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1. BÉTON ARME CONCEPTION DES ELEMENTS SIMPLES EN BETON ARME A L’EUROCODE 2 2- DIMENSIONNEMENT (EC2 et Règles professionnelles)

2. PRINCIPE DIMENSIONNEMENT / VERIFICATION DIMENSIONNEMENT ELU VERIFICATION ELS Section des aciers Calcul de l’ouverture des fissures Calcul des déformations (flèche en flexion)

3. CALCUL DES TIRANTS STRUCTURES SOUMISES A DE LA TRACTION SIMPLE

4. CALCUL DES TIRANTS dimensionnement Contrainte de calcul dans les aciers limitée à : 500 434 8 1 15 yk yd S f f , MPa , γ γ γ γ = = = Sollicitation de calcul Q G G N u Ed 5 , 1 35 , 1 min max , + + = y x x Σ Coupure Σ Section droite G G 1 s N 2 s A 1 s A 2 s N Edu N 2 1 s s Edu N N N + = 2 1 2 1 . 2 . 2 s s s s su A A A A A = = + = condition de résistance Ed ,u Rd ,u N N ≤ yk Rd ,u su S f N A γ γ γ γ = Avec Ed ,u su yk S N A f γ γ γ γ ≥

5. CALCUL DES TIRANTS vérification : ouverture des fissures s su A A ≥ maîtrise de la fissuration assurée calcul de l’ouverture de fissure wk non nécessaire 0 8 Ed ,u Ed ,ser s s,min yd yk N N A max ; A ; f , f   =       yk ctm w ct s eff ct c s f f h b A f k k A = = σ , min , Sinon : calcul de wk ≤ wk,lim

6. CALCUL DES TIRANTS armatures transversales Ce sujet n’est pas abordé dans l’EC2, nous respecterons néanmoins : 8 3 l max t max mm ; φ φ φ φ ∅   ≥     Espacement ) ; min( max h b s s w t = ≤ = plus petite dimension de la section droite. Armatures transversales

7. CALCUL DES TIRANTS : récapitulatif Aciers longitudinaux Section totale As, Diamètre φl Aciers transversaux (cadres) Diamètre φt st bw ≤ h h Effort normal de traction A l’ELU : NEd,u, Vérifier l’ouverture de fissure si : - classe d’environnement ≠ X0 ou XC - besoin d’étanchéité 8 3 l max t max mm ; φ φ φ φ ∅   ≥     ) ; min( max h b s s w t = ≤ Q G G N u Ed 5 , 1 35 , 1 min max , + + = ) . . 500 ; 8 , 434 max( , h b f N A w ctm u ed s ≥

8. CALCUL DES POTEAUX STRUCTURES SOUMISES A DE LA COMPRESSION SIMPLE

9. CALCUL DES POTEAUX définition géométrique w l est la hauteur du poteau h est la plus grande dimension transversale du poteau h b b h 4 ≤ ≤ ≤ ≤ b h 4 ≤ ≤ ≤ ≤ b est la plus petite dimension du poteau h est la plus grande dimension du poteau h lw 3 voile poteau

10. CALCUL DES POTEAUX élancement l0=2lw l0=lw l0=(√2/2)lw l0=(1/2)lw Élancement i l 0 = λ Ac I i = ) 12 ; 12 min( 3 3 bh hb I = pour un poteau rectangulaire de dimension b x h 64 4 D I π = pour un poteau circulaire de diamètre D

11. CALCUL DES POTEAUX dimensionnement [ ] yd s cd c s h Rd u Ed f A f A k k N N . . , + = ≤ α As = section totale des aciers. Ac = aire de la section droite du béton. kh = coefficient correctif de forme (pour les poteaux de « faible » section) ks = coefficient correctif sur les aciers α = coefficient de flambement Dépendent de la forme de la section (circulaire ou rectangulaire)

12. CALCUL DES POTEAUX dimensionnement Section rectangulaire [ ] yd s cd s h Rd u Ed f A f bh k k N N . . . , + = ≤ α Section circulaire       + = ≤ yd s cd s h Rd u Ed f A f D k k N N . . 4 2 , π α 2 62 1 86 0                         + + + + = = = = λ λ λ λ α α α α , si 60 ≤ ≤ ≤ ≤ λ λ λ λ 3 1 32 ,                         = = = = λ λ λ λ α α α α si 120 60 ≤ ≤ ≤ ≤ λ λ λ λ [ ][ ] ρδ 6 1 5 , 0 75 , 0 − + = b kh (b en m) pour m , b 500 0 sinon 1 = = = = h k 500 6 0 6 1 yk s f , , k − − − − = = = = pour MPa f yk 500 et 40 λ λ λ λ sinon 1 = = = = s k 2 52 1 84 0                         + + + + = = = = λ λ λ λ α α α α , si 60 ≤ ≤ ≤ ≤ λ λ λ λ 24 1 27 ,                         = = = = λ λ λ λ α α α α si 120 60 ≤ ≤ ≤ ≤ λ λ λ λ [ ][ ] ρδ 8 1 5 , 0 7 , 0 − + = D kh pour  m , D 600 0 sinon 1 = = = = h k 500 65 0 6 1 yk s f , , k − − − − = = = = pour MPa f yk 500 et 30 λ λ λ λ sinon 1 = = = = s k       − ≥ cd s h u Ed yd s f bh k k N f A . . . 1 , α Remarque : Le nombre minimal de barres pour les poteaux rectangulaires est de 4       − ≥ cd s h u Ed yd s f D k k N f A . 4 . . 1 2 , π α Remarque : Le nombre minimal de barres pour les poteaux circulaires est de 4 (EC2) et 6 d’après les recommandations professionnelles.

13. CALCUL DES POTEAUX dimensionnement max , min , s s s A A A ≤ ≤         = c yd u Ed s A f N A 100 2 , 0 ; 10 , 0 max , min , Ac = aire de la section brute transversale de béton fyd limite élastique de calcul de l’armature Le diamètre des barres longitudinales mm min l 8 = = = = ≥ ≥ ≥ ≥ φ φ φ φ φ φ φ φ en dehors des zones de recouvrement c s A A 100 4 max , = dans les zones de recouvrement c s A A 100 8 max , = mm 150 ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ 150 mm tenir les barres

14. CALCUL DES POTEAUX vérification mm 150 ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ 150 mm tenir les barres Compression pas d’ouverture de fissure Disposition constructives : s = espacement courant Zone de recouvrement espacement = 0,6 s b*

15. CALCUL DES POTEAUX armatures transversales                                 ≥ ≥ ≥ ≥ 4 6 max l ; max φ φ φ φ φ φ φ φt 20 400 l ,min cl ,t cl ,t max s s Min mm b φ φ φ φ ≤ = l φ φ φ φ t , cl s t φ φ φ φ Cadre simple Cadre + épingles Double cadre Cadre + épingle Poteaux à feuillure Poteau cylindrique nombre de barres longitudinales 4 ≥

16. CALCUL DES POTEAUX : récapitulatif l φ φ φ φ t , cl s t φ φ φ φ                                 ≥ ≥ ≥ ≥ 4 6 max l ; max φ φ φ φ φ φ φ φt 20 400 l ,min cl ,t cl ,t max s s Min mm b φ φ φ φ ≤ = max , min , s s s A A A ≤ ≤       = h b N A w u Ed s . 100 2 , 0 ; 8 , 434 10 , 0 max , min , h b A w s . 100 4 max , = Cadres : Q G G N u Ed 5 , 1 35 , 1 min max , + + = Effort normal de compression A l’ELU : NEd,u,

17. CALCUL DES POTEAUX : récapitulatif mm 150 ≤ ≤ ≤ ≤ Cadre simple Cadre + épingles Double cadre Cadre + épingle Poteaux à feuillure Poteau cylindrique nombre de barres longitudinales 4 ≥ Cadres :

18. CALCUL DES POUTRES STRUCTURES SOUMISES A DE LA FLEXION SIMPLE

19. Définition géométrique réglementaire d’une poutre L h 3 poutre - cloison poutre L portée h hauteur totale bw h 1 0,3 poutre-dalle assim ilé à une dalle poutre cloison poutre mince poutre courante poutre large poutre 5 h bw La largeur bw recommandée d’une poutre doit vérifier bw ≥ 150 pour pouvoir loger au moins 2 aciers longitudinaux et un cadre. Définition d’une poutre-dalle : Dalle présentant 2 bords libres. : Remarque : Cette appellation n’est pas utilisée dans l’EC2 ... 5.3.1 (3) (4)

20. CALCUL DES POUTRES hypothèses matériaux γ σ c ck cd f f cc = ≤ f c28 γ c = 1,5 dans le cas courant γ c = 1,15 dans le cas de chocs εcu2= 3.5‰ (fck12 à 50MPa) εcu1= 2.0‰ (fck12 à 50MPa) Béton

21. CALCUL DES POUTRES hypothèses matériaux MPa st s yk yd f f 8 , 434 = = ≤ γ σ γs = 1,15 dans le cas courant γ s = 1 dans le cas de chocs 00 0 17 , 2 = = E f f s yd se avec Es = 200.000 MPa Acier

22. Hypothèses supplémentaires La résistance du béton tendu est négligée Le raccourcissement relatif du béton est limite, selon le diagramme contraintes-déformations utilise pour le béton ou en flexion ; ou en compression simple. L’allongement relatif de l’acier tendu est limite a ou illimite selon le diagramme contraintes-déformations de calcul utilise (voir § 2.4.2.1). Le dimensionnement a l’état limite ultime est conduit en supposant que le diagramme des déformations passe par l’un des trois pivots A, B ou C définis ci-dessous (règle des trois pivots) :

23. Pivot A - Région 1 : • allongement de l’acier le plus tendu : ; • pièces soumises a la traction simple ou a la flexion simple ou composée. Pivot B - Région 2 : • raccourcissement de la fibre de béton la plus comprimée : ; • pièces soumises a la flexion simple ou composée. Pivot C - Région 3 : • raccourcissement de la fibre de béton a la distance ou de la fibre la plus comprimée : εc2 ou εc3 ; • pièces soumises a la flexion composée ou a la compression simple.

24. CALCUL DES POUTRES dimensionnement : équations d’équilibre Le coefficient λ λ λ λ définit la hauteur utile de la zone de béton comprimé 8 0, = = = = λ λ λ λ MPa fck 50 ≤ ≤ ≤ ≤ ( ( ( ( ) ) ) ) 400 50 8 0 − − − − − − − − = = = = ck f , λ λ λ λ MPa f MPa ck 90 50 ≤ ≤ ≤ ≤ Le coefficient η η η η définit la résistance effective 1 = = = = η η η η MPa fck 50 ≤ ≤ ≤ ≤ ( ( ( ( ) ) ) ) 200 50 1 − − − − − − − − = = = = ck f η η η η MPa f MPa ck 90 50 ≤ ≤ ≤ ≤

25. CALCUL DES POUTRES dimensionnement : équations d’équilibre o Pour les aciers tendus : yd s s f A F . = : on suppose que les aciers travaillent au maximum de leur capacité, ce qui permet de minimiser A (hypothèse économique) 0 = M st o Pour le béton comprimé : cd w w x cd cc f x b dt b f N . . . 8 , 0 . . 8 , 0 0 = = ∫ ) 4 , 0 .( . . . . 8 , 0 ). 8 , 0 .( . 8 , 0 0 x d x b f x b dt t x d b cd w cc w x cd cc M f M − = + − = ∫ (moment calculé au centre de gravité des aciers tendus) PFS : yd s cd w u Ed st cc f A f x b N N N . . . 8 , 0 0 , − = = = − (1) ) 4 , 0 .( . . 8 , 0 , x d f x b cd w u Ed st cc M M M − = = + (2) De l’équation de moment : d x . α = avec ) . 2 1 1 ( 25 , 1 µ α − − = cd w u Ed f d b M ². . , = µ De l’équation de N : yd u Ed yd cd s f d M f x b A f . ). 4 , 0 1 ( . . . 8 , 0 , α − = =

26. CALCUL DES POUTRES dimensionnement : aciers min et max yd u Ed yd cd s f d M f y b A f . ). 4 , 0 1 ( . . . 8 , 0 , α − = = max , min , s s s A A A ≤ ≤       = d b d b f A t t ctm s . 0013 , 0 ; 500 . . . 26 , 0 max min , w s b h Ac A . . 04 , 0 . 04 , 0 max , = =

27. CALCUL DES POUTRES vérification : équations d’équilibre x d h As bw σst/n σcc εst εcc Béton comprimé Béton tendu négligé ef cm eff c E E ϕ + = 1 , car s Ed qp s Ed ef M M , , , , . ∞ = ϕ ϕ 2 = ∞ ϕ • MEd,s,qp est le moment calculé en utilisant la combinaison d’action quasi permanente, • MEd,s,car est le moment calculé en utilisant la combinaison d’action caractéristique. n = 15 pour BO n = 9 pour BHP. bw Largeur de la poutre h Hauteur de la poutre d Distance du haut de la poutre au centre des aciers tendus x Distance du haut de la poutre à l’axe neutre As Section totale des aciers de traction εcc Déformation maximale du béton comprimé εst Déformation de l’acier tendu σcc Contrainte maximale du béton comprimé σst Contrainte de l’acier tendu eff c E Es n , = Coefficient d’équivalence acier / béton

28. CALCUL DES POUTRES vérification : équations d’équilibre Nst Nst Ncc x d h As bw x/3 σst s st A N . = 2 ² . . . . . . . 0 0 x b x dt t x b dt b x t w cc x cc w x cc cc N σ σ σ = = = ∫ ∫ )² .( . . ) .( x d A n x d st s st st N M − = − = σ 3 . . . ² . . . . . 3 0 0 x b x dt t x b dt t b x t w cc x w cc w x cc cc M σ σ σ = = = ∫ ∫ Moment calculé à l’axe neutre : relation de triangles semblables : x d n x st cc − = / σ σ soit x x d n cc st − = σ σ .

29. CALCUL DES POUTRES vérification : équations d’équilibre )² .( . . ) .( x d A n x d st s st st N M − = − = σ 3 . . . ² . . . . . 3 0 0 x b x dt t x b dt t b x t w bc x w cc w x cc cc M σ σ σ = = = ∫ ∫ Moment calculé à l’axe neutre : relation de triangles semblables : x d n x st cc − = / σ σ soit x x d n cc st − = σ σ . PFS : 0 ) .( . 2 ² )] .( . 2 ² [ 0 , = − − ⇒ − − = = = − x d A n x x d As n x x s cc ser Ed st cc N N N σ )² .( . 3 . )²] .( . 3 . [ 3 3 , x d As n x b I x d As n x b x w f w cc s Ed st cc M M M − + = ⇒ − + = = + σ h x et A d b n A n A n b x s w s s w ≤ ≤ + ± = 0 ) . . . . 2 )² . ( . ( 1

30. CALCUL DES POUTRES vérification : compression du béton h x et A d b n A n A n b x s w s s w ≤ ≤ + ± = 0 ) . . . . 2 )² . ( . ( 1 ck s ed cc f x If M 6 , 0 . , ≤ = σ )² .( . 3 . 3 x d As n x b I w f − + =

31. FLEXION SIMPLE E.L.S. : CALCUL DE SECTION CRITERES DE CALCUL :

32. CALCUL DES POUTRES vérification : ouverture des fissures Maîtrise de la fissuration Diamètre maximal φ* s des barres pour la maîtrise de la fissuration (Tableau 7.2N) ) ( . . , x d If M n x x d n s ed cc s − = − = σ σ ) ( ) .( 2 , 0 . 9 , 2 . * max , d h x h fctm s s − − = ϕ ϕ

33. CALCUL DES POUTRES vérification : ouverture des fissures Maîtrise de la fissuration Espacement maximal des barres pour la maîtrise de la fissuration (Tableau 7.3N) Sinon calcul de l’ouverture de fissure wk

34. CALCUL DES POUTRES récapitulatif As,min ≤ As,l ≤ As,max • fctm valeur moyenne de la résistance en traction • directe du béton • bt largeur moyenne de la zone tendue • d hauteur utile de la section droite As,max = 0,04 Ac (Ac = aire de la section droite du béton) As,l       = d b d b f A t t ctm s . 0013 , 0 ; 500 . . . 26 , 0 max min ,

35. 12/09/2013 CALCUL DES POUTRES EN T dispositions constructives Espacement des armatures Max {k1φ ;( dg + k2 )mm;20mm} Armatures de peau φl≥ 32 mm

36. CALCUL DES POUTRES dispositions constructives Arrêt des barres longitudinales Démarche : 1.tracer la courbe du moment fléchissant, 2.décaler la courbe du moment fléchissant de al, 3.si par le calcul, on trouve, par exemple : A = 10,25 cm² choix : 2HA20 + 2HA16 soit 6,28 cm² + 4,02 cm² = 10,30 Cm² ≥ 10,25 cm² requis on trace alors la courbe du moment résistant de la nappe inférieure (2HA20) yk f h HA A HA Mr . 8 , 0 ). 20 2 ( ) 20 2 ( = M(x) x al al Mr(2HA20) Mr(2HA20 + 2HA16) Lbd(HA16) Lbd(HA16) ↓ Longueur de la nappe supérieure h an z al = = 2 ) ( cot . θ

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