Pt nghiệm nguyên, phần 1

1. PT nghiệm nguyên Thầy Hồng Trí Quang
1
PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH CHIA HẾT
1. Phương pháp xét số dư
PP này thường để chứng minh pt vô nghiệm, ví dụ một vế lẻ, vế chẵn thì không thể bằng nhau, đó là
chia hết cho 2. Mở rộng ra với các số khác.
Bổ đề 1. Xét số chính phương 2
a khi chia cho một số
+) 2
0;1(mod3)a 
+) 2
a chia 4 dư 0, 1
+) 2
a chia 5 dư 0, 1, 4; +) 4
a chia 5 dư 0, 1. +) 3
a chia 5 dư?
+) 2
a chia 8 dư 0, 1, 4. +) 4
a chia 8 dư 0, 1.
+) 2
a chia 9 dư 0, 1, 4, 7. +) 3
0; 1(mod9)a  
Bổ đề 2. Nếu a, b nguyên và 2 2
a b chia hết cho 3 thì a và b đều chia hết cho 3
Bổ đề 3. Nếu 1(modb)a  1(modb)n
a 
Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥2
= 2𝑦2
− 8𝑦 + 3
Bài 2. Phương trình 2 2 2
1) 1( ( )z x y n    có nghiệm nguyên không nếu?
a) n = 2013 b) n = 2012 c) n = 1984
Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 2 2
15 7 9yx   .
Bài 4. Giải phương trình nghiệm nguyên 15 15 15 2003 2003 2003
19 7 9x y z     .
Bài 5. Giải mỗi phương trình sau với nghiệm tự nhiên:
a) 3
3 7x
y  ; b) 2 2 2x y x y
  ;
c) (2 1)(2 2) 3 307x x y
    d) 4 y
x x
Tự luyện
Bài 6. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥5
− 5𝑥3
+ 4𝑥 = 24(5𝑦 + 1)
Bài 7. Giải phương trình nghiệm nguyên
𝑎) 7𝑥2
− 5𝑦2
= 3; 𝑏) 2𝑥2
+ 𝑦2
= 1007
Bài 8. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 4
7 2014y
x  
Bài 9. Giải phương trình nghiệm nguyên
a) 9𝑥3
+ 6 = 𝑦3
; HD a) VT chia 9 dư 6, VT chia 9 dư 0, 1, 8
b) 3 3 3
2003x y z   HD VT chia 9 dư 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 còn VP chia 9 dư 5

2. PT nghiệm nguyên Thầy Hồng Trí Quang
2
Bài 10.Chuyên KHTN 2011 V1. Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên (x, y, z) thoả mãn
đẳng thức 4 4 4
7 5x y z  
Bài 11.Giải mỗi phương trình sau với nghiệm tự nhiên:
a) 2
5 48x
y  ; b) 2
3 8x
y  ; c) 2
2 1x
y 
d) 2
4 5x
y  ; e) 2
2 45x
y 
Bài 12.Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 2015
Bài 13.Chuyên KHTN V1 2013. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 2
5 8 20412x y 
Bài 14.Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥4
+ 𝑦4
+ 𝑧4
+ 𝑡4
= 2015
Bài 15.HD Xét Xét mod 16.Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 9𝑥 + 2 = 𝑦2
+ 𝑦
HD vì 9x + 2 chia 3 sư 2, nên 𝑦 = 3𝑘 + 1. Thay vào pt có 𝑥 = 𝑘(𝑘 + 1). Thử lại: thỏa mãn. Từ đó KL
Bài 16.Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
a) 2
2 3x
y 
HD Nếu x > 1 thì VT chia 4 dư 3, VP chia 4 dư 1. Nghiệm (0; 2)
Bài 17.Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng 𝑓(1). 𝑓(2) = 35. Chứng minh rằng đa thức f(x)
không có nghiệm nguyên.
HD Phản chứng, giả sử có nghiệm nguyên là 𝛼𝑓(1). 𝑓(2) = (1 − 𝛼)(2 − 𝛼)𝑔(𝛼)𝑔(𝛼)
VT lẻ, VP chẵn
Bài 18.Giải phương trình nghiệm nguyên:  
4 4 4
3996x y x y   
HD  
22 2
1998x xy y   , VP chia 5 dư 3, VT là SCP
1. Biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại
Lý thuyết. Nếu a, b nguyên và
a
Z
b
 thì |b a
Bài 1.
a) Giải phương trình nghiệm nguyên 2
3v u u v  
b) Chuyên KHTN V1 2014. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2
( ) 3x y x y x y xy    

3. PT nghiệm nguyên Thầy Hồng Trí Quang
3
a) Từ giả thiết 2
3v u u v   2
3
1
v
u
v

 

Suy ra 2
1v  là ước của v + 3
Hay 2
1v  là ước của 2 2
9 1 10v v   
Vậy 2
1v  là ước của 10
b) Đặt u = x + y, v = xy pt trở thành: 2
3v u u v   2
3
1
v
u
v

 

Do x , y nguyên nên u, v nguyên.
Vậy pt có 3 nghiệm nguyên (0; 3), (3; 0), (1; 1)
Lời bình:
Câu 1. Với những bài toán tổng phân thức, ta đưa về chung mẫu.
Câu 2. Phương trình đối xứng của tổng và tích, sau khi đặt tổng tích ta thấy xuất hiện phương trình ước
số. Tuy nhiên ở đây, biểu thức bậc hai là ước của biểu thức bậc nhất nên kĩ thuật xử lí cần khéo léo.
Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên 8𝑦2
− 25 = 3𝑥𝑦 + 5𝑥
(8𝑦2
− 25) ⋮ (3𝑦 + 5) → (8(9𝑦2
− 25) − 25) ⋮ (3𝑦 + 5) → 25 ⋮ (3𝑦 + 5)
Bài 3. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho 3 2
3 2 5 0x x y x y    
Tự luyện
Bài 4. Giải phương trình nghiệm nguyên
𝑎)𝑥𝑦 − 2𝑦 − 3 = 3𝑥 − 𝑥2
; 𝑏) 4𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 4𝑥 + 𝑦 + 3 = 0;
2. Phương trình tích
Lý thuyết. Nếu a.b = c thì a|c
Bài 5. Ams 2014. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 2
2 3 4 0x y xy x x    
Bài 6. Chuyên KHTN V2 2015. Tìm số tự nhiên n để n + 5 và n + 30 đều là các số chính phương.
Bài 7. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
c) 3
8 37x
y  c) 2 2
(2 )(2 2 ) 37x x x
y y y    , (2; 3)
Tự luyện
Bài 8.

4. PT nghiệm nguyên Thầy Hồng Trí Quang
4
a) Tìm số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương 𝑥2
+ 7𝑥 = 𝑦2
b) Giải phương trình nghiệm x hữu tỉ, y nguyên 𝑥2
+ 7𝑥 = 𝑦2
Bài 9. Ams 2008. Với mỗi số tự nhiên n đặt 𝑎 𝑛 = 3𝑛2
+ 6𝑛 + 13
i) Chứng minh rằng nếu hai số 𝑎𝑖, 𝑎𝑗 không chia hết cho 5 và có số dư khác nhau thì 𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 chia
hết cho 5.
ii) Tìm tất cả các số tự nhiên n lẻ sao cho 𝑎 𝑛 là số chính phương.
Bài 10. Giải phương trình nghiệm nguyên
a) 2 2
5 4 9 0x y xy   
b) 2 2
2 3 3 0x y xy x y     
c)     2
1 7 8x x x x y   
Bài 11.
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 𝑥2
+ 𝑥 + 6 = 𝑦2
;
b) Tìm các số hữu tỉ x để x2
+ x + 6 là số chính phương
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Tính chất của số chính phương
Bổ đề. Nếu ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn
2
( ; ) 1
ab c
a b
 


thì a, b đều là số chính phương
Bài 12.Giải phương trình nghiệm nguyên 2
( 1) 4 ( 1)x x x y y   
Biến đổi 3 2 2
1 4 4 1x x x y y      2 2
( 1)( 1) (2 1)x x y    
Nhận xét. Vì 2 1y  lẻ nên 2
( 1);( 1)x x  là các số tự nhiên lẻ
Từ đó  2
1; 1 1x x   nên theo Bổ đề thì
2
2 2
1
1
x a
x b
  

 
với a, b tự nhiên
Từ đó 2 2 2
( 1) 1a b   2 2 2
( 1) 1b a      2 2
( 1) ( 1) 1b a b a     
Từ đó xét pt ước số, ta giải được a, b. Suy ra x

5. PT nghiệm nguyên Thầy Hồng Trí Quang
5