Estadistica nuevo-ingreso

Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación
Tema 1: Nociones básicas
Propósito:
Ofrecer a los participantes nociones básica del uso de la estadística
y su importancia en la Educación
Audiencia:
Estudiantes de nuevo ingreso de los EUS
Estrategia:
Discusión guiada
Tiempo estimado:
3 horas
Contenidos:
1.¿Qué es matemática y qué es estadística?
2.Abusos de la estadística
3.¿Para qué estudiar estadística en Educación?
4.¿Que estadísticas se ven en Educación?
5.¿Cómo debo abordar la asignatura?
1

Cátedra de Métodos Cuantitativos

¿Qué es matemática y qué es estadística?
Cuando pensamos en matemática
¿Qué recordamos?

Se llama matemática al estudio
de las propiedades y las
relaciones de entes abstractos
(números, figuras geométricas) a
partir de notaciones básicas
exactas
y
a
través
del
razonamiento lógico.

2

http://es.wikipedia.org/

Cuando pensamos en estadística
¿Qué recordamos?

La estadística es una ciencia
con base matemática referente
a la recolección, análisis e
interpretación de datos, que
busca explicar condiciones
regulares en fenómenos de
tipo aleatorio.


¿Cuándo la usamos?
La teoría matemática sí se
desarrolla en abstracto: no
depende de otra cosa fuera de sí
misma. La verdad de la teoría se
mide por la lógica y no por el
experimento. Sin embargo, una de
sus utilizaciones más valiosas es el
describir o modelar los procesos en
el mundo real, de manera que hay
una interacción constante entre las
matemáticas
puras
y
las
matemáticas aplicadas.

3


¿Cuándo la usamos?
Es transversal a una amplia variedad
de disciplinas, desde la física hasta las
ciencias sociales, y es usada para la
toma de decisiones. Dos ramas de la
estadística permiten: utilizar métodos
de
recolección,
descripción,
visualización y resumen de datos
originados a partir de los fenómenos
en estudio (descriptiva), y la
generación de los modelos, para
modelar patrones en los datos y
extraer inferencias acerca de la
población bajo estudio (inferencia).


¿Dudamos de ella?

Puesto que el estudio no está
relacionado con el mundo físico,
se buscan pruebas formales
rigurosas,
en
lugar
de
verificaciones experimentales. La
teoría se presenta en términos de
un pequeño número de verdades
dadas (conocidas como axiomas),
desde las que puede inferir toda
una teoría.

4


¿Dudamos de ella?

El uso de cualquier método
estadístico es válido solo cuando
el sistema o población bajo
consideración
satisface
los
supuestos matemáticos del
método. El mal uso de la
estadística puede producir serios
errores en la descripción e
interpretación


Abusos de la estadística
La estadística es una ciencia exacta porque dice siempre
exactamente lo que uno quiere que diga
• No basta con la simple lectura de un dato
• Pertenece a la muestra de la cual se extrajo la información
• Su interpretación depende del contexto en el cual ha sido recolectado
• Su validez depende del instrumento de recolección de información
• Sus cambios son explicados por la historia
• No implica causalidad inmediata
• No tiene resultados exactos
• La representatividad depende de cómo se recogieron los datos y
cuántos son
• Considera niveles de incertidumbre en la toma de decisiones

5


¿Para qué estudiar estadística en Educación?
La investigación en educación, en ocasiones, se apoya de métodos estadísticos
que le facilitan el procesamiento y análisis de los datos, es por eso que el curso
Estadística aplicada a la educación tiene como propósito fundamental proveer a
los educadores de un conjunto de métodos, técnicas, y procedimientos
estadísticos que le permitan recolectar, organizar, presentar e interpretar datos
provenientes de un conjunto de elementos o colectivo en estudio, a fin de
obtener conclusiones válidas y confiables
Variables comunes en Educación
• Rendimiento
• Deserción
• Repitencia
• Nutrición
En términos generales se usa para:
• Planificar
• Diagnosticar

6


¿Que estadísticas se ven en Educación?

Matemática y Estadística I

Estadística III

7

Estadística II

Métodos Cuantitativos


¿Cómo debo abordar la asignatura?
• Disponer de un correo electrónico para comunicarse con su profesor
• Preparar el contenido con anticipación a la asesoría
• Llevar nota de los comentarios y dudas que surgen en la lectura
• Revisar el tipo de ejercicio que se realiza para la unidad
• Asistir puntualmente a las asesorías
• Realizar preguntas y comentarios al profesor durante la asesoría
• Llevar nota de las observaciones, técnicas y formulas que se proponen
en clase
• Llevar registro de los contenidos discutidos en clase y los que quedan
pendientes
• Dedicar a la asignatura al menos 10 horas semanales para leer o
ejercitarse
• Redactar conclusiones de todos los resultados que se obtengan
producto del calculo y corroborarlo con compañeros y profesores

www.ucv.ve/eus
8


Tema 2: Operaciones básicas en estadística
Propósito:
Presentar a los participantes las operaciones matemáticas básicas
utilizadas en la estadística
Audiencia:
Estudiantes de nuevo ingreso de los EUS
Estrategia:
Discusión guiada
Tiempo estimado:
3 horas
Contenidos:
1.Operador sumatoria
2.Operaciones básicas en el conjunto de los números reales: suma,
resta, multiplicación, división
3.Operaciones con fracciones
4.Propiedades de la potenciación
9


Operador Sumatoria
Sea la sucesión de 100 términos cualesquiera de un campo numérico

an = a1 , a2 , a3 ,..., a100
La suma de los términos de la sucesión viene dada por:

an = a1 + a2 + a3 + ... + a100
Esta suma se puede expresar de forma más sencilla mediante el uso
del símbolo ∑ (mayúscula de la letra sigma griega, correspondiente a
la letra “s” de nuestro alfabeto).
Tenemos entonces que la sumatoria
n

∑ a ( m ≤ n)

k =m

k

es una forma de expresar la suma de los términos de una sucesión,
términos que se obtienen dando a la variable k, valores enteros
comprendidos entre dos límites escritos en la parte inferior y
superior del símbolo.
10


Operador Sumatoria
Si consideramos el operador sumatoria definido con anterioridad
n

∑ a ( m ≤ n)

k =m

k

La expresión dada se leerá así: sumatoria desde k=1 hasta 100 de la
sucesión ak
Los límites m y n (inferior y superior) reciben el nombre de índices de
la sumatoria y este operador será una representación simbólica muy
utilizada en fórmulas estadísticas
Ejemplos:
a)

20

∑2

k

= 21 + 2 2 + 23 + ... + 2 20

k =1

b)

n

∑ ( 2t + 1) = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1)
t =0

11


Algunas propiedades de las sumatorias:
 Si c es una constante y ak es una sucesión, entonces;
n

∑ ca
k =1

n

k

= c ∑ ak
k =1

 Si c es una constante, entonces
n

∑ c = ( n − m + 1) c
k =1

 Si ak y bk son sucesiones se cumple que:
n

∑(a
k =1

n

k

n

k =1

k =1

+ bk ) = ∑ ak + ∑ bk

NOTA: Como mencionamos con anterioridad, el operados sumatoria
se usa mucho en la estadística, como por ejemplo, para expresar el
calculo del promedio de observaciones numéricas:
n
En este caso, el operador sumatoria representa
xi
la suma de las observaciones de la serie dada.
i =1

X=

12

∑

n

Algunas propiedades de las sumatorias:
Algunos errores que se cometen al usar el operador sumatoria:
2

 n

2
 Es falso tomar a ∑ ak =  ∑ ak  ya que son valores completa_
k =1
 k =1 
n

mente diferentes. Se puede verificar fácilmente con un ejemplo.
n

 Es falso afirmar que

∑a
k =1

n

k

n

k =1

k =1

× bk = ∑ ak × ∑ bk ya que si hacemos

por separado dicho calculo podemos observar que son completa_
mente diferentes.

13



Ejemplo:
Sean:

n

∑x
i =1

i

= x1 + x2 + x3 + ... + xn

n

∑ ax = ax + ax
i =1

i

1

2

+ ax3 + ... + axn Donde a es una constante

Resolver el siguiente planteamiento:
Las siguientes notas corresponden a un grupo de estudiantes:
Xi = 10, 15, 8, 17, 20, 5
yi = 12, 14, 10, 15, 4, 6
Calcular:
a) ∑ Xi
b) ∑ Xi
n
c) ∑ Xj Yj
d)
14

∑ Xi ² - ∑ Yi - ∑ xi. Yi
n


Solución:
xi

xi²

xi .Yi

10

12

100

120

15

14

225

210

8

10

64

80

17

15

289

255

20

4

400

80

5

6

25

30

75

15

Yi

61

1103

775


Proporciones y porcentajes
Cocientes Estadísticos:
Si se quiere conocer el riesgo de muerte entre dos ciudades, no se
podría tomar como indicio el número de muertes ocurrido durante
cierto tiempo en ambas ciudades; ya que ambas pueden tener
diferentes población, siendo este factor decisivo para describir el
comportamiento de riesgo de muerte en diferentes ciudades
tendremos que utilizar una medida que permita establecer una
comparación entre los riesgos de muertes considerados.
Esa respuesta la da los cocientes relativos, que son medidas
estadísticas que consisten en establecer en convertir los datos de
valores absolutos en valores relativos mediante un cociente.
Los cocientes estadísticos más utilizados son:

16



17



Proporciones
Definición: son cocientes que indican la relación existente
entre una cantidad (parte de un todo) y el total de las
unidades consideradas.
Fórmula: P= A
N
Ej.
Proporción de estudiantes del sexo masculino.
No. de estudiantes masculino
= 2.800 = 0.70
P=
total de estudiantes
4.000
Proporción de estudiantes del sexo femenino
No. de estudiantes femenino = 1.200 = 0.30
P=
total de estudiantes
4.000
18

Proporción de estudiantes del sexo masculino +

Proporción de



Porcentajes
Definición: son proporciones multiplicadas por cien
(100), así como todas las proporciones referidas al mismo
total es igual a uno, la suma de todos los porcentajes
referidos al mismo total es igual a cien (100).
Fórmula:
%= A x 100
N
%= 2.800 x 100 = 70%
4.000
%= 1.200 x 100 = 30%
4.000
19

(Porcentaje de estudiantes del sexo masculino)

(Porcentaje de estudiantes del sexo femenino)



Notación científica
Al escribir números en especifico aquellos que tienen gran
cantidad de ceros (0) antes o después del punto decimal, es
conveniente emplear la notación científica, usando potencia
de 10.
Ej.
10¹= 10
10²= 10 x 10= 100
10⁵= 10x10x10x10x10x = 100.000
10⁸= 100.000.000

Ej.
10⁰= 1
10⁻¹= 0,1
10⁻²= 0,01
10⁻⁵= 0,00001

Ej.
864 000 000= 8,64 x 10⁸
0,00003416= 3,416 x 10⁻⁵
.
20


Potencia de un Número

Si se desea multiplicar un número por sí mismo varias veces se puede
indicar el producto factor a factor; si son pocos factores esto se puede
hacer sin mucha dificultad. Por ejemplo 2·2·2, si se multiplica por si
mismo 2 tres veces.
Esta forma de expresar este tipo de operaciones es tediosa y poco
práctica. Una notación más simple y práctica para expresar el
producto de un número por sí mismo varias veces es la notación en
forma de potencia.
Una potencia consta de dos partes, por un lado está la base que es el
número que se multiplica por sí mismo y por otro el exponente que
nos indica el número de veces que se multiplica el número.

21


Propiedades de la potenciación
 Producto de bases distintas elevadas a un mismo exponente:

( a ⋅ b) n = a n ⋅ bn

 Potencia de una potencia:

(a )

n m

= a n⋅ m

 Producto de potencias de bases iguales es una potencia donde se
suman los exponentes:

a n ⋅ a m = a n+m

División de potencias de igual base es una potencia donde se
restan los exponentes:

a m ÷ a n = a n−m

 Todo número elevado a la cero es igual a 1:

a0 = 1

22



Ejemplos
2 3 + 32 + 4 2 = 2.2.2 + 3.3 + 4.4 = 8 + 9 + 16 = 33

(5 + 4) 2 + 32 =

3 +1 =

(9)2 + 3.3 = 9.9 + 3.3 = 81 + 9 = 90

4=2

25 − 16
9 3
=
= =1
3
3
3

33 + 4 − 2 3 =
10 2.10 5
10 3
23


Propiedades de la potenciación
 Base fraccionaria con exponente negativo es una potencia en la que se
“voltea” la fracción y se le cambia el signo al exponente:

a
 
b

−n

b
= 
a

n

 Potencia de bases con exponentes fraccionarios:

a n = n am
m

NOTA: El concepto y las propiedades de la potenciación pueden ser
conveniente usadas en ciertas fórmulas estadísticas, como es el caso de la
desviación típica o estándar:
En este caso, debemos elevar al cuadrado
n
las desviaciones entre las observaciones
( xi − x ) 2
con
respecto a su media aritmética.
i =1

σ=

24

∑

n



Ejemplo
Las siguientes notas corresponden a un grupo de
estudiantes:
Xi = 10, 15, 8, 17, 20, 5
yi = 12, 14, 10, 15, 4, 6
Calcular la desviación estándar en cada caso (tanto
n
para x como para y)
( xi − x ) 2
∑
σ = i =1
n
Para calcular el promedio utilice la siguiente fórmula
n

X=
25

∑x
i =1

i

n


Solución:
xi

10

12

15

14

8

10

17

15

20

4

5

6

75
26

Yi

61

-X )

2

Xi -2,5

(Xi
6,25

2,5
-4,5
4,5
7,5
-7,5

6,25
20,25
20,25
56,25
56,25
165,5

X

Yi1,83

Y) 2
(Yi -

3,83
-0,17
4,83
-6,17
-4,17

14,69
0,03
23,36
38,03
17,36
96,83

Y

3,36



Luego:
n

σx =

( xi − x ) 2
∑
i =1

n

n

σy =
27

∑( y
i =1

i

− y)

n

165,5
=
= 5,25
6

2

96,83
=
= 4,02
6


Teoría Combinatoria

La teoría combinatoria es la rama de las
Matemáticas encargada de estudiar la cantidad de
grupos distintos que se pueden formar con un
número dado de elementos, distinguiéndose entre
ellos cada grupo de los restantes por algunas
condiciones que se dan en cada caso.

28



Teorema fundamental de la Combinatoria
Si un primer evento puede ocurrir de m formas
diferentes y, después de que éste ocurra, un
segundo evento puede ocurrir de n formas
diferentes, entonces el número de formas
diferentes en que puede ocurrir la secuencia de los
eventos es igual a m por n.
Dependiendo de las condiciones establecidas en la
Teoría Combinatoria tenemos principalmente tres
tipos de agrupaciones:

29


Teoría Combinatoria

Pn = n !

Vm ,n

m!
=
(m − n)!

Cm , n =

30

m!
(m − n)!⋅ n!



Factorial de un Número
• El factorial de un número entero positivo
se define como el producto de todos los
números naturales anteriores o iguales a
él. Se escribe n!, y se lee "n factorial".
(Por definición el factorial de 0 es 1: 0!=1)
Por ejemplo, 5! = 5·4·3·2·1 = 120
(8-4)! = 4! = 4x3x2x1 = 24
31



• La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir
que se multiplican una serie de números que
descienden.
• Ejemplos:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1
• "4!" normalmente se pronuncia "4 factorial".
También se puede decir "factorial de 4"
32



Conceptos Claves en Estadística I
• Estadística y clasificación de la estadística
• Tablas y gráficos. Tipos y Usos
• Promedios matemáticos y no
matemáticos
• Medidas de tendencia central y de
dispersión
• Distribución de frecuencia discreta y
continua
33



Ejercicio Final:
Los bachilleres que aspiran ingresar al Núcleo de la Región Centro Occidental de la
Escuela de Educación de la Universidad Central de Venezuela para el período lectivo 20102, presentaron una evaluación diagnóstica. Una muestra de treinta y seis (36) participantes
obtuvo las siguientes calificaciones:
08
10
14
18
16

08
14
02
16

04
14
02
08
18 10

02
14
04
10
08

06
02
16
12

10
14
14
14

18
10
18
16

08
04
12
04

A partir de estos datos, calcule
a)El promedio de las calificaciones obtenidas en la evaluación diagnóstica por la muestra.
n

X=

∑x
i =1

i

n
n

b) La desviación estándar.
34

σ=

∑( x − x)
i =1

2

i

n


Promedio de Calificaciones:
n

X=

∑x
i =1

n

i

378
=
= 10,5 puntos
36

El promedio de calificaciones de los 36 bachilleres
que aspiran ingresar a la Escuela de Educación,
EUS/UCV/RCO es 10,5 puntos

35



Desviación Estándar:
n

σ=

( xi − x ) 2
∑
i =1

n

=

947
= 5,2
36

La desviación estándar es 5,2 puntos

36



37


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