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Conceptos básicos de Ecuaciones Diferenciales. Ecuaciones Diferenciales.
¿Qué son ecuaciones diferenciales?     Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. Si una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice que es ordinaria. Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales. ¿Qué es orden?     El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de mas alto orden que aparece en la      ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.      El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es   el de la derivada de mayor       orden en la ecuación. Por ejemplo,       d2y + 5 [dy]3 − 4y = ex       dx2 dx      es una ecuación diferencial de segundo orden.
¿A que se le llama grado? Es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada     en forma polinomial. Clasificación y tipos de orden y grado. Ecuaciones de primer orden lineales De variables separadas Son de la forma P(x) dx + Q(y)dy = 0 Son las más sencillas de integrar. Sólo tenemos que pasar al otro lado del signo igual uno de los sumandos e integrar en los dos lados. xdx + 2y2dy = 0 xdx = -2y2dy Integrado en los dos lados, nos queda: x2/2 = -2/3y3 + C Ecuaciones separables Sea la ecuación diferencial dy/dx = H(x,y). Supongamos que H(x,y) = f(x)/g(y), entonces la ecuación inicial se convierte en: f(x)dx = g(y)dy que ya podemos integrar.   Ecuaciones homogéneas Son aquellas en las que y' es una función homogénea de grado cero de x e y (es decir, el grado de todos los términos es el mismo). (x2 - y2)dx + 2xydy = 0. Dividiendo por x2 nos queda (1 - y2/x2)dx + 2y/xdy = 0. Haciendo el cambio y/x = u y derivando (y = ux) nos queda y' = u + u'x (1 - u2)dx + 2udy = 0 1 - u2 + 2u(u + u'x) = 0 Operando nos queda u + u'x = (u2 - 1)/(2u) x du + (1 + u2)/(2u)dx = 0 Esta ecuación diferencial es del tipo de variables separadas.
Ecuaciones reducibles a homogéneas Son aquellas que mediante un cambio de variable se convierten en homogéneas. Diferenciales exactas Dada la ecuación diferencial P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. Si se cumple P'y = Q'x la ecuación es una diferencial exacta. Reducibles a diferencial exacta Se convierten a diferencial exacta haciendo una transformación. Ecuación lineal Son las ecuaciones de la forma y' + X(x)y = F(x) Ecuación de Bernoulli Son las ecuaciones de la forma y' + X(x)y = F(x) yn   Ecuación de Riccati Son del tipo y' = X1(x) + X2(x)y + X3(x)y2 Ecuaciones de primer orden no lineales Resolubles en y' Son de la forma: a0(x,y) y 'n + a1(x,y) y 'n-1 + a2(x,y) y 'n-2 + ...+ an(x,y) = 0 Resolubles en x Cuando se puede despejar la x. Obtenemos x = f(y,y') y derivando respecto de x 1 = f'y y' + f'y' y'' haciendo el cambio y' = p e y'' = dp/dx = dp/dydy/dx = dp/dy p tenemos una ecuación de primer orden lineal
Resolubles en y Cuando se puede despejar y. Obtenemos y = f(x,y'). Hacemos y' = p. Entonces y'' = p' y' = f'x + f'y y'' p = f'x + f'p p' Que es una ecuación de primer orden y primer grado que puede ser más fácil de integrar que la original. Ecuación de Lagrange Son de la forma y = x f(y')  + g(y') donde f(y') no puede ser igual y'. Se resuelven derivando y llamando y' = p con lo que obtenemos p = f(p) + [x f'(p) + g'(p)]p' esta ecuación es lineal y se integra tomando x como función de p.                  Ecuación de Clairaut Es como la de Lagrange pero con f(y') = y' y = x y' + g(y') La solución es y = Cx + g(C) Ecuaciones de orden superior Ecuaciones reducibles de orden Reducción de ecuaciones carentes de términos en y Son del tipo F(x, y', y'', ... y'n) = 0 Se resuelven reduciéndolas a otras de orden n - 1 haciendo el cambio y' = p  Ecuaciones sin x Son del tipo F(y, y', y'', ... y'n) = 0
Ecuaciones carentes de x e y Son del tipo F(y', y'', ... y'n) = 0 Ecuaciones del tipo y'n = F(y'n-2) Se reducen a otras de segundo orden haciendo el cambio z = y'n - 2 y quedan de la forma z'' = F(z). Si multiplicamos por z' dx nos queda z'' z' dx = F(z) dz cuyo primer miembro es la diferencial de z'2/2 por lo que integrando obtendremos una ecuación de primer orden de variables separadas. Ecuaciones lineales en las derivadas, de coeficientes constantes   Ecuaciones lineales en las derivadas, de coeficientes variables Soluciones. Soluciones Explicitas E Implícitas Una solución en el que las variables dependientes se expresan tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explicita. Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a al función . Solución General Si toda solución de una ecuación de orden n, F(x, y, y´,..., y(n) ) = 0, en un intervalo I, se puede obtener de una familia n-parametrica G(x, y, c1, c2,..., cn) = 0 con valores adecuados de los parámetros c1(i = 1, 2, ..., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial. Solución Particular Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, podemos demostrar que, por sustitución directa, toda función de la familia monoparametrica y = cex también satisface la ecuación  dy = 2xy dx Solución Singular En algunos casos, una ecuación diferencial tiene una solución que no se puede obtener particularizando alguno delos parámetros en una familia de soluciones. Esa solución se llama solución singular.
Interpretación geométrica. Para las ecuaciones diferenciales de primer orden que involucran una expresión algebraica tal que pueda eventualmente permitir el despeje de la primera derivada de la variable dependiente, contamos con una interpretación geométrica muy útil: la pendiente de la recta tangente a la curva solución. Una vez hechas las manipulaciones que sean necesarias para el despeje descrito, la expresión de las pendientes en todos los puntos donde tenga sentido la solución se ajustarán a una función de las coordenadas del punto en estudio. Una buena aproximación al valor del incremento de la variable dependiente (usada ya por Euler) consiste en calcular el producto de la función en el punto particular por el incremento de la variable independiente. Esta idea se rescata en la construcción con Cabri- Géomètre de un tramo de la recta tangente cuya pendiente está dada por la función f(x, y).
Trayectoria ortogonales. Dos familias uniparamétricas de curvas G1(x, y, c1) = 0, G2 (x, y, c2) = 0, se dicen que son trayectorias ortogonales, si todas las curvas de una familia cortan perpendicularmente a todas las curvas de la otra familia. El método para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparamétricaG (x, y, c) = 0 consiste en encontrar, en primer lugar, la ecuación diferencial asociada a la familia y' = f (x, y) y, a continuación, plantear y resolver la ecuación asociada a la familia ortogonal que vendrá dada por y' = -1 / f (x, y) Campo direccional. Campos de direcciones; isoclinas Considérese una función diferenciable en un punto (x0,y0). La recta tangente a la gráfica de f en el punto (x0,y0) viene dada por la ecuación Es bien sabido que esta recta es localmente muy similar a la gráfica de f cerca del punto (x0,y0). Este hecho es de gran ayuda para entender de manera cualitativa ecuaciones diferenciales cuando no es posible encontrar una solución de la misma. La idea es trazar pequeños segmentos de recta que serán tangentes a la gráfica de la solución de una ecuación diferencial, ya que éstos sugerirán la forma de la curva integral correspondiente a una solución de la ecuación diferencial. Ilustremos esta idea con un ejemplo. Consideremos la ecuación diferencial (1.13) 
Puesto que esta definida para cualesquiera , somos libres de elegir cualquier valor para x e y. Por ejemplo, en el origen, vemos que vale 0. Trazamos entonces un pequeño segmento de recta de pendiente 0, el cual será localmente similar a la curva integral que pasa por el origen. En el punto (0,1), vemos que vale 1, y así trazamos un otro pequeño segmento de recta que pase por el punto (0,1) y tenga pendiente 1. Si continuamos este proceso de manera similar, eligiendo diversos puntos (x,y), obtendremos una imagen que nos indicará la forma que tienen algunas de las curvas integrales de la ecuación diferencial (1.13). El conjunto de todos estos segmentos de recta es lo que se conoce como un campo de direcciones, y a cada uno de estos pequeños segmentos se dice un elemento lineal del campo de direcciones. La figura 1.3 muestra un campo de direcciones para la ecuación diferencial (1.13).
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones al modelado  9 edición.  Editorial. CENGAGE. Autor. Dennis G. Zill http://html.rincondelvago.com/ecuacion-diferencial_1.html http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Analisis/Ecuaciones%20Diferenciales/Ordinarias.htm http://yaqui.mxl.uabc.mx/~larredondo/Documentacion/SandovalCaceres.pdf http://www.fisica.ru/dfmg/teacher/archivos/P04EDO.pdf Bibliografias

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Ecuaciones Diferenciales: Conceptos básicos

  • 1. Conceptos básicos de Ecuaciones Diferenciales. Ecuaciones Diferenciales.
  • 2. ¿Qué son ecuaciones diferenciales? Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. Si una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice que es ordinaria. Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales. ¿Qué es orden? El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de mas alto orden que aparece en la ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo, d2y + 5 [dy]3 − 4y = ex dx2 dx es una ecuación diferencial de segundo orden.
  • 3. ¿A que se le llama grado? Es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial. Clasificación y tipos de orden y grado. Ecuaciones de primer orden lineales De variables separadas Son de la forma P(x) dx + Q(y)dy = 0 Son las más sencillas de integrar. Sólo tenemos que pasar al otro lado del signo igual uno de los sumandos e integrar en los dos lados. xdx + 2y2dy = 0 xdx = -2y2dy Integrado en los dos lados, nos queda: x2/2 = -2/3y3 + C Ecuaciones separables Sea la ecuación diferencial dy/dx = H(x,y). Supongamos que H(x,y) = f(x)/g(y), entonces la ecuación inicial se convierte en: f(x)dx = g(y)dy que ya podemos integrar.   Ecuaciones homogéneas Son aquellas en las que y' es una función homogénea de grado cero de x e y (es decir, el grado de todos los términos es el mismo). (x2 - y2)dx + 2xydy = 0. Dividiendo por x2 nos queda (1 - y2/x2)dx + 2y/xdy = 0. Haciendo el cambio y/x = u y derivando (y = ux) nos queda y' = u + u'x (1 - u2)dx + 2udy = 0 1 - u2 + 2u(u + u'x) = 0 Operando nos queda u + u'x = (u2 - 1)/(2u) x du + (1 + u2)/(2u)dx = 0 Esta ecuación diferencial es del tipo de variables separadas.
  • 4. Ecuaciones reducibles a homogéneas Son aquellas que mediante un cambio de variable se convierten en homogéneas. Diferenciales exactas Dada la ecuación diferencial P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. Si se cumple P'y = Q'x la ecuación es una diferencial exacta. Reducibles a diferencial exacta Se convierten a diferencial exacta haciendo una transformación. Ecuación lineal Son las ecuaciones de la forma y' + X(x)y = F(x) Ecuación de Bernoulli Son las ecuaciones de la forma y' + X(x)y = F(x) yn   Ecuación de Riccati Son del tipo y' = X1(x) + X2(x)y + X3(x)y2 Ecuaciones de primer orden no lineales Resolubles en y' Son de la forma: a0(x,y) y 'n + a1(x,y) y 'n-1 + a2(x,y) y 'n-2 + ...+ an(x,y) = 0 Resolubles en x Cuando se puede despejar la x. Obtenemos x = f(y,y') y derivando respecto de x 1 = f'y y' + f'y' y'' haciendo el cambio y' = p e y'' = dp/dx = dp/dydy/dx = dp/dy p tenemos una ecuación de primer orden lineal
  • 5. Resolubles en y Cuando se puede despejar y. Obtenemos y = f(x,y'). Hacemos y' = p. Entonces y'' = p' y' = f'x + f'y y'' p = f'x + f'p p' Que es una ecuación de primer orden y primer grado que puede ser más fácil de integrar que la original. Ecuación de Lagrange Son de la forma y = x f(y')  + g(y') donde f(y') no puede ser igual y'. Se resuelven derivando y llamando y' = p con lo que obtenemos p = f(p) + [x f'(p) + g'(p)]p' esta ecuación es lineal y se integra tomando x como función de p.                  Ecuación de Clairaut Es como la de Lagrange pero con f(y') = y' y = x y' + g(y') La solución es y = Cx + g(C) Ecuaciones de orden superior Ecuaciones reducibles de orden Reducción de ecuaciones carentes de términos en y Son del tipo F(x, y', y'', ... y'n) = 0 Se resuelven reduciéndolas a otras de orden n - 1 haciendo el cambio y' = p  Ecuaciones sin x Son del tipo F(y, y', y'', ... y'n) = 0
  • 6. Ecuaciones carentes de x e y Son del tipo F(y', y'', ... y'n) = 0 Ecuaciones del tipo y'n = F(y'n-2) Se reducen a otras de segundo orden haciendo el cambio z = y'n - 2 y quedan de la forma z'' = F(z). Si multiplicamos por z' dx nos queda z'' z' dx = F(z) dz cuyo primer miembro es la diferencial de z'2/2 por lo que integrando obtendremos una ecuación de primer orden de variables separadas. Ecuaciones lineales en las derivadas, de coeficientes constantes   Ecuaciones lineales en las derivadas, de coeficientes variables Soluciones. Soluciones Explicitas E Implícitas Una solución en el que las variables dependientes se expresan tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explicita. Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a al función . Solución General Si toda solución de una ecuación de orden n, F(x, y, y´,..., y(n) ) = 0, en un intervalo I, se puede obtener de una familia n-parametrica G(x, y, c1, c2,..., cn) = 0 con valores adecuados de los parámetros c1(i = 1, 2, ..., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial. Solución Particular Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, podemos demostrar que, por sustitución directa, toda función de la familia monoparametrica y = cex también satisface la ecuación dy = 2xy dx Solución Singular En algunos casos, una ecuación diferencial tiene una solución que no se puede obtener particularizando alguno delos parámetros en una familia de soluciones. Esa solución se llama solución singular.
  • 7. Interpretación geométrica. Para las ecuaciones diferenciales de primer orden que involucran una expresión algebraica tal que pueda eventualmente permitir el despeje de la primera derivada de la variable dependiente, contamos con una interpretación geométrica muy útil: la pendiente de la recta tangente a la curva solución. Una vez hechas las manipulaciones que sean necesarias para el despeje descrito, la expresión de las pendientes en todos los puntos donde tenga sentido la solución se ajustarán a una función de las coordenadas del punto en estudio. Una buena aproximación al valor del incremento de la variable dependiente (usada ya por Euler) consiste en calcular el producto de la función en el punto particular por el incremento de la variable independiente. Esta idea se rescata en la construcción con Cabri- Géomètre de un tramo de la recta tangente cuya pendiente está dada por la función f(x, y).
  • 8. Trayectoria ortogonales. Dos familias uniparamétricas de curvas G1(x, y, c1) = 0, G2 (x, y, c2) = 0, se dicen que son trayectorias ortogonales, si todas las curvas de una familia cortan perpendicularmente a todas las curvas de la otra familia. El método para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparamétricaG (x, y, c) = 0 consiste en encontrar, en primer lugar, la ecuación diferencial asociada a la familia y' = f (x, y) y, a continuación, plantear y resolver la ecuación asociada a la familia ortogonal que vendrá dada por y' = -1 / f (x, y) Campo direccional. Campos de direcciones; isoclinas Considérese una función diferenciable en un punto (x0,y0). La recta tangente a la gráfica de f en el punto (x0,y0) viene dada por la ecuación Es bien sabido que esta recta es localmente muy similar a la gráfica de f cerca del punto (x0,y0). Este hecho es de gran ayuda para entender de manera cualitativa ecuaciones diferenciales cuando no es posible encontrar una solución de la misma. La idea es trazar pequeños segmentos de recta que serán tangentes a la gráfica de la solución de una ecuación diferencial, ya que éstos sugerirán la forma de la curva integral correspondiente a una solución de la ecuación diferencial. Ilustremos esta idea con un ejemplo. Consideremos la ecuación diferencial (1.13) 
  • 9. Puesto que esta definida para cualesquiera , somos libres de elegir cualquier valor para x e y. Por ejemplo, en el origen, vemos que vale 0. Trazamos entonces un pequeño segmento de recta de pendiente 0, el cual será localmente similar a la curva integral que pasa por el origen. En el punto (0,1), vemos que vale 1, y así trazamos un otro pequeño segmento de recta que pase por el punto (0,1) y tenga pendiente 1. Si continuamos este proceso de manera similar, eligiendo diversos puntos (x,y), obtendremos una imagen que nos indicará la forma que tienen algunas de las curvas integrales de la ecuación diferencial (1.13). El conjunto de todos estos segmentos de recta es lo que se conoce como un campo de direcciones, y a cada uno de estos pequeños segmentos se dice un elemento lineal del campo de direcciones. La figura 1.3 muestra un campo de direcciones para la ecuación diferencial (1.13).
  • 10. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones al modelado 9 edición. Editorial. CENGAGE. Autor. Dennis G. Zill http://html.rincondelvago.com/ecuacion-diferencial_1.html http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Analisis/Ecuaciones%20Diferenciales/Ordinarias.htm http://yaqui.mxl.uabc.mx/~larredondo/Documentacion/SandovalCaceres.pdf http://www.fisica.ru/dfmg/teacher/archivos/P04EDO.pdf Bibliografias