Hệ phương trình Thầy Hồng Trí Quang
1
Phần I. CÁC HỆ CƠ BẢN
1. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I
Là hệ khi đổi chỗ x và y cho nhau thì mỗi phương trình vẫn không thay đổi
PP giải: Đặt:
x y S
xy P
 


Chú ý:  2 2 2
4 0x y xy x y     nên 2
4S P
Bài 1. Giải hệ phương trình
2 2
3 3
30
35
x y y x
x y
 

 
Bài 2. Giải hệ phương trình
2 2
18
( 1)( 1) 72
x y x y
xy x y
    

  
Bài tự luyện
Bài 3. Giải hệ phương trình
1) 2 2
1
7
x y xy
x y xy
   

  
2) 2 2
5
7
x y xy
x y xy
  

  
3)
2 2
1
3
x xy y
x y xy



  
  
Đs 1)  ( 1;2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1)     
Bài 4. Biến đổi các hệ phương trình sau về dạng
18
72
u v
uv
 


1)
2 2
2 2
18
( ) 72
x y
xy x y
  

 
2)
2 2
18
( 1)( 1) 72
x y x y
xy x y
    

  
; 3)
2 2
2 2
18
( ) 72
x y
xy x y
  

 
4)
2
4 18
( 2)(2 ) 72
x x y
x x x y
   

  
5)
2 2
18
( 2 )( ) 72
x y xy
xy x y y x
   

  
Đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ đối xứng loại I.
Phương trình: √𝑎 − 𝑓(𝑥)
𝑛
± √𝑏 + 𝑓(𝑥)
𝑚
= 𝑐.
Đặt: 𝑢 = √𝑎 − 𝑓(𝑥)
𝑛
, 𝑣 = √𝑏 + 𝑓(𝑥)
𝑚
. Ta có hệ: {
𝑢 ± 𝑣 = 𝑐
𝑢 𝑛
+ 𝑣 𝑚
= 𝑎 + 𝑏
Bài 5. Giải phương trình 3 3
1 2 1 2 2x x   

Hệ phương trình Thầy Hồng Trí Quang
2
Bài 6. Giải phương trình:  2
1 1
2
2x x
  

1 3
1
2
x x
 
  
Bài tương tự
Bài 7. Giải phương trình:
a)  4 4
5 1 2 1x x    Đs x = 0; x = 5.
b) 4 4
17 3x x  
Đặt ẩn phụ đưa hpt không đối xứng về hpt đối xứng loại I
Sau khi đặt ẩn phụ, đưa về hệ đối xứng loại I nhưng ta không nhất thiết đặt tổng - tích
Bài 8. Giải hệ phương trình:
x+1+ y 4
7x y


 
Bài 9. Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
      


   

(x, y  R).
Bài 10.D – 2009. Giải hệ phương trình: 2
2
x(x y 1) 3
5
(x y) 1
x
  


  
Bài tự luyện
Bài 11. Giải hệ phương trình:
a)
3
1 1 4
x y xy
x y
   

   
(3;3) b)
1 1 3
5 ( 1)( 1)
x y
x y x y
    

    
Đs(2;5), (5;2)
𝑎) 𝐷𝑆 (4; 4); 𝑏)
Bài 12. Giải hệ phương trình: 2 2
8
9 9 10
x y
x y



 
   
.
Bài 13. Giải hệ phương trình
a)
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y
   

 
(4;4) b)
3 3
2 2
19
8 8 2
x y
x y xy x y
  

    
(đặt z = -y)

Hệ phương trình Thầy Hồng Trí Quang
3
Bài 14.Biến đổi các hệ phương trình sau về dạng
2 2
7
21
a b
a b
 

 
1)
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y
   

  
2)
2 2
2 2
1 1
7
1 1
21
x y
x y
x y
x y

   

    

3)
2 2 2
1 7
( 1) 21
xy x y
xy x y
  

  
4)
2 2 2
( ) 1 9
( 2) 21 1
x y y y
x y y y
  

   
5)
2 2
4 4 2 2
4 7
4 ( ) 21
x y x
x y x x y
  

   
Bài 15. Giải hệ phương trình
2 2
2 2 3
2 1
x xy y x y
xy x y
     

  
(đặt x + 1 = u)
Bài 16. Giải hệ phương trình sau: {
𝑥(𝑥𝑦 + 1) + 𝑦(𝑥𝑦 − 1) = 14
𝑥𝑦(𝑥2
− 𝑦2) = 24
Bài 17. Giải hệ phương trình
5
( ) 6
x
x y
y
x
x y
y

  


  

Đs  
3 1
2;1 , ;
2 2
 
 
 
Bài 18. Giải hệ phương trình
2
1 6
2 2( 1) 1 29
x y
x x y x y
   

     
. (3;10), (2;17)
Bài 19. Giải hệ phương trình:
  2 2
2 2
1 1 8 0
1
1 1 4
x y xy
x y
x y
    

 
 
 
.
Bài 20. Giải hệ phương trình
2 3 2
3
2
2
x y y
x y y
  

 
.
Bài 21. Giải hệ phương trình:
2
2
1 ( ) 4
( 1)(y x 2)
x y y x y
x y
    

   
Đs (1;2), (-2;5)
Bài 22. D – 2009 Giải hệ phương trình 2
2
( 1) 3 0
5
( ) 1 0
x x y
x y
x
   


   

Hệ phương trình Thầy Hồng Trí Quang
4
Bài 23. Giải hệ phương trình
3 2
2
3 (6 ) 2 18 0
3
x y x xy
x x y
     

   
1; 3x  
Hệ
( 2)(3 ) 18 0
( 2) (3 ) 0
x x x y
x x x y
   
 
   
 Đặt
( 2)
3
a x x
b x y
 

 
2. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II
Là hệ gồm 2 phương trình mà khi ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình trên trở thành phương
trình dưới và phương trình dưới trở thành phương trình trên.
Cách giải: Lấy vế trừ vế nhóm thừa số chung đưa về phương trình tích
( ). ( , ) 0
( ; ) 0
x y
x y F x y
F x y

    
Bài 24.Giải hệ phương trình sau
9 7 4
7 9 4
x y
x y
   

   
Bài 25.Giải hệ phương trình sau
2
2
1
2x y
y
1
2y x
x
Bài 26.Giải hệ phương trình
2
2
3 2 3
3 2 3
x x y
y y x
    

   
(1 ; 1)
Bài tương tự
Bài 27.Giải hệ phương trình
a)
2 2
2 2
4
4
x y y
xy x
  

 
. Đáp số:
x 2
y 2
. b)
3 2
3 2
1 2
1 2
x x x y
y y y x
    

   
.
Bài 28.Giải hệ phương trình
a)
2
2
5 4 0
5 4 0
x y
y x
   

  
b)
1 2 3
( 1; 1),(2;2)
2 1 3
x y
x y
    
 
   
b) Cách 2: xét x > y thì PT (2) < PT (1)
Bài 29.Giải hệ phương trình
2 3
2 3
y
x
x y
y x


 


Đs   1 5 1 5
0;0 ; ;
2 2
  
 
 

Hệ phương trình Thầy Hồng Trí Quang
5
Bài 30.Giải hệ phương trình
4 2 3
4 2 3
9
0
8
9
0
8
x y xy x
y x yx y

   

    

 
9 9 1 1
0;0 , ; , ;1 , 1;
8 8 2 2
     
     
     
Bài 31.Giải hệ phương trình
2
2
2
3
2
2
3
2
y
y
x
x
x
y










Bài 32.Giải hệ phương trình
 
 
2
4
2 2
2
4
2 2
1 1
1 5 2 1
( 1)
1 1
1 5 2 1
( 1)
y y y
x x
x x x
y y

    


      
5 1 5 1
;
2 2
  
  
 
Đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại II
Phương trình dạng 𝑥 𝑛
+ 𝑏 = 𝑎 √𝑎𝑥 − 𝑏
𝑛
.
Đặt 𝑦 = √𝑎𝑥 − 𝑏
𝑛
. Ta có hệ: {
𝑥 𝑛
+ 𝑏 = 𝑎𝑦
𝑦 𝑛
+ 𝑏 = 𝑎𝑥
Bài 33. Giải phương trình sau:
a) 3 3
1 2 2 1x x  
b) 2
2 6 1 4 5x x x    Đs {1 2;1 3} 
Bài 34.Giải phương trình
a) 2
2 2 2 1x x x   Đs 2 2x  
b)  2 7
3 6 3
3
x
x x

    HD chia 3 hai vế
5 73 7 69
x x
6 6
c)  2
5=5x x  
Dạng gần đối xứng
Những hệ dạng này chỉ gồm một pt đối xứng, hoặc hai phương trình gần như đối xứng về số mũ của
biến, chỉ sai khác hệ số tự do hoặc dấu.
Bài 35. Giải hệ phương trình
2
1 1
(1)
2 1 0 (2)
x y
x y
x xy
   

   

Hệ phương trình Thầy Hồng Trí Quang
6
Bài 36. Giải hệ phương trình
1 1
2 2 (1)
1 1
2 2 (2)
yx
xy
  
  







Lời giải.
Kết hợp hai phương trình dạng gần đối xứng
Bài 37.Giải hệ phương trình
4 3
4 3
1
2 3 3
4
1
2 3 3
4
x y x
y x y

   

    

1 3 1 3
;
2 2
   
 
 
Bài 38.Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1
7
41
x y x y
x y
y x x y
x y
  

 

 

 
32 7 15
;7 2 15
4
 
 
 
Tương tự
Bài 39.(A – 2003) Giải hệ phương trình
3
1 1
(1)
2 1 (2)
x y
x y
y x

  

  
Bài 40.Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1 18
1 1 2
x x y x y x y y
x x y x y x y y
          

         
(4;4)