Đề thi hsg

1. Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 1
ĐỀ SỐ 01
Câu 1. Cho biểu thức:
2 2
2 ( 1)( 2 )
x x
P
x x x x x x x

  
   
a. Rút gọn P .
b. Tính P khi 3 2 2x   .
c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Câu 2. Giải phương trình:
a. 2
10 27 6 4x x x x     
b. 2
2 2 4 0x x x x x    
Câu 3.
a. Tìm các số nguyên ;x y thỏa mãn: 2
2 3 2 0y xy x   
b. Cho 1; 0x y  , chứng minh:
3
3 3
1 1 1 3 2
3
( 1) 1
x x x
x y y x y
    
      
    
c. Tìm số tự nhiên n để: 2012 2002
1A n n   là số nguyên tố.
Câu 4.
Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác
C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt
đường thẳng CD tại K.
a. Chứng minh: 2 2
1 1
AE AF
 không đổi
b. Chứng minh: os sin .cos sin .cosc AKE EKF EFK EFK EKF 
c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho
khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD.
Câu 5.

2. Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 2
Cho ABCD là hình bình hành. Đường thẳng d đi qua A không cắt hình bình hành, ba
điểm H, I , K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng d. Xác định vị trí đường thẳng
d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn nhất.
ĐỀ SỐ 02
Câu 1 (4 điểm)
1. Rút gọn biểu thức A = 15 6 6 33 12 6   .
2. Cho x =
3 5 7 3 5
2 2
  
. Tính P(x) = 2 2011
( 1)x x  .
3. Chứng minh rằng đa thức Q(x) = 2 2010
(2010 2009 1)x x  chia hết cho đa thức x + 1.
Câu 2 (4 điểm)
1. Giải bất phương trình
2 1
1
81
x x
x

 

.
2. Giải hệ phương trình 2 2
1
2
x y xy
x y xy
   

 
Câu 3 (4 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(4;2), B(–7;0), C(0;–4), D(–6;–3), E(3;–2), F(2;–7).
1. Chứng minh các đường thẳng AD, BE, CF đồng qui.
2. Gọi M là một điểm trên đường thẳng AD và điểm H( 5; 3 5) . Chứng minh: MH  7.
Câu 4 (4 điểm)
Cho tam giác ABC 0
( 90 )B C  , Ax là một tia bất kì nằm giữa hai tia AB và AC. Vẽ BD
và CE cùng vuông góc với Ax (D và E cùng nằm trên Ax). Gọi I là giao điểm của Ax và BC.
1. Chứng minh rằng khi Ax là tia phân giác của góc A thì ta có
AD ID
AE IE
 .
2. Xác định vị trí của Ax để BD + CE đạt giá trị lớn nhất.

3. Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 3
3. Chứng minh:
2 2
A a
sin
bc
 . Từ đó suy ra:
1
. .
2 2 2 8
A B C
sin sin sin  .
Câu 5 (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi O là trung điểm của BC. Đường tròn (O; R)
tiếp xúc với AB ở E, tiếp xúc với AC ở F. Điểm H di chuyển trên cung nhỏ EF (H khác E, F).
Tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB, AC lần lượt tại M, N.
1) Gọi p là nửa chu vi tam giác AMN. Chứng minh AE= AF= p.
2) Chứng minh hai tam giác MOB và ONC đồng dạng.
3) Xác định vị trí của điểm H sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất.
ĐỀ SỐ 03
Câu 1 (4 điểm).
a) Tìm số tự nhiên có 2 chữ số xy , biết rằng hai chữ số đó hơn kém nhau 5 đơn vị và
2 2
xxyy xx yy  .
b) Biết a – b = 7. Tính giá trị của biểu thức: A= a2
(a+1) – b2
(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1).
Câu 2 (4 điểm).
a) Cho 3 số thực a, b, c. Chứng minh rằng:
a2
+ b2
+ c2
 ab+bc+ca+
2 2 2
( ) ( ) ( )
2 12 2011
a b b c c a  
  .
b) Với x >0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M= 4x2
– 3x +
1
4x
+ 2011.
Câu 3 (4 điểm).
a) Giải phương trình: 4 1x  – 3 2x  =
3
5
x 
.
b) Cho hệ phương trình: 2
3
2
x my m
mx y m
 

  
.
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2
– 3x + y > 0.

4. Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 4
Câu 4 (6 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có cạnh BC cố định còn
điểm A thay đổi trên (O). Các đường cao BD, CE của tam giác cắt nhau tại H.
a) Chứng minh bốn điểm A, E, D, H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tia AO kéo dài cắt (O) tại F. Chứng minh khi A thay đổi trên (O) thì đường thẳng HF luôn đi
qua một điểm cố định.
c) Giả sử AB > AC. Chứng minh AB2
+ CE2
> AC2
+ BD2
.
d) Đường phân giác của góc A cắt BC tại K và (O) tại L. Gọi I là giao điểm của đường trung trực
đoạn AK với AO. Chứng minh rằng (I, IA) tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với BC tại K.
Câu 5 (2 điểm). Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một
tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt các tấm bìa?
ĐỀ SỐ 4
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức:
2 1 1
:
21 1 1
x x x
P
x x x x x
  
        
. Với x > 0, x  1.
a. Rút gọn biểu thức P. b)Tìm x để
2
7
P  . c) So sánh: P2
và 2P.
Bài 2: (4,0 điểm)
a. Tính giá trị biểu thức K = 2x3
+ 2x2
+1 tại x = 3 3
1 23 513 23 513
1
3 4 4
  
  
 
 
b. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2013
và
1 1 1 1
2013a b c
   thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2013.
Bài 3: (4,0 điểm)
a. Giải phương trình: 2
7 6 5 30x x x    .
b. Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

5. Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 5
3
2 2 2
( )ab bc ca a b c
P
abca b c
   
 
 
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, AH  BC, HE  AB, HF  AC ( H  BC,
E  AB, F  AC).
a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2
B.
b. Chứng minh rằng:
3
3
AB BE
CFAC
 .
c. Chứng minh rằng:
33 32 2 2
BC CF BE  .
d. Cho BC = 2a. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF.
Bài 5: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số
nguyên.
ĐỀ SỐ 5
Bài 1 ( 5,5 điểm ):
1) Cho biểu thức:
3
4
.
1
1
1
2 x
xxx
x
P 










a. Rút gọn P. b. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P
2) Giải phương trình: 2
2 3 5 2 3 12 14x x x x     
Bài 2 ( 2,5 điểm ): 1) Chứng minh rằng với Nn thì 12
 nn không chia hết cho 9.
2) Cho x, y, z thỏa mãn






02
0342
222
23
yyxx
yyx
Tính Q = x2
+ y2
.
Bài 3 ( 3 điểm ): 1) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 23x + 7y =17

6. Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 6
2) Cho a, b, x, y thoả mãn: 122
 yx và
bab
y
a
x


144
. CMR:
10031003
2006
1003
2006
)(
2
bab
y
a
x


Bài 4 ( 4 điểm ) 1) Cho hệ phương trình
 
 
1 2
1 1
x m y
m x y m
  

   
a) Giải hệ phương trình khi m =
1
2
b) Xác định giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x > y.
2) Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 CMR:
2 2 2
1
x y z
y z z x x y
  
  
Bài 5 ( 5 điểm ): 1) Cho (O, R) và điểm K nằm bên trong đường tròn. Hãy tìm dây cung ngắn
nhất của (O) đi qua K.
2) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn( A khác B và
C). Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa
đường tròn đường kính HB và HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.
a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.
b. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và
HC.
c. Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba
điểm I, A, K thẳng hàng.
d. Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn (O) tại M. Chứng minh
rằng MC, AH, EF đồng quy.
ĐỀ SỐ 6
Bài 1: (5,0điểm)

7. Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 7
Cho biểu thức
1 1 2x x 1 2x x x x
A :
1 x1 x x 1 x x
     
         
1. Tính giá trị của A khi x 17 12 2  . 2. So sánh A với A .
Bài 2 : ( 4,0 điểm )
1. Giải phương trình: 3 2
8 1 46 10 5 4 1x x x x x       
3 2
8 1 46 10 5 4 1x x x x x       
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2 2
8 23 16 44 16 1180 0x y x y xy     
3. Giải hệ phương trình:
3 3 3
2 2 2
x y z 16 2 (1)
x y z 8 (2)
x y z 2 2 (3)
   

  

  
Bài 3 ( 4,0 điểm )
1. T ính tổng S =
1 1 1
....
2 1 1 2 3 2 2 3 2013 2012 2012 2013
  
  
2. Cho ba số dương , ,x y z thoả mãn
1 1 1
1.
x y z
   Chứng minh rằng:
.x yz y zx z xy xyz x y z        
Bài 4 : ( 5,0 điểm )
Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M
là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.
1.Tính 2 2 2 2
sin sin sin sinMBA MAB MCD MDC  
2.Chứng minh: 2
(2 )OK AH R AH 
3.Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Bài 5: ( 2,0 điểm )

8. Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 8
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC, góc
ACB bằng α, góc AMB bằng . Chứng minh rằng: sin os 1 sinc    
ĐỀ SỐ 7
Bài 1: (6,0 điểm)
Cho biểu thức:
  
2
2 3 2 6
:
3 5 6 3 2 3
x x x x
Q
x x x x x x
                    
1. Tìm x để : 2Q  
2. Tìm giá trị của x để:   3
2 4 . 3 8x P x  
Bài 2: (4,0 điểm)
1. Tính.
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 ... 1 1
1 2 2 3 2011 2012 2012 2013
S             
2. Cho các số thực a,b,c và 3a b c   . Chứng minh:
4 4 4 3 3 3
a b c a b c    
Bài 3: (4,0 điểm)
1. Giải phương trình sau: xxxx  11313 2
2. Tìm x, y là số nguyên dương thỏa mãn:
1 1 1 1 1 1
10 100x yx y
    
Bài 4 (5,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường
tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt
là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.
1. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.

9. Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 9
2. Gọi α là số đo của góc BFE. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì biểu
thức 6 6
sin cosP    . Đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó.
3. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3
và
3
3
BE CE
BF DF
 .
Bài 5: (1,0 điểm)
Một học sinh viết dãy số sau: 49,4489,444889, 44448889,….. (Số đứng sau được viết 48
vào giữa số đứng trước). Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều là số chính
phương.
ĐỀ SỐ 8
Bài 1: (6 điểm)
Cho biểu thức A = 


























3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
1 Tìm số nguyên x để A nguyên
2. Với x 0 , x  25, x  9 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
5
)16( xA
Bài 2: (4 điểm)
1. Tìm số n nguyên dương thoả mãn 6)223()223(  nn
2. Cho a, b là các số dương thoả mãn 21  ba Tìm giá trị lớn nhất của A =
a
b
b
a

Bài 3: (4 điểm)
1. Giải phương trình
431532373 2222
 xxxxxxx
2. Cho    55)5 22
 yyxx Tính giá trị biểu thức E = x + y
Bài 4: (5 điểm)

10. Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 10
Cho đường tròn (0,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên
đường thẳng d  OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm)
dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua 1 điểm cố định.
b) Chứng minh H di động trên 1 đường tròn cố định
c) Cho biết OA = 2R. Hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ
nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 5: (1 điểm)
Trong các tứ giác lồi có độ dài 3 cạnh bằng nhau và bằng a (a là số dương cho trước).
Hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.
ĐỀ SỐ 9
Bài1: (6 điểm).
1. Cho biểu thức:
1 2 1
1 1 1
x x x
P
x x x x x
  
  
   
. Tìm giá trị lớn nhất của
2
Q x
P
 
2. Tính giá trị của 2011 2012 2013
2 3A x x x   Với
5 2 5 2
3 2 2
5 1
x
  
  

Bài 2: (4đ)
1. Tìm cặp số  ;x y , sao cho y nhỏ nhất và thỏa mãn: 2 2
5 2 4 3 0x y y xy    
2. Cho ; 0x y  và thỏa mãn 1x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 2
1 2
4A xy
x y xy
  

3. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x  y  z và 32 - 3x2
= z2
= 16 - 4y2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức zy + yz + zx
Bài 3: (4đ)
1. Giải phương trình: 2
5 5x x  

11. Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 11
2. Giải hệ:
 
 
2 2 2 2
2 2 2 2
185
65
x xy y x y
x xy y x y
    

   
3. Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho
1
2
2
4


yx
x
là số nguyên dương.
Bài 4.(5đ) Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC.
Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác.
a) Chứng minh rằng OMN HAB  . Tìm tỷ số đồng dạng.
b) So sánh độ dài AH và OM.
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng HAG OMG  .
d) Chứng minh ba điểm H,G,O thẳng hàng và 2GH GO .
Bài 5. (1đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC cố định, ˆACB  .Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức 3 4S Sin Cos   .
ĐỀ SỐ 10

12. Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 12
Câu I. (4,0 điểm): Cho biểu thức P =
 
x
x
x
x
xx
xx








3
3
1
32
32
3
1. Rút gọn P
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x.
Câu 2. (5,0 điểm) a) Giải phương trình:     2222
11051162  xxxxx
b) Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn:






115196
42
22
33
yxyx
yxyx
c) Tìm số tự nhiên n để 120022012
 nnA là số nguyên tố.
Câu 3. (3,0 điểm) 1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i.     abcaccbba  và ii.     333333333
cbaaccbba 
Chứng minh rằng: 0abc .
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 432
1 pppp  là số hữu tỷ.
Câu 4. (6,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). Lấy điểm P trên cung AB không
chứa C của đường tròn (O) (P khác A và B). Đường thẳng qua P vuông góc với OA cắt các
đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại Q, R; đường thẳng qua P vuông góc với OB cắt các đường
thẳng AB, BC theo thứ tự tại S, T.
a) Giả sử tam giác ABC cân tại C. Tìm vị trí của P trên cung AB để tổng PA + PB + PC
đạt giá trị lớn nhất.
b) Chứng minh rằng PQ2
= QR.ST.
2. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 108o
. Chứng minh
AC
BC
là số vô tỉ.
Câu 5. (2,0 điểm)
a) Cho ba số dương a, b và c thỏa 1 cba . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

13. Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 13
  accbba
cabcab
cbaA 222
222
14



b) Giả sử 1121 ,.....,, aaa là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2, đôi một khác nhau
và thỏa mãn 407...... 1121  aaa . Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các
số dư của các phép chia n cho 22 số 11211121 4,.......,4,4,,.....,, aaaaaa bằng 2012 ?