Este documento describe las funciones de varias variables y los diferentes sistemas de coordenadas. Explica los sistemas de coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas, así como las transformaciones entre ellos. También cubre conceptos como la simetría y el dominio de las funciones de varias variables.

1. Funciones de
varias
variables.
República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria.
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.
Escuela de Arquitectura.
Sede – Barcelona.
Docente:
Pedro Beltrán.
Estudiante:
Ivana Montilla.
C.I: 26.971.894.
Carrera: Arquitectura.
Barcelona, noviembre del 2020.

2. En las Ciencias Experimentales es muy frecuente que tengamos interés en
poder expresar una variable en función de dos o más variables.
El modelo matemático adecuado para expresar una variable en función de
otras variables es la función de varias variables. Igual que ocurría con las
funciones de una variable, algunas de las herramientas asociadas a este
modelo nos permiten abordar y expresar muchos aspectos interesantes de la
relación existente. Nos centraremos en las herramientas más sencillas: desde
los sistemas de coordenadas, sus tipos; hasta transformaciones entre sus
diferentes sistemas de coordenadas, además de hablar un poco sobre la
simetría, ahondar en los sistemas de varias variables y el dominio de las
mismas.
Introducción.

3. Sistemas de
Coordenadas.
Un ejemplo corriente es el sistema que
asigna longitud y latitud para localizar
coordenadas geométricas.
Tipos:
￮ Sistemas de coordenadas
cartesianas.
￮ Sistema de coordenadas Polares.
￮ Sistemas de coordenadas
Cilíndricas.
￮ Sistemas de coordenadas
esféricas.
3
Es un sistema que utiliza uno más números
(coordenadas) que permite definir
unívocamente la posición de cualquier
punto de un espacio geométrico respecto
de un punto denominado origen. El orden
en que se escriben las coordenadas es
significativo y a veces se las identifica por
su posición en una tupla ordenada;
también se las puede representar con
letras, como por ejemplo: la coordenada-x.
En física, el conjunto de ejes, puntos o
planos que confluyen en el origen y a partir
de los cuales se calculan las coordenadas
de cualquier punto constituyen lo que se
denomina sistema de referencia.

4. 4
Sistemas de Coordenadas Cartesianas.
Se define por 2 o 3 ejes ortogonales igualmente
escalados, dependiendo de si es un sistema
bidimensional o tridimensional. El valor de cada una de
las coordenadas de un punto (A) es igual a la
proyección ortogonal del vector de posición de dicho
punto (𝑟𝐴 = 𝑂𝐴) sobre un eje determinado:
𝒓 𝑨 = 𝑶𝑨 = ( 𝒙 𝑨, 𝒚 𝑨, 𝒛 𝑨)
Cada uno de los ejes está definido por un vector
director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el
eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y
un vector (i ) tal que:
𝒊 = (𝟏, 𝟎, 𝟎), cuyo modulo es 𝒊 = 𝟏.
El valor de la coordenada x de un punto es igual a la
proyección ortogonal del vector de posición de dicho
punto sobre el eje x.
𝒙 𝑨 =
𝑶𝑨 . 𝒊
𝑶𝑨 . 𝒊
=
𝑶𝑨
𝑶𝑨
. 𝒊

5. “
En el espacio 3D, la posicion de un punto en coordenadas cartesianas, vendra dada
por un trio ordenado de números que nos indican los valores de X, Y y Z, en ese
orden.
5
Sistemas de Coordenadas Cartesianas.
Los planos de referencia XY (z= 0) XZ (y=0) e YZ (x=0) dividen el espacio en 8
octantes en los que como en el caso anterior los signos de las componentes cambian
de positivo a negativo según sean los valores de las 3 coordenadas.
Resulta conveniente señalar que estamos hablando de un sistema de coordenadas al que le
es aplicable la regla de la mano derecha, o sea, que Z es positivo en la dirección en que
avanzaría un tornillo si giramos el mango de un desarmador en el sentido del eje X al eje Y.

6. 6
Sistema de Coordenadas Cilíndricas.
Son una extensión del sistema de coordenadas polares al espacio tridimensional.
Generalmente, en lugar de utilizar X, Y y Z, se usa r, el ángulo theta y la variable Z, X o Y.
La última variable designa la extensión máxima de una superficie. Para elegir que variable
dejar intacta, hay que observar la gráfica de la función; la variable que no cambia es
aquella sobre cuyo eje abre la superficie.

7. 7
Sistema de Coordenadas Cilíndricas.
El nombre de estas coordenadas
proviene de la idea de que cada punto
en el espacio es un punto de la
superficie de una infinita cantidad de
cilindros circulares, todo con un radio
arbitrario de valor r. Las integrales
triples en este sistema de coordenadas
se designan de la siguiente manera:
En caso de empezar con una función en
coordenadas cartesianas, estas se
pueden convertir a coordenadas
polares:
Nuevamente se hace énfasis
en que el sistema puede
cambiar. Por ejemplo, r puede
depender de Y y de Z siendo X
la variable que no cambia.
Todo depende de la superficie
con la que se trabaja. Por
ejemplo se pide encontrar el
volumen del 1er octante del
cono cuya ecuación es la
siguiente, junto con otras
restricciones:
El cono abre hacia el eje z, así que la
región plana que se usa para obtener el
volumen está en el plano XY, y
corresponde a una circunferencia de
radio 1. Por lo tanto, la integral se
plantea así:
La integral se calcula igual que en
cualquier integral común, respetando el
orden de integración.

8. 8
Sistema de Coordenadas Esféricas.
Es un cambio total de las variables en el espacio tridimensional. El cambio se da por las
siguientes formulas:
Las nuevas variables anteriores representan la posición de un punto respecto a la
distancia que hay entre este y el origen y los ángulos que se forman entre ese vector y el
eje Z y la proyección del mismo vector y el eje X. Al igual que en coordenadas cilíndricas,
el sistema de referencia puede cambiar.

9. 9
Sistema de Coordenadas Esféricas.
A la inversa, es posible pasar de coordenadas
esféricas a coordenadas cartesiana:
Toda integral en coordenadas esféricas se
representa de la siguiente manera:
Por ejemplo, se pide investigar el volumen del
ejemplo usado para explicar la integración en
coordenadas cilíndricas. Para ello la conversión
a coordenadas esférica se hace de la siguiente
forma:
Finalmente, la integral triple para encontrar el
volumen se escribe como:
De igual forma, esta integral se resuelve como
cualquier integral iterada.

10. 10
Transformación entre los diferentes
sistemas de coordenadas .
Fórmulas para la transformación de coordenadas.
Cilíndricas a
cartesianas
Esféricas a
cartesianas
Cartesianas a
cilíndricas
Cartesianas a efericas.
𝑥 = 𝑟 cos 𝑞 𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝑓 𝑐𝑜𝑠𝑞 𝑟 = (𝑥2
+ 𝑦2
)1/2
𝑟 = (𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
)1/2
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑞 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝑓 𝑠𝑒𝑛𝑞 𝑞 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑦
𝑥
) 𝑓 = arccos(𝑧/(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
)1/2
)
𝑧 = 𝑧 𝑍 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝑞 𝑧 = 𝑧 𝑞 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(
𝑦
𝑥
)

11. 11
Transformación entre los diferentes
sistemas de coordenadas .
Cartesianas a cilíndricas.
Cilíndricas a Cartesianas.

12. 12
Transformación entre los diferentes
sistemas de coordenadas .
Cartesianas a esféricas.
Esféricas a Cartesianas.

13. 13
Transformación entre los diferentes
sistemas de coordenadas .
Cilíndricas a esféricas.
Esféricas a Cilíndricas.

14. 14
Simetría.
Es una característica presente en numerosas ramas de las
matemáticas, y por lo tanto no se limita como pudiera parecer a
primera vista a la geometría. Es un tipo de invariancia: la propiedad de
que un objeto matemático permanece sin cambios bajo un determinado
conjunto de operaciones o transformaciones.
Dado un objeto estructurado X de cualquier tipo, una simetría es
una aplicación del objeto sobre sí mismo que conserva su estructura.
Esto puede ocurrir de muchas maneras; por ejemplo, si X es un
conjunto sin estructura adicional, una simetría es una
aplicación biyectiva de un conjunto sobre sí mismo, dando lugar a
un grupo de permutaciones. Si el objeto X es un conjunto de puntos en
el plano con su estructura métrica o cualquier otro espacio métrico, una
simetría es un función biyectiva del conjunto en sí mismo que conserva
la distancia entre cada par de puntos (es decir, es una isometría).
La simetría según sea el carácter de las funciones puede ser de 2
tipos:
o Simetría par.
o Simetría impar.

15. 15
Simetría.
Geométricamente hablando, el gráfico de una función
par es simétrico con respecto al eje y, lo que significa
que su gráfica permanece sin cambios después de
efectuar una reflexión sobre el eje y. Los ejemplos de
funciones pares son el |x|,
2
, 𝑥4
, cos (x) y cosh (x).
o Funciones pares: Supóngase que f(x) sea una
función con valor real de una variable real,
luego f es par si la siguiente ecuación se cumple
para todos los x y los -x en el dominio de f:
𝒇 𝒙 = 𝒇(−𝒙)
ƒ(x) = 𝑥2
es un
ejemplo de una
función par.
o Funciones impares: Nuevamente, sea f (x) una
función con valor real de una variable real. Se dice
que f es impar si la siguiente ecuación es válida para
todo x y -x en el dominio de f de forma que:
-𝒇 𝒙 = 𝒇(−𝒙) es decir, 𝒇 𝒙 + 𝒇 −𝒙 = 𝟎.
Geométricamente, el gráfico de una función impar tiene
simetría rotacional con respecto al origen, lo que
significa que su gráfico permanece sin cambios después
de una rotación de 180º respecto al origen. Ejemplos de
funciones impares son x, x3, sin (x), sinh (x) y erf (x).
ƒ(x) = 𝑥3
es un
ejemplo de una
función impar

16. 16
Funciones de varias variables.
Una función es una relación entre 2 conjuntos donde a cada elemento del 1er conjunto le corresponde un solo elemento del
2do conjunto. Esta es la definición matemática de una función. Existen funciones comunes que poseen una variable
independiente (X) que cambia libremente sin depender de ningún parámetro y una variable dependiente (Y) que cambia
respecto a X. El cambio que sufre y está definido por una expresión algebraica que funge como regla.
Se puede entender a una función como una maquina
por la que entra algo y sale algo diferente, procesado:
La función genera resultados para y= f(x) dependiendo el valor que tomo x. En el mundo real estas funciones describen
fenómenos que dependen de solo una variable. Por ejemplo, en cinemática, la rama de la física que estudia el movimiento
sin preocuparse por las causas que lo provocan, la posición de un objeto se define por funciones que varían respecto al
tiempo t. son funciones de una única variable dependiente. Sin embargo, existen fenómenos de la naturaleza cuyo
comportamiento no depende únicamente de un solo factor. Estas son funciones de varias variables.

17. Funciones de varias variables.
Son funciones como cualquier otra, cumple la
misma definición de función; una relación . La
diferencia es que una variable dependiente estará
regida por más de una variable independiente. Es
muy común trabajar con funciones de 3 variables,
generalmente llamadas Z= f(x,y). La idea de
relación es más compleja puesto que el valor de Z
depende no solo del valor de X o de Y, sino de
punto coordenados a los que les corresponde un
valor de Z.
17
𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟗
𝒙
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐
Casi por impulso, se tiende a graficar una función
para observar su comportamiento y entenderlo con
más claridad. Las funciones de varias variables no
están exentas de ello. El problema es que no todas
las funciones de varias variables se pueden
graficar. De hecho, el máximo números de variables
que permite graficar es de 3 variables. ¿Por qué?
Pues porque dimensionalmente so se pueden
observar más de 3 variables interactuando entre sí,
o al menos no gráficamente. Un ejemplo de como
se ve una función de 3 variables es el siguiente:

18. 18
Funciones de varias variables.
Ejemplos de ejercicios resueltos:

19. 19
Dominio de funciones
de varias variables.
Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y como ocurre en funciones de 2
variables. Sin embargo, la idea es la misma. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la
función sin que esta se indefina.
El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de 2 variables, pero ahora se debe encontrar en
función de la relación entre las variables, pero ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables del
argumento. Es decir, el dominio depende de cómo interactúan estas variables. Por ejemplo:
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙𝒚
Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de X y de Y tal que ambas variables pueden tomar
cualquier valor de los números reales, puesto que la función f jamás se indefinirá. La manera formal de escribirlo es:
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = (𝒙, 𝒚) 𝒙 ∈ 𝑹, 𝒚 ∈ 𝑹

20. 20
Dominio de funciones
de varias variables.
En funciones de varias variables, es posible graficar el dominio. Esto da una idea de los valores que toman X y Y en un
plano, en el caso de una función de 3 variables. Para la función anterior, el grafico del dominio es el siguiente:
Lo anterior se entiende como que un tapiz de puntos. Todos los valores de X y de Y son permitidos, y es por eso que se
marca todo el plano cartesiano, en 2 dimensiones solamente.

21. 21
Dominio de funciones
de varias variables.
Otro dominio que se puede graficar es el de una
función de 4 variables. En estos casos, el dominio
es un grafica tridimensional, por ejemplo:
El dominio se encuentra de la misma forma.
Aunque la función tenga 3 variables en su
argumento, existe un conjunto de valores que
probablemente indefinan a f. La raíz cuadrada del
denominador no puede ser igual a 0. así mismo, su
argumento no puede ser negativo. Por la
conjugación de ambas condiciones se tiene que el
dominio es:
𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 =
𝒙
𝟗 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐 − 𝒛 𝟐
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝟗 − 𝒙 𝟐
− 𝒚 𝟐
− 𝒛 𝟐
> 𝟎
La grafica del dominio esta en 3 dimensiones:
El grafico es pues una esfera. Es importante
notar que la superficie esta punteada pues solo
el “contenido” es parte del dominio. Si las
variables del argumento de la función tomaran
valores de un punto de la superficie, f se
indefiniría.

22. Conclusión.
Podemos concluir a través de esta investigación la importancia de todas estas
herramientas en las matemáticas, tal es el caso de los sistemas de coordenadas que
nos permiten representar objetos en el espacio para un mejor entendimiento de los
mismo, ya sea por medio de la coordenadas cartesianas o entéricas, todo dependerá
de lo que se desee representar.
Del mismo modo podemos ver la importancia de tener conocimientos respecto a las
funciones de varias variable, que nos permiten calcular datos que son mayormente
influenciados por más de una variable.
En este caso en particular en el campo de la Economía nos encontramos con
numerosos ejemplos de funciones de variables, ya que, en general la producción, el
beneficio, la función de coste, dependen de más de una magnitud.

23. 23
Anexos.
o Coordenadas Cilíndricas a Cartesianas
https://www.youtube.com/watch?v=VQpkNhH6bzM
o FUNCIONES de VARIAS VARIABLES | BIEN EXPLICADO|
CÁLCULO MULTIVARIABLE
https://www.youtube.com/watch?v=mNh-0nMN3Tw
o Funciones de Varias Variables Parte 1.
https://www.youtube.com/watch?v=P8QHsN-dS1s

24. Bibliográfia.
24
o Coordenadas cilíndricas y esféricas. (s.f.). Diario de cálculo vectorial. Recuperado de
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/coordenadas-cilindricas-y-esfericas
o Funciones de varias variables. (s.f.). Diario de cálculo vectorial. Recuperado de
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-de-varias-variables
o Gonzales, Rodríguez. B.J; Hernández, Abreu. D; Jimenez, Paiz. M; Marrero, Rodriguez. M. I & Sanabria,
Garcia. A. (2013). Funciones de varias variables: problemas resueltos. campusvirtual.ull.es. Recuperado de
https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/6189/mod_resource/content/1/tema3/PR3-varvariables.pdf
o M. en I. Martínez, Lendech J. F. (s.f.). Sistemas de Coordenadas. Recuperado de
http://ri.uaemex.mx/bitstream/handle/20.500.11799/63801/secme-
;jsessionid=7336D7D0CE97E4383C3566C437D045B2?sequence=1
o Simetría en matemáticas. (s.f.). En Wikipedia. Recuperado el 13 de noviembre del 2020 de
https://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa_en_matem%C3%A1ticas
o Sistemas de coordenadas. (s.f.). En Wikipedia. Recuperado el 07 de noviembre del 2020 de
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas
o Sistema de coordenadas en el espacio. (s.f.). Navarrof.orgfree.com. Recuperado de
https://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIV/UT1/sistemas_de_coordenadas.htm