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El presente solucionarlo Física 1y II de Leiva, es un aporte a los estudiantes que
aún quedan con la curiosidad de saber más sobre cómo interpretar las ciencias físicas
en sus diversos problemas.
Éste texto es un humilde complemento al texto Física de Leiva que tiene un buen
contenido utilizado por los estudiantes de ingeniería a nivel nacional e internacional, el
cuál recomendamos en un 100% como lectura obligatoria.
No obstante éste solucionario en su primera edición desarrollado al 80% es un
avance en lo que respecta a presentación y sistema didáctico de presentación dirigido
a todos los niveles de la educación que se encuentren involucrados en ésta rama.
El solucionario está desarrollado en su mayoría de aportes de profesionales que
en sus pasos de enseñanza por las principales universidades, otorgan a la editorial
para publicarlo bajo la supervisión y apoyo del Dr. Eduardo Espinoza Ramos, quien
orienta en ciertos aspectos de la publicación.
SOLVER-EDK® es una marca registrada por Edukperu® con todos los derechos
reservados utilizado para la publicación de solucionarios de textos importantes en el
nivel universitario de las diversas carreras.
VECTORES SOLVER EDK «
Se pide demostrar que si el módulo de la suma y diferencia de dos vectores en el
espacio son iguales, entonces los vectores en el espacio son perpendiculares. Hacer
por componentes.
Piden:
M iiT O T ífir
Si |A-B|=|A+B|->A y B son perpendiculares.
Sea A=(Ax,Ay,Az)B=(Bx,By,Bz)
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Ay B son perpendiculares
Demostrar que:
(PxQ)(RxS)+(QxR).(RxP)+(QxS)=0
Usar la relación: Px(QxR) =Q(P.R)-R(P.Q)
La demostración es inmediata usando la relación brindada. La idea es formar a partir
de la relación los sumandos que piden demostrar, al sumar dichas ecuaciones se
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encontrará con ciertos valores negativos que podrá sumar igualando a cero la
expresión.
Dado los vectores P=(2,-1,1) y y Q=(-l,2,2)y R=(l;-2,a)
Cuánto debe valer a para que los vectores sean coplanares.
P,Q,R son coplanares si P.(Q x R)=0
i j k
Resolviendo QxR= =(2a+4,a+2,0)
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Tenemos:
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Resolviendo aplicando la propiedad
P x (Q x R)=Q(P. R)-R(Q.P)
De (a):
í x (A x Í)+J x (A xJ)+k x(A xj)
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Si P+Q+R=0 , Demostrar quePxQ=QxR=RxP:
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  • 4. El presente solucionarlo Física 1y II de Leiva, es un aporte a los estudiantes que aún quedan con la curiosidad de saber más sobre cómo interpretar las ciencias físicas en sus diversos problemas. Éste texto es un humilde complemento al texto Física de Leiva que tiene un buen contenido utilizado por los estudiantes de ingeniería a nivel nacional e internacional, el cuál recomendamos en un 100% como lectura obligatoria. No obstante éste solucionario en su primera edición desarrollado al 80% es un avance en lo que respecta a presentación y sistema didáctico de presentación dirigido a todos los niveles de la educación que se encuentren involucrados en ésta rama. El solucionario está desarrollado en su mayoría de aportes de profesionales que en sus pasos de enseñanza por las principales universidades, otorgan a la editorial para publicarlo bajo la supervisión y apoyo del Dr. Eduardo Espinoza Ramos, quien orienta en ciertos aspectos de la publicación. SOLVER-EDK® es una marca registrada por Edukperu® con todos los derechos reservados utilizado para la publicación de solucionarios de textos importantes en el nivel universitario de las diversas carreras.
  • 5. VECTORES SOLVER EDK « Se pide demostrar que si el módulo de la suma y diferencia de dos vectores en el espacio son iguales, entonces los vectores en el espacio son perpendiculares. Hacer por componentes. Piden: M iiT O T ífir Si |A-B|=|A+B|->A y B son perpendiculares. Sea A=(Ax,Ay,Az)B=(Bx,By,Bz) |(Ax -Bx,Ay-By,Az -Bz)|=|(Ax+Bx,Ay+By,Az+Bz)| (Ax -Bx)2 +(Ay-By)2 +(Az -Bz)2 =J(Ax+Bx)2 +(Ay+By)2 +(Az+B,)2 Ax+Bx -2AxBx+Ay+ By42AyBy+Az+Bz-2AzBz=Ax+Bx+2AxBx +Ay+BY+2AyBy+Az+Bz+2AzBz 4AxBx+4AyBy+4AzBz= 0 AxBx+AyBy+AzBz= 0 AB=0 Si A.B=0— > Ay B son perpendiculares Demostrar que: (PxQ)(RxS)+(QxR).(RxP)+(QxS)=0 Usar la relación: Px(QxR) =Q(P.R)-R(P.Q) La demostración es inmediata usando la relación brindada. La idea es formar a partir de la relación los sumandos que piden demostrar, al sumar dichas ecuaciones se www.ecJuKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II V
  • 6. É i P H M Ü l i a ...................................................................... '........- V E C T0 R E S encontrará con ciertos valores negativos que podrá sumar igualando a cero la expresión. Dado los vectores P=(2,-1,1) y y Q=(-l,2,2)y R=(l;-2,a) Cuánto debe valer a para que los vectores sean coplanares. P,Q,R son coplanares si P.(Q x R)=0 i j k Resolviendo QxR= =(2a+4,a+2,0) - 1 2 2 1 -2 a P.(QxR)=(2,-l,l)(2a+4,a+2,0)=0 =(2(2a+4)-(a+2)+0)=0 a=-2 Simplificaíx(Axí)+Jx(AxJ)+kx(Axk)r: Tenemos: Tx (Axí)+Jx (Axj)+kx(Ax])...(a) Resolviendo aplicando la propiedad P x (Q x R)=Q(P. R)-R(Q.P) De (a): í x (A x Í)+J x (A xJ)+k x(A xj) A (].J)'-j (A .j)’+A (p 4 °- J(^ )U =2A Si P+Q+R=0 , Demostrar quePxQ=QxR=RxP: i m m m m P+Q+R=0....(1) SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y lf wwwedukperuxom
  • 7. VECTORES SOLVER EDK « Piden demostrar que PxQ=QxR=RxP Hallamos PxQ, Sabemos por (I) Que Q=-P- R =>PxQ=Px-l(P+R)=-PxP-PxR' =-PxR=RxP Para QxR=Qx(-Q-P)=-QxQ-QxP --QxP=PxQ PxQ=RxP=QxR pÉ Simplificar (PxQ).(QxR)x(RxP) Simplificando utilizando la propiedad AxBxC=B(A.C)-C(A.B) A.(B x C)=C(AxB)= B.(CxA) A.nB=nA.B; A.B=B.A =>(PxQ.[(QxK)x(RxP)] =>(PxQ).[R(QxR).P-P(QxR).R] = > (PxQ).[R P(QxR)-P R(QxR)] R (QxR)=0 ya que R IQ xR =>=(PxQ)[R P(QxR)] =[P.(QxR)] [R.(PxQ)] =[P.(QxR)] [P.(Q.xR)] =[P.(QxR)]2 Demostrar: (PxQ).(RxS)=(PxR).(QxS)-(PxS).(QxR) www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
  • 8. » SOLVER EDK VECTORES Queremos probar que: (PxQ).(RxS)=(PxR)(QxS)-(PxS) (QxR) Por propiedad A(BxC)=C.(AxB)=B.(CxA) = > (PxQ).(RxS)=R.(SxPxQ) =r.[p (s .q )-q (s .p )]=(r.p ) (S.Q)-(R.Q)(S.P) Ordenando (PxQ).(RxS)=(P.R)(Q.S)-(P.S)(Q.R) Teniendo en cuenta las propiedades Px(QxR)=Q(P.R>R(P.Q) P.(QxR)=R.(P.Q)=GT(RxP) P.P=0 y PxQ=-QxP ( P x Q ) .( R x S ) = S [ P x Q x R ] .. ..( 1 ) (Q.R).(PxQ)=P[QxQxR].. ..(2) (R.P).(Q.S)=S[RxPxQ] .... (3) De (1) s .[q (p .r)-r(p .q )]=(s .q )(P.r) (s .r) ( p .q )...(«) De (3) S.[-PxQxR]=(S.Q)(P.R)+(S.R)(P.Q).. .(p) De (2) P[QxQxR]=0 Ya que QxQ=0 Sumando (a) y (P) Tenemos. (PxQ)=(RxS)+(QxR)(PxQ)+(RxP) ((QxS)=0 Demostrar que los vectores P= (2,8,0) ,Q= (-2,3,8) Y R=(0,6,-4) Pueden ser los lados de un triángulo. Hallar las longitudes de las medidas triángulo. M m a m m SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.eciukperu.com
  • 9. VECTORES SOLVER EDK « Para que los vectores puedan ser lados de un triángulo tienen que cumplir: RP+PQ=RQ RP=(2, 2,4) PQ= (-4, -5, 8) RP+PQ=(-2, -3,12)=RQ . * •Por tanto estos vectores si son lados de un triángulo. Tenemos el siguiente triángulo: P Hallamos las longitudes de las medianas: RO=RQ--PQ wmv.6duKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II i
  • 10. » SOLVER EDK VECTORES PN=-RQ-RP QM=-RP-RQ Los componentes de las medianas son: PN=(-3,-¿,2) R O = ( ° , - i , s ) QM=(3,4, -10) Entonces las longitudes serán: L,=|PN|=5,02 L 2 = | R O | = 8,01 L 3= | Q M | = 1 1 ,1 8 Dado el paralelogramo PQRS donde T Y L Son los puntos medios de los lados QR Y PS respectivamente. Demostrar que PT Y PL dividen a la diagonal PQS entres partes mediante los puntos M Y N. Q Teniendo en cuenta los triángulos PQR y PRS, tendremos que N y M son baricentros respectivamente. SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www.edukpery.com
  • 11. VECTORES SOLVER EDK « Por lo tanto ON=^ÑQ....(l) y ■ MO=^SM....(2) probado en el problema 42 de los problemas resueltos. Pero O divide en la mitad al vector MN, teniendo ^=ON=MO...(3) De (1), (2), y (3) obtenemos que: MN=ÑQ=SM Tomando MP=MA+AP pero MP=^BA+^AD Pero sabemos que: BA+AD=BD ^ m p=1bd De esto tenemos queMPIIBD Ahora tomamos el vector NO tenemos NO= NC+ CO ÑO=1b C+“ CD Pero BC+CD=BD Tenemos que ÑO=~BD De esto obtenemos que NBIIBD ComoÑBIIBD yMPIIBD Entonces NBIIMP y NB=MP vvvvw,eduKperu.corn SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 12. > >SOLVER EDK 3 VECTORES Lo mismo procedemos con los otros vectores: Por lo tanto: MNHPO y MN=OP ÑBIIMP y ÑB=MP 3 Demostrar que las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un punto y se llama incentro y corresponde al centro de las circunferencias inscritas al triángulo. B Tenemos que demostrar que AM.OM=BN.ON=AP.OP=0 M .0M =M .(AM -XB) La Proyección de AO sobre AB es AO.p=AO cosa pero AM=AO cosa =>AO.p=AM En (a): Luego: ÁMlOM De igual forma se puede demostrar que: BÑ.OÑ=0 y AP.OP=0 En el triángulo AMO y APO usamos la Ley de Senos 8 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY II www.edukperu'.Ci
  • 13. VECTORES SOLVER EDK « |AO| |OM| sen 90 sen a |ÁO| |OP| |OM|=|AB|sena =|OP|=|AO|sena sen vu sen a Luego |OP|=|OM|=R De igual forma se demuestra que |OP|=|OM|=R Dado los vectores PY Q ; que forman ángulo 0; demostrar: QsenO tan0=——- - - P+Qcos0 donde 0es el ángulo entre la resultante y el vector P . • n Del triángulo formado por los vectores P,Q,R Por ley de senos tenemos _ P Q R sena sen0 ” sena(180-Q) P= Q sen0 , a=Q-0 = > P= Q sen0 =^P=Qsen0-Qcos0 (sen0 cos0-sen0cos0) www.edukDeru.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I
  • 14. » SOLVER EDK VECTORES =>tan0= Qsen0 P+Q cos0 Dado los vectores P yQ,R=mP+nQ, tal como se indica en la figura. Si P =3, Q =5 y R =10. Hallar la relación: m/n. Tenemos los módulos de cada vector: (P)=3 (Q)=5 Para los vectores que suman R deben de ser iguales, entonces: (nQ)=(mP) ]Q|_m |?í =ñ m 5 n 3 Se dan los vectores P yQ forman un ángulo agudo tal que sen0= 3/g. Si el módulo de P=16 y sabiendo que P es ortogonal a(P-Q) : Hallar el módulo de Q i SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I vvww.edukperu,com
  • 15. VECTORES f" ' ".... SOLVER EDK « Según él dato P1(P-Q)=» =90° de la parte sombreada, por ley de senos tenemos: P O sen (90-0) sen90 P = > Q = sen53° =20 © Las caras de un tetraedro regular son triángulos equiláteros de lado a. (a) Hallar el ángulo que hace cada lado con la cara opuesta, (b) La distancia de un vértice a la cara opuesta. Hacerlo por vectores. vvvWv.eduKperu.corn SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 16. » SOLVER EBK * VECTORES a=|ÁB|=|BC|=|CD|=|BD|=|AD| El área de la figura sombreada será: ,— .— > .senO a =|b d |.|d m | r MA+AD=MD ^MA+AD=MD Si “O” es baricentro: |MD|=¿r3|AC| _> 2— > OD=-MD El CosO: |O P|_||M p| 2/1 ^ |AC[ > D f |ÁC| " 3 V2 K | V3 Cos 0= — 0=54,73° Y la altura será: h=a sen(54,73) h=0,81 a Sea PQRSTM los vértices de un hexágono regular. Hallar la resultante representados por los vectores.PQ ,PR,PS,PT, y PM . de las fuerzas SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II w w w .eduKperu.com
  • 17. VECTORES SOLVER EDK « Haciendo coincidir el punto P con el origen de coordenadas y considerando el lado de longitud a. Tenemos: PQ=a cosóO+a senóOJ PR=asenóOj+a senóOj PS=2a cos60Í+2a senóOj MS=(a+a cos60°)í+a senóOj PM=aí Sumando en X y Y tenemos PQ+PR+PS+MS+PM=3 a i+6a senóO] 6a cos60i+6a sen60j= 3PS www.eduKperu,corn SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 18. » SOLVER EDK D . VECTORES Demostrar que el polígono que resulta de unir los medios de los lados de un cuadrilátero es un paralelogramo. Hallar un vector de longitud 1y perpendicular aA = (l,l,l) y B=(2,3,-l). mmmm Sea el vector P tal que |P|=1 PJLB P IA Si P lB y 1P±A— >P.B=0 P,A=0 P ,B = ( P ! ,P 2 ,P 3) ( 2 , 3 r l ) = 2 P ,+ 3 P 2 - P 3 = 0 . •.(D P .A = ( P 1,P 2 ,P 3) ( 1 , 1 , 1 ) = P 1+ P 2 + P 3 - ( 1 1 ) Resolviendo: Hallando K: — 4 K P1 = --KP2 =KP3 =3 |p |=i = J p ? + p ! + P i 16 K =>-^K +K2+:t-=1= > K±‘ rxr 9 8 V26 P=±4=H-3,D V26 ^ Hallar un vector de longitud 1y perpendicular a A=(l/l,l)y B=(2,3,-l) 14 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY II www.edúkperu.coni
  • 19. jhíb»mm (a) Hallar todos puntos de que pueden ser el cuarto vértice del paralelogramo formado por los otros tres vértices A =(1,0,1), B =(-1,1,1) YC= (2,-1,2) .(b) también hallar el área del triángulo ABC. 0RES ( SOLVER EDK « jH iw iB itg ay N Siendo A, B, C y D vectores de un paralelogramo se cumple que A+C=B+D En el paralelogramo se cumple A+C =B+D Tenemos: (2+Pl7P2/P3+2)=(0; 1, 2) P1 = -2 7P2=2 , P3 =0 P=(-2, 2; 0) Lo mismo se aplica para hallar los demás vértices, por tanto tenemos que: AC=(1; -1,1), AB=(-2; 1, 0) CB=(-3,2,-l) Sabemos que w w w *.eduKperu.coro I SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 20. » SOLVER EDK ) VECTORES a a=k IACxABI =>ACxAB= i j k 1 - 1 1 -2 1 0 1 = > A a=:tV6=— =c-l, - 2, -1) V6 Dos vectores P = (2,-3 ,6) y Q= (-1,2,-2) están aplicados a un mismo punto. Hallar las coordenadas del punto R que tiene la dirección de la bisectriz del ángulo formado por los vectores P y Q, Si R = 3^¡42 . Podemos relacionar de la siguiente arquitectura manera por gráfico ■ RxQllPxR Ahora hallamos K tal que RxQ=K PxR (a) |RxQ|=|K PxR| |R||Q| sen0=K|P||K|sen0 De (a) tenemos que -2b-2c=^(-3c-6b) 2a - c =3/7(-2c+6a) 2a +b =3/7(2b+3a) 3 - K=7 Resolviendo a =-K b= 5K c=4K SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.etiukperu coi
  • 21. VECTORES C I SOLVER EDK « Su módulo del vector R=(-K, 5K, 4K) •Es 3VÍ2 = > K 2+2SR2+16K2 =9V42 K=3 .-.R=(-3,15,12) f j SI P+Q+R =0. Demostrar que PxQ+QxR+RxP=3PxR . U U aiU Teniendo en cuenta el problema 5) tenemos que PxQ=RxP=QxR =>PxQ+QxRTRxP=3PxQ Hallar el área del triángulo cuyo vértices son los puntos A = (2,-2,3). B(1,-2)YC =(4,2,-1) CA=(-2, -4,4) CB=(-3, -4,1) A A4 | C A x CB| Aa=||(20, -14,-4)| AA=Vl53 vwiA/v.edúKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 22. » SOLVER EDK D VECTORES Hallare! volumen del paralelepípedo cuyas aristas son P=(l,2,-1), Q=(3,4,-6) y R=(2,1,-3) V=|P.(Q x R)| Q x R= 1 j k 3 4 6 2 1 -3 = (-6, -3, -5) 0 Se conoce l o s cosenos directos de dos vectores cuyos valores son ai,a2,a3 y bl? b2, b3. Demostrar que ángulo entre ellos es 6 y se obtienes de la expresión cos0=a1 b]+a2 b2+a3b3 j EEHM Como tenemos los cosenos directores de los vectores, tenemos los vectores unitarios de ellos: V== ==(cosa, cosp, cos0) W=7^T=COOC'; cosp, COS0’ Entonces tenemos los valores: V=(ai,a2, a3 ) i SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY I v-Avw.eáukperü.s
  • 23. VECTORES W=(b„b2,b3 ) Haciendo el producto escalar obtenemos el ángulo que forman: j i V.W=(|V||W|cosO V =cosO=(a,b,a2,b2, a3b3 ) Dado el vector A y el escalar m ?hallar el valor de B ;tan que A.B= m. Podemos dar la forma de: B=A+A Haciendo producto vectorial y considerando A=C se tiene: AxB=CxA+AA A.B=y||A2| | A.B im = y B=CxA+,^|.A llAi Dos vectores Á y B tiene magnitudes iguales de 10 unidades. Están orientados como se muestran en la figura. Su suma es R=A+B. Hallar (a) los componentes de R. (b) el módulo de R. (C) El ángulo que forma R con el eje de los +x. inron? Lo. dejamos como ejercicios para el lector, aplique los conceptos aplicados en los ejercicios aplicados en los anteriores ejercicios. Dados los vectores A= (1,1,2).B= (1,3,4). C= (1,1,1) y P= (1,-5,1). Hallar los valores de m, n y r para que mm-nB+rOP. Sean los vectores: A=(-l, 1, 2), B=(l, 3, 4)y C=(l, 1, -1) I www*eciuRperu.com, SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 24. » SOLVER EDK VECTORES Por condición del problema: mA-nB-rC=(l, -5,1) Obtenemos las siguientes expresiones: -m-n+5=l m-3n+r=-5 2m-4n-r=l En este problema utilizaremos cramer: |Am| m_ JA| |An| " |A| |Ar| |A| Siendo A matrices Entonces 1 - 1 1 - 5 - 3 1 1 - 4 - 1 - 1 - 1 i 1 - 3 1 2 - 4 - 1 -17 Lo mismo procede para n y r tjj| SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.edukperu.com
  • 25. VECTORES SOLVER EDK « y r=-4 Hallar el vector A= (2,-1,-4). Hallar el vector P, cuyo sentido es opuesto al vector A y su módulo es la cuarta parte de A. Para que valores de m e M, el vector |m, -m , ;j(m-l)J es unitario. El vector jm,-m,^(m-l)] es unitario = > su módulo = 1 im2+ m2 +± (m-i) = 1 16 v '■ 33m2 -2m-15=0 Resolviendo: m= 1±4V3l 33 Hallar el vector unitario que une el origen con el punto medio del segmento AB, donde A=(4,-l,1) y B=(2,1,1). Sea el vector P tal que P||A y opuesto A A y|p|=^ ,|A|=V2l Como P||A 3 K E R tal que (P1;P2,P3 )=-K(2, -1, -4) = > P,=-2K P2 =+K P3 =4K |P|=kV2T=-^=>K=7 4 4 www.édukperu.corn SOLUCIONARIO FISICA LEIVA1 Y II
  • 26. » SOLVER EDK D VECTORES •■P=.(Pi W 3 ) = ( - 2 K , K , 4 K ) ■ = (0,5; 0,25; 1) 3 Demostrar que un vector cualquiera A el espacio se puede expresar A= (A i, A. J, A. k) Mostramos los vectores en el siguiente gráfico: Tenemos los siguientes componentes de A: A=(|A||T|cose,|A||J|cosa ,|A||k|cosv ) El producto escalar se define: A.B=|A||B|cos0 =>A=(A.Í ,A.j,A.k) Demostrar que un vector unitario cualquier Q en el espacio se puede : Q=(eos a , cosp, eosy) donde a,p y y son los ángulos que hace el vector A con los eje X , Y y Z. Cuáles son los valores de m y n para que A= (m,-2n,l)y =B=(n,-m,3) Son perpendiculares y A =3. SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY I www.edükpery.coa
  • 27. VECTORES SOLVER EDK « A±B— »A . B=0 (m; 2n,l) (n;-m,3)=mn+2nb+3=0 Sabemos que mn=l A=3=Vm2+4n2+l 9=m2+4n2+l , n=l/m 8m2=m4+4 m4 -8m2+4=0 Resolviendo tenemos que: m=^4±2V3 n=- 1 ± Dado los vectores A y B déla figura: (a) Halla A.B (b) Hallar Axb. De la figura Los vectores están en el plano XY entonces tenemos www.edukDeru,com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 28. » SOLVER EDK ] VECTORES A(óV3 cos30; 6a /3 sen30°, 0) Si el módulo de la suma de dos vectores A y B es 8 y los módulos de A = 5 de y B =10 Hallar el módulo déla diferencia délos vectores. |A+B|=8 y |A|=5 |B|=10 Piden |a - b |=? 25+ 100+ 100cos0 =64 |A-B|=Vl80 Si el módulo de la suma de dos vectores es VÍO A=y V3 , B = 3. Hallar el producto escalar A.B |a +b |=VTo, |a |=V3,|b |=3 Piden hallar A . B 12+6V3 cos0=10 - 1 =»cos0=—~ 3V3 • Sabemos que: SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II vwvw.e<lukperu.
  • 29. VECTORES ( SOLVER EDK « A.B=|a ||b |cosO V3V3^ .• • A .B= -1 Si el módulo de un vector es A =2 y el otro es de doble magnitud B =2A, Si el ángulo que forman dichos vectores es 120°. Hallar el módulo de la suma délos vectores. |a |=2 |b |=2 |a |=4 Piden hallar |a +b |=? |a +b |=^/|a |2 +|b |2 +2|a ||b |cosO Si 0= 120° V4-16-16cosO=2V3 |A+B|=2V3 Dado dos vectores de un triángulo A= (1,1,1), B= (l,-l,l) y C= (-2,1,-1). Hallar el ángulo que hacen los vectores AB y AC. v www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I YI
  • 30. VECTORES .y Piden el ángulo =? * AC=(-3, 0, -2) ÁB=(0, -2,0) AC.ÁB= |ÁC||ÁB|cos0 0=Vl3.2 cos8 cos0=O .••0=90° Dados los vectores P, Q, R y S, que cumple la condición PxQ=RxS y Px R= Qx S . Demostrar que el vector P- R . É m m m t Para que P-S sea paralelo a Q-R tiene que cumplir que: (P-S)x (Q-R)= O Demostraremos esto: (P-S)x (Q-R) (P-S)x Q-(P-S) x R PxQ-SxQ-P-R+S-R Por condición: PxQ=RxS y PxR=QxS » SOLVER EOK ) SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II vwvw.edukperu.co?
  • 31. VECTORES c SOLVER EDK « y sabiendo que AxB=-BxA ; tenemos PxQ+QxS-RxS=0 • • • (p- s) ii(q - r) Dado los vectores A=(1,l,) , B=(-l,-a,a) y C=(a,l,-a). Cual el valor de a para que el volumen definido por los tres vectores de igual a 7. Tenemos los vectores A=(l, 1,1) B=(-l, -a, a) C=(a,-l,-a) V=7 >BxC= i j k 1 -a a a 1 -a =(a2-a, a2-a, a2-l) A. (BxC(a2-a+ a2-a+ a2-l))=7 Resolviendo tenemos que 3a2-2a-l=7 3a2- 2a-8=0 -4 a=2 o 3 www.eduKperu.corn SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II I
  • 32. » SOLVER EDK P Dado los vectores A=(l; -2, 2) y B=(-2, 2, -3). Hallar la proyección escalar y vectorial de B sobre A. Siendo los vectores A=(l, -2, 2) B=(-2, 2,4) Piden hallar Pfoy escalar =? y Proy vectorial =? B— > A Proy escalar = Proy. Vectorial B— > A B.Á_2 W 3 (B.A)A (2,-4, 4) |Á| 2 = ^ Si P.Q=20 Y P=3 , Q=10. Hallar |PxQ| . Tenemos que P.Q=20 y |p |— 3 ,|Q|=10 Piden |PxQ| P.Q=|P||Q| c o s O —>cosO= — +0=48,20° VECTORES SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II edukperu.com
  • 33. VECTORES SOLVER EDK « Piden |PxQ|=|P||Q|senO =80 sen (48, 20) |PxQ|=10V5 Si B paralelo a C y B. (Ax C) =0 entonces demostrar C (PxB). Tenemos que B||C y B.(AxC)=0 Piden demostrar que C.(ÁxB)=0 B||C si 3 KeR tal que B=KC =>C.(AxB)=A, (BxC)=A.(KCxC) =A,R(CxC)=K A (CxC)=0 =>C.(AxB)=0 • • ■ C i (AxB) Éfc1 Si A es un vector en el plano y p, un vector unitario A Tenemos los siguientes vectores en el plano: Los componentes en la recta del vector unitario es ¡A||p|cosO=A.p y la otra será |A||p|senO=|Axp| .-.A=(A.p ,|Axp|) es perpendicular a = (Á.p, |Ax p|). I wwv^edüKpefuxom SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 34. » SOLVER EDK D Demostrar usando componentes: Px(Qx R ) = Q(P.R)-R (P Q • Primero calculamos Ahora QxR QxR= i j k q3 q2 q3 D r2 r3 =(q2r3 -r2 q3í r,q3 -q,r3, q|r2 -r,q2 ) Px(QxR)= Px(QxR) i j k P, P2 Pa q2t3-t2 q3 rlq3 -q1 r3 q,r2 -riq2 =( p2(q, i'2-nq2 )+( p3(q. ra-riq3 ) -( pl(q1 ra-ttq3 )+( p3(q2 r3 - r2qa) - (P,(q,r3-riq3)-( P 2(q 2r3-r2q3) ) =( p2 q3 t2-p2 nq2 +p3 qir3 -Pa1 " ^ - p1 q1 r2+Piriq2+ p ^ /a-p ^ a) ■piqir3 +p^^a* p2 q2 r3 " p2 r2 q3 ) Si le sumamos y restamos el siguiente vector KM SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II VECTORES v/ww,edukperu,c::'
  • 35. VECTORES w = (q , Ti P „ q 2r2 P 2 ;Q3r3 P 3) =c p2q ,r2- p2r,q 2+ P3q ,r3- p3r1q3+ q ,r1q 1-q 1riq 1, - p 1q 1r2+ p ,r,q 2+ P3q2r3-p 3r2q3+q2r2p2-q 2r2p2, - p ,q ir3+ p ^ ^ j - p 2q2r3- p 2r2q3+q3r3q3-q 3r3q3) = ( P2q ,r2+ P3q ,r3+ q ^ p , , p ,r1q2+p 3q2r3+q2r2q2, p1r,q 3+ p2r2q3+ p ^ t q3r3p3)+ (- P2n q 2- P3riq 3- q ^ iP ,,- p ^ i g - p3r2q3- q2r2p 2, - P 1q 1r3-P2q2r3-q3r3P3) = (q , ,q2,q3) ( p ,r!+P 2r2+P3r3)-(r , ,r2,r3) (p ,q ,+ p 2q2+p3q3) Sabemos que P.R=(p,ri+p2r2+P3r3) P.Q=(p1 q1 +p2 q2 +p3 q3 ) • • •P(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q) Se tiene un vector P, cuya tercera componente es 2, si P es perpendicular a (1,-2,1) y (-1,1,-2). Hallar el vector P. www.sdukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 36. » SOLVER EDK 1 VECTORES P=(a, b, 2) P l(í, -2,1) y (-1,1, -2) =*P.(l,-2,l)=0 P.(-l,l,-2)=0 a-2b-2=0 -a+b-4=0 Resolviendo que a=-6 b=-2 • • • P = ( - 6 ,-2,2) Si el vector R paralelo al vector Q xP y proy Q— > P=1 sabiendo Q = Hallar Q.(PxR) j tsiT yffinyrcw Piden hallar Q.(PxR) Por condiciones del problema: R||Q xP= s> el ángulo que forma o es 0oo 180° Pfoyq_ p=75r =l Q^P P l M SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II 2, P=6 PY R =8. www.edukperir.com -
  • 37. VECTORES........................................ . . ( " ^ SOLVER EDK « Q.P=|P| De lo anterior hallamos que ángulo forman los vectores Q y B Q.P=|Q||P| cosa=|P| |P| 1 cosa=-=^=r=- |Q||P| 2 Por propiedad Tenemos que =8.2.6 senóO = > oc= 60° Q.(PxR)=-R.(QxP) -R.(QxP)=-|R| |QxP| cos(180) |r||QxP| Qx (PxR)=|R||Q||P|sena .-.Q.(PxR)=48V3 Se dan los vectores en el espacio A = (l,l,l), B=(l,-l,l) y C=-2,l,-2). Hallar: (a) AB.BC (b) AC x( AB-BC) (C) El vector unitario perpendicular al plano que pasa por los puntos A, B Y C. (d) El ángulo que hace el vector unitario de la pregunta, (c) con wvwaeduKperu.com ! SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II I
  • 38. » SOLVER EDK ■ w : J VECTORES el vector D=(0,1,1). 48. Si Á es un vector constante y r es el vector que va del origen ai punto (x,y,z) demuestre que (r-A). A=0 es la ecuación de un plano. JO IIm TÍJ Sean los vectores A=(0,1, 0) B=(l, -1,1) y C=(-2,1, -2) a) Piden ÁB.BC=(l, -2, l).(-3, +2, -3) . AB.BC=-3-4-3=-l0 Piden ACx(AB-BC)=(-2, 0, -2)x(4, -4,4) i j k ACx(AB-BC)= -2 0 -2 4 4 4 i j k -2 0 -2 1 -2 1 N= =(-8, 0, -8) =(4, 0,4) El vector unitario de N es N 1 p=-Fñ=-~=a°'+1) N V2 D.p=|D||p| cos0 COS0= D.p |D||p| De esto hallaremos 6: 0=cos 0=cos' "(sí) 4S) e = 60° 34 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.eciukperu.com
  • 39. VECTORES Si A es un vector constante y r es el vector que va del origen al punto (x;y;z); demuestre que (r-A).A=0 es la ecuación de un plano. Sea r=(r1;r2, r3 ) yA=(x,y,z) Se tiene que (A-r)r=(x-r1 ; y-r2, z-r3 ).(r1 ; r2, r3 ) xr,+yr2 +zr3 -(r?+r|+r|)=0 Tenemos que como Á es un vector constante y teniendo que rf+r¡+r3=C Se tiene x^+yr2 +zr3 =C Que es la ecuación cartesiana del plano. Considerando los mismos vectores del ejercicios anterior demuestre que (r-A).r=0;es la ecuación de la esfera. Del anterior problema obtenemos: rf+r2+r3 -x^+yr2 +zr3=0 Restando y sumando factores para conseguir ecuaciones cuadráticas tenemos que (nX'rD- + ( r3 - 1 ) 2 =5C r2+y2+z2 ) Y siendo ri"2 =x r2-r y w w w . eclu kp er u .coro SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
  • 40. » SOLVER EDK r r 2=Z y C constante Se tiene x?+yf+z?=C Que es la ecuación de una esfera % Si'A+B+C=0 y A =3, B=5, C =7. Hallar el ángulo que forman AY B. — ÍOMIHÍUj Por ley de cosenos tenemos que A+“B= -~C I A+ Bl=| c2| Reemplazando: =>C==Wa2 +B2 +2AB c o s O 49-34=30 cosO cosO= - =>0=60° Si B,C y D determinan un plano, la distancia de A a este plano: |(A-B).(C-B)x(D-B) | 1 (C-B)x(D-B)| Cosenos B, C y D definen un plano se tiene VECTORES ?' - A. ro SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II yww.edukperu.coj'n
  • 41. VECTORES £ SOLVER EDK « La distancia de A al plano será < W lano)=ProyFIBA d (A ,P la n o )= i2 ^ i Del gráfico Ñ=(C-B)x(D-B) |(A-B).(C-B)x(D-B)| A,Plano) |(C-B)x(D-B)| Demostrar la mínima distancia de un punto Pi(xi; yp zi) al plano cuya ecuación cartesiana en;AX+BY+ CZ+D =0 P.CXpYpZ.) r- ----------------* n Tenemos que la cartesiana es: Ax+By+Cz+D=0 De la cartesiana obtenemos N; siendo Tití- r * C ■• :-J2 >" □ wvwv.edüKPeru.cony SOLUCIONARIO FISICALEIVA IYII
  • 42. VECTORES N=A,B;C La mínima distancia se halla: d(P|;Plano)=ProyHPPÍ |(Pi-P)N| (Pj. Plano)- ||jj| l(XrX, Yr Y,Z,-Z)-(A, B, C)| dinin — VA 2 +b2+ C2 A(Xr X+B(Yr Y)+C(Zr 2) VA 2 +b2 +C2 0 Demostrarvectorialmente que la suma de los cuadros de los diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de suscuatro lados. Piden demostrar |A+B|2 =A2 +B2+2AB |A-B|2 =Aí!+B2 -2AB De la galáxica |D|2=|A!*y |Bp=|C|2 =>|A+B|2 +|A-B|2 =A2+B2 +C2 +D2 Si los números a, b, c y d son diferentes de cero y aOA+bOB+cOC+dOD=0y a +b+c+d=0. los puntosA, B, B CY D Se encuentra en un plano. ( sugerencia usar: a +b=-( c +d) y el prob. 39) I 38 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IYII vAvw.eciukperu.com
  • 43. VECTORES SOLVER EOK « Demostraremos que A, B, C y D están en un mismo plano. Entonces; por condición aÓA+bÓB+cOC+dOD=0...(í) Si tenemos a BA= ÓA-ÓB En (1) reemplazamos: aBA+ aOB+bOB+cÓC+dÓD=0 aBA+ (a+b)OB+cOC+dOD=0 Pero ^ a+b=-(c+d) aBA- (c+d)OB+cOC+dOD=0 aBA+ c(OC-OB)+d(OD-OB)=0 aBA+ c(BC)+d(BO)=0 Si los vectores BA , BC y BD suman cero entonces definen un plano. © Demostrar que la distancia mínima del punto P (*1,^) a la recta Ax +BY +D =0 en el planoXYes: _|AX1 +BY1 +D| d“ V a O ? www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
  • 44. » SOLVER EOK 3 VECTORES Ojo la demostración viene de determinar la distancia a un punto cualquiera de la recta, la distancia mínima es cuando la proyección sobre la recta es cero, o sea haciendo sen0=O. Completa la operación. La distancia a la recta sería d= (AX^BYí +DI V Á W Si A B C D es un cuadrilátero cualquiera P y Q son los puntos medios de sus diagonales AC y BD, y M es el punto medio de PQ. Demostrar (a) (AB) +AD+CB+CD=4 PQ (b) 0A+0B+0C+0D=40M ,donde O es un punto arbitrario. PQ=AQ--AC pq =ad -^bd - Íac n ¡ SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www,eclukperu.con
  • 45. VECTORES SOLVER EDK « Pero: Entonces: — ►— » AB CB CD CB PQ=AD-— +— — + — . - —. AB —>CD PQ=AD-— +CB — CD=AD-^AB+^CB AB=BC+^AD-^CD — . — >CB AD CD —.AD 1 CB PQ=AD-— — +CB — +-+AB-— 2 4 4 2 4 4 — AD CB CD AB pq =i -+^t +-t +t 4 4 4 4 / . 4 PQ=AD+CB+CD+AB Trazando el vector AM, se tiene lo siguiente: OM=AM+OA a Pero ám =Iac+^pq 2 2 Hallando PQ por el resultado en a: o PQ ÁD+CB+CD+AB T “ 8 Pero wvvw.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 46. D Reemplazando en (oc) AD=OD-OA ,CB=OB-OC CD=CD-ÓC ,AB=ÓB-OA P Q O D OA OB OC >T _ T " T ' + T " T AC_OC OA ~2 ~ ~ 2 '~ 2 OC OA OD OA OB OC OM=— ó~+— ¿---7~ + ~Á 7~+ 2 2 4 4 4 4 — , OA OC OD OB OM=— +— +— +— 4 4 4 4 VECTORES •40M=0A+0C+0D+0B ■ ::r - Demostrar vectorialmente, que el baricentro, circuncentro y ortocentro de un triángulo son colineales . (sugerencia usar en concepto de vectores paralelos). SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIYII www.edukperu,coi
  • 47. VECTORES SOLVER EDK « B Sean los triángulos AOG y GOM. Por propiedad del baricentro obtenemos que AG=2GM y por el teorema Simpson se demuestra que AO=2CM Por semejanza de triángulos tenemos que OG=2GC Por definición un vector es paralelo a otro si v=kw OG es paralelo con GC y cooíineales a la vez. Dado el paralelepípedo de base rectangular situado en el plano ZY, su altura a lo largo del eje X .Hallar el volumen del mismo.(sugerencia hallar AxB.C). jp Se dan los vectores del origen a los puntos A,B;C;D son A=í+J+K;B=2Í+3j;C=3Í+5 J-2K y D=K-J. Demostrar que AB||CD Tenemos los vectores 'vW vVv.edükpenxcorn SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II Mi :
  • 48. » SOLVER e d k > ) VECTORES A=(l, 1,1) B=(2, 3, 0) C=(3, 5, -2) D=(0, -1,1) AB II CD ABIICD AB = KCD AB=(1, 2, -1) CD¿(-3, -6, 3) Por lo tanto K=-3 Entonces 3 KeR /"AB=-3CD 3 Demostrar (AxB)xA.A=0 para todo A y B en tres dimensiones. m m m m Sea A y B SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II Piden demostrar Entonces si si 3 KeR tal que De aquí tenemos que vvww.edükp8ru,con
  • 49. VECTORES SOLVER ÉDK « vectores en tres dimensiones, piden demostrar (AxB)xA.A-O Por propiedad AxBxC=B(A.C)-C(X.B) Y A.B=B.A = > a .(a x b)xa =a [b (a .a )-a (a .b )] =(A.B) (Á.A)-(Á.Á) (á.b)=o Dado un vector B=(l,-2,2). Hallar el vector A tal que sean paralelo a B y de módulo 9. AIIB si 3 KeR /A=K B =>A=(K, -2K, 2K) Y su módulo |Á|=9 9 = > K= 3 .*.A=(3, -6, 6) www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE1VAI Y II
  • 50. » SOLVER EDK CINEMATICA CAPITULO Un móvil recorre la mitad del camino del camino con la velocidad i^.La parte restante la ase a una velocidad V2 la mitad del tiempo, y la velocidadd el trayecto final. Hallar la velocidad media del móvil durante el recorrido. Tenemos que d]+d2 =- Para el primer tramo tenemos: Luego Entonces despejando: Luego también tenemos Pero v '= s ; V3 t2=d2 L ti_ 2v; 1 t2_2V1t V1 +V3; ''media- 3 -(t^+tg) 4 6 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II wwvv.edukperu.con1
  • 51. CINEMÁTICA 1 _____________________ S O IV E R E D K JC 4V,(V2 +V3 ) =*vm e d ia - 3(2V1 + V3 ) Un móvil se mueve según V =t2- 9, V (m/s) y t (seg).Hallar la aceleración para V =27 rrvS. Tenemos que: V=t2 -9 pero dv — =a dt .*.a=2t...(l) pero piden cuando V=27 =>Veamos 27+9=t2 = > t= 6seg .-.a=12m /s2 Un móvil se mueve con una aceleración a = 2t?a lo largo del eje x. Hallar (a) la velocidad para t =lseg.(b).El cambio de posición deO a lseg.Para t =0; v=2m/s, x =0. lililíW ] Tenemos que a=2t pero dv fv r — = a= > dv= adt dt Jv Jq V q *'0 V(t)-V0=/O '2tdt pero V0=2m/s ••■ V (t)= t2+2 a) Piden para t=l seg b) análogamente tenemos que dx d T v(t) V (l)=-7 /o > < dx =/0 tV(t)dt www.eúuKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 52. » SOLVER EDK 3 CINEMÁTICA x = - +2t =»X(1)= jm Un móvil se desplaza a lo largo del eje x y su aceleración el tiempo como se indica en la figura. Para t = 0, x=0, í ^ m H a l l a r (a) distancia total recorrida desdi a 2seg.(b) La velocidad para 2seg. í m m m m Del gráfico tenemos a=tg60°.t= V3t , también tenemos X=0, t=0 , V= — ’ s p e ro ^ =a dv = /„'adt =>V-V0=— =>V=1+y t 2....(*) También ^ = v f * dx = f* vdt => X = f 1 + ^ -t2 dt X = t + ^ t 3...(*) Piden a )X (2 seg') = 4,31 m. b) de (*) tenemos que V2 = 4,46 m /s Una partícula a lo largo del eje x, su gráfica de velocidad en función del tiemi se da en la figura para que valores del tiempo x = 0. Si para t = 0,x =2m. ESSOM Piden para que tiempo X=0 Veamos además t=-0=>X=-2m Encontremos la ecuación de V en función de t r 2 ( 2-t), 0át22 =>tenemos que V(t)= ^ l-(t-4)-2, 2<t<4 » Sabemos que: ^ =V(t) dx=V(x)dt dt . * •cuando 0 < 2 vSOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.edukperu.com
  • 53. CINEMÁTICA SOLVER EDK « Ahora cuando = >í dx= í v(t)dt = >x+2=-t(t-4) J X0 4) 0<rt*2...(1) t>2 = > í dx= í (2-t)dt x 0 h (2-t)2 = > X-2 = - 2 2¿t¿4...(2) Gomo deseamos que X=0 = >(1) = 0 y (2) = 0 = >en (1) 2=-t(t-4)=>t=(2-V2)seg En (2) -2=-^-=»t=4 seg 4 I^ P Una partícula se mueve en el plano X y Y sus gráficas en función del son: Hallar la aceleración y la velocidad de la partícula para t =3segundos. Si para t =V3 ,x =3 ,y3. — íiwiHm De acuerdo al gráfico, veamos que X=tg60° t y Y(t)=bt2 y por dato Y(V3)=3=b(3)=í>b=l X=V3t • • •y(t) = t2 Ahora de las oraciones del movimiento, tenemos: r=V31 í+ t2 ] y i www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I
  • 54. » SOLVER Et>K CINEMÁTICA _ dr v=dí a) =>V=V3Í+2tJ /.V(3)= (V3j+ 6j)m/s b) También a= ^ =>3=2j m/s2 dt Se el gráfico de la aceleración en función del cuadrado de la velocidad, como se indica en el gráfico. Hallar la relación de la velocidad en función de la posición. Si para t = 0,x = 0,v = 3nVs. Del gráfico tenemos que: a=-tg(37°)V2=>a=-0,75V2 ai ^ dv dv ' dv Ahora tenemos que a=— =— .v =>a=—•.v ...(*) ^ dt dx dx En (*) tenemos que -0,75v2 =^ .v = >J* -0,75dx = J3 V~ =>-0,75x=Ln 0 =>V=3eV=3c'' Dado el vector posición de un móvil r(t)=(2-t2)T+(t3-t)j+(2t3-t2-l)k. Hallar (a) el vector unitario y tangente a la trayectoria dada, cuando t = 2seg. (b ) el módulo de la aceleración cuando t = 2seg. Tenemos que r(t)=(2-t2)í+t3-t)]+(2t3-t2-l)k a) Veamos sea: V=^=>-2-tí+(3t2-l)J+ (6t2-2t)k Sea V(2)=-4Í+lI+20k • ■ • 0t=M l í =('4’ 1l' 20)/V^ b) 3=?=2Í+(6t)j+(12t-2)k dt =>a(2) =-2Í+12Í+22k SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II vww.edukperu.t
  • 55. CINEMÁTICA SOLVER EOK « =>a=Vó32m/s2 Una partícula se mueve en el plano x y,de acuerdo a las relaciones 2X = —2seg3t, 2V = cos3t. Cuando t =0;x=0 y = 2vx = 4 m / s y v y = lm / s . Hallar la ecuación de la trayectoria, (b) la velocidad para t = rc /6 seg. Tenemos que: ax=-2sen 3t , ay=cos3t, Además Vx=4 ; Vy=l m /s cuanto t = 0 , X = 0 , Y —2 Piden r=? Veamos por la ecuación del movimiento á=-2sen3tí+cos3tj 9 qt =>v-(4Í-l]=- ( eos 3t-l)í+ 1 /2cos3t-l 10. /sen3t u ^ ( — T - +t ) ,+(— +1) J- W Ahora V = ^ J ¿ 2)dr=Jo 'vdt a) r-2j=Q sen3t+y ) í+ t+ j /2 10t. /-cos3t 19. ,r=(--sen3t+ T ) ¡+(— t+- ) j b) De (*) tenemos que 10. 4. ,— v=— i+-j=»V=Vlló/3 Desde un plano inclinado un ángulo a es lanzada una piedra con una velocidad v0 y perpendicular al plano. A qué distancia del punto de lanzamiento caeésta piedra. i www.eciukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 56. » SOLVER EDK 3 CINEMÁTICA Como no existe resistencia del viento=>, este cuerpo desarrolla MPCL. Si nos regimos — * > • a la ecuación vectorial de este movimiento tendríamos d=VQ t+-gt2 . Haciendo la representación vectorial, tendríamos Del triángulo tenemos que ^gt2cosa=V0 t =>,=2v» gsenoc También tenemos: 1 -gt2sena=d 2V0a /senas = > C * ~ ~ 2 ’VcosW © ángulo debe ser lanzado un cuerpo cuyo peso es a), para que la altura máxima que se eleva sea igual al alcance del lanzamiento. También existe una fuerza f horizontal del viento que actúa sobre el cuerpo. Ahora analizando en el eje “Y” como en eje se desarrolla un MPCL: = > V ty=Voy-gt 52 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu com
  • 57. CINEMATICA SOLVER EDK « ;> V osen0=gt = > t= V„sen0 Vosen0 Vosen0 Vosen0 = > H = A r — - t=A — • — r — H=- V„2sen2 0 2g Ahora en el eje “X”. Como dicha fuerza F; ejerce una aceleración en opuesta al movimiento SF a=- w Ahora 1 dx=Vocos0t1--rati 2 1gF dx=Vocos0tr -— t? 2 w De (1) tenemos que t]=- dx= Vo2sen0cos0 lgF VoSen2 0 2g 8 w g2 dx= Vn2sen0 /cos0 Fsen0 !-(*) g V 2 8w 7 De (*) y (***) H=dx Vo2sen2 0 Vo2sen2 0 /cos0 Fsen20 g V 2 8w / 4w+f 2g =>cot0= 4w Dos personas están en un edificio, cuya ventana está a 250 pies. El primero suelta una piedra por la ventana dos segundos después la otra persona arroja otra piedra w w w .c d u K p e ru .c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II É $1
  • 58. CINEMÁTICA hacia abajo por la ventana. Ambas piedras llegan al suelo al mismo instante. Cual sería la velocidad inicial de la segunda piedra. G =pIseg . Sea H lo recorrido por B y A. = >A => H=VoA t+-gt2 H=Jgt2 H=16gt2 ...(*) Pero H=250 =>t=J^=4seg Para la esfera B. H=V(t-2)+ -g (t-2)2 H=V(t-2)+16(t-2)2 250=V(2)-16(4) V=106 P/seg SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.coi
  • 59. CINEMÁTICA SOLVER EDK «C ¡ Jn cuerpo es lanzado en el plano X Z, desde el punto A (4,0,0), con una velocidad inicial 10 m/s, bajo un ángulo de 60° con el eje X. la partícula es sometida además a una aceleración de un m/s2 en la dirección +z, Hallar posición del cuerpo a lo largo del eje x. Use g = 10 m/seg2. JEBlTO ilfflW ,=10^ / De las ecuaciones del movimiento parabólico vectorialmente tenemos d=Vot+^at2 También tenemos que aresul=10-4=6m/s(-k) 1 Votsen60=-at2 2vosen60 ...(*) Luego d=votcos60 wvvw.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 60. » CINEMATICA a .-.d=14.43 /.x=18.43 m 9 Hallar con que velocidad vQy 0= 60^ es lanzada un proyectil tal que en el instante 2seg, la velocidad forma un ángulo de 45° con la horizontal. Use g = 10m/s2. Asumiendo que aún sube: como el eje x se mantiene constante: =>Vx=Vocos60° Vx=y ....(*) Vy=Vx=Y ...(*) Ahora analizando en el eje y, también para t=2 Vty=Voy-gt Vo — =Vosen60°-(10)(2) Vo=54,641 Un auto se mueve en línea recta, sobre una carretera a velocidad de 40 p/s. En cierto instante, el conductor ve un tren que empieza amoverse hacia la carretera íl / v0eos60 56 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIYII vvwvv,ed ukpeai.cor»
  • 61. CINEMÁTICA SOLVER EDK « desde la estación. El conductor cree puede adelantar ai tren sin cambiar su velocidad. Si la vía y la carretera forman entre si un ángulo recto, y el tren tiene una aceleración 10 p/seg2. Sobre vivirá el conductor para contar la historia. El auto esta’inicialmente a 200 pies del cruce, mientras que la estación está a 130 pies. m m m m v0=40p/s =0 130pies a =10p/s2 Calculemos el tiempo que les tocará a cada uno: Veamos para el auto V=- 200 = > ti= .— =5 seg v Ahora para el tren =>d=V0tc+-at2 1 130=-at2 t2=5,099 seg Si sobrevive el conductor (pero por poco) Supongan que el alcance horizontal máximo cierto cañón con una velocidad inicial fija es de R0. (a) demuestren que la velocidad inicial de vQasociada a este canon es de yjgR0. (b) supongan que este canon se encuentra al pie de una colina con un ángulo de elevación a y se dispara en un ángulo a con respeto a la colina. Demuestren que la trayectoria del proyectil se puede expresar el siguiente sistema de coordenadas en la forma: www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I YII
  • 62. » SOLVER EDK CINEMÁTICA a) De la ecuación, vectorial del movimiento parabólico se tiene: Vot= senO V o = ^ - .(* ) senOt También tenemos: 1 Votsen0= - gt2 =>t=- 2Vosen0 (**) en (*) S R0S ° 2sen0cos0 Además para que Ro sen max=>0=45° Vo=A /Rog b ) Ahora analizando en el eje “y”, tenemos Y=Voyt-ig t2 Luego en el eje “x” Reemplazando (**) en (*) »Y=V0sen(0+a)t - gt2 ...(*) X=t.VQeos (0+a) V ocos(0+a ) SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY I v a v w ed u k p e iu ,core
  • 63. CINEMÁTICA c SOLVER EDK « = * y = x t g ( 0+ a ) - 2Rocos2(0+a) Se lanza un proyectil con una velocidad inicial v0, bajo un ángulo 0. La altura máxima que alcanza es H y el alcance horizontal es R Hallar la velocidad inicial y el ángulo de tiro en función de H Y R. Como el cuerpo desarrolla un movimiento parabólico en el eje “Y”, en la parte más alta Vfy=Voy-gt Voy=St VosenG ...(a ) •(*) Ahora para el eje “X” Tenemos - Vox =Vocos0 -=t Vosen2 0 1gVosen2 0 =*H=- S 2 g‘ VoSen20 / 1 =h = ^ í - N VoSen20 H = _ 2i “ R=V0x-ti pero t,=2t R=V0X (2t) de (a) Vosen0 R=Vnv.2.-^— n www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I
  • 64. » SOLVER EDK CINEMÁTICA 2VoCOS0sen0 ....(**) De * y (**) tenemos v 2 - - R s v n , ° 2cos0sen0 1 Í 4 H e = ts (t ) v „ = g(R2 +16H2 ) 8H ,/2 Sobre un piano inclinado, cuy ángulo es 6 se fialla un cuerpo B en reposo. Con que aceleración horizontal se debe desplazar el plano inclinado, para el cuerpo B tenga caída libre hacia abajo. Como B desarrolla un MCL, veamos t seg, luego de su movimiento j ^ j j SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.com
  • 65. CINEMÁTICA SOLVER EDK « Del triángulo tenemos que: También Y=VABt+^gt2 En (*) reemplazando tenemos xtg0=y ...(*) Y=¿gt2 ...(**) X=-cot0gt2 (a) Ahora como la cuña inicia su movimiento d=VABt+-t2 X=^t2=cot0gt2 =>a=cot0g a>cot0g Dos partícula se mueve con velocidad constantes vr y v2 por dos líneas rectas y normales, hasta que se intersecten en 0. En el momento t =0, las partículas se encontraban a las distancias l ay 12 del punto 0, (a) Al cabo de que tiempo la distancia entre las partículas será mínima?, (b) cual será esta distancia mínima. I w w w . e d u k p e ru . co m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II j f iB I
  • 66. » SOLVER EDK I C in e m á t ic a O V:► d. —m ' -4 a- Si tenemos la velocidad relativa de la esfera (2) con respecto a (1) De acuerdo con la gráfica la mínima distancia será cuando---- d = (W o s e + ¿ ...(*) i- 1 Donde “d” es la distancia recorrida por la esfera (2) t= ~ Vo Volo- Pero tg6= ^ , m=— V ,I,+ V 2I2 mi" “ v ? + v l Del mismo modo se demuestra que: |V2lr V ,l2| X=(l|.m)sene=- Un torpedo es lanzado desde el punto p en el instante que el barco enemigo se encuentra en el punto Q y navega con la velocidad 60 Km/h dirigida formando el ángulo de 60° con la línea PQ. La velocidad del torpedo es 120 Km/h. con que ángulo 6 hay que lanzarlo para que de en el blanco. Para que llegue alcanzarlo se tiene que cum plir que una de las com ponentes, la vertical en el mismo tiem po hagan la misma distancia. Entonces tendremos: SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperú.com
  • 67. CINEMÁTICA SOLVER EDK « 60km 120km — - — sen60.t —— ;---.senO.t h h Despejando tenemos senO = V3/4 Luego 0 = 25.6° Un cuerpo p comienza a moverse con una velocidad inicial v± y con la aceleración constante at. Otro cuerpo Q comienza a moverse en el mismo instante que p con una velocidad inicial v2y con la aceleración negativa a2. Cuanto tiempo transcurrirá desde el momento en que ambos cuerpos comienzan a moverse hasta que sus velocidades se igualan? Para la primera tenemos ....O ) Ahora para la segunda De (1) y (2) .JSCTnW Blüf Vf=Vj+ajt Vf=V2-a2 t t=M i a|+a2 Un cuerpo es lanzado con una velocidad de 10 m/seg. Con un ángulo de 45° con la horizontal. Después de transcurrir 0. 75V2seg. Hallar la aceleración tangencial y normal. Use g = 10 m/seg2. Ahora tenemos que dv Pero V(t)=Vocos45°í+(vosen0-gt)j = > V= 5> /2Í+(5V2-10t)J vvwvv.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
  • 68. » SOLVER EDK CINEMÁTICA 1/2 V=10(t2-V2t+l) ...(*) dv_ 5(2t-V2) ' • • • at(0,75V2)=4,46m/seg2 Ahora d e v 2 an=v- d T 7 j =radio de corvatura del caso anterior, se tiene V, sólo necesitamos j X 2 También Y=x-— , cuando X=7,5 r 9 - 13/2 . bo] an=8,93 m/seg2 Relación al problema anterior. Halla el radio de curvatura que tendrá la trayectoria al transcurrir el tiempo dado. V2 j=i ; (*) , ahora 62,5 " ■ Í_ 8^93_7m' V2(0,75V2)=62,5 m/s I Se conoce vector posición de un cuerpo r = (y,- 3 t,- 2 t) Hallar (a) su velocidad, (b) rapidez, (c) aceleración (d) el módulo de la aceleración.(e) el módulo de la aceleración tangencial (0 el módulo de la aceleración normal. SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIYII ’ VAVw.edykperu.com
  • 69. CINEMATICA SOLVER EDK « Tenemos a ü f= -3t, -2t) Por la ecuación del movimiento « H = ( T ''3 . '2) b) V= '-Jat*+52 c) Ahora para a=^ =(3t, 0, 0) =^|a|=3t Ahora at=— 1 Ai- * Vat4+52 d) a, Una bola se lanza con velocidad inicial v0 y ángulo 6 hacia arriba, desde un edificio de 2H de altura. Si el proyectil choca contra el suelo a una distancia H del edificio. Hallar H. jflg m ra riW wvvw.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 70. Analizando de la ecuación vectorial del movimiento parabólico tenemos: d=V¡t+^gt2 Ahora en e l ABM tenemos que BM=Htg0 También para HC=2H ... BC=igt2 =2H+Htg9 ....(a) Ahora d el ABM=V0t sen0=H H Vosen0 ...(/ ?) . Ahora .... (a )y (P ) H=— (2+tg0) ^jjj^ Sea una partícula que se mueve sobre una elipse, cuyo ecuación es. r = m cosa)tl + nsencotj. Hallar los módulos de at y an. Tenemos: r=mcoswtí+nsenwt] piden at , an Veamos V=—=-mwsenwtí+nwcoswtj dt dv ~ á=— =-mw2 coswti-nw2 senwtj dt V=Vm2 -(m2-n2)cos2 wt.w dv (m2 -n2)sen(2wt)w2 1 dt 2Vm2 -(m2 -n2 )cos2 wt a2=a2+a2 = > an= J ¡ ^ ....(*) a=V (m2 -n2 ) .cos2 wt+n2 w2 CINEMÁTICA SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.coir,
  • 71. CINEMÁTICA SOLVER EDK « w2m.m an= yj(n2-m2)cos2wt+m2 Hallar cuantas veces mayor será la aceleración normal de un punto que se encuentra en la llanta de una rueda que jira, cuando el vector aceleración total de este punto forma un ángulo de 60° con su vector velocidad lineal. píliW W Tenemos a la rueda, y ubicamos, por simplicidad, la parte superior de la llanta artg60°=an = > atV3=an / . an=l,73at Una rueda de radio de 10 cm gira de forma que la relación la velocidad lineal de los puntos que se encuentran en su llanta y el tiempo que dura el movimiento viene dada por la ecuación v=2t +t2. Hallar el ángulo que forma el vector aceleración total con el radio de la rueda en los momentos en que el tiempo, tomado desde el momento en que la rueda comienza a girar t =lseg.y t =5ség. Tenemos que V=2t+t2 = > a,=^=2t2t y an=y = (2t+t2).|0| •••tge=— = > o=tg © V www.8dukpery.com. SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
  • 72. »SOtVER WUi^ . . - J •" ) CINEMATICA a) Cuando t=l = > 0=tg "1 =2,54° b) Cuando t=s ±0= tg"1 =0,098° Un ponto A se mueve a velocidad constante v, a lo largo de la circunferencia de radio a, tal como se indica en el gráfico. Hallar las componentes radial y transversal de la aceleración. Descomponiendo V ,en sentido radial y transversal, tenemos que: Vr=Vsen9 , Vr=Vcos0 Ahora: ar=^- dvr d0 ’ dt d0 i dvr ^ d0’ dt ar=Vcos0. — a- d í dv, d0 ^ at=dodt d0 at=-Vsen0.— SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II wvvw.edukperu.corn
  • 73. Ahora se puede verificar que: CINEMÁTICA SOLVER EOK « d e _ v dt a V2cos0 ar= - V2sen0 ar=— -— 0 Hallar la relación entre las velocidades angulares en función de sus radios, para los discos de fricción que se indican en la fig. Ahora, en el punto A, la velocidad, es: VA=V Luego para la Ioesfera Wi Ro W1 .R,=W2 .R2 =>^ =-i W2 Rt jipi Un cilindro de radio 10 cm gira alrededor de un eje con la frecuencia 10 RPM. A lo largo de la generatriz del cilindro se mueve un cuerpo con la velocidad constante 2ocm/seg respecto a la superficie del cilindro. Hallar la (a) velocidad total (b) la aceleración. www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICALEIVAI YI
  • 74. , » SOLVER EOK CINEMATICA Ahora con la V respecto al cilindro, tenemos que A lo largo de eje: w VrtP=0,2m/s Vt=W.R Vta i=|o(0,l)=0,llm/s Vt 2 a|=Vfg+ V?ra V,o t a , =0,22 m/seg Vf0 a=0,ll m/seg | Un punto p describe una semicircunferencia el movimiento proyectado sobre el diámetro es uniforme de velocidad v0. Hallar al velocidad y la aceleración de p en la función de ángulo y hallar la dirección de su aceleración total. SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY I www.edukpertu
  • 75. CINEMÁTICA U_______________ SOLVER EDK « Ahora del gráfico vemos en el eje X; tenemos Vsen0=Vo =>V=V0/sen9 Ahora ax=—Vx x dt x Ahora ay dVx d0 ax=— =0 x dt dt d x7 d(vocot0 d0 3 y = d t V y = d e d t v 0 ay=-Vocsc20.— - .r y sen0 Vo 3y sen30r a Una rueda de radio 10cm, gira aceleradamente de manera que el número de revoluciones aumenta V évuelta por segundo. Transcurridos dos segundos. Hallar (a) la aceleración total y (b) el ángulo que hace la aceleración tangencial. — E Tenemos que a=n rad/seg Por ecuación de mcuv tenemos: www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 76. » SOLVER EOK j CINEMÁTICA Piden cuando t = 2 seg Ahora an4 = ( ^ ) 2=W?.R an=3,95 m/seg2 .... (*) Y at=a.R=(7c)(0,l)=0,314 m/seg2 a=3,962 m/seg También tg0=— aT Wt=W0t+|l* X 9 W t= / Wt=2ir i ( 3,95 9 = ts _ k m ) .- . 0=85.5° J¡P¡l ggp Un aeroplano vuela entre dos puntos, cuya distancia es de 500km en la dirección • este. Cuanto durara el vuelo si (a) sin viento (b) si el viento sopla de sur a norte y (c) el viento sopla de oeste a este. La velocidad del viento es de 40m/ seg, la del aeroplano con respeto al aire es de 500km/h (a) t =60min (b) t =62min (c) t = 46.2min. A) Ahora no tenemos acción del viento SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vvww.edukperu.com
  • 77. CINEMÁTICA SOLVER EDK « - O- Vaero=500 km/h 500 km t= — —— —=1 hora 500 km/h t=60min B) Como el viento sopla de sur a norte con Vviento=144 km/s la velocidad del aero plano en ese eje es: VNS=144 km/s 500Kn^ C) Como el viento sopla de OE = > Vto ta|=500+144 Vt0 ta|=644 km/h 500 = > t=7— =46,58 min 644 Un móvil navega por rio a una velocidad que es 2veces menor que la corriente de este. ¿Qué ángulo respecto a la corriente debe mantener el bote para que esta lo arrastre lo menos posible? wvvw.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II I
  • 78. » SOLVER EDK 3 CINEMÁTICA Ahora analizando al móvil en la posición mostrada = >Vy=Vosen0 = >-=Vosen0 = > t=—i— ...(*) t 0 V osen0 Luego sea d= distancia arrastrada =>d=(2V0-Vx)t d=(2VO -Vocos0)t de (*) Como deseamos que (1) sea mínimo = > d’=0 i l-2cos0 = > d =--- 5—=0 Sen 0 7 1 -°= 3 01= 180-60° 01 =12O° Los barcos P y Q poseen velocidades lOcm/seg y 8m /seg la distancia PQ es de 500m. La velocidad lom/ seg, forma con PQ un ángulo de45°. Cuál debe ser el ángulo 0que forma 8m/seg con PQpara que ambos barcos se encuentren. i*]IIW Mi Sea t el tiempo necesario para encontrarse: da=8t dp=10t H SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.eauKperu.c
  • 79. CINEMÁTICA SOLVER EDK « 10n > / Geométricamente tenemos: Por ley de sen0 8 _ lOt sen45° senG 0=62°7 6' fyp En un rio cuya corriente tiene la velocidad lm/esg se debe cruzar -perpendicularmente con una canoa que puede ir a 5m/seg (a) con qué dirección debe remarse en la canoa (b) con que velocidad se cruza. Como deseamos que la canoa debe ser perpendicular a la corriente del río 5sen0=l www.edukperuxom SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II V
  • 80. » SOLVER EDK I CINEMÁTICA 1 = » sen0=- 5 0=sen'1- 5 0=11,54° Como piden complementario = > a=78,46° a=75°,27' V=5 cos0 V=4,89 m/seg Una varia de longitud 2m se mueve, tal que el punto p tiene velocidad constante de3m/seg. Cuál es la velocidad del punto Q cundo 0 = 30°. Veamos: tenemos del y=2sen0 ... (1) x=2cos0 ... (2) 6 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY www. edukperu.com
  • 81. CINEMÁTICA SOLVER EDK « = > x2+y2=4 dx dy = > 2- .(x )+2y - = 0 Luego: ^(x)+y^=0 (3)(V3)+(l)Vy=0 = >-Vy=3V3m/s Vy=5,19 m/s Se tiene dos móviles se mueven en líneas recta, cuyos gráficos de velocidad - tiempo se indican en la figura adjunta. Si ambos partes de una misma posición inicial. Al cabo de cuánto tiempo se encontraran los móviles. Del gráfico mostrado tenemos: VB= ^ .(t- t2)+V0 t2 “ti Sea t , al cual se encuentra = >también ambos recorren la misma distancia, * d- 4 © - < ! -■<i> wvvw.gduKpefu,corn SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
  • 82. » SOLVER EDK CINEMÁTICA J -Vo(t-2t! t+tf * dB= 2(tr t2 ) = > dA=dB . = > t-t2+yt^CVÍj) ¿J Dos móviles parten de la misma posición inicial en forma simultánea, sus gráficos de velocidad -tiempo se indican en la fig. Adjunta. Una de ellas es una recta y el otro un cuarto de circunferencia. Hallar (a) la aceleración del segundo movimiento de función del tiempo (b)aceleración del primer movimiento, sabiendo que el primer punto alcanza al segundo en el instante en que este queda en reposo (c) 1tiempo que transcurre hasta que ambos puntos tengan igual velocidad. im w m Realizando su ecuación de cada, de velocidad, según la gráfica: a) Dada: V2 =Jv[-1 ' Por la ecuación del movimiento tenemos: dvo -t .2 v2 a2="dt" ^ a2= V0 a2= V JvU2 it¡-t2 t2 t¡-t2 v 0=t2 b) Calculando el tiempo en que V2 =0 = > t=V0 Ambos recorren lo mismo ^ d ^ ft^ f.v ! (1) v° n d2 =— Perod,=d2 B M SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.Gorn
  • 83. CINEMÁTICA SOLVER EDK « KV0 1 2t2 c) Para(l) k V0 2 to iVn-t2 v 1 = v 2 = » t = 2to Vt c ^+ 4 De una torre se arroja dos cuerpos con la misma velocidad v0e inclinaciones 0lt 02. Ambas cuerpos caen en mismo punto del suelo. Hallar la altura H de la torre H=falta Para la primera piedra, tenemos que (por ecuaciones vect), podemos observar que: X=V0t2cos0i (1) También H=^g t2-Vosen01 ....(2) Análogamente para la piedra (2) tenemos X=VGt2cos02 . H=^gt2-Vosen02t2 - ... (2)’ Resolviendo H= 2V0cos0; cos02eos (0i+02 ) sen2(0t+ 02 ) vv.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I " U
  • 84. » SOLVER EDK CINEMÁTICA !. Un grupo se mueve a lo largo de una recta, su posición con respecto al origen de coordenadas es: x(t)=t3-2t2+3t+2. Hallar (a) la velocidad media para el intervalo [2,3] Seg. (b) La velocidad instantánea t = 3seg (a) La aceleración media en el intervalo [2,1] seg. (d) La aceleración instantánea en 3seg. © Para qué valores del tiempo su velocidad es cero. A) Sea X=t3.2t2+3t+2 Piden w X(3)-X(2) 3-2 =12 m/seg B) V=3t2-4t-3 ...(1 ) C) Ahora piden V(3)-V(2) Pero V(3)=18m/s V(2)= 7 m/s • • • am ed= ll m/s2 D) de (1) Tenemos a=6t-4 a=14 m/s2 de (*) SOLUCIONARIO FISICA LE1VA I Y II www. edtikperu.com
  • 85. CINEMÁTICA SOLVER EDK « 3t2-4tr3 =0 3t Se lanza un cuerpo con una velocidad de 300 m/seg y con un ángulo de tiro de 60°. (a)Hallar la velocidad horizontal y vertical a los 10seg después del disparo. (b)El ángulo que forma la velocidad con la horizontal en el instante de 10seg. (c) La aceleración tangencial y normal a los 10 seg del disparo use g = 10m/seg2. Como el movimiento es un MPCL = > Vx=300eos 60° = > Vfx =Vx=300 cos60°=150 m/seg Ahora trabajando en el eje “Y” vectorialmente = > Vfy= VQ y+gt = > V¡y=300 sen 60°-(10) (10) V^=159,81 m/seg a) = >Vx=150 m/seg = * Vy=159.81 m/seg b) < 8 0 =£=1,07 V X = >0° =46,9° O aT=^ ....(*) Encontremos V en función de t V=150Í+(300 sen 60o -10t)J V=10 C t2 -30V3t+900)1 / 2 10 (t-15V3) Vt2 -30V3t+900 = >ar=7;3 m/s2 aN+aT=a2=g2 www.edukperacom SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 86. » SOLVER EDK 1 CINEMÁTICA = > aN=Vs2 -a? aN=6,8 m/s2 Desde la azotea de un edificio se lanza verticalmente, hacia arriba un cuerpo. Transcurridos 5 seg pasa por el punto situado a 20m por debajo de la azotea. Si g= lOm/seg2 .Hallar (a) velocidad inicial (b ) la altura que se elevo por encima de la azotea (c ) la velocidad a la pasa por un punto situado a 30 m por debajo de la azotea. ja m n m w A ) Como el cuerpo desarrolla un MCL, =* trabajando cor 3 ecuaciones vectoriales H=V0t+Í st2 = > -20=Vo(g)- 1 (5 y V0=21 m/s B ) Piden h en la cual se elevó el cuerpo =* Vt=V0-gt = > t= — =2,1 S = > h=Vot- |t2 =22,05 m C ) Por las ecuaciones vectoriales, tenemos que H=V0t+ t2 -300=Vot-5t2=*-300=21 t-5t2 ...(* ) O Un avión tiene una velocidad de 300 km/h con respecto al aire. El avión viaja ida y vuelta entre dos puntos PQ que distan 1200km. (a ) cuanto tiempo tarda de ir de P a Q en un día en que el viento sopla a lOOkm/h de Q a P.(b ) cuanto tiempo emplea si existe un viento cruzado de lOOkm/h. (c ) cuanto tiempo emplea si no hay viento. vSOLUCIONARIO FISICA LEIVAIYII wvw.edukperu.com
  • 87. CINEMATICA SOLVER EDK « a) =400Kn^ Q V = 200Kn}£ O Q b ) 1200 | 1200 9h t,otíl “ 400 + 200 “ V, 100 300 C) > eos0 - 100 300 = > 6>= 70,5° = >vy = 300sen70.5° 2400 O RU t = -----= 8.5h V q _ jo o K =>t =2M =8h 300 www>edukperu,córn SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 88. » SOLVER EDK CINEMÁTICA El vector posición de una partícula es:r=tí+(t-2)“í-6t2k, s i: m, t :seg. Hallar (a) En que instante la velocidad es mínima (b ) el valor de la velocidad mínima (c) El radio de curvatura en función del tiempo (d ) La aceleración tangencial y normal cundo la velocidad es mínima. a m m X M Se muestra a) r=t í+ (t-2)2j-6t21 < _ dr . =* V=— =i+2(t-2)j-12tk V= Jl4 8 t2 -16t-17 .... (*) Para que b) En (*) del resultado obtenido, tenemos: Vmin=4,07 m/s* c) Para calcular 5 haremos uso de Calculando a=— dt = >á=l]- 12k = »Vxá=(48-12 t)í+ 12]+k |Vx a|= V i44t2 -l152t-2449 (148t2 -16t-17)3 / 2 “ V1 44t~1152t^2449 d) Piden ar= ^ , áN = ^^ para t=^ seg ( 144 24 1,-37.-37) (0, 1,-12)=0,96 m/seg2 aN=12 m/seg SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.edukperu.oom
  • 89. CINEMÁTICA c SOLVER EDK P Con que velocidad debe desplazarse una bolita por una mesa horizontal, si después de abandonar la mesa a una altura de lm, recorra la misma distancia horizontal y vertical con relación al punto de partida. En (*) tenemos: V0=V5=2,24 m/seg Cuál debe ser el ángulo de tiro del proyectil lanzado del punto A, con una velocidad de 200m/seg, si un segundo proyectil se lanza con una velocidad de 150/mseg en dirección vertical del punto B para que colisionen. Para que ambas colisiones = >la altura de ambas debe ser la misma: para la esfera B (trabajando vectorialmente) H=V0Bt+|gt2 = > H=150t-5t2 ...(*) Para la esfera A, en el eje “Y” H=V0AYt+ ± st2 H=2OOcos0t-5t2 ....(*)(*) Asumiendo que la colisión fue en el ascenso de ambas de (**) y (*) Voay=150 = > cos8= - 4 0=41,4° Luego de abandonar la bolita describe un movimiento parabólico: Analizando en el eje “X”; sea VX=V0 Ahora d=V0t=>l=V0 t ....(*) Ahora en el eje “Y” www.eduKperu,com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
  • 90. I » SOLVER EDK CINEMÁTICA Una persona se Halla en un edificio a una altura de lOOm y suelta una canica. Tres segundos después lanza una segunda canica idéntica a la primera. Cual debe ser la velocidad de lanzamiento de la segunda canica, para que ambos lleguen al mismo instante al suelo (g = 10m/se^2). JEfflIM Jf Para la primera bolita, tenemos de las ecuaciones de MPCL = > H= V0lt+ |t2 H= ^ t2= * t=2V5seg Para la segunda tenemos: H= V0(t-3)+|(t-3)2 100-Vo(2V5-3)+5(2V5-3)2 = > Vo=60,6 m/seg 5 Se lanza hacia abajo una bolita con una velocidad de 5m/seg desde una altura de 200m. Después de 2seg se lanza una bolita idéntica con una velocidad desconocida. Cuál debe ser el valor de la velocidad de la segunda bolita, para que las dos lleguen al mismo instante al suelo (g = lOm/seg2). Análogo al anterior problema para ambas bolitas la distancia recorrida son las mismas: para la primera H=V01t+iSt2 200=5t+ Igt2 t=5,84 seg Para la segunda: como el tiempo el cual recorre ^=*-2=3,84 seg H=Vo2 t,+5Stf 200=VO 2 (3,84)+ 5(3,84)2 V02=32,89 m/seg SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.«!ukperü.s
  • 91. CINEMÁTICA SOLVER EDK « Un avión vuela desde P a Q, separados una distancia de 2160mkm. En dirección este. Hallar el tiempo de vuelo ( despreciar el tiempo de bajada y de subida del avión (a) cuando no ase viento (b) si el viento va de sur a norte (c)El viento va de oeste a este. La velocidad del viento es 50m/segy la del avión con respecto al aire es de 720km/h. a) V=- J t = > t=3h b) Como en viento va de norte a sur = > Vy=180km/m 720 sen0= Vy 720 sen0=18O km/m = * 0=14.5° Vx=720 cos0=697.1 km/m d t= -= 3,lh v x c) Entonces, como Vviento=180 km/h • '• V raro =900 km/h d = * t=—=2,4 h v La gráfica se velocidad de un móvil en función del tiempo se indica en la gráfica. Hallar la aceleración media para los intervalos (a) [0,l]seg (b) [l,5]seg (c) [0.5,4]. Por definición, am cd=-^-£ ’ m e d tf- t0 a) Parate[0 ,1] =>Vo=0 , Vj=20 r w W vV.ectuKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I YI
  • 92. » SOLVER EDK CINEMÁTICA = > am ed=Y =20 m/seg2 b) Para tG [1,5] Vo=30 m/seg , V - j=20 m/seg 30-20 am ed=-5-j- =2,5 m/seg2 c) te [0,5, 4] Para este caso: se relaciona V4=27,5 Vo,5=10 27,5- 10 a me d = — 35— =5 m/seg Un cuerpo que cae, recorre la mitad de su recorrido total en los dos últimos segundos a partir del reposo. Hallar la altura desde la cual cae. Sea h , el recorrido total: de acuerdo al problema ^=Voit+5St2 , para t=2 seg Donde Vo1 velocidad inicial antes de que caiga al suelo: í-=Volt(2)+20 ...(*) Ahora sea tt , el tiempo empleado para que el cuerpo caiga = * h=V0t+5ti h=5tf ....(**) para V0l=V0+g(t,-2) V0i=g(ti-2) ....(***) De (*),(**) y (***) = » 5=20(tr 2 )+ 20 ....(a ) SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vvww.edukperu.com
  • 93. CINEMATICA SOLVER EDK « h=5t? = » t]=6;81 seg h=231,0 m Un móvil realiza un movimiento rectilíneo y su aceleración está dada por a=-4x, donde x se mide en my t en seg. Hallar la relación de la velocidad en función de x, sabiendo que to=0;x0=2m;v0=4m/seg. Tenemos que por definición tenemos que a=-4x dv a= 77" v dx J*adx =/4 vvdv /2-4xdx =/4 vvdv -2 (x2 -4)= - - 8 V= [32-4xs 11/2 Dos móviles parten del mismo punto, con aceleraciones de bmlseg2 separado en un tiempo de 3seg. A que distancia del punto de partida se encontraran. Ejercicio para el lector Una partícula se mueve a lo largo de una curva, su posición inicial esta dado la iongitud del arco vx donde su rapidez es vty en su tiempo después t2 la longitud del arco es s2y se rapidez v2. Si en este trayecto la aceleración tangencial es 3m/seg2. Hallarla rapidez v2 ? ' d jK P e ru .c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 94. » SOLVER EOK CINEMÁTICA Como la partícula, se mueve a lo largo de la trayectoria dv dv = > at=— = » at=— .v 1 d 1 ds atds=vdv Q ards=/v ^2vdv ,en esta trayectoria at=cte=3 m/seg2 3 (82-$,)= Vj-Vi 2 V2=V?+6(S_2-S_1 )1/2 57. Un hombre sostiene una bola fuera de una ventana a 12mdel suelo. El lanza la bola hacia arriba con unavelocidad de5m/seg. Que tiempo le lleva llegar hasta el suelo y con qué rapidez llaga al suelo. mmmm Por las ecuaciones de un movimiento caída libre (vectorialmente) d=V0t+ ig t2 -12= 5t-5t2 = >t=2,13seg Vf=VG +gt Vf= 5-10(2,13) Vf=-16,3m/seg Vf=16,3 m/seg 58. Por un plano inclinado de ángulo 45°, se lanza una bola con lavelocidad vQy formando también un ángulo de 45° con la horizontal, que distancia por la horizontal recorrerá la bola antes de deslizarse de plano?. No considere la fricción. SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www.edukpeau
  • 95. CINEMÁTICA SOLVER EDK « Del problema , descomponiendo V 0 , a lo largo del plano y paralelo. Veamos En lo horizontal: V0cos45°= Wuelo = > Cuelo •v 0cos45°=L ...(*) Ahora paralela al plano, en la posición más alta: tvuelo Vf= = * V0sen45°-a- 2V0 sen45° ‘-vuelo- _ — t U Descomponiendo g a lo largo de plano tenemos que: a=g sen0 ... (2) En (1) f -9^2. (** Lvuelo—^ g •••V . y En (*)L=—V2 © De una manguera brotan chorros de agua bajo los ángulos 6 y /? respecto al horizonte con la misma velocidad inicial v0. A que distancia con respecto a la horizontal los chorros se intersecan?. En el eje “X”, tenemos: X= tTV0Cos p X= t2V0Cos 0 A^eciuKp^u com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I
  • 96. » SOLVER EDK CINEMÁTICA tiCOsB t2=^ r Ahora en el eje “Y” Y=V0senptr |b , Y=V0sen012 - |t| De (*) tenemos que 2V0 sen (0-p) ^ g( cos2p -cos20) Ahora: X= 2Vq Cosp sen (0-p) g (COS2P-COS,’0 ) © Se lanza una partícula con velocidad v0, formando un ángulo 9 con la horizontal. Qué tiempo transcurrirá para que la velocidad forme un ángulo /? con la horizontal? jfc w iP T tia f Veamos que en el eje “X” Vx=Vocos0 Luego de t seg: V *x=Vocos0 En el eje “Y” Vfy=Vyo-gt Del resultado final Vfy=Vfx -tgp Vfy= V0COS0 tgp Entonces: V0cos0 tgP=V0sen0-gt V = > t= — (sen0-cos0 tgP) S — j SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vW A v.eclu kp eru .com
  • 97. DINÁMICA SOLVER EDK « « m i De un cuerpo de masa m1se cuelga con una cuerda de de una masa m2, otro cuerpo de masa m3. Al cuerpo de masa m1se aplica una fuer za f dirigida hacia arriba. Halla (a) la fuerza de la tensión en el extremo superior de la cuerda y en el centro de ella. m. |Ts ITI2 ▼ C I iTe m3 1 Hallamos la aceleración del sistema IF=mta F-m1g-m2g-m3g=(ml-m 2-m 3 )a F a=g-- mr m2-m 3 .•••(I) Ahora en el punto “s”; hallamos la tensión que se ejerce en la cuerda IF=mta F m3g+m2g - í- Ts=(s-— — — — )(m2+m3 ) V mi+m9 +nW ■ = (- s m, m1+m2+m3 / m g+ nria T,= í — F 1+m2+m3/ Lo mismo hacemos con la tensión en el punto C: m2 F ( m2 m3g+-^-g-Tc= g-- 2 m1+m2+m3 ( 2A ( m3+T ) w w w . ed y kpe ru .co m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I
  • 98. » SOLVER EDK D. DINÁMICA m1+m2+m3/ Se tiene el sistema que muestra en la figura, si m1= 3kg,m2ym3=5km . Si no se considera el peso de la cuerda no ay rozamiento en la polea fija. Hallar (a) la aceleración del sistema (b) la tensión de la cuerda que une a las masasrri! y m2 Piden la aceleración del sistema a) LF=ma a=F/m mig+m2g-m3 g a=----------- m1+m2+m3 (m1+m2-m 3 ) a=----------g m1+m2+m3 (3+4-5) a = h d ™ SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.ee -
  • 99. DINAMICA SOLVER EDK « b) Del sistema S ’ , tenemos: a=l,63 m/seg2 ™iS LF '=ma m1 g-T=m1a T=m1(g-a) T = 3(9,8 - 1,63) T=24,51 N En el sistema que se da, hallar la velocidad y la aceleración del bloque 3, sabien que las poleas son de radio iguales y no presentan rozamiento. Se conoce x1=4m/seg , x^^m /seg2 ’x2=-5m/seg, x2=8m/seg2. ~ l 'w> m w w w .e d u k p e ru .c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 100. » SOLVER EDK 3 DINÁMICA La distancia de la cuerda desde él peso 1hasta la polea B es: r A V, = 4 — i m- ■ i a, = _ 2— 1 5* a 8 52 Xi O * -ui- 5m Xo X2 m ..... X^jcR+Xo^!... (1) X3 Derivando: Derivando (2): Xt+0+Xq=0 ; X1=-X0...(2) X>Xo=G- Xi =-Xq...(3) La distancia del peso (3) al peso (2) es: X3-Xo+X2~Xo+tcR=C2..•(4) Derivando: SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I www.eoukper
  • 101. DINÁMICA SOLVER EDK « X 3 -X 0 -X 2 -X 0 +O—^ 0 ; X 3 —2Xo_X 2. .. (5 ) Derivando (5): X 3 -2Xo+X2=0 X 3 =2Xo-X2 Para hallar la velocidad de (5) y (2) V3=2(-X1)-X2=2(-4)-(-5)=-3m/seg2 Para la aceleración de (2), (3) y (6): a3=X3=2(-X1)-X2=-2(-2)-8=-4m/se¿72 Dado el sistema de dos poleas fijas y una móvil en la cual es hay tres masas m1;m2y m3 Hallar la aceleración de cada masa, si se desprecia el peso de las poleas, asú como la fricción en las poleas. Hallando la relación de aceleraciones: Xr Xo+7iR+X3 -X0+7iR=l1 w w w .e d u k p e ru .c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY II M
  • 102. » SOLVER EDK DINAMICA Para la otra cuerda: Derivando: X1+2X0+X3=0... (1) Derivando X1+2X0+X3=0... 2) X2-Xo-nR=l2 X2-Xo=0 DerivandoX2 = Xc ... (3) Las ecuaciones de dinámica para cada mesa es: m2g-T2=m2a2 ...(5) donde T!=T3 m3S"T3=m3 a3T2=Ti+T3 7,2 = 27, 1 ...(7) í 4m!m3-3m2m3+m1m2 3l~ 4m!m3+m2m3+m1m2/ ^ ( m!m9 -4m1 m3 +m2 m3 a2=I - )S 4m}m3+m2m3+m1m2y Mm! m^nr^ m2+m2m3 a3_ 4m 1m34-m2m3+m1m2y ® Una persona se desliza sobre un trineo por una montaña de pendiente 6. El coeficiente de rozamiento entre la superficie y el trineo es Como de moverse el hombre de masa M con respecto al trineo de masa para que este último se deslice por la pendiente con movimiento uniforme. SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www-.edukperu
  • 103. DINAMICA SOLVER EDK « Del Sistema total I F=Ma M: masa del hombre (M+m)gsen0-p(M+m)gcos0=Ma (M+m) a=— -— g.(sen0-pcos0) M & Dado el sistema que se muestra en la figura. La masa de la polea, de las cuerdas y la fricción se desprecia Hallar la aceleración de las masas. Considerando que m2>m! tenemos el siguiente diagrama, de donde obtenemos que a1“a2 Como la fuerza de gravedad es la que actúa sobre el sistema a1= a2=g Dado el sistema que se muestra en la figura. De la polea fija cuelga una masa m; qué fuerza F es necesario aplicar a la cuerda para que la masa m se mueva hacia arriba con aceleración a. www.edukperu.com : SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I I
  • 104. » SOLVER EDK DINÁMICA Dejamos éste ejercicio al lector. ^ Hallar la aceleración masa m2(m2>m1 ) para el sistema dado. Se desprecia la masa de la polea, cuerdas y no hay rozamiento. m ñ V M t m Por dinámica para cada masa tenemos: 21-iriTg sen0=m1a1 .. .d) lm2g-lT=m2a2 De (1) y (2) obtenemos: 2m2g-m1 g sen0=m1a1+2m2a2 Se muestra que a±= -a2 rr^ = »2m2g-m!g sen0=— a2+2m2a2 4m2g-2m1 g sen0=m1a2+4m2a2 = > a 2= - 2g(2m2-m1 sen0 4m2+m1 En sistema que se muestra la barra m es mayor que la bola m (M > M) . La bola tiene un orificio por donde se desliza el hilo con razonamiento. En el momento inicial la 1 E l SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II T jf jí 1 9 www.edukperu.com
  • 105. DINÁMICA SOLVER EDK « bola se encuentra frente al extremo inferior de la barra. Después de que el sistema quede libre. Ambos cuerpos se mueven con aceleración constante. Hallar la fuerza de razonamiento entre el hilo y la bola, si al cabo de t segundos de haber comenzado el movimiento. La bola se colocó en la parte superior de la barra, que tiene una longitud L. La baria recorre X, mientras que la esfera recorre L+X. Por cinemática tenemos que: X+ L= ^t2...(1 ) x = ( 2) 2 D e ( l ) y (2) tenemos: Por dinámica: mg-fr=M.aM... (4) mg-fr=m.am... (5) De (4) y (5) en (3) obtenemos: 2LmM fr= o (M-m)t2 w w w e d u k p s fu .c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 106. » SOLVER EDK DINÁMICA Dado el sistema que se inicia en la figura, la superficie es lisa, se desprecia el peso de las poleas y de las cuerdas. Hallar la aceleración de la masa mi. mrnmmf Por dinámica a la masa “m0” 2T = m0a ... (1) Se demuestra que a=- ar a2 Por dinámica a las masas mxy m2 ~m2g +T = m2a2 ... (3) De (1) en (3) y reemplazando a = Tenemos: ar a2 m0(ar a2) = > a 9 = - -m 2g=m2a2 moMnigg 4m2+m0 ...(4) Sumando (2) y (3) y reemplazando a2 se tiene SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www,edukperu.com
  • 107. DINÁMICA .c SOLVER EDK « Despejando ax: /m0ai-4m2g 4m2+m1+m0(m1+m2)' ai = 4m1m2+m0(m1+m2) © Sobres las masas mi y m2 actúan las fuerzas F1 =bt y F2 =2bt, que están unidos por un hilo que puede soportar la tensión T, donde b es una constante. Hallar en que instante el hilo se romperá. m2 m. n / / / / Para cuando el hilo se rompa de la a ^ 0 Por dinámica se tiene que IF=mta F^F^Or^+m^a 2bt-bt=(m1+m2)a bt=(mr m2)a . . . 0) Teniendo en cuenta la dinámica de cada masa: * 1 - 4 7 7 .T mi / / } / / m9 / / v ? F2-T=m2 a T-F^ir^a ...(3) De (2) y (3) obtenemos la aceleración: www.edukperu.cor? SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y
  • 108. » SOLVER EDK_____________ J _____________________________ . . . __Pl"*™?* T a= 2m1+m2 Reemplazando en (1) obtenemos el tiempo en el cual el hilo se romperá: ^ T (m1+m2 ) b ’(2m1+m2 ) Que fuerza actúa en 1sección de una barra homogénea de longitud L a la distancia x del extremo al que se aplica una fuerza R; dirigida a lo largo de la barra. m x L Por dinámica tenemos que R = ma ... (1) Definamos Por dinámica para el trozo de la barra. rn R-F=m'a Utilizando (1) y (2) se tiene: F=r ('- Í) Se tiene un prisma de masa M y ángulo 9, se le comunica aceleración “a” hacia la izquierda. Una masa mse halla sobre el prisma. Cuál es el valor máximo de esta aceleración, para que la masa m permanezca inmóvil con respecto al prima, sabiendo • que el coeficiente de rozamiento entre las masas es ¿(j í < cotg 9) ¡ f j SOLUCIONARIO FISICA LEIVAl Y www.edukperuxom
  • 109. DINÁMICA £ SOLVER EDK « En el eje X para el bloque se tiene: y u O=ZFx=macos0+macos0-fr fr=macos0-macos0... (1) En el eje Y se tiene: LFy = N2 —mgcosQ —masenO = 0 N2=mgcos0+masen0... (2 ) Sabem os que fr=pN2... (3 ) De (1), (2 ) y (3 ) encontram os que: 9(l+ijcot0) m a x ” (COt0-p) Dado el sistema form ado por el prisma de masa M y sobre él la masa m. despreciando el precio de la polea, de la cuerda y el rozam iento. Halla la aceleración del prisma M. www.edukperu.com S0LUCI0NARI0 FISICA LEIVA IY II
  • 110. » SOLVER EDK DINÁMICA Haciendo DCL para cada masa: Por dinámica tenemos para la masa m: mg SenO - T = mam ... (1) Y para la masa M: T+N Sen0=(rn+M)am Se demuestra que: am =amCose De (1) y (2) y reemplazando am tenemos: 3 m mg Sen0+NSen0=(rn+M)am + mg Cos0(l+Cos0) Cos0 3 m M Cos0+m(_+Cos0) Dado el sistema que se muestra en la figura, una polea fija por una barra, esta pasa a través del cuerpo de la masa m2, y existe una fuerza de rozamiento Fr. Despreciando el peso de las cuerdas, hallar la aceleración de las masas y la tensión del hilo. q p m ,n /fr ím2 F2 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www.edukperu^com
  • 111. DINAMICA .c SOLVER EDK « Considerando m1> m2} se tiene; del todo el sistema por dinámica obtenemos: a(m1+m2)=Fr F2 -fr (mr m2)g-fr Por dinámica: De (1) en (2) tenemos: a=- 1 m , TF, Fr T=m,a ...(2) /2m2g+fr r = m , ---------------- Vm1+m2/ Dado el sistema de masas que se muestra en la figura y ^ es el coeficiente de rozamiento entre la masa my el plano indicado. Hallar la fuerza que presiona la cuerda sobre la polea. Se desprecia el rozamiento en la polea y su masa. Por dinámica a cada masa: www.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II 107
  • 112. » SOLVER EDK 3 DINÁMICA fr=pmg cos0 IF=ma mg senO + ¡xgm cosQ —T = ma ... (1) Por dinámica: i T m T mg D e(l)y(2 ) tenemos T-mg=ma... (2) mg T=— (1+jj cos0+sen0) Para hallar la fuerza que ejerce sobre la pelea, como las tensiones son iguales, entonces la fuerza F divide a la mitad al ángulo: T T v Por ley de cosenos: F?=T2+T2+2T2 eos (|-e) F2=2T2[l+cos ( | - e ) ] 2=2T2 [l-1+2cOS2g -^ )] Siendo ffTl SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I w w w ,e d u k p e m .c D m
  • 113. DINAMICA SOLVER EDK « o mg T= (1 +pcos0+sen0) En el sistema que se indica, la m1> m2. Se suelta el cuerpo de masa m2 y el sistema se pone en movimiento. Cuál es la altura máxima del suelo a la que subirá el cuerpo de masa m2. Desprecie las masas de las poleas y el rozamiento. m rn I2 h Dejamos el ejercicio para el lector. Se tiene una barra homogénea de masa M y longitud L, es sometida a una fuerza F en uno de sus extremos. Hallar el valor de la fuerza que ejerce la región 1 sobre la región 2. mun i— x— i Por dinám ica para todo el sistema. F=ma=>a= — m ...d ) wwvv.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY II 109
  • 114. » SOLVER EDK ] DINÁMICA Definimos Por dinámica D e (l)y(2 ) se tiene: m m m p=r =c x m= m(L-X) . . ( 2) F-F12=m'a XF f1 2 =t o Se tiene la máquina de Atwood dispuesta como se muestra en la figura. La polea en estado inmóvil (las masas no se mueven) se equilibra en una balanza de palanca. En cuanto es necesario variar el peso en el plato derecho, para que al librarse la polea y moverse inmediatamente, el equilibrio se mantenga? Para que el sistema quede equilibrio, la aceleración de la polea y de la masa en el platillo deben ser iguales. Hallando la aceleración de la polea: mig-T^nr^a — m2g + Tx = m2a , donde 7 = T2 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I w w w .e d u k p e ru com
  • 115. DINÁMICA r A. SOLVER EDK « El peso será. a= (nr^-nng TS ?=(mr m2 ).a p- .1— —— —L — -iq (m,+rn2) P- (m,-mg)2 g (irirfíTio) Por din¿ímica para las 2 masas: mxg - 27 = ... (1) Se demuestra que De (1) y (2) obtenemos: Por cinemática:a2 = 4h T-m2g=m2a2 a2=2a - , (mr 2mo) ai=7 — “ • “vg (rrh-Mmo) 8h(n«r 2m¿)g mj-ntrno Luego de que el bloque de masa m i; llega a 1piso. m2tiene una velocidad v, donde comienza a actuar la g como la aceleración:
  • 116. » SOLVER EDK DINÁMICA © La máquina de Atwood, está colgada de una balanza de resorte, tal como se indica en que la figura. Hallar la aceleración de los cuerpos, la indicación de la balanza y la tensión en la cuerda que une a las masas. Por dinámica para cada masa: gmr T=am1 T-gm2=am2 D e (l)y (2) se tiene: g(m1-m 2)=a(m1+m2) ^a= (mr m2 )g (m,+m2) ...(3) Ahora hallamos, de (2) y (3): (mr m2 )g T-m2g= ----- -m2 (m,+m2 ) T= 2m1m2 g m1+m2 Y la tensión de la balanza será 2T Tr= 4m1m2 g m ^+m2 ^ j j SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II w w w . ed u kp e ru .cc ~
  • 117. DINÁMICA .c SOLVER EDK « Se tiene el sistema que se indica en la figura, hallar (a) la aceleración de cada peso. Supóngase que las cuerdas y poleas son de peso despreciable, estas últimas son lisas y las cuerdas son flexibles e inextensibles. Como las cuerdas son inextensibles entonces estas permanecerán constantes: 1 }=X^-Xo+7CR+Xo-Xo+7CR +Xq Derivando 2veces, siendo X0 = cte , se tiene: X, +2Xo=0 i2=x;-xo , derivando 2 veces, tenemos: X'o = *¿ ...(2) l3=X2->i+7tR"+X3-Xo Derivando 2veces, se tiene: X2-2X¿+X3=0 ...(3) De (1), (2) y (3) se tiene: X2+ X^+X3=0 w w w . ed ukpe ru .c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y
  • 118. » SOLVER EDK 3 DINÁMICA ...(4) Por dinámica para cada masa; se obtiene: ...(5) m2g-T2=m2a2 ... (6) se demuestra que ^3S"T3=m3a3 ...(7) T=T1= T2=T3 ...(8) De (4), (5), (6), (7) y (8) se tiene: /m1m2+m1m3- 2m2m3 ai=| J rr^m3+m2m3+m1m3/ /m2m3+m1m2- 2m¡m3 a2= a3= Reemplazando tenemos: v 8 m1m3-h m 2m3+m1m2/ /m -[m3+m2m3- 2m1m2 m1m3+m2m3+m1m2/ m!=2kgm2=4kgm3=3kg 3l=y8 a2=7 93= - -4g | — ■ www.edukperu com
  • 119. DINÁMICA SOLVER EDK « © Un cuerpo está colgado de dos hilos que forman ángulos y 02con la vertical, como se indica en la figura. Demostrar que si se corta el segundo hilo, la tensión en el primero varia instantáneamente en la aceleración.sen 02/seg(91+ d2)cos 61. ^mg En el equilibrio, tenemos lo siguiente: T1cos01+T2cos02=mg... (1) T1sen01=T2sen02... (2) De (1) y (2) obtenemos: Por dinámica J _ m gsene2 ™ 1 sen (0 ! +02) ''J o / /mg £F=lng cos0r To=mac mv2 mgcos91-T0=— Pero como V = 0 al inicio To-mgcos0,=O To-mgcosG!... (4) De (3) y (4) T, sen02 To_ cos0,-sen(e,+ e,) www.edukperu.com ^ SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IYII
  • 120. SOLVER EDK DINÁMICA @Se tiene una esfenlia de masa rn que se mueve alrededor de un alambre de radio R;: que se halla en un plano vertical. La esferiila tiene una velocidad uniforme vü a lo largo del alambre. Hallar (a) la aceleración centrípeta, (b) la componente radial y rangencra! de ía fuerza que se ejerce sobre la esferiila, debido ai alambre en e! instante en que el radio con la esterilla forma un ángulo 0 *con la horizontal. Se tiene que la aceleración centrípeta es igual a: Vi ac = w2R = ~ Para hallar las fuerzas tangencial y radical se tiene dei gráfico que: Por dinámica en el eje radical se tiene: Fr + mg senO —mac <Vc FR = m V q ~ - gssnO j Se tiene un sistema formado por dos poleas fijas y un-peso de 10kg .Hallar (a) la fuerza mínima para que el sistema se encuentre en reposo, (b) si ia fuerza F tiene un valor de 19SN, hallar la aceleración de! bloque, (c) cual debe ser eí'váior de la fuerza ” ^ ^ 's 'O L U C iO N A R iO RSíCALEIVA SY U ~ jdyi^eviZcofñ'
  • 121. DINÁMICA SOLVER EDK « F para que el peso suba con una aceleración de 1.2 m/seg 2? (a) F= 98N; (b) a =10 m/seg2; (c)= 110N. 10ks l'm g a) Para que se encuentre en equilibrio, la tensión de la cuerda debe ser igual a la fuerza F F=t=mg F=(10kg) (9 ,8 = 9 8 N b) Por dinámica se tiene £F=ma ...(*) F-mg 198-98 m a=- m 10 -=10- segz c) De (1) se tiene: F=98n=(10KG)fl;2 - ^ ) V segv F=1ION Se tiene un cuerpo de masa my está sujeto por dos resortes iguales de constante de elasticidad k, alargados ambos a una distancio AL. Hallar la magnitud de la aceleración del bloque en el instante de soltar el bloque. No hay rozamiento. vwAv.edukperu.com I I SOLUCIONARIO FISICA LEIVA íY 1 1
  • 122. » SOLVER EDK DINÁMICA m FkSenO 5 5 ^ S e n 0 FkCosO t Por dinámica en el eje X: EF IF=maa= — m 2Fk sen0 2KAL a=------ = ----— sen0 m m Sobre los bloques de masa mi =30kg. M2 =15 kg, existe una fuerza de rozamiento de 2 kg. Qué tiempo empleara partiendo del reposo para que el bloque m2 recorra una distancia lOm, si 0=60°. SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II v .v ,..edukperu.com
  • 123. DINÁMICA .c SOLVER EDK « Considerando todo el sistema por dinámica obtenemos: ^0^ rr^g sen0- 2fr=(m1+m2 )a Por cinemática tenemos que: X=Xo+V0t+~at2 20 Para cuando recorra 10m7se tiene una aceleración de a = — ... (2) Ahora (2) en (1) obtenemos el tiempo en el que recorre 10 m.: t=2;04 seg Se lanza una partícula con una velocidad inicial vO, hacia abajo por un plano inclinado de ángulo 9 y longitud L. Cuál será el coeficiente de fricción cinética, si la partícula alcanza el extremo inferior del Plano justo cuando llega al reposo. Fr Por dinámica en el eje X: .v.vedsjioer-.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY II f 19
  • 124. » SOLVER EDK DINÁMICA mg sen0-pkmg cos0=ma gsen0-pk g cos0=a... (1) Por cinemática obtenemos: a=^ =Vot=V o (2) t t a v ' L=V0t-^at2... (3) Reemplazando (2) en (3), obtenemos la “a” Reemplazando (4) en (1); obtenemos pK=tan0- 2Lgcos0 0 Por una porción de un canal circular de radio R; se desplaza una masa m7sin fricción. Que altura H alcanza la masa; si el canal gira con una velocidad angular unifrome. Del diagrama obtenemos que De (1), (2) y (3) tenemos: Pero Ncos0=mg... (1) NsenO = mw2r... (2) Y r = RsenG ... (3) mw2Rcos0=mg ... (4) SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II jK p e ru .c o m
  • 125. DINÁMICA SOLVER EDK « COS0= ■ R-H Reemplazando en (4) obtenemos: h=r ( i -- I_ j Rw2' Un plano inclinado de ángulo 8, gira alrededor de un eje vertical con una velocidad angular a). Un cuerpo de masa mse halla en el extremo inferior del plano inclinado y está a una distancia R del eje de giro. Hallar el coeficiente de rozamiento mínimo que permita que la masa mse mantenga sobre el plano inclinado. i Por dinámica y la fuerza antribeta en “X” tenemos: U> -Nsen0+fr cos0=mac=mw2R... (1) En “Y” por equilibrio se tiene: mg=Ncos0+frsen0... (2) Siendo f r = fiKN, reemplazando en (1) y (2) Nsen0+pKN cos0=w2Rm... (3) Ncos0+jjkN sen0=mg... (4) ww vv.edu kperu.cc :r SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II I t f f 1
  • 126. » SOLVER EDK ] DINÁMICA De (3) y (4) encontramos N: N= N=- w2Rm pKcos0-sen0* mg (5) ; - ( 6) cos0-jJKsen0 Igualando (5) y (6); y despejando fiK tenemos: w2Rcos0+gsen0 g cos0-W sen0 $ Una barra sin peso, doblado como se indica en la figura, gira con una velocidad angular co, respecto al eje BC. En el punto A de la barra hav un cuerpo de mana m. Hallar La fuerza que ejerce la barra sobre la masa m. jjs ifln w fiir L> Hacemos DCL a la esfera: Por la fuerza antrípeta en “X” se tiene: F sen0-mac Fsen# = m W 2R ... (1) Por equilibrio en el eje “Y” SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I vvw vv,ed u kp er u ,co m
  • 127. DINÁMICA SOLVER EDK « Fcos9 = mg ... (2) Elevando al cuadrado (1) y (2) y luego sumamos obtenemos: F2(sen20+cos20)=(mg)2+(mw2R) F2=(mg)2+(mw2R)2 Pero R=L sen0 - .1/2 F= [(mg)2+(mw2L sen0)2j o Desde lo alto de una semí esfera de radio R, se desliza un cuerpo pequeño, sin rozamiento. A qué altura H se desprenderá dicho cuerpo de la cúpula. ü?imraT»TMf Por dinámica tenemos que: mg sen0-N=mac a- ¥ mg cos0-N=m .. (1) Por la conservación de la energía: (mgH-mgR)+ ^m V2-0^=0 De (2) en (1): m- ac=i r =!F (R- H)- (2) 2mg mg sen0-N=— — (R-H) R w '-' edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY I I I
  • 128. » SOLVER EDK 3 DINÁMICA Cuando el cuerpo se desprenda N = 0 mgsen0=^-(R-H)... (3) Pero sen6=H/R Reemplazando en (3) y despejando H se obtiene: 2 H=-R © Hallar el radio R de un puente en arco, con la condición de que la presión de un auto que se mueva con una velocidad v se haga tres veces menor en el punto más alto del puente. i W Hallamos la fuerza centrípeta en el punto A y B: En el punto más alto P = X - (1) En el punto más bajo £= (2) 3 R Sumando las expresiones (1) y (2) 4P 2mv2 "3"= R ^ j j^ j SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vwCedukperu.com
  • 129. DINÁMICA SOLVER EDK « P=mg 3v2 R = 29 Un atleta pesa 70 kg. Se coloca sobre una balanza de resorte en un ascensor. Cuanto marcara la lectura de la escala de la balanza, si el ascensor, (a) sube con una velocidad constante de 5m/seg . (b) tiene una aceleración hacia arriba de 5m/seg2 (c) tiene una aceleración hacia abajo 3.4 m/seg2 (d) cae libremente debido a que el cable se rompe. m m m m w a) Como la velocidad es constante no hay aceleración, por tanto el peso que marca la balanza es 70 kg. i b) Entonces la masa que marcará será: ma+mg L= -=105,7 kg ma c) Entonces la balanza marcará mg-ma L=— ---=45,7 kg S www.edukperu,com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY I I
  • 130. » SOLVER EDK DINÁMICA il a d) La aceleración en el exterior será la aceleración de la gravedad ya que está en caída libre, entonces la balanza marcará: Un cuerpo de masa m^sta situado sobre una mesa giratoria horizontal que distan una distancia R del eje de rotación, si el coeficiente de rozamiento estático límite entre el cuerpo y la masa es fis . Una cuerda une la masam1con la masa m2, por medio de una polea sin fricción que se encuentran en la masa giratoria, tal como se muestra en figura. Entre que límites de co debe de girar la mesa para que la masa m2 no se mueva Hacia arriba ni hacia abajo? L=m±mg=0 g i £ La velocidad angular superior es cuando la esfera tiende a salir del disco y es cuando la esfera tiende su movimiento hacia el centro: 26 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II rdukLi~ru.com
  • 131. DINAMICA SOLVER EDK « fr'icuando tiende a salir del disco i) Para el límite superior: ii) Para el límite inferior: I F = m 2g + f,!= m 1 w 2R m 2g + )jm 1 g = m lw | UpR (m2 + pm jg j mi R I F = m 2g -fr= m ,w fnfR m 2S-M m 1 g = m 1 wpnfR Wjn f— (mz-prnOg nr^R O Una masa de lkg; se mueve a la largo de una recta de forma que el camino recorrido x(m) en función del tiempo t (seg) es. x = A - 2t - 312+ t3. Hallar la magnitud de la fuerza que actúa sobre el cuerpo al finalizar el tercer segundo de su movimiento. MTir.iirrrat.Trgr m = lk g 777M /TT'T7- - El camino recorrido se expresa por la ecuación dada X = A - 2t - 3t2+ t2 ... (1) www.edukpéru.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY II 127
  • 132. » SOLVER EDK ] DINÁMICA = ma = mx ... (2) Derivando (1)2 veces, tenemos: x--6+ót Reemplazando en (2) para t = 3seg F(t)=m(6t-6) F(3)=12 N Un cuerpo se desplaza por plano inclinado ángulo G = 60°. La relación entre la distancia x (m) recorrido por el cuerpo y el tiempo t(seg) está dada por la ecuación x - t i1. Hallar el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano. jB im rü m n r Por dinámica se tiene: mgsen0-fr=ma... (1) Tenemos que x = 312 derivando 2veces tenemos la aceleración: x = a = 6m/seg2 ... (2) De (2) en (l) mgsen0-jjkmgcos0=6m pk=0,50 o La longitud de las varillas de un regulador centrífugo es igual a 12,5 cm. Que numeró de revoluciones por segundo dará el regulador, si al girar los contrapesos se desvían por la vertical un ángulo de 30o? ¿ H a y SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu,cc~>
  • 133. DINÁMICA ( SOLVER EDK « Por la fuerza centrípeta, se tiene Tsen0=mac Tsen0=mw2R... (1) En el equilibrio en el eje “Y”, se tiene Tcos0=mg... (2) De ( 1) y (2) se tiene: mgtan9=mw2R ... (3) Siendo R = L send y w = 2 tcv Reemplazando en (3), tenemos: -^=m(27cv)2L cose v ' V 2 n J 3 =1,51 RPS Lcos0 . Un peso de Ion, se encuentra fijo a un cordón de goma de longitud l0 gira circularmente en un plano horizontal con una frecuencia de 3RPM. El cordón se w w w .e d u k p e ru .c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 134. » SOLVER EDK ] DINÁMICA desvía con respecto a la vertical un ángulo 30°, Cuando el cordón se estira lcm . Se debe aplicar una fuerza de 5n. Hallar la longitud L0 del cordón sin estirar /////////////// Por dinámica de la fuerza centrípeta, se tiene: T Sen30=mRw2... (1) Tenemos que cuando T=5Al=10mm De (1): Reemplazando valores: T Sen30=m(lo+Al)w2... (2) lo=24,81 m. t 40. Sobre un pequeño cuerpo de masa m, que se encuentra en un plano horizontal lizo, en el instante t =0, empieza a actuar una fuerza que depende del tiempo por la ley f=b t, donde b es una constante. La fuerza hace en todo instante un ángulo 6 con la horizontal. Hallar©a) La velocidad del cuerpo en el momento de la separación del plano (b ) El camino, recorrido por el cuerpo este momento. ISOLUCIONARIO FISICA LEIVA IY II www.edukperu.com
  • 135. DINÁMICA .( Fsen () p FcosQ | n Tenemos en el eje X; por dinámica: Fcos0=ma a) Por cinemática se tiene que dv dt “3 dv Fcos0=m — dt bcos0 dv= t dt Integramos En el eje “Y” se tiene que bcos0 o v=—- - 1 2m IF= 0 N+Fsen0-mg=O Cuando se separe del plano; N = 0 Fsen0=mg De (1) y (2) tenemos: b s e n G mg2 v=- 2bsen20 b) Para hallar la distancia se tiene que dx V= dt SOLVER EDK « www.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA l Y II 131
  • 136. » SOLVER EDK DINÁMICA Integrando*. ...(3) De (2) y (3) tenemos: bcosGt2 dx=vdt=——— dt 2m bcosGt3 x=- 6m m2g3cos0 x=— ñ — — 6b senG © Una lancha de masa m es mueve en una laguna a la velocidad v0. En el instante t =0 desconectan el motor si la fuerza de resistencia del agua jl movimiento de la lancha proporcional a su velocidad / = —rv. Hallar (a) el tiempo del movimiento de la lancha con el motor desconectado, (b) la velocidad de la lancha en dependencia del camino recorrido con el motor desconectado, a su como el camino total hasta la parada. Por dinámica tenemos que: F=rv -rv-ma . . . 0) dv a = — dt dv -rv-m— dt f r f dv J - m dt=j T Piden el tiempo que dura el movimiento de la lancha, y esto sucede cuando v = 0 SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www.edukperu.com
  • 137. De (2) líí em =0 DINÁMICA 1_____________________ SOLVER EDK « b) De (1) tenemos que -rv a= — m Sabemos que /d v d = /-^ dvd=adx dx rx V =V 0- — m ; x: distancia Para hallar la distancia total, es cuando rx 0=v0— m - mv° r o Cuántas veces aumenta la velocidad máxima admisible de un ciclista por una pista con peralte 0 en comparación con la velocidad admisible por una pista horizontal a igualdad de los radios de curvatura y de coeficiente de rozamiento yp. i © fw t » ------ R ------1 fr Para cuando la pista está horizontalmente Por dinámica fr= m¥ vvwwedukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II 33
  • 138. » SOLVER EDK ) v = J¡¡g R Para la otra pista, tenemos el siguiente diagrama de cuerpo libre: En el eje X tenemos: N Sen0+fr Cos0= mV» En el eje Y se tiene: IF=mg+fr Cos0-p Cos0=O ...(2) De (2) despejando N, obtenemos: mg N= Reemplazando (3) en (1): cos0 jj Sen0 ...(3) mVe N Sen0+pN Cos0=— r— ' K (Sen0+pCos0)=mVe Cos0-jj Sen0 (p+tan0)Rg V0= N 1-ptan0 DINÁMICA SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II a "A «aur.peru.cor
  • 139. DINÁMICA l_____________________ SOLVER EDK « Por lo tanto la relación de V y V 0 es: Vq_ I (p+tan0) V ~ tan0) Una partícula de masa m, se mueve a lo largo de una trayectoria circular de radio R, tan que su posición angular varía con el tiempo así: 0=b+ct+gt2 , donde b,c yq son constantes, t es tiempo y 6 está en radianes. Hallar (a) que fuerza tangencial existe (b) que fuerza centrípeta existe para un tiempo t dado. Las fuerzas tangencial y radical se expresa de la sgte. Forma: dv FT=m— T dt Fr = mw2R ... (2) Siendo V=WR d0 W=— dt Nos dan la posición angular que se expresa de la siguiente manera: 0 = b + ct + qt2 Derivando d6 — = w = c 4 -2qt dt Derivando por 2da vez: '' "V •-■ ^ ed u kpe ru .com SOLUCIONARIO FISiCA LEIVA I Y II
  • 140. » SOLVER EDK DINÁMICA d20 dw d ? _ dT_2q Reemplazando en (1) y (2) tenemos: FT=2mRq FR=m(c+2qt)2R © Se tiene una esferita de masa m, la cual se desplaza a lo largo de un alambre delgado de radio R, si la esferita tiene una velocidad inicial v0y si nKes el coeficiente de fricción cinético despreciado la gravedad, Hallar la velocidad de la esferita cuando ha transcurrido un tiempo t. Por dinámica, la fuerza tangencial será: mdv mdv -pN=— k dt Y la fuerza centrípeta será: De (2) en (1): o 1IIV N=mw2R=— - R (2) v2 dv -uN—;=m— k R dt SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vedukperu.com
  • 141. DINÁMICA SOLVER EDK « dv /.V=V( -pNt_ 1 1 ~R ~='V +V0 © Una cadena de longitud 2m, se encuentra en reposo apoyado sobre un superficie lisa talco se indica en la figura. Se aplica una peque fuerza desequilibrarte en el extremo B dirigida hacia abajo. Hallar al aceleración y la velocidad de la cadena en función de y que es una posición cualquiera del punto A. La longitud de la cadena era igual en ambos lados. Definamos la densidad de masa lineal M T Por dinámica; en el extremo derecho: 2L=x M M — (2L-x)g-T=— (2L-x)a '.ecukptá!u.coi SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II j f Ü ' I
  • 142. » SOLVER EDK DINAMICA En el extremo izquierdo: De (1) y (2) obtenemos: ; pero Sabemos que ...0 ) M M T'2 LXS=2LXa ... (2) (L-X) a=S~¡ x+y=Ly=L-X 7 a = 9,B-L dv • = a ■ - a dt dv dx dx dt vdv —adx J dvd= J 9,8^dy v2=9,8 2L v= 9j3 2L .Y Q Un bloque de la figura pesa 30kg f, los coeficientes de rozamiento estático y cinético son 0.25 y 0.2 respectivamente. Hallar (a) La fuerza necesaria para mantener el bloque con mantenimiento rectilíneo uniforme sobre el plano inclinado de 30°. (b) La aceleración en el instante que deja de actuar la fuerza f. (g = 10m/seg2). « ¡ n iM t o » SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II ■ w w .e d u to s
  • 143. DINÁMICA £ SOLVES EDK « a) Por dinámica IF x=ma mgsen30-fr-fcos30=ma Pero como e! movimiento es a velocidad constante entonces a = 0 =>mgsen30=fr+F(cos30) ...(i) En el eje Y: IF y=ma=0 XFy=N-Fsen30-mgcos30=0 =>N=Fsen30=mgcos30 ...(2) Sabernos que fr=pN De (1), (2) y (3) obtenemos: (sen30-jjcos30) (cos30-jjsen30) F=101,48N b) para cuando ya no actúa la fuerza F tenemos en el eje X: mgsen30-jjmgcos30-ma ni =>a=3,27— r SOLUCiONARIO FISICA LEIVA I Y S I ¡F
  • 144. » SOLVER EDK 3 DINÁMICA & Un plano inclinado de la figura forma un ángulo de 30° con la horizontal. La relación de las masas de los cuerpos es: m1 /m2= 2/3. El coeficiente de razonamiento en el plano y el cuerpo es 0.1. Las masas de la polea y y de la cuerda se desprecian. Hallar el modulo y la dirección del cuerpo m1si el sistema se puso en movimiento desde el reposo. Por dinámica para la masa m1 mig-T=mia Pero T=m2gsen30+fr De(1)y(2) mig-m2 gsen30-fr=m1 a m!g-m2 gsen30-pm2 gcos30=mja m2 m2 g g sen30-p— gcos30=a mi 3 3 a=g-ggsen30-- pcos30 = > a= 0,12 g Un bloque de masa M descansa sobre una plataforma que gira con velocidad angular cú constante. Una cuerda flexible une a este bloque con otro de masa m en la forma que se indica en la figura. El coeficiente de rozamiento entre M y la plataforma es /¿. m SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.ediíkperu.com
  • 145. DINÁMICA SOLVER EDK « Hallar el valor máximo y mínimo de d para los cuales M permanece en reposo respecto a la plataforma. El radio máximo o mínimo de giro dependerá hacia dónde tiende el bloque, si el bloque tie4nde a deslizarse a la izquierda tendremos el radio mínimo, y si tiende al lado contrario será el radio máximo. fncuando el radio es mínimo fr -.cuando el radio es máximo i) Cuando el radio es mínimo: EF=mg-fr=Mac mg-^Mg=Mw2rm ir mg-pMg rm in~ Mw2 ii) Para cuando el radio es máximo: IF=mg+fr=Mac mg+yMg=Mw2rm á mg+pMg Mw2 o Cuál es el peso aparente de un hombre de lOOkg que está de pie en ascensor que sube aumentando su velocidad a razón de 2m/seg2. Cuál cundo baja? (g=10m/seg2) Hallamos lo que marca la balanza cuando sube y cuando baja: i) Entonces, lo que marcará la balanza será: ■ edjKpe* :jm SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 146. » SOLVER EDK 3 DINÁMICA ma i mS * ▼ ii) mg-ma L=— ---=120 kg Entonces, cuando baja la balanza marcará: ma ! mS f T mg-ma ^ , L=— =80 kg © Tres bloques de masa m, 2m y 3m son empujados a lo largo de una superficie horizontal lisa por medio de una fuerza constante f. Hallar (a) la aceleración de cada bloque.(b) La fuerza que ejerce el bloque 2m sobre 3m. SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
  • 147. DINÁMICA SOLVER EDK « mrnm a) Tenemos los siguientes bloques que se ejercen entre ellos unas fuerzas: Para el bloque de (3m) tenemos que m F21 F12 F32 F23 2m «— - - ...-> 3m Para el bloque de (2m) se tiene que: F23=3ma... (1) Para el bloque de (m) se tiene que: , pero b) Sabemos de (1) que: F1 2 -F32=2ma ; pero F3 2 = F2 3 Fi2=5nna F-F2 1 =ma F2i=F12F=6ma • • • a= 6m F!3=3n,a» 3 m (¿;) =( í) Un cuerpo de masa m está unido a un resorte de longitud L0si estiramiento. Si el resorte obedece la ley de Hooke (f=-kx) y el cuerpo gira con una velocidad angular 0) . Demostrar que: (a) el radio del movimiento circular uniforme es: '.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 148. » SOLVER EDK DINAMICA a) Tenemos que Por dinámica se tiene: Pero siendo Entonces: w X ¿SW FK=mac FK=mw2R Fk=-KX X=R-Lo K(R-Lo)=mw2 R KR-KLo=mw2 R KLq R= K-mw2 b) Para hallar la fuerza de tensión del resorte, tenemos qye FK = TR Tr=K(RLo) [Kmw2 Tr=K • • •Tr= K-mw2 KLq Lo R K-mw2 Dos cuerpos de masa m, se hallan unidos por medio de una cuerda de peso despreciable y longitud L. Se aplica una fuerza de 2mg en el centro de la curda y normal a ella (x=0). Hallar aceleración de las masas en la dirección que une las masas. SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II v.'w w.edukperu.cóm
  • 149. DINÁMICA c SOLVER EDK « F .X v 2mg En el eje T tenemos por dinámica que: T = ma ... (1) En el punto “0” obtenemos que 2mg=2Tsen0 Una caja cuya masa es de lOkg.descansa sobre la plataforma de un camión que parte con una aceleración de 1m/seg2. El piso no tiene rugosidades y la caja comienza a resbalar a su movimiento se opone a una pequeña fuerza rozamiento de 5N. Hallar (a) SI la caja se encuentra inicialmente a 5m del borde de la plataforma del camión, cuánto tiempo transcurre antes de que caiga? (b)qué espacio recorre el camión antes de que se caiga la caja? De (1) y (2) obtenemos: S g—___ sen0 Pero la aceleración en X será: ü ..i:::: : n M -0 a) Hacemos el diagrama de cuerpo libre para el bloque: Por dinámica tenemos jK p a r j.c o m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
  • 150. » SOLVER EDK 3 DINÁMICA IF=ma =ma-fr... (1) Por cinemática: De(l)y (2) tenemos: ® Reemplazando valores en (3) se tiene: t=4,4 seg b) Para hallar cuanto recorre el camión se tiene por cinemática: siendo t=4,4 seg (lm/seg2)(4,4 seg)2 xi=------ ------- Un cuerpo de masa 0.2kg. Se mueve por un tobo, como se indica en la figura. Cuando llega al punto p, tiene una velocidad de 20m/sgy el radio de curvatura es 5m, si g=10m/se,g2. Hallar la reacción del tubo sobre el cuerpo. SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II wwvv.edukperuxor
  • 151. DINÁMICA c SOLVER EDK « Por dinámica: 1F = mac Por tanto la normal será: N + mg = m - N = m - - m g (20)2 N = 0,2— -g-— (0,2)(10) N = 14 Se tiene un cuerpo que se haya suspendido por dos cuerdas L±YL2 de peso despreciable, como se muestra en la figura. Hallar la relación de las tenciones en la cuerda Lx inmediatamente después de cortar la cuerda L2, con la que había en equilibrio. En el equilibrio De (1) y (2): ////////// T1cos0+T2sen0=mg... (1) T1sen0=T2cos0... (2) ivvvw.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I
  • 152. t » SOLVER EDK DINAMICA Por dinámica: mgcos0-T =m— Pero como V = 0 al inicio De (3) y (4) tenemos: Por dinámica: Por tanto la normal será: T,=mgcos0... (3) T^mgcosO... (4) -=1 mg CosO IF=mar N+mg=m- N=m— -mg K N=0,2 m ¿ 5 N=14 (0,2)(10) En una feria, una niña de masa m está sobre la pared vertical de una jaula cilindrica de radio R. Lajaula velocidad lineal v. Hallar el peso efectivo de la niña, (se define el peso efectivo de un cuerpo al total de fuerzas que el objeto o cuerpo ejerce sobre un dinamómetro en un sistema acelerado = , SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II w w w .ed u fC p efu .co n
  • 153. DINÁMICA .( SOLVER EDK « G): ■ = > 2 + r / R)2 La fuerzas que actúan sobre la niña son mg y N Siendo la mvo N=mac=— Piden el peso efectivo (que es la fuerza que ejerce el cuerpo en un dinamómetro) ^ N R ^=^efectivo vm g wefect¡vo=m^g2+(No/R)2 O Una partícula de masa m se mueve a lo largo de la superficie interna lisa de un cilindro vertical de radio R. Halle la fuerza con que la partícula actúa sobre el cilindro, si en el momento de iniciarse el movimiento su velocidad v0 forma un ángulo 6 con la horizontal. •.'■v.eaukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II