Высшая математика. Элементы линейной алгебры, матрица.

1. Устройство матрицы и основные действия с ней.

2.  Впервые матрица под названием "волшебный
квадрат" упоминается еще в Древнем Китае.
Подобные квадраты чуть позже были известны
и у арабских математиков.
 В конце 17 века появился "метод Гаусса",
применяемый для решения СЛАУ и
основанный на последовательном исключении
неизвестных.
 Как отдельная теория, теория матриц получила
свое активное развитие в середине 19 века в
работах ирландского математика и физика
Уильяма Гамильтона (1805 - 1865) и
английского математика Артура Кэли (1821 -
1895).
 Первый магический квадрат Ло Шу.

3.  Матрица — это просто
прямоугольная таблица каких-
либо элементов.
 Важнейшие характеристики
матрицы – число строк и число
столбцов.
 Матрицей размера m*n
называется прямоугольная
таблица, содержащая m*n
чисел, состоящая из m строк и
n столбцов.

4.  Матрицы применяются в повседневной жизни и
используются во всех отраслях деятельности. При
решении различных практических задач в математике,
биологии, физике, технике, химии, экономике,
маркетинге, психологии и других областях науки
используют матрицы.
 Матрицы внедрились в программные обеспечения, что
является актуальным в современном мире.
 Матрица встречается везде даже в таких таблицах как:
таблица умножения, файл bmp с матрицей цветов
пикселей, турнирная таблица на футбольном поле,
таблица содержания в пище белков, жиров и углеводов.
 Таблица умножения.

5.  1. Матрица строка.
 Матрица размера 1×n называется
строчной или вектор-строкой.
Матрица размера n×1 называется
столбцевой или вектор-столбцом. Для
краткости вектор-строку и вектор-
столбец обычно называют просто
векторами.

6.  2. Нулевая матрица содержит только
нулевые элементы.
 Ее принято обозначать как Z или O или O
m*n
 При умножении нулевой матрицы на
число, получаем ту же нулевую матрицу:
k⋅O=O⋅k=O. Важно понимать, что на какое
бы число мы ни умножили нулевую
матрицу любого размера, всегда получим
ту же нулевую матрицу.
 Складывая произвольную ненулевую
матрицу с нулевой матрицей того же
размера, получаем исходную ненулевую
матрицу.

7.  3. Квадратная матрица – это матрица, у которой
число столбцов совпадает с числом строк.
 Число строк (столбцов) квадратной матрицы
называют её порядком.
 (размер n×n), число n называется порядком
матрицы.
 Элементы образуют главную диагональ
квадратной матрицы.
 Элементы расположенные на главной диагонали
называются главными диагональными
элементами.
 С противоположной стороны, побочная
диагональ.

8.  4. Квадратная матрица называется
диагональной, если элементы,
расположенные вне главной
диагонали равны нулю.
 Квадратную матрицу n-го порядка, у
которой на главной диагонали стоят
единицы, а все остальные элементы
равны нулю, называется единичной
матрицей и обозначается через E или
E n, где n - порядок матрицы.

9.  5. След матрицы - это сумма
элементов квадратной
матрицы, расположенных на
главной диагонали и
обозначается tr(A)

10.  6. Квадратная матрица порядка n×n
называется верхней треугольной
матрицей, если равны нулю все
элементы матрицы, расположенные
под главной диагональю.
 Квадратная матрица порядка n×n
называется нижней треугольной
матрицей, если равны нулю все
элементы матрицы, расположенные
над главной диагональю.

11.  Сложение матриц А и В – это
нахождение такой матрицы С, все
элементы которой представляют собой
сложенные попарно соответствующие
элементы исходных матриц А и В.
Складывать допускается только
матрицы одинаковой размерности
(допустим m × n), т.е. имеющие равное
количество строк и равное количество
столбцов.
 Для разности матриц правило
аналогичное, необходимо найти
разность соответствующих элементов.

12.  Умножение двух матриц
определено лишь тогда, когда
число столбцов первой
матрицы в произведении
равно числу строк второй.

13.  Транспонирование -это преобразование
матрицы A в матрицу AT , при котором
строки матрицы A записываются в столбцы
AT с сохранением порядка.
 Можно сказать по другому: столбцы
матрицы A записываются в строки матрицы
AT с сохранением порядка. Обратите
внимание, как при транспонировании
меняется размер матрицы, то есть
количество строк и столбцов. Также
обратите внимание, что элементы на
первой строке, первом столбце, и последней
строке, последнем столбце остаются на
месте.

14.  Симметричной (Симметрической)
называют квадратную матрицу,
элементы которой симметричны
относительно главной диагонали.
 Антисимметричная матрица - это
квадратная матрица,
противоположная
транспонированной .

15.  Сложите две матрицы А и В, от
этой суммы вычтите матрицу С.
 Правильное решение и ответ в
следующем слайде.
 Удачи!

16.  Надеюсь ваш ответ правильный!

17. Спасибо за внимание!