1. TEORÍA DE
CONJUNTOS

2. Elementos de la teoría de
conjuntos

Al construir la matemática, no es posible
definir todos los entes que en ella aparecen
y, por lo tanto, tendremos los llamados “entes
no definidos”

En la teoría de conjuntos introducimos como
ente no definido al conjunto, del cual es claro
que poseemos nociones intuitivas tales como:
Colección, agrupación, montón de entes u
objetos, a los cuales llamaremos elementos
del conjunto.

3. Elementos de la teoría de
conjuntos


En adelante representaremos los conjuntos
por letras latinas mayúsculas (A,B,C,E etc.) y
a los entes que formen el conjunto
considerado los representaremos por letras
latinas minúsculas
(a,b,c etc.)

4. Elementos de la teoría de
Conjuntos

1.
2.
3.

Ejemplos de conjuntos
Los huesos del esqueleto Humano
Los departamentos de la Republica de
Guatemala
Los estudiantes de Universidad Galileo.
No es necesario que en un conjunto todos sus
elementos tengan algo en común, puede
considerarse por ejemplo un conjunto como
este.

5. Idea intuitiva de conjunto

6. Elementos de la teoría de
conjuntos

Cuando queremos indicar que un elemento a
pertenece al conjunto A anotamos:
a
A
que se lee como el elemento a pertenece al
conjunto A
 Cuando queremos indicar que el elemento a
no pertenece al conjunto A anotamos:
a
A

7. Elementos de la teoría de
conjuntos



Ejemplos:
Guatemala al conjunto de países de
Centroamérica
El Perro
al conjunto de reptiles
Un conjunto debe estar bien determinado: la
expresión “el elemento a pertenece al
conjunto A” debe ser verdadera o falsa no
debe ser ambigua.

8. Ejemplo


Las niñas bonitas del salón de clases: No es
un conjunto bien determinado pues la belleza
es un concepto subjetivo, que depende del
observador
El conjunto de los hombres altos: Tampoco es
un conjunto bien determinado pues los
elementos son ambiguos, los hombres altos
para una persona serán bajas para otra.

9. Elementos de la teoría de
conjuntos
En un conjunto no se repiten los elementos:
Cada elemento se considera una y solo una
vez
Ejemplo: el conjunto constituido por las letras de
la palabra “brocoli” tiene como como
elementos
b,r,o,c,l,i aunque la o aparece 2
veces solo se considera una vez.


10. Elementos de la teoría de
conjuntos
El orden en que se enumeren los elementos
de un conjunto no lo altera
Ejemplo: el conjunto de vocales del alfabeto en
español.
o,u,i,e,a
No importa si para representarlas escogemos un
orden alfabético o simplemente por el orden
que se nos venga a la mente.


11. Elementos de la teoría de
conjuntos

1.
2.
Notación: Para representar los conjuntos
usaremos los siguientes convenios
Si un conjunto esta formado por un numero
finito de elementos lo llamaremos “conjunto
finito” Ejemplo: el conjunto de los hombres
guatemaltecos.
Si un conjunto esta formado por un numero
infinito de elementos, lo llamaremos
“conjunto infinito” Ejemplo: el conjunto de los
números enteros

12. Elementos de la teoría de
conjuntos
Unas llaves nos servirán para encerrar en
ellas a los elementos de un conjunto
separados por comas:
Ejemplo:
A={
,
,
, a, 8 }
 Para representar en forma explicita (exhibir)
los elementos de un conjunto son habituales
dos formas:


13. Elementos de la teoría de
conjuntos
Notación enumerativa, también llamada
notación tabular o por extensión.
Así por ejemplo, si denotamos por A al conjunto
de las vocales del alfabeto
español, tendremos como representación
enumerativa del mismo
A={a,e,i,o,u}
Y su uso queda limitado a casos en el que el
numero de elementos no sea muy grande.


14. Elementos de la teoría de
conjuntos

Forma descriptiva: también llamada por
comprensión necesitamos que todos los
elementos del conjunto tengan una o mas
propiedades comunes, para encerrar la
descripción de esas propiedades entre
llaves, en vez de listar todos sus elementos
Por ejemplo:
El conjunto de todos ciudadanos de
Guatemala
Seria muy difícil listarlos a cada una ya sea por
nombre o por identificación personal DPI

15. Elementos de la teoría de
conjuntos

Valiéndonos de las proposiciones podemos
representar conjuntos de la forma
A={x/P(x)}
usando la letra “x” como variable que
representa a todos aquellos elementos que
hacen la proposición P(x) verdadera.
La barra / usada en la notación se lee “tales
que”
El conjunto A se lee entonces: el conjunto de
los elementos x tales que…

16. Elementos de la teoría de
conjuntos
Ejemplos:
A={x/x = alfabeto en español} o de otra manera
A={a,b,c,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,ñ,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}
Queda claro con el ejemplo anterior que para
representar al conjunto A es mejor de la forma
descriptiva, que la enumerativa, siempre y
cuando sepamos cuales son las letras del
alfabeto en español en este caso.

17. Elementos de la teoría de
conjuntos
Si nos queremos referir al conjunto de los
números naturales pares, lo anotamos así:
P={x/x N, x es par}
Que se lee el conjunto de elementos x tales que
x es un numero natural (N) y x es par.
Otra forma
P={0,2,4,6,8,10,12,14,…}
Y otra mucho mas simple
P=formado por los números naturales
pares

18. Elementos de la teoría de
conjuntos
Otros ejemplos:
2
S={x/x = 4} son aquellos números tales que su
cuadrado sea igual a 4, es decir S={2,-2}

B={x/x es vocal del alfabeto español} son
aquellas letras que son vocales del alfabeto
español
es decir B= {a,e,i,o,u}

19. Elementos de la teoría de
Conjuntos
Criterio de igualdad de conjuntos
Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (lo
escribimos A=B) si todos los elementos de A
pertenecen a B y todos los elementos de B
x A
pertenecen a A. Esto es, si A=B, entonces
y
y
x
implica que B y , B implica que A


20. Elementos de la teoría de
Conjuntos

Ejemplos:
1. Si T={1,2,3,4,5} y
L={5,3,2,4,1}
entonces T=L
2. Si D={x/x es natural, par y primo} y
E={2}
entonces D=E

21. Elementos de teoría de
Conjuntos

Subconjuntos y relación de inclusión
Decimos que A es un subconjunto de B o que A
A B
esta contenido en B y lo escribimos
si todos
los elementos de A pertenecen a B. Si A no esta
A B
contenido en B, se representa simbólicamente
Ejemplos:
Sean A el conjunto de las aves, podemos
representar como A={x/x es un ave}, y B el
conjunto de palomas, que podemos representar
B A
como B={x/x es paloma}; entonces

22. Elementos de la teoría de
conjuntos
Si A B y B A entonces A=B
 Ejemplo:
Sea A={x/x es un numero natural par}
B={2,4,6,8,10,12,14,16…}
Todos los elementos de A son también
elementos de B. decimos entonces que A=B


23. Elementos de la teoría de
conjuntos
Conjuntos Finitos y Conjuntos infinitos
Decimos que un conjunto es finito cuando se
puede establecer el numero de elementos que
tiene.
Ejemplo:
A={x/x son los días del año}
B={x/x son las células del cuerpo humano}


24. Elementos de la teoría de
conjuntos

Decimos que un conjunto es infinito cuando no
podemos determinar un ultimo elemento y por
consiguiente no es posible determinar el
numero de sus elementos.
A={x/x es numero Entero}
B={x/x es numero Real}

25. Elementos de la teoría de
conjuntos
Algunos conjuntos especiales
 Si un conjunto tiene solo un elemento lo llamamos
conjunto unitario
A={2}
 Si un conjunto tiene dos elementos lo llamamos
conjunto par
B={a,b}
 El conjunto vacio es un conjunto que no tiene
elemento alguno. Es un conjunto sin elementos
A={} o A= Ф
El conjunto vacio no se representa así A={Ф } esto
significaría que existe un elemento Ф en el conjunto A


26. Elementos de la teoría de
conjuntos
El conjunto referencial: también llamado
conjunto Universo y que lo denotaremos con
la letra U, es un conjunto al que pertenecen
todos los elementos de los conjuntos con que
estamos trabajando.
Por ejemplo
U={x/x es un numero entero}
A={x/x es un numero entero par}


27. Elementos de la teoría de
conjuntos
Conjunto Potencia
El conjunto potencia de A es el conjunto de
todos los subconjuntos de A denotado por

P ( A)
2
n
Donde P ( A) 2 n denota a todos los
subconjuntos de A incluido el mismo, que se
pueden construir

28. Elementos de la teoría de
conjuntos
Ejemplo
Sea A={a,b,c}
P ( A) 2 n
Entonces el conjunto potencia es
P(A) 23 donde n es el
numero de elementos del conjunto A
3
P( A) 2 8
Por lo tanto podemos crear 8 subconjuntos con
el conjunto A, empezando por el conjunto
vacio
{ },{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}


29. Elementos de la teoría de
conjuntos
Diagramas de Venn
Un esquema muchas veces, nos ayuda a
aclarar muchas dudas, en este caso un
diagrama de Venn es una superficie cerrada
que nos servirá para representar los conjuntos
A
A={a,e,i,o,u}
a e
i
o
u


30. Elementos de la teoría de
conjuntos

Operaciones en los conjuntos (Algebra
de Conjuntos)

Unión de conjuntos: Dados 2 conjuntos
A B
cualesquiera A y B llamamos Unión de A con
B,
al conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen al conjunto A o
pertenecen al conjunto B.
A B x / x A
x B}
Es de notar que la letra o enmarcada, tiene en este
caso un carácter inclusivo o incluyente, es decir que
los elementos pueden ser de A o pueden ser de B o
pueden ser de ambos. V = o

31. Elementos de la teoría de
conjuntos
Ejemplos:
Dados U={x/x es un Entero}
A={1,2,3,4,5}
B={6,7,8,9}

A B {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

32. Elementos de la teoría de
conjuntos
Unión mediante diagramas de Venn
U
A
B
1
2
4
3
5
6
7 8
9
Los conjuntos son ajenos entres si

33. Elementos de la teoría de
conjuntos
Unión mediante diagramas de Venn
U
AUB
1
2
4
3
5
6
7 8
9

34. Elementos de la teoría de
conjuntos
Dados U={x/x es un Entero}
A={1,2,3,4,5}
B={3,4,5,6,7,8,9}
A B {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Note que aunque los elementos 3,4 y 5 están en
los dos conjuntos solo se representan una vez

35. Elementos de la teoría de
conjuntos
Unión mediante diagramas de Venn
U
A
B
6
1
2
7 8
3
4
5
9
Los conjuntos A y B tienen elementos en comun

36. Elementos de la teoría de
conjuntos
Dados U={x/x es un Entero}
A={1,2,3,4,5}
B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A B {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Note que todos los elementos de A están en B

37. Elementos de la teoría de
conjuntos
Unión mediante diagramas de Venn
U
B
A
1
2
4
6
3
5
7 8
9
A
El conjunto A esta contenido en B B

38. Elementos de la teoría de
conjuntos

Intersección de conjuntos
Dados 2 conjuntos cualesquiera A,B llamamos
intersección de A con A B
B
al conjunto por
todos los elementos que pertenecen al conjunto A
y pertenecen al conjunto B
A B
x/ x
A
x
B}
Es de notar que la letra y enmarcada, tiene
en este caso un carácter excluyente, es decir
que los elementos tienen que ser de A y
tienen que y
ser
de B

39. Elementos de la teoría de
conjuntos
Ejemplo:
Dados U={x/x es un Entero}
A={1,2,3,4,5}
B={6,7,8,9}

A B
Puesto que no hay elementos que estén tanto
en A como en B

40. Elementos de la teoría de
conjuntos
Ejemplo:
Dados U={x/x es un Entero}
A={1,2,3,4,5}
B={3,4,5,6,7,8,9}
A B
3,4,5

41. Elementos de la teoría de
conjuntos
Intersección mediante diagramas de Venn
U
A
B
6
1
2
3
3,4,5
4 5
7 8
9
La intersección es solamente el conjunto formado
por los elementos que se aparecen tanto en A
como en B

42. Elementos de la teoría de
conjuntos
Diferencia de Conjuntos
Dados dos conjuntos cualesquiera A,B
llamamos diferencia de A con B A-B, al
conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen al conjunto A y no pertenecen al
conjunto B

A B
x/ x
A x
B

43. Elementos de la teoría de
conjuntos
Ejemplo:
Dados U={x/x es un Entero}
A={1,2,3,4,5}
B={3,4,5,6,7,8,9}

A B
1,2
Notemos que los elementos 1,2 están en el
conjunto A pero no están en el conjunto B

44. Elementos de la teoría de
conjuntos
Diferencia mediante diagramas de Venn
U
A
B
6
1
2
7 8
3
4
5
9
La diferencia A-B es el conjunto formado por 1,2 que so
los elementos que estan en A pero no estan en B

45. Elementos de la teoría de
conjuntos
Diferencia Simétrica
Dados dos conjuntos A,B llamamos Diferencia
Simétrica de A con B, A B al conjunto
formado por todos los elementos que
pertenecen al conjunto
A-B o pertenecen al conjunto B-A

x/ x A B
A
B=
x B A

46. Elementos de la teoría de
conjuntos
Ejemplo:
Dados U={x/x es un Entero}
A={1,2,3,4,5}
B={3,4,5,6,7,8,9}

A B={1,2,6,7,8,9}

47. Elementos de la teoría de
conjuntos
Diferencia Simétrica mediante diagramas de
Venn
U
A
B
1
2
6
3
4
5
7 8
9
La diferencia simétrica A B es el conjunto formado por
1,2,6,7,8,9 los elementos que estan en A pero no estan
y los elementos que estan en B pero que no estan en A

48. Elementos de la teoría de
conjuntos

Complemento de un conjunto: Los conjuntos
son a su vez subconjuntos de otros conjuntos
o del conjunto universo U, dado un conjunto A
que es subconjunto del conjunto B podemos
decir que
B A A
A
Donde
de A.
es llamado el conjunto complemento

49. Elementos de la Teoría de
Conjuntos
Ejemplo:
Dados A={a,e,i,o,u}
B={x/x es letra del alfabeto en español}
A {x / x es consonantedel alfabeto español}

50. Elementos de la teoría de
Conjuntos
Leyes de De Morgan: Leyes escritas por el
matemático ingles Augustus De Morgan
(A  B)
A
(A  B)
AB
B

51. Elementos de la teoría de
conjuntos

Ejemplo:
Dados U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}
A={1,2,3,4,5}
B={3,4,5,6,7,8,9}
(A  B)
A
B
Primero realizamos el lado izquierdo
(A B) {1,2,3,4,5
,6,7,8,9}
(A  B) {10,11,12,13,14 ,15}

52. Elementos de la teoría de
conjuntos
Ahora hacemos el lado derecho
A
B
A {6,7,8,9,10,11,12,3,4,15}
B {1,2,10,11,12,13,14,15}
A
B {10,11,12,13,14,15}