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Numeros reales

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                               GRADO NOVENO


                                 NUMEROS REALES

    NÚMEROS NATURALES

     Los números naturales son aquellos que sirven para contar los elementos
     de un conjunto determinado. El conjunto de los números naturales se
     simboliza con la letra N y se determina de la siguiente manera:
                                 N = { 0 , 1 , 2 , 3, 4, 5...}
    Los números naturales se representan en la semirrecta numérica de la
    siguiente forma



    Es posible comparar dos números naturales utilizando los símbolos menor que
    (<), mayor que (>) o igual a (=). Por ejemplo, 7 < 13, 25 > 15 ó 9 = 9.

    En el conjunto de los números naturales se definen varias operaciones que se
    pueden clasificar teniendo en cuenta la propiedad clausurativa. Así:

     Operación Símbolo                 Ejemplo             Clasificación
      Adición         +      2 ∈ N, 5∈ N y 2 + 5 = 7 ∈ N   Clausurativa
    Sustracción        -       2 ∈ N, 5∈ N y 2 - 5 ∉ N    No Clausurativa
    Multiplicación . () * x 5 ∈ N, 8 ∈ N y 5 X 8 = 40 ∈ N  Clausurativa
      División        ÷     13 ∈ N, 4 ∈ N pero 13 ÷ 4 ∉ N No Clausurativa


    Resolver las siguientes situaciones utilizando los números naturales

       1. Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posibles
          de tres cifras distintas, ordénalos de menor a mayor y
          súmalos.
       2. El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605.
          ¿Cuál es el dividendo?
       3. Pedro compró una finca por 643 750 € y la vendió ganando 75
          250 €. ¿Por cuánto lo vendió?
       4. Con el dinero q ue tengo y 247 € más, podría pagar una deuda
          de 525 € y me sobrarían 37 €. ¿Cuánto dinero tengo?
       5. Pedro quiere comprar un automóvil. En la tienda le ofrecen dos
          modelos: uno de dos puertas y otro de cuatro puertas. En
          ambos modelos los colores disponibles s on: blanco, azul, rojo,
          gris y verde. Halla el número de posibles elecciones que tiene
          Pedro.
       6. En una piscina caben 45 000 litros. ¿Cuánto tiempo tarda en
          llenarse mediante un grifo que echa 15 litros por minuto?
       7. En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos
          aviones aterrizan en un día?
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       8. En una urbanización viven 4500 personas y hay un árbol por
          cada 90 habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización?
          ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por
          cada 12 personas?

    NUMEROS ENTEROS

    El conjunto de los números enteros está formado por el número 0, los
    números naturales y los números negativos. Estos últimos, representan
    situaciones de la vida diaria tales como temperaturas bajo cero, profundidades
    con respecto al nivel del mar, entre otras.

    El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y se determina
    de la siguiente manera

                         Z = {…..,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…….}

    Se representan en la recta numérica de la siguiente forma




    Al comparar dos números enteros, es mayor el que se encuentra a la derecha
    en la recta numérica. Por ejemplo, -2 > -6




    VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

    El valor absoluto de un número entero a, se representa




    y se define como la distancia que hay desde 0 hasta dicho número. Por ejemplo, | - 5 |
    = 5 pues entre 0 y -5 hay 5 unidades de distancia, gráficamente seria




         OPERACIONES BÁSICAS EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
                              ENTEROS

    Adición

    Para sumar números enteros se presentan dos casos
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           La suma de dos números enteros de igual signo es un número entero
            del mismo signo, que se halla sumando los valores absolutos de dichos
            números.
           La suma de dos números enteros de distinto signo es un número entero
            cuyo resultado se halla restando los valores absolutos de dichos
            números. El signo de este valor es el mismo del sumando con mayor
            valor absoluto.

    Ejemplos

       1.
       2.
       3.          8) = 17

    Sustracción

    La diferencia entre dos números enteros es la suma del primer número con el
    opuesto del segundo.

    Ejemplos

       1.
       2.
       3.

    MULTIPLICACIÓN Y DIVISION

    Para multiplicar o dividir debemos tener en cuente la ley de los signos.




    Ejemplos

       1.
       2.
       3.
       4.

    Resolver las siguientes situaciones utilizando los números enteros

       1. Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y
          calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes
          números:
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                               GRADO NOVENO


       2. El nivel de agua de una presa ha disminuido 8 cm diarios durante 6 dias.
          A causa de las intensas lluvias caídas los 3 días siguientes ha subido el
          nivel 7 cm diarios. ¿Cuál ha sido el desnivel total del agua de la presa?
       3. Pitágoras nació en el año 493 A.C. y nació en el año 580 A.C.
       4. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un
          tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte
          inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de
          agua habrá en el depósito después de 15 minuto s de
          funcionamiento?
       5. La temperatura del aire baja según se asciende en la
          atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. Si la temperatura
          al nivel del mar en un punto determinado es de 0ªC, ¿a qué
          altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?

    POLINOMIOS ARITMETICOS CON NUMEROS ENTEROS

    Un polinomio aritmético es una expresión en la que se combinan diversas
    operaciones. Para resolver polinomios aritméticos se deben tener en cuenta los
    siguientes casos:

       1. Polinomio sin signos de agrupación. Se resuelven primero las
          multiplicaciones y divisiones indicadas en su orden respectivo. Luego,
          se resuelven las sumas y las restas correspondientes
       2. Polinomio con signos de agrupación. Los signos de agrupación mas
          usados son: ( ) paréntesis, [ ] corchetes y { }. Se resuelven las
          operaciones indicadas dentro de cada paréntesis, eliminando cada signo
          de agrupación de adentro hacia afuera.

    Ejemplos

       1.
       2.
       3.




       4. 8+{[(-4) - (2)] - 7}
       5. –
       6.
       7.
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5
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                                            TALLER

    Resolver las siguientes operaciones

       1.   54 + 39                                      6. -72 – 18
       2.   -17 + (-8)                                   7. 11 – 43
       3.   23 + (-16)                                   8. [7 - (6 - 2)] - (3 - 11)
       4.   (-34) + 25                                   9. 3 + (-2) - [6 - (1 + 5) + 4]
       5.   61 - (-19)                                   10. -[9 - (-8)] + 18 - (5 - 7)
    Escribir los paréntesis de manera que las igualdades sean ciertas.

       11. 61 + 23- 15 + 17 = 86
       12. 45 + 64- 23 - 31 = 55
       13. 16 4• 2 + 1 = 3

    Contestar

       14. La suma de tres enteros es igual a -5 dos de los sumandos son números
           opuestos. ¿Cuál es el otro sumando?
       15. El cociente entre dos números enteros es 2, si el dividendo es el doble
           del divisor y el divisor es – 42, ¿cuál es el dividendo?
       16. El producto de dos números enteros es -540, si un factor es 12, ¿cuál es
           el otro?
       17. La diferencia entre dos números es – 374, si el sustraendo es 115, ¿cuál
           es el minuendo?

    Escribir cada número como el producto de tres o más factores

       18. – 56
       19. 144
       20. – 625
       21. 108

       22. Camila y Cristian están jugando a adivinar el número que cumple ciertas condiciones.
           Ella le dice: “es un número entero menor que 13 y mayor que – 1, impar y su suma
           digital es 2". ¿Qué número es?

       23. Cristian le dice: “la edad de mi primo es un número par y el triple de su
           edad es menor que 40 y mayor que 30. ¿Qué edad tiene el primo de
           Cristian?

       24. En una ciudad la temperatura a las nueve de la mañana era de 15 0c. A
           medio día había subido 60c, a las cinco de la tarde marcaba 3 °C más, a
           las nueve de la noche había bajado 7 °C y a las doce de la noche aún
           había bajado otros 4 °C. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a
           medianoche?
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    NUMEROS RACIONALES

    El conjunto de los números racionales está formado por los números de la
    forma donde a y b son números enteros y b 0.

    El conjunto de los números racionales se simboliza con la letra Q y se
    determina de la siguiente manera              ∈             , a se llama
    numerador y b se llama denominador.
    El signo de cada número racional viene dado según sea el signo del
    numerador o del denominador, teniendo en cuenta las siguientes
    propiedades:
        Si el signo del numerador o el denominador de un número racional
          es negativo, dicho número es negativo; es decir,

           Si los signos del numerador y del denominador de un número
            racional son negativos, dicho número es positivo; es decir,


    Por ejemplo             es un racional negativo y             es un racional
    positivo.

    Los números racionales se representan en la recta numérica de la siguiente
    forma:




       a.



       b.



       c.

    Al comparar dos números racionales se puede presentar solo una de las
    siguientes relaciones:




    Para determinar la relación de orden entre dos números racionales se
    transforman los números en fracciones equivalentes de igual denominador.

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Numeros reales

  • 1. INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELENMATEMATICAS 1 GRADO NOVENO NUMEROS REALES NÚMEROS NATURALES Los números naturales son aquellos que sirven para contar los elementos de un conjunto determinado. El conjunto de los números naturales se simboliza con la letra N y se determina de la siguiente manera: N = { 0 , 1 , 2 , 3, 4, 5...} Los números naturales se representan en la semirrecta numérica de la siguiente forma Es posible comparar dos números naturales utilizando los símbolos menor que (<), mayor que (>) o igual a (=). Por ejemplo, 7 < 13, 25 > 15 ó 9 = 9. En el conjunto de los números naturales se definen varias operaciones que se pueden clasificar teniendo en cuenta la propiedad clausurativa. Así: Operación Símbolo Ejemplo Clasificación Adición + 2 ∈ N, 5∈ N y 2 + 5 = 7 ∈ N Clausurativa Sustracción - 2 ∈ N, 5∈ N y 2 - 5 ∉ N No Clausurativa Multiplicación . () * x 5 ∈ N, 8 ∈ N y 5 X 8 = 40 ∈ N Clausurativa División ÷ 13 ∈ N, 4 ∈ N pero 13 ÷ 4 ∉ N No Clausurativa Resolver las siguientes situaciones utilizando los números naturales 1. Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posibles de tres cifras distintas, ordénalos de menor a mayor y súmalos. 2. El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es el dividendo? 3. Pedro compró una finca por 643 750 € y la vendió ganando 75 250 €. ¿Por cuánto lo vendió? 4. Con el dinero q ue tengo y 247 € más, podría pagar una deuda de 525 € y me sobrarían 37 €. ¿Cuánto dinero tengo? 5. Pedro quiere comprar un automóvil. En la tienda le ofrecen dos modelos: uno de dos puertas y otro de cuatro puertas. En ambos modelos los colores disponibles s on: blanco, azul, rojo, gris y verde. Halla el número de posibles elecciones que tiene Pedro. 6. En una piscina caben 45 000 litros. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse mediante un grifo que echa 15 litros por minuto? 7. En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos aviones aterrizan en un día?
  • 2. INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELENMATEMATICAS 2 GRADO NOVENO 8. En una urbanización viven 4500 personas y hay un árbol por cada 90 habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 personas? NUMEROS ENTEROS El conjunto de los números enteros está formado por el número 0, los números naturales y los números negativos. Estos últimos, representan situaciones de la vida diaria tales como temperaturas bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, entre otras. El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y se determina de la siguiente manera Z = {…..,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…….} Se representan en la recta numérica de la siguiente forma Al comparar dos números enteros, es mayor el que se encuentra a la derecha en la recta numérica. Por ejemplo, -2 > -6 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO El valor absoluto de un número entero a, se representa y se define como la distancia que hay desde 0 hasta dicho número. Por ejemplo, | - 5 | = 5 pues entre 0 y -5 hay 5 unidades de distancia, gráficamente seria OPERACIONES BÁSICAS EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Adición Para sumar números enteros se presentan dos casos
  • 3. INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELENMATEMATICAS 3 GRADO NOVENO  La suma de dos números enteros de igual signo es un número entero del mismo signo, que se halla sumando los valores absolutos de dichos números.  La suma de dos números enteros de distinto signo es un número entero cuyo resultado se halla restando los valores absolutos de dichos números. El signo de este valor es el mismo del sumando con mayor valor absoluto. Ejemplos 1. 2. 3. 8) = 17 Sustracción La diferencia entre dos números enteros es la suma del primer número con el opuesto del segundo. Ejemplos 1. 2. 3. MULTIPLICACIÓN Y DIVISION Para multiplicar o dividir debemos tener en cuente la ley de los signos. Ejemplos 1. 2. 3. 4. Resolver las siguientes situaciones utilizando los números enteros 1. Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números:
  • 4. INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELENMATEMATICAS 4 GRADO NOVENO 2. El nivel de agua de una presa ha disminuido 8 cm diarios durante 6 dias. A causa de las intensas lluvias caídas los 3 días siguientes ha subido el nivel 7 cm diarios. ¿Cuál ha sido el desnivel total del agua de la presa? 3. Pitágoras nació en el año 493 A.C. y nació en el año 580 A.C. 4. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minuto s de funcionamiento? 5. La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. Si la temperatura al nivel del mar en un punto determinado es de 0ªC, ¿a qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC? POLINOMIOS ARITMETICOS CON NUMEROS ENTEROS Un polinomio aritmético es una expresión en la que se combinan diversas operaciones. Para resolver polinomios aritméticos se deben tener en cuenta los siguientes casos: 1. Polinomio sin signos de agrupación. Se resuelven primero las multiplicaciones y divisiones indicadas en su orden respectivo. Luego, se resuelven las sumas y las restas correspondientes 2. Polinomio con signos de agrupación. Los signos de agrupación mas usados son: ( ) paréntesis, [ ] corchetes y { }. Se resuelven las operaciones indicadas dentro de cada paréntesis, eliminando cada signo de agrupación de adentro hacia afuera. Ejemplos 1. 2. 3. 4. 8+{[(-4) - (2)] - 7} 5. – 6. 7.
  • 5. INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELENMATEMATICAS 5 GRADO NOVENO TALLER Resolver las siguientes operaciones 1. 54 + 39 6. -72 – 18 2. -17 + (-8) 7. 11 – 43 3. 23 + (-16) 8. [7 - (6 - 2)] - (3 - 11) 4. (-34) + 25 9. 3 + (-2) - [6 - (1 + 5) + 4] 5. 61 - (-19) 10. -[9 - (-8)] + 18 - (5 - 7) Escribir los paréntesis de manera que las igualdades sean ciertas. 11. 61 + 23- 15 + 17 = 86 12. 45 + 64- 23 - 31 = 55 13. 16 4• 2 + 1 = 3 Contestar 14. La suma de tres enteros es igual a -5 dos de los sumandos son números opuestos. ¿Cuál es el otro sumando? 15. El cociente entre dos números enteros es 2, si el dividendo es el doble del divisor y el divisor es – 42, ¿cuál es el dividendo? 16. El producto de dos números enteros es -540, si un factor es 12, ¿cuál es el otro? 17. La diferencia entre dos números es – 374, si el sustraendo es 115, ¿cuál es el minuendo? Escribir cada número como el producto de tres o más factores 18. – 56 19. 144 20. – 625 21. 108 22. Camila y Cristian están jugando a adivinar el número que cumple ciertas condiciones. Ella le dice: “es un número entero menor que 13 y mayor que – 1, impar y su suma digital es 2". ¿Qué número es? 23. Cristian le dice: “la edad de mi primo es un número par y el triple de su edad es menor que 40 y mayor que 30. ¿Qué edad tiene el primo de Cristian? 24. En una ciudad la temperatura a las nueve de la mañana era de 15 0c. A medio día había subido 60c, a las cinco de la tarde marcaba 3 °C más, a las nueve de la noche había bajado 7 °C y a las doce de la noche aún había bajado otros 4 °C. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a medianoche?
  • 6. INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELENMATEMATICAS 6 GRADO NOVENO NUMEROS RACIONALES El conjunto de los números racionales está formado por los números de la forma donde a y b son números enteros y b 0. El conjunto de los números racionales se simboliza con la letra Q y se determina de la siguiente manera ∈ , a se llama numerador y b se llama denominador. El signo de cada número racional viene dado según sea el signo del numerador o del denominador, teniendo en cuenta las siguientes propiedades:  Si el signo del numerador o el denominador de un número racional es negativo, dicho número es negativo; es decir,  Si los signos del numerador y del denominador de un número racional son negativos, dicho número es positivo; es decir, Por ejemplo es un racional negativo y es un racional positivo. Los números racionales se representan en la recta numérica de la siguiente forma: a. b. c. Al comparar dos números racionales se puede presentar solo una de las siguientes relaciones: Para determinar la relación de orden entre dos números racionales se transforman los números en fracciones equivalentes de igual denominador.
  • 7. INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELENMATEMATICAS 7 GRADO NOVENO Luego, se determina la relación que existe entre sus numeradores. Es mayor el que tiene mayor numerador. Ejemplos: determinar la relación de orden de los siguientes racionales 1. , asi es decir 2. 3. OPERACIONES BASICAS CON NUMEROS RACIONALES SUMA Y RESTA Para sumar o restar números racionales se presentan dos casos 1. Si los denominadores son iguales, el resultado tendrá el mismo denominador y numerador será la suma o la resta de los numeradores. Por ejemplo a. b. 2. Si los denominadores son diferentes, primero se convierten en racionales con igual denominador, luego se suman o se restan los numeradores, por ejemplo a. b. MULTIPLICACION Y DIVISION Para multiplicar racionales, se multiplican los numeradores entre si y los denominadores entre si. Por ejemplo a. b. Para dividir racionales, se multiplica el dividendo por el reciproco del divisor. Por ejemplo a. b.
  • 8. INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELENMATEMATICAS 8 GRADO NOVENO POLINOMIOS CON NUMEROS RACIONALES Para resolver polinomios con números racionales se deben tener en cuenta las mismas propiedades trabajadas en los números enteros: • Si el polinomio no incluye signos de agrupación, se resuelven las mul - tiplicaciones y divisiones indicadas en su respectivo orden. Luego, se efectúan las sumas y las restas correspondientes. • Si el polinomio incluye signos de agrupación, estos se deben eliminar de adentro hacia afuera, efectuando las operaciones indicadas dentro de ellos. Ejemplos: resolver los siguientes polinomios 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
  • 9. INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELENMATEMATICAS 9 GRADO NOVENO TALLER 1. ¿Por qué se crearon los números naturales? 2. ¿Cómo están conformados los números reales? 3. ¿Cuál es la característica de los números irracionales? 4. Los números enteros se representan con la letra ____________ 5. Nombra los conjuntos numéricos a los cuales pertenece cada uno de los siguientes números a. 7 b. c. 0.36 d. e. 1.325 6. Clasifica los siguientes números como Q o I a. . b. 0.15555…… c. 5.101001000….. d. 0.58 e. π 7. Escribir números que cumplan con cada condición a. Entero mayor que -5 y menor o igual que -1 b. Entero no negativo menor que 6 y múltiplo de 2 c. Entero y racional d. Irracional menor que 2 8. Representa sobre la recta real los siguientes números a. 5 b. un tercio c. d. 9. Completa la tabla con pertenece o no pertenece Numero N Z Q I R 302 0.101001… -0.888888… 10. Determina si la proposición es verdadera o falsa, justifica tu respuesta a. Algunos números enteros son racionales b. Todo numero irracional es real c. Todo numero natural es entero
  • 10. INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELENMATEMATICAS 10 GRADO NOVENO d. No todos los números racionales son enteros e. Todo decimal finito es racional f. Algunos números irracionales son decimales finitos