificando:  a + b = 12,5u
	 •	 Nos piden: MN = a + b
				 ∴ MN = 12,5u
Ejemplos
2.	 Se tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC; tal que: m AOC = 128º. Calcular la medida del
ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y BOC.
	 Resolución:
	 O
P
A
B
xº
Q
αº
θº
θº
αº
C
	 •	 Se trazan las bisectrices OP y OQ, siendo el ángulo POQ el pedido en el ejercicio.
	 •	 Sumando ángulos consecutivos:
		2θº	+	 2αº	=	 m AOC
		2θº	+	 2αº	=	 128º
		θº	 +	 αº	 =	 64º
	 •	 Finalmente: m POQ = xº y del gráfico:
	 	    xº	=	 αº	 +	 θº
		∴xº	=	 64º
Recuerda que...
45
3
Central: 619-8100 Unidad II
ConceptosbásicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
Conceptos básicosAprende más...
1.	 Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos
"A"; "B" y "C" tal que: AB = 32u y AC = 46u.
Calcular "AM", siendo "M" punto medio de BC.
2.	 Se tienen los puntos colineales "P"; "Q" y "R",
tal que: PQ = 56u y QR = 38u. Calcular "MQ",
siendo "M" el punto medio de PR.
3.	 AE y EF son segmentos colineales y consecutivos
tal que: AE=36u y AF=78u. Calcular "MN",
siendo "M" y "N" puntos medios de AE y EF
respectivamente.
4.	 PQ y QR son segmentos colineales y
consecutivos tal que: PQ = 84u y QR = 62u.
Calcular "EQ", siendo "E" el punto medio de
PR.
5.	 Sobreunarectaseubicanlospuntosconsecutivos
"A", "B", "C" y "D" tal que: AB=20u; BC=16u
y CD=34u. Calcular "MN", siendo "M" y "N"
puntos medios de AB y CD respectivamente.
6.	 Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC,
tal que: m AOB = 76º y m BOC = 48º. Calcular
m BOM, siendo OM bisectriz del AOt C.
7.	 Se tienen los ángulos consecutivos POQ y QOR,
tal que: m POR=140º y m POQ=110º. Calcular
m POE, siendo OE bisectriz del QOR.
8.	 Dados los ángulos consecutivos AOB; BOC y
COD, tal que: m AOB=m BOC=m COD y
m AOD=144º. Calcular: m BOD.
9.	 Dados los ángulos consecutivos POQ y QOR,
tal que: m POQ=2 m QOR y m POR=126º.
Calcular: m QOR.
10.	Dados los ángulos consecutivos MON y NOE,
tal que: m MON=3 m NOE y m MOE=128º.
Calcular: m NOE.
Comunicación matemática
1.	 Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:
	 •	 Dos segmentos de ..................................... y dos ángulos se ..................................... congruentes
si tienen sus ..................................... iguales respectivamente.
	 •	 La menor ..................................... entre dos puntos en el espacio está representado por la ...........
.......................... del segmento de recta que ..................................... a dichos puntos.
distancia - medidas - recta - punto
une - plano - denominan - longitud
2.	 Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
	 •	 El ángulo de una vuelta mide 360º....................................................................................... (	)
	 •	 El ángulo no convexo es mayor de 90º y menor que 180º.................................................... (	)
	 •	 Los ángulos opuestos por el vértice suman 180º................................................................... (	)
3.	 Trazar dos rectas perpendiculares y luego las rectas bisectrices de los ángulos rectos formados con el
transportador. ¿Qué observas?
4.	 Graficar un ángulo agudo cualquiera, luego con el uso del compás traza su bisectriz. Mide las distancias
de un punto cualquiera de la bisectriz hacia los lados del ángulo. ¿Qué observas?
5.	 Grafica un segmento de recta de cualquier longitud, luego ubica a su punto medio con el uso del compás. ¿Qué
se obtiene al dividir la longitud de uno de los segmentos obtenidos entre la longitud del segmento inicial?
46
Solo con enunciados
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Conceptos básicos¡Tú puedes!
Resolución de problemas
6.	Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos "A", "B" y "C" tal que: AB = 86u
y BC =58u. Siendo "M" punto medio de AC,
calcular "BM".
7.	Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos "P", "Q" y "R" tal que: PR=68u
y PQ=22u. Calcular la distancia entre "P" y el
punto medio de QR.
8.	 Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C"
y "D" tal que: AB=18u, BC=24u y CD=30u.
Calcular la longitud del segmento que une los
puntos medios de AB y CD.
9.	 Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y
"D" tal que: AC = 36u, BD = 48u y BC = 10u.
Calcular la longitud del segmento que une los
puntos medios de AB y CD.
10.	Se tienen los ángulos consecutivos AOB y
BOC tal que: m AOB=68º y m AOC=138º.
Calcular la medida del ángulo formado por OA
y la bisectriz del ángulo BOC.
11.	Se tienen los ángulos consecutivos POQ y
QOR que miden 100º y 50º respectivamente.
Calcular el ángulo formado por OQ y la
bisectriz del ángulo POR.
12.	Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC
y COD que suman 180º. Si: m AOB=38º y
m COD=76º, calcular: m BOC.
13.	En el ejercicio anterior, calcular la medida del
ángulo formado por las bisectrices de AOt B y
COt D.
Aplicación cotidiana
•	 Alejandrita es aficionada a la carpintería ya que ayuda a su papá en la elaboración de un mueble para su
cuarto. El papá le dice a Alejandrita que corte con una sierra la madera mostrada de 2 metros de longitud
en tres partes, tal que la menor parte mida 40 cm y la mayor parte exceda a la parte intermedia en 20 cm.
1.	 Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D" tal que: AC=42u; BD=78u y CD=3(AB).  	
Calcular "AB".
2.	 Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R" y "S" tal que: PR + QS = 124u. Calcular: PS + QR.
3.	 Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m BOC - m AOB = 48º. Calcular la medida
del ángulo formado por OB y la bisectriz del ángulo AOC
4.	 Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 90º. Calcular la medida del ángulo
formado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOC.
5.	 Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que forman un ángulo llano. Calcular la medida
del ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD. Además: OB OC.
14.	¿Cuántos cortes realiza Alejandrita?
15.	¿Cuánto miden las otras dos partes?
2 metros
47
3
Central: 619-8100 Unidad II
Conceptosbásicos Practica en casa
18:10:45
1.	 Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y
"D". Si: AC = 21u; BD = 28u y AD = 30u,
calcular "BC".
	
2.	 Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y
"D". Si: AC = 19u; BD = 24u y AD = 27u,
calcular "BC".
3.	 Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R",
"S" y "T". Si: PQ = QR; RS = ST; PR = 12u y
RT = 20u, calcular "QS".
4.	 Calcular "PM", siendo "M" punto medio de QR.
P
18u
22u
30u
RQ S
	
5.	 Calcular "x", si: AM = MD; AC = 5m y AD = 16m.
	 A C M D
x
	
6.	 Sobre una recta se dan los puntos consecutivos
"P", "Q", "R" y "S" tal que "Q" es punto medio de
PR. Si: PR=30 m y RS=10 m, hallar "QS".
	
7.	 Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos
"P", "Q", "R" y "S", tal que: PR=10 m; QS=12 m
y QR=4 m. Calcular "MN", siendo "M" y "N"
puntos medios de PQ y RS.
	
8.	 Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y
"D". Si: AB=BC; AC=CD y AD=48u, calcular
"BC".
9.	 Del gráfico mostrado, calcular "MN", siendo
"M" y "N" puntos medios de AC y BD
respectivamente.
	
18u
12u 8u
A CB D
	
10.	Calcular "xº".
	
2xº
40º
	
11.	Calcular "xº".
	
3xº 2xº
12.	Calcular "xº".
	
3xº + 5º 4xº - 10º
	
13.	Calcular "xº".
	
2xº - 15º 2xº + 15º
60º
14.	Calcular "xº".
	
2xº - 10º 3xº + 10º
	
15.	Calcular "xº".
4xº
A
B
C
xº + 10º
O
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48
Complemento y suplemento de un ángulo
Complemento y suplemento de
un ángulo
En este capítulo aprenderemos:
•	 A comparar la medida de un ángulo con el ángulo recto y el ángulo llano.
•	 A relacionar gráficamente y algebraicamente el complemento y suplemento de un
ángulo.
•	 A identificar a dos ángulos complementarios y suplementarios.
Torre de Pisa
La  torre de Pisa (Italia) se construyó verticalmente,
pero por lo débil de los cimientos de la torre
se produjo una ligera inclinación dejando
la torre en tres pisos. Después de 100 años
aproximadamente se reinició la construcción
de los cuatro pisos restantes con la finalidad de
corregir la inclinación pero la torre se inclinó
más.
Desde el 2001 se reabrió el acceso al público
ya que no existe riesgo alguno.
Actualmente se hacen edificaciones con
inclinaciones gracias a la tecnología, lo cual le
da un aspecto de modernidad.
•	 ¿Qué ángulo está inclinada la torre de
Pisa?
•	 ¿La inclinación de la torre de Pisa fue
adrede?
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CAPITULO
4
Geometría
Central: 619-8100
49
Unidad II
Conceptos básicos
Saberes previos
•	 El ángulo recto AOB mide ......................	
O
A
B
•	 Una recta se grafica idénticamente a un ángulo	
180º
•	 5 – [12 + (8 - 2)] = ...........................................
	 16 – [24 – (12 – 5)] = ...........................................
	 2x – [6x + 10x – (6x – 3x)] = ...........................................
	 18a – [12a – 3(4a – a)] = ...........................................
.............................................
Definición de ángulos complementarios
Son aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 90º.
O
A
αº
B
E
H
F
θº
αº + θº = 90º
	
Los ángulos AOB y EFH son complementarios.
Definición de ángulos suplementarios
Son aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 180º.
Φº + ωº = 180º
P
ωº
R
Q
Φº
N
M
O
	
Los ángulos MON y RPQ son suplementarios
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50
Complemento y suplemento de un ángulo
Complemento de un ángulo
Es el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 90º
Complemento de 30º = 90º - 30º
Complemento de 30º = 60º
C30º = 60º
30º
Complemento de 50º = 90º - 50º
Complemento de 50º = 40º
C50º = 40º
50º
qº
Cqº
Complemento de "qº":
Cqº = 90º – qº
Suplemento de un ángulo
Es el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 180º.
Suplemento de 40º = 180º - 40º
Suplemento de 40º = 140º
S40º = 140º
40º
Suplemento de 60º = 180º - 60º
Suplemento de 60º = 120º
S60º = 120º
60º
Suplemento de 100º = 180º - 100º
Suplemento de 100º = 80º
S100º = 80º
100º
Suplemento de 130º = 180º - 130º
Suplemento de 130º = 50º
S130º = 50º
130º
Suplemento de ωº = Sωº = 180º - ωº
ωº
Sωº
Los ángulos de referencia son los de 90º y 180º de tal manera que al conocer un ángulo
agudo u obtuso se pueden relacionar con dichos ángulos.
Ten en cuenta
Central: 619-8100
51
4
Unidad II
ConceptosbásicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
Para combinar operaciones con el complemento y suplemento de un ángulo se usan términos
prácticos como por ejemplo:
1.	 Si nos piden:
	 •	 Calcular el complemento de 40º y luego el suplemento del resultado.
	 La solución es:	 C40º
= 90º - 40º = 50º
	 				S50º
= 180º - 50º = 130º
	 Respuesta: 130º
	 •	 En forma práctica: Calcular el suplemento del complemento de 40º.
	 La solución es:	 SC40º
= 180º - (90º - 40º)
					SC40º
= 180º -       50º
				 ∴ SC40º
= 130º
2.	 Si nos piden:
	 •	 Calcular el complemento del resultado del suplemento de 110º.
	 La solución es:	 S110º
= 180º - 110º = 70º
					C70º
= 90º - 70º = 20º
	 Respuesta: 20º
	 •	 En forma práctica:
						
					CS110º
= 90º - (180º - 110º)
					CS110º
= 90º -        70º
					CS110º
= 20º
1.	 Calcular el complemento de 53º.
2.	 Calcular el suplemento de 81º.
3.	 Calcular la suma entre el complemento de 10º
y el suplemento de 100º.
4.	 Calcular la suma entre el complemento de 30º
y el suplemento de 70º.
5.	 Calcular la diferencia entre el suplemento de
70º y el complemento de 50º.
6.	 Calcular la diferencia entre el suplemento de
50º y el complemento de 50º.
7.	 Calcular la suma entre el suplemento y el
complemento de 60º.
8.	 Calcular la diferencia entre el suplemento y el
complemento de 80º.
9.	 Calcular el complemento del suplemento de 125º.
10.	 Calcular el suplemento del complemento de 75º.
Ten en cuenta
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52
Complemento y suplemento de un ángulo
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática
1.	 Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
	 •	 Dos ángulos complementarios tienen que ser consecutivos..................................................(	)
	 •	 Tres ángulos que miden 30º; 40º y 110º son suplementarios................................................(	)
2.	 Completar correctamente las siguientes proposiciones, con los términos del recuadro mostrado:
	 •	 Para que un ángulo tenga ................................., tiene que ser menor o ................................. a 90º
y para que un ................................. tenga suplemento ................................. que ser ...................
.............. o igual a 180º.
	 •	 El complemento de un ángulo ................................. es cero y el ................................. de un
ángulo llano también es .................................
ángulo - recto - suplemento - complemento
consecutivos - cero - igual - tiene - mayor
menor - llano - centro
3.	 Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios.
4.	 Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios.
5.	 Completar los recuadros, según los gráficos:
θº
...... − ......
...... − ......
αº
Resolución de problemas
6.	 Calcular el complemento del suplemento de
124º.
7.	 Calcular el suplemento del complemento de
72º.
8.	 Calcular la suma entre el suplemento y el
complemento de 68º.
9.	 Calcular la diferencia entre el suplemento y el
complemento de 57º.
10.	Calcular la diferencia entre el complemento de
14º y el suplemento de 158º.
11.	Calcular el suplemento del suplemento de
131º.
12.	Calcular la medida de un ángulo, si su
complemento es 35º.
13.	Calcular la medida de un ángulo, si su
suplemento es 128º.
14.	Si "xº" es la medida de un ángulo y el
complemento de "xº" es 39º, calcular "xº".
15.	 Si "θº" es la medida de un ángulo y el suplemento
de "θº" es 63º, calcular "θº".
Central: 619-8100
53
4
Unidad II
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptosbásicos ¡Tú puedes!
1.	 Si el complemento de "xº" es igual al doble de "xº", calcular "xº".
2.	 Si el suplemento de "θº" es el cuádruple de "θº", calcular "2θº".
3.	 Calcular la medida de un ángulo, si la suma de su complemento y su suplemento es 200º.
4.	 Si el suplemento de un ángulo es el cuádruple de su complemento, calcular la medida de dicho
ángulo.
1.	 Calcular el complemento de 26º.
2.	 Calcular el suplemento de 83º.
3.	 Calcular el complemento de 72º.
4.	Calcular el suplemento de 100º más el
complemento de 50º.
5.	Calcular el suplemento de 80º menos el
complemento de 60º.
6.	Calcular el complemento de 70º más el
suplemento de 130º.
7.	 Calcular el complemento del suplemento de
170º.
8.	 Calcular el complemento del suplemento de
118º.
9.	 Calcular el complemento del complemento de
39º.
10.	 Calcular el suplemento del suplemento de 111º.
11.	Calcular el complemento del complemento de
83º.
12.	 Calcular el suplemento del suplemento de 141º.
	
13.	Calcular la suma del complemento y el
suplemento de 25º.
14.	Calcular la diferencia entre el suplemento y el
complemento de 65º.
15.	Calcular la diferencia entre el suplemento y el
complemento de 45º
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54
Ordenamiento lineal y circular
Conceptos básicosAprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
Repaso bimestral
1.	 Si: BC = 3 (AB) y AC = 72u, calcular "AB".
	 A B C
2.	 Si: PQ = 5 (QR) y PR = 54u, calcular "QR".
	 P Q R
3.	 Si: AB=36u; BC=42u y CD=54u, calcular
"MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB
y CD.
	 A C DB
4.	 Calcular "αº"
42º
αº
2αº
5.	 Calcular "xº".
5xº - 26º 2xº + 19º
6.	 Calcular "2θº"
74º
3θº
θº
7.	 Si: m AOC = 104º; m BOD = 118º y                      
m BOC = 60º, calcular: m MON. (OM y ON
son bisectrices de los ángulos AOB y COD.)
	 O
D
C
B
A
8.	 Calcular el suplemento del complemento de
70º más el complemento de 60º.
9.	 Calcular el complemento del suplemento de
160º más el suplemento de 95º.
10.	Calcular el complemento del suplemento de
115º menos el complemento de 85º.
Comunicación matemática
1.	 Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
	 •	 El complemento de 100º es -10º........................................................................................... (	)
	 •	 El suplemento de 200º es -20º............................................................................................... (	)
	 •	 El suplemento de 300º es 60º................................................................................................ (	)
	 •	 Los ángulos que miden 20º; 30º y 40º son consecutivos....................................................... (	)
5
Geometría
Central: 619-8100
55
Unidad II
Resolución de problemas
6.	 Se tienen los puntos colineales "A", "B" y "C"
tal que: BC = AB + 12u y AC = 32u. Calcular
"AB".
7.	 Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R" y
"S" tal que: PQ = 6u; QR = 14u y RS = 36u.
Calcular "QM", si "M" es punto medio de PS.
8.	Se tienen los ángulos consecutivos y
suplementarios AOB y BOC tal que:
m BOC=2 m AOB. Calcular: m AOB.
9.	Se tienen los ángulos consecutivos y
complementarios AOB y BOC tal que:
m AOB = 4 m BOC. Calcular: m BOC.
10.	Calcular la diferencia entre el suplemento del
complemento de 65º y el complemento de 55º.
11.	 Calcular la diferencia entre el complemento del
suplemento de 98º y el complemento de 86º.
12.	Si el suplemento de un ángulo es igual a 116º,
calcular el complemento de dicho ángulo.
13.	Calcular el máximo número de segmentos que
se determinan en una recta al ubicar 21 puntos.
2.	 Completar las siguientes relaciones gráficas:
x
y
A B C
BC = ...... − ...... m MOE = ....... − .......
αº
θº
N
E
M
m AOB = ........ − ........
2ωº
A
C
B
3.	 Graficar dos ángulos opuestos por el vértice agudos.
4.	 Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios, tal que uno de ellos mida 50º.
5.	 Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios, tal que uno de ellos mida 105º.
O
O
Aplicación cotidiana
•	 En un encuentro de fútbol el delantero Waldy lanza un balón de larga distancia al arquero Ronaldo;
pero antes de llegar al arco, el balón da un rebote de tal manera que el ángulo del trayecto del balón
antes del rebote con el campo es el triple del ángulo del trayecto de rebote con el campo y el ángulo
que forman estas trayectorias mide 105º.
http://www.futbolred.com
14.	Calcular las medidas de los ángulos mencionados.
15.	Calcular el complemento del menor de los ángulos
anteriores.
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56
Repaso bimestral
Conceptos básicos¡Tú puedes!
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1.	En AC se ubica el punto "B", tal que: AB - BC = 10u.
Calcular la distancia de "B" al punto medio de
AC. (AB>BC)
2.	 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos
"G", "M", "A" y "B". Calcular "GB", si: GA = 20u
y GB + AB = 50u.
3.	 Calcular "xº", si: βº = 20º.
xº
2βºβº
4.	 Si: m AOC + m BOD = 250º, calcular la         
m BOC.
OA D
C
B
5.	 Si el suplemento del suplemento del suplemento
del complemento del complemento de un
ángulo es 80º, calcular la medida de dicho
ángulo.
1.	 Calcular "x", si: AB = 52.
EA F B
x 12 3x
2.	 Si: PM = 33; MN = 45 y PQ = 98, calcular
"NQ".
MP N Q
3.	 Calcular "x".
EA F D
17 x
78
49
4.	 Si: AB = 14; BC = 16 y CD = 26, calcular
"MN", si "M" y "N" son puntos medios de AB y
CD.
M B CA N D
5.	 Si: m AOC = 148º y m BOC = 82º, calcular
el complemento del ángulo AOB.
B
CO
A
6.	 Si: m AOB = 42º, m BOC = 104º y OM es
bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM.
M
B
CO
A
7.	 Calcular "xº".
xº
3xº
2xº
4xº
Central: 619-8100
57
5
Unidad II
8.	 Calcular el complemento de "αº".
C
B
DA
O
2αº 100º αº
139º
9.	 Calcular el complemento de 16º más el suple-
mento de 128º.
	
10.	Si: AQ = 48 cm; NP = 72 cm y AP = 96 cm,
calcular "NQ".
N Q PA
11.	Calcular "MN", si: AB=18; BC=40 y "M" y "N"
son puntos medios de AB y AC.
M B NA C
12.	Calcular "BE", si: AC = 18.
	
B CA
x 2x 4x
E
13.	Si: m AOB = 46º; m BOC = 72º y OM es
bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM.
B
M
CO
A
14.	Calcular el suplemento de "αº".
48º
2αº
αº
15.	Si: m AOB = 44º; OM y ON son bisectrices
de los ángulos AOB y AOC, calcular: m MON.
C
N
O
B
M
A
AprendiZajes esperados
UNIDAD 1
L
a base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que
los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y
crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos
Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros)
ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos.
¿Cuál es la etimología de Geometría?
¿Qué estudia la Geometría?
¿Qué es postulado?
Conociendoalageometría
UNIDAD 1
•	 Reconocer y relacionar  figuras y elementos geométricos.
•	 Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte.
•	 Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables.
•	 Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás.
•	 Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables.
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Geometría
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1
Ángulos determinados entre
dos rectas paralelas y una
secante
En este capítulo aprenderemos:
•	 A definir y graficar dos rectas paralelas.
•	 A reconocer los ángulos alternos internos entre dos rectas paralelas.
•	 A plantear las propiedades correspondientes a los ángulos alternos internos.
•	 A reconocer los ángulos correspondientes determinados entre dos rectas paralelas.
•	 A plantear  las propiedades relacionadas a los ángulos correspondientes.
•	 A desarrollar diversos problemas.
El Partenón
El diseño del Partenón estuvo condicionado inicialmente para albergar la imagen de oro y marfil de Atenea
Parthenos, esculpida por Fidias. La colosal estatua de doce metros de altura precisaba de una inmensa cella
de más de 18 metros de anchura,
dividida en tres naves mediante
una doble columnata conformada
por dos órdenes superpuestos
de estilo dórico. La nave central
medía diez metros de anchura.
Dentro de la cella del lado este, la
columnata se dispuso en forma de
"U" y estaba compuesta por nueve
columnas con un entrepaño entre
cada una de ellas, en los lados
largos de la "U". Tres columnas
con dos entrepaños formaban el
lado corto.
En la zona oeste, al fondo del
interior de la columnata de cuatro
columnas, existía el basamento de
la estatua, para el culto a Atenea Parthenos con un amplio estanque, poco profundo, que producía un
efecto de brillo mediante el agua frente a ésta. Ambas cellas estaban cerradas por puertas de bronce.
La cella del este estaba dedicada a Atenea Polías (protectora de la ciudad), y la cella del oeste estaba
dedicada a Atenea Párthenos, "la virgen", por lo cual todo el edificio acabó siendo conocido como el
Partenón.
La decoración escultórica del Partenón es una combinación única de las metopas (esculpidas en altorrelieve
extendiéndose por los cuatro lados externos del templo), los tímpanos (rellenando los espacios triangulares
de cada frontón) y un friso (esculpido en bajorrelieve abarcando el perímetro exterior de la cella). En
ellos se representan varias escenas de la mitología griega. Además, las diversas partes del templo estaban
pintadas de colores vivos. El Partenón es, sin duda, el máximo exponente del orden dórico, como se puede
apreciar en el diseño del friso o sus columnas.
	 •	 Desde la antigüedad ya se conocía el concepto de paralelismo , ¿las columnas del Partenón son 	
	paralelas?
http://oyukimacias.files.wordpress.com/2010/06/partenon.jpg
CAPITULO
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60
Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante
Conceptos básicos
Saberes previos
	 •	 Ángulos opuestos por el vértice	 •	 Ángulos suplementarios
aº
qº
aº + qº =180º
aºaº
L1 L2
	 •	 En la bisectriz:
qº
qº
A
O B
bisectriz del
BAOB
	 •	 En un triángulo:
aº
qº
bº
aº + qº + bº =180º
		También:
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si están en un mismo plano y no tienen puntos en común, es decir no tienen
puntos de corte.
Se lee: "La recta L1 es paralela
a la recta L2".
L1
L2
Gráfico:
Notación:
!!
L1
//
!!
L2
aº
bº
L2
L3
L1
•	
!!
L1
//
!!
L2
.
•	
!!
L3
es la recta secante a
!!
L1
y
!!
L2
•	 "aº" y "bº" son las medidas de
los 	ángulos alternos internos.
aº = bº
Entonces:
fº
qº
L2
L3
L1
qº = fº
Entonces:
•	
!!
L1
//
!!
L2
Ángulos alternos internos
Son los pares de ángulos que se encuentran entre dos rectas paralelas y en lados diferentes de la recta
secante.
Central: 619-8100
61
Unidad III
1
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
Ángulos correspondientes
Son los pares de ángulos que se encuentran a un mismo lado de la recta secante y a un mismo lado de cada
recta paralela.
aº = bº
Entonces:
L1
L2
L3
aº
bº
•	
!!
L1
//
!!
L2
•	
!!
L3
es la recta secante a
!!
L1
y
!!
L2
•	 "aº" y "bº" son las medidas
	 de los ángulos correspondientes.
También:
qº
fº
•	
!!
L1
//
!!
L2 qº = fº
Entonces:
L1
L2
L3
1.	 Calcular "aº", si:
!!
L1
//
!!
L2
L1
L2
72º
aº+10º
2.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
62º
qº+5º
L1
L2
3.	Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "qº"
L1
L2
qº+20º
142º
4.	Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "qº"
L1
L2
135º
qº+40º
5.	Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "aº"
L1
L2
48º
2aº+10º
6.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
140º
7qº
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62
Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante
Conceptosbásicos Aprende más...
Comunicación matemática
1.	 Indicar si es verdadero (V) o  falso (F) las siguientes proposiciones.
	 •	 Las rectas paralelas son aquellas que al ser prolongadas no tienen ningún punto
	 	 en común ................................................................................................(	)
	
	 •	 En el gráfico: (L1 // L2)
L1
L2
aº
qº
		 Se muestran dos ángulos alternos internos..................................................................(	)
	 •	 Dos rectas paralelas
!!
L1
y
!!
L2
se denotan como:
!!
L1
//
!!
L2
............................................... (	)
2.	 Completar las relaciones de acuerdo al gráfico:
aº=..........             
L1
L2
aº
qº
•	 Si:
!!
L1
//
!!
L2
•	 Si:
!!
L1
//
!!
L2
L1
L2
aº
bº
aº=..........             
7.	Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "aº"
L1
L2
3aº
54º
8.	Si:
!!
a //
!!
b, calcular "aº"
a
b
94º
4aº+10º
9.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
L1
L2
5qº
145º
10.	Calcular "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
L1
L2
154º
xº+35º
Central: 619-8100
63
Unidad III
13.	 Grafica haciendo uso de la regla:
	 •	 Dos rectas horizontales paralelas
!!
L1
y
!!
L2
y una recta secante a ellas oblicua
!!
L3
.
4.	 Relaciona mediante flechas, si:
!!
L1
//
!!
L2
L1
L2
aº
qº
L1
L2
bº
wº
•	Ángulos correspondientes
•	Ángulos alternos	internos
5.	 De acuerdo al gráfico, plantea la ecuación.
	 •	 Si:
!!
L1
//
!!
L2
L1
L2
qº
aº
Ecuación: aº+.......... = ...........
Resolución de problemas
6.	Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "qº"
L2
L1
145º
5qº+10º
7.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
3qº+10º
L2
76º
8.	Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "xº"
L1
L2
xº+5º
78º
9.	 Calcular "xº", si:  
!!
L1
//
!!
L2
L1
L2
138º
xº+35º
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64
Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante
Conceptos básicos¡Tú puedes!
Aplicación cotidiana
El sol
Los rayos solares del sol emiten haces de luz como lo muestra la figura.
El "haz 1" es paralelo al "haz 2" y forman los ángulos mostrados "aº"; "bº"
y "qº"
14.	Si un alumno observa que: aº = 46º, calcular "bº".
15.	Con las condiciones anteriores, calcular "qº".
1.	Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "qº".
		
L1
L2
2qº
58º
2.	 Calcular "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
		
L1
L2
xº
50º
65º
3.	Si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
, calcular "xº"
		
L1
L2
L3
70º
45º xº
4.	 Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "xº".
		
L1
L2
72º
xº
60º
10.	Calcular "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
124º
2xº+10º
L2
L1
11.	Calcular "aº", si:
!!
m //
!!
n
m
n
3aº
70º–2aº
12.	Calcular "xº", si:
!!
L1 //
!!
L2.
L1
L2
4xº
132º
13.	Calcular "qº", si:
!!
L1 //
!!
L2.
L1
L2
135º 3qº
aº bº
qº
haz "1" haz "2"
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65
Unidad III
1
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1.	 Calcular "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
75º
xº
2.	 Calcular "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
120º
3xº
L2
L1
3.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.	
L1
L2
3qº
72º
4.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
45º
3qº
5.	 Calcular "xº", si:
!!
a //
!!
b .
150º
3xº
a
b
6.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1 L2
66º
6qº
7.	 Calcular "aº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
5aº+30º
145º
8.	 Calcular "bº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1 L2
65º 5bº+20º
5.	Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "qº".
		
L1
L2
120º
40º qº
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Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante
9.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
3qº+27º
162º
10.	Calcular "aº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
3aº+mº
171º+mº
11.	Calcular "bº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
nº+5bº
70º+nº
12.	Calcular "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
146º
xº
13.	Calcular "yº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
108º
4yº
14.	Calcular  "xº", si:
!!
m //
!!
n .
3xº–1º
n
m
71º
15.	Si:
!!
a //
!!
b , calcular "qº".
2qº–1º
139º
a
b
...................................................... ( )
Central: 619-8100
Geometría
67
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Geometría
67
Operaciones entre ángulos
determinados por rectas paralelas
En este capítulo aprenderemos:
•	 A aplicar las propiedades dadas a ángulos alternos internos.
•	 A aplicar las propiedades dadas a ángulos correspondientes.
•	 A desarrollar diversos problemas sobre ángulos determinados por rectas paralelas.
•	 En las vallas mostradas, ¿observarás objetos paralelos?
Postes paralelos
La valla es un elemento superficial vertical que se utiliza para delimitar terrenos y protegerlos contra
intrusos. Suelen ser de madera o metálicas.
Las vallas se colocan alrededor
de un terreno o jardín y tienen la
función de impedir la entrada al
mismo o de proteger la intimidad
de sus habitantes. Las vallas se
instalan en granjas, terrenos
agrícolas o en otros espacios
privados como, por ejemplo,
los jardines de las viviendas
unifamiliares.
Una valla clásica está formada por
una serie de tablones o estacas de
madera colocados en vertical y
terminados en punta o de forma
redondeada. Los tablones se
clavan al terreno y se unen por
medio de otras tablas horizontales
que se clavan a las anteriores.
Existen también vallas metálicas
que consisten en una malla de
alambre, denominada alambrada. También se encuentran vallas confeccionadas con materiales naturales
como cañas o brezo. En este caso, las piezas se trenzan con alambre conformando una superficie tupida.
CAPITULO 2
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68
Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
Saberes previos
•	 Ángulos opuestos por el vértice
aº aº
•	 Ángulos alternos internos
	Si:
!!
a //
!!
b.
qº
qº
a
b
•	 Ángulos consecutivos y suplementarios
bº
aº
aº+bº= 180º
•	 Ángulos  correspondientes
	Si:
!!
m //
!!
n .
qº
qº
m
n
1.	Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "qº".
144º
3qº
L1
L2
2.	Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular  "xº".
L1
L2
126º
9xº
3.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
xº+40º
35º
4.	Si:
!!
a //
!!
b , calcular "qº".
4qº
a
b
20º
Central: 619-8100
69
Unidad III
2
Conceptosbásicos Aprende más...
5.	 Calcular "aº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
	
L1
L2
5aº 60º
6.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
xº
40º
65º
L1
L3
L2
7.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
xº
42º
L1
L3
L2
48º
8.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3
L2
xº
62º 58º
9.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3L2
xº35º
125º
10.	Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
qº
L1
L3
L2
135º
52º
Comunicación matemática
1.	 Completar las relaciones de acuerdo al gráfico:
aº+ ...... = .......
L1
L2
bº
aº
•	 Si:
!!
L1
//
!!
L2
. •	 Si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
xº= ..... + .....xº
bº
L1
L3
L2
aº
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70
Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas
Resolución de problemas
6.	 Calcular "qº", si:
!!
a //
!!
b.
3qº
126º
a
b
7.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
3qº+70º
5qº+40º
L1
L2
2.	 Plantea la ecuación correcta de acuerdo al gráfico, en términos de "aº"; "bº" y "qº" (
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
)
Ecuación: ......=.........+.........
L1
L3
L2
qº
aº bº
3.	 Graficar haciendo uso de la regla:
	 •	 Tres rectas paralelas verticales
!!
a ;
!!
b y
!!
c .
4.	 Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
	
a
b
aº
qº
•	 En el gráfico, donde:  
!!
a //
!!
b
Tenemos que: aº = qº ................. ( )
qº
yº
xº
a
b
c
•	 En el gráfico, donde:
!!
a //
!!
b //
!!
c
Tenemos que: qº = xº – yº ............... (       )
5.	 Completa el gráfico, de acuerdo al enunciado.
	
	 •	 Unir mediante segmentos los puntos "A"; "B" y "C".
L1
L3
L2
A
B
C
Central: 619-8100
71
Unidad III
2
Aplicación cotidiana
La reja de la ventana
Por seguridad Julio coloca rejas en la ventana del frontis de su
casa como lo muestra la figura. Si todas las rejas horizontales son
paralelas entre sí y las rejas oblicuas también son paralelas entre sí.
Calcular:
14.	¿Cuál es la relación que cumple "aº" y "bº" de acuerdo a las
condiciones dadas?
15. ¿Qué relación cumple "aº" y "qº" de acuerdo a las condiciones brindadas?
aº qº
bº
8.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1 L2
6qº
2qº–20º
9.	 Calcular  "xº", si:
!!
a //
!!
b //
!!
c .
xº
53º
28º
a
b
c
10.	Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1 L3
L2
120ºxº
62º
11.	Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3
L2
xº
51º
38º
12.	Calcular  "xº", si:
!!
a //
!!
b //
!!
c .
xº
a
c
b
134º
128º
13.	Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3
L2
xº
138º
62º
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72
Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
1.	Si:
!!
a //
!!
b , calcular  "xº".
2qº 50º
xº qº
a
b
2.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
150º
120º
xº
L1
L2
3.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
70º
L1
L2
125º
xº
4.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
xº
23º
58º
5.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
bº
bº
aº
aº
xº
1.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
2xº
50º
L1
L2
2.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
50º
xº
3.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
	
	
L2
L1
62º
xº
4.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
126º
xº
Central: 619-8100
73
Unidad III
25.	 Calcular "aº", si:
!!
a //
!!
b .	
129º
a b
3aº
6.	 Calcular  "xº", si:
!!
a //
!!
b //
!!
c .
xº
a
c
b
43º
22º
7.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3L2
qº72º
141º
8.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3
L2
xº
120º
135º
9.	 Si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
, calcular "qº".
qº L1
L3
L2
64º
10.	En la figura, calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1 2qº
34º
11.	Calcular "aº", si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L2
L3
L1
82º
aº
132º
12.	Calcular "aº", si:
!!
a //
!!
b //
!!
c .
a
c
b
25º
aº
93º
13.	Calcular "aº", si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
100º
aº
40º
L2
L3
L1
14.	Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3
L2
qº
62º
15.	Calcular "xº + yº", si:
!!
a //
!!
b //
!!
c
a
c
b
yº
xº
130º
34º
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74
3
Aplicaciones de ángulos entre
rectas paralelas
En este capítulo aprenderemos:
•	 A reconocer los ángulos alternos internos dados entre dos rectas paralelas.
•	 A aplicar las propiedades dadas a los ángulos alternos internos.
•	 A reconocer los ángulos correspondientes entre dos rectas paralelas.
•	 A aplicar las propiedades dadas en los ángulos correspondientes.
•	 A conocer nuevas propiedades y desarrollar diversos problemas.
	 •	 ¿El concepto de paralelismo se usaba para la construcción de templos?
Los cuatro postes
El templo pudiera haber tenido origen en el Megaron, sala rectangular precedida por un pórtico de columnas
(stylos), existente en la casa Micénica y que era la habitación más importante de la casa griega y santuario
de los dioses familiares, tal como lo
describe Vitrubio.
En las invasiones y guerras, los
ganadores derruían el palacio del
rey vencido, pero respetaban el
Megaron puesto que era la casa del
dios de la región. Así, el templo
más antiguo era el In-antis, que
tiene todo el aspecto de ser una
habitación que ha perdido la casa
que tenía alrededor.
Son construcciones arquitrabadas
que se alzan sobre una plataforma
con gradas (krepis o krepidoma),
llamándose estilóbato al último
escalón. La planta definitiva del
templo griego constaba de un
local llamado cella, un espacio
interior, de forma rectangular,
que constituye el núcleo de la
construcción. Tiene una sola abertura, la puerta, sin ventanas. A veces el templo tiene dos cellas, con las
puertas en las fachadas principales, las más cortas, y en este caso cada cella suele estar dedicada a una
divinidad distinta.
3CAPITULO
Geometría
Central: 619-8100
75
Unidad III
Conceptos básicos
Saberes previos
L1
L2
d d
L1 // L2
•	 Rectas paralelas
qº
qº
•	 Ángulos opuestos por el vértice
bº
aº
aº + bº = 90º
•	 Ángulos complementarios
•	 Ángulos consecutivos y suplementarios
aº
bº
aº + bº = 180º
	 •	 Si:  
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
, calcular "xº" en términos de  "aº" y "bº".
L1
L3
L2
aº
bº
xº
		Resolución:
L1
L3
L2
aº
aº
bº
bº
xº
xº = aº + bº
•	 Trasladamos los ángulos alternos internos
(ángulos de igual medida) "aº" y "bº"
•	 Por adición de ángulos:
Recuerda que...
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76
Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas
ConceptosbásicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
	 •	 En general:
xº
L1
L2
bº
aº
Si:
!!
L1
//
!!
L2
Entonces: xº = aº + bº
1.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
5qº+10º
4qº+60º
2.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
	
L1
L2
4qº+5º
65º
3.	 Calcular  "xº", si:
!!
a //
!!
b .
a
b
58º
2xº
4.	 En la figura , calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
9qº
72º
5.	 Calcular  "xº", si:
!!
a //
!!
b //
!!
m.
xº
30º
45º
a
m
b
6.	 Calcular "aº", si:
!!
m //
!!
n .
m
n
63º
7aº
Recuerda que...
Central: 619-8100
77
Unidad III
3
Conceptos básicosAprende más...
7.	 Calcular "qº", si:
!!
a //
!!
b .
5qº+20º
75º
a
b
8.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
xº
L1
L2
38º
45º
9.	 Calcular "aº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.	
L1
L2
46º
aº
10.	Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
148º
xº
Comunicación matemática
1.	 Completar las relaciones de acuerdo al gráfico.
aº +.....=......
bº
aº+qº
a
b
•	 Si:
!!
a //
!!
b . •	 Si:
!!
m //
!!
n .
zº
xº+yº m
n
zº =.....+......
2.	 Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda, en los siguientes enunciados.
	 •	 En el gráfico:
L1
L2
aº
bº
xº
	 	 Tenemos que: xº=aº+bº, si:
!!
L1
//
!!
L2
.............................................................................(	)
	 •	 En los ángulos opuestos por el vértice, las medidas de los ángulos son diferentes ..........(	)
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78
Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas
Resolución de problemas
6.	 Calcular "aº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
5aº
65º
7.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
3xº+20º
xº+80º
8.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
80º
5qº+15º
9.	 Calcular "xº", si:
!!
a //
!!
b .
5xº
xº
a
b
3.	 Completa el gráfico, según el enunciado:
	 •	 Une mediante segmentos de recta los puntos "A" con "B" y "A" con "C".
A
B C
4.	 Relaciona con flechas, si:
!!
a //
!!
b .	
a
b
aº
aº
•   Ángulos correspondientes
•   Ángulos alternos internos
qº
qº
a b
5.	 Plantea la ecuación de acuerdo al gráfico, en términos de "xº"; "yº" y "zº"
	Si:
!!
a //
!!
b
a
b
xº+zº
yº Ecuación: .........................=.........
Central: 619-8100
79
Unidad III
3
Conceptos básicos¡Tú puedes!
10.	Calcular "xº", si:  
!!
m //
!!
n //
!!
r .
xº
70º
65º
m
n
r
11.	Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
4xº+5º
65º
12.	Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
xº
62º
65º
13.	Calcular "xº", si:
!!
a //
!!
b .
100º
48º
xº
a
b
Aplicación cotidiana
El vaso de agua
Un vaso contiene agua hasta cierta medida. Un
alumno lo inclina 40º como muestra la figura y
se originan los ángulos "aº" y "bº".
14.	Calcular la medida del ángulo "aº".
15.	Calcular la medida del ángulo "bº".
40º
bº
aº
1.	Si:
!!
a //
!!
b , calcular "xº".
xº
a
b
130º+mº
150º–mº
2.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3
L2
2qº
xº
8qº
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80
Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1.	 Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1 48º
6qº
2.	 Calcular "aº", si:
!!
a //
!!
b .
55º
5aº
a
b
3.	 Calcular "qº", si:
!!
a //
!!
b .
2qº
58º
a
b
4.	 Calcular "aº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
5aº
60º
5.	 Calcular "aº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L12aº
80º
6.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
5xº+20º
60º
3.	 Calcular "bº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
			
L1
L2
qº qº
bº
60º
25º
4.	 Calcular "mº – nº", si:
!!
a //
!!
b
			
120º
nº
mº
a
b
5.	 Calcular "xº+yº", si: aº+bº=50º y además:     !!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
yº
aº
aº
xº
bº
bº
Central: 619-8100
81
Unidad III
3
7.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
140º
7xº
8.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1 3xº
75º
9.	 Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
3xº–10º
50º
10.	Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
75º
7qº+
5º
11.	Calcular "xº", si:
!!
a //
!!
b .
a
b65º
40º
xº
12.	Calcular "aº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
60º
L1
L2
33º
aº
13.	Calcular "aº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
aº
114º
150º
14.	Calcular  "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
75º
80º
xº
15.	Calcular "aº+qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
130º
40º 60º
2aº
aº
qº
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
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Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
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Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
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Geometría 2°
Geometría 2°
Geometría 2°
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  • 1.
  • 2. UNIDAD III Los rieles siempre paralelos Capítulo 1 Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante ................................... 59 Capítulo 2 Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas ........................................ 67 Capítulo 3 Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas................................................ 74 Capítulo 4 Recordando lo aprendido................................ 82 Capítulo 5 Triángulos .................................................. 88 UNIDAD II Todo sobre ángulos Capítulo 1 Identificando y midiendo ángulos................... 27 Capítulo 2 Operaciones con ángulos ................................ 34 Capítulo 3 Solo con enunciados ....................................... 43 Capítulo 4 Complemento y suplemento de un ángulo ..... 48 Capítulo 5 Repaso bimestral ............................................ 54 UNIDAD II Conociendo a la geometría Capítulo 1 Introducción .................................................. 5 Capítulo 2 Segmento de recta ......................................... 12 Capítulo 3 Punto medio y el segmento de recta .............. 18 Capítulo 4 Recordando lo aprendido ............................... 23 UNIDAD IV El triángulo de las bermudas, ¿verdad o fantasía? Capítulo 1 Líneas notables en el triángulo I .................... 97 Capítulo 2 Lineas notables en el triángulo II ................... 105 Capítulo 3 Repaso bimestral ............................................ 113 Índice
  • 3. TRILCE Geometría UNIDAD V CUANDO EL NÚMERO DE LADOS AUMENTA Capítulo 1 Estudiando las figuras de más de tres lados .................................................. 120 Capítulo 2 ¿Cuál será la suma de ángulos internos.......... 129 Capítulo 3 Estudiando las figuras de cuatro lasdos.......... 136 Capítulo 4 Conociendo los paralelogramos ..................... 144 Capítulo 5 Operaciones en el cuadrilátero ....................... 152 UNIDAD VII Región y área, ¿lo mismo? Capítulo 1 Perímetro es lo mismo que área ..................... 182 Capítulo 2 Conociendo las regiones poligonales .............. 190 Capítulo 3 Calculando el área de regiones triángulares ... 199 Capítulo 4 Calculando el área de diversas regiones ......... 208 UNIDAD VIII eSTUDIANDO LOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Capítulo 1 Reconociendo los elementos .......................... 215 Capítulo 2 ¿Area es lo mismo que volumen? ................... 223 Capítulo 3 Recordando lo estudiado ................................ 231 UNIDAD VI calculando la suma de los lados Capítulo 1 ¿Qué es perímetro? ......................................... 159 Capítulo 2 Calculando el perímetro de diversas figuras... 167 Capítulo 3 Repaso general ............................................... 175
  • 4. AprendiZajes esperados UNIDAD 1 L a base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos. ¿Cuál es la etimología de Geometría? ¿Qué estudia la Geometría? ¿Qué es postulado? Conociendoalageometría UNIDAD 1 • Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos. • Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte. • Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables. • Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás. • Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe
  • 5. A diario vemos objetos de diversas formas, que si quisiéramos describirlos tendríamos que usar términos geométricos. • ¿Qué diferencia hay entre un cubo y un dado? • ¿Es igual círculo que circunferencia? Introducción En este capítulo aprenderemos: • A reconocer elementos y figuras geométricas en el plano. • A reconocer elementos y figuras geométricas espaciales. • A identificar y graficar rectas paralelas y secantes. • A identificar y graficar planos paralelos y secantes. • A contar puntos de corte entre rectas y figuras geométricas planas. 5 1 Central: 619-8100 Unidad I CAPITULO
  • 6. 6 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Introducción Conceptos básicos Figura geométrica Son las ideas obtenidas a partir de la forma de un objeto Objeto Figura geométrica esfera cubo cilindro Elementos geométricos Son las ideas geométricas en las cuales no se consideran longitudes o medidas y son los siguientes: El punto Es la idea geométrica más pequeña. La marca de un lápiz, un grano de azúcar, un residuo de tiza, etc., nos dan la idea de punto. Se nombra con una letra mayúscula. A Punto "A" M Punto "M" La recta Los puntos sucesivos en una misma dirección e ilimitadamente nos representa una recta. Recta l l Recta a a El plano Es la idea geométrica obtenida a partir de la mayoría de superficies. Todo plano puede obtener completamente figuras geométricas. Se le nombra con una letra mayúscula. Plano R R
  • 7. 7 Central: 619-8100 Unidad I 1 División de la Geometría Para el mejor estudio de la geometría elemental se divide en: Geometría plana Estudia a las figuras geométricas contenidas en un solo plano. PentágonoCircunferencia Centro Radio r Triángulo Vértices Cuadrilátero Lados Geometría del espacio Estudia a las figuras geométricas tridimensionales o cuyos elementos están contenidos en dos o más planos. Cono Prisma Tetraedro Rayo Es la parte de una recta que tiene un punto de origen y es ilimitado en un solo sentido. AO Rayo OA: OA B P Rayo PB: PB a es paralela a b (a // b) a b m y n son secantes "P" es el punto de intersección m n P Rectas secantes Dos rectas son secantes si tienen un punto en común. Rectas paralelas Dos rectas paralelas son aquellas que no tienen punto de corte. Ten en cuenta
  • 8. 8 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Introducción Número de puntos de corte • Entre dos rectas paralelas y una secante. "P" y "Q" son planos paralelos (P//Q) Planos paralelos Son aquellos que no tienen ni un punto en común. Planos secantes Son aquellas que tienen una recta en común. l "R" y "Q" son planos secantes l es la intersección entre "R" y "Q" Dos puntos de corte • Entre tres rectas secantes. Un punto de corte como mínimo Tres puntos de corte como máximo
  • 9. 9 Central: 619-8100 Unidad I 1 Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Graficar un rayo OA en posición horizontal. 2. Graficar un rayo PB en posición vertical. 3. Graficar los rayos MN y MQ en sentidos opuestos. ¿Qué se forma? 4. Graficar tres rectas paralelas y una secante. ¿Cuántos puntos de corte se obtienen? 5. Graficar tres rectas secantes y dar el máximo número de puntos de corte. 6. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y dos rectas secantes. 7. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un triángulo y tres rectas secantes. 8. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un cuadrilátero y tres rectas secantes. 9. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un pentágono y dos rectas secantes. 10. Calcular el número de puntos de corte entre una circunferencia y seis rectas paralelas. • Entre una circunferencia y una recta secante. • Entre un triángulo y una recta secante. Dos puntos de corte. Dos puntos de corte • Entre una circunferencia y dos rectas secantes. Tres puntos de corte como mínimo. Cinco puntos de corte como máximo. Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • Según Euclides, los elementos geométricos son cuatro......................................................... ( ) • La Geometría se divide en plana y del espacio..................................................................... ( ) 2. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • Las rectas paralelas tienen un punto de intersección............................................................. ( ) • Las rectas secantes no tienen ningún punto en común.......................................................... ( ) Conceptos básicosAprende más...
  • 10. 10 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Introducción Resolución de problemas 6. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes. 7. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas paralelas y dos rectas secantes. 8. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas paralelas y dos rectas secantes. 9. Calcular el máximo número de puntos de corte entre una circunferencia y cuatro rectas secantes. 10. Calcular el máximo número de puntos de corte entre una circunferencia y cinco rectas secantes. Aplicación cotidiana • Supongamos que en el Perú se quiere construir la mayor cantidad de carreteras subterráneas rectilíneas para trenes eléctricos, que facilitarían el viaje entre los departamentos mostrados. Arequipa Piura Lima Ica Ayacucho 11. ¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Lima y Ayacucho? 12. ¿Cuántas carreteras se forman entre Lima, Arequipa e Ica? 13. ¿Cuántas carreteras se forman entre Lima, Ayacucho, Ica y Arequipa? 14. ¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Arequipa, Ica y Ayacucho? 15. ¿Cuántas carreteras se forman entre los cinco departamentos? 3. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado: • La intersección entre dos ............................ está representado por .......................... recta. • El rayo tiene un ......................... de origen y es ilimitado en un solo .................................. rectas - punto - planos - dos - una - sentido - número 4. Graficar un plano "H" y a una circunferencia contenida en "H". 5. Graficar un plano "M" y a dos rectas a y b secantes en "P".
  • 11. 11 Central: 619-8100 Unidad I 1 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y cuatro rectas secantes. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre siete rectas secantes. 4. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes y dos rectas paralelas. 5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes y tres rectas paralelas. 1. Hallar el máximo número de puntos de corte entre tres rectas secantes y una circunferencia. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre ocho rectas paralelas y una circunferencia. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre un triángulo y tres rectas paralelas. 4. Hallar el máximo número de puntos de corte entre un triángulo y una circunferencia. 5. Hallar el máximo número de puntos de corte entre dos rectas secantes y un triángulo. 6. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos rectas secantes y un cuadrilátero. 7. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes y dos rectas paralelas. 8. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico? 9. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico? 10. Hallar el máximo número de puntos de corte entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes. 11. Hallar el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y una circunferencia. 12. Hallar el máximo número de puntos de corte entre seis rectas paralelas y un triángulo. 13. Hallar el máximo número de puntos de corte entre tres rectas secantes y un triángulo. 14. Hallar el máximo número de puntos de corte entre un cuadrilátero y una circunferencia. 15. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico? Practica en casa 18:10:45 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45
  • 12. 12 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Saberes previos Segmentos de recta En este capítulo aprenderemos: • A identificar al segmento de recta y a su medida. • A relacionar segmentos consecutivos y no consecutivos. • A sumar y restar longitudes de segmentos consecutivos. Podemos mencionar otros tipos de líneas: línea curva y línea quebrada. En nuestro lenguaje común, el término "segmento" significa parte o porción de algo con lo cual lo podemos conjugar a términos anteriores. • ¿Qué líneas observas? • Unidades de longitud - Centímetros, metros, kilómetros. - Pulgadas, pies, yardas, millas. • Unidad de peso: ....................... Unidad de temperatura: ......................... • Ecuaciones de primer grado: 2x + 10 = 18 ⇒ x = 3x + x + 5 = 25 ⇒ x = CAPITULO 2 En el capítulo anterior, mencionamos a la "línea recta", pero no es el único tipo de línea, en la naturaleza encontramos diversidad de formas así como en nuestro mismo cuerpo.
  • 13. 13 Geometría Unidad ICentral: 619-8100 Observación Definición de segmento de recta Es la parte de una línea recta que tiene por extremos a dos puntos. Su medida esta representada por la distancia entre los extremos del segmento y se expresa en unidades de longitud (centímetros, metros, pulgadas, pies, etc.). R S8 cm • Segmento RS : RS o SR • Medida de RS : mRS = 8 cm RS = 8 cmL • Cuando no se conoce la medida de un segmento de recta, se usan variables como en el Álgebra. • También se usan unidades arbitrarias de longitud, es decir, si no son centímetros, pulgadas, etc. se emplea la letra "∝" de unidades. PQ = 12 cm 12 cm QP "x" µ NM Puntos colineales Son puntos que pertenecen a una línea recta. "A", "B" y "C" son puntos colineales por que pertenecen a L y se pueden contar tres segmentos de recta. A B C L Segmentos consecutivos Son segmentos que tienen un extremo común y son de dos tipos: A C B C A B D Segmentos no colineales A B C A B C D Segmentos colineales Conceptos básicos
  • 14. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 14 Segmento de recta Suma y resta entre longitudes de segmentos consecutivos y colineales. EH = 8 + 14 = 22 cm 8 cm E F H 14 cm AD = 6 + 10 + 14 = 30 cm 6 cm 10 cm A B C D 14 cm PQ = 36 - 12 = 24 cm P Q R 12 cm 36 cm LE = 23 - (13 + 7) LE = 3 cm 13 cm A L E J 7 cm 23 cm MP = a + b AN = x - y A x N y Q M a b N P 1 + 2 + 3 = 6 segmentos A B C D 1 + 2 = 3 segmentos P Q R 1 + 2 + 3 + 4 = 10 segmentos M EN F Q L L L Número máximo de segmentos de recta Suma y resta con variables Ten en cuenta
  • 15. Central: 619-8100 15 2 Unidad I ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Si: AC = 42 cm y BC = 31 cm, calcular "AB". A B C 2. Si: EH = 56u y FH = 14u, calcular "EF". E F H 3. Si: MN = 13u; NE = 8u y EF = 18u, calcular "MF". M EN F 4. Si: PR = 24 cm; QS = 36 cm y QR = 100 cm, calcular "PS". P RQ S 5. Si: AC = 58 cm; BD = 76 cm y BC = 32 cm, calcular "AD". A CB D 6. Si: EH = 41u; FN = 38u y EN= 52u, calcular "FH". E F NH 7. Si: PT = 22u; QU = 45u y PU = 59u, calcular "QT". P Q UT 8. Si: EL = 120 cm; EJ = 30 cm y KL = 70 cm, calcular "JK". E J LK 9. Si: AB = 17,2u; CD = 41,8u y AD = 80u, calcular "BC". A B DC 10. Si: PT = 56 cm, calcular "x". P Q 2x 5x T Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • El segmento de recta está formado por dos puntos.................................................................. ( ) • El segmento de recta tiene una cantidad indeterminada de puntos.......................................... ( ) 2. Completar las siguientes proposiciones con los términos del recuadro: • La menor ................................ entre dos puntos está representado por el ................................ de recta que los une. • Dos o más segmentos de ................................ se llaman colineales, si ................................ a una misma recta. plano - recta - perpendicular - distancia - pertenecen - segmento - secantes. Conceptos básicosAprende más...
  • 16. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 16 Segmento de recta Resolución de problemas 6. En el gráfico: AC = 17 cm; BD = 22 cm y BC= 6 cm. Calcular "AD". A CB D 7. Si: PR = 19u; QS = 26u y QR = 4u, calcular "PS". P RQ S 8. Si: AF = 11u; EN = 19u y AN = 25u, calcular "EF". A FE N 9. Si: PQ = 2x; QE = 8u; EF = 5x y PF = 43u, calcular "x". P EQ F 10. Si: AB = x + a ; BC = 6x - a y AC = 63u, calcular "x". A B C 11. Si: AB = x; BC = 2x; CD = 5x y AD = 40u, calcular "x". A B C D 12. Si: PQ = 3k; RT = 7k; QR = 38u y PT = 118u, calcular "k". P Q R T Aplicación cotidiana • Un grupo de alumnos van de excursión partiendo de un punto "A", en una carretera recta, siendo su destino el punto "B". Pero tienen que hacer escala en los puntos "E" y "F". La distancia entre "A" y "F" es de 34 km, la distancia entre "E" y "B" es de 42 km y la distancia entre el punto de partida y el punto de destino es 63 km. A FE B 13. Calcular la distancia entre "A" y "E". 14. Calcular la distancia entre "E" y "F". 15. Calcular la distancia entre "F" y "B". 3. Completar los siguientes recuadros, de acuerdo a la teoría hecha en clase: E P Q EQ = .......... + ......... P M N PM = ......... – ......... 4. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC, tal que: AB = 2 cm y BC = 3 cm. Luego mide la longitud del segmento AC. (Usar regla calibrada en centímetros) 5. Usando una regla calibrada en centímetros, graficar los segmentos consecutivos no colineales: PQ = 3 cm y QR = 5 cm. Luego mide la longitud de PR.
  • 17. Central: 619-8100 17 2 Unidad I Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Si: AC = 46u y BC - AB = 14u, calcular "AB" A B C 2. Si: PQ = 2(QR) y PR = 36u, calcular "QR". P Q R 3. Si: AC + BD = 53u y AD = 30u, calcular "BC". A CB D 4. Si: PQ + PR = 65 cm y QR = 3(PQ), calcular "PQ". P Q R 5. Si: BC = 3(AB) y CD = 5(AB), calcular "AB". A B C D 135 cm 1. En una recta, marcar a los puntos consecutivos "A", "B" y "C". ¿Cuántos segmentos como máximo se determinan? 2. Si: AB = 72u, calcular "x". A E x 8x B 3. Si: AC = 120 cm, calcular "x". A B 3x 7x C 4. Si: MQ = 124u y NQ = 80u, calcular "MN" QNM 5. Si: EF=20u; MH=30u y MF=16u, calcular "EH". HM FE 6. Si: PR=16u; QT=23u y QR=9u, calcular "PT". TQ RP 7. Si: EN = 24u; MH = 43u y EH = 57u, calcular "MN". HM NE 8. Si: AE = 96 cm, calcular "x". A B C D 2x x 4x 5x E 9. Si: AP = 60u, calcular "AB". A B 2x 8x P 10. Si: EF = 16u; TQ = 22u y EQ = 53u, calcular "FT". QF TE 11. Si: PR = 21u, calcular "RT". P Q R 4a 3a 10a T 12. En el problema anterior, calcular "PT" 13. Si: AL = 4x; LE = 6x y AJ = 24x, calcular "x". A L E 28 cm J 14. Si: MT = 98u, calcular "x". M N Q 5x 26u 7x T 15. ¿Cuántos segmentos se cuentan como máximo en la siguiente figura? A CB ED Conceptosbásicos ¡Tú puedes!
  • 18. 18 CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Punto medio del segmento de recta En este capítulo aprenderemos: • A ubicar los puntos medios de los segmentos, conociendo sus medidas. • A usar variables para representar segmentos congruentes. • A usar el compás para ubicar el punto medio del segmento de recta. CAPITULO 3 En nuestro país, las unidades de longitud más usadas son: • 1 metro = 100 centímetros • 1 kilómetro = 1000 metros En las carreteras, para señalar las distancias entre las ciudades se usan los kilómetros. Por ejemplo, en Norte América se usan: pulgadas; pies; yardas y millas. 1 yarda = 3 pies1 pie = 12 pulgadas 1 milla = 1760 yardas Partiendo de que 1 pulgada es aproximadamente 2,54 centímetros, se calcula que 1 milla es aproximadamente 1,6 kilómetros
  • 19. 19 Geometría Unidad ICentral: 619-8100 Saberes previos Conceptos básicos • r B O A O: r: mAO = mOB Circunferencia • Trazar con el compás una circunferencia de 2,5 cm de radio. • AC = ......... + ......... CD = ......... – ......... AD =......... + .........CBA D ya b Definición del punto medio de un segmento de recta Es el punto que pertenece al segmento y tiene igual distancia a los extremos; es decir, que divide al segmento en dos segmentos congruentes (congruentes: medidas iguales) Q M aa R A P 19 cm 38 cm 19 cm B • "P" es punto medio de AB • AP es congruente con PB (AP ≅ PB) • mAP = mPB • Si no se conoce la medida se usan variables iguales: QM = MR = a • "M" es punto medio de QR Ubicación del punto medio del segmento usando el compás Dado el segmento RG y tomando como centro a cada extremo se trazan circunferencias con el mismo radio. Luego se unen los puntos de intersección de las curvas ("E" y "F") y el punto de corte entre RG y EF es el buscado punto medio "M" de RG. F G MR E
  • 20. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 20 Punto medio y el segmento de recta Conceptos básicosAprende más... Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Grafica un segmento de recta AB de 4,2 cm y ubica a su punto medio, usando el compás. (Usar regla calibrada en centímetros) 2. Grafica un segmento de recta PQ de 5,7 cm y ubica a su punto medio, usando el compás. (Usar regla calibrada en centímetros) 3. Si: AB = 15 cm; BC = 42 cm y "M" es punto medio de BC, calcular "AM". CB MA 4. Si: PQ = 48u; QR = 14u y "N" es punto medio de PR, calcular "NQ". RN QP 5. Si: EF = 23u; NG = 25u y "F" es punto medio de EN, calcular "EG". GF NE 6. Si: AB = 21u y BC = 65u, hallar "MN", si "M" y "N" son puntos medios de AB y BC. A M B N C 7. Si: AM = 79u; MF = 31u y "E" y "N" son puntos medios de AM y MF respectivamente, calcular "EN". FNMEA 8. Si: RB = 70u; "A" es punto medio de RM y "C" es punto medio de MB, calcular "AC". R A a ba b M C B 9. Si: PR = 55u, calcular "MN"; siendo "M" y "N" puntos medios de PQ y QR. RN yx yx QMP 10. Si: EF = 118 cm, calcular "AB", siendo "A" y "B" puntos medios de EK y KF respectivamente. FA K BE Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • Cada segmento de recta tiene solo un punto medio.................................................................( ) • El punto medio de un segmento de recta equidista de los extremos de dicho segmento..........( ) 2. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro. • Dos ..........................de recta que tienen igual longitud se denominan segmentos .......................... • El .......................... medio de un segmento de recta .......................... a éste en otros dos segmentos congruentes. iguales - semejantes - congruentes - punto - recta - segmentos - divide - determina 3. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC que miden 3,2 cm y 2,5 cm (usar regla calibrada en centímetros). Luego ubicar a los puntos medios de AB y BC con el uso del compás.
  • 21. Central: 619-8100 21 3 Unidad I Resolución de problemas 6. Si: AB = 31u; BC = 75u y "M" es punto medio de AC, calcular "BM". CB MA 7. Si: EQ = 86u; FQ = 32u y "N" es punto medio de EF, calcular "NQ". QN FE 8. Si: MQ = 33u; MN = 97u y "P" es punto medio de QN, calcular "MP". NQ PM 9. Si: AC = 40u; BD = 80u y BC = 10u, calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD respectivamente. DB CM NA 10. Si: PR = 43u; QS = 47u; QR = 13u y "A" y "B" son puntos medios de PQ y RS, calcular "AB". SQ RA BP 11. Si: AB = 26u; BC = 58u; "M" y "N" son puntos medios de AB y BC y además "P" es punto medio de MN, calcular "BP". CB PM NA 12. Si: PQ = 72u; QR = 28u y "E", "F" y "M" son puntos medios de PQ, QR y EF respectivamente, calcular "MQ". RM QE FP 4. Grafica a los segmentos consecutivos y colineales PQ y QR, tal que: PQ = 2,8 cm y RP = 3,6 cm (usar regla calibrada en centímetros). ¿Cuánto mide QR y qué observa? 5. Grafica al segmento EF que mide 6 cm y a los segmentos consecutivos no colineales EA y AF de cualquier medida. Luego ubica a los puntos medios de EA y AF con el uso del compás. ¿Cuánto mide el segmento de recta que une dichos puntos medios? (Usar regla calibrada en centímetros) Aplicación cotidiana • Un edificio está compuesto por siete pisos, tal que el primer piso tiene una altura de 3 metros y el resto de los pisos 2 metros de altura. 13. ¿Qué altura tiene el edificio? 14. ¿Qué altura sube una persona que vive en el cuarto piso? 15. ¿Qué altura sube una persona que vive en el sexto piso?
  • 22. CEILTR Colegios www.trilce.edu.peCEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 22 Punto medio y el segmento de recta Conceptos básicos¡Tú puedes! Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Sobreunarectasetienenlospuntosconsecutivos "A", "B", "C" y "D". Si: AB = CD y AD + BC = 16, calcular "BD". 2. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C". Si: AB + AC = 28, calcular "AM", siendo "M" punto medio de BC. 3. Sobreunarectasetomanlospuntosconsecutivos "A", "B", "C" y "D". Calcular "AD", si: AC = 12µ y AD + CD = 28µ. 4. Sobreunarectaseubicanlospuntosconsecutivos "A", "B", "C" y "D". Si: AC + BD = 64µ, calcular "PQ", siendo "P" y "Q" puntos medios de AB y CD respectivamente. 5. En una recta se ubican los puntos consecutivos "P", "Q", "R" y "S". Si "M" es punto medio de PS, PQ + RS = 17 m y QM - MR = 3 m, calcular "RS". 1. Si: AC = 40 cm; BD = 60 cm y AD = 90 cm, hallar "BC". DB CA 2. Si: AB = 11 cm; BD = 28 cm y "C" es punto medio de BD, hallar "AC". DB CA 3. Si: PM = 58; TM = 34 y "Q" es punto medio de PT, hallar "QM". MQ TP 4. Si: AC = 24; CB = 50 y "M" es punto medio de AB, hallar "CM". BC MA 5. Si: AB = 18; BC = 32, "M" y "N" son puntos medios de AB y AC , hallar "MN". CBM NA 6. ¿Cuántos segmentos hay? QFE TP 7. Si: AB = 42; BC = 19; CD = 64 y "M" y "N" son puntos medios de AB y CD, hallar "MN". DBM C NA 8. Si: AE = 26; EF = 32; FH = 48 y "M" es punto medio de EF, hallar "MH - AM". HE M FA 9. Si: PE = MT = 38; EF = 11 y PT = 127, hallar "FM". TE F MP 10. Si: AB = 7u y BC = 19u, hallar "PQ", siendo "P" y "Q" puntos medios de AB y BC. CP B QA 11. Si: AR = 27 cm; TQ = 32 cm y TR = 18 cm, hallar "AQ". QT RA 12. Si: EN = 48; EM = 26 y "N" es punto medio de MF, hallar "EF". FM NE 13. Si "E" es punto medio de AF y AG = 60u, calcular "x". A E F G 3xx 14. Si "R" es punto medio de PT y PT = 70u, calcular "PQ". P Q R T 2x 3x 15. Si "C" es punto medio de AD y AD = 160 cm, calcular "x". A B C D 5x 3x
  • 23. Central: 619-8100 23 4 Unidad ICentral: 619-8100 Comunicación matemática • Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") 1. Por un punto pasan infinitas rectas.............................................................................. ( ) 2. Por dos puntos solamente pasa una recta..................................................................... ( ) 3. Dos rayos con el mismo origen y en sentidos opuestos forman una recta.................... ( ) 4. Si un punto tiene igual distancia a los extremos de un segmento de recta, entonces es. necesariamente el punto medio................................................................................... ( ) 5. Los puntos que pertenecen a una misma recta se llaman colineales............................. ( ) • Completar las siguientes proposiciones correctamente, usando los términos del recuadro mostrado: 6. Los elementos ................................... son tres y no tienen ................................... 7. El punto ................................ de un segmento de ........................... pertenece a dicho segmento y ........................ igual distancia a los ................................. del segmento. 8. Dos segmentos de recta son ................................... y colineales si ................................... a una misma recta y tienen un ................................... en común. extremos - medio - plano - congruentes consecutivos - geométricos - calculan punto - pertenecen - tiene - recta - medida • Completar correctamente los recuadros adjuntos a cada gráfico: 9. BC < ............... CA B 3 cm 1 cm 10. AC = ............... CB 3 cm 1 cm A Conceptos básicosAprende más... Recordando lo aprendido
  • 24. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 24 Recordando lo aprendido Conceptosbásicos ¡Tú puedes! Resolución de problemas 11. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes. 12. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos rectas paralelas y tres rectas secantes. 13. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos circunferencias y tres rectas paralelas. 14. Si: AB = 28u; BC = 12u y "P" y "Q" son puntos medios de AC y BC respectivamente, calcular "PQ". CP B QA 15. Si "M" y "N" son puntos medios de EN y EQ respectivamente, calcular "MN", si además: EQ = 60u QM NE 16. Si: PE = 78u; PR = 32u; QE = 60u y "M" es punto medio de QR, calcular "MR". ERQ MP 17. Si: AB = DE = x ; BC=3x; CD = 5x y AE = 130u, calcular "AC". EDB CA 18. Si: AB + AC = 96u y BC = 54u, calcular "AB" CBA 19. Si: PQ - QR = 31u y PR = 59u, calcular "QR". RQP 20. Si: EQ = 80u; PF = 140u y EF = 170u, calcular "MN", si además "M" y "N" son puntos medios de EP y QF. FQ NM PE 1. En una recta se marcan los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D", "E", "F", "G" y "H". Calcular el máximo número de segmentos determinados. 2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C", tal que: AC + BC = 68u y "M" es punto medio de AB. Calcular "MC". 3. Se tienen los puntos colineales "P", "Q" y "R" (PQ > QR) tal que: PQ - QR = 18u. Calcular "MQ", siendo "M" punto medio de PR. 4. Se tienen 10 rectas secantes. Calcular el máximo número de puntos de corte. 5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre 12 rectas paralelas y 10 rectas secantes.
  • 25. Central: 619-8100 25 4 Unidad I Conceptosbásicos Practica en casa 18:10:45 1. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos triángulos. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes. 4. ¿Cuántos puntos de corte hay entre el triángulo ABC y la circunferencia? B CA 5. ¿Cuántos puntos de corte hay entre las circunferencias y las rectas paralelas? 6. Si: AD = 58 cm, calcular "x". A B C x 18 cm 3x D 7. Si: AB = 11u; BC = 39u y "M" y "N" son puntos medios de AB y BC respectivamente, calcular "MN" A M B N C 8. Si: PF = 59u y EF = 21u, calcular "MF", siendo "M" el punto medio de PE. P M E F 9. Si: AD = 48u y BC = 15u, calcular: a + b A B C D a b 10. Si: AB = 12u; BC = 10u; CD = 18u y "M" es punto medio de BD, calcular "AM". A B C DM 11. Si: AM = 38u; MP = 54u; PQ = 22u y "N" es punto medio de AQ, calcular "NP". A M N QP 12. Si: AD = 72u, calcular "y" A B C y 16u 7y D 13. Si: AC + AB = 72u y BC = 50u, calcular "AB" A CB 14. Si: QR - PQ = 16u y PR = 60u, calcular "PQ" P RQ 15. Si: AB=24u; BC=30u y "M" y "N" son puntos medios de AB y BC respectivamente, calcular "MN" A B CM N
  • 26. AprendiZajes esperados UNIDAD 1 E xisten tres sistemas de medición angular y el sistema que usaremos es el sexagesimal. Para la elaboración de estos sistemas se tomó como referencia a la circunferencia. ¿Cómo se mide un ángulo? Todo sobre ángulos UNIDAD 2 • Uso del transportador y compás para la medida angular y trazo de la bisectriz. • Resolver ejercicios sin usar el transportador. • Relacionar ángulos de acuerdo a su medida, tomando como referencia al ángulo recto y al ángulo llano. • Resolución de problemas gráficos con variables y ecuaciones sobre ángulos consecutivos. • Interpretar enunciados para la elaboración de gráficos sobre segmentos y ángulos. • Elaborar propiedades a partir de ejercicios numéricos. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe
  • 27. Identificando y midiendo ángulos Antigüamente; al tomar como base la división del año en 360 días se dividió al círculo en 360 partes, dando como origen al sistema sexagesimal para la medición angular, que posteriormente sirvió para la elaboración del reloj. Las antiguas civilizaciones de Mesopotamia observaron que el Sol parecía desplazarse hacia el Oeste en el firmamento de una manera regular, con el paso de los días. Este era un descubrimiento sofisticado: primero crearon un mapa de las estrellas, luego observaron que cada día el Sol salía y se ponía en un intervalo breve; pero discernible, contra el fondo de las estrellas para completar un circuito completo de todo el campo de estrellas. Los egipcios sabían que el Sol tardaba aproximadamente 360 días, por eso fue que se dividió el círculo en 360º donde "cada grado representaba la distancia recorrida por el Sol contra el fondo de estrellas en un día". Sin embargo, los egipcios sabían que el año verdadero tenía 365 días y no 360, el asunto se complicaba más por el uso de un calendario de 12 meses de 30 días sin añadirles nada. Hasta los avances de la Aritmética, el año oficial egipcio duraba 360 días y simplemente se declaraban que los restantes cinco no existían, al menos oficialmente. Este periodo era dedicado a festejos y banquetes con animales especialmente sacrificados para este periodo. ¿Por qué una vuelta mide 360º? 1º: un grado sexagesimal 360º 1º 12 6 11 5 10 1º 4 9 3 8 2 7 1 En este capítulo aprenderemos: • A diferenciar entre ángulo, medida angular y región angular. • A clasificar a los ángulos de acuerdo a su medida. • A usar el transportador para graficar y/o medir ángulos. • A trazar la bisectriz de un ángulo con el uso del compás y con el uso del transportador. CAPITULO 27 1 Central: 619-8100 Unidad II
  • 28. 28 Identificando y midiendo ángulos CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Clasificación de ángulos Ángulo agudo Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º. θº 0º<θº<90º Ángulo recto Es el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendiculares A O B m AOB = 90º OA OB Los rayos OA y OB son perpendiculares Observación Saberes previos Conceptos básicos • O A OA es un ............................. • Algunas letras griegas: α = Alpha β = Beta θ = Tetha • Dos rayos opuestos con el mismo origen forman una ........................................ A O B Definición de ángulo El ángulo es la reunión de dos rayos a través de su origen. La medida del ángulo está dado por la abertura entre sus lados. αº A B O Región angular Vértice : O Lados : OA y OB Medida : αº Elementos Ángulo AOB : AOB; BOA; AOB; BOA. Medida del AOB: m AOB = αº Notación
  • 29. 29 1 Unidad IICentral: 619-8100 Clasificación de ángulos Ángulo agudo Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º. θº 0º<θº<90º Ángulo recto Es el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendiculares A O B m AOB = 90º OA OB Observación Los rayos OA y OB son perpendiculares Ángulo obtuso Se denomina así a los ángulos que sus medidas varían entre 90º y 180º. αº 90º<αº<180º Ángulo llano Es el ángulo que mide 180º, es decir, que sus lados están en sentidos opuestos. m AOB = 180º A BO 180ºRecta Ángulo no convexo Es aquel cuya medida varía entre 180º y 360º. 180º<βº<360º βº O M N
  • 30. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 30 Identificando y midiendo ángulos ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Uso del transportador Se ubica el transportador coincidiendo el vértice del ángulo con el centro del transportador y a uno de los lados con uno de los ceros y el otro lado señala el valor del ángulo. 110º O M F E • Con cualquier abertura se traza el compás obteniéndose los puntos "E" y "F" . • Luego, tomando como centros a estos puntos "E" y "F", se trazan circunferencias con el mismo radio; obteniéndose el punto "M". • Finalmente, el rayo OM es la bisectriz del ángulo. 1. Mide los siguientes ángulos mostrados y clasifícalos.
  • 31. Central: 619-8100 31 1 Unidad II Conceptosbásicos Aprende más... 2. Trazar una recta a perpendicular a la recta mostrada L y que pase por el punto "E". E L 3. Medir los siguientes ángulos y clasifícalos. 4. Traza la bisectriz del siguiente ángulo con el uso del compás. 5. Traza la bisectriz del ángulo mostrado. 6. Grafica un ángulo de 120º y traza su bisectriz con el transportador. 7. Grafica un ángulo de 70º y traza su bisectriz con el transportador. 8. Grafica un ángulo de 60º y traza su bisectriz con el uso del transportador. 9. Grafica un ángulo de 140º y traza su bisectriz con el uso del transportador. 10. Grafica un ángulo de 200º y traza su bisectriz con el uso del transportador. Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • El ángulo de una vuelta mide 360º.....................................................................................( ) • El ángulo llano mide 90º....................................................................................................( ) 2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro. • La ................................... de un ángulo divide a éste en ................................... iguales. • Dos ángulos que ................................... igual medida se llaman ángulos ................................... rayo - recta - congruentes - iguales - tienen - bisectriz - medidas - ángulos 3. Grafica los ángulos congruentes AOB y PMQ que miden 80º. 4. Grafica los ángulos congruentes MON y APB que miden 130º. 5. Grafica el ángulo AOB, tal que: m AOB = 230º.
  • 32. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 32 Identificando y midiendo ángulos Resolución de problemas 6. Medir los ángulos internos "A", "B" y "C" usando el transportador. A C B 7. Medir los ángulos en los vértices "A", "B", "C" y "D" usando el transportador. D A B C 8. Medir los: AOB; BOC y AOC usando el transportador. O C BA 9. Medir los: AOB; BOC; COD y AOD usando el transportador. A D C B O 10. Medir los: AOB; BOC y COD usando el transportador. C B D O A Recta 11. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 100º y m BOC = 60º. ¿Cuánto mide el ángulo AOC? (Usar el transportador) 12. Graficar los ángulos consecutivos PQM y MQN talque:m PQM=70ºym MQN=50º. ¿Cuánto mide el ángulo PQN? (Usar el transportador) 13. Usando el compás, trazar la bisectriz del ángulo AOB. Luego ubicar a un punto "P" de dicha bisectriz y medir las distancias de "P" a los lados OA y OB O A B Aplicación cotidiana • Las agujas del reloj (horario y minutero) son observadas por Anita que entusiasmada con el tema de ángulos encuentra que: 14. Al escuchar la campanita del reloj siendo las 8 a.m en punto, las agujas forman un ángulo de: 15. Luego de dos horas vuelve a escuchar la campanita y las agujas del reloj forman un ángulo de: http://es.123rf.com
  • 33. Central: 619-8100 33 1 Unidad II Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Graficar un ángulo no convexo de 240º y luego trazar su bisectriz usando el transportador. 2. Graficar un ángulo no convexo cualquiera y luego trazar su bisectriz con el uso del compás. 3. Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC que miden 120º y 100º respectivamente. Luego trazar la bisectriz OM del ángulo AOC. 4. En el problema anterior, calcular: m MOB. 5. Trazar las bisectrices de los ángulos AOB y BOC, usando el compás. Luego mide el ángulo formado por dichas bisectrices. A O C B • Graficar y clasificar a los siguientes ángulos (usa el transportador) 1. 35º 2. 65º 3. 104º 4. 170º 5. 28º 6. 126º 7. 58º 8. 220º • Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC. Luego, calcular m AOC. (Usa el transportador) 9. m AOB = 30º y m BOC = 60º 10. m AOB = 40º y m BOC = 80º 11. m AOB = 20º y m BOC = 70º 12. m AOB = 80º y m BOC = 70º 13. m AOB = 110º y m BOC = 90º 14. m AOB = 130º y m BOC = 80º 15. m AOB = 100º y m BOC = 50º
  • 34. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 34 Ordenamiento lineal y circular Se cree que el alfabeto griego deriva de una variante del fenicio, introducido en Grecia por mercaderes de esa nacionalidad. El fenicio, como los alfabetos semíticos posteriores, no empleaba signos para registrar las vocales; para salvar esta dificultad, que lo hacía incompleto para la transcripción de la lengua griega, los griegos adaptaron algunos signos utilizados en fenicio para indicar aspiración para representar las vocales. Este aporte puede considerarse fundamental; la inmensa mayoría de los alfabetos que incluyen signos vocálicos se derivan de la aportación original griega. Además de las vocales, el griego añadió tres letras nuevas al final del alfabeto: fi y ji, para representar sonidos aspirados que no existían en fenicio, y psi. En el Álgebra se usan variables como "x", "y" y "z" para señalar valores numéricos, en general trabajando básicamente con las operaciones. En Geometría para señalar valores angulares no conocidos se utilizan letras griegas como: "α";"β";"θ" y "δ"; etc Operaciones con ángulos En este capítulo aprenderemos: • A relacionar ángulos por sus lados • A graficar ángulos sin el uso del transportador comparando al ángulo recto y ángulo llano. • A sumar y restar medidas de ángulos consecutivos. 2 A α alfa N ν ni B β beta Ξ ξ xi r γ gamma O o ómicron ∆ δ delta ∏ π pi E ε épsilon P p ro Z ζ dseta ∑ σ sigma H η eta T τ tau Θ θ zeta ϒ υ ipsilon I ι iota Φ ϕ fi K κ kappa X χ ji Λ λ lambda Ψ ψ psi M µ mi Ω ω omega
  • 35. Geometría Central: 619-8100 35 Unidad II Saberes previos Conceptos básicos • Rectas .................................................. • Rectas................................................... • Una vuelta mide................................... • El ángulo POQ mide............................. P QO • El ángulo llano AOB mide.................... OA B Ángulos opuestos por el vértice Son los ángulos que se forman al trazar dos rectas secantes. M αº αº N F E A Vértice Los ángulos MAN y EAF son opuestos por el vértice m MAN = m EAF = αº θº B P Q A C Vértice θº Los ángulos PBQ y ABC son opuestos por el vértice m PBQ = m ABC = θº
  • 36. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 36 Operaciones con ángulos Ángulos consecutivos Son dos, tres o más ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común respectivamente. En el gráfico: m AOC = 40º + 60º = 100º40º 60º O C B A AOB y BOC son consecutivos o adyacentes En el gráfico: m POR = 50º + 70º = 120º m QOS = 70º + 20º = 90º O S Q R 20º 70º 50º P POQ; QOR y ROS son consecutivos En el gráfico: m POR = 35º + 65º = 100º m ROS = 180º - 100º = 80ºO S Q R 65º 35º P Recta POQ; QOR y ROS son consecutivos. Suma y resta de ángulos consecutivos usando variables. B βºαº A C O yº yº = αº + βº βº αº αº + βº = 90º
  • 37. Central: 619-8100 37 2 Unidad II ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 xº = bº – qº O θº βºxº A B C m AOB = 180º - θº A O C B 180º – θº θº xº 90º – xº Q RO P m QOR = 90º - xº O αº βº θº αº+ βº + θº = 180º αº+ βº + θº + ωº = 360º ωº βº αº qº 1. Calcular "xº", si: m AOF = 18º O E B F A 2xº xº 2. Si: m EOF = 130º; m EON = 100º y OM es bisectriz del ángulo NOF, calcular: m EOM O M F N E 3. Si OM es bisectriz del ángulo AOB y m BOC = 32º, calcular: m MOC. COA M B 4. Si: m MOA = 48º y m MOQ = 142º, calcular: m NOQ, si OA es bisectriz del ángulo MON QO A M N
  • 38. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 38 Operaciones con ángulos Conceptos básicosAprende más... 5. Calcular "xº" 4xº xº 6. Si: m AOB = 38º; m BOC = 72º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular "θº". O A B θº M C 7. Si: m AOB = 28º; m BOC = 102º y ON es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON O A B N C 8. Si: m EOF = αº y m FOH = 5αº, calcular "αº" F E O H 9. Calcular "αº". αº 8αº 10. Calcular "αº". 80º 4αº αº Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • La medida de un ángulo llano es el doble de la medida de un ángulo recto.......................... ( ) • La bisectriz de un ángulo es un rayo que divide en medidas iguales a dicho ángulo.............. ( ) 2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado: • Dos ángulos .......................................... por el vértice, tienen sus .......................................... en sentidos opuestos y sus medidas son ........................................... • Dos rectas secantes y .......................................... forman cuatro ángulos ...................................... consecutivos. perpendiculares - paralelas - llanos - rectos - opuestos - iguales - consecutivos - lados - ángulos
  • 39. Central: 619-8100 39 2 Unidad II Completar las relaciones, según los gráficos: 3. m AOE = ........ − ........ A O βº E B 4. m FOM = ........ − ........ E O M F αº 5. αº + βº + θº + ωº = ........ θº βº αº ωº Resolución de problemas 6. Si: m COD = 23º, calcular: m AOB. A O C B D 7. Si: m AOC = 74º; m BOC = 22º y OM es bisectriz del ángulo AOB, calcular: m MOC. A M B O C 8. Si: m AOB=42º; m BOC=90º y ON es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON. O A B N C 9. Calcular "αº" 2αº 4αº 3αº αº A B C D O
  • 40. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 40 Operaciones con ángulos Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 10. Calcular "xº", si: m AOD = 148º. A O C B Dxº 68º3xº 11. Si OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcular: m BOC A M B C N 26º DO 34º 12. OM y ON son bisectrices de AOt B y COt D. Si: m AOB=36º, calcular: m MON A B M C N100º DO 13. Si OE y OF son bisectrices de AOt C y BOt C, calcular: m EOF A F B E 30º C O Aplicación cotidiana • Una puerta metálica levadiza de la cochera de una casa está decorada y asegurada por varillas que forman ángulos consecutivos congruentes. 14. ¿Cuántos ángulos consecutivos, congruentes y menores se han formado? 15. ¿Cuánto mide cada ángulo menor? 1. Si: m BOC = 80º; OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcular la m MON. DA M B C N O 2. Calcular "xº", si: m AOC + m BOD = 130º. xº A B C DO
  • 41. Central: 619-8100 41 2 Unidad II Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 3. Se tiene dos ángulos consecutivos POQ y QOR. Se traza OM bisectriz del ángulo POQ. Si: m POR + m QOR =140º, calcular la m MOR. 4. Si: m AOB - m BOC = 70º, calcular la m MOB. Además OM es bisectriz del ángulo AOC. B C M A O 5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC de tal manera que el ángulo AOB mide 50º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOC. 1. Si: m AOB = 20° y m AOC = 100°, calcule: m BOC. B C O A 2. Si:m AOD=120º,m BOC=70ºym COD=30º, calcule: m AOB. OA B C D 3. Calcule "α°" 32º αº 4. Calcule "x°" 4xº xº 5. Calcule "x°", si: m AOD = 110°. 50º 2xº xº O A B C D 6. Calcule "x°" 120º 3xºxº
  • 42. CEILTR Colegios www.trilce.edu.peCEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 42 Operaciones con ángulos 7. Si: m AOC=120°, m BOC=20° y OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule: m MOC. C O B M A 8. Si: m POQ=100°, m QOR=40° y OM es bisectriz del ángulo POR, calcule: m MOQ. P M Q O R 9. Si OM es bisectriz del ángulo AOC y ON es bisectriz del ángulo BOC, calcule: m MON, si además: m BOC=40º. A M B N C O 10. Si: m AOB=36°, OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcule: m MON. A O D N C B M 11. Calcular: m BOC. A B C D 5xº3xº 2xº O 8xº 12. Calcule "xº", si: m AOC=158º y OM es bisectriz del ángulo BOC 64º xº A B M C O 13. Si OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule "θ°". O A M 48º θº 5θº B C 14. Calcule "β°" A B C 38º βº 64º Recta DO 15. Si: m AOB = 30° y m BOC = 80º y además OM es bisectriz del AOt C, calcule m BOM. O A B M C
  • 43. Central: 619-8100 Unidad IICentral: 619-8100 Conceptos básicos 3 43 ¿Qué es generalizar? ¿Qué es para ti una fórmula? 1 2 3 n ........ "n" puntos segmentos ( )n n 2 1- 1 2 3 3 puntos 3 segmentos 4 puntos 6 segmentos 1 2 3 4 En la Aritmética, estudiamos a los números haciendo operaciones que resuelven problemas diversos de la vida cotidiana como compra, venta, edades, etc. En el Álgebra, el concepto de cantidad es mucho más amplio utilizando letras para representar a las cantidades conocidas y desconocidas. Una fórmula algebraica surge justamente de la generalización que implica la representación de cantidades por letras. En nuestro curso de Geometría, empleamos claramente estos conceptos básicos y en estos dos capítulos es importante entenderlo y dominarlo para aplicarlo en capítulos más complejos. Solo con enunciados En este capítulo aprenderemos: • A interpretar un enunciado con términos geométricos de segmentos de recta y ángulos. • A graficar problemas para su resolución conociendo sus valores o usando variables. • A representar mediante una ecuación la suma y resta de segmentos y ángulos. • "Q" es punto medio de AN A Q N a a • Puntos y segmentos consecutivos y colineales. A B C a yb D AB = a – b AD=a+y Recuerda que...
  • 44. 44 Solo con enunciados CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe • • Suma y resta de ángulos consecutivos. m AOB = θº - βº m AOD = θº + αº O A B C βº θº αº D E F A αº αºO OF es bisectriz del ángulo AOE 1. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos "A", "B" y "C" tal que: AC = 25u. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y BC. Resolución: Se ubican arbitrariamente a los puntos medios "M" y "N" de AB y BC respectivamente. Como no se conocen los valores de AB y BC se ponen letras. A M B 25u N C a a b b • Del gráfico: 2a + 2b = 25u, simplificando: a + b = 12,5u • Nos piden: MN = a + b ∴ MN = 12,5u Ejemplos 2. Se tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC; tal que: m AOC = 128º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y BOC. Resolución: O P A B xº Q αº θº θº αº C • Se trazan las bisectrices OP y OQ, siendo el ángulo POQ el pedido en el ejercicio. • Sumando ángulos consecutivos: 2θº + 2αº = m AOC 2θº + 2αº = 128º θº + αº = 64º • Finalmente: m POQ = xº y del gráfico: xº = αº + θº ∴xº = 64º Recuerda que...
  • 45. 45 3 Central: 619-8100 Unidad II ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Conceptos básicosAprende más... 1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A"; "B" y "C" tal que: AB = 32u y AC = 46u. Calcular "AM", siendo "M" punto medio de BC. 2. Se tienen los puntos colineales "P"; "Q" y "R", tal que: PQ = 56u y QR = 38u. Calcular "MQ", siendo "M" el punto medio de PR. 3. AE y EF son segmentos colineales y consecutivos tal que: AE=36u y AF=78u. Calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AE y EF respectivamente. 4. PQ y QR son segmentos colineales y consecutivos tal que: PQ = 84u y QR = 62u. Calcular "EQ", siendo "E" el punto medio de PR. 5. Sobreunarectaseubicanlospuntosconsecutivos "A", "B", "C" y "D" tal que: AB=20u; BC=16u y CD=34u. Calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD respectivamente. 6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 76º y m BOC = 48º. Calcular m BOM, siendo OM bisectriz del AOt C. 7. Se tienen los ángulos consecutivos POQ y QOR, tal que: m POR=140º y m POQ=110º. Calcular m POE, siendo OE bisectriz del QOR. 8. Dados los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD, tal que: m AOB=m BOC=m COD y m AOD=144º. Calcular: m BOD. 9. Dados los ángulos consecutivos POQ y QOR, tal que: m POQ=2 m QOR y m POR=126º. Calcular: m QOR. 10. Dados los ángulos consecutivos MON y NOE, tal que: m MON=3 m NOE y m MOE=128º. Calcular: m NOE. Comunicación matemática 1. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado: • Dos segmentos de ..................................... y dos ángulos se ..................................... congruentes si tienen sus ..................................... iguales respectivamente. • La menor ..................................... entre dos puntos en el espacio está representado por la ........... .......................... del segmento de recta que ..................................... a dichos puntos. distancia - medidas - recta - punto une - plano - denominan - longitud 2. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • El ángulo de una vuelta mide 360º....................................................................................... ( ) • El ángulo no convexo es mayor de 90º y menor que 180º.................................................... ( ) • Los ángulos opuestos por el vértice suman 180º................................................................... ( ) 3. Trazar dos rectas perpendiculares y luego las rectas bisectrices de los ángulos rectos formados con el transportador. ¿Qué observas? 4. Graficar un ángulo agudo cualquiera, luego con el uso del compás traza su bisectriz. Mide las distancias de un punto cualquiera de la bisectriz hacia los lados del ángulo. ¿Qué observas? 5. Grafica un segmento de recta de cualquier longitud, luego ubica a su punto medio con el uso del compás. ¿Qué se obtiene al dividir la longitud de uno de los segmentos obtenidos entre la longitud del segmento inicial?
  • 46. 46 Solo con enunciados CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe Conceptos básicos¡Tú puedes! Resolución de problemas 6. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C" tal que: AB = 86u y BC =58u. Siendo "M" punto medio de AC, calcular "BM". 7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "P", "Q" y "R" tal que: PR=68u y PQ=22u. Calcular la distancia entre "P" y el punto medio de QR. 8. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D" tal que: AB=18u, BC=24u y CD=30u. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD. 9. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D" tal que: AC = 36u, BD = 48u y BC = 10u. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD. 10. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m AOB=68º y m AOC=138º. Calcular la medida del ángulo formado por OA y la bisectriz del ángulo BOC. 11. Se tienen los ángulos consecutivos POQ y QOR que miden 100º y 50º respectivamente. Calcular el ángulo formado por OQ y la bisectriz del ángulo POR. 12. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que suman 180º. Si: m AOB=38º y m COD=76º, calcular: m BOC. 13. En el ejercicio anterior, calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOt B y COt D. Aplicación cotidiana • Alejandrita es aficionada a la carpintería ya que ayuda a su papá en la elaboración de un mueble para su cuarto. El papá le dice a Alejandrita que corte con una sierra la madera mostrada de 2 metros de longitud en tres partes, tal que la menor parte mida 40 cm y la mayor parte exceda a la parte intermedia en 20 cm. 1. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D" tal que: AC=42u; BD=78u y CD=3(AB). Calcular "AB". 2. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R" y "S" tal que: PR + QS = 124u. Calcular: PS + QR. 3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m BOC - m AOB = 48º. Calcular la medida del ángulo formado por OB y la bisectriz del ángulo AOC 4. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 90º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOC. 5. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que forman un ángulo llano. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD. Además: OB OC. 14. ¿Cuántos cortes realiza Alejandrita? 15. ¿Cuánto miden las otras dos partes? 2 metros
  • 47. 47 3 Central: 619-8100 Unidad II Conceptosbásicos Practica en casa 18:10:45 1. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si: AC = 21u; BD = 28u y AD = 30u, calcular "BC". 2. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si: AC = 19u; BD = 24u y AD = 27u, calcular "BC". 3. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R", "S" y "T". Si: PQ = QR; RS = ST; PR = 12u y RT = 20u, calcular "QS". 4. Calcular "PM", siendo "M" punto medio de QR. P 18u 22u 30u RQ S 5. Calcular "x", si: AM = MD; AC = 5m y AD = 16m. A C M D x 6. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos "P", "Q", "R" y "S" tal que "Q" es punto medio de PR. Si: PR=30 m y RS=10 m, hallar "QS". 7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "P", "Q", "R" y "S", tal que: PR=10 m; QS=12 m y QR=4 m. Calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de PQ y RS. 8. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si: AB=BC; AC=CD y AD=48u, calcular "BC". 9. Del gráfico mostrado, calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AC y BD respectivamente. 18u 12u 8u A CB D 10. Calcular "xº". 2xº 40º 11. Calcular "xº". 3xº 2xº 12. Calcular "xº". 3xº + 5º 4xº - 10º 13. Calcular "xº". 2xº - 15º 2xº + 15º 60º 14. Calcular "xº". 2xº - 10º 3xº + 10º 15. Calcular "xº". 4xº A B C xº + 10º O
  • 48. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 48 Complemento y suplemento de un ángulo Complemento y suplemento de un ángulo En este capítulo aprenderemos: • A comparar la medida de un ángulo con el ángulo recto y el ángulo llano. • A relacionar gráficamente y algebraicamente el complemento y suplemento de un ángulo. • A identificar a dos ángulos complementarios y suplementarios. Torre de Pisa La torre de Pisa (Italia) se construyó verticalmente, pero por lo débil de los cimientos de la torre se produjo una ligera inclinación dejando la torre en tres pisos. Después de 100 años aproximadamente se reinició la construcción de los cuatro pisos restantes con la finalidad de corregir la inclinación pero la torre se inclinó más. Desde el 2001 se reabrió el acceso al público ya que no existe riesgo alguno. Actualmente se hacen edificaciones con inclinaciones gracias a la tecnología, lo cual le da un aspecto de modernidad. • ¿Qué ángulo está inclinada la torre de Pisa? • ¿La inclinación de la torre de Pisa fue adrede? http://www.viajesmag.com CAPITULO 4
  • 49. Geometría Central: 619-8100 49 Unidad II Conceptos básicos Saberes previos • El ángulo recto AOB mide ...................... O A B • Una recta se grafica idénticamente a un ángulo 180º • 5 – [12 + (8 - 2)] = ........................................... 16 – [24 – (12 – 5)] = ........................................... 2x – [6x + 10x – (6x – 3x)] = ........................................... 18a – [12a – 3(4a – a)] = ........................................... ............................................. Definición de ángulos complementarios Son aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 90º. O A αº B E H F θº αº + θº = 90º Los ángulos AOB y EFH son complementarios. Definición de ángulos suplementarios Son aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 180º. Φº + ωº = 180º P ωº R Q Φº N M O Los ángulos MON y RPQ son suplementarios
  • 50. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 50 Complemento y suplemento de un ángulo Complemento de un ángulo Es el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 90º Complemento de 30º = 90º - 30º Complemento de 30º = 60º C30º = 60º 30º Complemento de 50º = 90º - 50º Complemento de 50º = 40º C50º = 40º 50º qº Cqº Complemento de "qº": Cqº = 90º – qº Suplemento de un ángulo Es el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 180º. Suplemento de 40º = 180º - 40º Suplemento de 40º = 140º S40º = 140º 40º Suplemento de 60º = 180º - 60º Suplemento de 60º = 120º S60º = 120º 60º Suplemento de 100º = 180º - 100º Suplemento de 100º = 80º S100º = 80º 100º Suplemento de 130º = 180º - 130º Suplemento de 130º = 50º S130º = 50º 130º Suplemento de ωº = Sωº = 180º - ωº ωº Sωº Los ángulos de referencia son los de 90º y 180º de tal manera que al conocer un ángulo agudo u obtuso se pueden relacionar con dichos ángulos. Ten en cuenta
  • 51. Central: 619-8100 51 4 Unidad II ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Para combinar operaciones con el complemento y suplemento de un ángulo se usan términos prácticos como por ejemplo: 1. Si nos piden: • Calcular el complemento de 40º y luego el suplemento del resultado. La solución es: C40º = 90º - 40º = 50º S50º = 180º - 50º = 130º Respuesta: 130º • En forma práctica: Calcular el suplemento del complemento de 40º. La solución es: SC40º = 180º - (90º - 40º) SC40º = 180º - 50º ∴ SC40º = 130º 2. Si nos piden: • Calcular el complemento del resultado del suplemento de 110º. La solución es: S110º = 180º - 110º = 70º C70º = 90º - 70º = 20º Respuesta: 20º • En forma práctica: CS110º = 90º - (180º - 110º) CS110º = 90º - 70º CS110º = 20º 1. Calcular el complemento de 53º. 2. Calcular el suplemento de 81º. 3. Calcular la suma entre el complemento de 10º y el suplemento de 100º. 4. Calcular la suma entre el complemento de 30º y el suplemento de 70º. 5. Calcular la diferencia entre el suplemento de 70º y el complemento de 50º. 6. Calcular la diferencia entre el suplemento de 50º y el complemento de 50º. 7. Calcular la suma entre el suplemento y el complemento de 60º. 8. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 80º. 9. Calcular el complemento del suplemento de 125º. 10. Calcular el suplemento del complemento de 75º. Ten en cuenta
  • 52. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 52 Complemento y suplemento de un ángulo Conceptos básicosAprende más... Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • Dos ángulos complementarios tienen que ser consecutivos..................................................( ) • Tres ángulos que miden 30º; 40º y 110º son suplementarios................................................( ) 2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, con los términos del recuadro mostrado: • Para que un ángulo tenga ................................., tiene que ser menor o ................................. a 90º y para que un ................................. tenga suplemento ................................. que ser ................... .............. o igual a 180º. • El complemento de un ángulo ................................. es cero y el ................................. de un ángulo llano también es ................................. ángulo - recto - suplemento - complemento consecutivos - cero - igual - tiene - mayor menor - llano - centro 3. Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios. 4. Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios. 5. Completar los recuadros, según los gráficos: θº ...... − ...... ...... − ...... αº Resolución de problemas 6. Calcular el complemento del suplemento de 124º. 7. Calcular el suplemento del complemento de 72º. 8. Calcular la suma entre el suplemento y el complemento de 68º. 9. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 57º. 10. Calcular la diferencia entre el complemento de 14º y el suplemento de 158º. 11. Calcular el suplemento del suplemento de 131º. 12. Calcular la medida de un ángulo, si su complemento es 35º. 13. Calcular la medida de un ángulo, si su suplemento es 128º. 14. Si "xº" es la medida de un ángulo y el complemento de "xº" es 39º, calcular "xº". 15. Si "θº" es la medida de un ángulo y el suplemento de "θº" es 63º, calcular "θº".
  • 53. Central: 619-8100 53 4 Unidad II Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptosbásicos ¡Tú puedes! 1. Si el complemento de "xº" es igual al doble de "xº", calcular "xº". 2. Si el suplemento de "θº" es el cuádruple de "θº", calcular "2θº". 3. Calcular la medida de un ángulo, si la suma de su complemento y su suplemento es 200º. 4. Si el suplemento de un ángulo es el cuádruple de su complemento, calcular la medida de dicho ángulo. 1. Calcular el complemento de 26º. 2. Calcular el suplemento de 83º. 3. Calcular el complemento de 72º. 4. Calcular el suplemento de 100º más el complemento de 50º. 5. Calcular el suplemento de 80º menos el complemento de 60º. 6. Calcular el complemento de 70º más el suplemento de 130º. 7. Calcular el complemento del suplemento de 170º. 8. Calcular el complemento del suplemento de 118º. 9. Calcular el complemento del complemento de 39º. 10. Calcular el suplemento del suplemento de 111º. 11. Calcular el complemento del complemento de 83º. 12. Calcular el suplemento del suplemento de 141º. 13. Calcular la suma del complemento y el suplemento de 25º. 14. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 65º. 15. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 45º
  • 54. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 54 Ordenamiento lineal y circular Conceptos básicosAprende más... Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Repaso bimestral 1. Si: BC = 3 (AB) y AC = 72u, calcular "AB". A B C 2. Si: PQ = 5 (QR) y PR = 54u, calcular "QR". P Q R 3. Si: AB=36u; BC=42u y CD=54u, calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD. A C DB 4. Calcular "αº" 42º αº 2αº 5. Calcular "xº". 5xº - 26º 2xº + 19º 6. Calcular "2θº" 74º 3θº θº 7. Si: m AOC = 104º; m BOD = 118º y m BOC = 60º, calcular: m MON. (OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD.) O D C B A 8. Calcular el suplemento del complemento de 70º más el complemento de 60º. 9. Calcular el complemento del suplemento de 160º más el suplemento de 95º. 10. Calcular el complemento del suplemento de 115º menos el complemento de 85º. Comunicación matemática 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F") • El complemento de 100º es -10º........................................................................................... ( ) • El suplemento de 200º es -20º............................................................................................... ( ) • El suplemento de 300º es 60º................................................................................................ ( ) • Los ángulos que miden 20º; 30º y 40º son consecutivos....................................................... ( ) 5
  • 55. Geometría Central: 619-8100 55 Unidad II Resolución de problemas 6. Se tienen los puntos colineales "A", "B" y "C" tal que: BC = AB + 12u y AC = 32u. Calcular "AB". 7. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R" y "S" tal que: PQ = 6u; QR = 14u y RS = 36u. Calcular "QM", si "M" es punto medio de PS. 8. Se tienen los ángulos consecutivos y suplementarios AOB y BOC tal que: m BOC=2 m AOB. Calcular: m AOB. 9. Se tienen los ángulos consecutivos y complementarios AOB y BOC tal que: m AOB = 4 m BOC. Calcular: m BOC. 10. Calcular la diferencia entre el suplemento del complemento de 65º y el complemento de 55º. 11. Calcular la diferencia entre el complemento del suplemento de 98º y el complemento de 86º. 12. Si el suplemento de un ángulo es igual a 116º, calcular el complemento de dicho ángulo. 13. Calcular el máximo número de segmentos que se determinan en una recta al ubicar 21 puntos. 2. Completar las siguientes relaciones gráficas: x y A B C BC = ...... − ...... m MOE = ....... − ....... αº θº N E M m AOB = ........ − ........ 2ωº A C B 3. Graficar dos ángulos opuestos por el vértice agudos. 4. Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios, tal que uno de ellos mida 50º. 5. Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios, tal que uno de ellos mida 105º. O O Aplicación cotidiana • En un encuentro de fútbol el delantero Waldy lanza un balón de larga distancia al arquero Ronaldo; pero antes de llegar al arco, el balón da un rebote de tal manera que el ángulo del trayecto del balón antes del rebote con el campo es el triple del ángulo del trayecto de rebote con el campo y el ángulo que forman estas trayectorias mide 105º. http://www.futbolred.com 14. Calcular las medidas de los ángulos mencionados. 15. Calcular el complemento del menor de los ángulos anteriores.
  • 56. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 56 Repaso bimestral Conceptos básicos¡Tú puedes! Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. En AC se ubica el punto "B", tal que: AB - BC = 10u. Calcular la distancia de "B" al punto medio de AC. (AB>BC) 2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos "G", "M", "A" y "B". Calcular "GB", si: GA = 20u y GB + AB = 50u. 3. Calcular "xº", si: βº = 20º. xº 2βºβº 4. Si: m AOC + m BOD = 250º, calcular la m BOC. OA D C B 5. Si el suplemento del suplemento del suplemento del complemento del complemento de un ángulo es 80º, calcular la medida de dicho ángulo. 1. Calcular "x", si: AB = 52. EA F B x 12 3x 2. Si: PM = 33; MN = 45 y PQ = 98, calcular "NQ". MP N Q 3. Calcular "x". EA F D 17 x 78 49 4. Si: AB = 14; BC = 16 y CD = 26, calcular "MN", si "M" y "N" son puntos medios de AB y CD. M B CA N D 5. Si: m AOC = 148º y m BOC = 82º, calcular el complemento del ángulo AOB. B CO A 6. Si: m AOB = 42º, m BOC = 104º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM. M B CO A 7. Calcular "xº". xº 3xº 2xº 4xº
  • 57. Central: 619-8100 57 5 Unidad II 8. Calcular el complemento de "αº". C B DA O 2αº 100º αº 139º 9. Calcular el complemento de 16º más el suple- mento de 128º. 10. Si: AQ = 48 cm; NP = 72 cm y AP = 96 cm, calcular "NQ". N Q PA 11. Calcular "MN", si: AB=18; BC=40 y "M" y "N" son puntos medios de AB y AC. M B NA C 12. Calcular "BE", si: AC = 18. B CA x 2x 4x E 13. Si: m AOB = 46º; m BOC = 72º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM. B M CO A 14. Calcular el suplemento de "αº". 48º 2αº αº 15. Si: m AOB = 44º; OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y AOC, calcular: m MON. C N O B M A
  • 58. AprendiZajes esperados UNIDAD 1 L a base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos. ¿Cuál es la etimología de Geometría? ¿Qué estudia la Geometría? ¿Qué es postulado? Conociendoalageometría UNIDAD 1 • Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos. • Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte. • Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables. • Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás. • Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables.
  • 59. Central: 619-8100 Geometría 59 www.trilce.edu.pe 1 Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante En este capítulo aprenderemos: • A definir y graficar dos rectas paralelas. • A reconocer los ángulos alternos internos entre dos rectas paralelas. • A plantear las propiedades correspondientes a los ángulos alternos internos. • A reconocer los ángulos correspondientes determinados entre dos rectas paralelas. • A plantear las propiedades relacionadas a los ángulos correspondientes. • A desarrollar diversos problemas. El Partenón El diseño del Partenón estuvo condicionado inicialmente para albergar la imagen de oro y marfil de Atenea Parthenos, esculpida por Fidias. La colosal estatua de doce metros de altura precisaba de una inmensa cella de más de 18 metros de anchura, dividida en tres naves mediante una doble columnata conformada por dos órdenes superpuestos de estilo dórico. La nave central medía diez metros de anchura. Dentro de la cella del lado este, la columnata se dispuso en forma de "U" y estaba compuesta por nueve columnas con un entrepaño entre cada una de ellas, en los lados largos de la "U". Tres columnas con dos entrepaños formaban el lado corto. En la zona oeste, al fondo del interior de la columnata de cuatro columnas, existía el basamento de la estatua, para el culto a Atenea Parthenos con un amplio estanque, poco profundo, que producía un efecto de brillo mediante el agua frente a ésta. Ambas cellas estaban cerradas por puertas de bronce. La cella del este estaba dedicada a Atenea Polías (protectora de la ciudad), y la cella del oeste estaba dedicada a Atenea Párthenos, "la virgen", por lo cual todo el edificio acabó siendo conocido como el Partenón. La decoración escultórica del Partenón es una combinación única de las metopas (esculpidas en altorrelieve extendiéndose por los cuatro lados externos del templo), los tímpanos (rellenando los espacios triangulares de cada frontón) y un friso (esculpido en bajorrelieve abarcando el perímetro exterior de la cella). En ellos se representan varias escenas de la mitología griega. Además, las diversas partes del templo estaban pintadas de colores vivos. El Partenón es, sin duda, el máximo exponente del orden dórico, como se puede apreciar en el diseño del friso o sus columnas. • Desde la antigüedad ya se conocía el concepto de paralelismo , ¿las columnas del Partenón son paralelas? http://oyukimacias.files.wordpress.com/2010/06/partenon.jpg CAPITULO
  • 60. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 60 Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante Conceptos básicos Saberes previos • Ángulos opuestos por el vértice • Ángulos suplementarios aº qº aº + qº =180º aºaº L1 L2 • En la bisectriz: qº qº A O B bisectriz del BAOB • En un triángulo: aº qº bº aº + qº + bº =180º También: Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si están en un mismo plano y no tienen puntos en común, es decir no tienen puntos de corte. Se lee: "La recta L1 es paralela a la recta L2". L1 L2 Gráfico: Notación: !! L1 // !! L2 aº bº L2 L3 L1 • !! L1 // !! L2 . • !! L3 es la recta secante a !! L1 y !! L2 • "aº" y "bº" son las medidas de los ángulos alternos internos. aº = bº Entonces: fº qº L2 L3 L1 qº = fº Entonces: • !! L1 // !! L2 Ángulos alternos internos Son los pares de ángulos que se encuentran entre dos rectas paralelas y en lados diferentes de la recta secante.
  • 61. Central: 619-8100 61 Unidad III 1 Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Ángulos correspondientes Son los pares de ángulos que se encuentran a un mismo lado de la recta secante y a un mismo lado de cada recta paralela. aº = bº Entonces: L1 L2 L3 aº bº • !! L1 // !! L2 • !! L3 es la recta secante a !! L1 y !! L2 • "aº" y "bº" son las medidas de los ángulos correspondientes. También: qº fº • !! L1 // !! L2 qº = fº Entonces: L1 L2 L3 1. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 L1 L2 72º aº+10º 2. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 62º qº+5º L1 L2 3. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº" L1 L2 qº+20º 142º 4. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº" L1 L2 135º qº+40º 5. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "aº" L1 L2 48º 2aº+10º 6. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 140º 7qº
  • 62. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 62 Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante Conceptosbásicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones. • Las rectas paralelas son aquellas que al ser prolongadas no tienen ningún punto en común ................................................................................................( ) • En el gráfico: (L1 // L2) L1 L2 aº qº Se muestran dos ángulos alternos internos..................................................................( ) • Dos rectas paralelas !! L1 y !! L2 se denotan como: !! L1 // !! L2 ............................................... ( ) 2. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico: aº=.......... L1 L2 aº qº • Si: !! L1 // !! L2 • Si: !! L1 // !! L2 L1 L2 aº bº aº=.......... 7. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "aº" L1 L2 3aº 54º 8. Si: !! a // !! b, calcular "aº" a b 94º 4aº+10º 9. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 L1 L2 5qº 145º 10. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 L1 L2 154º xº+35º
  • 63. Central: 619-8100 63 Unidad III 13. Grafica haciendo uso de la regla: • Dos rectas horizontales paralelas !! L1 y !! L2 y una recta secante a ellas oblicua !! L3 . 4. Relaciona mediante flechas, si: !! L1 // !! L2 L1 L2 aº qº L1 L2 bº wº • Ángulos correspondientes • Ángulos alternos internos 5. De acuerdo al gráfico, plantea la ecuación. • Si: !! L1 // !! L2 L1 L2 qº aº Ecuación: aº+.......... = ........... Resolución de problemas 6. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº" L2 L1 145º 5qº+10º 7. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 3qº+10º L2 76º 8. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "xº" L1 L2 xº+5º 78º 9. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 L1 L2 138º xº+35º
  • 64. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 64 Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante Conceptos básicos¡Tú puedes! Aplicación cotidiana El sol Los rayos solares del sol emiten haces de luz como lo muestra la figura. El "haz 1" es paralelo al "haz 2" y forman los ángulos mostrados "aº"; "bº" y "qº" 14. Si un alumno observa que: aº = 46º, calcular "bº". 15. Con las condiciones anteriores, calcular "qº". 1. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº". L1 L2 2qº 58º 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 xº 50º 65º 3. Si: !! L1 // !! L2 // !! L3 , calcular "xº" L1 L2 L3 70º 45º xº 4. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "xº". L1 L2 72º xº 60º 10. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 124º 2xº+10º L2 L1 11. Calcular "aº", si: !! m // !! n m n 3aº 70º–2aº 12. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2. L1 L2 4xº 132º 13. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2. L1 L2 135º 3qº aº bº qº haz "1" haz "2"
  • 65. Central: 619-8100 65 Unidad III 1 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 75º xº 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 120º 3xº L2 L1 3. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 3qº 72º 4. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 45º 3qº 5. Calcular "xº", si: !! a // !! b . 150º 3xº a b 6. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 66º 6qº 7. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 5aº+30º 145º 8. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 65º 5bº+20º 5. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº". L1 L2 120º 40º qº
  • 66. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 66 Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante 9. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 3qº+27º 162º 10. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 3aº+mº 171º+mº 11. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 nº+5bº 70º+nº 12. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 146º xº 13. Calcular "yº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 108º 4yº 14. Calcular "xº", si: !! m // !! n . 3xº–1º n m 71º 15. Si: !! a // !! b , calcular "qº". 2qº–1º 139º a b ...................................................... ( )
  • 67. Central: 619-8100 Geometría 67 www.trilce.edu.pe Geometría 67 Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas En este capítulo aprenderemos: • A aplicar las propiedades dadas a ángulos alternos internos. • A aplicar las propiedades dadas a ángulos correspondientes. • A desarrollar diversos problemas sobre ángulos determinados por rectas paralelas. • En las vallas mostradas, ¿observarás objetos paralelos? Postes paralelos La valla es un elemento superficial vertical que se utiliza para delimitar terrenos y protegerlos contra intrusos. Suelen ser de madera o metálicas. Las vallas se colocan alrededor de un terreno o jardín y tienen la función de impedir la entrada al mismo o de proteger la intimidad de sus habitantes. Las vallas se instalan en granjas, terrenos agrícolas o en otros espacios privados como, por ejemplo, los jardines de las viviendas unifamiliares. Una valla clásica está formada por una serie de tablones o estacas de madera colocados en vertical y terminados en punta o de forma redondeada. Los tablones se clavan al terreno y se unen por medio de otras tablas horizontales que se clavan a las anteriores. Existen también vallas metálicas que consisten en una malla de alambre, denominada alambrada. También se encuentran vallas confeccionadas con materiales naturales como cañas o brezo. En este caso, las piezas se trenzan con alambre conformando una superficie tupida. CAPITULO 2
  • 68. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 68 Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Saberes previos • Ángulos opuestos por el vértice aº aº • Ángulos alternos internos Si: !! a // !! b. qº qº a b • Ángulos consecutivos y suplementarios bº aº aº+bº= 180º • Ángulos correspondientes Si: !! m // !! n . qº qº m n 1. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "qº". 144º 3qº L1 L2 2. Si: !! L1 // !! L2 , calcular "xº". L1 L2 126º 9xº 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 xº+40º 35º 4. Si: !! a // !! b , calcular "qº". 4qº a b 20º
  • 69. Central: 619-8100 69 Unidad III 2 Conceptosbásicos Aprende más... 5. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 5aº 60º 6. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . xº 40º 65º L1 L3 L2 7. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . xº 42º L1 L3 L2 48º 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 xº 62º 58º 9. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3L2 xº35º 125º 10. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . qº L1 L3 L2 135º 52º Comunicación matemática 1. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico: aº+ ...... = ....... L1 L2 bº aº • Si: !! L1 // !! L2 . • Si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . xº= ..... + .....xº bº L1 L3 L2 aº
  • 70. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 70 Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas Resolución de problemas 6. Calcular "qº", si: !! a // !! b. 3qº 126º a b 7. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . 3qº+70º 5qº+40º L1 L2 2. Plantea la ecuación correcta de acuerdo al gráfico, en términos de "aº"; "bº" y "qº" ( !! L1 // !! L2 // !! L3 ) Ecuación: ......=.........+......... L1 L3 L2 qº aº bº 3. Graficar haciendo uso de la regla: • Tres rectas paralelas verticales !! a ; !! b y !! c . 4. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda. a b aº qº • En el gráfico, donde: !! a // !! b Tenemos que: aº = qº ................. ( ) qº yº xº a b c • En el gráfico, donde: !! a // !! b // !! c Tenemos que: qº = xº – yº ............... ( ) 5. Completa el gráfico, de acuerdo al enunciado. • Unir mediante segmentos los puntos "A"; "B" y "C". L1 L3 L2 A B C
  • 71. Central: 619-8100 71 Unidad III 2 Aplicación cotidiana La reja de la ventana Por seguridad Julio coloca rejas en la ventana del frontis de su casa como lo muestra la figura. Si todas las rejas horizontales son paralelas entre sí y las rejas oblicuas también son paralelas entre sí. Calcular: 14. ¿Cuál es la relación que cumple "aº" y "bº" de acuerdo a las condiciones dadas? 15. ¿Qué relación cumple "aº" y "qº" de acuerdo a las condiciones brindadas? aº qº bº 8. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 6qº 2qº–20º 9. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . xº 53º 28º a b c 10. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 120ºxº 62º 11. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 xº 51º 38º 12. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . xº a c b 134º 128º 13. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 xº 138º 62º
  • 72. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 72 Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. Si: !! a // !! b , calcular "xº". 2qº 50º xº qº a b 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 150º 120º xº L1 L2 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 70º L1 L2 125º xº 4. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 xº 23º 58º 5. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 bº bº aº aº xº 1. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . 2xº 50º L1 L2 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 50º xº 3. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 62º xº 4. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 126º xº
  • 73. Central: 619-8100 73 Unidad III 25. Calcular "aº", si: !! a // !! b . 129º a b 3aº 6. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! c . xº a c b 43º 22º 7. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3L2 qº72º 141º 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 xº 120º 135º 9. Si: !! L1 // !! L2 // !! L3 , calcular "qº". qº L1 L3 L2 64º 10. En la figura, calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 2qº 34º 11. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L2 L3 L1 82º aº 132º 12. Calcular "aº", si: !! a // !! b // !! c . a c b 25º aº 93º 13. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . 100º aº 40º L2 L3 L1 14. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 qº 62º 15. Calcular "xº + yº", si: !! a // !! b // !! c a c b yº xº 130º 34º
  • 74. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 74 3 Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas En este capítulo aprenderemos: • A reconocer los ángulos alternos internos dados entre dos rectas paralelas. • A aplicar las propiedades dadas a los ángulos alternos internos. • A reconocer los ángulos correspondientes entre dos rectas paralelas. • A aplicar las propiedades dadas en los ángulos correspondientes. • A conocer nuevas propiedades y desarrollar diversos problemas. • ¿El concepto de paralelismo se usaba para la construcción de templos? Los cuatro postes El templo pudiera haber tenido origen en el Megaron, sala rectangular precedida por un pórtico de columnas (stylos), existente en la casa Micénica y que era la habitación más importante de la casa griega y santuario de los dioses familiares, tal como lo describe Vitrubio. En las invasiones y guerras, los ganadores derruían el palacio del rey vencido, pero respetaban el Megaron puesto que era la casa del dios de la región. Así, el templo más antiguo era el In-antis, que tiene todo el aspecto de ser una habitación que ha perdido la casa que tenía alrededor. Son construcciones arquitrabadas que se alzan sobre una plataforma con gradas (krepis o krepidoma), llamándose estilóbato al último escalón. La planta definitiva del templo griego constaba de un local llamado cella, un espacio interior, de forma rectangular, que constituye el núcleo de la construcción. Tiene una sola abertura, la puerta, sin ventanas. A veces el templo tiene dos cellas, con las puertas en las fachadas principales, las más cortas, y en este caso cada cella suele estar dedicada a una divinidad distinta. 3CAPITULO
  • 75. Geometría Central: 619-8100 75 Unidad III Conceptos básicos Saberes previos L1 L2 d d L1 // L2 • Rectas paralelas qº qº • Ángulos opuestos por el vértice bº aº aº + bº = 90º • Ángulos complementarios • Ángulos consecutivos y suplementarios aº bº aº + bº = 180º • Si: !! L1 // !! L2 // !! L3 , calcular "xº" en términos de "aº" y "bº". L1 L3 L2 aº bº xº Resolución: L1 L3 L2 aº aº bº bº xº xº = aº + bº • Trasladamos los ángulos alternos internos (ángulos de igual medida) "aº" y "bº" • Por adición de ángulos: Recuerda que...
  • 76. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 76 Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas ConceptosbásicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 • En general: xº L1 L2 bº aº Si: !! L1 // !! L2 Entonces: xº = aº + bº 1. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 5qº+10º 4qº+60º 2. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 4qº+5º 65º 3. Calcular "xº", si: !! a // !! b . a b 58º 2xº 4. En la figura , calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 9qº 72º 5. Calcular "xº", si: !! a // !! b // !! m. xº 30º 45º a m b 6. Calcular "aº", si: !! m // !! n . m n 63º 7aº Recuerda que...
  • 77. Central: 619-8100 77 Unidad III 3 Conceptos básicosAprende más... 7. Calcular "qº", si: !! a // !! b . 5qº+20º 75º a b 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . xº L1 L2 38º 45º 9. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 46º aº 10. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 148º xº Comunicación matemática 1. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico. aº +.....=...... bº aº+qº a b • Si: !! a // !! b . • Si: !! m // !! n . zº xº+yº m n zº =.....+...... 2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda, en los siguientes enunciados. • En el gráfico: L1 L2 aº bº xº Tenemos que: xº=aº+bº, si: !! L1 // !! L2 .............................................................................( ) • En los ángulos opuestos por el vértice, las medidas de los ángulos son diferentes ..........( )
  • 78. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 78 Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas Resolución de problemas 6. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 5aº 65º 7. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 3xº+20º xº+80º 8. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 80º 5qº+15º 9. Calcular "xº", si: !! a // !! b . 5xº xº a b 3. Completa el gráfico, según el enunciado: • Une mediante segmentos de recta los puntos "A" con "B" y "A" con "C". A B C 4. Relaciona con flechas, si: !! a // !! b . a b aº aº • Ángulos correspondientes • Ángulos alternos internos qº qº a b 5. Plantea la ecuación de acuerdo al gráfico, en términos de "xº"; "yº" y "zº" Si: !! a // !! b a b xº+zº yº Ecuación: .........................=.........
  • 79. Central: 619-8100 79 Unidad III 3 Conceptos básicos¡Tú puedes! 10. Calcular "xº", si: !! m // !! n // !! r . xº 70º 65º m n r 11. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 4xº+5º 65º 12. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 xº 62º 65º 13. Calcular "xº", si: !! a // !! b . 100º 48º xº a b Aplicación cotidiana El vaso de agua Un vaso contiene agua hasta cierta medida. Un alumno lo inclina 40º como muestra la figura y se originan los ángulos "aº" y "bº". 14. Calcular la medida del ángulo "aº". 15. Calcular la medida del ángulo "bº". 40º bº aº 1. Si: !! a // !! b , calcular "xº". xº a b 130º+mº 150º–mº 2. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 // !! L3 . L1 L3 L2 2qº xº 8qº
  • 80. CEILTR Colegios www.trilce.edu.pe 80 Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 48º 6qº 2. Calcular "aº", si: !! a // !! b . 55º 5aº a b 3. Calcular "qº", si: !! a // !! b . 2qº 58º a b 4. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 5aº 60º 5. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L12aº 80º 6. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 5xº+20º 60º 3. Calcular "bº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 qº qº bº 60º 25º 4. Calcular "mº – nº", si: !! a // !! b 120º nº mº a b 5. Calcular "xº+yº", si: aº+bº=50º y además: !! L1 // !! L2 . L2 L1 yº aº aº xº bº bº
  • 81. Central: 619-8100 81 Unidad III 3 7. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 140º 7xº 8. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 3xº 75º 9. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 3xº–10º 50º 10. Calcular "qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 75º 7qº+ 5º 11. Calcular "xº", si: !! a // !! b . a b65º 40º xº 12. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . 60º L1 L2 33º aº 13. Calcular "aº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 aº 114º 150º 14. Calcular "xº", si: !! L1 // !! L2 . L2 L1 75º 80º xº 15. Calcular "aº+qº", si: !! L1 // !! L2 . L1 L2 130º 40º 60º 2aº aº qº