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I.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Concepto de sistema de ecu aciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Solución de un sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Tipos de sistema s. Discusión de sistem as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Notacio nes matricial y vecto rial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Sistemas equiv alentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Teorem a fundam ental de equivalen cia. Consecuen cias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Método de eliminación de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Sistemas de Cramer. Regla de Cram er. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Teorem a de Rouch é-Fröbenius. D iscusión y resolución de sistemas de ecu aciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Sistemas homogéneos. Discusión y resolución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10. Eliminación d e parámetro s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Problema s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13. Ejercicios propuestos en las P.A.U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14. Otros ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1. INTRODUCCIÓN.
El objetivo general de este tema es discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales,haciendo abstracción del tipo de
problemas que origina su planteamiento.
Discutir un sistema con siste en averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es.
Resolver un sistema es calcular su solución (o soluciones).
Los casos más sencillos(2 ecuacionescon 2 incógnitas, 3 ecuaciones con 3 incógnitas ...) ya se han estudiado en cursos
anteriores. Aquí, an alizaremos el caso g eneral: cualquier nú mero de ec uaciones y cu alquier núm ero de incógn itas.
2. CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
Sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:
xj son las incógnitas, (j=1,2,...,n).
aij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n).
ci son los términos independientes, (i=1,2,...,m).
Los números m y n pueden ser cualesquiera: m>n, m=n ó m<n.
Los escalares aij y ci son núm eros reales.
El escalar aij es el coeficiente de xj en la i-ésima ecuación.
Cuand o n es peq ueño, es u sual design ar a las incóg nitas con las letras x, y, z, t, ...
Obsérvese q ue el núme ro de ecuacion es no tiene por qu é ser igual al núm ero de incógn itas.
Cuando ci=0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.
‚
Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.
Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1.
El término independiente de la misma es el 2.
3. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA.
Solución de un sistema. Es cada conju nto de valores q ue satisface a todas las ecua ciones.
Resolver un sistema. Es calcular su solución (o soluciones).
‚ Dado el sistem a:
Una solución suya es x= ; y= ; z=0; t= . Compruébese.
4. TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS.
Podem os clasificar los sistemas atendien do al núm ero de sus solucion es:
1. Incompatible. No tiene solución.
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2. Compatible. Tiene solución.
a. Compatible determinado. Única solución.
b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones.
‚ incompatible. No tiene solución.
‚ compatible determinado. Única solución.
‚ compatible indeterminado. Infinitas soluciones.
Discutir un sistema. Es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Es
decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.
5. NOTACIONES MATRICIAL Y VECTORIAL.
Los conocimientos adquiridos sobre m atrices facilitan la escritura de un sistema de ecuaciones lineales de manera más
reducida.
Consideremo s un sistem a como el [1], escrito en forma clásica.
En él se pued en considerar las sigu ientes matrices:
A es la matriz de los coeficientes de orden mxn. B es la matriz ampliada de orden mx(n+1).
El sistema [1] se puede escribir en forma matricial así:
Si en el sistema [1] consideram os las siguientes matrices:
. . .
El sistema se escribirá en forma vectorial de la siguiente forma:
En esta notación, las soluciones de un sistema son los elementos de la forma:
S=(s1, s2, ..., sn)0Rn
y se verifica la siguiente re lación: A1@s1 + A2@s2 + ... + An@sn = C
‚ Cons iderem os el siste ma:
A es la matriz de los coeficientes de orden 3x3. B es la matriz ampliada de orden 3x4.
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El sistema se puede escribir de las siguientes formas:
Forma matricial: = Forma vectorial: x + y + z =
‚ En el sis tema: el elemento s=(-1,1,3,2) es solución, ya que se verifica:
(-1) + (1) + (3) + (2) = . Compruébese.
6. SISTEMAS EQUIVALENTES.
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si toda solución del primero es solución del segund o y vicev ersa. (No
es necesario qu e tengan el m ismo núm ero de ecuac iones)
‚ Los sis temas: son equivalentes.
Ambos son compatibles determinados y su solución es: x=3, y=1.
Definición. En un sistema d e ecuaciones linea les, una ecuación es combinación lineal de las ecuaciones del sistema,
si se obtiene como resultado d e sumar las ecuacio nes del m ismo previame nte multiplicadas po r un núm ero real.
‚ Cons iderem os el siste ma:
Multiplicando la 1ª ecuación por 2, la 2ª por -1, la 3ª por 3 y sumándolas:
2(3x+2y) + (-1)(2x-2y+z) + 3(x-2y-2z) = 2@4 + (-1)@3 + 3@(-1).
Obten emos : 7x - 7z = 2, que es combinación lineal de las del sistema dado.
Los resultados que veremos a continuación,permiten ir transformando un sistema en otros equivalentescuyas soluciones
puedan obtenerse con mayor facilidad.
A. TEOREMA FUNDAMENTAL DE EQUIVALENCIA. CONSECUENCIAS.
Teorema fundamental de equivale ncia. Si en un sistema de ecuaciones lineales se sustituye la ecuación i-ésima
por una combinación lineal de dicha ecuación y las demás ecuaciones del sistema (siempre que el coeficiente que
multiplique a la ecuación i-ésima sea distinto de cero), el sistema resultante es equivalente al primero.
Demostración
.......................
‚ Sea el sistem a: Multiplicando la primera ecuación por (-2) y su mánd ola a la seg unda, s e obtiene :
Multiplicando la tercera ecuación por (-3) y sumándola a la segunda:
y, de aquí, se obtiene rápidamente como solución: z=-1, y=2, x=1.
De este teorem a se siguen las siguientes co nsecuencias:
1. Si en un sistema de ecuaciones lineales se suprime una ecuación que es combinación lineal de las restante s, el
sistema obtenido es equivalente al dado.
Demostración
Es evide nte a partir d el teorem a fundamental.
‚
2. Si en un sistema de ecuaciones lineales multiplicamos la ecuación i por "…0, se obtiene otro sistema equivalente.
Demostración
Es un ca so particula r del teorem a fundamental.
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‚
B. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN.
Las operaciones efectuadas en el ejemplo anterior co n las ecuac iones del sistema, po dríamo s realizarlas en la matriz
ampliad a del sistem a, así surge el:
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN. Es el método de resolución d e sistemas de ecuaciones
lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada
por filas.
Los siguientes ejemplos explican detalladamente el proceso a seguir.
‚ Resolvamos el sistem a: Consideramos la matriz ampliada asociada al sistema, separando un poco lacolumna de los términos
independientes:
(a) Y (b) Y
(a) [0 1 3 1] = (-2)@[1 1 -1 1] + [2 3 1 3], [0 -6 7 -3] = (-5)@[1 1 -1 1] + [5 -1 2 2]
(b) [0 0 25 3] = 6@[0 1 3 1] + [0 -6 7 -3]
Luego , el sistem a ha qu edado de la sigu iente form a:
Resolviendo las ecuaciones, comenzando por la última queda: z= , y= , x= .
Se trata de un sistema compatible determinado.
‚ Resolv amos el sistem a: La ma triz amp liada es:
Intercambiando la primera fila con la tercera queda:
(a) Y (b) Y
(a) [0 2 1 -1 0] = (-2)@[1 -1 2 2 2] + [2 0 5 3 4] [0 6 5 -7 2] = (-3)@[1 -1 2 2 2] + [3 3 11 -1 8]
(b) [0 0 2 -4 2] = (-3)@[0 2 1 -1 0] + [0 6 5 -7 2]
Luego , el sistem a ha qu edado de la sigu iente form a:
Resolv emos la última e cuación , z=1+2 t; si hacem os t=", queda: z=1+2"; y= - ; x= - ; t=".
Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al parámetro ".
Es un sistema compatible indeterminado.
‚ Resolv amos el sistem a: La ma triz amp liada es:
Intercambiamos las dos primeras filas queda:
(a) Y
(a) [0 0 0 -5] = (-2)@[1 2 4 3] + [2 4 8 1]
Luego el sistem a nos h a qued ado de la siguien te form a:
Se observa que el sistema es incompatible.
Ejercicios.
1. Aplicando el método d e eliminación de Gauss-Jorda n, resuelve los sistemas:
a) b)
Solución. a) Incompatible. b) x= , y= , z= , t=".
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7. SISTEMAS DE CRAMER. REGLA DE CRAMER.
El método de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolverun sistema de ecuacioneslineales. Pero tiene
un inconveniente. Si de un sistema de 300 incógnitas tan sólo nos interesan 7, siguiendo el método de Gauss, habríamos de
seguir el proceso d e triangulación co mo si nos interesara n todas ellas.
La regla de Cramer, qu e ahora verem os, aprovecha con astucia las propiedades de las matrices y sus determinantes para
despejar, separada mente, una cualquiera de las incó gnitas de un sistem a de ecuacion es lineales.
Sistema de Cramer. Es un sistema en el que: m=n y *A*…0. Es decir: La matriz A es cuadrada y regular.
En tal caso, A tiene inversa A-1
, por lo que multiplicando [2] por la izquierda por A-1
:
A-1
@A@X = A-1
@C | X=A-1
@C | |
O sea:
que son las fórmulas de Cramer, las cuales se recogen en la siguiente regla:
Regla de Cramer. El valor de la incógnita xj en un sistema de Cramer es una fracción, cuyo numerador es un
determinante que se ob tiene al ree mplazar la colu mna j p or la columna que forman los términosindependientes, y cuyo
denomin ador es *A*.
‚ Resolv amos el sistem a: m=n=3 y *A*=7…0. Luego, es un sistem a de Cramer.
; ; .
Por tanto, la solución del sistema es: x= , y= , z= .
‚ Resolv amos el sistem a: m=n=3 y *A*=-33…0. Luego, es un sistem a de Cramer.
; ; .
Por tanto, la solución del sistema es: x=-1, y=2, z= .
Ejercicios.
1. Resuelv e el sistema:
Solución. *A*=13, x=1, y=2, z=-1.
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Rango (A) … Rango (B) ] Incompatible.
Rango (A) = R ango (B) ] Compatible. Si h=n. Determinado. Solución única.
Rango (A) = Rango (B) ] Compatible. Si h<n. Indeterminado. Infinitas soluciones que dependen de n-h
parám etros.
2. Resuelv e el sistema:
Solución. *A*=2, x= , y=5, z= .
8. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Vamos a ver ahora el caso más general de sistemas de ecuaciones lineales. Obtendremos una condición necesaria y
suficiente de compatibilidad, un criterio de clasificación y un método de resolución. Todo ello se basa en el teorema de
Rouché-F röbenius.
Consideremos el siguiente sistema de m ecuaciones con n incógnitas:
Escrito en form a vectorial: siendo A1, A2, ..., An las colum nas de la m atriz de
los coeficientes.
Sean: A la matriz de coeficientes, B la matriz ampliada y r(A)=h.
Teorema de Rouché-Fröbenius. a) El sistema [1] tiene solución ] rango (B)= h. b) Si h=n,el sistema tiene
solución única. c) S i h<n, el sistema tiene infinita s soluciones.
Demostración
a) Si existe solución (s1,s2,...,sn), la ecuación vectorial [2] indica que C puede ponerse como combinación lineal de
A1, A2, ..., An, y, por tanto, r(B)=h . Recíprocamen te, si r(B)=h, C podrá expresarse como combinación lineal de
las h column as Ai linealmente inde pendientes.
Supongamos que sean A1, A2, ..., Ah. Existen (s1,s2,...,sn, 0, ..., 0) tales que : A1@s1 + A2@s2 + ... + Ah@sh + Ah+1@0 +
... + An@0 = C, y, por tanto, existe solución.
b) Si r(B)=h, supongam os que son linealm ente indepen dientes A1, A2, ..., Ah. Entonces, la ecuación vectorial [2]
puede escribirse de la siguiente forma:
A1@x1 + A2@x2 + ... + Ah@xh = C - Ah+1@xh+1 - ... - An@xn [3]
Esto indica que, cualesquiera que sean xh+1, ..., xn, el segundo miembro de la expresión [3] es combinación lineal
de A1, A2, ..., Ah.
Si h=n, el segundo miembro de [3] queda reducido a C, y el sistema admitiría solución única.
c) Si h<n, dando valores arbitrarios a xh+1, ..., xn en la expresión [3 ], se obtienen infinitas solucion es.
El teorema puede resumirse de la forma siguiente:
‚ Discu te y resue lve el sistem a: *A*=1. r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. Elsistema es compatible determinado. Aplicando el método
de Gauss, o la regla de Cramer, se obtiene: z=-1, y=-3, x=2.
‚ Discu te y resue lve el sistem a: r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. El sistema es compatible determinado. Aplicando el método de
Gauss, o la regla de Cramer, se obtiene: x=3, y=6, z=11.
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‚ Discu te y resu elve el siste ma: r(A)=3; r(B)=4. El sistema es incompatible.
‚ Discu te y resu elve el siste ma: r(A)=r(B)=2 < nº incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.
Tomamos como incógnitas principales x, y. Obtenemos infinitas solucio nes dep endien tes de do s parám etros: Aplicando
la regla de Cramer y haciendo z=" y t=ß, queda como solución:
x= , y= , z=", t=ß.
Veamos algunas de las infinitas soluciones:
Si hacemos "=1 y ß=1, obtenemos: x= , y= , z=1, t=1.
Si hacemos "=-1 y ß=0, obtenemos: x=1, y=-2, z=-1, t=0.
‚ Discute y resuelve, según los valores de a, el sistem a:
Consideremos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:
*A*=-a(a-1)(a-2).
Pueden considerarse los siguientes casos.
1º
) Si a…0, a…1, a…2: *A*…0; por tanto r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. S.C.D. Solución única.
Resolviéndolo por la regla de Cramer, se obtiene:
Por ejemplo, si a=-1, obtendríamos como solución: x= , y= , z= .
2º
) Si a=0: Qued a el sistem a: Como r(A)=2 y r(B)=3, el sistema es incompatible, lo cual en este caso es evidente observando
la segunda ecuación.
3º
) Si a=1: Qued a el sistem a: r(A)=r(B)=2 < nº incógnitas. S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro.
Aplicando Gauss, o Cramer, se obtiene: x=4-", y=", z= .
4º
) Si a=2: Qued a el sistem a: Como r(A)=2 y r(B)=3, el sistema es incompatible.
RESUMEN: Para a…0, a…1, a…2: S.C.D. Solución única.
Para a=0: S.I. Ninguna solución.
Para a=1: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro.
Para a=2: S.I. Ninguna solución.
Ejercicios.
1. Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales según los valores del (de los) parámetros que se
indican.
a)
Solución. S.I.
b)
Solución. Si a… : S.C.D. Si a= : S.I.
c)
Solución. Para a…0, a…1: S.I. Ninguna solución. Para a=0: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro. x=t, y=-t,z=1. Para a=1:
S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de dos parámetros. x=", y=ß, z=1-"-ß.
d)
Solución. Si a…0, a…1: S.C.D. Si a=0: S.C.I. x= , y=", z=-2. Si a=1: S.I.
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e) Solución. Si b…0, a…1, a…-2: S.C.D.
Si a=-2 Y r(A)=2. Si b=-2 Y r(B)=2: S.C.I.
Si a=-2 Y r(A)= 2. Si b …-2 Y r(B)=3: S.I.
Si a=1 Y r(A)=1. Si b=1 Y r(B)=1: S.C.I.
Si a=1 Y r(A)= 1. Si b Y1 Y r(B)=2: S.I.
Si b=0 y a=1 Y r(A)=1, r(B)=2: S.I.
Si b=0 y a…1 Y r(A)=2, r(B)=3: S.I.
9. SISTEMAS HOMOGÉNEOS. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN.
Un sistema d e ecuaciones linea les es homogéneo, si todos los términos independientes son nulos.
Considerem os el siguiente sistema ho mogén eo de m ec uaciones con n incógnitas:
Aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius a este sistema, resulta que siempre tendrá solución, y a que siemp re se
cumple que r(A)=r(B).
Si r(A)=n úmero de incóg nitas, existirá un a única so lución qu e será la solución trivial:
x1 = x2 = ... = xn = 0
Si r(A)<núm ero de incógn itas, existirán infinitas soluciones.
Podemos enunciar, pues, el siguiente teorema:
Teorema. Un sistem a de ecuaciones lin eales hom ogéneo tiene soluc ión distinta de la trivia l ] el rango de la
matriz de los co eficientes es meno r que el núm ero de incóg nitas.
Corolario. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene
solución distinta de la trivial ] el determinante de la matriz de coeficientes es nulo.
Demostración
Es evidente a partir del teorema anterior.
‚ Dado el sistem a: Calculemos el rango de la matriz A.
Y Y
r(A)=2 < número de incógnitas=3. Luego habrá in finitas so luciones , que se rán las d el sistem a equiv alente: y= , x= .
‚ Dado el sistem a: r(A)=2 < nº incóg nitas=3 . Por tan to habrá infinitas soluciones que dependen de un parámetro: x=", y=-",
z=".
‚ Dado el sistem a: *A*…0. r(A)=3=nº incógnitas, el sistema es compatible determinado. La única solución posible es la trivial:
x=0, y=0, z=0.
Ejercicios.
1. Discute y resuelve los siguientes sistemas deecuacioneslineales homogéneos según los valores del (de los)parámetros
que se indican.
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a)
Solución. Si m …1, S.C.D. La ú nica solución es la trivial. Si m=1, S.C.I. Las infinitas soluciones son: x=-2", y=", z=".
b)
c)
d)
e)
f)
Solución. Si a=-2 ó a= , S.C.I.
10. ELIMINACIÓN DE PARÁMETROS. ................
11. EJERCICIOS.
1. Demuestra que un sistem a de n ecu aciones con n-1 in cógnitas e s incom patible si *B*…0.
2. Discute y resuelve se gún los v alores de a , el sistema:
3. Discute y resuelve se gún los v alores de a , el sistema:
4. a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas, ¿puede ser incompatible? Razónalo y en caso
afirmativo, pon un ejemplo.
b) Un sistema de dos ecua ciones lineales con tres incógn itas, ¿puede ser com patible determinado? Razónalo y en
caso afirmativo, pon un ejemplo.
c) Un sistema de dos ecuacioneslineales con cuatro incógnitas, ¿puede ser compatible determinado? Razónalo y en
caso afirmativo, pon un ejemplo.
d) Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿puede ser compatible determinado? Razónalo y en
caso afirmativo, pon un ejemplo.
5. Dado el sistema: Comp rueba que el conjunto de sus soluciones constituye un
subespacio vectorial de Rn
de dimensión n-r(A). Siendo A la matriz de coeficientes del sistema.
6. Discute y resuelve se gún los v alores de a y b, el sistem a:
12. PROBLEMAS.
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1.
13. EJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS P.A.U.
1. Determ ina el valor de m para que e l sistema: sea compatible y calcula su solución.
Solución. *B*=4m- 48. Si m …12, S.I. Si m=12, S.C.D. x=4, y=2, z=5.
2. Discute el siste ma: según los valores de a, y resuélvelo cuando sea compatible.
Solución. *A*=-a2
. Si a…0, S.C.D. Si a=0, S.C.I. infinitas soluc. dep. 2 parámetros.
3. Un padre y sus dos hijos tienen un total de 84 años. Cuando el mayor tenía la edad del pequeño, la de éste era de la
edad actual del m ayor, y cu ando el p equeño tenga la edad del mayor, los tressumarán 102 años. Calcula la edad de cada
uno resolviend o el sistema de ecu aciones lineales a que dan lugar las con diciones anteriores.
Solución. x, x+a, x+a+b. 1) 3x+2a+b=84, 2) 3x-7a=0, 3) 3x+5a+b=102. m=14, M=20, P=50.
4. Determ ina el valor de a para que el sistem a: sea compatible y calcula su solución.
Solución. a=28. x= 4, y=2, z= 5.
5. Encue ntra todas la s solucion es del sistem a siguiente según los valores de a:
Solución. x=1- , y= , z=".
6. Resuelv e el siguiente sistema e in terpreta ge ométricamente el resultado :
7. Halla m para que el sistema: tenga solu ción distinta de la trivial.
Solución. *A* = -2m3
- 88m² + 93m + 242. Sus raíces son fraccionarias o irracionales y muy difíciles de calcular. Para las raíces (-44'97, -1'22 y 2'2)
el sistema es indeterminado.
8. Discute el sistema de ecuacio nes: según los valores de m0R, y resuélvelo para aquellos valores
en que exista solución.
Solución. *A*=2(m²-4). Si m= 2 S.C.I. (3",-5","). Si m= -2 S.I. S i m…2 y m…-2 S.C.D . [ , , ].
9. Dado el sistema de ecuacio nes: a) Estúdialo según los valores del parámetro a. b) Resuélvelo en los
casos en que sea compatible.
Solución. *A*=-a(a²+ 3). a) Si a =0 S.I. Si a…0 S.C.D. b) (P or Cramer).
10. Discute y resuelve e l sistema seg ún los valores del pa rámetro m:
Solución. *A*=m-1 . Si m= 1 S.I. S i m…1 S.C.D . [ , , m2
+m]
I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 12
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Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud
11. Sea el sistem a: Discútelo según los valores de m. Resuélvelo para m=5.
Solución. Si m …5 y m… S.C.D. (0, 0, 0). Si m=5 ó m= S.C.I. Si m=5 (-27", 8", 13").
12. Discute y resuelve se gún los v alores de a , el sistema:
Solución. S.C.D. para cualquier valor de a.
13. Discute y resuelve se gún los v alores de k , el sistema:
Solución. S.I. en todos los casos.
14. Discute el sig uiente sistem a en función de a:
Solución. Si a= S.I. Si a … S.C.D.
15. Estudia el sistema:
Solución. Si a=1 ó a= S.I. Si a …1 ó a… S.C.D.
16. a) Discute y resuelve, en los casos que pro ceda, el sistem a:
b) ¿Cómo sería la discusión si los término s independien tes fuesen nulos?
Solución. *A*=k(k-1)(k-2).
a) Si k=0 S.I.
Si k=1 S .C.I. [ , , "]
Si k=2 S.I.
Si k…0, k…1 y k…2 S.C.D . [ , -1, ]
b) Si k=0 S .C.I. (", 0, )
Si k=1 S.C.I. (-5 ", ", -2")
Si k=2 S .C.I. (", 0, 0)
Si k…0, k…1 y k…2 S.C.D . (0, 0, 0,)
17. a) Estudia p ara qué v alores de a el siguiente siste ma es co mpatible:
b) ¿Existe algún valor de a para el que el sistema anterior sea compatible y determinado? Razona tu respuesta.
Solución. *A*=(a-1)3
(a+3).
18. Resuelve el sistema en función de a y luego halla el valor de a para que x+y=1.
19. a) Discute el siste ma: .
b) ¿Para qué valoresde a y b el sigu iente sistema: es equivalente alanterior? Razona tu respuesta.
Solución. a) *A*=0. Como …0 Y r(A)=2=r(B) ya que . Y S.C.I. 4 soluciones que dependen de 1 parámetro.
b) Solución del primer sistema: x=-2+2", y=", z=3"-4.
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Solución del segundo sistema: x=-b-aß, y=ß, z=(1+b)ß+2a.
Igualando soluciones: -2+2"=-b-aß, "=ß, 3"-4=(1+b)ß+2a. Resolviendo este sistema por sustitución se obtiene que a=-2 y que b=2. Salvo cuando
"=± .
20. Sean a, b, c tres número s reales positivos. Prueba que el sistema: tiene solución distinta d e la trivial si y
sólo si: .
Solución.
21. Estudia para qu é valores de a y b los siguientes sistemas de ec uaciones son e quivalentes:
Solución. a) Solución de (2) con parámetro z.
b) Solución de (1) con parámetro z.
c) Igualando soluciones: ... a=6 y b=9.
22. Dado el sistema de ecuacio nes lineales:
a) Demu estra que si a=0, dicho sistema representa u na recta y halla sus ecu aciones param étricas.
b) ¿Para qué valores de a y b representa un plano?
Solución. a) x=(2-b)-b", y=", z=b. b) a= , b=1.
23. Discute y resuelve se gún los v alores de a y b, el sistem a:
Solución. *A*=13(a- 1). Si a …1 S.C.D. (Po r Cramer). Si a=1 y b =3 S.C.I. (9"-5, ", 8-13"). Si a=1 y b…3 S.I.
24. Discute y , cuando sea com patible, resu elve el siguiente sistema:
Solución.
25. Estudia el siguiente sistem a según los valores de los pará metros a y b:
Resuélvelo para algún valor de a y b que lo haga compatible determinado.
Solución.
26. Discute según los valores de los parámetros que se indican el siguiente sistema:
Solución. Si a…c, a…b, b…c: S.C.D.
Si a=c ó a=b ó b =c: Si a …d y b…d, S.I.
Si a=c ó a=b ó b= c: Si a=d: S.C.I.
Si a=c ó a=b ó b =c: Si a …d y b=d: Si a=c…b, S.C.I.
Si a=c ó a=b ó b =c: Si a …d y b=d: Si a=c=b , S.I.
Si a=c ó a=b ó b =c: Si a …d y b=d: Si a=b…c, S.I.
14. OTROS EJERCICIOS.
1. a) Demu stra que si un sistema de ecuaciones lineales tiene alguna solución , el conjunto de sus soluciones es una
subvariedad afín cuyo subespacio director es el subespacio de soluciones del sistema homógeneo asociado
b) Discute, según los v alores del parám etro m, las posicione s relativas de los planos:
x + y + z = 20
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2x - y + mz = 2
5x - 4y = 3m
c) Calcula la subvariedad afin en que se cortan los tres planos en el caso m=-3.
Solución.
2. Halla una base de L( , , ) siendo (1,2,3), (2,-4,5), (1,10,4).
Solución. Sea la matriz que forman las coordenadas de los vectores.
Transf ormam os la m atriz por G auss en una trian gular: . {(1,2,3), (0,-8,-1)} es la base buscada.
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ACERTIJO EL NÚMERO PI COLOREA EMBLEMA OLÍMPICO DE PARÍS. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
 

Método de GAUSS

  • 1. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 1 )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud I.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Concepto de sistema de ecu aciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Solución de un sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Tipos de sistema s. Discusión de sistem as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Notacio nes matricial y vecto rial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Sistemas equiv alentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Teorem a fundam ental de equivalen cia. Consecuen cias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Método de eliminación de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Sistemas de Cramer. Regla de Cram er. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Teorem a de Rouch é-Fröbenius. D iscusión y resolución de sistemas de ecu aciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Sistemas homogéneos. Discusión y resolución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Eliminación d e parámetro s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Problema s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Ejercicios propuestos en las P.A.U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Otros ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  • 2. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 2 )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud 1. INTRODUCCIÓN. El objetivo general de este tema es discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales,haciendo abstracción del tipo de problemas que origina su planteamiento. Discutir un sistema con siste en averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Resolver un sistema es calcular su solución (o soluciones). Los casos más sencillos(2 ecuacionescon 2 incógnitas, 3 ecuaciones con 3 incógnitas ...) ya se han estudiado en cursos anteriores. Aquí, an alizaremos el caso g eneral: cualquier nú mero de ec uaciones y cu alquier núm ero de incógn itas. 2. CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma: xj son las incógnitas, (j=1,2,...,n). aij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n). ci son los términos independientes, (i=1,2,...,m). Los números m y n pueden ser cualesquiera: m>n, m=n ó m<n. Los escalares aij y ci son núm eros reales. El escalar aij es el coeficiente de xj en la i-ésima ecuación. Cuand o n es peq ueño, es u sual design ar a las incóg nitas con las letras x, y, z, t, ... Obsérvese q ue el núme ro de ecuacion es no tiene por qu é ser igual al núm ero de incógn itas. Cuando ci=0 para todo i, el sistema se llama homogéneo. ‚ Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas. Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1. El término independiente de la misma es el 2. 3. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA. Solución de un sistema. Es cada conju nto de valores q ue satisface a todas las ecua ciones. Resolver un sistema. Es calcular su solución (o soluciones). ‚ Dado el sistem a: Una solución suya es x= ; y= ; z=0; t= . Compruébese. 4. TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podem os clasificar los sistemas atendien do al núm ero de sus solucion es: 1. Incompatible. No tiene solución.
  • 3. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 3 )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud 2. Compatible. Tiene solución. a. Compatible determinado. Única solución. b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones. ‚ incompatible. No tiene solución. ‚ compatible determinado. Única solución. ‚ compatible indeterminado. Infinitas soluciones. Discutir un sistema. Es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado. 5. NOTACIONES MATRICIAL Y VECTORIAL. Los conocimientos adquiridos sobre m atrices facilitan la escritura de un sistema de ecuaciones lineales de manera más reducida. Consideremo s un sistem a como el [1], escrito en forma clásica. En él se pued en considerar las sigu ientes matrices: A es la matriz de los coeficientes de orden mxn. B es la matriz ampliada de orden mx(n+1). El sistema [1] se puede escribir en forma matricial así: Si en el sistema [1] consideram os las siguientes matrices: . . . El sistema se escribirá en forma vectorial de la siguiente forma: En esta notación, las soluciones de un sistema son los elementos de la forma: S=(s1, s2, ..., sn)0Rn y se verifica la siguiente re lación: A1@s1 + A2@s2 + ... + An@sn = C ‚ Cons iderem os el siste ma: A es la matriz de los coeficientes de orden 3x3. B es la matriz ampliada de orden 3x4.
  • 4. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 4 )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud El sistema se puede escribir de las siguientes formas: Forma matricial: = Forma vectorial: x + y + z = ‚ En el sis tema: el elemento s=(-1,1,3,2) es solución, ya que se verifica: (-1) + (1) + (3) + (2) = . Compruébese. 6. SISTEMAS EQUIVALENTES. Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si toda solución del primero es solución del segund o y vicev ersa. (No es necesario qu e tengan el m ismo núm ero de ecuac iones) ‚ Los sis temas: son equivalentes. Ambos son compatibles determinados y su solución es: x=3, y=1. Definición. En un sistema d e ecuaciones linea les, una ecuación es combinación lineal de las ecuaciones del sistema, si se obtiene como resultado d e sumar las ecuacio nes del m ismo previame nte multiplicadas po r un núm ero real. ‚ Cons iderem os el siste ma: Multiplicando la 1ª ecuación por 2, la 2ª por -1, la 3ª por 3 y sumándolas: 2(3x+2y) + (-1)(2x-2y+z) + 3(x-2y-2z) = 2@4 + (-1)@3 + 3@(-1). Obten emos : 7x - 7z = 2, que es combinación lineal de las del sistema dado. Los resultados que veremos a continuación,permiten ir transformando un sistema en otros equivalentescuyas soluciones puedan obtenerse con mayor facilidad. A. TEOREMA FUNDAMENTAL DE EQUIVALENCIA. CONSECUENCIAS. Teorema fundamental de equivale ncia. Si en un sistema de ecuaciones lineales se sustituye la ecuación i-ésima por una combinación lineal de dicha ecuación y las demás ecuaciones del sistema (siempre que el coeficiente que multiplique a la ecuación i-ésima sea distinto de cero), el sistema resultante es equivalente al primero. Demostración ....................... ‚ Sea el sistem a: Multiplicando la primera ecuación por (-2) y su mánd ola a la seg unda, s e obtiene : Multiplicando la tercera ecuación por (-3) y sumándola a la segunda: y, de aquí, se obtiene rápidamente como solución: z=-1, y=2, x=1. De este teorem a se siguen las siguientes co nsecuencias: 1. Si en un sistema de ecuaciones lineales se suprime una ecuación que es combinación lineal de las restante s, el sistema obtenido es equivalente al dado. Demostración Es evide nte a partir d el teorem a fundamental. ‚ 2. Si en un sistema de ecuaciones lineales multiplicamos la ecuación i por "…0, se obtiene otro sistema equivalente. Demostración Es un ca so particula r del teorem a fundamental.
  • 5. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 5 )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud ‚ B. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN. Las operaciones efectuadas en el ejemplo anterior co n las ecuac iones del sistema, po dríamo s realizarlas en la matriz ampliad a del sistem a, así surge el: MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN. Es el método de resolución d e sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas. Los siguientes ejemplos explican detalladamente el proceso a seguir. ‚ Resolvamos el sistem a: Consideramos la matriz ampliada asociada al sistema, separando un poco lacolumna de los términos independientes: (a) Y (b) Y (a) [0 1 3 1] = (-2)@[1 1 -1 1] + [2 3 1 3], [0 -6 7 -3] = (-5)@[1 1 -1 1] + [5 -1 2 2] (b) [0 0 25 3] = 6@[0 1 3 1] + [0 -6 7 -3] Luego , el sistem a ha qu edado de la sigu iente form a: Resolviendo las ecuaciones, comenzando por la última queda: z= , y= , x= . Se trata de un sistema compatible determinado. ‚ Resolv amos el sistem a: La ma triz amp liada es: Intercambiando la primera fila con la tercera queda: (a) Y (b) Y (a) [0 2 1 -1 0] = (-2)@[1 -1 2 2 2] + [2 0 5 3 4] [0 6 5 -7 2] = (-3)@[1 -1 2 2 2] + [3 3 11 -1 8] (b) [0 0 2 -4 2] = (-3)@[0 2 1 -1 0] + [0 6 5 -7 2] Luego , el sistem a ha qu edado de la sigu iente form a: Resolv emos la última e cuación , z=1+2 t; si hacem os t=", queda: z=1+2"; y= - ; x= - ; t=". Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al parámetro ". Es un sistema compatible indeterminado. ‚ Resolv amos el sistem a: La ma triz amp liada es: Intercambiamos las dos primeras filas queda: (a) Y (a) [0 0 0 -5] = (-2)@[1 2 4 3] + [2 4 8 1] Luego el sistem a nos h a qued ado de la siguien te form a: Se observa que el sistema es incompatible. Ejercicios. 1. Aplicando el método d e eliminación de Gauss-Jorda n, resuelve los sistemas: a) b) Solución. a) Incompatible. b) x= , y= , z= , t=".
  • 6. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 6 )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud 7. SISTEMAS DE CRAMER. REGLA DE CRAMER. El método de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolverun sistema de ecuacioneslineales. Pero tiene un inconveniente. Si de un sistema de 300 incógnitas tan sólo nos interesan 7, siguiendo el método de Gauss, habríamos de seguir el proceso d e triangulación co mo si nos interesara n todas ellas. La regla de Cramer, qu e ahora verem os, aprovecha con astucia las propiedades de las matrices y sus determinantes para despejar, separada mente, una cualquiera de las incó gnitas de un sistem a de ecuacion es lineales. Sistema de Cramer. Es un sistema en el que: m=n y *A*…0. Es decir: La matriz A es cuadrada y regular. En tal caso, A tiene inversa A-1 , por lo que multiplicando [2] por la izquierda por A-1 : A-1 @A@X = A-1 @C | X=A-1 @C | | O sea: que son las fórmulas de Cramer, las cuales se recogen en la siguiente regla: Regla de Cramer. El valor de la incógnita xj en un sistema de Cramer es una fracción, cuyo numerador es un determinante que se ob tiene al ree mplazar la colu mna j p or la columna que forman los términosindependientes, y cuyo denomin ador es *A*. ‚ Resolv amos el sistem a: m=n=3 y *A*=7…0. Luego, es un sistem a de Cramer. ; ; . Por tanto, la solución del sistema es: x= , y= , z= . ‚ Resolv amos el sistem a: m=n=3 y *A*=-33…0. Luego, es un sistem a de Cramer. ; ; . Por tanto, la solución del sistema es: x=-1, y=2, z= . Ejercicios. 1. Resuelv e el sistema: Solución. *A*=13, x=1, y=2, z=-1.
  • 7. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 7 )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud Rango (A) … Rango (B) ] Incompatible. Rango (A) = R ango (B) ] Compatible. Si h=n. Determinado. Solución única. Rango (A) = Rango (B) ] Compatible. Si h<n. Indeterminado. Infinitas soluciones que dependen de n-h parám etros. 2. Resuelv e el sistema: Solución. *A*=2, x= , y=5, z= . 8. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Vamos a ver ahora el caso más general de sistemas de ecuaciones lineales. Obtendremos una condición necesaria y suficiente de compatibilidad, un criterio de clasificación y un método de resolución. Todo ello se basa en el teorema de Rouché-F röbenius. Consideremos el siguiente sistema de m ecuaciones con n incógnitas: Escrito en form a vectorial: siendo A1, A2, ..., An las colum nas de la m atriz de los coeficientes. Sean: A la matriz de coeficientes, B la matriz ampliada y r(A)=h. Teorema de Rouché-Fröbenius. a) El sistema [1] tiene solución ] rango (B)= h. b) Si h=n,el sistema tiene solución única. c) S i h<n, el sistema tiene infinita s soluciones. Demostración a) Si existe solución (s1,s2,...,sn), la ecuación vectorial [2] indica que C puede ponerse como combinación lineal de A1, A2, ..., An, y, por tanto, r(B)=h . Recíprocamen te, si r(B)=h, C podrá expresarse como combinación lineal de las h column as Ai linealmente inde pendientes. Supongamos que sean A1, A2, ..., Ah. Existen (s1,s2,...,sn, 0, ..., 0) tales que : A1@s1 + A2@s2 + ... + Ah@sh + Ah+1@0 + ... + An@0 = C, y, por tanto, existe solución. b) Si r(B)=h, supongam os que son linealm ente indepen dientes A1, A2, ..., Ah. Entonces, la ecuación vectorial [2] puede escribirse de la siguiente forma: A1@x1 + A2@x2 + ... + Ah@xh = C - Ah+1@xh+1 - ... - An@xn [3] Esto indica que, cualesquiera que sean xh+1, ..., xn, el segundo miembro de la expresión [3] es combinación lineal de A1, A2, ..., Ah. Si h=n, el segundo miembro de [3] queda reducido a C, y el sistema admitiría solución única. c) Si h<n, dando valores arbitrarios a xh+1, ..., xn en la expresión [3 ], se obtienen infinitas solucion es. El teorema puede resumirse de la forma siguiente: ‚ Discu te y resue lve el sistem a: *A*=1. r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. Elsistema es compatible determinado. Aplicando el método de Gauss, o la regla de Cramer, se obtiene: z=-1, y=-3, x=2. ‚ Discu te y resue lve el sistem a: r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. El sistema es compatible determinado. Aplicando el método de Gauss, o la regla de Cramer, se obtiene: x=3, y=6, z=11.
  • 8. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 8 )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud ‚ Discu te y resu elve el siste ma: r(A)=3; r(B)=4. El sistema es incompatible. ‚ Discu te y resu elve el siste ma: r(A)=r(B)=2 < nº incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Tomamos como incógnitas principales x, y. Obtenemos infinitas solucio nes dep endien tes de do s parám etros: Aplicando la regla de Cramer y haciendo z=" y t=ß, queda como solución: x= , y= , z=", t=ß. Veamos algunas de las infinitas soluciones: Si hacemos "=1 y ß=1, obtenemos: x= , y= , z=1, t=1. Si hacemos "=-1 y ß=0, obtenemos: x=1, y=-2, z=-1, t=0. ‚ Discute y resuelve, según los valores de a, el sistem a: Consideremos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada: *A*=-a(a-1)(a-2). Pueden considerarse los siguientes casos. 1º ) Si a…0, a…1, a…2: *A*…0; por tanto r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. S.C.D. Solución única. Resolviéndolo por la regla de Cramer, se obtiene: Por ejemplo, si a=-1, obtendríamos como solución: x= , y= , z= . 2º ) Si a=0: Qued a el sistem a: Como r(A)=2 y r(B)=3, el sistema es incompatible, lo cual en este caso es evidente observando la segunda ecuación. 3º ) Si a=1: Qued a el sistem a: r(A)=r(B)=2 < nº incógnitas. S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro. Aplicando Gauss, o Cramer, se obtiene: x=4-", y=", z= . 4º ) Si a=2: Qued a el sistem a: Como r(A)=2 y r(B)=3, el sistema es incompatible. RESUMEN: Para a…0, a…1, a…2: S.C.D. Solución única. Para a=0: S.I. Ninguna solución. Para a=1: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro. Para a=2: S.I. Ninguna solución. Ejercicios. 1. Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales según los valores del (de los) parámetros que se indican. a) Solución. S.I. b) Solución. Si a… : S.C.D. Si a= : S.I. c) Solución. Para a…0, a…1: S.I. Ninguna solución. Para a=0: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro. x=t, y=-t,z=1. Para a=1: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de dos parámetros. x=", y=ß, z=1-"-ß. d) Solución. Si a…0, a…1: S.C.D. Si a=0: S.C.I. x= , y=", z=-2. Si a=1: S.I.
  • 9. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 9 )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud e) Solución. Si b…0, a…1, a…-2: S.C.D. Si a=-2 Y r(A)=2. Si b=-2 Y r(B)=2: S.C.I. Si a=-2 Y r(A)= 2. Si b …-2 Y r(B)=3: S.I. Si a=1 Y r(A)=1. Si b=1 Y r(B)=1: S.C.I. Si a=1 Y r(A)= 1. Si b Y1 Y r(B)=2: S.I. Si b=0 y a=1 Y r(A)=1, r(B)=2: S.I. Si b=0 y a…1 Y r(A)=2, r(B)=3: S.I. 9. SISTEMAS HOMOGÉNEOS. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN. Un sistema d e ecuaciones linea les es homogéneo, si todos los términos independientes son nulos. Considerem os el siguiente sistema ho mogén eo de m ec uaciones con n incógnitas: Aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius a este sistema, resulta que siempre tendrá solución, y a que siemp re se cumple que r(A)=r(B). Si r(A)=n úmero de incóg nitas, existirá un a única so lución qu e será la solución trivial: x1 = x2 = ... = xn = 0 Si r(A)<núm ero de incógn itas, existirán infinitas soluciones. Podemos enunciar, pues, el siguiente teorema: Teorema. Un sistem a de ecuaciones lin eales hom ogéneo tiene soluc ión distinta de la trivia l ] el rango de la matriz de los co eficientes es meno r que el núm ero de incóg nitas. Corolario. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene solución distinta de la trivial ] el determinante de la matriz de coeficientes es nulo. Demostración Es evidente a partir del teorema anterior. ‚ Dado el sistem a: Calculemos el rango de la matriz A. Y Y r(A)=2 < número de incógnitas=3. Luego habrá in finitas so luciones , que se rán las d el sistem a equiv alente: y= , x= . ‚ Dado el sistem a: r(A)=2 < nº incóg nitas=3 . Por tan to habrá infinitas soluciones que dependen de un parámetro: x=", y=-", z=". ‚ Dado el sistem a: *A*…0. r(A)=3=nº incógnitas, el sistema es compatible determinado. La única solución posible es la trivial: x=0, y=0, z=0. Ejercicios. 1. Discute y resuelve los siguientes sistemas deecuacioneslineales homogéneos según los valores del (de los)parámetros que se indican.
  • 10. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 10 )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud a) Solución. Si m …1, S.C.D. La ú nica solución es la trivial. Si m=1, S.C.I. Las infinitas soluciones son: x=-2", y=", z=". b) c) d) e) f) Solución. Si a=-2 ó a= , S.C.I. 10. ELIMINACIÓN DE PARÁMETROS. ................ 11. EJERCICIOS. 1. Demuestra que un sistem a de n ecu aciones con n-1 in cógnitas e s incom patible si *B*…0. 2. Discute y resuelve se gún los v alores de a , el sistema: 3. Discute y resuelve se gún los v alores de a , el sistema: 4. a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas, ¿puede ser incompatible? Razónalo y en caso afirmativo, pon un ejemplo. b) Un sistema de dos ecua ciones lineales con tres incógn itas, ¿puede ser com patible determinado? Razónalo y en caso afirmativo, pon un ejemplo. c) Un sistema de dos ecuacioneslineales con cuatro incógnitas, ¿puede ser compatible determinado? Razónalo y en caso afirmativo, pon un ejemplo. d) Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿puede ser compatible determinado? Razónalo y en caso afirmativo, pon un ejemplo. 5. Dado el sistema: Comp rueba que el conjunto de sus soluciones constituye un subespacio vectorial de Rn de dimensión n-r(A). Siendo A la matriz de coeficientes del sistema. 6. Discute y resuelve se gún los v alores de a y b, el sistem a: 12. PROBLEMAS.
  • 11. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 11 )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud 1. 13. EJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS P.A.U. 1. Determ ina el valor de m para que e l sistema: sea compatible y calcula su solución. Solución. *B*=4m- 48. Si m …12, S.I. Si m=12, S.C.D. x=4, y=2, z=5. 2. Discute el siste ma: según los valores de a, y resuélvelo cuando sea compatible. Solución. *A*=-a2 . Si a…0, S.C.D. Si a=0, S.C.I. infinitas soluc. dep. 2 parámetros. 3. Un padre y sus dos hijos tienen un total de 84 años. Cuando el mayor tenía la edad del pequeño, la de éste era de la edad actual del m ayor, y cu ando el p equeño tenga la edad del mayor, los tressumarán 102 años. Calcula la edad de cada uno resolviend o el sistema de ecu aciones lineales a que dan lugar las con diciones anteriores. Solución. x, x+a, x+a+b. 1) 3x+2a+b=84, 2) 3x-7a=0, 3) 3x+5a+b=102. m=14, M=20, P=50. 4. Determ ina el valor de a para que el sistem a: sea compatible y calcula su solución. Solución. a=28. x= 4, y=2, z= 5. 5. Encue ntra todas la s solucion es del sistem a siguiente según los valores de a: Solución. x=1- , y= , z=". 6. Resuelv e el siguiente sistema e in terpreta ge ométricamente el resultado : 7. Halla m para que el sistema: tenga solu ción distinta de la trivial. Solución. *A* = -2m3 - 88m² + 93m + 242. Sus raíces son fraccionarias o irracionales y muy difíciles de calcular. Para las raíces (-44'97, -1'22 y 2'2) el sistema es indeterminado. 8. Discute el sistema de ecuacio nes: según los valores de m0R, y resuélvelo para aquellos valores en que exista solución. Solución. *A*=2(m²-4). Si m= 2 S.C.I. (3",-5","). Si m= -2 S.I. S i m…2 y m…-2 S.C.D . [ , , ]. 9. Dado el sistema de ecuacio nes: a) Estúdialo según los valores del parámetro a. b) Resuélvelo en los casos en que sea compatible. Solución. *A*=-a(a²+ 3). a) Si a =0 S.I. Si a…0 S.C.D. b) (P or Cramer). 10. Discute y resuelve e l sistema seg ún los valores del pa rámetro m: Solución. *A*=m-1 . Si m= 1 S.I. S i m…1 S.C.D . [ , , m2 +m]
  • 12. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 12 )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud 11. Sea el sistem a: Discútelo según los valores de m. Resuélvelo para m=5. Solución. Si m …5 y m… S.C.D. (0, 0, 0). Si m=5 ó m= S.C.I. Si m=5 (-27", 8", 13"). 12. Discute y resuelve se gún los v alores de a , el sistema: Solución. S.C.D. para cualquier valor de a. 13. Discute y resuelve se gún los v alores de k , el sistema: Solución. S.I. en todos los casos. 14. Discute el sig uiente sistem a en función de a: Solución. Si a= S.I. Si a … S.C.D. 15. Estudia el sistema: Solución. Si a=1 ó a= S.I. Si a …1 ó a… S.C.D. 16. a) Discute y resuelve, en los casos que pro ceda, el sistem a: b) ¿Cómo sería la discusión si los término s independien tes fuesen nulos? Solución. *A*=k(k-1)(k-2). a) Si k=0 S.I. Si k=1 S .C.I. [ , , "] Si k=2 S.I. Si k…0, k…1 y k…2 S.C.D . [ , -1, ] b) Si k=0 S .C.I. (", 0, ) Si k=1 S.C.I. (-5 ", ", -2") Si k=2 S .C.I. (", 0, 0) Si k…0, k…1 y k…2 S.C.D . (0, 0, 0,) 17. a) Estudia p ara qué v alores de a el siguiente siste ma es co mpatible: b) ¿Existe algún valor de a para el que el sistema anterior sea compatible y determinado? Razona tu respuesta. Solución. *A*=(a-1)3 (a+3). 18. Resuelve el sistema en función de a y luego halla el valor de a para que x+y=1. 19. a) Discute el siste ma: . b) ¿Para qué valoresde a y b el sigu iente sistema: es equivalente alanterior? Razona tu respuesta. Solución. a) *A*=0. Como …0 Y r(A)=2=r(B) ya que . Y S.C.I. 4 soluciones que dependen de 1 parámetro. b) Solución del primer sistema: x=-2+2", y=", z=3"-4.
  • 13. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 13 )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud Solución del segundo sistema: x=-b-aß, y=ß, z=(1+b)ß+2a. Igualando soluciones: -2+2"=-b-aß, "=ß, 3"-4=(1+b)ß+2a. Resolviendo este sistema por sustitución se obtiene que a=-2 y que b=2. Salvo cuando "=± . 20. Sean a, b, c tres número s reales positivos. Prueba que el sistema: tiene solución distinta d e la trivial si y sólo si: . Solución. 21. Estudia para qu é valores de a y b los siguientes sistemas de ec uaciones son e quivalentes: Solución. a) Solución de (2) con parámetro z. b) Solución de (1) con parámetro z. c) Igualando soluciones: ... a=6 y b=9. 22. Dado el sistema de ecuacio nes lineales: a) Demu estra que si a=0, dicho sistema representa u na recta y halla sus ecu aciones param étricas. b) ¿Para qué valores de a y b representa un plano? Solución. a) x=(2-b)-b", y=", z=b. b) a= , b=1. 23. Discute y resuelve se gún los v alores de a y b, el sistem a: Solución. *A*=13(a- 1). Si a …1 S.C.D. (Po r Cramer). Si a=1 y b =3 S.C.I. (9"-5, ", 8-13"). Si a=1 y b…3 S.I. 24. Discute y , cuando sea com patible, resu elve el siguiente sistema: Solución. 25. Estudia el siguiente sistem a según los valores de los pará metros a y b: Resuélvelo para algún valor de a y b que lo haga compatible determinado. Solución. 26. Discute según los valores de los parámetros que se indican el siguiente sistema: Solución. Si a…c, a…b, b…c: S.C.D. Si a=c ó a=b ó b =c: Si a …d y b…d, S.I. Si a=c ó a=b ó b= c: Si a=d: S.C.I. Si a=c ó a=b ó b =c: Si a …d y b=d: Si a=c…b, S.C.I. Si a=c ó a=b ó b =c: Si a …d y b=d: Si a=c=b , S.I. Si a=c ó a=b ó b =c: Si a …d y b=d: Si a=b…c, S.I. 14. OTROS EJERCICIOS. 1. a) Demu stra que si un sistema de ecuaciones lineales tiene alguna solución , el conjunto de sus soluciones es una subvariedad afín cuyo subespacio director es el subespacio de soluciones del sistema homógeneo asociado b) Discute, según los v alores del parám etro m, las posicione s relativas de los planos: x + y + z = 20
  • 14. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 14 )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud 2x - y + mz = 2 5x - 4y = 3m c) Calcula la subvariedad afin en que se cortan los tres planos en el caso m=-3. Solución. 2. Halla una base de L( , , ) siendo (1,2,3), (2,-4,5), (1,10,4). Solución. Sea la matriz que forman las coordenadas de los vectores. Transf ormam os la m atriz por G auss en una trian gular: . {(1,2,3), (0,-8,-1)} es la base buscada. 3.