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1. El vector de posición de una partícula viene dado por ࢘ሬԦሺ࢚ሻ = ૛࢚૛
ଙԦ − ࢚૜
ଚԦ			࢓. Halla:
a. La ecuación de la trayectoria, ࢟ሺ࢞ሻ.
b. La rapidez con la que se mueve para ࢚ = ૚	࢙.
c. ࢇሬሬԦሺ࢚ሻ para ࢚ = ૚	࢙.
d. ࢇሬሬԦ࢚ሺ࢚ሻ y ࢇሬሬԦࢉ࢖ሺ࢚ሻ para ࢚ = ૚	࢙.
e. El radio de curvatura para ࢚ = ૚	࢙.
a. La ecuación de la trayectoria se haya despejando ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ y sustituyendo esta expresión
en ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ. Es decir:
‫ݎ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ = ൜
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 2‫ݐ‬ଶ
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = −‫ݐ‬ଷൠ ⇒ ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ට
‫ݔ‬
2
⇒ ‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݕ‬ሾ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻሿ = − ቆට
‫ݔ‬
2
ቇ
ଷ
= −
‫ݔ‬
ଷ
ଶ
2√2
b. La rapidez de una partícula viene dada por el módulo de su velocidad, |‫ݒ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ|. Puesto
que
‫ݒ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ݎ‬Ԧሶ =
݀‫ݎ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݐ‬
=
݀ሺ2‫ݐ‬ଶ
ଓԦ− ‫ݐ‬ଷ
ଔԦ			ሻ
݀‫ݐ‬
= 4‫ݐ‬ଓԦ − 3‫ݐ‬ଶ
ଔԦ								݉/‫ݏ‬
Por tanto,
|‫ݒ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ| = ඥ16‫ݐ‬ଶ + 9‫ݐ‬ସ ⇒	|‫ݒ‬Ԧሺ1‫ݏ‬ሻ| = 5	݉/‫ݏ‬
c. El vector aceleración es la derivada de la velocidad, es decir:
ܽԦሺ‫ݐ‬ሻ =
݀‫ݒ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݐ‬
=
݀ଶ
‫ݎ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݐ‬ଶ
= ሺ4ଓԦ − 6‫ݐ‬ଔԦሻ
݉
‫ݏ‬ଶ
⇒ ܽԦሺ1‫ݏ‬ሻ = ሺ4ଓԦ − 6ଔԦሻ
݉
‫ݏ‬ଶ
d. La aceleración tangencial es la derivada respecto del tiempo del módulo de la
aceleración, es decir:
|ܽԦ௧ሺ‫ݐ‬ሻ| =
݀|‫ݒ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ|
݀‫ݐ‬
=
16‫ݐ‬ + 18‫ݐ‬ଷ
√16‫ݐ‬ଶ + 9‫ݐ‬ସ
=
16 + 18‫ݐ‬ଶ
√16 + 9‫ݐ‬ଶ
						݉/‫ݏ‬ଶ
⇒ ܽԦ௧ሺ1‫ݏ‬ሻ =
34
5
݉/‫ݏ‬ଶ
‫ݑ‬ሬԦ௧
Por lo tanto, como
|ܽԦ|ଶ
= |ܽԦ௧|ଶ
+ หܽԦ௖௣ห
ଶ
⇒ หܽԦ௖௣ห
ଶ
= |ܽԦ|ଶ
− |ܽԦ௧|ଶ
⇒ หܽԦ௖௣ሺ1‫ݏ‬ሻห = ඨ52 −
34ଶ
5ଶ
݉
‫ݏ‬ଶ
⇒
⇒ ܽԦ௖௣ = −
12
5
‫ݑ‬ሬԦ௡݉
‫ݏ‬ଶ
= −2,4	݉/‫ݏ‬ଶ
‫ݑ‬ሬԦ௡	
e. El radio de curvatura, para terminar, viene dado por:
หܽԦ௖௣ห =
‫ݒ‬ଶ
ܴ
⇒ ܴ =
‫ݒ‬ଶ
หܽԦ௖௣ห
=
125
12
݉ = 10,4	݉
2. Un besugo se dispone a cruzar una corriente marina que discurre con una
velocidad de 2 m/s. Si es capaz de nadar con una rapidez de 3 m/s, ¿con qué
ángulo deberá nadar si quiere acabar justo enfrente de donde empezó?. Haz un
dibujo.
Si ‫ݒ‬Ԧ௕ es la velocidad inicial que puede
alcanzar del besugo, y ‫ݒ‬Ԧ௖ es la velocidad
de la corriente, la suma de estos dos
vectores dará la velocidad final que
obtendrá dicho pez, cumpliéndose el
esquema del dibujo. Por lo tanto,
sin ߙ =
|‫ݒ‬Ԧ௖|
|‫ݒ‬Ԧ௕|
⇒ ߙ = arcsin ቆ
|‫ݒ‬Ԧ௖|
|‫ݒ‬Ԧ௕|
ቇ =
= 41,8௢
El ángulo con que el besugo debe atravesar la corriente respecto a la vertical (en el
dibujo) es de 41,8o
.
3. La siguiente tabla muestra la posición de un cuerpo que se mueve con
aceleración constante en función del tiempo.
࢞	ሺ࢓ሻ ૙, ૙	 ૙, ૞	 ૛, ૙	 ૝, ૞	 ૡ, ૙	
࢚	ሺ࢙ሻ ૙, ૙	 ૙, ૞	 ૚, ૙	 ૚, ૞	 ૛	
A partir de ella deduce:
a.a.a.a. ࢞ሺ࢚ሻ 	
b.b.b.b. La velocidad media en el intervalo de tiempo considerado. 	
c. La velocidad instantánea para ࢚ = ૚	࢙.
a. Como se mueve con aceleración constante la ecuación que rige su movimiento será:
			‫ݔ‬ = ‫ݔ‬଴ + ‫ݒ‬଴‫ݐ‬ +
1
2
ܽ‫ݐ‬ଶ
De los valores iniciales, ‫ݔ‬ሺ0‫ݏ‬ሻ = 0	݉ obtenemos que ‫ݔ‬଴ = 0. Además, si sustituimos
en la ecuación precedente los valores que nos dan, obtenemos:
2݉ = ‫ݒ‬଴ ൉ 1‫ݏ‬ +
1
2
ܽ ൉ 1‫ݏ‬ଶ
8݉ = ‫ݒ‬଴ ൉ 2‫ݏ‬ +
1
2
ܽ ൉ 4‫ݏ‬ଶ
⇒
4 = 2‫ݒ‬଴ + ܽ				ሺܵ. ‫.ܫ‬ ሻ
4 = ‫ݒ‬଴ + ܽ							ሺܵ. ‫.ܫ‬ ሻ
⇒
‫ݒ‬଴ = 0
ܽ = 4	݉/‫ݏ‬ଶ		
Por lo tanto,
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ =
1
2
ܽ	‫ݐ‬ଶ
= 2
݉
‫ݏ‬ଶ
‫ݐ‬ଶ
b. La velocidad media se calcula como 	
‫ݒ‬௠ =
Δ‫ݔ‬
Δ‫ݐ‬
⇒ ‫ݒ‬௠ =
8݉
2‫ݏ‬
= 4	݉/‫ݏ‬
c. La velocidad instantánea se halla a partir de la derivada temporal de ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ, es decir:
‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ݔ‬ሶሺ‫ݐ‬ሻ = ܽ‫ݐ‬ ⇒ ‫ݒ‬ሺ1‫ݏ‬ሻ = 4
݉
‫ݏ‬ଶ
൉ 1‫ݏ‬ = 4	݉/‫ݏ‬
ߙ
‫ݒ‬Ԧ௕
‫ݒ‬Ԧ௖
‫ݒ‬Ԧ௖+‫ݒ‬Ԧ௕
4. A la entrada del parque nacional de Pendjari, en Benín, hay un pozo que sirve
para saciar la sed de los habitantes de la zona. Al dejar caer una piedra, el
choque de ésta con el agua se escucha 1,8 s después de haberla soltado.
a. ¿Cuál es la profundidad del pozo?
b. Haz un dibujo explicativo del problema donde se muestren todos
los datos relevantes.
Dato: ࢙࢜࢕࢔࢏ࢊ࢕ = ૜૝૙	࢓/࢙.
La ecuación que rige el
recorrido de la piedra viene
dada por:
‫ݕ‬௣ = ‫ݕ‬଴ + ‫ݒ‬଴௣‫ݐ‬ +
1
2
݃‫ݐ‬ଶ
						ሺ1ሻ
donde ‫ݕ‬଴ es la altura inicial de
la piedra, que coincide con la
profundidad del pozo; ‫ݒ‬଴௣ = 0
por tratarse de una caída libre;
‫ݐ‬ el tiempo pasado desde que
se suelta la piedra y ݃ la
aceleración de la gravedad,
݃ = −9,8݉/‫ݏ‬ଶ
.
Cuando la piedra choque contra el agua se dará que ‫ݕ‬௣ሺ‫ݐ‬ሻ = 0, y, por tanto:
0 = ‫ݕ‬଴ +
1
2
݃‫ݐ‬ଶ
						ሺ2ሻ
Por otro lado, para el sonido que sube a velocidad constante tenemos que:
‫ݕ‬௦ = ‫ݒ‬௦‫ݐ‬ᇱ
							ሺ3ሻ
donde ‫ݒ‬௦ = ‫ݒ‬௦௢௡௜ௗ௢ = 340	݉/‫ݏ‬ y ‫′ݐ‬ el tiempo transcurrido desde que la piedra choca
contra el agua. Cuando el sonido nos llegue, entonces
‫ݕ‬௦ = ‫ݕ‬଴ = ‫ݒ‬௦‫ݐ‬ᇱ
					ሺ4ሻ
El enunciado del problema nos dice que entre que baja la piedra y nos llega el sonido
pasan 1,8	‫,ݏ‬ por lo tanto, tenemos nuestra tercera ecuación:
‫ݐ‬ + ‫ݐ‬ᇱ
= 1,8	‫ݏ‬ ⇒ ‫ݐ‬ᇱ
= 1,8‫ݏ‬ − ‫					ݐ‬ሺ5ሻ
Sustituyendo la ecuación (5) en (4) y ésta en (3), llegamos a:
1
2
݃‫ݐ‬ଶ
+ ‫ݒ‬௦ሺ1,8‫ݏ‬ − ‫ݐ‬ሻ = 0 ⇒
1
2
݃‫ݐ‬ଶ
− ‫ݒ‬௦‫ݐ‬ + 1,8‫ݏ‬ ൉ ‫ݒ‬௦ = 0 ⇒
⇒ −4,9
݉
‫ݏ‬ଶ
‫ݐ‬ଶ
− 340
݉
‫ݏ‬
‫ݐ‬ + 612݉			ሺ6ሻ
Si resolvemos la ecuación de segundo grado, obtenemos:
‫ݐ‬ =
340݉/‫ݏ‬ േ ඥ340ଶ݉ଶ/‫ݏ‬ଶ + 4 ൉ 4,9 ൉ 612݉ଶ/‫ݏ‬ଶ
−9,8	݉/‫ݏ‬ଶ
⇒
‫ݐ‬ଵ ൎ 1,7556	‫ݏ‬
‫ݐ‬ଶ ൎ −35,5	‫ݏ‬
Sustituyendo 1,8	‫ݏ‬ − ‫ݐ‬ଵ en la ecuación (4) obtenemos que la profundidad del pozo es
de ૚૞, ૚	࢓
¡ ݈ܲܽ‫!ݏ‬
‫ݕ‬ = ‫ݕ‬଴
‫ݕ‬ = 0
‫ݒ‬௦ = ܿ‫݁ݐ‬
‫ݐ‬
‫′ݐ‬ ‫ݐ‬ + ‫ݐ‬ᇱ
= 1,8	‫ݏ‬
5. Viajando en un coche a ૞૝, ૙	࢑࢓/ࢎ, bajo un aguacero y en ausencia de viento,
Juan observa que las gotas de lluvia dejan una traza en las ventanillas laterales
que forma 60º con la vertical. ¿Cuál es la velocidad de caída de las gotas de
agua? (1,25 p.). Haz un dibujo
En el esquema adjunto ߙ = 60௢
.La velocidad observada es la suma
de la velocidad de caída de la gota (‫ݒ‬Ԧ௚) y la velocidad de las gotas
respecto del coche (‫ݒ‬Ԧ௖). Por lo tanto, tenemos que:
tan ߙ =
‫ݒ‬௖
‫ݒ‬௚
Y
‫ݒ‬௚ =
‫ݒ‬௖
tan ߙ
= 31,2	݇݉/݄
Las gotas de lluvia caen con una velocidad de 31,2 km/h.
6. Un móvil empieza a desplazarse a 5 m del origen con una aceleración
ࢇሺ࢚ሻ = ૛࢓/࢙૛
	− ࢈࢚
donde ࢈ = ૟࢓/࢙૜
	.
a. Halla la ecuación de la velocidad del móvil en función del tiempo.
b. Halla la ecuación de su posición.
a. Lo que se nos pide es que integremos las ecuaciones de la velocidad. Como
estamos en una dimensión, tenemos que:
ܽሺ‫ݐ‬ሻ =
݀‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݐ‬
⇒ ݀‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ܽሺ‫ݐ‬ሻ݀‫ݐ‬ = ቀ2
݉
‫ݏ‬ଶ
− ܾ‫ݐ‬ቁ ݀‫ݐ‬
Integrando a ambos lados, obtenemos:
න ݀‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = න ቀ2
݉
‫ݏ‬ଶ
− ܾ‫ݐ‬ቁ ݀‫ݐ‬ ⇒ ‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 2
݉
‫ݏ‬ଶ
‫ݐ‬ −
ܾ‫ݐ‬ଶ
2
+ ‫ܥ‬
Como el móvil empieza a desplazarse en ese instante, tenemos que ‫ݒ‬ሺ0ሻ = 0 y, por lo
tanto, ‫ܥ‬ = 0. Es decir, la ecuación de la velocidad del móvil en función del tiempo es:
‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 2݉/‫ݏ‬ଶ
൉ ‫ݐ‬ − 3݉/‫ݏ‬ଷ
൉ ‫ݐ‬ଶ
b. Para hallar la ecuación de la posición en función del tiempo, ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ, tenemos que
volver a integrar, puesto que ‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ݔ‬ሶሺ‫ݐ‬ሻ debemos hacer
‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ =
݀‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݐ‬
⇒ ݀‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ݀‫ݐ‬ = ሺ2݉/‫ݏ‬ଶ
൉ ‫ݐ‬ − 3݉/‫ݏ‬ଷ
൉ ‫ݐ‬ଶሻ݀‫ݐ‬ ⇒
⇒ න ݀‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = නሺ2݉/‫ݏ‬ଶ
൉ ‫ݐ‬ − 3݉/‫ݏ‬ଷ
൉ ‫ݐ‬ଶሻ݀‫ݐ‬ ⇒ ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 1݉/‫ݏ‬ଶ
൉ ‫ݐ‬ଶ
− 1݉/‫ݏ‬ଷ
൉ ‫ݐ‬ଷ
+ ‫′ܥ‬
Como en el instante inicial se encuentra a 5 m del origen,
‫ݔ‬ሺ0ሻ = 5	݉ ⇒ ‫′ܥ‬ = 5	݉
Es decir, la ecuación de la posición de la partícula en función del tiempo nos queda:
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 5݉ + 1݉/‫ݏ‬ଶ
൉ ‫ݐ‬ଶ
− 1݉/‫ݏ‬ଷ
൉ ‫ݐ‬ଷ
7. Un estudiante de Física (suicida y algo idiota), decidido a comprobar por sí
mismo las leyes de la gravedad, se arroja cronómetro en mano desde un
rascacielos de 300 m e inicia su caída libre. Cinco segundos más tarde, aparece
en escena Superman®
y se lanza desde la azotea en busca del suicida.
a) ¿Cuál es la velocidad inicial mínima del superhéroe para que pueda
salvar al suicida?
b) ¿Cuál ha de ser la altura del rascacielos para que ni Superman
pueda salvarlo?
NOTA: Superman está sujeto a la aceleración de la gravedad; lo único que puede
hacer es lanzarse con cierta velocidad inicial.
El último instante que tiene para recoger en el aire al avezado estudiante de
física es justo antes de cuando éste golpee el suelo. Las ecuaciones que
gobernarán dicha caída son
ሺ1ሻ			‫ݕ‬ = ‫ݕ‬଴ + ‫ݒ‬଴‫ݐ‬ +
1
2
݃‫ݐ‬ଶ
Si igualamos a cero la ecuación (1), como la velocidad inicial del estudiante es
‫ݒ‬଴ா = 0, obtenemos:
‫ݐ‬௖௛ = ඨ−
2‫ݕ‬଴
݃ൗ
Como Superman empieza a caer 5 segundos más tarde, el tiempo que tiene
para salvarlo será ‫ݐ‬ᇱ
= ‫ݐ‬௖௛ − 5‫.ݏ‬ Por lo tanto, necesitará una velocidad tal que
le permita recorrer los 300 m de altura en ese tiempo.
Igualando nuevamente la Ec. (1) a cero y despejando la velocidad inicial del
superhombre, ‫ݒ‬଴ௌ, obtenemos:
‫ݒ‬଴ௌ = − ൤
‫ݕ‬଴
‫ݐ‬
+
1
2
݃ሺ‫ݐ‬௖௛ − 5‫ݏ‬ሻ൨ = −92,4	݉/‫ݏ‬
La altura mínima del edificio coincidirá con la altura que caerá el pobre (y
estúpido) estudiante antes de que el superhombre le pueda coger. Es decir,
utilizando la Ec. (1) tenemos que el espacio recorrido en 5 s es:
∆‫ݕ‬ =
1
2
݃‫ݐ‬ଶ
= −122,5	݉
Por lo tanto, la altura del edificio a partir de la cual el superhombre pueda
salvar al estudiante (aunque se tenga que mover a la velocidad de la luz para
ello) es de 122,5	݉.
(A la velocidad de la luz, “c”, el tiempo que tardaría Supermán en recorrer los
300	݉ sería de una millonésima de segundo, 10-6
s).

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Ejercicios resueltos de cinemática

  • 1. 1. El vector de posición de una partícula viene dado por ࢘ሬԦሺ࢚ሻ = ૛࢚૛ ଙԦ − ࢚૜ ଚԦ ࢓. Halla: a. La ecuación de la trayectoria, ࢟ሺ࢞ሻ. b. La rapidez con la que se mueve para ࢚ = ૚ ࢙. c. ࢇሬሬԦሺ࢚ሻ para ࢚ = ૚ ࢙. d. ࢇሬሬԦ࢚ሺ࢚ሻ y ࢇሬሬԦࢉ࢖ሺ࢚ሻ para ࢚ = ૚ ࢙. e. El radio de curvatura para ࢚ = ૚ ࢙. a. La ecuación de la trayectoria se haya despejando ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ y sustituyendo esta expresión en ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ. Es decir: ‫ݎ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ = ൜ ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 2‫ݐ‬ଶ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = −‫ݐ‬ଷൠ ⇒ ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ට ‫ݔ‬ 2 ⇒ ‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݕ‬ሾ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻሿ = − ቆට ‫ݔ‬ 2 ቇ ଷ = − ‫ݔ‬ ଷ ଶ 2√2 b. La rapidez de una partícula viene dada por el módulo de su velocidad, |‫ݒ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ|. Puesto que ‫ݒ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ݎ‬Ԧሶ = ݀‫ݎ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ ݀‫ݐ‬ = ݀ሺ2‫ݐ‬ଶ ଓԦ− ‫ݐ‬ଷ ଔԦ ሻ ݀‫ݐ‬ = 4‫ݐ‬ଓԦ − 3‫ݐ‬ଶ ଔԦ ݉/‫ݏ‬ Por tanto, |‫ݒ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ| = ඥ16‫ݐ‬ଶ + 9‫ݐ‬ସ ⇒ |‫ݒ‬Ԧሺ1‫ݏ‬ሻ| = 5 ݉/‫ݏ‬ c. El vector aceleración es la derivada de la velocidad, es decir: ܽԦሺ‫ݐ‬ሻ = ݀‫ݒ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ ݀‫ݐ‬ = ݀ଶ ‫ݎ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ ݀‫ݐ‬ଶ = ሺ4ଓԦ − 6‫ݐ‬ଔԦሻ ݉ ‫ݏ‬ଶ ⇒ ܽԦሺ1‫ݏ‬ሻ = ሺ4ଓԦ − 6ଔԦሻ ݉ ‫ݏ‬ଶ d. La aceleración tangencial es la derivada respecto del tiempo del módulo de la aceleración, es decir: |ܽԦ௧ሺ‫ݐ‬ሻ| = ݀|‫ݒ‬Ԧሺ‫ݐ‬ሻ| ݀‫ݐ‬ = 16‫ݐ‬ + 18‫ݐ‬ଷ √16‫ݐ‬ଶ + 9‫ݐ‬ସ = 16 + 18‫ݐ‬ଶ √16 + 9‫ݐ‬ଶ ݉/‫ݏ‬ଶ ⇒ ܽԦ௧ሺ1‫ݏ‬ሻ = 34 5 ݉/‫ݏ‬ଶ ‫ݑ‬ሬԦ௧ Por lo tanto, como |ܽԦ|ଶ = |ܽԦ௧|ଶ + หܽԦ௖௣ห ଶ ⇒ หܽԦ௖௣ห ଶ = |ܽԦ|ଶ − |ܽԦ௧|ଶ ⇒ หܽԦ௖௣ሺ1‫ݏ‬ሻห = ඨ52 − 34ଶ 5ଶ ݉ ‫ݏ‬ଶ ⇒ ⇒ ܽԦ௖௣ = − 12 5 ‫ݑ‬ሬԦ௡݉ ‫ݏ‬ଶ = −2,4 ݉/‫ݏ‬ଶ ‫ݑ‬ሬԦ௡ e. El radio de curvatura, para terminar, viene dado por: หܽԦ௖௣ห = ‫ݒ‬ଶ ܴ ⇒ ܴ = ‫ݒ‬ଶ หܽԦ௖௣ห = 125 12 ݉ = 10,4 ݉
  • 2. 2. Un besugo se dispone a cruzar una corriente marina que discurre con una velocidad de 2 m/s. Si es capaz de nadar con una rapidez de 3 m/s, ¿con qué ángulo deberá nadar si quiere acabar justo enfrente de donde empezó?. Haz un dibujo. Si ‫ݒ‬Ԧ௕ es la velocidad inicial que puede alcanzar del besugo, y ‫ݒ‬Ԧ௖ es la velocidad de la corriente, la suma de estos dos vectores dará la velocidad final que obtendrá dicho pez, cumpliéndose el esquema del dibujo. Por lo tanto, sin ߙ = |‫ݒ‬Ԧ௖| |‫ݒ‬Ԧ௕| ⇒ ߙ = arcsin ቆ |‫ݒ‬Ԧ௖| |‫ݒ‬Ԧ௕| ቇ = = 41,8௢ El ángulo con que el besugo debe atravesar la corriente respecto a la vertical (en el dibujo) es de 41,8o . 3. La siguiente tabla muestra la posición de un cuerpo que se mueve con aceleración constante en función del tiempo. ࢞ ሺ࢓ሻ ૙, ૙ ૙, ૞ ૛, ૙ ૝, ૞ ૡ, ૙ ࢚ ሺ࢙ሻ ૙, ૙ ૙, ૞ ૚, ૙ ૚, ૞ ૛ A partir de ella deduce: a.a.a.a. ࢞ሺ࢚ሻ b.b.b.b. La velocidad media en el intervalo de tiempo considerado. c. La velocidad instantánea para ࢚ = ૚ ࢙. a. Como se mueve con aceleración constante la ecuación que rige su movimiento será: ‫ݔ‬ = ‫ݔ‬଴ + ‫ݒ‬଴‫ݐ‬ + 1 2 ܽ‫ݐ‬ଶ De los valores iniciales, ‫ݔ‬ሺ0‫ݏ‬ሻ = 0 ݉ obtenemos que ‫ݔ‬଴ = 0. Además, si sustituimos en la ecuación precedente los valores que nos dan, obtenemos: 2݉ = ‫ݒ‬଴ ൉ 1‫ݏ‬ + 1 2 ܽ ൉ 1‫ݏ‬ଶ 8݉ = ‫ݒ‬଴ ൉ 2‫ݏ‬ + 1 2 ܽ ൉ 4‫ݏ‬ଶ ⇒ 4 = 2‫ݒ‬଴ + ܽ ሺܵ. ‫.ܫ‬ ሻ 4 = ‫ݒ‬଴ + ܽ ሺܵ. ‫.ܫ‬ ሻ ⇒ ‫ݒ‬଴ = 0 ܽ = 4 ݉/‫ݏ‬ଶ Por lo tanto, ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 1 2 ܽ ‫ݐ‬ଶ = 2 ݉ ‫ݏ‬ଶ ‫ݐ‬ଶ b. La velocidad media se calcula como ‫ݒ‬௠ = Δ‫ݔ‬ Δ‫ݐ‬ ⇒ ‫ݒ‬௠ = 8݉ 2‫ݏ‬ = 4 ݉/‫ݏ‬ c. La velocidad instantánea se halla a partir de la derivada temporal de ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ, es decir: ‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ݔ‬ሶሺ‫ݐ‬ሻ = ܽ‫ݐ‬ ⇒ ‫ݒ‬ሺ1‫ݏ‬ሻ = 4 ݉ ‫ݏ‬ଶ ൉ 1‫ݏ‬ = 4 ݉/‫ݏ‬ ߙ ‫ݒ‬Ԧ௕ ‫ݒ‬Ԧ௖ ‫ݒ‬Ԧ௖+‫ݒ‬Ԧ௕
  • 3. 4. A la entrada del parque nacional de Pendjari, en Benín, hay un pozo que sirve para saciar la sed de los habitantes de la zona. Al dejar caer una piedra, el choque de ésta con el agua se escucha 1,8 s después de haberla soltado. a. ¿Cuál es la profundidad del pozo? b. Haz un dibujo explicativo del problema donde se muestren todos los datos relevantes. Dato: ࢙࢜࢕࢔࢏ࢊ࢕ = ૜૝૙ ࢓/࢙. La ecuación que rige el recorrido de la piedra viene dada por: ‫ݕ‬௣ = ‫ݕ‬଴ + ‫ݒ‬଴௣‫ݐ‬ + 1 2 ݃‫ݐ‬ଶ ሺ1ሻ donde ‫ݕ‬଴ es la altura inicial de la piedra, que coincide con la profundidad del pozo; ‫ݒ‬଴௣ = 0 por tratarse de una caída libre; ‫ݐ‬ el tiempo pasado desde que se suelta la piedra y ݃ la aceleración de la gravedad, ݃ = −9,8݉/‫ݏ‬ଶ . Cuando la piedra choque contra el agua se dará que ‫ݕ‬௣ሺ‫ݐ‬ሻ = 0, y, por tanto: 0 = ‫ݕ‬଴ + 1 2 ݃‫ݐ‬ଶ ሺ2ሻ Por otro lado, para el sonido que sube a velocidad constante tenemos que: ‫ݕ‬௦ = ‫ݒ‬௦‫ݐ‬ᇱ ሺ3ሻ donde ‫ݒ‬௦ = ‫ݒ‬௦௢௡௜ௗ௢ = 340 ݉/‫ݏ‬ y ‫′ݐ‬ el tiempo transcurrido desde que la piedra choca contra el agua. Cuando el sonido nos llegue, entonces ‫ݕ‬௦ = ‫ݕ‬଴ = ‫ݒ‬௦‫ݐ‬ᇱ ሺ4ሻ El enunciado del problema nos dice que entre que baja la piedra y nos llega el sonido pasan 1,8 ‫,ݏ‬ por lo tanto, tenemos nuestra tercera ecuación: ‫ݐ‬ + ‫ݐ‬ᇱ = 1,8 ‫ݏ‬ ⇒ ‫ݐ‬ᇱ = 1,8‫ݏ‬ − ‫ ݐ‬ሺ5ሻ Sustituyendo la ecuación (5) en (4) y ésta en (3), llegamos a: 1 2 ݃‫ݐ‬ଶ + ‫ݒ‬௦ሺ1,8‫ݏ‬ − ‫ݐ‬ሻ = 0 ⇒ 1 2 ݃‫ݐ‬ଶ − ‫ݒ‬௦‫ݐ‬ + 1,8‫ݏ‬ ൉ ‫ݒ‬௦ = 0 ⇒ ⇒ −4,9 ݉ ‫ݏ‬ଶ ‫ݐ‬ଶ − 340 ݉ ‫ݏ‬ ‫ݐ‬ + 612݉ ሺ6ሻ Si resolvemos la ecuación de segundo grado, obtenemos: ‫ݐ‬ = 340݉/‫ݏ‬ േ ඥ340ଶ݉ଶ/‫ݏ‬ଶ + 4 ൉ 4,9 ൉ 612݉ଶ/‫ݏ‬ଶ −9,8 ݉/‫ݏ‬ଶ ⇒ ‫ݐ‬ଵ ൎ 1,7556 ‫ݏ‬ ‫ݐ‬ଶ ൎ −35,5 ‫ݏ‬ Sustituyendo 1,8 ‫ݏ‬ − ‫ݐ‬ଵ en la ecuación (4) obtenemos que la profundidad del pozo es de ૚૞, ૚ ࢓ ¡ ݈ܲܽ‫!ݏ‬ ‫ݕ‬ = ‫ݕ‬଴ ‫ݕ‬ = 0 ‫ݒ‬௦ = ܿ‫݁ݐ‬ ‫ݐ‬ ‫′ݐ‬ ‫ݐ‬ + ‫ݐ‬ᇱ = 1,8 ‫ݏ‬
  • 4. 5. Viajando en un coche a ૞૝, ૙ ࢑࢓/ࢎ, bajo un aguacero y en ausencia de viento, Juan observa que las gotas de lluvia dejan una traza en las ventanillas laterales que forma 60º con la vertical. ¿Cuál es la velocidad de caída de las gotas de agua? (1,25 p.). Haz un dibujo En el esquema adjunto ߙ = 60௢ .La velocidad observada es la suma de la velocidad de caída de la gota (‫ݒ‬Ԧ௚) y la velocidad de las gotas respecto del coche (‫ݒ‬Ԧ௖). Por lo tanto, tenemos que: tan ߙ = ‫ݒ‬௖ ‫ݒ‬௚ Y ‫ݒ‬௚ = ‫ݒ‬௖ tan ߙ = 31,2 ݇݉/݄ Las gotas de lluvia caen con una velocidad de 31,2 km/h. 6. Un móvil empieza a desplazarse a 5 m del origen con una aceleración ࢇሺ࢚ሻ = ૛࢓/࢙૛ − ࢈࢚ donde ࢈ = ૟࢓/࢙૜ . a. Halla la ecuación de la velocidad del móvil en función del tiempo. b. Halla la ecuación de su posición. a. Lo que se nos pide es que integremos las ecuaciones de la velocidad. Como estamos en una dimensión, tenemos que: ܽሺ‫ݐ‬ሻ = ݀‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ݀‫ݐ‬ ⇒ ݀‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ܽሺ‫ݐ‬ሻ݀‫ݐ‬ = ቀ2 ݉ ‫ݏ‬ଶ − ܾ‫ݐ‬ቁ ݀‫ݐ‬ Integrando a ambos lados, obtenemos: න ݀‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = න ቀ2 ݉ ‫ݏ‬ଶ − ܾ‫ݐ‬ቁ ݀‫ݐ‬ ⇒ ‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 2 ݉ ‫ݏ‬ଶ ‫ݐ‬ − ܾ‫ݐ‬ଶ 2 + ‫ܥ‬ Como el móvil empieza a desplazarse en ese instante, tenemos que ‫ݒ‬ሺ0ሻ = 0 y, por lo tanto, ‫ܥ‬ = 0. Es decir, la ecuación de la velocidad del móvil en función del tiempo es: ‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 2݉/‫ݏ‬ଶ ൉ ‫ݐ‬ − 3݉/‫ݏ‬ଷ ൉ ‫ݐ‬ଶ b. Para hallar la ecuación de la posición en función del tiempo, ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ, tenemos que volver a integrar, puesto que ‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ݔ‬ሶሺ‫ݐ‬ሻ debemos hacer ‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ݀‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ݀‫ݐ‬ ⇒ ݀‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ݀‫ݐ‬ = ሺ2݉/‫ݏ‬ଶ ൉ ‫ݐ‬ − 3݉/‫ݏ‬ଷ ൉ ‫ݐ‬ଶሻ݀‫ݐ‬ ⇒ ⇒ න ݀‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = නሺ2݉/‫ݏ‬ଶ ൉ ‫ݐ‬ − 3݉/‫ݏ‬ଷ ൉ ‫ݐ‬ଶሻ݀‫ݐ‬ ⇒ ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 1݉/‫ݏ‬ଶ ൉ ‫ݐ‬ଶ − 1݉/‫ݏ‬ଷ ൉ ‫ݐ‬ଷ + ‫′ܥ‬ Como en el instante inicial se encuentra a 5 m del origen, ‫ݔ‬ሺ0ሻ = 5 ݉ ⇒ ‫′ܥ‬ = 5 ݉ Es decir, la ecuación de la posición de la partícula en función del tiempo nos queda: ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = 5݉ + 1݉/‫ݏ‬ଶ ൉ ‫ݐ‬ଶ − 1݉/‫ݏ‬ଷ ൉ ‫ݐ‬ଷ
  • 5. 7. Un estudiante de Física (suicida y algo idiota), decidido a comprobar por sí mismo las leyes de la gravedad, se arroja cronómetro en mano desde un rascacielos de 300 m e inicia su caída libre. Cinco segundos más tarde, aparece en escena Superman® y se lanza desde la azotea en busca del suicida. a) ¿Cuál es la velocidad inicial mínima del superhéroe para que pueda salvar al suicida? b) ¿Cuál ha de ser la altura del rascacielos para que ni Superman pueda salvarlo? NOTA: Superman está sujeto a la aceleración de la gravedad; lo único que puede hacer es lanzarse con cierta velocidad inicial. El último instante que tiene para recoger en el aire al avezado estudiante de física es justo antes de cuando éste golpee el suelo. Las ecuaciones que gobernarán dicha caída son ሺ1ሻ ‫ݕ‬ = ‫ݕ‬଴ + ‫ݒ‬଴‫ݐ‬ + 1 2 ݃‫ݐ‬ଶ Si igualamos a cero la ecuación (1), como la velocidad inicial del estudiante es ‫ݒ‬଴ா = 0, obtenemos: ‫ݐ‬௖௛ = ඨ− 2‫ݕ‬଴ ݃ൗ Como Superman empieza a caer 5 segundos más tarde, el tiempo que tiene para salvarlo será ‫ݐ‬ᇱ = ‫ݐ‬௖௛ − 5‫.ݏ‬ Por lo tanto, necesitará una velocidad tal que le permita recorrer los 300 m de altura en ese tiempo. Igualando nuevamente la Ec. (1) a cero y despejando la velocidad inicial del superhombre, ‫ݒ‬଴ௌ, obtenemos: ‫ݒ‬଴ௌ = − ൤ ‫ݕ‬଴ ‫ݐ‬ + 1 2 ݃ሺ‫ݐ‬௖௛ − 5‫ݏ‬ሻ൨ = −92,4 ݉/‫ݏ‬ La altura mínima del edificio coincidirá con la altura que caerá el pobre (y estúpido) estudiante antes de que el superhombre le pueda coger. Es decir, utilizando la Ec. (1) tenemos que el espacio recorrido en 5 s es: ∆‫ݕ‬ = 1 2 ݃‫ݐ‬ଶ = −122,5 ݉ Por lo tanto, la altura del edificio a partir de la cual el superhombre pueda salvar al estudiante (aunque se tenga que mover a la velocidad de la luz para ello) es de 122,5 ݉. (A la velocidad de la luz, “c”, el tiempo que tardaría Supermán en recorrer los 300 ݉ sería de una millonésima de segundo, 10-6 s).