Cap´   ıtulo 4Derivadas e Integrales4.1.     Introducci´n a la derivaci´n                   o               o    En este c...
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4.1 Introducci´n a la derivaci´n              o               o                                                         11...
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4.2 Reglas importantes para derivar                                                 117Ejemplo 4.2.2 Calcular la derivada ...
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4.2 Reglas importantes para derivar                                                  119que nos entrega la velocidad de un...
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  1. 1. Cap´ ıtulo 4Derivadas e Integrales4.1. Introducci´n a la derivaci´n o o En este cap´ ıtulo presentaremos los conceptos m´s b´sicos del c´lculo diferencial e a a aintegral. Este cap´ıtulo se divide en dos grandes partes. La primera parte que trata conel concepto de la derivada, y la segunda parte que introduce el concepto de la integral.Adem´s, se ver´ el nexo que existe entre ambos conceptos a trav´s de un muy importante a a eteorema.4.1.1. Derivada de una funci´n o Si tuvi´semos que definir a la derivada de una funci´n en pocas palabras, dir´ e o ıamosque representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una funci´n nos dice, de oalguna manera, cu´nto cambia la funci´n(variable dependiente) a medida que cambia la a ovariable independiente. La derivada de una funci´n nos dir´ si una funci´n crece o decrece o a or´pidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una funci´n, mejor a ocomenzaremos describiendo el significado geom´trico que tiene, para luego definirla m´s e acorrectamente.Significado geom´trico de la derivada e Consideremos una funci´n lineal como f (x) = mx+n. Sabemos que la pendiente de la orecta descrita por esta funci´n es constante e igual a m. Es decir, la tasa de crecimiento de oesta funci´n es constante y vale m. Decimos que la derivada de esta funci´n es constante o opara todo x y vale m.Consideremos ahora, a modo de ejemplo, la funci´n cuadr´tica f (x) = x2 . Cu´l es la o a atasa de crecimiento de esta funci´n. Al graficar esta funci´n(una par´bola) nos damos o o acuenta que su tasa o ritmo de crecimiento no es constante. A medida que nos alejamos delorigen a lo largo del eje x hacia la derecha, esta funci´n crece y crece cada vez m´s r´pido. o a a¿Como poder medir m´s cuantitativamente esta tasa de crecimiento? Consideremos los asiguientes dos puntos de la par´bola: a P1 (1, f (1)) = P1 (1, 1)
  2. 2. 112 Derivadas e Integrales P2 (2, f (2)) = P2 (2, 4)Una buena manera de medir cuanto cambia la funci´n f (x) al ir de x = 1 a x = 2 es ocalcular la pendiente de la recta que une los puntos (1, 1) y (2, 4). Dicha pendiente vale: 4−1 m= =3 2−1Esta pendiente representa la tasa de crecimiento ”promedio”de la funci´n al ir de x = 1 oa x = 2 ya que la funci´n crecer´ m´s lentamente cerca de x = 1 y m´s r´pidamente o a a a acerca de x = 2. ¿Como poder saber, de mejor manera cuanto crece f (x) cerca de x = 1.F´cil. Consideremos un punto m´s cercano que P2 al punto P1 . A decir, consideremos el a apunto P3 (1,5, f (1,5)) = P3 (1,5, 2,25)Repitiendo el c´lculo para la pendiente promedio entre los puntos P1 y P3 , encontramos aque: 2,25 − 1 1,25 m= = = 2,5 1,5 − 1 0,5Notemos que al ir considerando un punto, llamado Pk , cada vez m´s cercano a P1 , la arecta que une P1 con Pk se asemeja cada vez m´s con la recta tangente a P1 . Decimos aque en el l´ ımite, la recta que une los puntos P1 y Pk es la recta tangente a la curva en P1 . 4 3 recta tangente a y=x2 en P1 2 1 P1 -2 -1 1 2 ´Definicion 1 (geometrica de derivada) La derivada de una funci´n f (x) en x◦ se odefine como la pendiente de la recta tangente al gr´fico de f (x) en el punto (x◦ , f (x◦ )). a4.1.2. Noci´n de l´ o ımite Entender el concepto de l´ımite es fundamental en cualquier curso serio de c´lculo. aSin ir m´s all´, la derivada es un l´ a a ımite. Pero, ¿ qu´ es un l´ e ımite ? Al estudiar seriesya introducimos, sin darnos cuenta, la noci´n de l´ o ımite. Por ejemplo, consideremos lasiguiente suma : 1 1 1 1 Sn = + + + · · · + n 2 4 8 2¿Qu´ pasaba si n crec´ al infinito? Esta suma se transformaba en una serie geom´trica e ıa ecuyo valor sabemos que es 1. Matem´ticamente, esto se expresa como: a l´ Sn = 1 ım n→∞
  3. 3. 4.1 Introducci´n a la derivaci´n o o 113 x f(x) ±1 0.8415 ± 0.5 0.9589 ± 0.1 0.9983 ± 0.05 0.9996 ± 0.01 0.9999Este es un caso particular de l´ ımite.De modo m´s general, decimos que el l´ a ımite de una funci´n f (x) cuando x tiende a a es oL, si al acercarnos a x=a podemos hacer que f(x) se acerque a L tanto como queramos.Esto se anota matem´ticamente as´ a ı: l´ f (x) = L ım x→aNota: No es necesario que f (a) exista o este definido para que l´ x→a f (x) exista. ımEjemplo 4.1.1 Sea c una constante cualquiera, entonces l´ c = c ım x→a l´ c · x = c · a ım x→aEjemplo 4.1.2 1 l´ ım =0 x→∞ xSi bien es cierto el valor de 1/x para cualquier x real es distinto de 0, podemos hacerque 1/x se acerque a cero tanto como queramos tomando valores de x lo suficientementegrandes.Ejemplo 4.1.3 sin(x) l´ ım =1 x→0 xEn el ejemplo anterior, justificamos el valor del l´ ımite pero no dimos una demostraci´n origurosa de su valor porque en parte no contamos con la teor´ completa. Justificaremos ıael valor del ultimo l´ ´ ımite con ayuda de una calculadora aunque debemos decir que estono constituye una demostraci´n en s´ o ı. A partir de esta tabla observamos claramente que existe una tendencia por parte def (x) = sin(x) a acercarse a 1 a medida que x se acerca a 0. x Propiedades de linealidad del l´ ımite : l´ cf (x) = c l´ f (x) ım ım x→a x→a l´ [f (x) + g(x)] = l´ f (x) + l´ g(x) ım ım ım x→a x→a x→a
  4. 4. 114 Derivadas e IntegralesEjemplo 4.1.4 Sea : x2 − 1 f (x) = x−1Calcular el valor de: l´ f (x) ım x→1Soluci´n : El valor de f (1) no esta definido ya que tras una simple evaluaci´n obten- o oemos: 0 f (1) = 0Pero notemos que : (x + 1)(x − 1) f (x) = = x + 1 ,x = 1 x−1Entonces: l´ f (x) = l´ x + 1 = 2 ım ım x→1 x→1Definicion 2 (formal de derivada) La derivada de una funci´n f (x) evaluada en oun punto x◦ se define como: f (x◦ + h) − f (x◦ ) l´ ım h→0 hOtra definici´n equivalente de la misma derivada es la siguiente : o f (x) − f (x◦ ) l´ ım x→x◦ x − x◦Notaci´n : oLa derivada de y = f (x) en x◦ se denota por: dy = f (x◦ ) dx x◦Ejemplo 4.1.5 Calculemos la derivada de f (x) = x2 evaluada en x = x◦ d 2 (x◦ + h)2 − x2◦ (x ) = l´ ım dx x◦ h→0 h x2 + 2x◦ h + h2 − x2 ım ◦ = l´ ◦ h→0 h (2x◦ h + h2 ) = l´ ım h→0 h = l´ (2x◦ + h) ım h→0 = 2x◦
  5. 5. 4.1 Introducci´n a la derivaci´n o o 115 Hemos definido la derivada de una funci´n en un punto cualquiera x◦ . Entonces, oahora es natural querer considerar o construir la siguiente funci´n: o ´Definicion 3 (de la funcion derivada) La funci´n derivada (de otra funci´n) se o odefine punto a punto como sigue: f (x + h) − f (x) f (x) = l´ ım h→0 hHagamos notar que no hemos dicho nada acerca de si h puede tomar solo valores positivoso no al irse acerc´ndose a cero en el l´ a ımite. Esto nos lleva a definir dos clases distintas dederivadas (y de l´ımites). Si h en 3 tiende a cero tomando solo valores positivos, entoncesla derivada se denomina derivada por la derecha. A su vez, si h tiende a cero tomandosolo valores negativos, entonces la derivada se denomina derivada por la izquierda. Paraque una funci´n se diga derivable en un punto, debe estar definida su derivada por la oizquierda y su derivada por la derecha en ese punto y ambas deben ser iguales. Para queuna funci´n se diga derivable, debe ser derivable en todo punto. No todas las funciones oson derivables.Ejemplo 4.1.6 Consideremos la funci´n f (x) = |x|. Esta funci´n no es derivable porque o opara x = 0 su derivada por la izquierda es distinta a su derivada por la derecha. Dehecho, en x = 0 la derivadas por la izquierda y por la derecha de f (x) valen −1 y 1respectivamente.Ejemplo 4.1.7 La funci´n derivada de la funci´n f (x) = x2 es: o o f (x) = 2xDemostraci´n: Directa a partir de la definici´n de funci´n derivada y del ejemplo 4.1.5. o o oNotaci´n : La derivada de la derivada de una funci´n, o simplemente la segunda o oderivada de una funci´n, se anota como sigue: o d d d2 f (x) = f (x) = f (x) dx dx dx2 ´De igual modo, podemos hablar de la derivada n-esima de una funci´n f (x). Esta debe oentenderse como una funci´n proveniente de f (x) despu´s de haberla derivado n veces o eseguidas.
  6. 6. 116 Derivadas e Integrales4.2. Reglas importantes para derivar Como el lector ya deber´ poseer una comprensi´n b´sica del significado de la funci´n ıa o a oderivada, a continuaci´n enunciaremos una serie de reglas pr´cticas para derivar las o afunciones m´s importantes. No abordaremos las demostraciones te´ricas de estas reglas a ono porque sea dif´ ıciles sino simplemente porque no deseamos extendernos demasiado.4.2.1. Derivadas de funciones b´sicas a y(x) = k ⇒ y (x) = 0 y(x) = mx ⇒ y (x) = m n y(x) = x ⇒ y (x) = nxn−1 y(x) = ex ⇒ y (x) = ex y(x) = ax ⇒ y (x) = ax ln a y(x) = ln x ⇒ y (x) = 1/x y(x) = sin x ⇒ y (x) = cos x y(x) = cos x ⇒ y (x) = − sin x4.2.2. Propiedades de linealidad de la derivada Sea c una constante cualquiera, entonces: y(x) = cf (x) ⇒ y (x) = cf (x) y(x) = f (x) ± g(x) ⇒ y (x) = f (x) ± g (x)Derivada de un producto de funciones La derivada de una producto de funciones es como sigue: d d d [f (x) · g(x)] = f (x) · g(x) + f (x) · g(x) dx dx dxEjemplo 4.2.1 Calcular la derivada de f (x) = x sin(x). d d d [x · sin(x)] = x · sin(x) + x · sin(x) = sin(x) + x cos(x) dx dx dxDerivada de un cuociente de funciones d d d f (x) = dx f (x) · g(x) − f (x) dx g(x) dx g(x) [g(x)]2
  7. 7. 4.2 Reglas importantes para derivar 117Ejemplo 4.2.2 Calcular la derivada de f (x) = tan(x) d d d tan(x) = d sin(x) = dx sin(x) · cos(x) − sin(x) dx cos(x) = cos(x) · cos(x) − sin(x) [− sin(x)]dx dx cos(x) [cos(x)]2 [cos(x)]2 cos2 (x) + sin2 (x) 1 = 2 (x) = = sec2 (x) cos cos2 (x)Derivada de una composici´n de funciones. Regla de la cadena o d d d g(f (x)) = g(x) · f (x) dx dx f (x) dxEjemplo 4.2.3 Calcular la derivada de sin(x2 ) d d d 2 sin(x2 ) = sin(x) · x = cos(x2 ) · 2x dx dx x2 dxEjercicio 4.2.1 Verificar que las funciones y(x) = sin(wx) e y(x) = cos(wx) satisfacenla ecuaci´n diferencial: o y(x) + w2 y(x) = 0 (4.1)Concluir que la funci´n : o y(x) = A sin wx + B cos wxdonde A y B son constantes arbitrarias, tambi´n satisface la ecuaci´n 4.1. Se dice que e ola funci´n y(x) es la soluci´n general de la ecuaci´n 4.1 o o oNota: La ecuaci´n diferencial 4.1 es muy importante. en general, este tipo de ecuaciones ollevan el nombre de ecuaciones diferenciales. Una ecuaci´n diferencial es una ecuaci´n o oen donde figura una funci´n f (x) junto con algunas de sus derivadas. En este tipo de oecuaciones, la soluci´n no es un valor real como en una ecuaci´n algebraica, sino que la o osoluci´n de la ecuaci´n es una funci´n !. o o o
  8. 8. 118 Derivadas e Integrales4.2.3. Aplicaciones de la derivada En esta secci´n abordaremos algunas aplicaciones b´sicas de la derivada en algunos o aproblemas de matem´ticas y f´ a ısica.Ejemplo 4.2.4 Calcular la ecuaci´n de la recta tangente a la curva descrita por la ofunci´n f (x) = x3 + 3x2 − 5 en el punto de abcisa x = 1. oSoluci´n : Sabemos que la pendiente de dicha recta es igual a: o d 3 m = (x + 3x2 − 5) dx x=1 2 = 3x + 6x x=1 = 3+6 = 9Ahora conocemos la pendiente de la recta. Solo basta conocer un punto de la recta parapoder determinar la ecuaci´n punto-pendiente de la recta. Sabemos que un punto de la orecta corresponde a (1, f (1)). f (1) = 1 + 3 − 5 = −1Entonces, la ecuaci´n de la recta buscada es : o y + 1 = 9(x − 1)4.2.4. Cinem´tica en una dimensi´n a o La cinem´tica se encarga de describir, con el uso de las matem´ticas, el movimiento a ade los cuerpos. Para tal efecto, las medidas de distancia y de tiempo son esenciales.Consideraremos un mundo de una dimensi´n(espacial),en donde se necesita una sola ocoordenada para describir la posici´n de un cuerpo en el espacio. Si queremos saber oen donde se encuentra un cuerpo, debemos medir su distancia con respecto a alg´n uorigen arbitrario que supondremos inm´vil. Pero si el cuerpo se halla en movimiento, la odistancia entre este cuerpo y el origen var´ con respecto al tiempo. ıaDefinicion 4 La velocidad es la tasa de cambio de la posici´n de un m´vil con respecto o oal tiempo. M´s precisamente, supongamos que contamos con una funci´n x(t) que nos a oentrega la posici´n de un m´vil con respecto a un punto fijo O en funci´n del tiempo. o o oEntonces, llamamos velocidad instant´nea del m´vil (con respecto a O) a: a o d v(t) = x(t) dtDefinicion 5 La aceleraci´n es la tasa de cambio de la velocidad de un m´vil con o orespecto al tiempo. M´s precisamente, supongamos que contamos con una funci´n v(t) a o
  9. 9. 4.2 Reglas importantes para derivar 119que nos entrega la velocidad de un m´vil en funci´n del tiempo. Entonces, llamamos o oaceleraci´n instant´nea del m´vil a: o a o d d2 a(t) = v(t) = 2 x(t) dt dtEjemplo 4.2.5 Calcula la velocidad y aceleraci´n de un m´vil cuya posici´n est´ de- o o o ascrita por : x(t) = 5t2 + 12t + 3Soluci´n : o v(t) = x (t) = (5t2 + 12t + 3) = (5t2 ) + (12t) + (3) = 10t + 12 a(t) = v (t) = (10t + 12) = (10t) + (12) = 104.2.5. Optimizaci´n en una variable o Una de las aplicaciones del c´lculo diferencial o de derivadas es encontrar los puntos aen donde una funci´n alcanza valores m´ximos o m´ o a ınimos. Geom´tricamente, es f´cil ver e aque la pendiente de la recta tangente a esos puntos es cero. Por lo tanto, si una funci´n oalcanza un valor m´ximo o m´ a ınimo en un punto, entonces la derivada de la funci´n en oese punto deber´ ser nula. aEjemplo 4.2.6 Calcular el valor m´ınimo de f (x) = x2 + 8x − 1.Soluci´n: Calculemos la derivada de f (x): o f (x) = 2x + 8Ahora impongamos que f (x) = 0: f ‘(x) = 2x + 8 = 0 ⇒ x=4 f (4) = 42 + 8 · 4 − 1 = 47El valor m´ ınimo de f (x) es 47.Observaciones:Que una funci´n tenga un punto extremo (un m´ximo o un m´ o a ınimo) en un punto implicaque la derivada de la funci´n en ese punto es cero, pero la afirmaci´n rec´ o o ıproca no escierta: que la derivada de una funci´n se anule en un punto no implica que la funci´n o otenga un punto extremo en ese punto.Ejemplo 4.2.7 Consideremos la funci´n f (x) = x3 : o ⇒ f (x) = 3x2 = 0 ⇒ x=0La derivada de f (x) = x3 en x = 0 vale cero, pero la funci´n NO tiene un valor extremo oen ese punto.
  10. 10. 120 Derivadas e Integrales 20 10 -10 -5 5 10 -10 -20Para saber mejor que sucede con una funci´n f (x) en un punto x = a donde su derivada ose anula (f (a) = 0), calculamos la segunda derivada de la funci´n y la evaluamos en ese opunto. 1. Si f (a) > 0 entonces f (x) alcanza un valor m´ ınimo ”local”en torno a x = a 2. Si f (a) < 0 entonces f (x) alcanza un valor m´ximo ”local”en torno a x = a a 3. Si f (a) = 0 entonces no podemos decir nada acerca del comportamiento de f (x) en torno a x = a
  11. 11. 4.3 Introducci´n a la integraci´n o o 1214.3. Introducci´n a la integraci´n o o Esta secci´n tratar´ de los aspectos b´sicos del c´lculo integral. Pero nuevamente, o a a atal como hicimos con la secci´n de c´lculo diferencial, abordaremos el tema de un mo- o ado pr´ctico y no te´rico. Comenzaremos definiendo el concepto de la integral (o inte- a ogral definida) y luego introduciremos el concepto de la primitiva (o anti-derivada). Ladefinici´n de integral definida que presentaremos (tambi´n conocida como integral de o eRiemman) no tiene relaci´n alguna con lo que hemos visto de c´lculo diferencial. Las o aprimitivas, en cambio, tiene directa relaci´n con lo que es el c´lculo diferencial o de o aderivadas. Adem´s, veremos que existe un teorema, el Teorema Fundamental del C´lcu- a alo (TFC), que relaciona el concepto de integral con el de primitiva, por lo cual tambi´n ese le otorga a esta ultima el nombre de integral indefinida. Calcular una integral puede ´resultar sumamente dif´ ıcil, pero si la relacionamos con una primitiva a trav´s del TFC, eel c´lculo puede ser directo. a4.3.1. La integral definida Consideremos una funci´n f (x). S´lo a modo de ilustraci´n, consideraremos que la o o ofunci´n f (x) es creciente. Queremos encontrar una manera de calcular el ´rea encerrada o aentre la funci´n f (x), el eje x y las rectas x = a y x = b. Para tal efecto hagamos lo osiguiente: Consideremos el intervalo [a, b] de las abscisas. Dividamos el intervalo para [a, b] en n sub-intervalos m´s peque˜os y de igual tama˜o h = (b − a)/n. El intervalo a n n i-´simo resulta ser: e [a + h(i − 1), a + hi] donde i ∈ {1, 2, . . . , n} Dividamos nuestra ´rea en peque˜os rectangulitos de base h y altura f (a + h(i − a n 1)), i ∈ {1, 2, . . . , n} de tal manera que la suma de las areas de estos rectangulitos sea un poco inferior al area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitos I− (x). y area achurrada f(a) = I- a h x Dividamos nuestra ´rea en peque˜os rectangulitos de base h y altura f (a+hi), i ∈ a n {1, 2, . . . , n}de tal modo que la suma de las areas de estos rectangulitos sea un poco superior a la area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitos I+ (x).
  12. 12. 122 Derivadas e Integrales y area achurrada f(a) = I+ a h x Si resulta que l´ I− = l´ I+ = I = ∞ ım ım h→0 h→0 ımite ”la integral de f (x) a dx entre x=a y x=b se entonces se denomina a este l´ 2 denota: b I= f (x)dx aEjemplo 4.3.1 Calcular la integral de f (x) = x entre x = 0 y x = b.Soluci´n: Dividamos el intervalo [0,b] en n partes iguales de longitud h = b/n mediante olos puntos {0, h, 2h, . . . , b}. Entonces, la integral definida entre x = 0 y x = b es: b n−1 n xdx = l´ ım h · ih = l´ ım h · ih 0 h→0 h→0 i=0 i=1N´tese que hemos expresado la integral como o l´ I− (x) y adem´s como l´ I+ (x) ım a ım h→0 h→0Calculemos primero el primer l´ ımite: n−1 n−1 (n − 1)n (hn)2 hn · h l´ I− (x) = l´ ım ım h · ih = l´ h2 ım ·i = l´ h2 ım = l´ ım − h→0 h→0 i=0 h→0 i=0 h→0 2 h→0 2 2pero como hn = b entonces b2 bh l´ I− (x) = ım l´ ım − h→0 h→0 2 2 b2 = 2Queda propuesto al lector verificar que tambi´n se tiene que: e b2 l´ I+ (x) = ım h→0 2
  13. 13. 4.3 Introducci´n a la integraci´n o o 1234.3.2. La integral indefinida o primitiva La derivaci´n puede ser vista como un operador que toma una funci´n f (x) y retorna o osu funci´n derivada f (x). ¿Existir´ el proceso inverso? Es decir, ¿existir´ alg´n operador o a a uque tome la funci´n f (x) y retorne f (x) ? Este proceso inverso existe y se denomina ointegraci´n indefinida,c´lculo de primitivas o de anti-derivadas. o aDefinicion 6 Sea F (x) una funci´n diferenciable con derivada f (x). Sea, adem´s, C o auna constante real cualquiera. Entonces se denomina primitiva o integral indefinida def (x) a la funci´n F (x) + C. La primitiva de f (x) se anota: o f (x)dx = F (x) + C = funci´n que al derivarla entrega f(x) oObservaci´n: N´tese que al pedir la primitiva de f (x) se busca una funci´n tal que o o oal derivarla entregue f(x). Sabemos, por el enunciado, que la funci´n F (x) cumple con otal condici´n. Pero F (x) no es la unica funci´n que cumple con la condici´n. A decir o ´ o overdad, la funci´n F (x) + C, donde C una constante cualquiera, tambi´n cumple con la o econdici´n (ya que la derivada de una constante es cero). o4.3.3. Primitivas importantes kdx = kx + C xn+1 xn dx = +C n+1 ex dx = ex + C ax ax dx = +C ln a 1 dx = ln x + C x sin xdx = − cos x + C cos xdx = sin x + C4.3.4. Propiedades de las primitivas cf (x)dx = c f (x)dx [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx
  14. 14. 124 Derivadas e IntegralesEjemplo 4.3.2 x3 7x6 [x2 − 7x5 + 2 sin x]dx = x2 dx − 7 x5 dx + 2 sin xdx = + − 2 cos x + C 3 64.3.5. El Teorema Fundamental del C´lculo (TFC) a Si bien las integrales(definidas) y las primitivas se definieron de manera completa-mente distinta, existe un poderoso teorema que relaciona ambos conceptos. Este teoremanos permite calcular integrales dif´ ıciles calculando muy f´cilmente una primitiva. a ´Teorema 4.3.1 (Fundamental del Calculo) Sea F (x) una funci´n diferenciable ocon derivada f (x). Es decir, F (x) es una primitiva de f (x). Entonces, b f (x)dx = F (b) − F (a) aNotaci´n : Sea F(x) una funci´n. Entonces se utiliza mucho la siguiente notaci´n: o o o F (x)|b ≡ F (b) − F (a) aCorolario (de la notaci´n) o b f (x)dx = F (x)|b a aEjemplo 4.3.3 Calcular la integral 5 x2 dx 1Soluci´n: Si bien esta integral se puede calcular usando sumatorias y tomando el l´ o ımite(hacerlo como ejercicio), una manera mucho m´s f´cil es hacerlo empleando el TFC. a aSabemos que una primitiva de f (x) = x2 es F (x) = x3 /3 + C. Entonces, seg´n el TFC, u 5 x2 dx = F (5) − F (1) = (53 /3 + C) − (13 /3 + C) = 125/3 − 1/3 = 124/3 1
  15. 15. 4.4 Aplicaciones de la integral 1254.4. Aplicaciones de la integral4.4.1. C´lculo de ´reas a aEjemplo 4.4.1 Hallar el ´rea entre las curvas y = x2 + 1 e y = 9 − x2 aSoluci´n : Grafiquemos ambas funciones: o y 8 y=x2+1 6 4 2 y=9-x2 -2 -1 1 2 xEncontremos los puntos de intersecci´n de ambos gr´ficos: o a y = x2 + 1 y = 9 − x2Resolviendo este sistema, encontramos que: x2 + 1 = 9 − x2 ⇒ 2x2 = 8 ⇒ x = ±2Luego, el ´rea entre ambos gr´ficos corresponde a: a a 2 2 2 [(9 − x2 ) − (x2 + 1)]dx = [8 − 2x2 ]dx = 8dx − 2 2x2 dx −2 −2 −2 −2 2 x3 = 8 · (2 − (−2)) − 2 = 32 − 2 · [8/3 − (−8/3)] = 32 − 32/3 = 64/3 3 −24.4.2. Cinem´tica en una dimensi´n a o En la secci´n de derivaci´n ya vimos que la derivada con respecto al tiempo de la o oposici´n de un m´vil es su velocidad y que la derivada con respecto al tiempo de la o ovelocidad de un m´vil es su aceleraci´n. Ahora que conocemos la integrar podemos decir o oque: v(t) = a(t)dt + C1 x(t) = v(t)dt + C2Las constantes de integraci´n C1 y C2 pueden determinarse conociendo la velocidad y oposici´n del m´vil en un instante dado. o oEjemplo 4.4.2 Calcular la posici´n y velocidad de un m´vil sabiendo que a(t) = 2t + 1, o ov(0) = 0, x(0) = 3.Soluci´n : Sabemos que: o v(t) = a(t)dt + C1 = [2t + 1]dt + C1 = t2 + t + C1
  16. 16. 126 Derivadas e IntegralesEvaluando la condici´n v(0)=0 obtenemos: o v(0) = C1 = 0Por tanto, la velocidad del m´vil es: o v(t) = t2 + tCalculemos ahora su posici´n : o x(t) = v(t)dt + C2 = [t2 + t]dt + C2 = t3 /3 + t2 /2 + C2Evaluando la condici´n x(0) = 3 obtenemos : o x(0) = C2 = 3Por lo tanto, la posici´n del m´vil es: o o x(t) = t3 /3 + t2 /2 + 3
  17. 17. 4.5 Problemas propuestos 1274.5. Problemas propuestos4.5.1. Derivadas y sus aplicaciones 1. Derivar: a) y = 1 x4 − 2x2 4 b) y = (x2 − 1)(x3 − 5x2 − 7) c) y = 2 sin x + 3 cos x d ) y = (x − 1)(x − 3)(x − 5) e) y = (2x − 1)3 2. Para la siguiente funci´n, analizar crecimiento, m´ximos y m´ o a ınimos. y = x3 − 9x2 + 20x − 8 Adem´s, determinar todos los puntos de la curva representada por la funci´n an- a o terior donde la normal es perpendicular a la recta de ecuaci´n 4x + y = 3. o 3. Hallar todos los puntos para los cuales la tangente a la curva descrita por la siguiente funci´n es paralela al eje x : o y = x4 − 2x3 + 1 4. Probar que la ecuaci´n de la recta normal a la curva o y = 3 − x2 en el punto de abscisa x = a es: x − 2ay + a(5 − 2a2 ) = 0 y hallar los puntos de la par´bola cuyas normales pasan por el punto (0,2). a 5. Un autom´vil recorre un camino rectil´ o ıneo, partiendo del reposo en un punto O a las 9◦◦ hrs, pasa por otro punto A despu´s de una hora y se detiene en un tercer e punto B. La distancia s en kil´metros al punto de partida despu´s de t horas de o e camino est´ dada por a s = 60t2 − 10t3 Hallar : a) La hora de llegada a B b) La distancia entre A y B c) La velocidad media entre A y B d ) La velocidad m´xima y a qu´ hora la alcanza. a e
  18. 18. 128 Derivadas e Integrales 6. Para la siguiente funci´n, resuelva la ecuaci´n f (x) = 0 y halle el conjunto de o o valores para los cuales f (x) es menor o igual que cero. f (x) = x3 − 2x2 − 4x + 7 7. Un invasor extraterrestre se acercaba al planeta Tierra de manera que su distancia en kil´metros desde la superficie de la Tierra en el momento t despu´s de ser o e descubierto era s(t) = 50t3 − 300t2 + 4050 Afortunadamente, fue enviado de vuelta al espacio por fuerzas de antigravedad. a) Halle la velocidad y aceleraci´n del invasor extraterrestre correspondiente al o tiempo t. b) ¿Cu´ndo era su velocidad cero? a c) ¿Cu´ndo era su aceleraci´n cero? a o d ) ¿En qu´ tiempo se acercaba a la Tierra? e e) ¿Cu´ndo se acercaba a tierra con mayor velocidad y cu´l era esa velocidad? a a f ) Calcule la menor distancia entre el invasor extraterrestre y la superficie de la tierra. g) Encuentre los intervalos de tiempo en los cuales la velocidad estaba aumen- tando, y en los cuales la velocidad estaba disminuyendo. h) Usando lo anterior, grafique el movimiento, en el intervalo t[0, 5] 8. Considere a un atleta que quiere ir desde el punto A hasta el punto B atravesando los medios I y II como se indican en la figura. En el medio I el atleta se desplaza con rapidez v1 y en el medio II se desplaza con velocidad v2 . El atleta quiere llegar del punto A hasta el punto B en el tiempo m´ ınimo. Demuestre que esto lo puede conseguir siguiendo el camino que se indica en la figura, donde los ´ngulos θ1 y θ2 a obedecen la ley de Snell: sin θ1 v1 = sin θ2 v2 Nota: La luz, de acuerdo al Principio de Fermat de seguir el camino m´s r´pido a a entre dos puntos, obedece la ley de Snell al refractarse. A θ2 v2 v1 θ2 B
  19. 19. 4.5 Problemas propuestos 1294.5.2. Integrales y sus aplicaciones 1. En cada uno de los casos siguientes hallar y = f (x) y verificar la respuesta por derivaci´n: o dy a) dx = f (x) = 4x − 3 y f (0) = −9 dy b) dx = f (x) = 12x2 − 24x + 1 y f (1) = −2 dy c) dx = f (x) = 3 cos x + 5 sin x y f (0) = 4 dy 2 d) dx = f (x) = 3ex − x y f (1) = 0 2. a) Una part´ ıcula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = 3 − 2t en metros/segundo. Hallar la funci´n que determina su posici´n s en t´rminos o o e de t si para t = 0, s = 4m. b) Una part´ ıcula se est´ moviendo sobre una recta con aceleraci´n dada por a o a(t) = t2 −t en metros/segundo2 . Hallar la funci´n velocidad v(t) y la funci´n o o s(t) si s(0) = 0 y s(6) = 12. 3. Calcular: a) 7 (6 − 2x)dx −2 b) 1 (x3 − 5x4 )dx 0 c) π/2 cos t + 2 sin t)dt 0 d) 4 3 dx 1 x e) 1 8et dt 0 4. Calcular el ´rea limitada por: a a) La curva y = x2 − x y el eje x b) Las curvas y = 4x2 e y = x2 + 3 c) La curva y = sin x y la recta y = x d ) La curva y = ex , el eje y y la recta y = 4
  20. 20. 130 Derivadas e Integrales 5. Una part´ıcula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = t2 − t en m/seg. De- terminar el desplazamiento durante los primeros 5 segundos. ¿Cu´l es la distancia a recorrida en ese intervalo de tiempo? 6. Determinar el ´rea limitada por las curvas: a y = 2x2 e y = 12x2 − x 7. Un punto M se mueve sobre una recta con aceleraci´n a(t) = 2t − 4. Cuando t = 0, o M est´ en el origen y su velocidad es de 3m/s. Calcular la velocidad de M en cada a instante t. Probar que cuando t = 1s el punto M comienza a devolverse al origen y calcular su distancia al origen en ese instante.

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