CALCUL DES CADRES
CISAILLEMENT DANS LES
STRUCTURES SOUMISES A DE LA
FLEXION SIMPLE

Modélisation de la poutre en béton armé pour des charges uniformément réparties
faibles : Éléments fonctionnant comme une voûte sous-tendue.
θ
θ
θ
θ =45°
Modélisation de la poutre en béton armé dépourvue d’armatures d’effort
tranchant

Treillis associé à la modélisation de la poutre en béton armé dépourvue
d’armatures d’effort tranchant = mécanisme = structure instable
Treillis associé à la modélisation de la poutre en béton armé avec
armatures d’effort tranchant inclinés ou verticales

l’effort dans un montant l’effort dans une diagonale (bielle):
Pour des armatures d’effort
tranchant droites
sw
Ed F
V =
Le montant
est tendu.
Cas des bielles inclinées de :
Cas des bielles à 45°
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
sin
V
F Ed
b =
=
=
=
2
Ed
b V
F =
=
=
=
Cas des bielles inclinées de
:

Modélisation : (Treillis de Ritter-Mörsh) armatures d’âme inclinées
Étude d'un tronçon élémentaire:
On étudie uniquement un tronçon de poutre comprenant une bielle de
béton.
B
C'
A
armature
transversale
Fsw
z
Fcd
Ftd
α
α
α
α
C
Inclinaison des bielles
Dans le cas de poutres, l’angle θ
θ
θ
θ des bielles de béton avec la fibre moyenne est limitée par :
En flexion simple 5
2
1 ,
cot ≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤ θ
θ
θ
θ soit °
°
°
°
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
°
°
°
° 45
22 θ
θ
θ
θ
Inclinaison des armatures d’effort tranchant
L’angle α des armatures d’effort tranchant avec la ligne moyenne doit être tel que : °
°
°
°
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
°
°
°
° 90
45 α
α
α
α .
En pratique °
°
°
°
=
=
=
= 90
α
α
α
α

2
1
2
3
053
0 /
ck
C
min f
k
,
v
γ
γ
γ
γ
=
=
=
=
(
(
(
( )
)
)
) 























+
+
+
+
=
=
=
= 2
200
1 ;
d
min
k mm
C
c
,
Rd
,
C
γ
γ
γ
γ
18
0
=
=
=
=
s l
l
w
A
b d
ρ
ρ
ρ
ρ = 02
0,
≤
≤
≤
≤ sl
A
:
bd
l
d +
+
+
+
aire de la section des armatures tendues,
prolongée d’une longueur supérieure à
au delà d la section considérée.

CALCUL DES CADRES
aciers mini et espacement max
4
.
.
2
w
sw N
A
φ
π
=
N=2
2 brins verticaux
descendants
N=3
3 brins verticaux
descendants
N=4
4 brins verticaux
descendants
w
yk
ck
sw
b
f
f
s
A
.
08
,
0
)
( min = d
s .
75
,
0
max =

CALCUL DES CADRES
dimensionnement
4
.
.
2
w
sw N
A
φ
π
=
d
s 75
,
0
≤
choix de l’espacement
comme sous multiple de la portée
calcul de
s
f
d
V
A
ywd
red
Ed
sw .
cot
.
.
.
9
,
0
,
min
,
θ
=
π
φ
.
.
4 min
,
min
,
N
Asw
w = ⇒ choix du diamètre Φw
vérification de w
yk
ck
sw
b
f
f
s
A
.
08
,
0
≥
On met le premier cadre à s/2 de l’appui, tout les autres étant espacés de s.
s/2
s s s s s s s
s/2

12/09/2013
CALCUL DES POUTRES en T
STRUCTURES SOUMISES A DE LA
FLEXION SIMPLE

12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
préambule
Bâtiments ⇒ plancher = sur un réseau de poutres.
⇔ associer une partie du hourdis à la section résistante des poutres
⇔ section droite de la poutre = section en té (uniquement
lorsque le hourdis se situe dans la zone comprimée)
section en T résiste bien mieux que la rectangulaire,
⇒
⇒
⇒
⇒ plus économique en armatures.

12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
notations
h d
w
b
1
s
A
f
h
eff
b
partie
externe
partie interne partie
externe
eff
b
w
b
1
eff
b 2
eff
b
f
h
Fig 9.1
s
A

12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
cas des poutres continues
Béton en compression
M(x)
Sur appui :moment étant négatif ⇒ section résistante rectangulaire

CALCUL DES POUTRES EN T
largeur efficace beff
b
b
b
b w
i
,
eff
eff ≤
≤
≤
≤
+
+
+
+
=
=
=
= ∑
∑
∑
∑ 0
0 2
0
1
0
2
0 L
,
L
,
b
,
b i
i
,
eff ≤
≤
≤
≤
+
+
+
+
=
=
=
=
L L
0 = pour une travée simplement appuyée de portée
L L
0 0 85
= ,
pour une travée intermédiaire de poutre continue
L L
0 0 70
= ,
pour une travée de rive de poutre continue

CALCUL DES POUTRES EN T
largeur efficace beff
Cas des planchers poutrelles entrevous
⇒
⇒
⇒
⇒ Section rectangulaire
Cas des planchers à prédalles
⇒Section en T
⇒On prend en compte l’épaisseur de
prédalle

CALCUL DES POUTRES EN T
position de l’axe neutre
cas 1 cas limite cas 2
1
s
A 1
s
A 1
s
A
2
f
uT eff f cd
h
M b h f ( d )
= −
moment équilibré par la table de compression seule
uT
u
Ed M
M ≤
, (cas fréquent) ⇒ axe neutre dans la table de compression
la section en T = section rectangulaire de largeur b et de hauteur h.
uT
u
Ed M
M
, ⇒ axe neutre dans la nervure

12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
aciers de flexion
Cas 1 (axe neutre dans la table)
Étude du cas limite
Le moment équilibré
par la table de
compression seule est:
u
c
uT z
.
N
M 1
=
=
=
=
2
f
uT eff f cd
h
M b h f (d )
= −

CALCUL DES POUTRES EN T
aciers de flexion
Étude de la section 1
1
diagramme
des contraintes
efforts normaux
1
u
M
w
eff b
b −
−
−
−
f
h
11
s
A
cd
f
f
h
(
(
(
( )
)
)
)
1
s
s ε
ε
ε
ε
σ
σ
σ
σ
1
c
N
11
s
N
[[[[ ]]]]
f
f h
,
d
z 5
0
1−
−
−
−
=
=
=
=
1
eff w
u uT
eff
b b
M M
b
−
=
Cette section constituée uniquement des débords
est sollicitée par un moment Mu1 déduit de MuT par
la relation
2
f
f
h
d
z −
−
−
−
=
=
=
=
( )
1
11
2
u
s
f
s s
M
A
h
d σ ε
σ ε
σ ε
σ ε
=
 
− ×
 
 

12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
aciers de flexion
diagramme
des contraintes efforts normaux
diagramme
des déformations
2
h d
12
s
A
w
b
2
u
M
c
ε
ε
ε
ε cd
f
(
(
(
( )
)
)
)
1
s
s ε
ε
ε
ε
σ
σ
σ
σ
2
c
N
[
[
[
[ ]
]
]
]
u
u ,
d
z α
α
α
α
4
0
1−
−
−
−
=
=
=
=
12
s
N
1
s
ε
ε
ε
ε
d
x u
u 2
2 α
α
α
α
=
=
=
= d
, u2
8
0 α
α
α
α
2
u
x
Nous sommes dans le cas
d’une section rectangulaire
sollicitée par un moment .
On doit suivre la démarche
concernant les sections
rectangulaires.
Déterminons
µu2
cd
w
u
u
f
d
b
M
2
2
2 =
µ
1
2 u
u
u M
M
M −
=
yd
u
u
sl
f
d
M
A
)
4
,
0
1
( 2
2
α
−
=

12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
aciers de flexion
yd
u
u
yd
cd
f
w
ff
e
sl
f
d
M
f
f
h
b
b
A
)
4
,
0
1
(
.
).
(
2
2
α
−
+
−
=
Cas 1 (axe neutre dans la table)
Cas 2 (axe neutre dans la nervure)
yd
u
Ed
sl
f
d
M
A
)
4
,
0
1
(
,
α
−
=
1
,
2 u
u
Ed
u M
M
M −
=
1
eff w
u uT
eff
b b
M M
b
−
=

12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
aciers min et max
c
s
sl
t
t
yk
ctm
s A
A
A
d
b
d
b
f
f
A 04
,
0
0013
,
0
26
,
0
max min
,
min
, =
≤
≤








=
Largeur de la zone tendue bt :
Travée : bt = bw
Appuis : bt = beff
partie
externe
partie interne partie
externe
eff
b
w
b
1
eff
b 2
eff
b
f
h
Fig 9.1
s
A

12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
vérification : A.N. dans la table
)²
.(
.
3
.
3
x
d
A
n
x
b
If s
eff −
+
=
f
s
eff
s
s
eff
h
x
et
A
b
n
A
n
A
n
b
x ≤
≤
−
±
= 0
)
.
.
.
2
)²
.
(
.
(
1
eff
c
E
Es
n
,
=
ef
cm
eff
c
E
E
ϕ
+
=
1
,
car
s
Ed
qp
s
Ed
ef
M
M
,
,
,
,
.
∞
= ϕ
ϕ 2
=
∞
ϕ

12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
vérification : A.N. dans la nervure
eff
c
E
Es
n
,
=
ef
cm
eff
c
E
E
ϕ
+
=
1
,
car
s
Ed
qp
s
Ed
ef
M
M
,
,
,
,
.
∞
= ϕ
ϕ 2
=
∞
ϕ
)²
.(
.
3
)
(
.
3
)
(
.
3
3
3
x
d
A
n
h
x
x
b
h
x
b
If s
f
eff
f
w −
+
−
−
+
−
=
h
x
h
et
d
A
n
b
b
h
b
A
n
b
b
h
A
n
b
b
h
b
x
f
s
w
eff
f
w
s
w
eff
f
s
w
eff
f
eff
≤
≤
+
−
+
+
−
+
−
−
−
= )
.
.
.
2
)
².(
.(
)²
.
)
(
(
.
)
(
(
1

12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
vérification : compression du béton
ck
s
ed
cc f
x
If
M
6
,
0
.
,
≤
=
σ
If et x : selon cas de figure (position A.N.)

CALCUL DES POUTRES
vérification : calcul de la flèche
Calcul simplifié de la flèche αII
If
E
l
Ms
eff
c
II
.
.
10
²
.
,
0
=
α
3
)
,
(
1 0
,
cm
cm
eff
c
E
t
E
E =
∞
+
=
ϕ
)²
.(
.
3
.
3
x
d
A
n
x
b
If s
w −
+
=
eff
c
E
Es
n
,
=
250
0
l
II ≤
α
Flèche admissible
Flèche nuisible
500
0
l
II ≤
α m
l 7
0 ≤
1000
)
7
(
4
,
1 0 m
l
cm
II
−
+
≤
α m
l 7
0
si
si .si
h
x
et
A
b
n
A
n
A
n
b
x s
w
s
s
w
≤
≤
−
±
= 0
)
.
.
.
2
)²
.
(
.
(
1