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GENERALIDADES I
El porcentaje
Porcentaje
10% 0.10 50% 0.50
20% 0.20 2% 0.02
5% 0.05 160% 1.60
6% 0.06 400% 4
3% 0.03
% a tanto por 1
Dividido para 100 la cantidad indicada y se elimina el signo de %
Recorremos la como hacia la izquierda 2 y lo suprimimos el %
Tanto por 1 a %
Le multiplica la cantidad de tanto por 1 por la cantidad de 100 y se coloca el signo de %
Le recorre la coma hacia la derecha 2 y se aumenta el %
43/4 % 19/4% 4.75% 0.0475
11/8% 9/8% 1.13% 0.0113
71/2% 15/2% 7.5% 0.075
51/4% 21/4% 5.25% 0.0525
como colocamos el %
Determine el 10 % de 900 Hallar el 19% de 530
900 100% 530 100%
X 10% X 19%
900(10%) 530(19%)
X=------------ x= 90 X=-------------- x= 100.7
100% 100%
Hallar el 14 % de 210 Hallar el 20% de 750
210 100% 750 100%
X 14% X 20%
210(14%) 750(20%)
X=------------ x= X=-------------- x= 150
100% 100%
Que % de 600 es 35 Que % de 480 es 90
600 100% 480 100%
35 x 90 x
35(100%) 90(100%)
X=------------ x= 5.83% X=-------------- x= 18.75%
600 480
De que cantidad es 60 el 17% De que cantidad es 35 el 14%
60 12% 480 14%
x 100% x 100%
60(100%) 480(100%)
X=------------ x= 500 X=-------------- x= 250
12% 14%
De que cantidad es 50 el 19%
50 19%
x 100%
6
50(100%)
X=------------ x= 263.16
19%
Calcule el % de quien estudia pasa y de quien no estudia
Quien estudia pasa
Quien no estudia no pasa
Quien no estudia (pasa)
X=------------------------------- x= no pasa
Quien estudia
U= Pv - Pc
U= Utilidad
Pv= Precio de venta
Pc= Precio de costo
Hallar la utilidad de u pantalón cuyo precio de costo es de $35 y se desea vender con
una utilidad de 20% sobre el precio de costo.
Pv= U= 0.20(35%)
Pc= 35 U= 7
U= 20%
Hallar el precio de venta al que se debe marcar un vestido si se adquiere en 170 y se
desea obtener una utilidad de 40%
Pv=
Pc= 170
U= 0,40Pv = Pv - 170
170= Pv - 0.40 Pv
170= Pv (1 – 0.40)
170
X=-------- Pv= 283,3
0.60
Hallar por qué precio se adquirió una rueda que se vendió en $ 145 con una utilidad
de 15% con el precio de compra exprese la utilidad en precio de venta y el precio de
costo.
Datos
Pv= 145
Pc=
U= 0.15% Pv Pc = Pv – 145
Utilidad en función del Pc
0.15 Pc = 145 - Pc
0.15 Pc + Pc = 145
Pc (1,15)=145
145
Pc=--------- Pc = 126,09
(1.15)
U= 0.15 x 126,09
U= 18.19
126.09 100%
18.19 X X= 15%
Utilidad en función de Pv
145 100%
18.19 x x=13%
Carlos inicia sus actividades comerciales con un valor de $600 ¾ invierte en un local
los 5/2 suministros de equipos de oficina calcular el valor que invierte para comenzar
su negocio.
600 . ¾ . 2/5 =
3600
X =----------- 180 / 100 = 1.8
180
Aplicación del %
Los % se utilizan generalmente para los pagos de una factura.
Hallar valor de una factura de una venta de una cocina cuyo precio de lista es $600
sobre el cual se ofrece un descuento de 9% por la venta al contado
DATOS
Pv= 650 650 100%
d= 9% X 9%
Pf= ? X= 58,5
PF= PV – d PF= Pv(1 – 0.09)
PF= 650 - 58,5 PF= 650 (0.9)
PF= 591.5 PF= 591.5
Un almacén vende refrigeradoras con el precio de lista es $720 y ofrece un descuento
de 17% por la venta al contado hallar el valor de la factura
DATOS
Pv= 720 720 100%
d= 17% X 17%
Pf= ? X= 122.4
PF= PV – d PF= Pv(1 – 0.17)
PF= 720 - 122.4 PF= 720 (0.83)
PF= 597.6 PF= 597.6
Hallar el valor de la factura de una bicicleta cuyo preciode lista es $390y se ofrece un
descuento de 4 ½ % por la compra al contado.
DATOS
Pv= 390
d= 0.045
Pf= ?
PF= Pv(1 – 0.045)
PF= 390(0.955)
PF= 372.45
Hallar el valor de la factura de un electrodoméstico cuyo preciode lista es de $190 y
se aplica un descuento de 3 3/4 % y se cobra un impuesto adicional de 8%.
DATOS
Pv= 190
d= 0.0375
i= 0.08
Pf= ?
PF= Pv(1 – 0.0375) PF = PV ( 1 - d)( 1 + imp)
PF=190(0.9625) PF= 190(1 – 0.9625)(1+0.08)
PF= 182.875 PF= 197.51
Hallar el valor de la factura de un artículo cuyo precio de lista es $790 y se aplica un
descuento de 9 1/4 por la cobra al contado y se cobra el respectiva IVA
PF = PV ( 1 - d)( 1 + imp)
PF= 790(1 – 0.925)(1+0.12)
PF= 802.96
Hallarel preciodeunafacturedeundocumentocuyopreciodelistaes$670 y se aplica
el descuento especial del 10 y 7% respectivamente y con el impuesto de aquí del país
PF = PV ( 1 - d)(1 - d)( 1 + imp)
PF= 670(0.90)(0.93)(1+0.12)
PF= 628.08
CALCULO DE LA (N) Y DE LA (I)
(1+i)19 = 3.379942
I=(3.379942)1/19 – 1
I= 0.0662
I= 6.6197%
(1+i)25 + ¾= (7 - 2/3)2 + 6
(2+i)= (16.33/96)1/25 - 2
I= 199.32%
(1+3/2)n 9 1/3=(5 – 2/3)n
81/16 + 28/3 =(4.33)n
Log 691/48 = n log(4-33)
Log(691/48)
N=------------------ n= 1.82
Log (4.33)
(2+5/8)n = ¾ + 2 (8/9 + 7)2 – 4 + 2/7 + (3*1/3 – 75/4)
(21/8)n = log (116.29)
Log(116.59)
N=------------------ n= 4.93
Log (21/8)
Calculo diferencial
Es la selección de dos términos consecutivos de la progresión aritmética y se resta el
segundo menos el primero.
a1= primer termino
an = ultimo termino
n= número de termino
d= diferencia
sn= suma
Calculo del décimo término
3, 8 , 13, 18, 23
a1= a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 +4d
29T = a1 + 28d
359T = a1 358d
124T = a1 123d
an = a1 + (n - 1)d
Calculo de la suma determinado
s1 = n/2 (a1 - an)
INTERESES
Es lo que el usuario paga por el alquiler del dinero
Es la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en préstamo o la cantidad
producida por la INVERSIÓN del capital.”
Fórmula de interés
Interés i = interés = 15 = 15% = 0,15
Capital 100
Determine la tasa de interés de un capital de 400 que produce un interés de $64
i = 64 i = 0.16%
100
Determine la tasa de interés de un capital de 700 que produce un interés de $95
i = 95 i = 0.1353%
700
Determine la tasa de interés de un capital de 400 que produce un interés de $300
i = 400i = 133.33%
300
INTERÉS SIMPLE
Es la ganancia solo del capital a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el
periodo de transacción comercial.
Formula:
I= C(i)(t)
Ejemplos
TASA DE INTERÉS
Es la razón del interés devengado al capital en la unidad de tiempo. Está dada 0como un
porcentaje o su equivalente; generalmente se toma el año como unidad de tiempo. Se
representa con la letra i.
Ejemplos:
Calcular el interés que gana un capital de 7500 a una tasa de interés del 12% anual
durante 180 días.
Datos
Calculo del interés
C= 7500
I= c(i)(t)
I= 012
I= 7500(0.12)(180/360)
T= 180 días
I= $ 450
Determinar el interés de 850 al 4% durante 6 años
I= c(i)(t)
I= 850(0.04)(6)
I= $ 240
Calcular el interés simple de 1500 al 18% anual a 180 días de plazo
I= 1500(0.18)(180/360)
I= $ 135
Determinar el interés de 280 al 1.7% mensual a 120 días plazo
I= 280(0.017)(120/30)
I= 19.04
Calculo del tiempo
Calculo del tiempo aproximado: se utiliza el formato (año, mes, día)
Calculo del tiempo exacto: se usa la tabla directamente
Ejemplos
Hallar el tiempo transcurrido del 20 de abril del 2013 hasta el 10 de noviembre del
mismo año, mediante las 2 formas.
Tiempo aproximado
20131110
201345
7 m 5 d
Tiempo exacto
314
-95
219 días
Calcular el interés que gana un capital de 20500, a una tasa de interés del 15% anual,
del 1de marzo al 1 de septiembre del mismo año, por los 4 métodos.
Con el tiempo aproximado y año comercial:
09: 01
-03: 01
T.A = 6 meses = 180 días
I= 20500(0.15)(180/360)
I= 1537.50
Con el tiempo exacto y año comercial
244
-60
T.E 184 días
I= 20500(0.15)(180/360)
I= 1571.67
Con el tiempo aproximado y año calendario
I= 20500(0.15)(180/365)
I= 1516.4384
Con el tiempo exacto y año calendario
I= 20500(0.15)(184/365)
I= 1550.1370
Calcular el interés simple que gana un capital de $ 5.000 al 12% anual, desde el 15 de
marzo hasta el 15 de agosto del mismo año.
Tiempo exacto 153
Tiempo aproximado 150
Con el tiempo aproximado y el año comercial:
I = 5.000 (0,12)(150/360) = $ 250,00
Con el tiempo exacto y el año comercial:
I = 5.000 (0,12) (153/360)= $ 255,00
Con el tiempo aproximado y el año calendario:
I = (5.000) (0,12) ( 150/365)= $ 246,5753
Con el tiempo exacto y el año calendario:
I = (5.000) (0,12) (153/365)= $ 251,5068
CALCULO DEL MONTO
El monto a interés simple es la suma del capital original más los intereses generados en
el transcurso del tiempo
Formula
M= c (1+ i.t)
M= C+I
Ejemplos
Hallar el monto de un capital de $ 3800 colocados al 8% durante el 7 de enero de 1990
hasta el 12 de diciembre del mismo año.
346
-7
339
M= c(1+ i*t)
M= 3800(1+0.08 (339/360)
M= 4086.27
Calcular el monto de un capital de 85 al 14.4% anual, del 10 de agosto al 15 de
diciembre del mismo año
M= 85(1+ 0.144(127/360))
M= 89.318
Hallar el capital de 2500 al 1.5% mensual, del 10 de abril al 22 de octubre del mismo
año.
M= 2500(1+0.0158(126/30))
M= 2.657,50
Hallar el capital de 3000 al 0.15% diario, del 15 de marzo al 14 de abril del mismo año
M= 3000(1+0.0015 (30)
M= 3.135
CALCULO DE TIEMPO
Calculo del tiempo aproximado: se utiliza el formato (mes, año,dia)
Calculo del tiempo exacto: se usa la tabla directamente
Formula:
En qué tiempo se incrementara en $ 310 un capital de 19000 colocado al 5% anual.
En qué tiempo un capital de $ 3000 se
convertirá en $ 4800 colocados al 7% anual
En qué tiempo un capital de se incrementara en $ 54500 un capital de $ 50000
colocado a una tasa del 1.5% mensual
t = i
c(i)
t = 205
50000(0.015)
t = 6 meses = 180 Dias
CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS
Se toma el año como unidad de tiempo se representa con la letra i es el porcentaje al
que está invertido un capital en una unidad de tiempo
Hallar la tasa de interés de un documento de $ 3800 que genera un interés de 60 a 170
días.
Datos
C= 3800
I= 60
T= 170 días
Desarrollo
i= I
C.T
I= 60
3800(170/360)
I= 3.3436%
Determinar a qué tasa de interés se debe colocar un capital de 9500 para obtener el
triple a 280 días.
i= 28500-9500
9500(280/30)
i= 21.4286%
Hallar a que tasa de interés se debe colocar un capital de 12500 para que produzca
17100 desde el 4 de noviembre del 2007 hasta el 20 de marzo del 2010
-79
308
+1095
867
i = 17100-12500
12500(867/90)
i = 3.82
A que tasa de interés anual se colocó un capital de $ 4000 para que se convierta en $
4315 en 210 días.
i = 315(360)
4000(210)
i = 0.135 = 13.50% anual
Calculo Del Valor Actual (Capital)
Para el cálculo del capital inicial (C), se toma como base la fórmula del interés simple I
y se despeja C:
Formula:
Cual es capital que colocado a una tasa de interés del 9% anual, durante 180 días,
produjo un interés de $ 1.125
𝐶 =
𝐼
𝑖(𝑡)
C =
1.125(360)
0.09(180)
C = $25.000
Calcular el valor actual de un pagare d $ 540 con vencimiento en 270 días y con una
tasa del 12% de interés anual.
El día de hoy
C= 540
1+0.12 (270/360)
C = $ 495.4128
Dentro de 30 días
C= 540
1+0.12 (240/360)
C= $ 500
Dentro de 90 días
c = 540
1+0.12 (180/360)
C = $ 509,4340
Dentro de 180dias
C= 540
1+0.12 (90/360)
Antes de 60 días del vencimiento
C= 540
1+0.12 (60/360)
C = $ 529.4118
Gráfico de tiempo y valor
Valor Nominal Valor Actual Vencimiento (M)
Fecha de suscripción fecha de negociación fecha de vencimiento
Ejemplos:
Hallar el valor actual el día de hoy de un documento firmadopara 230 días por $ 3800
considerando una tasa del 5%
Hallarel valorpresentedeundocumentofirmadoel13defebrerodel2009 por$ 5200
a 215 plazos sin intereses. El 20 de mayo del mismo año con una tasa del 1% mensual.
INTERÉS DE SALDOS DEUDORES
Método de lagarto: se llama así por el excesivo interés que produce
Método de saldo deudores: el interés que se paga es menor ya que a medida que pasan
los pagos el capital de disminuye una porción fija por ende los intereses también, lo que
provoca que las cuotas sean cada vez mucho.
Ejercicios:
Una cooperativa de ahorro y crédito otorga un préstamo a una señora de $6000 a un
año plazo con una tasa del 3% mensual sobre saldos. Determinar el valor de la cuota
fija mensual por los métodos.
Materia sasa(2)
/
Determine el monto simple y el monto compuesto de un capitalde $4000
con una tasa del 9% durante 4 periodos.
M= C (1+i) 1er Período
M= 400(1+0, 09)(4) I1=4000(0, 09)(1)
M= 5440 I1=360
I=5440 – 4000 M1= 400 + 360
I=1440 M1= 4360
I2=4360(0, 09)(1)
I2=392, 40
M2= 4360 + 392, 40
M2= 4752, 40
I3=4752, 40(0, 09)(1)
I3=427, 72
I=5646, 33 - 400 M3= 4752, 40 +427, 72
I=1646, 33 M3= 5180, 12
I4=5180, 12(0, 09)(1)
I4=466, 21
M4= 5180, 12 + 466, 21
M4= 5646, 3
DESCUENTO RACIONAL
Hallar el descuento racional de un documento de $ 5700 firmado el 20 de abril a 4
meses plazo. Si se descuenta el 12 de julio del mismo año con una tasa del 11%
Dr: M – C
5700 5700
20 de abril 12 de julio 20 de agosto
110 días 193 días 232 días
. 11% anual
C =
𝑀
1+𝑖(𝑡)
Dr = M- C I = C * i * t
C =
5700
1+(0.11(
39
360
))
Dr = 5700 - 5632.87 I = 5632.87 * 0.11 * (39/360)
C = 5632.87 Dr = 67.13 I = 67.13
Determine el descuento racional de un pagare de $ 9300 firmado el 11 de mayo a 270
días plazo,conunataza del 15% trimestral.Sise descuenta el5 de enerodel siguiente
año con una tasa del 1% mensual.
9300 13485
11 de mayo 5 de enero 5 de febrero
131 días 5 días 36 días
. 0.01 mensual
M = C ( 1 + i ( t ) ) C =
𝑀
1+𝑖(𝑡)
M = 9.300 ( 1 + 0.15 ( 270 / 90 )) C =
13485
1+(0.01(
31
30
))
M = 13.485 C = 13.347,08
Dr = M- C I = C * i * t
Dr = 13.485 - 13.347,08 I = 13347.08 ( 1 + ( 0.01 ( 31 / 30 )))
Dr = 137.92 I = 137.92
Un comerciante firma el 5 de agosto del 2007 un pagaré por $ 5700 a 235 días plazo,
con una tasa del 19%. Determine el descuento racional a 20 días antes de su
vencimiento con una taza del 22% semestral.
5700 6406.96
5 de agosto 8 de marzo 28 de marzo
217 días 67 87 días
. 22 % semestral
M = C ( 1 + i ( t ) ) C =
𝑀
1+𝑖(𝑡)
M = 5700 ( 1 + 0.19 ( 235 / 360 )) C =
6406 .96
1+(0.22(
20
180
))
M = 6406.96 C = 6254.08
Dr = M- C I = C * i * t
Dr = 6406.96 -6254.08 I = 6254.08 (0.22 (20 / 180))
Dr =152.88 I = 152.88
DESCUENTO BANCARIO
Db = M * d * t
M = Monto Cb = M (1 – (d (t))
D = descuento
T = tiempo
Db = descuento bancario
Hallar el descuento bancariode unacapital de $ 8300 firmado el 6 de marzo a 210 días
plazo. si se descuenta el 5 de junio del mismo año, con una taza de 11%
8300 8300
6 de marzo 2 de octubre
65 días 275días
Db = M * d * t
Db = 8300*(0.11 (
119
360
))
Db = 301.80
Determine el valor efectivo que recibe una persona, que realiza un descuento de un
pagare por $ 3900 firmado el 15 de mayo a 190 días plazo con una tasa del 17%. Si se
descuenta el 4 de julio del mismo año al 20 %
15 de mayo 4 de julio 21 de noviembre
135 días 325 días
I = C * i * t M = C + I
I = 3900 * 0.17 * (190/360) M = 3900 + 349.92
I = 349.92 M = 4249.92
Db = M * d * t C = M - Db
Db = 4249.92 *0.20*(140/360) C = 4249.92 – 330.55
Db = 330.55 C = 3919.37
Cb = M (1 – (d (t))
Cb = 4249.92 (1 – (0.20 (140/360)))
Cb = 3919.37
Una persona solicita un préstamo en un banco por $ 9500 a 200 días. Determine el
valor efectivo si se aplica un descuento del 18%
Cb = M (1 – (d (t)) Db = M - Cb
Cb = 9500 (1 – (0.13 (200/360))) Db = 9500 – 8813.89
Cb = 8813.89 Db = 186.1
Db = M * d * t
Db = 9500(0.13(200/360))
Db = 186.11
Cuantodebesolicitarunapersonaen unbancopararecibir5600 pagaderosa130 días,
con una tasa de descuento 5%
M =
𝐶𝑏
(1−𝑑(𝑡)
M =
5600
(1−0.05(
130
360
)
M = 5702.97
Análisis entre la tasa de interés ( i ) y la tasa de descuento ( d )
1) La tasa de interés utilizamos en el descuento racional o matemático y aplicamos
sobre el capital.
2) La tasa de descuento utilizamos en el descuento bancario y aplicamos sobre el
monto
Encuentre el descuento bancario y el descuento matemático o simple de una pagaré
de $ 7300 a 205 días plazo. Si se descuenta 70 días antes de su vencimiento con una
tasa de 1.5% mensual.
Descuento bancario descuento simple
Cb = M (1 – (d (t)) C =
𝑀
(1+𝑖( 𝑡))
Cb = 7300(1 – 0.015(205/30)) C =
7300
(1+0.015(
205
30
))
Cb = 6551.75 C = 6621.32
Db = M – Cb Dr = M - C
Db = 7300 – 6551.75 Dr = 7300 – 6621.32
Db = 748.25 Dr = 678.68
La relación entre tasa de interés y tasa de descuento podemos hablar así:
M = C ( 1 + i (t)) M =
𝐶
(1−𝑑( 𝑡))
i=
𝑑
(1−𝑑( 𝑡))
D =
𝑖
(1+𝑖( 𝑡))
A que tasa de interés equivale una tasa de descuento del 20% durante 80 días
i=
𝑑
(1−𝑑( 𝑡))
i =
0.20
(1 − 0.20(
80
360
))
i = 0.2093 * 100
i = 20.93 %
A que tasa de interés equivale una tasa de descuento de 9% durante 3 meses
i=
𝑑
(1−𝑑( 𝑡))
i =
0.09
(1 − 0.09(
3
12
))
i = 0.0920 * 100
i = 9.207 %
A que tasa de descuento equivale una tasa de interés de 20.93% durante 80 días.
D =
𝑖
(1+𝑖( 𝑡))
D =
0.2093
(1+0.2093(
80
360
))
D = 19.999%
A que tasa de descuento equivale una tasa de interés de 25% durante 140 días.
D =
𝑖
(1+𝑖( 𝑡))
D =
0.25
(1+0.25 (
140
360
))
D = 22.784%
Una persona realiza un descuento de un pagare suscrito a 220dias plazo por 3800, 70
días antesde su vencimientoconunatasadedescuentodel7%ese mismo díael banco
del pacifico le descuenta este documento ene lanco central una tasa del 3%.
Determine cuanto recibe la persona y el banco central.
Persona Banco
CB = M( 1 – dt) CB = M( 1 – dt)
CB = 3800( 1 – 0.07 (70/360)) CB = 3800( 1 – 0.03 (70/360))
CB = 3.748.28 CB = 3777.83
ECUACIONES DE VALOR
Se utiliza para resolver problemas de matemática financiera donde se reemplaza un
conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento por una o varias fechas
de referencia por uno o varios valores previo acuerdo entre el acreedor y deudor se
aplica en:
1ª reemplazar el conjunto de obligaciones o deudas para un solo valor
2do comparar ofertas para compra o venta.
3er calcular el moto de una serie de depósitos a corto plazo
Calcular el capital de una serie de depósitos a corto plazo.
Monto Capital
F
M = C (1+ i*t) 0 C =
𝑀
(1+𝑖( 𝑡))
c
a
l
Una empresa tiene las siguientes obligaciones:
 $ 15000 a 60 días plazo
 $ 20000 a 120 días plazo
 $ 20000 a 190 días plazo
 $ 30000 a 240 días plazo
 $ 25000 a 320 días plazo
La empresa desea reemplazar todas estas obligaciones considerando una tasa del 7%
por un solo pago a los 340 días plazo
60 120 190 240 320 340
15000 20000 20000 30000 25000 F
t1 = (340 – 60) = 280
t2 = 220
t3 = 150
t4 = 100
t5 = 20
M = C(1+i(t))
X = M1 + M2 + M3 + M4 + M5
X = (15000(1+0.07 (
280
360
))) + (20000(1+0.07 (
220
360
))) + (20000(1+0.07 (
150
360
))) +
(30000(1+0.07 (
100
360
))) + (25000(1+0.07 (
20
360
)))
X = 112.936.11
En el problema anterior determine el valor del pago único si se realiza el día de
hoy.
0 60 120 190 240 320
F 1500020000 20000 30000 25000
t1 = 60
t2 = 120
t3 = 190
t4 = 240
t5 = 320
C =
𝑀
(1 + 𝑖( 𝑡))
X = C1 + C2 + C3 + C4 + C5
X = (
15000
(1+0.07(
60
360
))
) + (
20000
(1+0.07(
120
360
))
) + (
20000
(1+0.07(
190
360
))
) + (
30000
(1+0.07(
240
360
))
) + (
25000
(1+0.07(
320
360
))
)
X = 105856.41
En el primer problema calcule el valor si lo hacemos en dos pagos iguales a los 100 y 200
días plazo. Considere como fecha focal los 260 días plazo.
60 100 120 190 240 260 340
15000 2000020000 30000 F 25000
X = M1 - M2 + M3 + M4 + M5 + C1
X = (15000(1+0.07 (
200
360
))) - (X (1+0.07 (
160
360
))) + (20000(1+0.07 (
140
360
))) + (20000(1+0.07
(
70
360
))) + (30000(1+0.07 (
20
360
))) + (
25000
(1+0.07(
60
360
))
)
X = 111228.36 – 1.031X
2.031X = 111228.36
X = 54765.32
Una personadebe1500 a 90 días plazo conunatasa del 13% semestral 2800 a 170 días
plazo con una tasa del 17% trimestral 4000 a 215 días plazo con una tasa del 11%. La
persona desea saltar estas deudas en un solo pago a los 200 días con una tasa de
descuento del 2% mensual.
M1 = 1500(1+0.13 (
90
180
))
M1 = 15975
M2 = 2800(1+0.17 (
170
90
))
M2 = 3699.11
M3 = 4000(1+0.11 (
215
360
))
M3 = 4262.78
90 170 200 215
15975 3699.11 F 4262.78
d = 0.02 mensual
X = M1 + M2 + C1
X = (15975(1+0.02(110/30))) + (3699.11(1+0.02(1)))
El propietario de una terreno recibe tres ofertas:
 La primera 2000 al contado y 2000 a un año plazo
 La segunda 1500 al contado y dos letras de 1300 C/u a 4 y 7 meses plazo
 La tercera 2000 al contado una letra de 800 a 4 meses plazo y otra de 1700 a
6meses plazo.
¿Cuál de las ofertas sugiere usted para la venta de este terreno se se descarga el 3%
mensual?
0 12 meses
2000 2000
X = 2000+ (
2000
(1+0.03(12))
)
X = 3470.59
Segunda oferta
0 4 7 meses
1500 1300 1300
X = 1500 + (
1300
(1+0.03(4))
) + (
1300
(1+0.03(7))
)
X = 3735.10
Tercera oferta
0 4 6 meses
2000 800 1700
X = 2000 + (
800
(1+0.03(4))
) + (
1700
(1+0.03(6))
)
X = 4154.96
Se sugiere la tercera oferta
Una persona realiza depósitos de 70 mensuales durante 4 meses en un banco que
reconoce el 1.5% mensual. Determine el monto que acumula al final de los 4 meses.
1 2 3 4 meses
70 70 70 70
F
M = C (1+ i*t)
X = (70(1+0.015 (3))) + (70(1+0.015 (2))) + (70(1+0.015 (1))) + 70
X = 286.30
En el problema anterior calcule el monto si la tasa de interés se liquida en forma
anticipada teniendo en cuenta que los intereses que los intereses serán liquidas en
forma anticipada.
1 2 3 4 meses
70 70 70 70
F
X = (70(1+0.015 (4))) + (70(1+0.015 (3))) + (70(1+0.015 (2))) + (70(1+0.015 (1)))
X = 290.50
Hallar el valor original de la deuda de una persona que realiza una serie de 5 pagos
mensuales de 350 dólares, para cancelar dicha deuda con una tasa interés del 2%
1 2 3 4 5 meses
350 350 350 350 350
F
X = (
350
(1+0.02(1))
) + (
350
(1+0.02(2))
) + (
350
(1+0.02(3))
) + (
350
(1+0.02(4))
) + (
350
(1+0.02(5))
)
X = 1652.12
En el problema anterior determine el valor de la deuda original si la tasa de interés y los
meses se cobra por anticipado
1 2 3 4 5 meses
350 350 350 350 350
F
X = 350 + (
350
(1+0.02(1))
) + (
350
(1+0.02(2))
) + (
350
(1+0.02(3))
) + (
350
(1+0.02(4))
)
X = 1683.94
La propietaria de una cuenta de ahorro realiza las siguientes transacciones
 El 07 de enero deposita $ 1500 para abrir la cuenta
 El 13 de febrero deposita $ 800
 El 15 de marzo retira $ 600
 El 4 de abril deposita $ 200
 El 4 de junio retira $ 650
Si la cuenta de ahorro gana una tasa de interés del 12%. Determine el saldo al primer
semestre.66
I = C * i *t
I = 1500(0.12)(
fecha Deposito Retiro Salto Interés
+ -
07 enero 1500 1500
13 febrero 800 2300
15 marzo 600 1700
04 abril 200 1900
04 junio 650 1250
INTERÉS COMPUESTO
La diferencia entre el interés simple y compuesto es que, el interés simple se calcula una
sola vez y se utiliza acorto placo
El interés compuesto se calcula a largo plazo
Determine el monto simple y el interés simple, monto compuesto y el interés
compuesto de un capital de $ 4000 con una tasa del 13% durante 5 años.
Monto simple Monto compuesto
M= C ( 1 + i*t) M = C ( 1 + i )n
M = 4000(1+0.13(5) M = 4.000(1+ 0.13)5
M = 6.600 M = 7.369,74
Interés simple Interés compuesto
I = M – C I = M - C
I = 6.600 – 4.000 I = 7.369,74 – 4.000
I = 2.600 I = 3.369,74
Variable que intervienen en el interés compuesto
i = tasa de interés efectiva
n = número de periodos
i = (
tasa anual
meses que tiene la capitalizacion
)
n = meses de capitalización *tiempo
Una empresa obtiene un préstamo de $ 50.000 a 15 años plazo con una tasa del 22%
convertible trimestralmente. Determine el interés.
M = C ( 1 + i)n I = M - C
M = 50.000( 1+0.22/4)4(15) I = 1´241.988,52 – 50.000
M = 1´241.988,52 I = 1`191.988,52
MONTO CONVERTIBILIDAD TASA DE INTERÉS
Andrea obtiene un préstamo de $ 35.000 a 20 años plazo para construir su casa con
una tasa del 14% compuesto bimensualmente. Determine el interés que paga.
M = C ( 1+i)n I = M - C
M = 35.000 (1+0.14/6)6(20) I = 557.342,99 – 35.000
M = 557.342,99 I = 522.342,99
El interés que paga es 522.342,99
Monto compuesto con tasa de interés en forma instantánea o continua.
e = 2,7182
M = C *ed*t
Calcule el monto de un capital de 40.000 a iteres compuesto durante 20 años y 9 meses
si la tasa de interés es:
a) Del 7% efectiva
b) Del 7% convertible semestralmente
c) Del 7% capitalizable quimestralmente
d) Del 7% compuesto cuatrimestralmente
e) Del 7% compuesto trimestralmente
f) Del 7% capitalizable bimensualmente
g) Del 7% compuesta mensualmente
h) Del 7% compuesta diariamente
i) Del 7% capitalizable continuamente
a M = C( 1 + i )n b) M = C( 1 + i )n
M = 40.000(1 + 0.07)20.75 M = 40.000(1+0.07/2)2(20)+(9/6)
M = 162.844,61 M = 166.757,17
c) M = C( 1 + i )n d) M = C( 1 + i )n
M = 40.000(1+0.07/2.4)(2.4(20)+9/5) M= 40.000(1+0.07/3)3(20)+9/4
M = 167.435,84 M = 168.122,47
e) M = C( 1 + i )n f) M = C( 1 + i )n
M = 40.000(1+0.07/4)(4(20)+9/3) M= 40.000(1+0.07/6)6(20)+9/2
M = 168.817,19 M = 169.520,16
g) M = C( 1 + i )n h) M = C( 1 + i )n
M = 40.000(1+0.07/12)(12(20)+9) M= 40.000(1+0.07/360)365(20)+9*30
M =170.231,52 M = 170.804,47
i) M = C( 1 + i )n
M = 40.000(2.7182) 0.07 (20.75)
M =170.943,95
Monto compuesto con periodos convertibilidad fraccionarios
Cuando el tiempo de pago no coincide con el periodo de convertibilidad se presenta el
caso de los periodos de capitalización fraccionaria.
El tiempo de pago de una deuda es de 4 años y 9 meses, la tasa de interés es de 14%
compuesta semestralmente.
i= 0.14/2 n = (4(12) + 9)/6
i = 0.07 n = 57/6
i = 7% n = 9 + 1/2
En 5 años y 3 meses con una tasa quimestral.
n=(12(5) +3)/5
n= 63/5
n= 12+3/5
En 5 años y 7 meses con una tasa cuatrimestral.
n= (5(12)+7)/4
n= 67/4
n= 16+3/4
En 9 años y 1 mes en forma trimestral.
n= (9(12+1)/3
n= 109/3
n= 36+1/3
En 8 años y 9 meses en forma bimensual.
n= (8(12)+9)/2
n= 105/2
n= 52+1/2
EXISTEN DOS MÉTODOS PARA RESOLVER ESTE TIPO DE PROBLEMA
1er método matemático:- donde se utiliza la calculadora con el valor exacto ejemplo:
57/6.
2do método comercial: para el método comercial la parte entera trabaja con el interés
compuesto y el pate fraccionario con el interés simple.
Determine el moto por los dos métodos de un capital de $ 12.000 a 8 años y 6 meses
plazo con una tasa del 8% compuesto cuatrimestralmente.
n=
8(12)+6
4
i=
0.08
3
n=
102
4
i= 2.666667 %
n= 25 +
1
2
Método matemático método comercial
M = c( 1+i)n M = C (1+i)n (1+i*t)
M = 12000(1+0.02666667)(102/4) M = 12.000(1+0.02666667)25
(1+0.02666667(1/2)
M = 23.476,46 M = 23.478,49
Determine el moto por los dos métodos de un capital de $ 4.800 a interés compuesto
durante 15 años y 2 meses plazo con una tasa del 9% convertible quimestralmente.
Nª periodos interés
n=
15(12)+2
5
i=
0.09
2.4
n=
182
5
I= 3.75%
n= 36 +
2
5
Método matemático método comercial
M = c( 1+i)n M = C (1+i)n (1+i*t)
M = 4.800(1+0.0375)(182/5) M = 4.800(1+0.0375)36 (1+0.0375 (2/5)
M = 18.331,93 M = 18.334,92
TASAS EQUIVALENTES
Tasa nominal (j) es aquella que se convierte varias veces en el año.
Tasa efectiva (i) es aquella que se activa una sola vez al año.
ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN
Gabriela desea invertir $ 50.000 durante 4 años y tiene las siguientes alternativas.
a) Una tasa de interés de 4,1/4% efectiva
b) Una tasa de interés del 4% capitalizable semestralmente
c) Una tasa de interés del 4.2% compuesta trimestralmente
d) Una tasa de interés del 4% convertible mensualmente
¿Cuál de estas tasas le conviene?
i= (1+0.0425)-1 b) i= (1+0.04/2)2-1 c) i= (1+0.042/4)4 d)
i=(1+0.04/12)12-1
i= 4.25% i= 4.04% i= 4.2666% i= 4,074
Le conviene la oferta “C”.
A que tasa de interés efectiva anticipada semestral es equivalente unatasa anticipada
del 20%
i= (1-0.20/2)-2-1
i= 23.4567%
A que tasa de interés anticipada anual convertible trimestralmente es equivalente
una tasa efectiva anticipada del 15%
d= m(1-(1+i)-1/m
d= 4(1-(1+0.15)-1/4)
d= 13,7348
A que tasa de interés anticipada convertible mensualmente es equivalente una tasa
efectiva anticipada del 17%
d= m(1-(1+i)-1/m)
d= 12(1-(1+0.17)-1/12)
d= 15,5981%
A que tasa de interés efectiva anticipada es equivalente una tasa anticipada del 21%
compuesta quimestralmente.
i= (1-j)-n-1
i= (1-0.21/2.4)-2.4-1
i= 24,5779%
CALCULO DE TASA DE INTERÉS EFECTIVA
M = (1+i)n
i= (M/C)1/n-1
A que tasa efectiva se convierte un capital de $ 300 en $ 750durante 4 años.
i= (M/C)1/n-1
i= (750/300)1/4-1
i= 25,7433%
A que tasa anual capitalizable trimestralmente se convierte un capital de $ 600 en $
1500 durante 7 años. Determine su tasa de interés nominal.
j= ((M/C)1/n-1)m
j= ((1500/600)1/28-1)4
j= 13,3064%
A que tasa anual convertible semestralmente se convierte un capital de $ 750 en $
3250 durante 4.5 años. Determine su tasa efectiva equivalente.
j= ((M/C)1/n-1)m
j= ((3250/750)1/9-1)2 i= (1+0.353898/2)2-1
j= 35,3898% i= 38,5208%
A que tasa anual capitalizable trimestralmente un capital de $ 4000, se convierte en ¾
veces más durante 5 años. Determine la tasa efectiva equivalente.
j= ((M/C)1/n-1)m
j= ((7000/4000)1/20-1)*4 i= (1+0.113503/4)4-1
j= 11.3503% i= 11,8727%
A que tasa anual convertible bimensualmente se convierte un capital de $ 900 en $
4700 durante 6 años y 10 meses. Determine la tasa anual efectiva equivalente.
j= ((M/C)1/n-1)m
j= ((4700/900)1/41-1)*6 i= (1+ 0.246833/6)6-1
j= 24,6833% i= 27,3655%
CÁLCULO DE TIEMPO DE INTERÉS COMPUESTO
M
C
= (1+i)n m*t =
log(
M
C
)
log(1+
j
m
)
log
M
C
= n log(1+i)
n=
log
M
C
log(1+𝑖)
t=
m∗log(
M
C
)
log(1+
j
m
)
En qué tiempo un capital de $ 1.000 se convierta en $ 1.800 con una tasa del 12%
efectiva.
n=
log
M
C
log(1+𝑖)
n=
log
1.800
1.000
log(1+0.12)
n= 5,186565
t= 5 años, 2 meses, 7 días
En qué tiempo un capital de $ 8.300 se convierta en $ 16,500 con una tasa del 5%
convertible quimestralmente.
t=
m∗log(
M
C
)
log(1+
j
m
)
t=
2,4∗log(
16.500
8.300
)
log(1+
0.05
2.4
)
t= 33,3328683
t= 13 años, 6 meses, 19 días
En qué tiempo un capital de $ 8.000 se duplicará con una tasa del 16% capitalizable
semestralmente.
n=
log
M
C
log(1+𝑖)
n=
log
16.000
8.000
log(1+0.08)
n= 4,50323
t= 4 años, 6 meses, 1 día
En qué tiempo un capital de $ 4.800 se convierte en $ 13.000 con una tasa del 25%
compuesta cuatrimestralmente.
n=
log
M
C
log(1+𝑖)
n=
log
13.000
4.800
log(1+0.08333 )
n= 4,14933
t= 4 años, 1 mes, 24 días
CÁLCULO DEL CAPITAL
M = C(1+i)n C=
M
(1+
j
m
)m∗t
C=
M
(1+i)n
Capital monto
f. nominal f. de negociación f. de vencimiento
Determine el valor actual de una pagare cuyo valor al vencimientodespués de 5 años
es $7.500 considerando una tasa del 9% capitalizable semestralmente.
C=
M
(1+i)n
C=
7.500
(1+
0,09
2
)5(2)
C= 4829,46
Determine el valor actual de un documento cuyo monto es de $6.300 durante 5 años
y 9 meses con una tasa del 12% compuesta trimestralmente.
C=
M
(1+i)n
C=
6.300
(1+
0,12
4
)4(5)+9/3
C= 3.192,16
Dominica firma un documento cuyo valor nominal es $ 7.100 a 8 años plazo con una
tasa del 8% convertible semestralmente desde su suscripción. Si se vede dos años
antes de su vencimiento con una tasa del 9% compuesta cuatrimestralmente
determine el valor actual del documento.
7.100 8% semestralmente monto? 13.298,17
0 t=2 8
M = C(1+i)n C=
M
(1+i)n
M= 7.100(1+0.04)16 C=
13.298,17
(1+
0.09
3
)
3(2)
M= 13.298,17 C= 11.137,=
Determineel valoractualdeun documentocuyovalornominal es$ 5.100 a 7 añoscon
una tasa del 5% convertible semestralmente desde su suscripción. Si se vede dos años
antes de la fecha de vencimiento considerando una tasa del 11% compuesto
trimestralmente.
5.100 5% semestralmente monto? 7.206,17
0 t=2 7 años
11% tri.
M = C(1+i)n C=
M
(1+i)n
M = 5.100(1+0.025)14 C=
7 .206,17
(1+0.0275)8
M= 7.206,17 C= 5.800,29
Después de 2 años de la fecha de suscripción se negocia un documento de $300
convencimientode5añosconunatasadel16% convertiblecuatrimestralmentedesde
su suscripción. Determine el valor con los siguientes datos:
a) Tasa del 4% convertible semestralmente
b) Tasa del 17% convertible trimestralmente
c) Tasa del 2% efectiva
300 16% sem.(0.053) n= 15 M?650,95
0 t=3 7 años
4% sem.
M = C (1+i)n a) C=
M
(1+i)n
M = 300(1+0.053)15 C=
650,95
(1+0.02)6
M= 650,95 C= 578,02
300 16% sem.(0.053) n= 15 M=650,95
0 t=3 7 años
17% tri.
b) C=
M
(1+i)n
C=
650,95
(1+0.0425)12
C= 578,02
c)
300 16% sem.(0.053) n= 15 M=650,95
0 t=3 7 años
2% efectiva.
c) C=
M
(1+i)n
C=
650 ,95
(1+0.02)3
C= 613,40
Un documento de $ 4.000 convencimiento en 7 años se negocia después de 3años
desde se suscripción con una tasa del 19% convertible semestralmente desde la
suscripción para vender este documento se tiene las siguientes alternativas.
a) Tasa del 16% convertible trimestralmente
b) Tasa del 19% capitalizable semestralmente
c) Tasa del 23% efectiva
4.000 i= 0.095 n= 14 M= 14.251,40
0 t=4 7 años
a) 16% tri.
b) 19% sem.
C) 23% efectiva
M = C(1+i)n a) C1=
M
(1+i)n b) C2=
M
(1+i)n
M = 4.000(1+0.095)14 C1=
14.251 ,40
(1+0.04)16 C2=
14.251,40
(1+0.095)8
M= 14.251,40 C1= 7.608,94 con premio C2= 6.895,16 a la par
c) C3=
M
(1+i)n
C3=
14.251,40
(1+0.23)4
C3= 6.226,40 con castigo
Valor presente o capital
Capital con periodos fraccionarios
Existen dos formas que son:
El método matemático o forma exacta donde se utiliza solo el interés compuesto
El método comercial o practico la parte entera a interés compuesto y la parte
fraccionaria a interés simple.
Ejercicio
Hallar el valor actual de un documento que al final de 7 años es $5200. Calcúlese
después de haber transcurrido 3 años y 4 meses considerando una tasa del 20%
quimestral.
5200 i= 0.083
t= 3a 4m 7 años
I= 0.083 método matemática
T= 3a 8m C = 5200(1.083)(−44)
N = 44/5 C= 25577.94
N= 8/4/5 método comercial
𝐶 = 5200(1.083)(−8)
(1+ 0.083(
4
5
)(−1)
C= 2576067
El día de hoy se firma un documento de $8000para 9 años plazo con una tasa efectiva
del 11% determine el valor actual de ese documento después de 3años 8 meses si se
aplica una tasa del 14% capitalizable trimestralmente.
8000 i= 0.035 20464.30
t= 3a 8m 9años
T= 5a 3m
N= 64/5
N=21/1/3 método matemática
M = 20464.30(1.035)(−64/5)
M= 9853.57
𝑀 = 8000(1.11)(9)
Método comercial
M= 20464.30 𝑀 = 20464.30(1.035)(−21)
(1+ 0.035(1/3)(−1)
M=9822.27
El día de hoy se firma un pagare por $9000 para 7 años y 9 meses plazo con una tasa
del 11% compuesta trimestralmente. Halle el valor de este documento después de 4
años y 7 meses con una tasa del 17% convertible bimensual.
9000 j= 0.0458
t= 3a 2m 7.9
M = 9000(1.0458)(93/5)
M= 20700.80
M = 20700.80(1.0458)(−11)
M= 12249.49

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  • 1. GENERALIDADES I El porcentaje Porcentaje 10% 0.10 50% 0.50 20% 0.20 2% 0.02 5% 0.05 160% 1.60 6% 0.06 400% 4 3% 0.03 % a tanto por 1 Dividido para 100 la cantidad indicada y se elimina el signo de % Recorremos la como hacia la izquierda 2 y lo suprimimos el % Tanto por 1 a % Le multiplica la cantidad de tanto por 1 por la cantidad de 100 y se coloca el signo de % Le recorre la coma hacia la derecha 2 y se aumenta el % 43/4 % 19/4% 4.75% 0.0475 11/8% 9/8% 1.13% 0.0113 71/2% 15/2% 7.5% 0.075 51/4% 21/4% 5.25% 0.0525 como colocamos el % Determine el 10 % de 900 Hallar el 19% de 530 900 100% 530 100% X 10% X 19% 900(10%) 530(19%) X=------------ x= 90 X=-------------- x= 100.7 100% 100% Hallar el 14 % de 210 Hallar el 20% de 750 210 100% 750 100% X 14% X 20%
  • 2. 210(14%) 750(20%) X=------------ x= X=-------------- x= 150 100% 100% Que % de 600 es 35 Que % de 480 es 90 600 100% 480 100% 35 x 90 x 35(100%) 90(100%) X=------------ x= 5.83% X=-------------- x= 18.75% 600 480 De que cantidad es 60 el 17% De que cantidad es 35 el 14% 60 12% 480 14% x 100% x 100% 60(100%) 480(100%) X=------------ x= 500 X=-------------- x= 250 12% 14% De que cantidad es 50 el 19% 50 19% x 100% 6 50(100%) X=------------ x= 263.16 19% Calcule el % de quien estudia pasa y de quien no estudia Quien estudia pasa Quien no estudia no pasa Quien no estudia (pasa) X=------------------------------- x= no pasa Quien estudia U= Pv - Pc
  • 3. U= Utilidad Pv= Precio de venta Pc= Precio de costo Hallar la utilidad de u pantalón cuyo precio de costo es de $35 y se desea vender con una utilidad de 20% sobre el precio de costo. Pv= U= 0.20(35%) Pc= 35 U= 7 U= 20% Hallar el precio de venta al que se debe marcar un vestido si se adquiere en 170 y se desea obtener una utilidad de 40% Pv= Pc= 170 U= 0,40Pv = Pv - 170 170= Pv - 0.40 Pv 170= Pv (1 – 0.40) 170 X=-------- Pv= 283,3 0.60 Hallar por qué precio se adquirió una rueda que se vendió en $ 145 con una utilidad de 15% con el precio de compra exprese la utilidad en precio de venta y el precio de costo. Datos Pv= 145 Pc= U= 0.15% Pv Pc = Pv – 145 Utilidad en función del Pc 0.15 Pc = 145 - Pc 0.15 Pc + Pc = 145 Pc (1,15)=145 145 Pc=--------- Pc = 126,09 (1.15) U= 0.15 x 126,09 U= 18.19 126.09 100% 18.19 X X= 15% Utilidad en función de Pv 145 100% 18.19 x x=13%
  • 4. Carlos inicia sus actividades comerciales con un valor de $600 ¾ invierte en un local los 5/2 suministros de equipos de oficina calcular el valor que invierte para comenzar su negocio. 600 . ¾ . 2/5 = 3600 X =----------- 180 / 100 = 1.8 180 Aplicación del % Los % se utilizan generalmente para los pagos de una factura. Hallar valor de una factura de una venta de una cocina cuyo precio de lista es $600 sobre el cual se ofrece un descuento de 9% por la venta al contado DATOS Pv= 650 650 100% d= 9% X 9% Pf= ? X= 58,5 PF= PV – d PF= Pv(1 – 0.09) PF= 650 - 58,5 PF= 650 (0.9) PF= 591.5 PF= 591.5 Un almacén vende refrigeradoras con el precio de lista es $720 y ofrece un descuento de 17% por la venta al contado hallar el valor de la factura DATOS Pv= 720 720 100% d= 17% X 17% Pf= ? X= 122.4 PF= PV – d PF= Pv(1 – 0.17) PF= 720 - 122.4 PF= 720 (0.83) PF= 597.6 PF= 597.6 Hallar el valor de la factura de una bicicleta cuyo preciode lista es $390y se ofrece un descuento de 4 ½ % por la compra al contado. DATOS Pv= 390 d= 0.045 Pf= ? PF= Pv(1 – 0.045)
  • 5. PF= 390(0.955) PF= 372.45 Hallar el valor de la factura de un electrodoméstico cuyo preciode lista es de $190 y se aplica un descuento de 3 3/4 % y se cobra un impuesto adicional de 8%. DATOS Pv= 190 d= 0.0375 i= 0.08 Pf= ? PF= Pv(1 – 0.0375) PF = PV ( 1 - d)( 1 + imp) PF=190(0.9625) PF= 190(1 – 0.9625)(1+0.08) PF= 182.875 PF= 197.51 Hallar el valor de la factura de un artículo cuyo precio de lista es $790 y se aplica un descuento de 9 1/4 por la cobra al contado y se cobra el respectiva IVA PF = PV ( 1 - d)( 1 + imp) PF= 790(1 – 0.925)(1+0.12) PF= 802.96 Hallarel preciodeunafacturedeundocumentocuyopreciodelistaes$670 y se aplica el descuento especial del 10 y 7% respectivamente y con el impuesto de aquí del país PF = PV ( 1 - d)(1 - d)( 1 + imp) PF= 670(0.90)(0.93)(1+0.12) PF= 628.08 CALCULO DE LA (N) Y DE LA (I) (1+i)19 = 3.379942 I=(3.379942)1/19 – 1 I= 0.0662 I= 6.6197% (1+i)25 + ¾= (7 - 2/3)2 + 6 (2+i)= (16.33/96)1/25 - 2 I= 199.32% (1+3/2)n 9 1/3=(5 – 2/3)n 81/16 + 28/3 =(4.33)n Log 691/48 = n log(4-33) Log(691/48) N=------------------ n= 1.82 Log (4.33)
  • 6. (2+5/8)n = ¾ + 2 (8/9 + 7)2 – 4 + 2/7 + (3*1/3 – 75/4) (21/8)n = log (116.29) Log(116.59) N=------------------ n= 4.93 Log (21/8) Calculo diferencial Es la selección de dos términos consecutivos de la progresión aritmética y se resta el segundo menos el primero. a1= primer termino an = ultimo termino n= número de termino d= diferencia sn= suma Calculo del décimo término 3, 8 , 13, 18, 23 a1= a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 +4d 29T = a1 + 28d 359T = a1 358d 124T = a1 123d an = a1 + (n - 1)d Calculo de la suma determinado s1 = n/2 (a1 - an) INTERESES Es lo que el usuario paga por el alquiler del dinero Es la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en préstamo o la cantidad producida por la INVERSIÓN del capital.”
  • 7. Fórmula de interés Interés i = interés = 15 = 15% = 0,15 Capital 100 Determine la tasa de interés de un capital de 400 que produce un interés de $64 i = 64 i = 0.16% 100 Determine la tasa de interés de un capital de 700 que produce un interés de $95 i = 95 i = 0.1353% 700 Determine la tasa de interés de un capital de 400 que produce un interés de $300 i = 400i = 133.33% 300 INTERÉS SIMPLE
  • 8. Es la ganancia solo del capital a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el periodo de transacción comercial. Formula: I= C(i)(t) Ejemplos TASA DE INTERÉS Es la razón del interés devengado al capital en la unidad de tiempo. Está dada 0como un porcentaje o su equivalente; generalmente se toma el año como unidad de tiempo. Se representa con la letra i. Ejemplos: Calcular el interés que gana un capital de 7500 a una tasa de interés del 12% anual durante 180 días. Datos Calculo del interés C= 7500 I= c(i)(t) I= 012 I= 7500(0.12)(180/360) T= 180 días I= $ 450 Determinar el interés de 850 al 4% durante 6 años
  • 9. I= c(i)(t) I= 850(0.04)(6) I= $ 240 Calcular el interés simple de 1500 al 18% anual a 180 días de plazo I= 1500(0.18)(180/360) I= $ 135 Determinar el interés de 280 al 1.7% mensual a 120 días plazo I= 280(0.017)(120/30) I= 19.04 Calculo del tiempo Calculo del tiempo aproximado: se utiliza el formato (año, mes, día) Calculo del tiempo exacto: se usa la tabla directamente Ejemplos
  • 10. Hallar el tiempo transcurrido del 20 de abril del 2013 hasta el 10 de noviembre del mismo año, mediante las 2 formas. Tiempo aproximado 20131110 201345 7 m 5 d Tiempo exacto 314 -95 219 días Calcular el interés que gana un capital de 20500, a una tasa de interés del 15% anual, del 1de marzo al 1 de septiembre del mismo año, por los 4 métodos. Con el tiempo aproximado y año comercial: 09: 01 -03: 01 T.A = 6 meses = 180 días I= 20500(0.15)(180/360) I= 1537.50 Con el tiempo exacto y año comercial 244
  • 11. -60 T.E 184 días I= 20500(0.15)(180/360) I= 1571.67 Con el tiempo aproximado y año calendario I= 20500(0.15)(180/365) I= 1516.4384 Con el tiempo exacto y año calendario I= 20500(0.15)(184/365) I= 1550.1370 Calcular el interés simple que gana un capital de $ 5.000 al 12% anual, desde el 15 de marzo hasta el 15 de agosto del mismo año. Tiempo exacto 153 Tiempo aproximado 150 Con el tiempo aproximado y el año comercial: I = 5.000 (0,12)(150/360) = $ 250,00
  • 12. Con el tiempo exacto y el año comercial: I = 5.000 (0,12) (153/360)= $ 255,00 Con el tiempo aproximado y el año calendario: I = (5.000) (0,12) ( 150/365)= $ 246,5753 Con el tiempo exacto y el año calendario: I = (5.000) (0,12) (153/365)= $ 251,5068 CALCULO DEL MONTO El monto a interés simple es la suma del capital original más los intereses generados en el transcurso del tiempo Formula M= c (1+ i.t) M= C+I Ejemplos Hallar el monto de un capital de $ 3800 colocados al 8% durante el 7 de enero de 1990 hasta el 12 de diciembre del mismo año.
  • 13. 346 -7 339 M= c(1+ i*t) M= 3800(1+0.08 (339/360) M= 4086.27 Calcular el monto de un capital de 85 al 14.4% anual, del 10 de agosto al 15 de diciembre del mismo año M= 85(1+ 0.144(127/360)) M= 89.318 Hallar el capital de 2500 al 1.5% mensual, del 10 de abril al 22 de octubre del mismo año. M= 2500(1+0.0158(126/30)) M= 2.657,50 Hallar el capital de 3000 al 0.15% diario, del 15 de marzo al 14 de abril del mismo año M= 3000(1+0.0015 (30) M= 3.135
  • 14. CALCULO DE TIEMPO Calculo del tiempo aproximado: se utiliza el formato (mes, año,dia) Calculo del tiempo exacto: se usa la tabla directamente Formula: En qué tiempo se incrementara en $ 310 un capital de 19000 colocado al 5% anual. En qué tiempo un capital de $ 3000 se convertirá en $ 4800 colocados al 7% anual
  • 15. En qué tiempo un capital de se incrementara en $ 54500 un capital de $ 50000 colocado a una tasa del 1.5% mensual t = i c(i) t = 205 50000(0.015) t = 6 meses = 180 Dias CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS Se toma el año como unidad de tiempo se representa con la letra i es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo
  • 16. Hallar la tasa de interés de un documento de $ 3800 que genera un interés de 60 a 170 días. Datos C= 3800 I= 60 T= 170 días Desarrollo i= I C.T I= 60 3800(170/360) I= 3.3436% Determinar a qué tasa de interés se debe colocar un capital de 9500 para obtener el triple a 280 días.
  • 17. i= 28500-9500 9500(280/30) i= 21.4286% Hallar a que tasa de interés se debe colocar un capital de 12500 para que produzca 17100 desde el 4 de noviembre del 2007 hasta el 20 de marzo del 2010 -79 308 +1095 867 i = 17100-12500 12500(867/90) i = 3.82 A que tasa de interés anual se colocó un capital de $ 4000 para que se convierta en $ 4315 en 210 días. i = 315(360) 4000(210) i = 0.135 = 13.50% anual Calculo Del Valor Actual (Capital) Para el cálculo del capital inicial (C), se toma como base la fórmula del interés simple I y se despeja C:
  • 18. Formula: Cual es capital que colocado a una tasa de interés del 9% anual, durante 180 días, produjo un interés de $ 1.125 𝐶 = 𝐼 𝑖(𝑡) C = 1.125(360) 0.09(180) C = $25.000 Calcular el valor actual de un pagare d $ 540 con vencimiento en 270 días y con una tasa del 12% de interés anual. El día de hoy C= 540 1+0.12 (270/360) C = $ 495.4128
  • 19. Dentro de 30 días C= 540 1+0.12 (240/360) C= $ 500 Dentro de 90 días c = 540 1+0.12 (180/360) C = $ 509,4340 Dentro de 180dias C= 540 1+0.12 (90/360) Antes de 60 días del vencimiento C= 540 1+0.12 (60/360) C = $ 529.4118
  • 20. Gráfico de tiempo y valor Valor Nominal Valor Actual Vencimiento (M) Fecha de suscripción fecha de negociación fecha de vencimiento Ejemplos: Hallar el valor actual el día de hoy de un documento firmadopara 230 días por $ 3800 considerando una tasa del 5%
  • 21. Hallarel valorpresentedeundocumentofirmadoel13defebrerodel2009 por$ 5200 a 215 plazos sin intereses. El 20 de mayo del mismo año con una tasa del 1% mensual. INTERÉS DE SALDOS DEUDORES Método de lagarto: se llama así por el excesivo interés que produce Método de saldo deudores: el interés que se paga es menor ya que a medida que pasan los pagos el capital de disminuye una porción fija por ende los intereses también, lo que provoca que las cuotas sean cada vez mucho. Ejercicios: Una cooperativa de ahorro y crédito otorga un préstamo a una señora de $6000 a un año plazo con una tasa del 3% mensual sobre saldos. Determinar el valor de la cuota fija mensual por los métodos.
  • 23. /
  • 24. Determine el monto simple y el monto compuesto de un capitalde $4000 con una tasa del 9% durante 4 periodos. M= C (1+i) 1er Período M= 400(1+0, 09)(4) I1=4000(0, 09)(1) M= 5440 I1=360 I=5440 – 4000 M1= 400 + 360 I=1440 M1= 4360 I2=4360(0, 09)(1) I2=392, 40 M2= 4360 + 392, 40 M2= 4752, 40 I3=4752, 40(0, 09)(1) I3=427, 72 I=5646, 33 - 400 M3= 4752, 40 +427, 72 I=1646, 33 M3= 5180, 12 I4=5180, 12(0, 09)(1) I4=466, 21 M4= 5180, 12 + 466, 21 M4= 5646, 3 DESCUENTO RACIONAL Hallar el descuento racional de un documento de $ 5700 firmado el 20 de abril a 4 meses plazo. Si se descuenta el 12 de julio del mismo año con una tasa del 11%
  • 25. Dr: M – C 5700 5700 20 de abril 12 de julio 20 de agosto 110 días 193 días 232 días . 11% anual C = 𝑀 1+𝑖(𝑡) Dr = M- C I = C * i * t C = 5700 1+(0.11( 39 360 )) Dr = 5700 - 5632.87 I = 5632.87 * 0.11 * (39/360) C = 5632.87 Dr = 67.13 I = 67.13 Determine el descuento racional de un pagare de $ 9300 firmado el 11 de mayo a 270 días plazo,conunataza del 15% trimestral.Sise descuenta el5 de enerodel siguiente año con una tasa del 1% mensual. 9300 13485 11 de mayo 5 de enero 5 de febrero 131 días 5 días 36 días . 0.01 mensual M = C ( 1 + i ( t ) ) C = 𝑀 1+𝑖(𝑡) M = 9.300 ( 1 + 0.15 ( 270 / 90 )) C = 13485 1+(0.01( 31 30 )) M = 13.485 C = 13.347,08 Dr = M- C I = C * i * t Dr = 13.485 - 13.347,08 I = 13347.08 ( 1 + ( 0.01 ( 31 / 30 ))) Dr = 137.92 I = 137.92 Un comerciante firma el 5 de agosto del 2007 un pagaré por $ 5700 a 235 días plazo, con una tasa del 19%. Determine el descuento racional a 20 días antes de su vencimiento con una taza del 22% semestral. 5700 6406.96 5 de agosto 8 de marzo 28 de marzo 217 días 67 87 días . 22 % semestral M = C ( 1 + i ( t ) ) C = 𝑀 1+𝑖(𝑡) M = 5700 ( 1 + 0.19 ( 235 / 360 )) C = 6406 .96 1+(0.22( 20 180 ))
  • 26. M = 6406.96 C = 6254.08 Dr = M- C I = C * i * t Dr = 6406.96 -6254.08 I = 6254.08 (0.22 (20 / 180)) Dr =152.88 I = 152.88 DESCUENTO BANCARIO Db = M * d * t M = Monto Cb = M (1 – (d (t)) D = descuento T = tiempo Db = descuento bancario Hallar el descuento bancariode unacapital de $ 8300 firmado el 6 de marzo a 210 días plazo. si se descuenta el 5 de junio del mismo año, con una taza de 11% 8300 8300 6 de marzo 2 de octubre 65 días 275días Db = M * d * t Db = 8300*(0.11 ( 119 360 )) Db = 301.80 Determine el valor efectivo que recibe una persona, que realiza un descuento de un pagare por $ 3900 firmado el 15 de mayo a 190 días plazo con una tasa del 17%. Si se descuenta el 4 de julio del mismo año al 20 % 15 de mayo 4 de julio 21 de noviembre 135 días 325 días I = C * i * t M = C + I I = 3900 * 0.17 * (190/360) M = 3900 + 349.92 I = 349.92 M = 4249.92 Db = M * d * t C = M - Db
  • 27. Db = 4249.92 *0.20*(140/360) C = 4249.92 – 330.55 Db = 330.55 C = 3919.37 Cb = M (1 – (d (t)) Cb = 4249.92 (1 – (0.20 (140/360))) Cb = 3919.37 Una persona solicita un préstamo en un banco por $ 9500 a 200 días. Determine el valor efectivo si se aplica un descuento del 18% Cb = M (1 – (d (t)) Db = M - Cb Cb = 9500 (1 – (0.13 (200/360))) Db = 9500 – 8813.89 Cb = 8813.89 Db = 186.1 Db = M * d * t Db = 9500(0.13(200/360)) Db = 186.11 Cuantodebesolicitarunapersonaen unbancopararecibir5600 pagaderosa130 días, con una tasa de descuento 5% M = 𝐶𝑏 (1−𝑑(𝑡) M = 5600 (1−0.05( 130 360 ) M = 5702.97 Análisis entre la tasa de interés ( i ) y la tasa de descuento ( d ) 1) La tasa de interés utilizamos en el descuento racional o matemático y aplicamos sobre el capital. 2) La tasa de descuento utilizamos en el descuento bancario y aplicamos sobre el monto Encuentre el descuento bancario y el descuento matemático o simple de una pagaré de $ 7300 a 205 días plazo. Si se descuenta 70 días antes de su vencimiento con una tasa de 1.5% mensual.
  • 28. Descuento bancario descuento simple Cb = M (1 – (d (t)) C = 𝑀 (1+𝑖( 𝑡)) Cb = 7300(1 – 0.015(205/30)) C = 7300 (1+0.015( 205 30 )) Cb = 6551.75 C = 6621.32 Db = M – Cb Dr = M - C Db = 7300 – 6551.75 Dr = 7300 – 6621.32 Db = 748.25 Dr = 678.68 La relación entre tasa de interés y tasa de descuento podemos hablar así: M = C ( 1 + i (t)) M = 𝐶 (1−𝑑( 𝑡)) i= 𝑑 (1−𝑑( 𝑡)) D = 𝑖 (1+𝑖( 𝑡)) A que tasa de interés equivale una tasa de descuento del 20% durante 80 días i= 𝑑 (1−𝑑( 𝑡)) i = 0.20 (1 − 0.20( 80 360 )) i = 0.2093 * 100 i = 20.93 % A que tasa de interés equivale una tasa de descuento de 9% durante 3 meses i= 𝑑 (1−𝑑( 𝑡)) i = 0.09 (1 − 0.09( 3 12 )) i = 0.0920 * 100 i = 9.207 % A que tasa de descuento equivale una tasa de interés de 20.93% durante 80 días. D = 𝑖 (1+𝑖( 𝑡)) D = 0.2093 (1+0.2093( 80 360 )) D = 19.999%
  • 29. A que tasa de descuento equivale una tasa de interés de 25% durante 140 días. D = 𝑖 (1+𝑖( 𝑡)) D = 0.25 (1+0.25 ( 140 360 )) D = 22.784% Una persona realiza un descuento de un pagare suscrito a 220dias plazo por 3800, 70 días antesde su vencimientoconunatasadedescuentodel7%ese mismo díael banco del pacifico le descuenta este documento ene lanco central una tasa del 3%. Determine cuanto recibe la persona y el banco central. Persona Banco CB = M( 1 – dt) CB = M( 1 – dt) CB = 3800( 1 – 0.07 (70/360)) CB = 3800( 1 – 0.03 (70/360)) CB = 3.748.28 CB = 3777.83 ECUACIONES DE VALOR Se utiliza para resolver problemas de matemática financiera donde se reemplaza un conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento por una o varias fechas de referencia por uno o varios valores previo acuerdo entre el acreedor y deudor se aplica en: 1ª reemplazar el conjunto de obligaciones o deudas para un solo valor 2do comparar ofertas para compra o venta. 3er calcular el moto de una serie de depósitos a corto plazo Calcular el capital de una serie de depósitos a corto plazo. Monto Capital F M = C (1+ i*t) 0 C = 𝑀 (1+𝑖( 𝑡)) c a l Una empresa tiene las siguientes obligaciones:  $ 15000 a 60 días plazo  $ 20000 a 120 días plazo
  • 30.  $ 20000 a 190 días plazo  $ 30000 a 240 días plazo  $ 25000 a 320 días plazo La empresa desea reemplazar todas estas obligaciones considerando una tasa del 7% por un solo pago a los 340 días plazo 60 120 190 240 320 340 15000 20000 20000 30000 25000 F t1 = (340 – 60) = 280 t2 = 220 t3 = 150 t4 = 100 t5 = 20 M = C(1+i(t)) X = M1 + M2 + M3 + M4 + M5 X = (15000(1+0.07 ( 280 360 ))) + (20000(1+0.07 ( 220 360 ))) + (20000(1+0.07 ( 150 360 ))) + (30000(1+0.07 ( 100 360 ))) + (25000(1+0.07 ( 20 360 ))) X = 112.936.11 En el problema anterior determine el valor del pago único si se realiza el día de hoy. 0 60 120 190 240 320 F 1500020000 20000 30000 25000 t1 = 60 t2 = 120 t3 = 190 t4 = 240 t5 = 320 C = 𝑀 (1 + 𝑖( 𝑡)) X = C1 + C2 + C3 + C4 + C5 X = ( 15000 (1+0.07( 60 360 )) ) + ( 20000 (1+0.07( 120 360 )) ) + ( 20000 (1+0.07( 190 360 )) ) + ( 30000 (1+0.07( 240 360 )) ) + ( 25000 (1+0.07( 320 360 )) )
  • 31. X = 105856.41 En el primer problema calcule el valor si lo hacemos en dos pagos iguales a los 100 y 200 días plazo. Considere como fecha focal los 260 días plazo. 60 100 120 190 240 260 340 15000 2000020000 30000 F 25000 X = M1 - M2 + M3 + M4 + M5 + C1 X = (15000(1+0.07 ( 200 360 ))) - (X (1+0.07 ( 160 360 ))) + (20000(1+0.07 ( 140 360 ))) + (20000(1+0.07 ( 70 360 ))) + (30000(1+0.07 ( 20 360 ))) + ( 25000 (1+0.07( 60 360 )) ) X = 111228.36 – 1.031X 2.031X = 111228.36 X = 54765.32 Una personadebe1500 a 90 días plazo conunatasa del 13% semestral 2800 a 170 días plazo con una tasa del 17% trimestral 4000 a 215 días plazo con una tasa del 11%. La persona desea saltar estas deudas en un solo pago a los 200 días con una tasa de descuento del 2% mensual. M1 = 1500(1+0.13 ( 90 180 )) M1 = 15975 M2 = 2800(1+0.17 ( 170 90 )) M2 = 3699.11 M3 = 4000(1+0.11 ( 215 360 )) M3 = 4262.78 90 170 200 215 15975 3699.11 F 4262.78 d = 0.02 mensual X = M1 + M2 + C1 X = (15975(1+0.02(110/30))) + (3699.11(1+0.02(1))) El propietario de una terreno recibe tres ofertas:  La primera 2000 al contado y 2000 a un año plazo  La segunda 1500 al contado y dos letras de 1300 C/u a 4 y 7 meses plazo
  • 32.  La tercera 2000 al contado una letra de 800 a 4 meses plazo y otra de 1700 a 6meses plazo. ¿Cuál de las ofertas sugiere usted para la venta de este terreno se se descarga el 3% mensual? 0 12 meses 2000 2000 X = 2000+ ( 2000 (1+0.03(12)) ) X = 3470.59 Segunda oferta 0 4 7 meses 1500 1300 1300 X = 1500 + ( 1300 (1+0.03(4)) ) + ( 1300 (1+0.03(7)) ) X = 3735.10 Tercera oferta 0 4 6 meses 2000 800 1700 X = 2000 + ( 800 (1+0.03(4)) ) + ( 1700 (1+0.03(6)) ) X = 4154.96 Se sugiere la tercera oferta Una persona realiza depósitos de 70 mensuales durante 4 meses en un banco que reconoce el 1.5% mensual. Determine el monto que acumula al final de los 4 meses. 1 2 3 4 meses 70 70 70 70 F M = C (1+ i*t) X = (70(1+0.015 (3))) + (70(1+0.015 (2))) + (70(1+0.015 (1))) + 70 X = 286.30 En el problema anterior calcule el monto si la tasa de interés se liquida en forma anticipada teniendo en cuenta que los intereses que los intereses serán liquidas en forma anticipada.
  • 33. 1 2 3 4 meses 70 70 70 70 F X = (70(1+0.015 (4))) + (70(1+0.015 (3))) + (70(1+0.015 (2))) + (70(1+0.015 (1))) X = 290.50 Hallar el valor original de la deuda de una persona que realiza una serie de 5 pagos mensuales de 350 dólares, para cancelar dicha deuda con una tasa interés del 2% 1 2 3 4 5 meses 350 350 350 350 350 F X = ( 350 (1+0.02(1)) ) + ( 350 (1+0.02(2)) ) + ( 350 (1+0.02(3)) ) + ( 350 (1+0.02(4)) ) + ( 350 (1+0.02(5)) ) X = 1652.12 En el problema anterior determine el valor de la deuda original si la tasa de interés y los meses se cobra por anticipado 1 2 3 4 5 meses 350 350 350 350 350 F X = 350 + ( 350 (1+0.02(1)) ) + ( 350 (1+0.02(2)) ) + ( 350 (1+0.02(3)) ) + ( 350 (1+0.02(4)) ) X = 1683.94 La propietaria de una cuenta de ahorro realiza las siguientes transacciones  El 07 de enero deposita $ 1500 para abrir la cuenta  El 13 de febrero deposita $ 800  El 15 de marzo retira $ 600  El 4 de abril deposita $ 200  El 4 de junio retira $ 650 Si la cuenta de ahorro gana una tasa de interés del 12%. Determine el saldo al primer semestre.66 I = C * i *t I = 1500(0.12)( fecha Deposito Retiro Salto Interés + - 07 enero 1500 1500 13 febrero 800 2300
  • 34. 15 marzo 600 1700 04 abril 200 1900 04 junio 650 1250 INTERÉS COMPUESTO La diferencia entre el interés simple y compuesto es que, el interés simple se calcula una sola vez y se utiliza acorto placo El interés compuesto se calcula a largo plazo Determine el monto simple y el interés simple, monto compuesto y el interés compuesto de un capital de $ 4000 con una tasa del 13% durante 5 años. Monto simple Monto compuesto M= C ( 1 + i*t) M = C ( 1 + i )n M = 4000(1+0.13(5) M = 4.000(1+ 0.13)5 M = 6.600 M = 7.369,74 Interés simple Interés compuesto I = M – C I = M - C I = 6.600 – 4.000 I = 7.369,74 – 4.000 I = 2.600 I = 3.369,74 Variable que intervienen en el interés compuesto i = tasa de interés efectiva n = número de periodos i = ( tasa anual meses que tiene la capitalizacion ) n = meses de capitalización *tiempo Una empresa obtiene un préstamo de $ 50.000 a 15 años plazo con una tasa del 22% convertible trimestralmente. Determine el interés. M = C ( 1 + i)n I = M - C M = 50.000( 1+0.22/4)4(15) I = 1´241.988,52 – 50.000 M = 1´241.988,52 I = 1`191.988,52
  • 35. MONTO CONVERTIBILIDAD TASA DE INTERÉS Andrea obtiene un préstamo de $ 35.000 a 20 años plazo para construir su casa con una tasa del 14% compuesto bimensualmente. Determine el interés que paga. M = C ( 1+i)n I = M - C M = 35.000 (1+0.14/6)6(20) I = 557.342,99 – 35.000 M = 557.342,99 I = 522.342,99 El interés que paga es 522.342,99 Monto compuesto con tasa de interés en forma instantánea o continua. e = 2,7182 M = C *ed*t Calcule el monto de un capital de 40.000 a iteres compuesto durante 20 años y 9 meses si la tasa de interés es: a) Del 7% efectiva b) Del 7% convertible semestralmente c) Del 7% capitalizable quimestralmente d) Del 7% compuesto cuatrimestralmente e) Del 7% compuesto trimestralmente f) Del 7% capitalizable bimensualmente g) Del 7% compuesta mensualmente h) Del 7% compuesta diariamente i) Del 7% capitalizable continuamente a M = C( 1 + i )n b) M = C( 1 + i )n M = 40.000(1 + 0.07)20.75 M = 40.000(1+0.07/2)2(20)+(9/6) M = 162.844,61 M = 166.757,17 c) M = C( 1 + i )n d) M = C( 1 + i )n M = 40.000(1+0.07/2.4)(2.4(20)+9/5) M= 40.000(1+0.07/3)3(20)+9/4 M = 167.435,84 M = 168.122,47 e) M = C( 1 + i )n f) M = C( 1 + i )n M = 40.000(1+0.07/4)(4(20)+9/3) M= 40.000(1+0.07/6)6(20)+9/2
  • 36. M = 168.817,19 M = 169.520,16 g) M = C( 1 + i )n h) M = C( 1 + i )n M = 40.000(1+0.07/12)(12(20)+9) M= 40.000(1+0.07/360)365(20)+9*30 M =170.231,52 M = 170.804,47 i) M = C( 1 + i )n M = 40.000(2.7182) 0.07 (20.75) M =170.943,95 Monto compuesto con periodos convertibilidad fraccionarios Cuando el tiempo de pago no coincide con el periodo de convertibilidad se presenta el caso de los periodos de capitalización fraccionaria. El tiempo de pago de una deuda es de 4 años y 9 meses, la tasa de interés es de 14% compuesta semestralmente. i= 0.14/2 n = (4(12) + 9)/6 i = 0.07 n = 57/6 i = 7% n = 9 + 1/2 En 5 años y 3 meses con una tasa quimestral. n=(12(5) +3)/5 n= 63/5 n= 12+3/5 En 5 años y 7 meses con una tasa cuatrimestral. n= (5(12)+7)/4 n= 67/4 n= 16+3/4 En 9 años y 1 mes en forma trimestral. n= (9(12+1)/3 n= 109/3 n= 36+1/3 En 8 años y 9 meses en forma bimensual. n= (8(12)+9)/2 n= 105/2
  • 37. n= 52+1/2 EXISTEN DOS MÉTODOS PARA RESOLVER ESTE TIPO DE PROBLEMA 1er método matemático:- donde se utiliza la calculadora con el valor exacto ejemplo: 57/6. 2do método comercial: para el método comercial la parte entera trabaja con el interés compuesto y el pate fraccionario con el interés simple. Determine el moto por los dos métodos de un capital de $ 12.000 a 8 años y 6 meses plazo con una tasa del 8% compuesto cuatrimestralmente. n= 8(12)+6 4 i= 0.08 3 n= 102 4 i= 2.666667 % n= 25 + 1 2 Método matemático método comercial M = c( 1+i)n M = C (1+i)n (1+i*t) M = 12000(1+0.02666667)(102/4) M = 12.000(1+0.02666667)25 (1+0.02666667(1/2) M = 23.476,46 M = 23.478,49 Determine el moto por los dos métodos de un capital de $ 4.800 a interés compuesto durante 15 años y 2 meses plazo con una tasa del 9% convertible quimestralmente. Nª periodos interés n= 15(12)+2 5 i= 0.09 2.4 n= 182 5 I= 3.75% n= 36 + 2 5 Método matemático método comercial M = c( 1+i)n M = C (1+i)n (1+i*t) M = 4.800(1+0.0375)(182/5) M = 4.800(1+0.0375)36 (1+0.0375 (2/5) M = 18.331,93 M = 18.334,92 TASAS EQUIVALENTES Tasa nominal (j) es aquella que se convierte varias veces en el año. Tasa efectiva (i) es aquella que se activa una sola vez al año.
  • 38. ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN Gabriela desea invertir $ 50.000 durante 4 años y tiene las siguientes alternativas. a) Una tasa de interés de 4,1/4% efectiva b) Una tasa de interés del 4% capitalizable semestralmente c) Una tasa de interés del 4.2% compuesta trimestralmente d) Una tasa de interés del 4% convertible mensualmente ¿Cuál de estas tasas le conviene? i= (1+0.0425)-1 b) i= (1+0.04/2)2-1 c) i= (1+0.042/4)4 d) i=(1+0.04/12)12-1 i= 4.25% i= 4.04% i= 4.2666% i= 4,074 Le conviene la oferta “C”. A que tasa de interés efectiva anticipada semestral es equivalente unatasa anticipada del 20% i= (1-0.20/2)-2-1 i= 23.4567% A que tasa de interés anticipada anual convertible trimestralmente es equivalente una tasa efectiva anticipada del 15% d= m(1-(1+i)-1/m d= 4(1-(1+0.15)-1/4) d= 13,7348 A que tasa de interés anticipada convertible mensualmente es equivalente una tasa efectiva anticipada del 17% d= m(1-(1+i)-1/m) d= 12(1-(1+0.17)-1/12) d= 15,5981% A que tasa de interés efectiva anticipada es equivalente una tasa anticipada del 21% compuesta quimestralmente. i= (1-j)-n-1 i= (1-0.21/2.4)-2.4-1 i= 24,5779%
  • 39. CALCULO DE TASA DE INTERÉS EFECTIVA M = (1+i)n i= (M/C)1/n-1 A que tasa efectiva se convierte un capital de $ 300 en $ 750durante 4 años. i= (M/C)1/n-1 i= (750/300)1/4-1 i= 25,7433% A que tasa anual capitalizable trimestralmente se convierte un capital de $ 600 en $ 1500 durante 7 años. Determine su tasa de interés nominal. j= ((M/C)1/n-1)m j= ((1500/600)1/28-1)4 j= 13,3064% A que tasa anual convertible semestralmente se convierte un capital de $ 750 en $ 3250 durante 4.5 años. Determine su tasa efectiva equivalente. j= ((M/C)1/n-1)m j= ((3250/750)1/9-1)2 i= (1+0.353898/2)2-1 j= 35,3898% i= 38,5208% A que tasa anual capitalizable trimestralmente un capital de $ 4000, se convierte en ¾ veces más durante 5 años. Determine la tasa efectiva equivalente. j= ((M/C)1/n-1)m j= ((7000/4000)1/20-1)*4 i= (1+0.113503/4)4-1 j= 11.3503% i= 11,8727% A que tasa anual convertible bimensualmente se convierte un capital de $ 900 en $ 4700 durante 6 años y 10 meses. Determine la tasa anual efectiva equivalente. j= ((M/C)1/n-1)m j= ((4700/900)1/41-1)*6 i= (1+ 0.246833/6)6-1 j= 24,6833% i= 27,3655% CÁLCULO DE TIEMPO DE INTERÉS COMPUESTO M C = (1+i)n m*t = log( M C ) log(1+ j m )
  • 40. log M C = n log(1+i) n= log M C log(1+𝑖) t= m∗log( M C ) log(1+ j m ) En qué tiempo un capital de $ 1.000 se convierta en $ 1.800 con una tasa del 12% efectiva. n= log M C log(1+𝑖) n= log 1.800 1.000 log(1+0.12) n= 5,186565 t= 5 años, 2 meses, 7 días En qué tiempo un capital de $ 8.300 se convierta en $ 16,500 con una tasa del 5% convertible quimestralmente. t= m∗log( M C ) log(1+ j m ) t= 2,4∗log( 16.500 8.300 ) log(1+ 0.05 2.4 ) t= 33,3328683 t= 13 años, 6 meses, 19 días En qué tiempo un capital de $ 8.000 se duplicará con una tasa del 16% capitalizable semestralmente. n= log M C log(1+𝑖) n= log 16.000 8.000 log(1+0.08) n= 4,50323 t= 4 años, 6 meses, 1 día En qué tiempo un capital de $ 4.800 se convierte en $ 13.000 con una tasa del 25% compuesta cuatrimestralmente. n= log M C log(1+𝑖) n= log 13.000 4.800 log(1+0.08333 ) n= 4,14933
  • 41. t= 4 años, 1 mes, 24 días CÁLCULO DEL CAPITAL M = C(1+i)n C= M (1+ j m )m∗t C= M (1+i)n Capital monto f. nominal f. de negociación f. de vencimiento Determine el valor actual de una pagare cuyo valor al vencimientodespués de 5 años es $7.500 considerando una tasa del 9% capitalizable semestralmente. C= M (1+i)n C= 7.500 (1+ 0,09 2 )5(2) C= 4829,46 Determine el valor actual de un documento cuyo monto es de $6.300 durante 5 años y 9 meses con una tasa del 12% compuesta trimestralmente. C= M (1+i)n C= 6.300 (1+ 0,12 4 )4(5)+9/3 C= 3.192,16 Dominica firma un documento cuyo valor nominal es $ 7.100 a 8 años plazo con una tasa del 8% convertible semestralmente desde su suscripción. Si se vede dos años antes de su vencimiento con una tasa del 9% compuesta cuatrimestralmente determine el valor actual del documento. 7.100 8% semestralmente monto? 13.298,17 0 t=2 8 M = C(1+i)n C= M (1+i)n M= 7.100(1+0.04)16 C= 13.298,17 (1+ 0.09 3 ) 3(2) M= 13.298,17 C= 11.137,=
  • 42. Determineel valoractualdeun documentocuyovalornominal es$ 5.100 a 7 añoscon una tasa del 5% convertible semestralmente desde su suscripción. Si se vede dos años antes de la fecha de vencimiento considerando una tasa del 11% compuesto trimestralmente. 5.100 5% semestralmente monto? 7.206,17 0 t=2 7 años 11% tri. M = C(1+i)n C= M (1+i)n M = 5.100(1+0.025)14 C= 7 .206,17 (1+0.0275)8 M= 7.206,17 C= 5.800,29 Después de 2 años de la fecha de suscripción se negocia un documento de $300 convencimientode5añosconunatasadel16% convertiblecuatrimestralmentedesde su suscripción. Determine el valor con los siguientes datos: a) Tasa del 4% convertible semestralmente b) Tasa del 17% convertible trimestralmente c) Tasa del 2% efectiva 300 16% sem.(0.053) n= 15 M?650,95 0 t=3 7 años 4% sem. M = C (1+i)n a) C= M (1+i)n M = 300(1+0.053)15 C= 650,95 (1+0.02)6 M= 650,95 C= 578,02 300 16% sem.(0.053) n= 15 M=650,95 0 t=3 7 años 17% tri. b) C= M (1+i)n C= 650,95 (1+0.0425)12 C= 578,02 c) 300 16% sem.(0.053) n= 15 M=650,95 0 t=3 7 años 2% efectiva.
  • 43. c) C= M (1+i)n C= 650 ,95 (1+0.02)3 C= 613,40 Un documento de $ 4.000 convencimiento en 7 años se negocia después de 3años desde se suscripción con una tasa del 19% convertible semestralmente desde la suscripción para vender este documento se tiene las siguientes alternativas. a) Tasa del 16% convertible trimestralmente b) Tasa del 19% capitalizable semestralmente c) Tasa del 23% efectiva 4.000 i= 0.095 n= 14 M= 14.251,40 0 t=4 7 años a) 16% tri. b) 19% sem. C) 23% efectiva M = C(1+i)n a) C1= M (1+i)n b) C2= M (1+i)n M = 4.000(1+0.095)14 C1= 14.251 ,40 (1+0.04)16 C2= 14.251,40 (1+0.095)8 M= 14.251,40 C1= 7.608,94 con premio C2= 6.895,16 a la par c) C3= M (1+i)n C3= 14.251,40 (1+0.23)4 C3= 6.226,40 con castigo Valor presente o capital Capital con periodos fraccionarios Existen dos formas que son: El método matemático o forma exacta donde se utiliza solo el interés compuesto El método comercial o practico la parte entera a interés compuesto y la parte fraccionaria a interés simple. Ejercicio
  • 44. Hallar el valor actual de un documento que al final de 7 años es $5200. Calcúlese después de haber transcurrido 3 años y 4 meses considerando una tasa del 20% quimestral. 5200 i= 0.083 t= 3a 4m 7 años I= 0.083 método matemática T= 3a 8m C = 5200(1.083)(−44) N = 44/5 C= 25577.94 N= 8/4/5 método comercial 𝐶 = 5200(1.083)(−8) (1+ 0.083( 4 5 )(−1) C= 2576067 El día de hoy se firma un documento de $8000para 9 años plazo con una tasa efectiva del 11% determine el valor actual de ese documento después de 3años 8 meses si se aplica una tasa del 14% capitalizable trimestralmente. 8000 i= 0.035 20464.30 t= 3a 8m 9años T= 5a 3m N= 64/5 N=21/1/3 método matemática M = 20464.30(1.035)(−64/5) M= 9853.57 𝑀 = 8000(1.11)(9) Método comercial M= 20464.30 𝑀 = 20464.30(1.035)(−21) (1+ 0.035(1/3)(−1) M=9822.27 El día de hoy se firma un pagare por $9000 para 7 años y 9 meses plazo con una tasa del 11% compuesta trimestralmente. Halle el valor de este documento después de 4 años y 7 meses con una tasa del 17% convertible bimensual.
  • 45. 9000 j= 0.0458 t= 3a 2m 7.9 M = 9000(1.0458)(93/5) M= 20700.80 M = 20700.80(1.0458)(−11) M= 12249.49