1. SISTEMI KVADRATNIH JEDNAČINA SA DVE
NEPOZNATE
Razlikovaćemo nekoliko tipa sistema:
1) Sistem od jedne kvadratne i jedne linearne jednačine sa dve nepoznate
Postupak: Iz linearne jednačine izrazimo x ili y (šta nam je lakše). To zamenimo u
kvadratnu jednačinu i nju posle sredjivanja rešimo. Ako ima rešenja, njih vraćamo u
''ono'' što smo izrazili.
Primer 1) Reši sistem:
2 x 2 + 2 y 2 + 3x − 2 = 0
x − 2 y = −2
________________
2 x 2 + 2 y 2 + 3x − 2 = 0
x − 2 y = −2 → odavde izrazimo x (lakše) x zamenimo u gornju jednačinu
________________
x = 2y − 2
2(2 y − 2) 2 + 2 y 2 + 6 y − 6 − 2 = 0
2(4 y 2 − 8 y + 4) + 2 y 2 + 6 y − 6 − 2 = 0
8 y 2 − 16 y + 8 + 2 y 2 + 6 y − 8 = 0
10 y 2 − 10 y = 0/ :10
y2 − y = 0
y ( y − 1) = 0
y1 = 0 ∨ y − 1 = 0
x1 = 2 ⋅ 0 − 2 = −2
y2 = 1 ⇒
x2 = 2 ⋅ 1 − 2 = 0
Rešenj su: ( x1 , y1 ) = (−2,0) i ( x2 , y2 ) = (0,1)
Primer 2) Rešiti sistem:
3 x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 3 x − 4 y = 0
2x − y + 5 = 0
________________
www.matematiranje.com
1

2. 3 x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 3 x − 4 y = 0
2x − y + 5 = 0
________________
y = 2x + 5
3 x 2 + 2 x(2 x + 5) + 2(2 x + 5) 2 + 3 x − 4(2 x + 5) = 0
3 x 2 + 4 x 2 + 10 x + 2(4 x 2 + 20 x + 25) + 3 x − 8 x − 20 = 0
7 x 2 + 10 x + 8 x 2 + 40 x + 50 + 3 x − 8 x − 20 = 0
15 x 2 + 45 x + 30 = 0/ :15
x 2 + 3x + 2 = 0
a =1
b=3 − b ± b 2 − 4ac − 3 ± 1
x1, 2 = =
c=2 2a 2
x1 = −1
x 2 = −2
Zamenom x1 i x2 u y = 2 x + 5 dobijamo:
y1 = 2(−1) + 5 = −2 + 5 = 3
y2 = 2(−2) + 5 = −4 + 5 = 1
Dakle rešenja su: (−1,3), (−2,1)
2)Sistem od dve kvadratne jednačine, koje sadrže samo ax 2 i ay 2 i slobodne članove
Ovaj sistem je oblika: a1 x 2 + b1 y 2 = c1
a2 x 2 + b2 y 2 = c2
Najlakše ga rešiti metodom suprotnih koeficijenata.
Primer 1) Rešiti sistem: 5 x 2 − 6 y 2 = 11
7 x 2 + 3 y 2 = 714
______________________
5 x − 6 y = 11
2 2
7 x 2 + 3 y 2 = 714 → Drugu jednačinu množimo sa 2
______________________
5 x 2 − 6 y 2 = 111 ⎫
⎪
+
14 x + 6 y = 1428 ⎬
2 2
_________________________ ⎪
⎭
19 x = 1539
2
www.matematiranje.com
2

3. x 2 = 81 x = ±9
x = ± 81 x1 = 9
x2 = −9
7 x + 3 y = 714
2 2
7 ⋅ 81 + 3 y 2 = 714
567 + 3 y 2 = 714
3 y 2 = 714 − 567
3 y 2 = 147
y 2 = 49
y = ± 49
y1 = +7
y2 = −7
Pazi sad pravimo ‘’kombinacije’’:
(9,7), (9,-7), (-9,7), (-9,-7)
Dakle, ima 4 rešenja!!!
Pre nego se upoznamo sa novim tipom sistema, naučimo šta su to HOMOGENE
jednačine
Njen opšti oblik je:
Ax 2 + Bxy + Cy 2 = 0
x
Nju možemo rešiti najlakše smenom x = yz tj. z =
y
Ax 2 + Bxy + Cy 2 = 0
⎛ x2 xy y2 ⎞
y2 ⎜ A 2 + B 2 + C 2 ⎟ = 0
⎝ y y y ⎠
⎛ ⎛ x ⎞2 ⎛x⎞ ⎞
y ⎜ A⎜ ⎟ + B ⎜ ⎟ + C ⎟ = 0
2
⎜ ⎝ y⎠ ⎝ y⎠ ⎟
⎝ ⎠
y 2 ( Az 2 + Bz + C ) = 0
y=0 ∨ Az 2 + Bz + C = 0 nama ovo treba!!!
www.matematiranje.com
3

4. − B ± B 2 − 4 AC
z1,2 =
2A
z1 = ...
z2 = ...
Vratimo se na stare nepoznate….
x = z1 y i x = z2 y
3) Sistem od dve kvadratne jednačine od kojih je jedna homogena
⎧ 2
⎪ Ax + Bxy + Cy = 0
2
Taj system je oblika: ⎨ 2
⎪ax + bxy + cy 2 + dx + ry + f = 0
⎩
Iz prve jednačine (homogene) dodjemo do dve linearne jednačine, pa svaku od njih
ukombinujemo sa drugom jednačinom sistema tako da dobijemo dva nova sistema
jednačina.
Primer 1: Rešiti sistem jednačina:
x 2 − 3xy + 2 y 2 = 0 → homogena, prvo nju rešimo
x 2 − 3x − y + 3 = 0
_________________________
x 2 − 3xy + 2 y 2 = 0
⎛ x2 x ⎞ x
y2⎜ 2 − 3 + 2⎟ = 0
⎜y ⎟ = z smena x = zy
⎝ 4 2y 4 ⎠
1 4 43
y
samo ovo nas zanima
z − 3z + 2 = 0
2
3 ±1
z1,2 =
2
z1 = 2
z2 = 1
Vratimo se u smenu:
Za z1 = 2 ⇒ x = 2 y
Za z2 = 1 ⇒ x = y
4

5. Sad ovo zamenimo u drugu jednačinu x 2 − 3x − y + 3 = 0
_________________________
x 2 − 3x − y + 3 = 0 x 2 − 3x − y + 3 = 0
(2 y ) 2 − 3 ⋅ 2 y − y + 3 = 0 x 2 − 3x − x + 3 = 0
4 y2 − 6 y − y + 3 = 0 4 y2 − 4x + 3 = 0
4 y2 − 7 y + 3 = 0 4±2
x1, 2 =
7 ±1 2
y1, 2 = x1 = 3
8
y1 = 1 x2 = 1
6 3
y2 = = y1 = 3, y2 =1
8 4
3 3
x1 = 2 ⋅1 = 2, x2 = 2 ⋅ =
4 2
⎛ 3 3⎞
Dakle , rešenja su: (2,1), ⎜ , ⎟ ,(3,3), (1,1)
⎝ 2 4⎠
Primer 2: Rešiti sistem:
x 2 + xy − 6 y 2 = 0
x 2 − 2 xy + 2 y 2 = 18
___________________________
x 2 + xy − 6 y 2 = 0
⎛ x2 x ⎞
y2 ⎜ 2 + − 6 ⎟ = 0
⎝y y ⎠
x
z 2 + z − 6 = 0 Smena =z
y
−1 ± 5
z1, 2 =
2
z1 = 2
z 2 = −3
Dalje je : x = yz ⇒ x = 2 y ili x = −3 y
Sad pravimo nova dva sistema.
x = 2y x = −3 y
x 2 − 2 xy + 2 y 2 = 18 x 2 − 2 xy + 2 y 2 = 18
___________________________ ___________________________
5

6. (2 y ) 2 − 2 ⋅ 2 y ⋅ y + 2 y 2 = 18
(−3 y ) 2 − 2 ⋅ (−3 y ) ⋅ y + 2 y 2 = 18
4 y − 4 y + 2 y = 18
2 2 2
9 y 2 + 6 y 2 + 2 y 2 = 18
y =9
2
17 y 2 = 18
y = ±3
y1 = +3 y2 = −3 18
y2 =
x1 = 2 ⋅ 3 x2 = 2 ⋅ (−3) = −6 17
(6,3) (-6,-3) 18
y=±
17
18
y1 = +
17
18
y2 = −
17
18 18
x1 = −3 x2 = 3
17 17
⎛ 18 18 ⎞ ⎛ 18 18 ⎞
⎜−3 ⎟ i ⎜3 ⎟
⎜ ,
17 17 ⎟ ⎜ 17 ,− 17 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Dakle opet ima četri rešenja!!!
4) Sistemi koji se svode na homogene jednačine
Opšti oblik ovog sistema je:
a1 x 2 + b2 xy + c1 y 2 = d1
a2 x 2 + b2 xy + c2 y 2 = d 2
_______________________________
Ideja je da se metodom suprotnih koeficijenata unište d1 i d 2 I da se dobije homogena
jednačina. Nju rešimo i formiramo dva nova sistema. Ništa bez primera:
Primer 1: Reši sistem:
2 x 2 − 3xy + 2 y 2 = 4
Prvu jednačinu pomnožimo sa 7, a drugu sa -4
x 2 + xy + y 2 = 7
______________________
www.matematiranje.com
6

7. 14 x 2 − 21xy + 14 y 2 = 28 ⎫
⎪
⎬+
− 4 x − 4 xy − 4 y = −28⎪
2 2
⎭
______________________________ _____
10 x 2 − 25 xy + 10 y 2 = 0 / : 5
2 x 2 − 5 xy + 2 y 2 = 0 → Dobili smo homogenu jednačinu!!!
x2 x x
2 2
−5 + 2 = 0 =z
y y y
2 z − 5z + 2 = 0
2
5±3
z1, 2 =
4 Vratimo se u smenu
z1 = 2
1
z2 =
2
x x 1
=2 ili =
y y 2
x = 2 y ili y = 2x
Sada izaberimo jednu od početne dve jednačine (onu sa manje brojke) i formiramo dva
nova sistema:
x = 2y y = 2x
x + xy + y = 7
2 2
x 2 + xy + y 2 = 7
______________________ ______________________
(2 y ) + 2 y ⋅ y + y = 7
2 2
x 2 + x ⋅ 2 x + ( 2 x) 2 = 7
4 y2 + 2 y2 + y2 = 7 x2 + 2x2 + 4x2 = 7
7 y2 = 7 7 x2 = 7
y2 = 1 x2 = 1
y = ±1 x = ±1
y1 = 1 x1 = 1
y2 = −1 x 2 = −1
Onda je: Onda je:
x1 = 2 ⋅ y1 = 2 x1 = 2 x1 = 2
x2 = 2 ⋅ (−1) = −2 x2 = 2 ⋅ (−1) = −2
7

8. Odavde su dakle rešenja: Odavde su rešenja
(2,1) i (-2,-1) (1,2), (-1,-2)
Konačno rešenja su:
(2,1), (-2,-1), (1,2), (-1,-2)
5) Rešavanje složenijih slučajeva:
Kod sistema koji ne pripadaju nijednim od proučenih tipova, tražimo način da
eliminišemo jednu nepoznatu, sredjujemo jednačine da uvedemo smenu, pravimo da
jedna jednačina bude proizvod jednak nuli…
Ovde nemamo neki ‘’dobar’’ savet, iskustvo je odlučujuće, dakle što više zadataka
uradite, to ćete više ‘’trika’’ naučiti!!!
Bilo kako bilo, evo par primera:
1) Rešiti sistem jednačina:
x + xy + y = 19
x 2 y + xy 2 = 84 → izvičimo odavde xy
____________________
x + y + xy = 19
xy ( x + y ) = 84 Sad uvodimo smene x+y= a i xy=b
____________________
a + b = 19
a ⋅ b = 84
____________
b = 19 − a
a ⋅ (19 − a) = 84
19a − a 2 − 84 = 0
a 2 − 19a + 84 = 0
19 ± 5
a1, 2 =
2
a1 = 12 ⇒ b1 = 7
a2 = 7 ⇒ b2 = 12
www.matematiranje.com
8

9. Vratimo se u smene:
x + y = 12 ∧ xy = 7
y = 12 − x
x(12 − x) = 7
12 x − x 2 − 7 = 0
x+ y =7 ∧ xy = 12
x 2 − 12 x + 7 = 0
y =7−x
x(7 − x) = 12
12 ± 116 12 ± 2 29
x1, 2 = = 7 x − x 2 − 12 = 0
2 2
x1, 2 =
(
2 6 ± 2 29 ) x 2 − 7 x + 12 = 0
7 ±1
2 x1, 2 =
2
x1 = 6 + 2 29
x2 = 6 − 2 29 x1 = 4
____________________
x2 = 3
y1 = 12 − 6 − 29 = 6 − 29 y1 = 3 y2 = 4
Odavde su rešenja:
y2 = 12 − 6 + 29 = 6 + 29 (4,3), (3,4)
(6 + )(
29 ,6 − 29 , 6 − 29 ,6 + 29 )
2) Rešiti sistem:
x 4 + y 2 = 17 Odavde možemo da drugu jednačinu pomnožimo sa (-1) I da
2
x 2 + y 2 = 5 eliminišemo y
_______________
x 4 + y 2 = 17
− x 2 − y 2 = −5
_________________
x 4 − x 2 = 12
x 4 − x 2 − 12 = 0 ⇒ ovo je bikvadratna jednačina
Smena: x 2 = t
t 2 − t − 12 = 0
1± 7
t1, 2 =
2
t1 = 4
t 2 = −3
9

10. Vratimo se u smenu:
x2 = t x 2 = −3
x2 = 4 x = ± −3 = ± 3i
x1 = 2 x3 = + 3i, x4 = − 3i
x2 = −2
Vratimo se u x2 + y2 = 5
4 + y2 = 5
y2 = 1
y1 = 1
y = −1
2
__________
x2 + y 2 = 5
−3 + y 2 = 5
y 2 = 8 ⇒ y = ±2 2
y1 = 2 2
y2 = −2 2
Rešenja su:
(2,1), (2,-1), (-2,1), (-2,1), ( ) (
3i, 2 2 , ) ( ) (
3i, −2 2 , − 3i, 2 2 , − 3i, −2 2 , )
Dakle ima ih 8.
www.matematiranje.com
10