1. UNIDAD 6 :VIGAS
ING. JORGE V. OCHOA P.

2. VIGAS
Las vigas son elementos estructurales que pueden ser de concreto armado,
madera o acero diseñado para sostener fuerzas aplicadas lateral o
transversalmente a sus ejes.
Geralmente son elementos prismáticos rectos y largos diseñados para
soportar cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del elemento y que
ofrecen resistencia a la flexión originada por las cargas aplicadas.

3. FUERZAS INTERNAS EN MIEMBROS
FUERZA AXIAL
La fuerza axial actúa a lo largo del miembro y tiende a alargarlo o a acortarlo.

4. FUERZA DE CORTE
La fuerza de corte tiende a producir el desplazamiento de una sección con respecto a
la otra en una dirección normal al eje imaginario. Hay que notar que el eje x de la
sección cortada tiene una tendencia a moverse paralelamente a si mismo.
TORSION
Esta componente del momento produce una acción de torsión con respecto al eje del
miembro y para distinguirla de 𝑀𝑦 y 𝑀𝑥 se llama torsión.
MOMENTO FLECTOR
Este momento tiende a desplazar el eje del miembro de su posición original. Observar
que el eje del miembro, originalmente recto, tiende a transformarse en curvo.

5. Las fuerzas internas se clasifican de la siguiente manera:
N se llama fuerza normal o fuerza axial, el valor positivo de N corresponde a fuerza de
tensión. La fuerza axial da lugar a la deformación axial.
V se llama fuerza cortante. La fuerza cortante da lugar a la deformación cortante.
M se llama momento flector. El momento flector da lugar a la deformación por flexión.

6. CARGAS SOBRE VIGAS
Una viga puede estar sometida a cargas concentradas, cargas distribuidas o a
una combinación de ambas.

7. TIPOS DE APOYO
Las vigas soportadas de tal manera que las reacciones en los apoyos pueden calcularse
solamente con los métodos de estática, reciben el nombre de vigas ISOSTATICAS o
estáticamente determinadas.
Una viga que tenga mas apoyos de los necesarios para proporcionar el equilibrio se
dice que es HIPERESTATICA o estáticamente indeterminado y será necesario
considerar las propiedades de la deformación de la viga bajo condiciones de carga,
además las ecuaciones de equilibrio estático para determinar las reacciones de los
apoyos.

8. A veces se conectan dos o más vigas mediante charnelas articuladas o goznes para
formar una estructura simple continua. Las reacciones en los apoyos comprenden a
cuatro incógnitas y no pueden determinarse a partir del diagrama de cuerpo libre del
sistema de lasa dos vigas, sin embargo pueden determinarse si se consideran los
diagramas de cuerpo libre de cada viga separadamente

9. Ignorando la masa de la viga, calcule las reacciones en A y B

10. Ignorando la masa de la viga, calcule las reacciones en A y B

11. FUERZA AXIAL Y MOMENTO EN BARRAS Y ARBOLES
El diagrama de fuerza axial es una grafica que representa en abscisas distancias a lo
largo del miembro y en ordenadas las fuerzas axiales internas en las secciones rectas
correspondientes. En la representación de un diagrama de fuerza axial , las fuerzas de
tracción son positivas y las de flexión compresión negativas.
El diagrama de momentos es una grafica en la que se representa en abscisas distancias
a lo largo del miembro y en ordenadas momentos resistentes internos en las secciones
rectas correspondientes.
En la figura se ilustra el convenio de signos que se utiliza para los momentos.
Se le aplica un momento en el cojinete C y se le saca en los cojinetes A y B. Los
momentos trasmitidos por las secciones 𝑎 − 𝑎 y 𝑏 − 𝑏 , en el intervalo entre los
cojinetes B y C, se representan en la siguiente figura.

12. DIAGRAMAS DE FUERZA AXIAL Y MOMENTO EN BARRAS Y ARBOLES
La confección de un diagrama implica la elección de escalas adecuadas, los
diagramas permiten identificar la sección en las que se presenta las fuerzas
axiales que definen la tensión o la compresión.
Las fuerzas axiales positivas (tensión) se grafican sobre el eje de la barra y las
negativas (compresión) debajo del eje de la barra, en forma similar se grafican
los momentos.
Para la confección de los diagramas se deben seguir los siguientes pasos:
1.- Calcular todas las fuerzas axiales usando las condiciones de equilibrio.
2.- Trazar el eje del diagrama usando la misma escala de longitudes en la
barra.
3.- Calcular los valores de las fuerzas axiales en los puntos de discontinuidad.
4.- Determinar sobre el eje del diagrama los puntos calculados en el paso 3
teniendo en cuenta el signo.
5.- Cerrar definitivamente con trazo lleno las ordenadas de los puntos.

13. Se utiliza una barra de acero de sección rectangular para trasmitir cuatro
cargas axiales según se indica en la figura.
a) Determinar las fuerzas axiales que trasmiten las secciones rectas en los
intervalos AB, BC y CD de la barra.
b) Dibujar el diagrama de fuerza axial de la barra.

14. Una barra esta cargada y apoyada según se indica en la figura.
a) Determinar la carga axial máxima trasmitida por las secciones rectas de la barra.
b) Dibuje el diagrama de fuerza axial de la barra.
Para el árbol de acero representado en la figura.
a) Determinar el máximo momento que trasmiten las secciones rectas del árbol.
b) Dibujar el diagrama de momento del árbol.

15. Una barra esta cargada y apoyada según se indica en la figura.
a) Determinar la carga axial máxima trasmitida por las secciones rectas de la barra.
b) Dibuje el diagrama de fuerza axial de la barra.

16. Para el árbol de acero representado en la figura.
a) Determinar el máximo momento que trasmiten las secciones rectas del árbol.
b) Dibujar el diagrama de momento del árbol.

17. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN VIGAS.
La fuerza cortante cortante V es la resultante de todas las proyecciones de las fuerzas
situadas a un solo lado de la sección C, sobre el plano de la sección.
El efecto del esfuerzo cortante es tratar de deslizar a dos secciones adyacentes una
sobre la otra.

18. El momento flector M es la suma de los momentos de todas las fuerzas, situadas a un
mismo lado de la sección C con respecto al eje perpendicular Z contenido en la
sección.
El efecto del momento flector es hacer girar la sección C alrededor del eje Z, en forma
tal que a un lado del eje se desarrollan fatigas de tracción 𝐹 + y al otro lado se
desarrollan fatigas de compresión 𝐹 − ; como consecuencia de esto la suma de estas
fatigas formaran el par resistente.

19. CONVENCION DE SIGNO
La fuerza cortante V y el momento flector M en un punto determinado de una viga se
dice que son positivos cuando las fuerzas internas y los pares que actúan sobre cada
porción de la viga están dirigidos como se indica en la figura.
El esfuerzo cortante en C es positivo cuando las fuerzas externas (cargas y reacciones)
que actúan sobre la viga tienden a cizallar la viga en C como se muestra en la figura.
El momento flector en C es positivo cuando las fuerzas externas que actúan sobre la
viga tienden a doblar la viga en dicho punto como se muestra en la figura.

20. DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR.
La confección de un diagrama implica la elección de escalas adecuadas, los diagramas
permiten identificar la sección o secciones en las que se presentan los esfuerzos
máximos.
Las fuerzas cortantes positivas se graficaran sobre el eje de la viga y las negativas
debajo, en forma similar se graficaran los momentos flectores.
Para la confección de los diagramas se deben seguir los siguientes pasos:
1.- Calcular las reacciones en los apoyos, concentrando todas las cargas distribuidas
usando las ecuaciones de equilibrio.
2.- Trazar el eje del diagrama usando la misma escala de longitudes de la viga.
3.- Calcular los valores de la fuerza cortante y momento flector en los puntos de
discontinuidad.
4.- Determinar sobre el eje del diagrama los puntos calculados en el paso 3, teniendo
en cuenta el signo.
5.- Cerrar definitivamente con trazo lleno las ordenadas de los puntos notables entre
los cuales no existan cargas distribuidas.
6.-Reemplazar los valores en las ecuaciones obtenidas en cada una d las secciones en
donde actúan las cargas distribuidas para graficar la curva que representa.

21. RELACIONES ENTRE LA CARGA, LA FUERZA CORTANTE Y EL MOMENTO FLECTOR.
Consideremos la viga de la figura con una carga cualquiera. Tomamos un elemento de
longitud diferencial S-S´.
El diagrama de cuerpo libre correspondiente al elemento de longitud diferencial de la
viga S-S´ es:
Como este es un elemento de una viga que esta en equilibrio, también estará en
equilibrio. La ecuaciones de equilibrio establecen ciertas relaciones entre la carga, la
fuerza cortante y el momento flector.

22. Aplicando las condiciones de equilibrio al elemento diferencial se tiene:
෍ Ԧ
𝐹 = 0
𝑉Ԧ
𝑖 + 𝜔𝑑𝑥Ԧ
𝑖 − 𝑉 + 𝑑𝑉 Ԧ
𝑖 = 0
𝑉 + 𝜔𝑑𝑥 − 𝑉 + 𝑑𝑉 Ԧ
𝑖 = 0
𝑉 + 𝜔𝑑𝑥 − 𝑉 + 𝑑𝑉 = 0
𝑑𝑉 = −𝜔𝑑𝑥
𝝎 = −
𝒅𝑽
𝒅𝒙
……….. 𝟏
Donde 𝜔 es la carga distribuida por unidad de longitud. Aplicando la segunda
condición de equilibrio con respecto al punto S´ se tiene:
𝑀𝑘 + 𝑑𝑥Ԧ
𝑖 × 𝑉Ԧ
𝑗 +
𝑑𝑥
2
Ԧ
𝑖 × 𝜔𝑑𝑥Ԧ
𝑗 − 𝑀 + 𝑑𝑀 𝑘 = 0
𝑀 + 𝑉𝑑𝑥 + 𝜔𝑑𝑥
𝑑𝑥
2
− 𝑀 + 𝑑𝑀 = 0
𝑀 + 𝑉𝑑𝑥 + 𝜔
𝑑𝑥2
2
− 𝑀 + 𝑑𝑀 = 0

23. Teniendo en cuenta que el tercer sumando contiene un diferencial de segundo orden
que se puede despreciar frente a los de primer orden se tiene:
𝑀 + 𝑉𝑑𝑥 − 𝑀 − 𝑑𝑀 = 0
𝑽 =
𝒅𝑴
𝒅𝒙
………….. 𝟐
La ecuación (1) establece que la pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual y
de signo contrario a la intensidad de la carga en el punto bajo consideración.
La ecuación (2) establece que la pendiente del diagrama del momento flector es igual
a la ordenada del diagrama de fuerza cortante en el punto correspondiente, además
muestra que la fuerza cortante es cero en los puntos donde el momento flector es
máximo. Esta propiedad facilita la determinación de los puntos donde es más
probable que la viga falle por flexión.
Integrando la ecuación (1) se tiene:
න
𝑉1
𝑉2
𝑑𝑉 = න
1
2
𝜔𝑑𝑥
𝑽𝟐 − 𝑽𝟏 = ∆𝑽 Area de cargas.
De la ecuación (2)
න
𝑀1
𝑀2
𝑑𝑀 = න
1
2
𝑉𝑑𝑥
𝑴𝟐 − 𝑴𝟏 = ∆𝑴 Area de fuerza cortante.

24. Escribir las expresiones para la fuerza de corte y el momento de flexión de
cada región de la viga. Utilizando estas expresiones, dibujar los diagramas de
fuerza cortante y momento de flexión.

25. Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector de la viga sometida a un
par en su extremo. ¿Cuál es el momento M en una sección 0,5 m a la derecha de B?

26. La viga soporta una carga distribuida uniformemente en la forma que se indica.
Determinar la situación x de los dos apoyos que reduzca al mínimo el momento flector
máximo M en la viga ¿Cuánto vale M?

27. Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga simple
cargada linealmente. La intensidad de carga en el extremo de la derecha es de
𝜔0kilopondios por metro de longitud de viga. Escribir la expresión del valor
máximo M del momento flector y la distancia x , medida hacia la derecha a
partir del extremo izquierdo, hasta el punto en que se tiene momento flector
máximo.

28. Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector d la viga cargada
en la forma que se indica. Determine el momento flector M de magnitud
máxima.

29. Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga
cargada y determinar el momento flector M que induce la compresión
máxima en las fibras superiores de la viga.

30. Dibujar los diagramas de fuerza de corte y momento de flexión para la viga
que se muestra en la figura.