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3Finalmente haciendo clic en el botón = de derive, obtenemos la primitiva de laecuación (1)                               ...
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ECUACIONES DIFERENCIALES CON DERIVE

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ECUACIONES DIFERENCIALES CON DERIVE

  1. 1. 1ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIABLE SEPARABLE CON DERIVE 6.10 LIC. MAT. JORGE LUIS ROJAS PAZ UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓNLas ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de primer grado se denotan engeneral como: ) = 0 ………….( α ) dy F ( x, y, dx dydespejando de esta ecuación la derivada , ( α ) adopta la forma siguiente: dx dy =G(x, y)…………….. ( β ) dxsi después de este trabajo es aún posible escribir ( β ) en la forma p( x)dx + q ( y )dy = 0Entonces esta última ecuación recibe el nombre de Ecuación Diferencial Ordinaria deVariable Separable cuya primitiva se obtiene mediante ∫ p( x)dx + ∫ q( y)dy = kdonde k ∈ R . Ejercicio de AplicaciónProblema .- Resolver la ecuación diferencial ordinaria siguiente: tgx.sen2 y.dx + cos 2 x.ctgy.dy = 0Solución:Observamos en primera instancia que estamos frente a una ecuación diferencialordinaria de variable separable. Luego acomodándola convenientemente obtenemos tgx ctgy 2 dx + dy = 0 ..…. (1) cos x sen 2 yIntegrando se tiene tgx ctgy ∫ cos2 x dx + ∫ sen2 y dy = kComo tgx 1 ∫ cos2 x dx = − cos2 x ctgy 1 y ∫ sen 2 y dy = sen 2 y 1 1la primitiva de la ecuación (1) es dada por: − + = k ; k∈ R cos x sen 2 y 2también si aplicamos en forma conveniente identidades trigonométricas obtenemos laprimitiva en la forma ctg 2 y = tg 2 x + k ; k ∈ R ⊗
  2. 2. 2Podemos hacer uso del Software Derive 6.10 para hallar la solución de una ecuacióndiferencial de variable separable usando la función SEPARABLE _ GEN (m, n, x, y, c)Explicaremos a continuación su uso en el problema anteriormente desarrollado, para dyello despejamos de la ecuación (1) la derivada , obteniendo dx dy senx sen3 y =− dx cos3 x cos yEntonces es claro que senx m( x) = − y cos3 x sen3 y n( y ) = cos yEn seguida sustituimos estos valores en la función: SEPARABLE _ GEN (m, n, x, y, c)e ingresamos en la ventana Álgebra de derive como se indica a continuación Fig. 01
  3. 3. 3Finalmente haciendo clic en el botón = de derive, obtenemos la primitiva de laecuación (1) Fig. 02Es posible observar gracias a derive las curvas que representa la primitiva a medida queel parámetro k asume valores en R para ello siga, teniendo la ventana anterior activadael orden de tareas según la numeración especificada a continuación 1.- Pulse la tecla Author. 2.- Pulse Variable Value. 3.- En variable name ingrese k. 4.- En variable value ingrese por ejemplo 1 5.- luego presione OK 6.- finalmente =Obtenemos así la ventana siguiente
  4. 4. 4Procedemos a graficar la curva remarcada en la figura anterior con la sentenciashabituales de derive para 2D obteniendo de esta forma la graficaSi se continúa con este proceso adoptando nuevos valores para el parámetro ktendremos una familia de curvas como en la siguiente figura
  5. 5. 5 Se han tomado valores para k tales como: K=+/-1 k=+/-2 k=+/-1/4 BIBLIOGRAFÍATextos geraisHOFFMAN,K;KUNZE.R.-...................................Álgebra Lineal .ed.Prentice Hall.1973.SIMMONS.G;ROTA.G.C.-…...Ordinary Diffencial Equations. Gin and Company.1962.GUZMÁN. M.-…………..Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Teoría de Estabilidad y Control. Editorial Alhambra.1975.Texto de AplicacionesESPINOZA. R.-…..Ecuaciones Diferenciales Ordinarias .ed.Servicios Gráficos JJ.2004.

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