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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
Calidad, Pertinencia y Calidez
NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
SEGUNDO SEMESTRE 2015
ÁREA: EDUCACIÓN COMERCIAL
PROYECTO DE MATEMÁTICAS
TITULO DEL PROYECTO:
CONJUNTOS
PARALELO:
VO6
AUTORES:
GUANAQUIZA LEIVA PAÚL SANTIAGO
MALDONADO RAMIREZ LUIS ANTONIO
REYES ALVARADO KATTY MARLENE
SALDARRIAGA QUIÑONES JEAN CARLOS
TANDAZO JUELA ROBINSON JACINTO
DOCENTE
Lic. Maritza Maricela Solórzano Flores
MACHALA - EL ORO - ECUADOR
2016
BREVE PRESENTACIÓN
El presente proyecto dirigido por la profesora Maritza Solórzano, pretendemos
dar a conocer todo el conocimiento adquirido sobre lo que es “conjuntos”.
Creemos que es muy importante mostrar las distintas fases de enseñanza,
aprendizaje y evaluación de las matemáticas, a través de las cuáles se pueden
calificar capacidades de una materia o en este caso todo lo relacionado con
“conjuntos”.
Este proyecto enfoca la definición de conjuntos de manera sencilla y explicita,
como también sus funciones y representación, proporcionándonos una visión
clara de los conjuntos, por consiguiente, debemos entender que el concepto de
conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la
operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en
todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas.
Todos estos conocimientos y habilidades que se reflejaran mediante este trabajo
fueron desarrollados y adquiridos durante el curso académico 2015-2016 en la
asignatura de matemática del curso de nivelación, de la Universidad Técnica de
Machala (UTMACH).
El objetivo principal de este proyecto es el resultado de una acción proyectada
por el docente y acordada con los estudiantes, con fines de formación instructiva
y con una clara intencionalidad educativa, que permite al estudiante identificar lo
que ya conoce, y por supuesto planear sus estrategias de procesamiento de
información, tener conciencia acerca del adecuado rendimiento, y evaluar su
productividad y conveniente funcionamiento, con el único fin de multiplicar sus
conocimientos matemáticos.
CONJUNTOS
Conjunto es una colección de objetos o entidades distinguibles o bien definidos.
Los objetos (números, letras, puntos) que constituyen un conjunto se les llama
miembros o elementos del conjunto.
Determinación de conjuntos
Un conjunto se determina o se expresa de dos formas: por extensión y por
comprensión.
Determinación de conjunto por extensión.- Un conjunto está determinado por
extensión cuando se nombra uno a uno sus elementos dentro de las llaves o
separados por una coma.
Determinar por extensión los siguientes conjuntos.
1.- A = {2x/x€ N^2≤ x≤ 5}
A= { 2X/ 2;3;4;5 }
2(2)=4 2(3)=6 2(4)=8 2(5)=10
Respuesta: A= { 4;6;8:10 }
2.- B= ,X€Z/-2≤X≤2-
Respuesta: B= {-2;-1;0;1;2}
3.- D= {2x-1/x€ N;3≤ x≤ 5}
D= {3;4;5}
2(3)-1=5 2(4)-1=7 2(5)-1=9
Respuesta: D= {5;7;9}
4.- E= {X/X es par 2<x<14}
Respuesta: E= {4;6;8;10:12}
5.- L= { -X/X€N^x<4}
L= {0;1;2;3}
-0=0 -1=0 -2=6 -3=24
Respuesta: L= {0;6;24}
Determinación de conjunto por comprensión.- Un conjunto está determinado
por comprensión cuando se escribe dentro de las llaves las características de los
elementos que pertenecen al conjunto.
Determinar por comprensión los siguientes conjuntos.
6.- M= {9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19}
Respuesta: M= {X/X€N; 9≤ x≤ 17-
7.- C= { 0;1;2;3;4}
Respuesta: C= { X€N/x<5-
8.- D= { 3;4;5}
Respuesta: D= {X€N/2<x≤ 5-
9.- N= {-1;0;1;2;3}
Respuesta: B= {X€Z/-1≤ x≤ 3-
10.- P= { 1;3;5;7;9;11}
Respuesta: P={ 2x-1/X€N^0<x≤6-
Cardinalidad
Cardinalidad es el número de elementos que contiene un conjunto.
Determinar la cardinalidad de los conjuntos.
11.- A= { x€N/x es primo menor que 30}
A= { 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29}
Respuesta: n(A)= 10
12.- T= { x€N/6<x≤15}
T= { 7;8;9;10;11;12;13;14;15}
Respuesta: n (T)= 9
13.- H= { / X€N;X<10}
H= { /0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}
H= {0;1;4;9;16;25;36;49;64;81}
Respuesta: n (H)= 10
14.- S= {2X+2/ X€N^0≤X<5-
S= {2X+2/0;1;2;3;4}
2(0)+2=2 2(1)+2=4 2(2)+2=6 2(3)+2=8 2(4)+2=10
S= {2;4;6;8;10}
Respuesta: n(S)= 5
Conjuntos Relevantes
Son los tipos de conjuntos que existen estos son: Universal, vacío, unitario, finito
e infinito.
Conjunto Universal.- Cuando contiene todos los elementos que deseen
considerarse en un problema.
Conjunto vacío.- cuando no tiene elementos.
Conjunto Unitario.- Cuando tiene un solo elemento.
Conjunto Finito.- Cuando tiene una cantidad finita de elementos.
Conjunto Infinito.- cuando no tiene una cantidad finita de elementos.
Determinar las clases de conjuntos.
15.- M= {x€N/3X+10=7}
3X+10=7
3X=7-10
3X=-3
X=-1
Respuesta: Conjunto Vacío
16.- B= { X€N/3<X<5}
B= {4}
Respuesta: Conjunto Unitario
17.- R= { -3/ X€N;3≤X<7}
R= { -3/3;4;5;6}
-3=6 -3=13 -3=22 -3=33
R= {6;13;22;33}
Respuesta: Conjunto finito
18.- F={X€N/X>7}
F= ,8;9;10;11;12……….-
Respuesta: Conjunto Infinito
19.- conjuntos iguales hallar a.b
A = { ; } B= {16;27}
=16 =27
=
a-1 =4 b+1=3
a =4+1 b= 3-1
a =5 b=2
Respuesta: a.b = 5x2=10
20.- conjunto Universal
U= {Letras del abecedario}
CONJUNTO UNIVERSAL SUBCONJUNTOS
U
r
s
a, b, c, d, e, f, g
h, i, j, k, l, m, n,
o, p, q, r ,s, t, u,
v, w, x, y, z.
V Ca, e, i,
o, u.
b, c, d ,f, g, h,
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Tarea 1. Ensayo sobre "La sociedad de la ignorancia"
 

Conjunto ejercicios-y-teoria

  • 1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez NIVELACIÓN Y ADMISIÓN SEGUNDO SEMESTRE 2015 ÁREA: EDUCACIÓN COMERCIAL PROYECTO DE MATEMÁTICAS TITULO DEL PROYECTO: CONJUNTOS PARALELO: VO6 AUTORES: GUANAQUIZA LEIVA PAÚL SANTIAGO MALDONADO RAMIREZ LUIS ANTONIO REYES ALVARADO KATTY MARLENE SALDARRIAGA QUIÑONES JEAN CARLOS TANDAZO JUELA ROBINSON JACINTO DOCENTE Lic. Maritza Maricela Solórzano Flores MACHALA - EL ORO - ECUADOR 2016
  • 2. BREVE PRESENTACIÓN El presente proyecto dirigido por la profesora Maritza Solórzano, pretendemos dar a conocer todo el conocimiento adquirido sobre lo que es “conjuntos”. Creemos que es muy importante mostrar las distintas fases de enseñanza, aprendizaje y evaluación de las matemáticas, a través de las cuáles se pueden calificar capacidades de una materia o en este caso todo lo relacionado con “conjuntos”. Este proyecto enfoca la definición de conjuntos de manera sencilla y explicita, como también sus funciones y representación, proporcionándonos una visión clara de los conjuntos, por consiguiente, debemos entender que el concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. Todos estos conocimientos y habilidades que se reflejaran mediante este trabajo fueron desarrollados y adquiridos durante el curso académico 2015-2016 en la asignatura de matemática del curso de nivelación, de la Universidad Técnica de Machala (UTMACH). El objetivo principal de este proyecto es el resultado de una acción proyectada por el docente y acordada con los estudiantes, con fines de formación instructiva y con una clara intencionalidad educativa, que permite al estudiante identificar lo que ya conoce, y por supuesto planear sus estrategias de procesamiento de información, tener conciencia acerca del adecuado rendimiento, y evaluar su productividad y conveniente funcionamiento, con el único fin de multiplicar sus conocimientos matemáticos. CONJUNTOS Conjunto es una colección de objetos o entidades distinguibles o bien definidos. Los objetos (números, letras, puntos) que constituyen un conjunto se les llama miembros o elementos del conjunto. Determinación de conjuntos
  • 3. Un conjunto se determina o se expresa de dos formas: por extensión y por comprensión. Determinación de conjunto por extensión.- Un conjunto está determinado por extensión cuando se nombra uno a uno sus elementos dentro de las llaves o separados por una coma. Determinar por extensión los siguientes conjuntos. 1.- A = {2x/x€ N^2≤ x≤ 5} A= { 2X/ 2;3;4;5 } 2(2)=4 2(3)=6 2(4)=8 2(5)=10 Respuesta: A= { 4;6;8:10 } 2.- B= ,X€Z/-2≤X≤2- Respuesta: B= {-2;-1;0;1;2} 3.- D= {2x-1/x€ N;3≤ x≤ 5} D= {3;4;5} 2(3)-1=5 2(4)-1=7 2(5)-1=9 Respuesta: D= {5;7;9} 4.- E= {X/X es par 2<x<14} Respuesta: E= {4;6;8;10:12} 5.- L= { -X/X€N^x<4} L= {0;1;2;3} -0=0 -1=0 -2=6 -3=24 Respuesta: L= {0;6;24}
  • 4. Determinación de conjunto por comprensión.- Un conjunto está determinado por comprensión cuando se escribe dentro de las llaves las características de los elementos que pertenecen al conjunto. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos. 6.- M= {9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19} Respuesta: M= {X/X€N; 9≤ x≤ 17- 7.- C= { 0;1;2;3;4} Respuesta: C= { X€N/x<5- 8.- D= { 3;4;5} Respuesta: D= {X€N/2<x≤ 5- 9.- N= {-1;0;1;2;3} Respuesta: B= {X€Z/-1≤ x≤ 3- 10.- P= { 1;3;5;7;9;11} Respuesta: P={ 2x-1/X€N^0<x≤6- Cardinalidad Cardinalidad es el número de elementos que contiene un conjunto. Determinar la cardinalidad de los conjuntos. 11.- A= { x€N/x es primo menor que 30} A= { 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29} Respuesta: n(A)= 10 12.- T= { x€N/6<x≤15} T= { 7;8;9;10;11;12;13;14;15} Respuesta: n (T)= 9 13.- H= { / X€N;X<10} H= { /0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}
  • 5. H= {0;1;4;9;16;25;36;49;64;81} Respuesta: n (H)= 10 14.- S= {2X+2/ X€N^0≤X<5- S= {2X+2/0;1;2;3;4} 2(0)+2=2 2(1)+2=4 2(2)+2=6 2(3)+2=8 2(4)+2=10 S= {2;4;6;8;10} Respuesta: n(S)= 5 Conjuntos Relevantes Son los tipos de conjuntos que existen estos son: Universal, vacío, unitario, finito e infinito. Conjunto Universal.- Cuando contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema. Conjunto vacío.- cuando no tiene elementos. Conjunto Unitario.- Cuando tiene un solo elemento. Conjunto Finito.- Cuando tiene una cantidad finita de elementos. Conjunto Infinito.- cuando no tiene una cantidad finita de elementos. Determinar las clases de conjuntos. 15.- M= {x€N/3X+10=7} 3X+10=7 3X=7-10 3X=-3 X=-1 Respuesta: Conjunto Vacío 16.- B= { X€N/3<X<5} B= {4}
  • 6. Respuesta: Conjunto Unitario 17.- R= { -3/ X€N;3≤X<7} R= { -3/3;4;5;6} -3=6 -3=13 -3=22 -3=33 R= {6;13;22;33} Respuesta: Conjunto finito 18.- F={X€N/X>7} F= ,8;9;10;11;12……….- Respuesta: Conjunto Infinito 19.- conjuntos iguales hallar a.b A = { ; } B= {16;27} =16 =27 = a-1 =4 b+1=3 a =4+1 b= 3-1 a =5 b=2 Respuesta: a.b = 5x2=10 20.- conjunto Universal U= {Letras del abecedario} CONJUNTO UNIVERSAL SUBCONJUNTOS U r s a, b, c, d, e, f, g h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r ,s, t, u, v, w, x, y, z. V Ca, e, i, o, u. b, c, d ,f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z.
  • 7. CUANTIFICADORES Cuando se habla de cuantificadores en términos de Lógica, Teoría de Conjuntos o Matemáticas en general, se hace referencia a aquellos símbolos que se utilizan para indicar cantidad en una proposición, es decir, permiten establecer “cuántos” elementos de un conjunto determinado, cumplen con cierta propiedad. Proposiciones abiertas: Una proposición abierta es una expresión que contiene una variable "x" y que se convierte en una proposición cerrada cuando "x" se sustituye por un valor determinado. Ejemplo: La proposición se puede enunciar de las siguientes formas: 1. Existe x = 1 tal que x + 1 = 2. Proposición verdadera 2. Para todo x ≠ 1, se tiene que x + 1 = 2. Proposición falsa Veamos la representación simbólica de estas dos expresiones es la siguiente: 1. (Ǝx = 1) / (x +1 = 2) Verdadera 2. (∀x ≠ 1) / (x + 1 = 2) Falsa Simbólicamente, en el primer caso el cuantificador recibe el nombre de cuantificador existencial, pues está informando que existe un sólo valor para "x" que hace verdadera la proposición dada. Mientras que en el segundo caso el cuantificador se llama cuantificador universal porque afirma que todos los valores de "x" diferentes de 1 hacen la proposición falsa, es decir, que un valor de "x" diferente de 1 convierte x + 1 = 2 en
  • 8. proposición falsa. Cuantificador universal (∀) Cualquier cuantificador de la forma para todo, todo, para cada, o cada, se llama cuantificador universal y se simboliza por “∀”. Ejemplo: (∀x =1) / (x + 4 = 4 + x) significa que todo "x" verifica la ecuación Nota: esta expresión se lee de la siguiente manera “ para todo x =1 se verifica que x + 4 = 4 + x". Cuantificador existencial (Ǝ) Los cuantificadores de la forma existe por lo menos uno, se llaman cuantificadores existenciales y se representan así: “Ǝ”. Ejemplo: (Ǝx = 1) / (2x + 3 = 5) significa que para x = 1 verifica la ecuación Nota: esta expresión se lee de la siguiente manera “existe por lo menos uno x =1 se verifica que 2x + 3 = 5". Subconjunto El conjunto A es subconjunto de B si y solo si los elementos de A están contenidos en B. Simbólicamente, este concepto se representa por: (A⊆b) ⇔ ∀ x [(x𝟄A) → (x𝟄B)]
  • 9. Si A es subconjunto de B (A⊆B) pero B no es subconjunto de A (B⊈A), se dice que A es subconjunto propio de B, lo cual se representa por: (A⊂B) ⇔ [(A ⊆ B) ⌃¬(A=B)] Conjunto Potencia. Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles de A. El símbolo que se utiliza para este conjunto P(A). P(A) = {B/B ⊆ A} Relaciones entre conjuntos Igualdad entre conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente. Simbólicamente, este concepto se representa por: (A=B) ⇔ [(A⊆B) ⌃ (B⊆A)] Usando las definiciones y las propiedades de la lógica proporcional, se tiene: (A=B) ⇔ ∀x [(x𝟄A) ↔ (x𝟄B)] Conjuntos disjuntos e intersecantes. Los conjuntos A y B son Disjuntos si y solo si Ac y B no tienen elementos en común. Los Conjuntos A y B son Intersecantes si y solo si A y B tienen un elemento común. Ejercicios. 1 – 20 1. Identifique cuál de las siguientes proposiciones es verdadera: a) 5 = {5} b) {} ∉ ∅ c) 1 ∈{{1, 4}, {2, 4}} d) ,4, 8, 23, 3-= ,(−2)2, 8, 3-
  • 10. e) {2, 4}= {{2}, {4}} Solución: a. 5 = ,5- Falso “Sub conjunto” b. {} ∉ ∅ Falso c. 1 ∈ {{1, 4}, {2, 4}} → 1 ∈ {1,4} Falso d. ,4, 8, 23, 3-= ,(−2)2, 8, 3- Verdadero e. {2, 4}= {{2}, {4}} Falso ↑ ↑ Elementos – Sub conjuntos 2. Siendo A ={a,{b}, c,{d, e}} y B ={b, c}, encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) ¬(b ∈ a) b) B ⊆ A c) B ∈ A d)A ∩ B ={c} e) {b} ∈ B Solución: a. Verdadera b. Falso; b ∉ A c. Falso d. Verdadero e. Falso; b ∈ B 3. Dado el referencial Re ={x/x es una letra del alfabeto castellano} y los conjuntos A, B, C y D definidos por: A = {x/x es vocal de la palabra COMPUTACION} B = {x/x es vocal de la palabra ELECTRONICA}
  • 11. C = {x/x es consonante de la palabra BARCELONA} D = {x/x es consonante de la palabra ENUMERACION} a) Tabule A, B, C y D. b) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones : I) N(A) = N(B) II) A = B III) D ∈ A Solución: A) a. A= {a, i, o, u} b. B= {a, e, i, o} c. C= {a, e, o} d. D= {a, e, i, o, u} B) I) Verdadera II) Falso III) Falso 4. ¿Cuál de las siguientes agrupaciones define un conjunto? Si define un conjunto, identifique si es vacío, unitario, finito o infinito. a) Los números con más suerte en la lotería b) Los números pares mayores que tres c) Los libros más interesantes de matemáticas d) Un número primo par.
  • 12. Solución: a. Finito; tiene inicio y fin b. Infinito; tiene inicio, pero no fin c. Finito d. Unitario, es el 2 5. Sea el conjunto Re= {1, 2, 3, 4, 5}. Entonces es verdad que: a) ∃ x (x + 3 < 1) d) ∃ x (x + 3 < 5) b) ∀x (x + 3 < 5) e) ∀x (x2 − 4x + 3 = 0) c) ∀x (x > 1) Solución: a. Falso; no hay elementos b. Falso; 2, 3, 4, 5 no cumplen la condición c. Falso; 1 no cumple con la condición d. Verdadero e. Falso; 2, 4, 5 no cumplen la condición 6. Sea Re = {x/x es ser humano}. Traduzca al lenguaje común las siguientes proposiciones. a) ∀x [(x es vegetariano) ∧ (x come zanahorias)] b) ∃x [(x es vegetariano) ∨ (x come zanahorias)] c) ∀x [(x es vegetariano) ∧ ¬ (x come zanahorias)] Solución:
  • 13. a. Todo vegetariano, come zanahoria b. Algunos vegetarianos, comen zanahorias c. No todo vegetariano come zanahorias 7. Determine el conjunto potencia de los siguientes conjuntos dados. a) A={1, 2, 3, 4} b) B=,□, ○, ∆- c) C={∅, {∅}} Solución: a. A= {1, 2, 3, 4} P (A) = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, A, ∅} NP (A) = 24 = 2x2x2x2 = 16 b. B= ,□, ○, ∆- P (B)= ,,□-, ,○-, ,∆-, ,□, ○-, ,□, ∆-, ,○, ∆-, B, ∅} NP (B)= 23= 2x2x2= 8 c. C= {∅, {∅}} P(C)= {{∅}, {{∅}}, C, ∅} NP (C)= 22= 2x2= 4 8. Sea A = {a, {b}}. Entonces es verdad que: a) ∅ ∈ A b) a ⊆ A c) {{b }} ∈ A d) N (P(P(A))) = 8 e) {{b }} ∈P(A) Solución:
  • 14. A = {a, {b}} a. {∅} ⊆ A; Falso b. a ∈ A; Falso c. {b} ∈ A; Falso d. N (P (P(A)))= 16; Falso e. {{b}} ∈ P (A); Verdadero 9. Sean A y B dos conjuntos no vacíos, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (A ⊆ B) ↔ ∀x [(x ∈A) → (x ∈B)] b) (A ⊆ B) → [(A ⊆ B) ∧ ¬(B ⊆ A)] c) (A ⊂ B) → [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)] d) (x ∈∅) → (x ∉A) e) (x ∈∅) → (x ∈A) f) (A ⊆ B) ↔ [∀x [(x ∈ A) → (x ∈ B)] g) (A = B) → *(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)] Solución: a. A ⊆ B; todo el elemento de A esta en B, Verdadero b. (A ⊆ B) → [(A ⊆ B) ∧ ¬ (B ⊆ A)] 1 ∧ 0 ↳ 0 ↲; Falso c. (A ⊂ B) → [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)] 1 0 0 ↳ 0 ↲ / ↳ 0 ↲; Falso d. (x ∈∅) → (x ∉A)
  • 15. 1 1 ↳ 1 ↲; Verdadero e. (x ∈∅) → (x ∈A) 1 1 ↳ 1 ↲; Verdadero f. (A ⊆ B) ↔ [∀x [(x ∈ A) → (x ∈ B)] ∧ ∃ x [(x ∈ B) → (x ∈ A)] 1 1 1 0 ↳ 1 ↲ ↳ 0 ↲ ↳ 0 ↲; Falso g. (A = B) → *(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)] 1 0 ↳ 0 ↲; Falso 10. Determine el valor de la siguiente proporción: (∀ x ∈ R)(∃ y ∈ R)(x y= 1) (∃ x ∈ R)(∃ y ∈ R)(x y= 1) Solución: 1. Falso ya que si x= 0 no ∃ y que pertenezca a R tal que 0.y=1 2. Verdadero ya que existe un x= 2 ∈ R, y = ½ ∈ R tal que x.y=1 11. Determine el valor de verdad de la siguiente proporción: ∀m ∈ Z +, ∃n ∈ Z, +2n= m Solución:
  • 16. Falso ya que si m = 3 no ∃x n ∈ Z+ tal que 2n=m 12. Simbolizar mediante cuantificadores: a) Existe un número entero mayor a todos los otros. b) Todas las personas aman. c) Hay músicos excelentes y mediocres. d) El producto de dos números reales cualesquiera es siempre nulo. e) Si hay autos nacionales, no habrá importados. f) Algunos aviones navegan y no vuelan. Solución: a) ∃x∈Z/x>∞∃x∈Z/x>∞ b) ∀x:P(x)∀x:P(x) c) ∃x/P(x)∃x/P(x) d) ∀x∈R:2.x=0∀x∈R:2.x=0 e) ∀x:P(x)∀x:P(x) f) ∃x/P(x) 13. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientes: a. (∃ X E A) (X+3=10) b. (∀ XEA) (X+3 <10) Solución:
  • 17. a. Es falso porque ningún número de A es una solución de x+3=10 b. Es verdadero Cualquier número de A cumple que x+3<10 14. Negar las siguientes proposiciones cuantificadas. a. Todos los números naturales son pares. b. Existe un número par que no es múltiplo de 4. Solución: a. Existe por lo menos un número natural que no es par = Negación b. Negación: Todos los números pares son múltiplos de 4 15. Ejercicios de cuantificadores. a. Todas las hormigas son insectos. b. Hay animales carnívoros. Solucion: a. Para toda x, si x es hormiga entonces x es insecto = (∀x) (Hx → Ix) b. Existe al menos un x, tal que x es animal y x es carnívoro = (∃x) (Ax ∧ Cx).
  • 18. 16. Expresar en cálculo de predicado: a. Todos los gatos tienen cola Solución: a. Si x es un gato, entonces x tiene cola Gx ↔ x es un gato Cx ↔ x tiene cola (∀x) Gx → Cx 17. Considerando las funciones proporcionales: P(x, y): x es más rápido que y Q(x, y): y es más alto que x R(x, y): x pesa más de 200 libras Escriba en lenguaje simbólico lo siguiente: 1. P(x, y) = Q(x, y) 2. Q(x, y) = R(x, y) 3. ∀x, ∀y; Q(x, y) = P(x, y) Solución: a. Si x es más rápido que y, entonces y es más alto que x2. b. Para cada x y para cada y se cumple que y es más alto que x, y x es más rápido que y c. Si y es más alto que x, entonces x pesa más de 200 libras 18. Usando cuantificadores, escriba la siguiente proposición: - Existe un número real positivo menor que 7 ¿Cuál es la negación? Solución: - Existe un número real positivo menor que 7 = ∃ x [P(x)]
  • 19. La negación. Todo número real positivo se cumple que es mayor o igual que 7 ∃ x [P(x)] ↔ ∀ x [- P(x)] -P(x): x ≥ 7 19. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}, determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientes. a. (∃x ∈ A) (x+3 =10) b. (∀x ∈ A) (x+3<10) Solución: a. Es falso porque ningún número de A es una solución de x + 3 = 10 b. Es Verdadero. Cualquier número de A cumple que x + 3< 10 20. Considere los siguientes cuantificadores: a. Todos los árboles son plantas b. Algunos árboles dan frutas Solución: a. Para todo x, si x es arbol entonces x es mortal = (∀x)(Ax --> Mx) b. Existe un x, tal que x es arbol y x es fruta = (∃x)(Ax ^ Fx)
  • 20. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Unión de conjuntos Supongamos que tenemos los conjuntos M y N definidos como se muestra en la siguiente figura: Conjuntos M y N. Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a M o a N. A este nuevo conjunto le llamamos unión de M y N, y lo notamos de la siguiente manera: M∪N. En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los conjuntos M y N Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos M y N, debes preguntarte cuáles están en el conjunto M “o” en el conjunto N. El resultado de la operación será el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal U, que cumplan la condición de estar en uno o en otro. Tenemos en este caso: M∪N={a,c,b,g,e,1} Unión de M y N.
  • 21. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos M y N definidos anteriormente. Podemos determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros conjuntos M y N tienen en común. A este nuevo conjunto le llamamos intersección de M y N y lo notamos de la siguiente manera: M∩N Intersección de M y N. Para determinar que elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos M y N te puedes preguntar qué elementos están en M “y” en N. Todos los elementos del conjunto U que cumplan esta condición deberán estar en el conjunto M∩N. En la figura de la arriba podemos ver la intersección de nuestros conjuntos M y N, tenemos que M∩N=,b-
  • 22. DIFERENCIA DE CONJUNTOS. Además de la unión y la intersección podemos realizar la diferencia de conjuntos. En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén en el otro. Por ejemplo, si realizas la operación M menos N, debes seleccionar los elementos de M que no están en N. Representamos la diferencia M menos N así: M N. Observa que en este caso M N={a,c} DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS Diferencia simétrica entre M y N. Que el nombre esta operación no te alarme, también es muy sencilla. En esta ocasión se deben escoger los elementos de M que no están en N, y los elementos de N que no están en M. Puedes ver el resultado de la diferencia simétrica entre M y N en la figura de la izquierda. Representamos la diferencia simétrica a través del símbolo Δ. En el caso de nuestros conjuntos M y N tenemos: M Δ N={a,c,g,1,e} COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO La ultima operación que estudiaremos no es entre dos conjuntos. Decimos que el complemento de M
  • 23. es el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal U, que no pertenecen al conjunto M. Es común usar los símbolos Mc, M¯¯¯¯ o M' para representar el complemento del conjunto M, nosotros usaremos el símbolo Mc. En nuestro caso tenemos Mc={j,f,g,1,e,i,h} y Nc={i,h,j,f,a,c} Ejercicios de Matemáticas: 1) Si A {1, 2, 5,6}, B {2, 3,4} y C {4, 5,7}. Hallar (A-B) ∩ C. (A-B) {1, 5,6} (A-B) ∩ C ,5- a) {5} b) {3} c) {8} d) {6} 2) Del siguiente diagrama 9 7 1 3 6 10 8 A B C
  • 24. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto [(A ∆ C) ∩B] (A ∆ C) ,3,6- B {1, 3, 4,6} (A ∆ C) ∩B ,1,4- a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 3) Hallar [(A ∩ B)-C] υ [C-(A υ B)] A {1, 2, 4,5}, B {2, 3, 5,6} y C {4, 5, 6,7} (A ∩ B) ,2,5- *(A ∩ B)-C] {2} (A υ B) ,1, 2, 3, 4, 5,6- [C-(A υ B)+ ,7- *(A ∩ B)-C+ υ *C-(A υ B)+ {2,7} 4) Dados los conjuntos. Resolver (C - B) υ [(A ∩ C)-B] A {1, 2, 4,5}, B {2, 3, 5,6} y C {4, 5, 6,7} (C - B) {4,7} (A ∩ C) {4,5} (A ∩ C)-B {4} (C - B) υ *(A ∩ C)-B] {4,7} 5) Dados los conjuntos. Resolver [(B- C) υ (C - B)]-A A {1, 2, 4}, B {4,5} y C {2, 4, 6} (B- C) {5} (C – B) {2,6} [(B- C) υ (C - B)] {2, 5,6} [(B- C) υ (C - B)]-A {5,6}
  • 25. 6) Resolver A ,x/x es letra de palabra “teléfono”- B ,x/x es letra de palabra “elefante”- Hallar (A ∩ B) (A ∩ B) {E, l, f, n, t} 7) Del siguiente diagrama. Hallar (P υ R) ∩ Q P {3, 5, 6, 7,9} Q {1, 2, 3, 4, 5, 6,8} R {2, 4,6} (P υ R) ,2, 3,4, 5,6, 7,9- (P υ R) ∩ Q {2, 3, 4, 5,6} 8) Dados los conjuntos. Resolver A - (C - B) A {2,3 4,5.6, 7,8}, B {4, 6,8} y C {2, 4, 6,7} A - (C - B) {3, 4, 5, 6, 7,8} 9) Del siguiente diagrama. Hallar (A-B) υ (B-C) 6 9 8 4 7 2 3 1 5 P Q R C
  • 26. A {1, 2,4}, B {2, 3, 4, 5,6} y C {4, 6,7} (A-B) {1} (B-C) {3, 2,5} (A-B) υ (B-C) {1, 3, 2,5} 10) Dados los conjuntos. Resolver (A υ B) ∆ C A {3,5,7,9}, B {1,2,4,6,8} y C {3,4,7,8,9,10} (A υ B) ,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9- (A υ B) ∆ C {1, 2, 5, 6,10} 11) Dado el conjunto universal y los conjuntos. Hallar (A-B) ᶜ U {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} A {1, 3, 5, 7,9}, B {2, 3,4} (A-B) {1, 5, 7, 9} (A-B) ᶜ {2, 3, 4, 6, 8,10} 12) Dados los conjuntos. A {x ɛ N/x es múltiplo de 5 y 4 < x < 21} B {x ɛ N/x es múltiplo de 4 y 3 < x < 30} 1 2 3 4 5 7 6A B
  • 27. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto (A ∆ B) A ,5, 6, 7, 8,9……..20- -------- A {5, 10, 15,20} B ,4,5, 6, 7, 8,9……..29- -------B {4, 8, 12, 16, 20, 24,28} (A ∆ B) ,4, 5,8, 10, 12,15, 16, 24,28- a) 8 b) 10 c)9 d)7 13) Dados los conjuntos. Hallar (B υ C) ∩ A A {x ɛ N/x es digito 2 ≤ x ≤ 6- B {x ɛ N/x² = 16} C {x ɛ N/x-3 = 5} A {2, 3, 4, 5,6} B {4} C {8} (B υ C) ,4,8- (B υ C) ∩ A {8} 14) Sea Re {*!, #, $,%,?} y dados los conjuntos .Hallar (A-C) υ B A {* , !, #} B {! , $,%} C {! , %,?} (A-C) {* , #} (A-C) υ B {*, #, $, %} 15) Si B {0, 1, Ø}, entonces {0} ɛ B a) Verdadero b) Falso 16) Dados los conjuntos. Calcular B-[(C ∩ B) υ A] A {2, 3,5}, B {1, 5,8} y C {1,4} (C ∩ B) ,4- (C ∩ B) υ A ,2, 3, 4,5- B-[(C ∩ B) υ A+ {1,8}
  • 28. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento. UNIÓN ENTRE CONJUNTOS: Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B estará formado por todos los elementos de A y con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa paraindicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Ejercicios: 1) Consideremos los siguientes conjuntos: A= {1,3,5,7} B={1,2,3,4,5} determinar su unión: A B 4 7 1 3 5 2 A U B ={1,2,3,4,5,7} 2) Buscar la unión de A y B A = {1, 2, 4, 6} Y= B {4, a, b, c, d, f}
  • 29. A B a) A U B= {4, 6, a, b, c, d, f} b) A U B= {1, 2, 6} c) A U B= {a, b, c, d, f} d) A U B= {1, 2, 4} e) A U B= {1, 2, 4, 6, a, b, c, d, f} 3) Sean: A = { a, b, c } B = { c, d, e, f} Determinar la unión: A B A U B = { a,b,c,d,f } a b c d e f
  • 30. 4) La unión de dos conjuntos A y B lo que se denota por: A B = { x/x A ó x B } nos queda: A={ 1, 3, 5, 7, 9 } B={ 10, 11, 12 } a) ) A U B ={ 7, 9, 10, 11, 12 } b) ) A U B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 } c) ) A U B ={ 10, 11, 12 } d) ) A U B ={ 1, 3, 5, 7, 9} e) ) A U B ={7, 9, 10, 11} INTERSECCIÓN ENTRE CONUNTOS: Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩ Ejercicios: 5) Dado los conjuntos G = { a, b, c, d, e, f, g, h } H = { a,e,i,o,u }, G ∩ H es: G H G ∩ H = { a,e } i o u b c d f g h a e
  • 31. 6) Dados los conjuntos, la intersección y grafica: A = {c; r; i; s; t; o } y B = { a; m; i; g; o } A ∩ B ={ i;o} 7) Si se tiene los conjuntos: A = { c; a; l; o; r } y B = {m; e; s }, halla A ∩ B. A ∩ B = ∅ 8) Sea S = {a, b,c,d} y T= { f,b,d,g} . Entonces S ∩ T es: a) S ∩ T = { a,b,c,d } b) S ∩ T = { b,c } c) S ∩ T = { c,d,f,g }
  • 32. d) S ∩ T = { b,d } e) S ∩ T = { a,b,c,d,f,g } DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: - Ejercicios: 9) Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será: A-B={1,2,3,4,5} 10) Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será:
  • 33. a) B-A={6,7,9} b) B-A={6,7,8,9} c) B-A={5,6,7,8,9} d) B-A={4,6,7,8,9} e) B-A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} 11) si A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e, i, o }, entonces la diferencia de dichos conjuntos estará formada por: A – B = { b, c, d } 12) Encuentra B - A Sea A = {1 naranja, 1 piña, 1 plátano, 1 manzana} Sea B = {1 naranja, 1 albaricoque, 1 piña, 1 plátano, 1 mango, 1 manzana} a) B - A = {1 albaricoque, 1 mango,1 piña} b) B - A = {1 naranja, 1 mango, 1 plátano} c) B - A = {1 albaricoque, 1 mango} d) B - A = {1manzana, 1 piña, 1 naranja, 1 albaricoque, 1 mango} e) B - A = {1 mango, 1 naranja, 1 manzana} DIFERENCIA SIMÉTRICA ENTRE CONJUNTOS: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: ∆
  • 34. Ejercicios: 13) Dados dos conjuntos: A={1,2,3,4,5} B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será: A∆B={1,2,3,6,7,8,9} 14) Dados los siguientes conjuntos: A= {4,6,8,10} B= {4,8,12,16,20} Hallar A ∆ B: A ∆ B: {6,10,12,16,20} 15)Dados los conjunto A y B, graficar y encontrar su diferencia simétrica: A={a, b, c, d, e} B={d, e, f, g}
  • 35. a) A Δ B = {a, b, c, f, g} b) A Δ B = {a, b, c} c) A Δ B = {a, b, c, d , e} d) A Δ B = {a, b, c, f, g} e) A Δ B = { d, e, f, g} 16) Sean dos conjuntos A y B Sea A definido así: A = {j, u, g, o, d, e} Sea B definido así: B = {m, a, n, g, o} - La DIFERENCIA SIMÉTRICA posible se representa: a) A Δ B = {j, u, d, e, m } b) A Δ B = {j, u, d, e, m, a, n} c) A Δ B = {j, u, o, e, d, a, n} d) A Δ B = {o, u, d, e, m,} e) A Δ B = {j, a, n, o, e} COMPLEMENTACION DE CONJUNTOS: Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe
  • 36. sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento. Ejercicios: 17) Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={3,4,5,6,7,8}, el conjunto A' estará formado por: A'={1,2,9} 18) Dado los siguientes conjuntos: A = {1; 3; 5; 7} U = {1; 3; 5; 7; 9; 11} Halla: A' a)A'={1,3,5,7} b)A'={1,3}
  • 37. c)A'={5,7,9,11} d)A'={1,5,11} e) A'={9,11} 19) Dado los 3 conjuntos: U= {1,3,5,7,9,11} A= {3,5,7} B= {5,7,9} Hallar: B’ a) B’ = {3,11} b) B’ = {1,3,5,7,11} c) B’ = {1,3,11} d) B’ = {7,9,11} e) B’ = {3,5,9,11} 20) Si el conjunto universal es U = { a, b, c, d, e } y A = { b, c, d }, entonces el complementario de A respecto de U está formado por: a)A’= {e,b,c,d} b)A’= {b,d,c} c)A’= {a,e,b,d} d)A’= {a,e} e)A’= {a,e,b,d,c}
  • 38. CONJUNTOS 1.- Dodo el conjunto A= {a, {a}, ø} indicar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas: a. {a} € A d. ø € A b. El conjunto ø € A e. ø = { ø } c. {a, {a}} € A Determinar por extensión los siguientes conjuntos. 2.- A = {x € N/x -1 < 5} n(A) = 5 A = {0,1,2,3,4} 3.- B = {x € Z/ -2 < x ≤ 3} n(A) = 6 B = {-2,-1,0,1,2,3} Determinar por comprensión los siguientes conjuntos. 4.- C = {4,6,8,10} A = {x(2)/x € N ^ 2 ≤ x ≤ 5} 5.- D = {3,5,7,9…} D = {x/x € N ^ son impares, ≤ 3 x ∞} 6.- Determine el conjunto potencia de los siguientes conjuntos dados. a) A={1, 2, 3, 4} b) B={ , , } c) C={∅, {∅}} P(A) = = = 16 P(B) = = 8 P(C) = = 4
  • 39. Identificar cuál de los siguientes conjuntos son: unitarios, vacíos, finitos o infinitos. 7.- A = {x € N/ +7x+12 = 0} +7x+12 = 0 (x+4)(x+3) = 0 x = -4 x = -3 A = { } es un conjunto vacío. 8.- B = {2x - 1/ x € Z, 1 < x < 2} B = { } es un conjunto vacío. 9.- C = {x € (R - {0}/ -x = } Es un conjunto infinito. 10.- D = {x € R/ } D = {2, {1, 5}} Es un conjunto finito. 11.- Sean A, B, C conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente diagrama de Venn. A B C Re
  • 40. La región sombreada corresponde a: a) (A ∩ B) − C d) (A − B) ∩ C b) (A ∩ B) – A e) (B − A) ∪ C c) (A ∪ B) – C 12.- Sean A, B y C conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente diagrama de Venn: La región sombreada corresponde a: a) AC ∪ (B ∩ C) d) A − (B ∪ C) b) B − (A ∪ C) c) A ∩ (B U C) e) B ∩ (A ∪ C) 13.- Sea el conjunto referencial Re y los conjuntos no vacíos A, B y C definidos así: Re AB C
  • 41. Re = {*, !, #, $, %, &, ?} A = {*, !, #, $} B = {!, %, &, ?} C = {%, &, ?} Entonces el conjunto [(A − B)C ∪ C]C es: a) Re b) ∅ c) {%, &, ?} d) {!} e) A – B [(A − B)C ∪ C]C A – B = {*, #, $} (A − B)C = {!, %, &, ?} (A − B)C ∪ C = {!, %, &, ?} [(A − B)C ∪ C]C = {*, #, $} 14.- Dados los conjuntos no vacíos A, B y C, entonces la región sombreada del gráfico adjunto corresponde a: a) (A − B) ∩ (C ∩ B) b) (A ∩ B ∩ C)C C A c) [(C − A) ∩ B] ∪ (A − B) d) (CC ∩ A) − B e) [(A − C) ∩ (B − C)] ∪ (B ∩ C) *, $ ! Re A B C BRe
  • 42. 15.- Escriba una expresión con operaciones entre conjuntos que represente la región sombreada del siguiente diagrama de Venn: (A – B) U (B ∩ C) 16.- Si (A ⊆ B), entonces (A ∪ B) = B. a) Verdadero b) Falso A = {1, 2, 3} B = {1, 2} (A U B) ≠ B 17.- Dado un conjunto A, los elementos de P(A) son subconjuntos del conjunto A. a) Verdadero b) Falso A = {1, 2, 3} P(A) = = 8 Re A C B 1, 2, 3 1, 2 Re A B
  • 43. 18.- Sea Re un conjunto referencial, A y B subconjuntos de Re. Entonces: [A ∩ (B ∪ A)] ∩ AC = Re a) Verdadero b) Falso [A ∩ (B ∪ A)] ∩ AC = Re Absorción A ∩AC = Re Complemento ∅ = Re 19.- Si A y B son conjuntos, tales que A ∪ B = ∅, entonces (A = ∅) ∧ (B = ∅). a) Verdadero b) Falso A = ∅ B = ∅ A U B = ∅ 20.- Para los conjuntos A, B, C, no vacíos, se cumple que: a) Verdadero b) Falso [(A ∩ B) U (A ∩ BC)] = A Asociativa [(A ∩ B) U A] ∩[(A ∩ B) U BC] = A Distributiva [A ∩(BC U A)] = A Absorción A = A Re A B
  • 44. CONCLUSIONES Coincidimos en que este proyecto nos ha ayudado a perfeccionar nuestras habilidades matemáticas en este tema como son conjuntos abarcando todos los subtemas a este, incluyendo también el desarrollo de nuestras capacidades de reflexión. Los proyectos de Aula implican un cambio importante e innovador en la forma de abordar la enseñanza, con el fin de que puedan ser aplicadas en cualquier entorno educativo, que lo requiera como ayuda a la educación y superación personal y profesional. Nos ayudara a todos en nuestro aprendizaje, también servirá de refuerzo a los estudiantes de los semestres venideros. Mediante este proyecto facilitamos la manera de solucionar ciertos problemas que se presentan en el ciclo de educación del estudiante en su formación profesional. Todos los temas son importantes y aplicables en nuestra vida diaria, y el buen conocimiento de estos nos facilitan los diversos problemas que constantemente resolvemos en nuestro día a día. Añadimos que así como nos ayuda en nuestra vida diaria, también lo hará en nuestra vida futura como profesionales (en nuestra empresa o negocio). Este proyecto se lo realiza debido a los grandes cambios culturales como lo es la tecnología en nuestra vida cotidiana. Uno de los aspectos que ha transformado más profundamente nuestra vida es la facilidad de comunicación y acceso a la información ya que mediante las redes sociales podemos buscar solución a nuestros problemas matemáticos más confusos. Estos métodos de estudios sirven como medio con el cual se favorecen el trabajo autónomo, tanto individual como en grupo.