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 A) 1, 6, 11, 16……
 B) 45, 40, 35, 30
 C) 10, 20, 40, 80……
 D) 24, 12, 6, 3
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PROGRESIONES
PROGRESION
ARITMETICA
PROGRESION
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 1 + 5 = 6
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 Una progresión finita es aquella que tiene un
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 Una progresión infinita es aquella que...
 Para calcular el enésimo término de cualquier
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 l = último término
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 Ejemplo: 4, 8, 12, 16, 20, 24
 El primer termino es (a) es 4.
 La diferencia común (d) es 4, pues 8 – 4 = 4, 12 – 4 ...
 Además la suma de los n primeros términos de este tipo
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 El Término general de una P.A se puede obtener de dos formas
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6/3, 12/3, 24/3….
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En la progresión geométrica: 3, 12, 48, 192, 768,…
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 El segundo término que es 12, se obtuvo de
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Según la definición anterior y el ejemplo de
progresión geométrica que se ha presentado, se
verifica:
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EJEMPLO
Cuál es el quinto término de una progresión
geométrica en la que el primer término es 2 y
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Otra forma de obtener el quinto término sería utilizando la
fórmula del n-ésimo término: an
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Progresiones

  1. 1. 1
  2. 2.  También conocida como una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados que tienen un comportamiento común entre si.  A los números que forman la sucesión se les llama términos y todas las sucesiones tienen un primer término seguido de otros que cumplen con una regla entre ellos.  Una sucesión se puede representar mediante una expresión que permite conocer el valor de cada término sabiendo el lugar (n) que ocupa. 2
  3. 3.  A) 1, 6, 11, 16……  B) 45, 40, 35, 30  C) 10, 20, 40, 80……  D) 24, 12, 6, 3  ¿Cuáles progresiones crecen y cuales decrecen?  ¿Qué operaciones aritméticas corresponde a cada progresión? 3
  4. 4. PROGRESIONES PROGRESION ARITMETICA PROGRESION GEOMETRICA Es aquella sucesión donde un termino de ella va aumentando una cantidad constante llamada razón (r) Es una sucesión donde un término es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón (q).
  5. 5. 5  Una progresión aritmética es una sucesión de números llamados términos, en la que cualquier término es el resultado de sumar al anterior una cantidad constante (positiva o negativa), llamada diferencia común y se calcula como:  Un término n menos el que le antecede 1−−= nn aad
  6. 6. 6  1, 6, 11, 16… donde se observa que la cantidad constante que se suma es 5:  1 + 5 = 6  6 + 5 = 11  11 + 5 = 16  Y en 45, 42, 39, 36 se observa que la cantidad que se suma es: -3  45 - 3 = 42  42 - 3 = 39  39 - 3 = 36
  7. 7. 7  Una progresión finita es aquella que tiene un número determinado de términos.  Una progresión infinita es aquella que tiene un número indefinido de términos.
  8. 8.  Para calcular el enésimo término de cualquier progresión aritmética utilizamos:  Donde:  l = último término  n = número de términos  a = primer término  d = la diferencia común 8 dnal )1( −+=
  9. 9. 9  Ejemplo: 4, 8, 12, 16, 20, 24  El primer termino es (a) es 4.  La diferencia común (d) es 4, pues 8 – 4 = 4, 12 – 4 = 4.  El número de términos (n) es 6.  Primer termino: a = 4  Segundo termino: a + d = 4 + 4 = 8  Tercer termino: a + 2d = 4 + 2(4) = 12  Cuarto termino: a + 3d = 4 + 3(4) = 16  Quinto termino: a + 4d = 4 + 4(4) = 20  Sexto termino: a + 5d = 4 + 5(4) = 24
  10. 10.  Además la suma de los n primeros términos de este tipo de sucesiones se puede calcular como:  Donde:  S = es la suma de los n términos  l = último término  n = número de términos  a = primer término  d = la diferencia común 10 2 )(an S + l =
  11. 11.  El Término general de una P.A se puede obtener de dos formas dependiendo de lo que conozcamos: 1) Si conocemos el 1er término. an = a1 + (n - 1) · d Ejemplo: Halla el término general de la sucesión 8, 3, -2, -7, -12, .. Solución: El término general vendrá dado por: an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13
  12. 12. 2) Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la sucesión (ak). an = ak + (n - k) · d Ejemplo: Halla el término general sabiendo que a4= -7 y d = -5 Solución: El término general vendrá dado por: an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
  13. 13. Progresión Primer Término a Diferencia común d Valor del 8° término l 12, 18, 24, 30, 36 -3, -3/2, 0, 3/2, 3, 9/2 …. 2, 6, 10, 14, 18, 22 ½, 1, 1 ½, 2 .... 13
  14. 14.  Definir si las siguientes sucesiones son aritméticas, y en caso de serlo obtenga su término general. a) 5, 12, 19, 26, … b) 3/7, 5/7, 1, 9/7,… c) 2/3, 1/3, 0, -1/3,… d) Calcule para el literal a) el 10º término. e) Calcule para el literal b) el 35º término. f) Calcule para el literal c) el 90º término.
  15. 15.  Es una sucesión de números llamados términos, de tal forma que cada uno de ellos, después del primero, se obtiene multiplicando el termino anterior por una cantidad constante (entero o fracción, positivo o negativo) llamada razón común. 15 1− = n n a a r
  16. 16. 6/3, 12/3, 24/3…. La razón común es r = 2 dado que: 6/3 * 2 = 12/3 12/3 * 2 = 24/3 Los elementos de una progresión geométrica son: a = primer término r = la razón común l = último término o enésimo termino n = número de términos 16
  17. 17. En la progresión geométrica: 3, 12, 48, 192, 768,… se observa que:  El segundo término que es 12, se obtuvo de multiplicar por 4 el primer término. El tercer término que es 48, se obtiene de multiplicar el segundo término por 4 y así sucesívamente. EJEMPLO
  18. 18. Según la definición anterior y el ejemplo de progresión geométrica que se ha presentado, se verifica: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = a1 · r · r = a1 ·r 2 a4 = a3 · r = a1 · r 2 · r = a1 · r 3 Donde a1 ; a2 ; a3 ;… son los términos de la progresión geométrica. Luego reemplazando se tiene: a1 ; a1 · r ; a1 ·r 2 ; a1 · r 3 ; …; aa11 ·· rr nn - 1- 1 Es decir que el término nésimo o término general se obtiene de la siguinet forma. nn - 1- 1
  19. 19. EJEMPLO Cuál es el quinto término de una progresión geométrica en la que el primer término es 2 y la razón es 3? Solución. Una forma sería multiplicado el primer término por la razón, y seguir el mismo procedimiento con el siguiente término hasta obtener el quinto término: 2x3 = 6, 6x3 = 18 , 18x3 = 54, 54x3= 162 Luego el quinto término es 162.
  20. 20. Otra forma de obtener el quinto término sería utilizando la fórmula del n-ésimo término: an = a1 · r n – 1 donde: an :es el quinto término, a1 :es el primer término r :es la razón n :es la cantidad de términos que en esta caso son 5 términos. Luego se reemplaza en la fórmula: a5 = 2 (3)5 – 1 = 2 (3)4 = 2 (81)= 162 Observando extremos: a5 = 162.
  21. 21. 21
  22. 22. 22

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